Aspectos geométricos dos espaços Co(K,X)

Texto

(1)Aspectos geométricos dos espaços. C0(K, X). Vinícius Morelli Côrtes. Dissertação apresentada ao Instituto de Matemática e Estatística da Universidade de São Paulo para obtenção do título de Doutor em Matemática Programa: Matemática Orientador: Prof. Dr. Elói Medina Galego. Durante o desenvolvimento deste trabalho o autor recebeu auxílio nanceiro da FAPESP São Paulo, 5 de Fevereiro de 2018.

(2) Aspectos geométricos dos espaços. C0(K, X). Esta versão da tese contém as correções e alterações sugeridas pela Comissão Julgadora durante a defesa da versão original do trabalho, realizada em 27/06/2017. Uma cópia da versão original está disponível no Instituto de Matemática e Estatística da Universidade de São Paulo.. Comissão Julgadora: Prof. Dr. Elói Medina Galego (orientador) - IME-USP Profa. Dra. Daniela Mariz Silva Vieira - IME-USP Prof. Dr. Antonio Roberto da Silva - UFRJ Prof. Dr. Pedro Levit Kaufmann - UNIFESP Prof. Dr. Leandro Candido Batista - UNIFESP.

(3) Agradecimentos Agradeço aos meus pais e à minha querida irmã pelo carinho constante, pelo incentivo contínuo e pela paciência innita. Agradeço ao meu orientador, Prof. Elói Medina Galego, pelo apoio e orientação durante toda a elaboração deste trabalho e, sobretudo, por sua amizade. Aos amigos André Barbeiro, André Porto, Clayton Suguio Hida, Eric Ossami Endo e Willian Hans agradeço pelas animadas conversas e pela amizade sincera. Um agradecimento especial também aos amigos Fabiano Cidral, pela ajuda na elaboração do projeto de qualicação, e Michael Rincón Villamizar, pela enorme paciência nos ajudando a vericar a demonstração do Teorema 3.4. Nossos sinceros agradecimentos à professora Zara Issa Abud e aos professores Paulo Domingos Cordaro e Severino Toscano do Rego Melo, por todo o incentivo e pelas cartas de recomendação; aos professores Hugo Luiz Mariano e Ricardo dos Santos Freire Júnior, pela ajuda com a matrícula e com a inscrição no programa de doutorado; e aos professores Alexandre Lymberopoulos, Daniela Mariz Silva Vieira, Raul Antonio Ferraz e Valentin Raphael Henri Ferenczi, pela amizade e pelas disciplinas ministradas, que tanto me ensinaram. Um agradecimento especial ao Prof. Satit Saejung pela valiosa ajuda na demonstração da Proposição 6.21. Agradeço à FAPESP (processo nº 2014/08176-3) e à CAPES pelo auxílio nanceiro durante a elaboração deste trabalho.. i.

(4) ii.

(5) Resumo Este trabalho tem dois objetivos principais. Primeiramente, estudamos as cópias complementadas de c0 (τ ) em espaços de Banach, onde τ é um cardinal innito. Estendemos ao caso não-enumerável um resultado clássico obtido por T. Schlumprecht que caracteriza as cópias complementadas de c0 em um espaço de Banach X . Usamos esta nova caracterização para estender resultados de G. Emmanuele, F. Bombal, D. Leung e F. Räbiger envolvendo as cópias complementadas de c0 nos espaços de Banach clássicos `p (I, X), onde p ∈ [1, ∞] e. I é um conjunto não-vazio. Nós também provamos um novo resultado sobre as cópias complementadas de c0 (τ ) nos espaços C0 (K, X), onde K é um espaço de Hausdor localmente compacto. Em seguida, estudamos uma extensão vetorial do clássico Teorema de Banach-Stone obtida por K. Jarosz. Estudando várias constantes introduzidas por R. James, J. Schäer, M. Baronti, E. Casini e P. Pappini, nós provamos uma nova relação entre os módulos de convexidade dos espaços X e X ∗ , que possui interesse independente. Esta relação é usada para provar uma nova generalização vetorial do Teorema de Banach-Stone que simultaneamente estende o Teorema de Jarosz e também mostra que este último resultado é, de fato, uma consequência de um teorema obtido recentemente por F. Cidral, E. Galego e M. RincónVillamizar.. Palavras-chave:. Espaços c0 (τ ), espaços C0 (K, X), cópias complementadas, generalização. do Teorema de Banach-Stone, constante de James, módulo de convexidade de um espaço de Banach e de seu dual.. iii.

(6) iv.

(7) Abstract The goal of this work is two-fold. First, we study the complemented copies of c0 (τ ) in Banach spaces, where τ is an innite cardinal. We extend to the uncountable case a classical result by T. Schulmprecht that characterizes the complemented copies of c0 in a Banach space X . We use this new characterization to extend results by G. Emmanuele, F. Bombal, D. Leung and F. Räbiger concerning the complemented copies of c0 in the classical Banach spaces `p (I, X), where p ∈ [1, ∞] and I is a non-empty set. We also obtain a new result involving the complemented copies of c0 (τ ) in C0 (K, X) spaces, where K is a locally compact Hausdor space. Next, we turn our attention to a vector-valued extension of the classical Banach-Stone theorem obtained by K. Jarosz. Studying several constants introduced by R. James, J. Schäffer, M. Baronti, E. Casini and P. Pappini, we obtain a new relationship between the moduli of convexity of X and X ∗ , which has independent interest. We then apply this relationship to prove a new X -valued generalization of the Banach-Stone theorem that simultaneously extends the aforementioned result by Jarosz and also shows that this result is, in fact, a consequence of a theorem obtained recently by F. Cidral, E. Galego and M. Rincón-Villamizar.. Keywords: c0 (τ ). spaces, C0 (K, X) spaces, complemented copies, generalization of the. Banach-Stone theorem, James constant, moduli of convexity of a Banach space and its dual.. v.

(8) vi.

(9) Conteúdo Notações. ix. Introdução. xi. 1 Preliminares. 1. 1.1. Cópias e cópias complementadas de espaços de Banach . . . . . . . . . . . .. 1. 1.2. Somas arbitrárias de números reais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 3. 1.3. Desigualdades de Young, Hölder e Minkowski. . . . . . . . . . . . . . . . . .. 12. 1.4. Espaços `p (I, X), p ∈ [1, ∞] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 15. 1.5. Espaços C0 (K, X) e c0 (τ ). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 25. 1.6. Medidas e integração vetoriais. O dual de C(K, X) . . . . . . . . . . . . . .. 36. 1.7. Famílias fracamente nulas, fraca∗ -nulas e fracamente incondicionalmente somáveis. Propriedade de Dunford-Pettis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 43. 2 Uma caracterização das cópias complementadas de c0 (τ ). 47. 3 Cópias complementadas de c0 (τ ) em C(K, X). 51. 3.1. O Teorema Principal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 51. 3.2. Aplicações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 58. 3.3. Análise das hipóteses do Teorema Principal . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 61. 4 Cópias complementadas de c0 (τ ) em `p (I, X), p ∈ [1, ∞). 73. 5 Cópias complementadas de c0 (τ ) em `∞ (I, X). 83. 6 Uma extensão vetorial do Teorema de Banach-Stone via o módulo de convexidade de X ∗ 99 6.1. Um breve panorama histórico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 6.2. Uma nova relação entre os módulos de convexidade de X e de X. 6.3. A função JX . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107. 6.4. Uma generalização do Teorema de Banach-Stone via a função JX ∗ . . . . . . 109. Bibliograa. ∗. 99. . . . . . . 101. 113 vii.

(10) viii. CONTEÚDO.

(11) Notações R δij SX. O corpo dos números reais. O delta de Kronecker, isto é, δij = 1 se i = j e δij = 0 se i 6= j . A esfera unitária do espaço normado X , isto é, o conjunto {x ∈ X : kxk = 1}.. BX. A bola unitária fechada do espaço normado X , isto é, o conjunto {x ∈ X : kxk ≤ 1}.. B(x; ε) X∗ X∼Y X≡Y xn → x ℘(I). A bola aberta de centro x ∈ X e raio ε > 0, onde X é um espaço normado. O dual topológico do espaço normado X . Os espaços normados X e Y são isomorfos. Os espaços normados X e Y são linearmente isométricos. A sequência (xn )n≥1 converge em norma para x ∈ X . O conjunto das partes do conjunto I .. ix.

(12) x. NOTAÇÕES.

(13) Introdução Dados K um espaço de Hausdor localmente compacto e X um espaço de Banach real, denotamos por C0 (K, X) o espaço de Banach de todas as funções contínuas f : K → X que se anulam no innito, munido da norma. kf k∞ = sup kf (k)k, ∀f ∈ C0 (K, X). k∈K. Se K é compacto, denotaremos esse espaço por C(K, X). Quando X = R, escrevemos simplesmente C0 (K) e C(K). Dado τ um cardinal innito munido da topologia discreta, escreveremos c0 (τ, X) e c0 (τ ) ao invés de C0 (τ, X) e C0 (τ ), respectivamente. Se τ = ℵ0 , escreveremos simplesmente c0 . Dados X um espaço de Banach e Y um subespaço de X , dizemos que Y é complementado em X se existe uma projeção P de X sobre Y . Se Z é um espaço de Banach, dizemos que. X contém uma cópia (respectivamente, cópia complementada) de Z se Z é isomorfo a um subespaço (respectivamente, subespaço complementado) de X . Neste trabalho vamos investigar algumas propriedades geométricas dos espaços C0 (K, X). Temos dois objetivos principais. Primeiramente, vamos estudar a estabilidade de cópias complementadas dos espaços c0 (τ ) em alguns espaços de Banach clássicos. Neste contexto, vamos considerar a seguinte questão.. Problema. Sejam X e Xe espaços de Banach tais que Xe contém uma cópia complementada de X e seja τ um cardinal innito. Que hipóteses sobre X e τ garantem que X˜ contém uma cópia complementada de c0 (τ ) se, e somente se, X contém uma cópia complementada de c0 (τ )? Resolveremos este problema, ao menos parcialmente, para os espaços de Banach C0 (K, X), xi.

(14) xii. INTRODUÇÃO. onde K é um espaço de Hausdor localmente compacto, e `p (I, X), onde I é um conjunto nãovazio e p ∈ [1, ∞]. A principal ferramenta que vamos utilizar para lidar com este problema é uma caracterização das cópias complementadas de c0 (τ ) que será provada no Capítulo 2; trata-se do Teorema 2.4. A seguir, vamos nos dedicar ao estudo de extensões vetoriais do clássico Teorema de Banach-Stone.. Teorema (Teorema de Banach-Stone, [3, 47]). Sejam K, S espaços de Hausdor localmente compactos. Então C0 (K) e C0 (S) são linearmente isométricos se, e somente se, K e S são homeomorfos. D. Amir [2] e M. Cambern [7] independentemente fortaleceram o Teorema de BanachStone mostrando que a hipótese de existência de uma isometria entre C0 (K) e C0 (S) pode ser substituída pela existência de um isomorsmo T : C0 (K) → C0 (S) tal que kT kkT −1 k < 2. Mais tarde, Cambern [8] mostrou que 2 é o maior número para o qual o enunciado do Teorema de Amir-Cambern permanece verdadeiro ao exibir um par de espaços de Hausdor localmente compactos K e S , onde K é compacto e S é não-compacto, e um isomorsmo. T : C(K) → C0 (S) tal que kT kkT −1 k = 2. H. Cohen [13] também exibiu um exemplo onde ambos K e S são compactos. Vários autores, começando por M. Jerison [34], estudaram o problema de determinar propriedades geométricas de X que permitem generalizações do Teorema de Banach-Stone para espaços C0 (K, X) (veja [11] e suas referências). Um dos principais resultados nesta direção obtidos recentemente é o teorema a seguir. Recordamos que a constante de Schäer de um espaço de Banach é o parâmetro. S(X) = inf {max(kx + yk; kx − yk) : x, y ∈ SX } .. Teorema. (Cidral-Galego-Rincón-Villamizar, [11], Teorema 2.1).. Sejam K, S espaços de. Hausdor localmente compactos e X um espaço de Banach. Se existe um isomorsmo T : C0 (K, X) → C0 (S, X) satisfazendo kT kkT −1 k < S(X), então K e S são homeomorfos. K. Jarosz [32] também investigou a relação entre propriedades geométricas de X ∗ e a.

(15) xiii estabilidade do Teorema de Banach-Stone para C(K, X). O principal resultado obtido por Jarosz é o seguinte.. Teorema. (Jarosz, [32], Teorema 1).. Sejam K, S espaços de Hausdor compactos e X. um espaço de Banach. Se existe um isomorsmo T : C(K, X) → C(S, X) satisfazendo kT kkT −1 k ≤ λ, onde 4 sup{kx∗1 − x∗2 k : x∗1 , x∗2 ∈ X ∗ , kx∗1 + x∗2 k = 2, kx∗1 k ≤ λ, kx∗2 k ≤ λ} < , 3. então K e S são homeomorfos. Motivado pelos resultados obtidos por Amir e Cambern, o problema a seguir surge naturalmente neste contexto.. Problema. O número. 4 3. é o maior número com o qual o enunciado do Teorema de Jarosz. permanece verdadeiro? Além disso, o Teorema de Cidral-Galego-Rincón-Villamizar enunciado acima estendeu todas as generalizações vetoriais do Teorema de Banach-Stone conhecidas até então, com exceção do Teorema de Jarosz. Assim, também é natural considerarmos o seguinte problema.. Problema. O Teorema de Jarosz é consequência do Teorema de Cidral-Galego-RincónVillamizar? O segundo objetivo deste trabalho é investigar estes últimos dois problemas. Provaremos que o Teorema de Jarosz é, de fato, uma consequência do Teorema de Cidral-Galego-RincónVillamizar. Além disso, mostraremos que o enunciado do Teorema de Jarosz permanece verdadeiro se substituirmos o número. 4 3. pela única raiz real do polinômio. p(x) = 2x3 − x2 + 8x − 20,. isto é, o seguinte número (aproximadamente 1.6753):. 1 6. q 3. √. q √ 3 1009 + 84 159 + 1009 − 84 159 + 1 ..

(16) xiv. INTRODUÇÃO. Lidando com esses problemas, provaremos também uma nova conexão entre os módulos de convexidade de X e de X ∗ (Teorema 6.15), que possui interesse independente. No Capítulo 1 recordamos denições e resultados preliminares e xamos a notação utilizada no decorrer do trabalho. Estudamos brevemente os conceitos de cópias e cópias complementadas de espaços de Banach, somas arbitrárias de números reais, medidas e integração vetoriais e famílias fracamente nulas, fraca∗ -nulas e fracamente incondicionalmente somáveis em espaços de Banach. Também vamos recordar as principais propriedades dos espaços. `p (I, X), C0 (K, X) e c0 (τ ), que serão nossos objetos de estudo nos capítulos posteriores. No Capítulo 2 iniciamos o estudo das cópias complementadas de c0 (τ ) em espaços de Banach. Como mencionamos, o objetivo desse capítulo é provar o Teorema 2.4, que caracteriza as cópias complementadas de c0 (τ ) em um espaço de Banach X em termos de uma família equivalente à base canônica de c0 (τ ) em X e de uma família fraca∗ -nula no dual de X . Este resultado estende ao caso não-enumerável um resultado obtido por T. Schlumprecht em [42] envolvendo as cópias complementadas de c0 . Colhemos os frutos do Teorema 2.4 nos Capítulos 3, 4 e 5. Estudamos a relação entre as cópias complementadas de c0 (τ ) em X e nos espaços C0 (K, X), `p (I, X) (p ∈ [1, ∞)), e. `∞ (I, X), respectivamente. Finalmente, o Capítulo 6 é dedicado à análise de algumas extensões vetoriais do Teorema de Banach-Stone. Vamos estudar a relação entre diversos parâmetros introduzidos por R. James, J. Schäer, M. Baronti, E. Casini e P. Pappini, provar uma nova conexão entre os módulos de convexidade de X e de X ∗ e aplicar esta conexão para simultaneamente estender o Teorema de Jarosz e mostrar que este resultado é consequência do Teorema de Cidral-Galego-Rincón-Villamizar..

(17) Capítulo 1 Preliminares Neste Capítulo apresentaremos conceitos e resultados básicos que serão utilizados no decorrer do trabalho. Nossa terminologia é padrão e conceitos não denidos podem ser encontrados, e. g., em [15, 16, 19, 33, 43]. Todos os espaços vetoriais considerados estão denidos sobre R.. 1.1. Cópias e cópias complementadas de espaços de Banach. O objetivo desta seção é introduzir os conceitos de cópias e de cópias complementadas de um espaço de Banach, que serão nosso objeto de estudo nos capítulos seguintes.. Denição 1.1. é. Sejam X um espaço de Banach e Y um subespaço de X . Dizemos que Y. complementado em X se Y é fechado e existe um subespaço fechado Z de X tal que. X = Y ⊕ Z.. Denição 1.2. tivamente. Sejam X, Y espaços de Banach. Dizemos que X. contém uma cópia (respec-. contém uma cópia complementada ) de Y , e escrevemos Y ,→ X (respectivamente. c. Y ,→ X ), se Y é isomorfo a um subespaço (respectivamente subespaço complementado) de X.. Denição 1.3.. Sejam X um espaço de Banach e P : X → X um operador linear contínuo.. Dizemos que P é uma. projeção (sobre sua imagem) se P ◦ P = P . Equivalentemente, P é 1.

(18) 2. 1.1. PRELIMINARES. uma projeção se P (x) = x para todo x ∈ Im(P ).. Proposição 1.4. Sejam X um espaço de Banach e Y um subespaço de X . Então Y é complementado em X se, e somente se, existe uma projeção P : X → X sobre Y . Demonstração. Suponhamos primeiramente que Y seja complementado em X e seja Z um subespaço fechado de X tal que X = Y ⊕ Z . Dado x ∈ X , existem únicos y ∈ Y e z ∈ Z satisfazendo x = y +z . Assim, ca denido o operador linear P : X → X dado por P (x) = y , para todo x = y + z ∈ X . É imediato vericar que Im(P ) = Y e que P ◦ P = P . Mostremos que P é contínuo usando o Teorema do Gráco Fechado. Seja (xn )n≥1 =. (yn + zn )n≥1 uma sequência em X que converge para x ∈ X e tal que (P (xn ))n≥1 = (yn )n≥1 converge para w ∈ X . Como Y é fechado, temos. w = lim yn ∈ Y. n→∞. Escrevendo x = y + z , onde y ∈ Y e z ∈ Z , obtemos. z + (y − w) = x − w = lim (xn − yn ) = lim zn ∈ Z, n→∞. n→∞. pois Z é fechado; portanto, y − w ∈ Y ∩ Z = {0}, isto é, w = y = P (x). Logo, pelo Teorema do Gráco Fechado, P é contínuo. Reciprocamente, seja P : X → X uma projeção sobre Y . Por continuidade, Z = Ker(P ) e Y = Ker(I − P ) são fechados em X . Notemos que. y ∈ Y ∩ Z ⇐⇒ P (y) = 0 = y − P (y) ⇐⇒ y = 0.. Além disso, dado x ∈ X , temos x = P (x)+(x−P (x)). Logo, Y é complementado em X .. Proposição 1.5. Sejam X, Y, Z espaços de Banach. Então temos: (i) Se Y ,→ X e Z ,→ Y , então Z ,→ X ; (ii) Se Y ,→ X e Z ,→ Y , então Z ,→ X . c. c. c. .

(19) 1.2. 3. SOMAS ARBITRÁRIAS DE NÚMEROS REAIS. Demonstração. (i) Basta notarmos que se T : Y → X e S : Z → Y são isomorsmos sobre suas respectivas imagens, então T ◦ S : Z → X também é isomorsmo sobre sua imagem.. (ii) Sejam T : Y → X e S : Z → Y isomorsmos sobre suas respectivas imagens e P : X → X e Q : Y → Y projeções sobre T (Y ) e S(Z), respectivamente. Denindo. R = T ◦ Q ◦ T −1 ◦ P , temos R(T ◦ S(z)) = (T ◦ Q ◦ T −1 ◦ P )(T ◦ S(z)) = (T ◦ Q ◦ T −1 ◦ T ◦ S)(z) = (T ◦ Q)(S(z)) = T ◦ S(z),. para todo z ∈ Z . Em particular, T (S(Z)) ⊂ Im(R). Por outro lado, Im(R) ⊂ Im(T ◦ Q) ⊂ T (S(Z)). Isto prova que R é projeção sobre T (S(Z)), como queríamos.. 1.2. . Somas arbitrárias de números reais. Nesta seção vamos introduzir a noção de soma de uma família arbitrária de números reais; esta denição será fundamental para introduzirmos os espaços `p (I, X), p ∈ [1, ∞). Nosso primeiro passo é denir a soma de uma família de números reais positivos.. Denição 1.6.. Sejam I um conjunto não-vazio e (ai )i∈I uma família de números reais. positivos. Denimos. X i∈I. ai = sup. ( X. ). ai : ∅ 6= F ⊂ I nito. ∈ [0, ∞].. i∈F. Se (bi )i∈I é uma família de números reais tal que. P. i∈I. |bi | < ∞, dizemos que (bi )i∈I é. absolutamente somável. Vamos estender esta denição para famílias arbitrárias de números reais (não necessariamente positivos)..

(20) 4. 1.2. PRELIMINARES. Denição 1.7. Denimos o. Sejam I um conjunto não-vazio e a = (ai )i∈I uma família de números reais.. suporte de a como sendo o conjunto supp(a) = {i ∈ I : ai 6= 0}.. Denição 1.8.. Sejam I um conjunto não-vazio e a = (ai )i∈I uma família de números reais.. Dizemos que a satisfaz a. condição de Cauchy se para todo ε > 0 existe Fε ⊂ I nito e. não-vazio tal que.

(21)

(22)

(23) X

(24)

(25)

(26) ai

(27) < ε,

(28)

(29)

(30) i∈F. para todo F ⊂ I nito e não-vazio com F ∩ Fε = ∅.. Proposição 1.9. Sejam I um conjunto não-vazio e a = (ai )i∈I uma família de números reais que satisfaz a condição de Cauchy. Então para cada n ≥ 1, o conjunto In = {i ∈ I : |ai | ≥ n1 } é nito. Em particular, supp(a) é enumerável. Demonstração. Dado n ≥ 1, por hipótese existe Fn ⊂ I nito e não-vazio tal que

(31)

(32)

(33) X

(34) 1

(35)

(36) ai

(37) < ,

(38)

(39)

(40) n i∈F para todo F ⊂ I nito e não-vazio com F ∩ Fn = ∅. Em particular, |ai | <. 1 n. para todo. i ∈ I \ Fn . Isto prova que (I \ Fn ) ⊂ (I \ In ), isto é, In ⊂ Fn . Portanto, cada In é nito e S supp(a) = n≥1 In é enumerável. . Proposição 1.10. Sejam I um conjunto não-vazio e a = (ai )i∈I uma família de números reais. Se a satisfaz a condição de Cauchy, então existe um único número real S(a) tal que, para todo ε > 0, existe Fε ⊂ I nito e não-vazio tal que

(41)

(42)

(43) X

(44)

(45)

(46) ai

(47) < ε,

(48) S(a) −

(49)

(50) i∈F. para todo F ⊂ I nito satisfazendo Fε ⊂ F . Demonstração. Dado n ≥ 1, seja In = i ∈ I : |ai | ≥ . consideremos. sn =.    . 0.  P   i∈I ai n. 1 n. se In = ∅, se In 6= ∅.. como na proposição anterior e.

(51) 1.2. SOMAS ARBITRÁRIAS DE NÚMEROS REAIS. 5. Vamos mostrar que a sequência (sn )n≥1 é de Cauchy. Dado ε > 0, existe, por hipótese,. Gε ⊂ I nito e não-vazio tal que.

(52)

(53)

(54) X

(55) ε

(56)

(57) ai

(58) < ,

(59)

(60) 2

(61) i∈G. (1.1). para todo G ⊂ I nito e não-vazio com G ∩ Gε = ∅. Se Gε ∩ supp(a) 6= ∅, sejam δ =. min{|ai | : i ∈ Gε ∩ supp(a)} > 0 e N1 ≥ 1 tal que. 1 N1. < δ ; caso contrário, tomemos N1 = 1.. Então temos que. (Gε ∩ supp(a)) ⊂ IN1 ⊂ In , ∀n ≥ N1 e, portanto,. Gε ∩ (Im \ In ) = ∅, ∀m ≥ n ≥ N1 . Logo, |sm − sn | = 0, se In = Im , ou.

(62)

(63)

(64)

(65)

(66) X

(67) ε |sm − sn | =

(68)

(69) ai

(70)

(71) < ,

(72) i∈Im \In

(73) 2 se In 6= Im (por (1.1)), para todos m ≥ n ≥ N1 . Isto prova que (sn )n≥1 é de Cauchy e, portanto, converge para algum S(a) ∈ R. Mostremos que S(a) satisfaz as condições do enunciado. Pela construção de S(a), existe. N2 ≥ N1 tal que ε |S(a) − sn | < , ∀n ≥ N2 . 2 Sejam F ⊂ I um subconjunto nito de I que contém propriamente o conjunto IN2 e F 0 =. F \ IN2 . Como (Gε ∩ supp(a)) ⊂ IN1 ⊂ IN2 , temos (F 0 ∩ supp(a)) ∩ Gε = ∅.

(74) P

(75)

(76)

(77) Logo,

(78) j∈F 0 aj

(79) = 0, se F 0 ∩ supp(a) = ∅, ou

(80)

(81)

(82)

(83) X

(84)

(85)

(86)

(87)

(88) aj

(89) =

(90)

(91)

(92) 0

(93)

(94)

(95) j∈F.

(96)

(97)

(98) ε aj

(99)

(100) < ,

(101) 2 j∈F 0 ∩supp(a) X.

(102) 6. 1.2. PRELIMINARES. se F 0 ∩ supp(a) 6= ∅ (por (1.1)). Portanto,.

(103)

(104)

(105)

(106)

(107)

(108)

(109)

(110)

(111)

(112)

(113) X

(114) X X

(115)

(116)

(117)

(118)

(119)

(120) aj

(121) < ε. aj

(122) =

(123) S(a) − sN2 − aj

(124) ≤ |S(a) − sN2 | +

(125)

(126) S(a) −

(127)

(128)

(129)

(130)

(131)

(132) 0 0 j∈F. j∈F. j∈F. Assim, basta tomarmos Fε = IN2 , se IN2 6= ∅, ou escolher qualquer subconjunto nito e não-vazio de I como sendo Fε , se IN2 = ∅. Por m, mostremos a unicidade de S(a). Seja S ∈ R tal que, dado δ > 0, existe Hδ ⊂ I nito e não-vazio tal que.

(133)

(134)

(135)

(136) X

(137)

(138) ai

(139) < δ,

(140) S −

(141)

(142) i∈H. para todo H ⊂ I nito e não-vazio com Hδ ⊂ H . Pelo que zemos, existe Hδ0 ⊂ I nito e não-vazio tal que.

(143)

(144)

(145)

(146) X

(147)

(148) ai

(149) < δ,

(150) S(a) −

(151)

(152) i∈H. para todo H ⊂ I nito e não-vazio com Hδ0 ⊂ H . Tomando H 00 = Hδ ∪ Hδ0 , obtemos.

(153)

(154)

(155)

(156)

(157) X

(158)

(159) X

(160)

(161)

(162)

(163)

(164) ai

(165) < 2δ. ai

(166) +

(167) S(a) − |S(a) − S| ≤

(168) S −

(169)

(170)

(171)

(172) 00 00 i∈H. i∈H. Como δ > 0 foi escolhido arbitrariamente, temos S(a) = S .. . Proposição 1.11. Sejam I um conjunto não-vazio e a = (ai )i∈I uma família de números reais positivos. Então a é absolutamente somável se, e somente se, a satisfaz a condição de Cauchy. Neste caso, temos X. ai = S(a),. i∈I. onde S(a) é o número real dado pela Proposição 1.10. Demonstração. Seja S =. P. i∈I. ai = sup. P. i∈F. ai : ∅ 6= F ⊂ I nito . Suponhamos primei-. ramente que S < ∞. Dado ε > 0, pela denição de supremo existe Fε ⊂ I nito e não-vazio tal que. S<. X i∈Fε. ai + ε..

(173) 1.2. SOMAS ARBITRÁRIAS DE NÚMEROS REAIS. 7. Portanto, se F ⊂ I é nito e não-vazio e satisfaz F ∩ Fε = ∅, então. X. X. aj =. ak −. k∈F ∪Fε. j∈F. X. ai ≤ S −. i∈Fε. X. ai < ε.. i∈Fε. Isto prova que a satisfaz a condição de Cauchy. Reciprocamente, suponhamos que a satisfaça a condição de Cauchy. Em particular, existe. G1 ⊂ I nito e não-vazio tal que X. aj < 1,. j∈G. para todo G ⊂ I nito e não-vazio tal que G ∩ G1 6= ∅. Dado H ⊂ I nito e não-vazio, temos. H ⊂ G1 =⇒. X. aj ≤. j∈H. H 6⊂ G1 =⇒. X. X. ai ,. i∈G1. aj ≤. j∈H. X. ak +. X. ai < 1 +. i∈G1. k∈H\G1. X. ai .. i∈G1. Concluímos, portanto, que. S ≤1+. X. ai < ∞.. i∈G1. Isto prova que a é absolutamente somável. P Por m, mostremos que S(a) = i∈I ai . Dado δ > 0, existe Jδ ⊂ I nito e não-vazio tal que.

(174)

(175)

(176)

(177) X

(178)

(179) ai

(180) < δ Jδ ⊂ J ⊂ I nito =⇒

(181) S(a) −

(182)

(183) i∈J X X =⇒ ai − δ < S(a) < ai + δ. i∈J. i∈J. Em particular, temos. S(a) <. X. ai + δ ≤ S + δ.. i∈Jδ. Por outro lado, dado F ⊂ I nito e não-vazio, temos. X i∈F. ai ≤. X j∈F ∪Jδ. aj < S(a) + δ..

(184) 8. 1.2. PRELIMINARES. Logo,. S ≤ S(a) + δ. Como δ > 0 foi escolhido arbitrariamente, concluímos S(a) = S .. . A Proposição 1.10 motiva a denição a seguir.. Denição 1.12.. Sejam I um conjunto não-vazio e a = (ai )i∈I uma família de números reais P que satisfaz a condição de Cauchy. Denimos i∈I ai como sendo o único número real S(a) dado pela Proposição 1.10. Pela Proposição 1.11, as Denições 1.6 e 1.12 coincidem para famílias absolutamente somáveis de números reais positivos. Os resultados simples a seguir apresentam as principais propriedades desta noção de soma que usaremos no decorrer do trabalho.. Corolário 1.13. Sejam I um conjunto não-vazio e a = (ai )i∈I uma família de números reais. Então a é absolutamente somável se, e somente se, a satisfaz a condição de Cauchy. Neste caso, temos.

(185)

(186)

(187) X

(188) X

(189)

(190) ai

(191) ≤ |ai |.

(192)

(193)

(194) i∈I. i∈I. Demonstração. Fixemos ε > 0. Suponhamos primeiramente que a seja absolutamente somável. Pela Proposição 1.11, (|ai |)i∈I satisfaz a condição de Cauchy. Portanto, existe Fε ⊂ I nito tal que.

(195)

(196)

(197) X

(198) X

(199)

(200) ai

(201) ≤ |ai | < ε,

(202)

(203)

(204) i∈F. i∈F. para todo F ⊂ I nito e não-vazio satisfazendo F ∩ Fε = ∅. Isto prova que a satisfaz a condição de Cauchy. Reciprocamente, suponhamos que a satisfaça a condição de Cauchy. Seja Gε ⊂ I nito e não-vazio tal que.

(205)

(206)

(207) X

(208) ε

(209)

(210) ai

(211) < ,

(212)

(213)

(214) 2 i∈G. para todo G ⊂ I nito e não-vazio satisfazendo G ∩ Gε = ∅. Fixado G ⊂ I nito e não-vazio com G ∩ Gε = ∅, consideremos G+ = {i ∈ G : ai ≥ 0} e G− = {i ∈ G : ai < 0}. Temos três casos a considerar:.

(215) 1.2. SOMAS ARBITRÁRIAS DE NÚMEROS REAIS. 9. 1º caso: G− = ∅. Neste caso, temos.

(216)

(217)

(218) X

(219) ε

(220)

(221) ai

(222) < . |ai | = ai =

(223)

(224) 2

(225) i∈G i∈G i∈G. X. X. 2º caso: G+ = ∅. Temos.

(226)

(227)

(228) X

(229) ε

(230)

(231) ai

(232) < . |ai | = − ai =

(233)

(234) 2

(235) i∈G i∈G i∈G. X. X. 3º caso: G+ e G− são ambos não-vazios. Neste caso, temos. X. |ai | =. X. ai −. i∈G+. i∈G.

(236)

(237)

(238)

(239)

(240) X

(241)

(242) X

(243)

(244)

(245)

(246)

(247) ai =

(248) ai

(249) +

(250) ai

(251) < ε.

(252) +

(253)

(254) −

(255) −. X i∈G. i∈G. i∈G. Provamos, portanto, que (|ai |)i∈I satisfaz a condição de Cauchy; logo, pela Proposição 1.11,. a é absolutamente somável.

(256) P

(257) P Mostremos agora que

(258) i∈I ai

(259) ≤ i∈I |ai |. Por denição, existe Hε ⊂ I nito e não-vazio tal que.

(260)

(261)

(262) X X

(263)

(264)

(265) ai − aj

(266) < ε.

(267)

(268)

(269) i∈I. Logo,. j∈Hε.

(270)

(271)

(272)

(273)

(274)

(275)

(276)

(277) X

(278)

(279) X

(280)

(281) X X X X

(282)

(283)

(284)

(285)

(286)

(287) |ai |. |aj | ≤ ε + aj

(288) < ε + aj

(289) +

(290) ai

(291) ≤

(292) ai −

(293)

(294)

(295)

(296)

(297)

(298)

(299) i∈I. i∈I. j∈Hε. j∈Hε. j∈Hε. Como ε > 0 foi escolhido arbitrariamente, temos o resultado.. i∈I. . Proposição 1.14. Sejam I um conjunto não-vazio, (ai )i∈I , (bi )i∈I famílias de números reais que satisfazem a condição de Cauchy e t ∈ R. Então (ai + tbi )i∈I satisfaz a condição de Cauchy e X X X (ai + tbi ) = ai + t bi . i∈I. i∈I. i∈I. Demonstração. O resultado é imediato se t = 0; suponhamos, portanto, t 6= 0. Fixado ε > 0,.

(300) 10. 1.2. PRELIMINARES. existem, por hipótese, F1 , F2 ⊂ I nitos e não-vazios tais que.

(301)

(302)

(303) X

(304) ε

(305)

(306) ai

(307) < , F ⊂ I nito com F ∩ F1 = ∅ =⇒

(308)

(309) 2

(310)

(311) i∈F

(312)

(313) X

(314) ε

(315)

(316) bi

(317) < F ⊂ I nito com F ∩ F2 = ∅ =⇒

(318) .

(319) 2|t|

(320) i∈F. Portanto, dado F ⊂ I nito e não-vazio com F ∩ (F1 ∪ F2 ) = ∅, temos.

(321)

(322)

(323)

(324)

(325)

(326)

(327) X

(328)

(329)

(330) X

(331)

(332) X

(333)

(334)

(335)

(336)

(337)

(338) bi

(339) < ε. ai

(340) + |t|

(341)

(342) (ai + tbi )

(343) ≤

(344)

(345)

(346)

(347)

(348)

(349)

(350) i∈F. i∈F. i∈F. Isto prova que (ai + tbi )i∈I satisfaz a condição de Cauchy. P P Vamos escrever S1 = i∈I ai e S2 = i∈I bi . Por denição, existem G1 , G2 ⊂ I nitos e não-vazios tais que.

(351)

(352)

(353) X

(354)

(355) ε

(356) G1 ⊂ G ⊂ I nito =⇒

(357) S1 − aj

(358) < ,

(359)

(360) 2 j∈G

(361)

(362)

(363) X

(364)

(365) ε

(366) bj

(367) < G2 ⊂ G ⊂ I nito =⇒

(368) S2 − .

(369)

(370) 2|t| j∈G. Tomando Gε = G1 ∪ G2 , temos.

(371)

(372)

(373)

(374)

(375)

(376)

(377)

(378) X

(379)

(380) X

(381)

(382) X

(383)

(384)

(385)

(386)

(387)

(388) aj − S1

(389) + |t|

(390) bj − S2

(391) < ε,

(392) (aj + tbj ) − (S1 + tS2 )

(393) ≤

(394)

(395)

(396)

(397)

(398)

(399)

(400) j∈G. j∈G. j∈G. para todo G ⊂ I nito tal que Gε ⊂ G. Portanto, pela unicidade de. P. igualdade desejada.. i∈I (ai. + tbi ), temos a . Proposição 1.15. Sejam I um conjunto não-vazio e (ai )i∈I uma família de números reais que satisfaz a condição de Cauchy. Então temos: (i) Se J ⊂ I é um subconjunto não-vazio de I , então (aj )j∈J satisfaz a condição de Cauchy; (ii) Se J1 , J2 ⊂ I são subconjuntos disjuntos e não-vazios de I , então X i∈I. ai =. X j∈J1. aj +. X k∈J2. ak ..

(401) 1.2. SOMAS ARBITRÁRIAS DE NÚMEROS REAIS. 11. Demonstração. (i) Dado ε > 0, existe Fε ⊂ I nito e não-vazio tal que

(402)

(403)

(404) X

(405)

(406)

(407) ai

(408) < ε,

(409)

(410)

(411) i∈F. para todo F ⊂ I nito e não-vazio com F ∩ Fε = ∅. Seja Gε ⊂ J um subconjunto nito e não-vazio de J que contém Fε ∩ J . Então.

(412)

(413)

(414) X

(415)

(416)

(417) aj

(418) < ε,

(419)

(420)

(421) j∈G. para todo G ⊂ J nito e não vazio tal que G ∩ Gε = ∅. Isto prova que (aj )j∈J satisfaz a condição de Cauchy. P P P (ii) Sejam S = i∈I ai , S1 = j∈J1 aj e S2 = k∈J2 ak e mostremos que S = S1 + S2 . Dado δ > 0, existem Hδ1 ⊂ J1 e Hδ2 ⊂ J2 nitos e não-vazios tais que.

(422)

(423)

(424) X

(425)

(426) δ

(427) Hδ1 ⊂ H ⊂ J1 nito =⇒

(428) S1 − aj

(429) < ,

(430)

(431) 2 j∈H

(432)

(433)

(434) δ

(435) X

(436)

(437) 2 ak

(438) < . Hδ ⊂ H ⊂ J2 nito =⇒

(439) S2 −

(440) 2

(441) k∈H. Tomando Hδ = Hδ1 ∪ Hδ2 , temos.

(442)

(443)

(444)

(445)

(446)

(447)

(448)

(449)

(450)

(451)

(452)

(453) X X X

(454)

(455)

(456)

(457)

(458)

(459) ai

(460) ≤

(461) S1 − aj

(462) +

(463) S 2 − ak

(464) < δ,

(465) (S1 + S2 ) −

(466)

(467)

(468)

(469)

(470)

(471) i∈H. j∈H∩J1. k∈H∩J2. para todo H ⊂ I nito com Hδ ⊂ H . Portanto, pela unicidade de S , obtemos a igualdade desejada.. . Proposição 1.16. Sejam I um conjunto não-vazio e a = (ai )i∈I uma família de números reais que satisfaz a condição de Cauchy. Dados J ⊂ I um conjunto innito enumerável com supp(a) ⊂ J. e σ : N → J uma bijeção, temos que a série X j∈J. Demonstração. Sejam S =. P. i∈I. aj =. ∞ X n=1. aσ(n) =. X. P∞. n=1. aσ(n) é convergente e. ai .. i∈I. e σ : N → J uma bijeção e mostremos que a sequên-.

(472) 12. 1.3. PRELIMINARES. Pm. cia das somas parciais. n=1. aσ(n). converge para S . Para cada m ≥ 1, seja Jm =. m≥1. {σ(1), . . . , σ(m)}. Dado ε > 0, existe Gε ⊂ I nito e não-vazio tal que

(473)

(474)

(475)

(476) X

(477)

(478) ai

(479) < ε,

(480) S −

(481)

(482) i∈G. para todo G ⊂ I nito com Gε ⊂ G. Seja G0ε = Gε \ J e seja M ≥ 1 tal que (Gε ∩ J) ⊂ JM . Dado m ≥ M , como G0ε ∩ supp(a) = ∅, obtemos m X.

(483)

(484)

(485)

(486) m

(487)

(488)

(489) X

(490)

(491) aσ(n)

(492) =

(493)

(494) S −

(495) S −

(496)

(497)

(498) n=1. Isto prova que. aj. j∈Jm ∪G0ε. n=1. e, portanto,. X. aσ(n) =. ∞ X. aσ(n) =. n=1.

(499)

(500)

(501) aj

(502)

(503) < ε.

(504) j∈Jm ∪G0ε X. X. ai .. i∈I. Em particular, pelo que provamos,. X. aj =. ∞ X n=1. j∈J. aσ(n) =. X. ai ,. i∈I. pois supp(a) = supp((aj )j∈J ). Isto completa a demonstração.. 1.3. . Desigualdades de Young, Hölder e Minkowski. O objetivo desta seção é provar as Desigualdades de Hölder e de Minkowski (Teoremas 1.19 e 1.20, respectivamente), que desempenharão um papel fundamental na próxima seção. Começamos recordando a denição a seguir.. Denição 1.17.. Dado p ∈ (1, ∞), o. (1, ∞) satisfazendo. 1 p. +. 1 q. expoente conjugado de p é o único número real q ∈. = 1.. Proposição 1.18 (Desigualdade de Young [19], Lema 1.11). Dados p ∈ (1, ∞) e q ∈ (1, ∞) seu expoente conjugado, temos ab ≤. ap p. +. bq q. , para todos a, b ≥ 0..

(505) 1.3. DESIGUALDADES DE YOUNG, HÖLDER E MINKOWSKI. 13. Demonstração. O resultado é imediato se b = 0; suponhamos, portanto, b > 0. Consideremos a função ϕb : [0, ∞) → R dada por. ap b q + − ab, ∀a ≥ 0. p q. ϕb (a) = ϕb é derivável em (0, ∞) e. p. ϕ0b (a) = ap−1 − b = a q − b, ∀a > 0. q. q. Logo, ϕb é decrescente no intervalo (0, b p ] e crescente no intervalo [b p , ∞). Portanto, o valor mínimo de ϕb no intervalo (0, ∞) é q. q (b p )p bq ϕb (b ) = + − b1+ p = bq p q q p. . 1 1 + − 1 = 0. p q bq q. Isto prova que ϕb (a) ≥ 0 para todo a > 0. Como ϕb (0) =. > 0, temos o resultado.. . Teorema 1.19 (Desigualdade de Hölder [19], Teorema 1.10). Dados p ∈ (1, ∞), q ∈ (1, ∞) seu expoente conjugado, I um conjunto não-vazio e (ai )i∈I , (bi )i∈I famílias de números reais, temos. ! p1 X. X. |ai bi | ≤. i∈I. |ai |p. i∈I. ! 1q ·. X. |bi |q. .. i∈I. Demonstração. Podemos supor ai , bi ≥ 0 para todo i ∈ I . Suponhamos primeiramente que I seja nito. O resultado é imediato se todos os ai ou P P todos os bi são zero; podemos supor, portanto, que i∈I ai > 0 e i∈I bi > 0. Para cada. i ∈ I , denimos !− p1 A i = ai. X. !− 1q. ajp. e. Bi = bi. j∈I. É imediato vericar que. P. i∈I. Aip =. X. bjq. .. j∈I. P. i∈I. Biq = 1. Além disso, pela Desigualdade de Young,. para cada i ∈ I temos. Ai Bi ≤. Aip Biq + . p q.

(506) 14. 1.3. PRELIMINARES. Concluímos, portanto, que. X. Ai Bi ≤. i∈I. 1X p 1X q 1 1 A + B = + = 1, p i∈I i q i∈I i p q. isto é,. ! p1 X. ai b i ≤. X. i∈I. ! 1q. aip. X. ·. i∈I. biq. ,. i∈I. como queríamos. Suponhamos agora que I seja innito. Dado F ⊂ I nito e não-vazio, temos, pelo caso anterior, que. ! p1 X. ai b i ≤. i∈F. X. aip. ! 1q ·. i∈F. X. biq. ! p1 X. ≤. i∈F. aip. ! 1q ·. i∈I. X. biq. .. i∈I. Pela denição de supremo, obtemos. ! p1 X. X. ai b i ≤. i∈I. aip. ! 1q ·. X. i∈I. biq. i∈I. e a demonstração está completa.. Teorema 1.20. . (Desigualdade de Minkowski [19], Teorema 1.12).. Dados p ∈ [1, ∞), I um. conjunto não-vazio e (ai )i∈I , (bi )i∈I famílias de números reais, temos ! p1 X i∈I. |ai + bi |p. ! p1 ≤. X i∈I. |ai |p. ! p1 +. X. |bi |p. .. i∈I. Demonstração. Suponhamos primeiramente que I seja nito. Notemos que o resultado é imediato se p = 1; podemos supor, portanto, p > 1 e tomar q > 1 seu expoente conjugado. P Seja S = i∈I |ai + bi |p . Se S = 0, nada temos que fazer. Caso contrário, pela Desigualdade.

(507) 1.4. ESPAÇOS. 15. `p (I, X), p ∈ [1, ∞]. de Hölder temos. S=. X. |ai + bi |p−1 |ai + bi | ≤. i∈I. X. |ai + bi |p−1 |ai | +. i∈I. X. ! p1 X. |ai + bi |(p−1)q. i∈I. +. i∈I. |ai |p. X. +. i∈I. ! p1 X. |ai + bi |p. i∈I. |bi |p. i∈I. ! p1 1. |ai |p. |bi |p. i∈I. ! 1q. ! p1 X. ! p1 X. |ai + bi |(p−1)q. ! p1 X. |ai + bi |p. i∈I 1. X. i∈I. X. = Sq. ! 1q. |ai |p. ! 1q =. |ai + bi |p−1 |bi |. i∈I. ! 1q ≤. X. X. + Sq. i∈I. |bi |p. ,. i∈I. 1. pois (p − 1)q = p. Dividindo por S q > 0, obtemos. ! p1 X. |ai + bi |p. ! p1 1 p. =S =S. 1− 1q. ≤. X. |ai |p. ! p1 +. i∈I. i∈I. X. |bi |p. ,. i∈I. como queríamos. Suponhamos agora que I seja innito. Dado F ⊂ I nito e não-vazio, temos, pelo caso anterior, que. ! p1. ! p1 X. |ai + bi |p. ≤. i∈F. X. |ai |p. ! p1 +. i∈F. X. |bi |p. ! p1 ≤. i∈F. X. |ai |p. ! p1 +. i∈I. X. |bi |p. .. i∈I. Pela denição de supremo, concluímos. ! p1 X. |ai + bi |p. i∈I. ! p1 ≤. X. |ai |p. i∈I. ! p1 +. X. |bi |p. i∈I. e a demonstração está completa.. 1.4. Espaços. . `p(I, X), p ∈ [1, ∞]. Nesta seção vamos introduzir os espaços de Banach `p (I, X), p ∈ [1, ∞], e apresentar algumas de suas propriedades. Como bibliograa básica para esta seção, indicamos [19].. Denição 1.21.. Sejam I um conjunto não-vazio, X um espaço de Banach e p ∈ [1, ∞)..

(508) 16. 1.4. PRELIMINARES. Denimos. ( `p (I, X) =. ). (xi )i∈I : xi ∈ X, ∀i ∈ I,. X. kxi kp < ∞ .. i∈I. Escreveremos `p (I, R) = `p (I) e `p (N) = `p . Pela Desigualdade de Minkowski, `p (I, X) é um espaço vetorial (munido da soma e multiplicação por escalar coordenada a coordenada) e a função k · kp : `p (I, X) → [0, ∞) dada por. ! p1 kxkp =. X. kxi kp. , ∀x = (xi )i∈I ∈ `p (I, X),. i∈I. é uma norma em `p (I, X).. Teorema 1.22. Dados I um conjunto não-vazio, X um espaço de Banach e p ∈ [1, ∞), temos que `p (I, X) é um espaço de Banach. Demonstração. Seja (xn )n≥1 = ((xni )i∈I )n≥1 uma sequência de Cauchy em `p (I, X). Dado j ∈ I , como ! p1 n kxm j − xj k ≤. X. n p kxm i − xi k. = kxm − xn kp , ∀m, n ≥ 1,. i∈I. temos que a sequência (xnj )n≥1 é de Cauchy em X e, portanto, converge para algum yj ∈ X . Mostremos que y = (yj )j∈I ∈ `p (I, X). Como (xn )n≥1 é de Cauchy, existe M > 0 tal que. kxn kp ≤ M, ∀n ≥ 1. Logo, dado F ⊂ I nito e não-vazio, temos. ! p1 X. kxni kp. ≤ M, ∀n ≥ 1.. i∈F. Fazendo n → ∞, obtemos. ! p1 X i∈F. kyi kp. ≤ M..

(509) 1.4. ESPAÇOS. `p (I, X), p ∈ [1, ∞]. 17. Como F foi escolhido arbitrariamente, concluímos. ! p1 X. kyi kp. ≤ M,. i∈I. isto é, y ∈ `p (I, X). Mostremos agora que xn → y . Dado ε > 0, existe N ≥ 1 tal que. ! p1 X. n p kxm i − xi k. i∈I. ε = kxm − xn kp < , ∀m, n ≥ N. 2. Em particular, dado G ⊂ I nito e não-vazio, temos. ! p1 X. n p kxm i − xi k. i∈G. ε < , ∀m, n ≥ N. 2. Fazendo m → ∞, obtemos. ! p1 X. kyi − xni kp. i∈G. ε ≤ , ∀n ≥ N. 2. Como G foi escolhido arbitrariamente, concluímos. ! p1 ky − xn kp =. X. kyi − xni kp. ≤. i∈I. ε < ε, ∀n ≥ N. 2. Isto prova que xn → y , o que conclui a demonstração.. Denição 1.23.. . Sejam I um conjunto não-vazio e X um espaço de Banach. Denimos. `∞ (I, X) =. (xi )i∈I. : xi ∈ X, ∀i ∈ I, sup kxi k < ∞ . i∈I. Escreveremos `∞ (I, R) = `∞ (I) e `∞ (N) = `∞ . É imediato vericar que `∞ (I, X) é um espaço vetorial e que a função k·k∞ : `∞ (I, X) →. [0, ∞) dada por kxk∞ = sup kxi k, ∀x = (xi )i∈I ∈ `∞ (I, X), i∈I.

(510) 18. 1.4. PRELIMINARES. é uma norma em `∞ (I, X).. Teorema 1.24. Dados I um conjunto não-vazio e X um espaço de Banach, temos que `∞ (I, X) é um espaço de Banach.. Demonstração. Seja (xn )n≥1 = ((xni )i∈I )n≥1 uma sequência de Cauchy em `∞ (I, X). Dado j ∈ I , como n m n kxm j − xj k ≤ sup kxi − xi k = kxm − xn k∞ , ∀m, n ≥ 1, i∈I. temos que a sequência (xnj )n≥1 é de Cauchy em X e, portanto, converge para algum yj ∈ X . Mostremos que y = (yj )j∈I ∈ `∞ (I, X). Como (xn )n≥1 é de Cauchy, existe M > 0 tal que. kxn k∞ ≤ M, ∀n ≥ 1. Logo, dado i ∈ I temos. kxni k ≤ M, ∀n ≥ 1. Fazendo n → ∞, obtemos kyi k ≤ M . Portanto, supi∈I kyi k ≤ M , isto é, y ∈ `∞ (I, X). Mostremos agora que xn → y . Dado ε > 0, existe N ≥ 1 tal que. ε n sup kxm i − xi k = kxm − xn kp < , ∀m, n ≥ N. 2 i∈I Logo, dado i ∈ I temos. ε n kxm i − xi k < , ∀m, n ≥ N. 2 Fazendo m → ∞, obtemos. ε kyi − xni k ≤ , ∀n ≥ N. 2 Portanto,. ky − xn k∞ = sup kyi − xni k ≤ i∈I. ε < ε, ∀n ≥ N. 2. Isto prova que xn → y , o que conclui a demonstração.. . Os dois resultados a seguir fornecem descrições simples dos espaços duais de `p (I, X) para p ∈ [1, ∞)..

(511) 1.4. ESPAÇOS. `p (I, X), p ∈ [1, ∞]. 19. Teorema 1.25. Sejam I um conjunto não-vazio e X um espaço de Banach. A função T : `∞ (I, X ∗ ) → `1 (I, X)∗ dada por. T (ϕ)(x) =. X. ϕi (xi ),. i∈I. para todos ϕ = (ϕi )i∈I ∈ `∞ (I, X ∗ ) e x = (xi )i∈I ∈ `1 (I, X), está bem denida e é uma isometria linear sobrejetora. Demonstração. Dados ϕ = (ϕi )i∈I ∈ `∞ (I, X ∗ ) e x = (xi )i∈I ∈ `1 (I, X), temos X. |ϕi (xi )| ≤. i∈I. X. kϕi kkxi k ≤ kϕk∞. i∈I. X. kxi k = kϕk∞ kxk1 < ∞.. i∈I. Isto prova que (ϕi (xi ))i∈I é absolutamente somável e, portanto, T está bem denida. A linearidade de T é consequência imediata da Proposição 1.14. Além disso, pelo Corolário 1.13, temos.

(512)

(513)

(514) X

(515) X

(516)

(517) |T (ϕ)(x)| =

(518) ϕi (xi )

(519) ≤ |ϕi (xi )| ≤ kϕk∞ kxk1 .

(520)

(521) i∈I. i∈I. Portanto, T é contínua e. kT (ϕ)k ≤ kϕk∞ , ∀ϕ ∈ `∞ (I, X ∗ ). Por outro lado, xados ϕ = (ϕi )i∈I ∈ `∞ (I, X ∗ ) e ε > 0, para cada i ∈ I existe yi ∈ BX tal que. kϕi k < |ϕi (yi )| + ε. Denindo zi = (δij yi )j∈I ∈ B`1 (I,X) , temos.

(522)

(523)

(524) X

(525)

(526)

(527) kT (ϕ)k ≥ |T (ϕ)(zi )| =

(528) ϕj (δij yi )

(529) = |ϕi (yi )| > kϕi k − ε, ∀i ∈ I

(530)

(531) j∈I. e, portanto,. kT (ϕ)k ≥ sup kϕi k − ε = kϕk∞ − ε. i∈I.

(532) 20. 1.4. PRELIMINARES. Como ε > 0 foi escolhido arbitrariamente, concluímos. kT (ϕ)k ≥ kϕk∞ , ∀ϕ ∈ `∞ (I, X ∗ ). Isto prova que T é uma isometria. Por m, mostremos que T é sobrejetora. Fixemos ψ ∈ `1 (I, X)∗ e para cada i ∈ I consideremos a inclusão usual Si : X → `1 (I, X) dada por. Si (w) = (δij w)j∈I , ∀w ∈ X. É imediato vericar que Si está bem denida e é uma isometria linear sobre sua imagem. Denindo ψi = ψ ◦ Si ∈ X ∗ , temos. kψi k = kψ ◦ Si k ≤ kψkkSi k = kψk < ∞, ∀i ∈ I, isto é, (ψi )i∈I ∈ `∞ (I, X ∗ ). Mostremos agora que T ((ψi )i∈I ) = ψ . Fixados x = (xi )i∈I ∈ `1 (I, X) e δ > 0, existe. Fδ ⊂ I nito e não-vazio tal que X. kxi k =. X. kxi k −. i∈I. i∈I\Fδ. X. kxj k <. j∈Fδ. δ . kψk + 1. Logo,.

(533)

(534)

(535). !

(536)

(537)

(538)