EQUILÍBRIO DO PONTO MATERIAL
01. Calcule a resultante das forças representadas nos esquemasdados. a)
b)
c)
02. Determine as componentes horizontal (eixo x) e vertical (eixo y) das forças representadas nas figuras:
a) b)
Estática
1
f = 2 N T = 5 N F = 8 N N = 3 N F = 4 N poste T = 90 kgf T = 90 kgf 60º 60º fio fio F = 40 N 30º 30º T = 10 kgf 30 kgf P R 30 kgf 60º03. (VUNESP) Uma paciente é submetida a uma tração conforme a figura, onde as roldanas P e R e o ponto de apoio Q no queixo estão no mesmo plano horizontal. Nessas condições, pode-se afirmar que a intensidade da força resultante, aplicada no queixo da paciente, vale aproximadamente, em kfg: a) 12 b) 22 c) 32 d) 42 e) 52 Resolução: a) R = F + T – f = 8 + 5 – 2 ⇒ R = 11 N b) R2 = F2 + N2 = 42 + 32 = 16 + 9 = 25 R2 = 25 ⇒ R = 25 ⇒ R = 5 N
c) R2 = T2 + T2 + 2 . T . T . cos 60º (Lei dos cossenos) R2 = 902 + 902 + 2 . 90 . 90 . 0,5 R2 = 3 . 902⇒ R =90 3⇒ R = 155,9 kgf Resolução: a) cos 30º = Fx F ⇒ Fx = F . cos 30º Fx = 40 . 3 2 ⇒ Fx = 34,64 N sen 30º = Fy F ⇒ Fy = F . sen 30º = 40 . 1/2 ⇒ Fy = 20 N b) sen 30º = Tx T ⇒ Tx = T . sen 30º Tx = 10 . 0,5 ⇒ Tx = 5 kgf cos 30º = Ty T ⇒ Ty = T . cos 30º = 10 . 3 2 ⇒ Ty = 8,66 kgf Fx 30º F = 40 N Fy Ty Tx 30º T = 10 kgf Resolução:
R2 = 302 + 302 + 2 . 30 . 30 . cos 60º (Lei dos cossenos) R2 = 302 + 302 + 2 . 30 . 30 . 0,5 = 3 . 302⇒ ⇒ R = 30 3⇒ R = 51,96 kgf Alternativa E R P Q 60º 30 kgf 30 kgf
04. (PUC-RS) Uma caixa C, em repouso, é suspensa por uma corda na qual pessoas aplicam as forças FA, de 40 N, e FB, de 30 N, conforme a ilustração abaixo. Desprezando qualquer forma de atrito
nas roldanas e a massa da corda, pode-se concluir que o peso da caixa é: a) 10 N
b) 30 N c) 40 N d) 50 N e) 70 N
05. (FUVEST) Um corpo C de massa igual a 3 kg está em equilíbrio estático sobre um plano inclinado, suspenso por um fio de massa desprezível preso a uma mola fixa ao solo, como mostra a figura. O comprimento natural da mola (sem carga) é L0 = 1,2 m e ao sustentar estaticamente o corpo ela se distende, atingindo o comprimento L = 1,5 m. Os possíveis atritos podem ser desprezados. A constante elástica da mola, em N/m, vale então:
a) 10 b) 30 c) 50 d) 90 e) 100
06. (FUVEST) Um bloco de peso P é suspenso por dois fios de massa desprezível, presos a paredes em A e B, como mostra a figura. Pode-se afirmar que o módulo da força que tensiona o fio preso em B, vale:
a) P/2 b) P 2 c) P d) 2 P e) 2 P
07. (ITA) A barra AB é uniforme, pesa 50 N e tem 10 m de comprimento. O bloco D pesa 30 N e dista 8,0 m de A. A distância entre os pontos de apoio da barra é AC = 7,0 m. Calcular a reação na extremidade A.
a) R = 14 N d) R = 10 N b) R = 7,0 N e) R = 8,0 N c) R = 20 N C FA FB 90º L0 30º C → g L B L L A P 2 L A D B C 30º 30º P PT N Resolução: P = m . g = 3 . 10 = 30 N sen 30º = PT P ⇒ PT = P . sen 30º ⇒ PT = 30 . 0,5 ⇒ PT = 15 N Fel = PT⇒ k . (L – L0) = 15 ⇒ k = 15 15 1,5 1, 2− =0,3⇒ k = 50 N/m Alternativa C Resolução: → P = →FA + →FB P2 = 402 + 302 = 1600 + 900 = 2500 P = 2500⇒ P = 50 N Alternativa D P 30 N 40 N Resolução: TBy = P TB . sen 45º = P ⇒ P P 2P sen 45º= 2 2= 2 TB= 2P . 2 2P . 2 2 2 . 2= ⇒TB = P . 2 Alternativa D Resolução: M
∑
= 0 Em relação ao ponto C: RA . 7 + 30 . 1 = 50 . 2 ⇒ 7RA = 100 – 30 ⇒ RA = 70 7 ⇒⇒⇒⇒⇒ RA 10 N Alternativa D P L L 45º TBy TB 1m RA 5m 2m 2m RC 50N 30N A D B C08. Duas forças 3 N e 4 N atuam sobre um ponto material. A resultante é certamente:
a) 5 N b) 7 N c) 1 N
d) maior ou igual a 1 N e menor ou igual a 7 N e) maior que 4 N e menor que 7 N
09. Determine a resultante dos sistemas de forças das figuras: a)
b)
10. (UE-CE) Duas forças concorrentes, ortogonais, de módulos 6 N e 8 N, respectivamente, admitem resultante de intensidade:
a) 14 N b) 10 N c) 7 N d) 2 N
11. (PUC-RS) Conforme os dados da figura, a compressão na barra AB e a tração no fio ideal BC têm, respectivamente, valores iguais a: a) 400 3 e 800 N b) 200 N e 800 3 N c) 400 N e 400 3 N d) 400 N e 200 N e) 200 3 N e 400 N F1 F2 F3 10 N 10 N
l l
F2x = 7 N F1y = 2 N F1x = 3 N F2y = 5 N A C B 400 N 30º Resolução: Rmáx = 3 + 4 = 7 N (mesmo sentido) Rmín = 4 – 3 = 1 N (sentidos contrários) ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ 1 N ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ R ≤≤≤≤≤ 7 N Alternativa D Resolução: a) Rx = 7 – 3 = 4 N (para a esquerda) Ry = 5 – 2 = 3 N (para baixo) R2 = 32 + 42 = 9 + 16 = 25 R2 = 25 ⇒ R = 25 ⇒ R = 5 Nb) Decompondo →F1, temos que:
|
→F1x|
=|
→F2|
e|
F1y|
=|
→F3|
com sentidos opostos.∴ ∴ ∴ ∴ ∴ R = 0 4 N 3 N R Resolução: R2 = 62 + 82 = 36 + 64 = 100 ⇒ ⇒ R = 100 ⇒ R = 10 N Alternativa B Resolução: sen 30º = Ty T ⇒ Ty = T . sen 30º ⇒ Ty = 400 N T = 400 sen 30º= 400 0,5 ⇒ T = 800 N cos 30º = Tx T ⇒ Tx = T . cos 30º = 800 . 3 2 Tx = 400 3 N Alternativa A R 6 N 8 N T 30º Tx Ty B 400 N
12. (MACK) No sistema abaixo, o peso P está preso ao fio AB por uma argola. Despreze os atritos. Levando a extremidade A do fio ao encontro da extremidade B, a intensidade da tração do fio OA é sempre igual à do fio OB e varia com o ângulo θ conforme o gráfico dado. O peso P vale: a) 150 N b) 100 N c) 80 N d) 50 N e) 10 N
13. (MACK) No sistema abaixo, os fios, as polias e o dinamômetro D, preso ao solo, têm massas desprezíveis. A pessoa P aplica a força →F verticalmente para baixo e o dinamômetro acusa 80 N. A intensidade da força →F é:
a) 80 N b) 10 N c) 8,0 N d) 5,0 N e) 2,5 N
14. (UF-SC) É dado o sistema abaixo em equilíbrio. Sabendo-se que a tração na corda 1 é 300 N, a tração na corda 2 é: sen 37º = 0,60 = cos 53º sen 53º = 0,80 = cos 37º a) 500 kg b) 400 N c) 4 000 N d) 400 J e) 4 N → F D P 53º 37º 50 kg Q R θ θ A B P O T (N) 50 0 30º 90º θ 100 60º Resolução: Quando θ = 90º ⇒ ∴ P = 2 T = 2 . 50 P = 100 N Alternativa B T T P Resolução: F = F'n
2 (n = número de roldanas móveis)
F = 4 80 80 16 2 = ⇒ F = 5 N Alternativa D Resolução: T1y = T1 . sen 37º T2y = T2 . sen 53º T1 . sen 37º + T2 . sen 53º = 500 300 . 0,6 + T2 . 0,8 = 500 T2 . 0,8 = 500 – 180 ⇒ T2 . 0,8 = 320 ⇒ T2 = 400 N Alternativa B T1 T2y 37º T1y T2 53º 500 N
15. (UF-RS) Uma barra homogênea de peso P e comprimento 4,0 m é articulada no ponto O, conforme a figura. Para se manter a barra em equilíbrio, é necessário exercer uma força F = 80 N na extremidade livre. O peso da barra, em N, será: a) 20 b) 40 c) 60 d) 100 e) 160
16. (FGV) Um carrinho de pedreiro de peso total P = 800 N é mantido em equilíbrio na posição mostrada na figura abaixo. A força exercida pelo operador, em newtons, é de: a) 800 b) 533 c) 480 d) 320 e) 160
17. Observando a figura, vemos que os corpos A e B, que equilibram a barra de peso desprezível, são também utilizados para equilibrar a talha exponencial de polias e fios ideais. A relação entre as distâncias x e y, é:
a) x y = 1 3 b) xy = 14 c) x y = 1 8 d) x y = 1 12 e) x y = 1 16 O F = 80 N B x y A B A
18. Uma pirâmide reta, de altura H e base quadrada de lado L, com massa m uniformemente distribuída, está apoiada sobre um plano horizontal. Uma força →F com direção paralela ao lado AB é aplicada no vértice V. Dois pequenos obstáculos O, fixos no plano, impedem que a pirâmide se desloque horizontalmente. A força →F capaz de fazer tombar a pirâmide deve ser tal que:
a)
| |
F mgH L H → >FH IK
+ 2 2 2 b)| |
→F > mg c)| |
F mgH L → >FH IK
2 d)| |
F mg L H → >FH IK
2 e)| |
F mg L L H → >FH IK
FH IK
+ 2 2 2 2 B P A 40 cm 60 cm B A g O O V H → F Resolução: P . 2 = 80 . 4 ⇒ P = 320 2 ⇒ P = 160 N Alternativa E 0 2m 2m 80N P Resolução: 800 . 40 = F . 100 ⇒ F = 320 N Alternativa D 0 40 cm 60 cm 800N F Resolução: PB = A 3 P 2 ⇒ PA = 8PB ⇒ 8PB . x = PB . y ⇒ x=1 y 8 Alternativa C Resolução: F . H > P . L/2 ⇒ F > mg L 2( )
HObs: a reta definida por →F , na situação inicial, dista H da reta definida pelos obstáculos.
19. (FATEC) O sistema da figura está em equilíbrio e os pesos da barra e das polias podem ser ignorados.
A razão entre as massas M m é: a) 8 b) 1/8 c) 4 d) 2 e) 6
20. (ITA) Uma das extremidades de uma corda de peso desprezível está atada a uma massa M1 que repousa sobre um cilindro fixo, liso, de eixo horizontal. A outra extremidade está atada a uma outra massa M2, como mostra a figura. Para que haja equilíbrio na situação indicada, deve-se ter:
a) M2 3 M1 2 = b) M M 2 1 3 4 = c) M2 1 M1 2 = d) M2 M1 1 3 = e) M2 1 M1 4 =
21. (FUVEST) Uma barra rígida e homogênea de 2 kg está ligada numa das extremidades a um suporte, através de uma mola de constante elástica k = 200 N/m. Na outra extremidade, articula-se a um rolete que pode girar livremente. Nessa situação, a mola está deformada de 5 cm.
a) Indique as forças externas que atuam sobre a barra. b) Qual é a força que a superfície exerce sobre o rolete?
2 m 4 m M m 60º M1 M2 g = 10 m/s2 Resolução: m . g . 4 = M . g2 2 . 2 4m = 2M 4 ⇒ M m= 8 Alternativa A Resolução: T = M2 . g P1T = M1 . g . cos 30º = T = M2 . g M2 . g = M1 . g 3 2 M2 = M1 3 2 Alternativa A Resolução: a) b) em relação ao ponto C: k . x . d = N . d N = k . x = 200 . 0,05 N = 10 N → → → → → N → →→ → → Fel → →→ → → P A d C d B 60º M1 M2 T N P1T T M1g 30º
22. (UNICAMP) Uma escada homogênea de 40 kg apóia-se sobre uma parede, no ponto P, e sobre o chão, no ponto C. g = 10 m/s2
a) Desenhe as setas representativas das forças peso, normal e de atrito em seus pontos de aplicação. b) É possível manter a escada estacionária não havendo
atrito em P? Neste caso, quais os valores das forças normal e de atrito em C?
23. (FUVEST) A figura mostra uma barra homogênea apoiada entre uma parede e o chão. A parede é perfeitamente lisa; o coeficiente de atrito estático entre a barra e o chão é
µ = 0,25.
a) Desenhe o esquema das forças que atuam na barra. b) Calcule a tangente do menor ângulo α entre a barra e
o chão para que não haja escorregamento.
24. (CESGRANRIO-RJ) Uma prancha homogênea está sustentada, em posição horizontal, pelos dois suportes A e B. Partindo de A, um rapaz caminha sobre a prancha em direção a B, andando com passos iguais. Ele dá seis passos para ir de A até B. Quando ele está em A, a ação (vertical, para cima) do suporte A sobre a prancha é de 8 x 102 N. Quando ele está em B, a ação daquele mesmo suporte A é de 2 x 102 N. Quantos passos poderá ele dar, além de B, sem que a prancha tombe?
Obs: usamos o passo como medida de comprimento, na resolução. C 3 m 4 m P α A B Resolução: a)
b) Sim, desde que
NC = P ⇒ NC = 400 N e
M de P em relação a C seja igual ao M de NP em relação a C. P . 1,5 = NP . 4 ⇒ 400 . 1,5 = NP . 4 ⇒ NP = 150 N ∴∴∴∴∴ AC = 150 N
Obs: Considere como distância ⇒ distância do ponto C até a reta definida pela força.
NP NC FatC C FatP P P Resolução: a) b) em relação ao ponto C: NP . x = P . y 2 ⇒ x y = tg α = P 2NP P = NC ∴ NP = AC = µ . NC = µ . m . g
(atrito estático máximo, α máximo)
∴ tg α = m . g 1
2 . 0, 25 . m . g=0,5⇒ tg ααααα = 2 Resolução:
Situação I: PR = peso do rapaz
PB = peso da barra em relação ao ponto B:
RA . 6 = PR . 6 + PB . 3 ⇒ 6PR + 3PB = 4800 ⇒ 2PR + PB = 1600
Situação II: em relação ao ponto B:
R A2 . 6 = PB . 3 3PB = 1200 PB = 400N ∴ PR = 1600 400 1200 2 2 − = ⇒ PR = 600 N Situação III: PB . 3 = PR . x x = 400 . 3 600 x = 2 passos A RA PR PB RB B A R A2 PR PB RB B → Npar. → Nchão → FatC → P C A x PR PB RB B
