Instituto de Matemática, Estatística
e Computação Científica
Francisco Vieira de Oliveira
Estruturas quase complexas harmônicas em
variedades flag
CAMPINAS 2018
Estruturas quase complexas harmônicas em
variedades flag
Tese apresentada ao Instituto de Matemá-tica, Estatística e Computação Científica da Universidade Estadual de Campinas como parte dos requisitos exigidos para a obtenção do título de Doutor em Matemática.
Orientador: Lino Anderson da Silva Grama
Este exemplar corresponde à versão final da tese defendida pelo aluno Francisco Vieira de Oliveira e orientada pelo Prof. Dr. Lino Anderson da Silva Grama.
Campinas 2018
Ficha catalográfica
Universidade Estadual de Campinas
Biblioteca do Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica Ana Regina Machado - CRB 8/5467
Oliveira, Francisco Vieira de,
OL4e OliEstruturas quase complexas harmônicas em variedades flag / Francisco Vieira de Oliveira. – Campinas, SP : [s.n.], 2018.
OliOrientador: Lino Anderson da Silva Grama.
OliTese (doutorado) – Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica.
Oli1. Análise harmônica. 2. Einstein, Variedades de. 3. Variedades bandeira. 4. Variedades complexas. 5. Funções harmônicas. I. Grama, Lino Anderson da Silva, 1981-. II. Universidade Estadual de Campinas. Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica. III. Título.
Informações para Biblioteca Digital
Título em outro idioma: Harmonic almost complex structure on flag manifolds Palavras-chave em inglês: Harmonic analysis Einstein manifolds Flag manifolds Complex manifolds Harmonic functions
Área de concentração: Matemática Titulação: Doutor em Matemática Banca examinadora:
Lino Anderson da Silva Grama [Orientador] Caio José Colletti Negreiros
Adriano Joao da Silva Antonio Roberto da Silva Alexandre José Santana
Data de defesa: 10-12-2018
Programa de Pós-Graduação: Matemática
pela banca examinadora composta pelos Profs. Drs.
Prof(a). Dr(a). LINO ANDERSON DA SILVA GRAMA
Prof(a). Dr(a). CAIO JOSÉ COLLETTI NEGREIROS
Prof(a). Dr(a). ALEXANDRE JOSÉ SANTANA
Prof(a). Dr(a). ANTONIO ROBERTO DA SILVA
Prof(a). Dr(a). ADRIANO JOAO DA SILVA
A Ata da Defesa, assinada pelos membros da Comissão Examinadora, consta no SIGA/Sistema de Fluxo de Dissertação/Tese e na Secretaria de Pós-Graduação do Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica.
Gostaria de agradecer, primeiramente, a Deus que me deu forças nos momentos complicados desta jornada.
A minha esposa Zilândia dos Santos por todo apoio e dedicação que teve comigo todo esse tempo e por ter acreditado que eu conseguiria.
A minha mãe Maria de Fátima Vieira de Oliveira, pelo apoio emocional nas horas mais difíceis.
Ao meu orientador, Professor Lino Grama, por confiar em mim, pelo conhecimento compartilhado, por me ajudar a encarar certos etapas as quais eu não tinha confiança e pela paciência.
Aos Professores Caio José Colletti Negreiros e Luiz Antonio Barrera San Martin, pelas sugestões e pelos valiosos conselhos ao longo desses anos.
Aos Professores membros da Banca Examinadora, por terem aceitado o convite para avaliar este trabalho e pelas sugestões.
Aos amigos Alan Guimarães e David Levi pela companhia durante boa parte do doutorado.
A Carolina Garcia pelas conversas produtivas e pela companhia nos seminários. A Kennerson Lima pela companhia nos seminários e por compartilhar conhecimentos úteis a estes trabalho e pela companhia nos seminários.
Aos amigos da turma do Doutorado de 2015: Andrez Moreno, Thiago Esteves, Simeão Targino, Deimer José e Francisco Javier. Muito obrigado pela amizade de vocês.
Aos professores e funcionários do IMECC.
A universidade Federal Rural do Semi-Árido pelo apoio financeiro, sem o qual nada disto seria possível.
Resumo
Na primeira parte deste trabalho, estudamos estruturas quase complexas harmônicas em variedades flag maximais. Esse estudo é feito a partir do tensor Ricci estrela Ric*. Mostramos que variedades flag possuem o Ric* diagonal. Segue, como consequência
deste resultado, que as estruturas quase complexas invariantes são harmônicas em variedades flag . Utilizando a segunda variação de energia mostramos que estruturas quase complexas parabólicas munidas de métricas (1,2)-simpléticas são candidatas naturais à serem estáveis.
Na segunda parte deste trabalho, estudamos estabilidade de estruturas quase com-plexas harmônicas em flag parciais. São exibidos exemplos de estruturas estáveis em variedades flags com dois e três somandos isotrópicos. É dada, também, uma classificação de estabilidade das estruturas quase complexas na variedade SU (5)/S(U (1)×U (2)×U (2)).
Palavras-chave: Aplicações harmônicas, estruturas quase complexas, seções
In the first part of this work, we study harmonic almost complex structure in maximal flag manifolds. This is done by analysing the Ricci star tensor (Ric*). We show that flag manifolds have diagonal Ric* tensor. As a consequence it follow that invariant almost
complex structure are harmonic on flag manifolds. We also show that parabolic almost complex structure with (1,2)-symplectic metric are natural candidate to be stable.
In the second part of this work, we study stability of harmonic almost complex structure in partial flag manifolds. We show examples of stables almost complex structures on flag manifolds with two and three isotropic summands . We also provide a classification of the stability of almost complex structure in manifold SU (5)/S(U (1) × U (2) × U (2)).
Key words: Harmonic maps, almost complex structure, harmonic sections, Einstein
Conteúdo
Introdução 10
1 Seções Harmônicas 16
1.1 Aplicação harmônicas . . . 16
1.2 Seções Harmônicas . . . 18
1.3 Estruturas quase complexas harmônicas . . . 20
1.3.1 O fibrado Twistor . . . 23
2 Geometria das variedades flag 27 2.0.1 Variedades flag generalizadas . . . 27
2.0.2 A representação de isotropia . . . 30
2.0.3 Métricas invariantes em FΘ . . . 31
2.0.4 Estruturas quase complexas invariantes em FΘ . . . 32
2.0.5 Estruturas quase Hermitianas (1,2)-simpléticas em FΘ . . . 33
3 Estruturas quase complexas harmônicas em variedades flag 36 3.1 O operador Ric* em uma variedade flag . . . . 36
3.2 Variedades ∗Einstein e estabilidade de estruturas quase complexas . . . 44
3.3 Estruturas quase complexas parabólicas harmônicas . . . 51
3.4 Estruturas nearly Kähler harmônicas estáveis em SU (3)/T . . . . 56
4 Estrutura quase complexas harmônicas em variedades flag parciais 59 4.1 Estabilidade de estruturas quase complexas invariantes em CP3 = Sp(2)/(U (1)× Sp(1)) . . . . 59
4.2 Estabilidade de eqci em flags parciais de G2 . . . 65
U (2) × U (2)) . . . .
Capítulo 1
Introdução
Seja M uma variedade diferenciável e orientável de dimensão par. Uma estrutura quase complexa em M é um endomorfismo J : TxM → TxM que varia suavemente com
x ∈ M e satisfazendo J2 = −I.
Quando (M2n, J, g) é uma variedade quase Hermitiana, as estruturas quase complexas
de M são parametrizadas pelas seções do fibrado twistor π : Z(M ) → M , associado ao fibrado de bases ortonormais, cujas fibras F são isomorfas a SO(2n)/U (n).
Seja π : (N, h) → (M, g) é uma submersão Riemanniana com fibras totalmente geodésicas. Uma seção σ : M → N é dita harmônica se seu campo de tensão vertical
τV(σ) = −δVdVσ = T r∇VdVσ (1.1)
se anula. Uma seção harmônica é, também, solução de um problema variacional, um ponto crítico do funcional energia vertical, isto é, da parte vertical do funcional energia de σ.
Quando N = Z(M ) e σ parametriza uma estrutura quase complexa J , as soluções da equação τV(J ) = 0 são chamadas de estruturas quase complexas harmônicas. Estas estruturas, vistas como seção do fibrado twistor não são, em geral, aplicações harmônicas. Em [25], Chris M. Wood mostrou que as estruturas Kähler satisfazem a Equação 1 trivialmente, mas não são as únicas com essa propriedade.
A motivação para se estudar seções harmônicas surgiu das tentativas de classificar estruturas quase complexas na esfera S6. Em [6] E. Calabi e H. Gluck mostraram que a
com respeito a métrica Riemanniana induzida pelas fibras mas não é Kähler e, nem mesmo, integrável.
Utilizando as propriedades do fibrado twistor, Chris M. Wood mostrou em [25] e [26] que o campo de tensão vertical de uma seção de π (Equação 1) pode ser escrita em termos da correspondente estrutura complexa J e dependendo somente da álgebra de Lie so(2n),
I(τVσ) := τ (J ) = −1
4[J, ∇
∗∇J].
Posteriormente, mostrou-se a equivalência entre soluções da equação de Euler-Lagrange
τ (J ) = 0 e uma condição de comutatividade do tensor Ricci estrela Ric* da variedade M .
Nosso principal objetivo será estudar estruturas quase complexas harmônicas numa classe de espaços homogêneos não-simétricos chamadas variedades flag generalizadas.
As variedades flag generalizadas são espaços favoráveis ao estudo de geometria invariante devido à sua boa descrição em termos das estruturas de grupos de Lie e de álgebras de Lie permitindo, por exemplo, parametrizarmos o conjunto de métricas invariantes. Com isso, ao invés de fixarmos uma métrica invariante em M , escolhemos uma família a 1-parâmetro de métricas, aumentando as passibilidades de encontrar estruturas quase complexas harmônicas.
Seguindo os trabalhos de Chris M. Wood em [25] trabalharemos, somente, com as métricas (1,2)-simpléticas. Uma estrutura quase complexa Hermitiana J em (M, g) é dita (1,2)-simplética se a componente (1,2) de dηCse anula, isto é, dη(1,2)= 0, onde η = g(·, J ).
O conjunto das métricas (1,2)-simpléticas, em uma variedade flag maximal, foi classificado por San Matin e Negreiros em [21]. O que faremos é aplicar os resultados de [25] à famílias de métricas invariantes (1,2)-simpléticas. O problema de classificação no caso das flags parciais ainda está em aberto, Neste caso, nosso estudo foi feito caso à caso.
Na primeira parte do nosso trabalho, estudamos estruturas quase complexas invarian-tes em variedades flag maximais usando o tensor Ricci estrela. Este tensor depende da estrutura J da variedade Riemanniana (M, g) e é definido como
Ric*(X, Y ) = −1 2
X j
hR(Ej, J Ej)X, J Y i.
uma estrutura quase Hermitiana (1,2)-simplética seja harmônica é que o tensor Ric* seja
simétrico.
Fixando uma base de Weyil para a álgebra de Lie g e fazendo cálculos na forma real compacta u de g, conseguimos mostrar que toda estrutura quase complexa invariante em uma variedade flag é harmônica. Em vista deste resultado, o passo seguinte seria estudar estabilidade, isto é, verificar quais destas estruturas são ponto de mínimo do funcional energia associado ao problema.
O problema de estabilidade foi estudado Chris M. Wood, [25], [26] e [27], traduzindo a segunda variação de energia para variedades ∗Einstein, [7], [12]. Uma variedade quase Hermitiana de dimensão n é dita ∗Einstein se vale a seguinte relação para o Ric*,
Ric*(X, Y ) = 1 2ns ∗hX, Y i , X, Y ∈ T M, onde s∗ = −1 2 P i
hR(Ei, J Ei)Ej, J Eji é a curvatura escalar estrela.
Quando a variedade (M, J, g) é ∗Einstein, dizemos que (J, g) é uma estrutura ∗Einstein para M . O principal resultado de [25] é que, se J é uma estrutura ∗Einstein para a variedade Riemanniana (M, g) com J sendo (1,2)-simplética e s∗ ≤ 0, então J é harmônica estável.
Baseados nas ideias de Chris M. Wood e de S. Martin e Negreiros, conseguimos entender o resultado de J.Wood ([25]) em variedades flag. Nossa contribuição é a seguinte: (Ver seção 3.1)
Teorema A: Toda estrutura quase complexa invariante na variedade flag maximal
U/T é harmônica..
O resultado acima fornece uma classe de exemplos de Estruturas quase complexas harmônicas que utilizamos no estudo da estabilidade das estruturas quase complexas invariantes, proporcionando uma fórmula para a curvatura escalar estrela s∗ em função das raízes da álgebra de Lie g.
A partir disso, utilizamos o Teorema A para estudar as estruturas quase complexas invariantes no espaço homogêneo SU (3)/T , com métricas (1,2)-simpléticas e mostrar que toda J em (F, J, Λ) = (SU(3)/T, J, Λ) admite métrica (1,2)-simplética que satisfaz s∗ ≤ 0 e, portanto, podem ser harmônica estável.
As métricas (1,2)-simpléticas em variedades flag maximais foram descritas em [21], construindo fórmulas para a diferencial da 2-forma de Kähler em função das raízes
da álgebra de Lie g. Utilizando estas fórmulas, conseguimos estudar estruturas quase complexas parabólicas em variedades flag maximais. Com isso mostramos o seguinte resultado:
Teorema B: Toda estrutura quase complexa parabólica , com métrica (1,2)-simplética,
em SU (n)/T satisfaz
s∗ ≤ 0.
.
Utilizando o Teorema B, fazemos um estudo das estruturas nearly Kähler em F =
SU (3)/T para tentar escrever as propriedades de ser harmônicas estáveis em função das
raízes da álgebra de Lie su(3).
Da Equação 1 é possível concluir que nem toda estrutura quase complexa harmônica é uma aplicação harmônica, vista como aplicação da variedade (M, g) no fibrado twistor. Em [27] Chris M. Wood estudou a relação entre seção e aplicação e concluiu que se J é uma estrutura ∗Einstein, para a variedade Riemanniana (M, g), parametrizada pela seção σ e J é (1,2)-simplética então, σ é uma aplicação harmônica se, e somente se, s∗ é constante, ver Teorema 1.3.14. Seguindo estes resultados, descrevemos os parâmetros da métrica invariante para que estrutura J seja uma aplicação harmônica em F = SU(3)/T . Com isso, mostramos o seguinte resultado:
Teorema C: A estrutura quase complexa J = (+, +, +) em SU (3)/T admite métricas
Λ tais que J : (M, Λ) → SO(2n)/U (n) é uma aplicação harmônica.
Na segunda parte do nosso trabalho, estudamos a estabilidade de estruturas quase complexas harmônicas em variedades flag parciais. A dificuldade de se passar do caso maximal para o caso parcial está no fato de que as métricas (1,2)-simpléticas não possui uma parametrização como no caso maximal. Como a expressão de s∗ depende das componentes isotrópicas, começamos a classificação com variedades flag que possuem dois somandos isotrópicos.
Estudamos a estrutura quase complexa não integrável de CP3 = Sp(2)/(U (1)×Sp(1)). Parametrizamos as métricas (1,2)-simpléticas e descrevemos a curvatura s∗ em função dos parâmetros da métrica invariante. Neste sentido, concluímos o seguinte resultado:(Ver Proposição 4.1.1 para mais detalhes)
Teorema D: Considere a variedade flag parcial CP3 = Sp(2)/(U (1) × Sp(1)),
com 2 somandos isotrópicos m1 e m2 tais que m1 = spanR{A12, S12, A +
spanR{A11, S11.} . Então o par (J, Λ), = ({+, −}, {λ, 2λ}) é harmônico estável para λ = 65.
Seguindo o estudo nas variedades flags de dois somandos isotrópicos, estudamos a variedade flag parcial G2/U (2) com 2 somandos isotrópicos, m1 = {α1, α1 + α2, α1 +
2α2, α1+ 3α2} e m2 = {2α1+ 3α2}. Foi mostrado em [16] que G2/U (2) possui 2 estruturas
quase complexas invariante, a menos de conjugação, J1 = (+, +) e J2 = (+, −) onde,
apenas J1 é integrável. Como a estrutura J1 é Kähler com a métrica (1,2)-simplética,
estudamos somente a estabilidade de J2. Conseguimos mostrar o seguinte resultado. (Ver
proposição 4.2.1 para mais detalhes)
Teorema E: Considere a variedade flag parcial G2/U (2) com 2 somandos isotrópicos
m1 e m2 tais que m1 = {α, α+β, α+2β, α+3β}, m2 = {2α+3β}. Então o par J = (+, −),
Λ = (λ, 2λ) é harmônico estável para λ = 43.
Neste segunda variedade flag parcial G2/U (2), já se pode notar um comportamento
diferente do primeiro caso, nos parâmetros das métricas harmônicas estáveis comparados ao CP3 = Sp(2)/(U (1) × Sp(1)).
Para finalizar o estudo com variedades flag de dois somandos, consideramos a variedade flag SO(6)/(U (2) × SO(2)). Diferentemente dos casos anteriores, a álgebra de Lie so(6) é clássica do tipo Dl. Encontramos todas as métricas (1,2)-simpléticas associadas a
estrutura quase complexa invariante não integrável e concluímos o seguinte resultado:
Teorema F: Considere a variedade flag parcial SO(6)/(U (2)) com 2 somandos isotrópicos m1 = {τ1 − τ2, τ1 − τ3, τ1 + τ2, τ1 + τ3} e m2 = {τ2 + τ3}. Então o par
({+, −}, {λ, 2λ}) é harmônico estável para λ = 23.
Devido a dificuldade em se parametrizar as métricas (1,2)-simpléticas em variedades flag com três somandos isotrópicos, classificamos um único caso SU (5)/S(U (1) × U (2) ×
U (2)). Estudamos a estabilidade das estruturas quase complexas invariantes da variedade
flag parcial SU (5)/S(U (1) × U (2) × U (2)) que admite métricas (1,2)-simpléticas.
A variedade flag parcial SU (5)/S(U (1) × U (2) × U (2)) tem dimensão real 16. A representação de isotropia se decompõe em 3 somandos isotrópicos e admite 4 estruturas quase complexas invariantes, a menos de conjugação [16]. Estudamos cada estrutura separadamente e construímos fórmulas para que, três destas estruturas, admitam estabilidade.
Observe que, a estrutura quase complexa não integrável de SU (5)/S(U (1) × U (2) ×
para este caso usando nosso método.
O texto da tese está organizado da seguinte forma.
No capítulo 1, definimos seções harmônicas e relembramos os principais resultados que relacionam aplicações harmônicas com seções harmônicas.
No capítulo 2, introduzimos as variedades flag e estudamos sua estrutura geométrica, o espaço tangente na origem, a representação de isotropia, submódulos irredutíveis e descrevemos as estruturas quase complexas neste contexto.
No capítulo 3, apresentamos os resultados obtidos sobre estruturas quase complexas harmônicas em variedades flags maximais.
No capítulo 4, estudamos as estruturas quase complexas harmônicas em alguns exemplos de variedades flag parciais com dois e três somandos isotrópicos.
Capítulo 2
Seções Harmônicas
2.1
Aplicação harmônicas
Sejam (Mmg) e (Nn, h) variedades Riemannianas conexas, orientáveis, sendo M
compacta. Seja σ : M → N uma aplicação suave e |dσ| a norma Hilbet-Shimidt da aplicação linear dσ(x). A aplicação dσ : T M → T N induz um fibrado σ−1T N sobre M .
Desta forma, a dσ pode ser vista como uma 1-forma com valores em σ−1T N .
Definição 2.1.1 A densidade da energia de σ é a função e(σ) = 12|dσ|2. O funcional energia de E : C∞(M, N ) → R é definido por
E(σ) =
Z M
e(σ)υg.
O número E(σ) é chamado energia de σ.
Definição 2.1.2 A segunda forma fundamental da aplicação diferenciável σ : M → N é
uma forma bilinear Bσ, com valores em σ−1T N , definida por
Bσ(X, Y ) = ∇σ −1T N X dσ · Y − dσ ∇MX Y
onde X, Y ∈ C∞(M, T M ) e ∇ é o divergente generalizado.
Definição 2.1.3 Uma aplicação diferenciável σ : M → N é dita totalmente geodésica se
Bσ ≡ 0.
Uma interpretação de uma aplicação totalmente geodésica são aplicações que levam geodésicas de M em geodésicas de N proporcional ao comprimento de arco.
Tomando o traço da segunda forma fundamental Bσ, obtemos uma seção do fibrado
σ−1T N denotada por
τ (σ) = tr∇dσ = trBσ,
e chamado campo de tensão. A Equação τ (σ) = 0 é conhecida como equação de Euler-Lagrange.
Definição 2.1.4 (Aplicação harmônica). Uma aplicação σ : M → N satisfazendo τ (σ) ≡
0 é chamada aplicação harmônica.
Se considerarmos um ponto p ∈ M e um referencial ortogonal {ei} em TpM , então a
equação de Euler-Lagrange pode ser escrita como
τ (σ) = m X i=1 ∇σ−1T N ei dσ · ei− dσ ∇M eiei = 0. (2.1)
A Equação 1.1 forma um sistema de equações diferenciais parciais elípticas quase lineares. A existência de aplicações harmônicas é a existência de soluções globais da Equação 1.1 em toda a variedade M .
A relação entre o campo de tensão e a energia é descrita pela primeira variação de energia, a qual passamos a descrever agora. Seja v ∈ Γ(σ−1T N ), este v pode ser visto
como uma seção de N ao longo de σ. Tomamos a família a 1-parâmetro de aplicações σt
satisfazendo σ0 = σ, dσdtt|t=0 = v e consideramos σt como uma aplicação de M × (−ε, ε)
para N . Escolha um referencial ortogonal local {ei} para M com ∇eiej|p = 0. Foi provado
em [28] que a primeira variação de energia pode ser escrita como sendo
dE(σt) dt t=0 = − Z M hv, τ (σ)i νg. (2.2)
A fórmula da primeira variação de energia mostra que aplicações harmônicas são pontos críticos do funcional energia.
Exemplo 2.1.5 Se a variedade contra domínio é o conjunto dos números reais, isto é,
N = R, a Equação 1.1 reduz-se a calcular o Laplaciano de f na variedade M , ∆Mf = 0,
ou seja, f : M → N = R é uma função harmônica em R.
Equação 1.1, em sistema de coordenadas, torna-se d2fα dt2 + Γ α βγ dfα dt dfγ dt = 0, que é a equação de uma geodésica em N .
Exemplo 2.1.7 Sejam G1 e G2 grupos de Lie munidos de métricas Riemannianas
bi-invariantes então um homomorfismo f : G1 → G2 é uma aplicação harmônica. De
fato, escolha coordenadas normais na origem e1 e e2, respectivamente. A aplicação df :
g1 → g2 é uma transformação linear e deixa o colchete invariante. Isto significa que, em
coordenadas normais, f é composta, somente, por funções lineares e, portanto, τ (f ) = 0.
Exemplo 2.1.8 (Robótica) Uma aplicação fora da matemática pode ser vista em
cine-mática robótica . Park e Brockett mostraram em [18] que funcionais associados a teoria das aplicações harmônicas fornece uma medida natural de movimentos e agilidade do mecanismo. A otimização das configurações das classes de mecanismos são determinadas pelos extremos destas medidas, isto é, por aplicações harmônicas.
Toda a teoria de seções harmônicas, objeto de estudo do nosso trabalho, é uma adaptação da teoria de aplicações harmônicas [25]. O que faremos adiante é descrever tais relações e introduzir conceitos que serão utilizados no resto do trabalho.
2.2
Seções Harmônicas
Nesta seção, iremos considerar o caso em que N é um fibrado cujas fibras são subvariedades compactas totalmente geodésicas sobre M e σ : M → N uma aplicação diferenciável que, também, é seção local suave deste fibrado. Descrevemos a equação de Euler-Lagrange, neste contexto, e daremos a definição de seção harmônica, utilizada no restante do nosso trabalho.
Definição 2.2.1 Sejam M e N variedades Riemannianas completas com M compacta.
Uma aplicação π : N → M é chamada uma submersão Riemanniana se π é uma submersão e, para cada x ∈ N , o subespaço horizontal de TxN (ortogonal a fibra sobre
Denotamos por H e V as distribuições verticais e horizontais, respectivamente, determinadas por dπ. Neste caso, podemos decompor o fibrado tangente T N = T NH⊕
T NV, onde T NH e T NV denotam os subfibrados horizontais e verticais, respectivamente. Consideramos, agora, uma submersão Riemanniana com fibras totalmente geodésicas
F , isto é, para cada ponto x ∈ N com p = π(x), π−1(p) = Fx é uma subvariedade
totalmente geodésica de N . Então, todas as fibras são isométricas umas as outras e
π é uma fibração Riemanniana [4]. A distribuição horizontal H, define uma conexão
neste fibrado. Seja σ : M → N uma aplicação diferenciável e seção do fibrado N . A decomposição do fibrado σ−1(T N ) em σ−1(T NH) ⊕ σ−1(T NV), nos dá uma decomposição da diferencial de σ como sendo dσ = dσH ⊕ dσV, onde dσH ∈ Γ(T∗M ) ⊗ σ−1(T NH) e
dσV ∈ Γ(T∗M ) ⊗ σ−1(T NV). Neste contexto, a energia E(σ) é dada por
E(σ) = EH(σ) ⊕ EV(σ) = 1 2 Z M dσ H 2 υg+ 1 2 Z M dσ V 2 υg. (2.3)
Como σ é uma seção da fibração Riemanniana π, a aplicação linear dσH: TpM → (TxN )H
é uma isometria para cada p = π(x) e, portanto, temos EH(σ) = (m/2)V ol(M ), onde
m = dim(M ). Desta forma, procurar aplicações harmônicas associadas a campos verticais
é equivalente a teoria variacional vertical de Ev, pois
E(σt) − E(σ) = Ev(σt) − Ev(σ)
onde σt é qualquer variação a 1-parâmetro de σ por seções N .
Assim, a parte que nos interessa ao estudar o problema variacional para seções harmônicas é a parte vertical. O funcional energia vertical EV pode ser escrita na seguinte forma EV(σ) = 1 2 Z M dσ V 2 υg.
A primeira variação de energia de EV pode ser escrito como em [25]
EV(σ) = 1 2 Z M D v, τV(σ)Eυg.
Por analogia a teoria das aplicações harmônica, veja [9], chamamos τV(σ) de campo
então
τV(σ) = −δVdVσ = T r∇VdVσ,
onde ∇V é a conexão no fibrado vetorial V → N obtida pela parte horizontal da conexão em T N induzida pela Levi-Civita de (N, h).
Definição 2.2.2 Seja π : (N, h) → (M, g) uma submersão Riemanniana com fibras
totalmente geodésicas. Dizemos que uma seção σ : M → N é harmônica se
τV(σ) = 0.
Note que, em geral, seções harmônicas não são aplicações harmônicas devido à restrição a parte vertical.
Exemplo 2.2.3 Seja G um grupo de Lie. H, K dois subgrupos compactos de G com
K ⊂ H. Nestes condições, temos uma fibração natural
π : G/K → G/H
com fibras H/K. Suponha G/H como sendo um espaço simétrico irredutível. Sejam
k⊂ h ⊂ g as álgebras de Lie de K, H e G respectivamente. Escolhemos um complemento
AdG(H)-invariante n de h em g, e um complemento AdG(K)-invariante k em g. Então,
m:= p ⊕ n é um complemento AdG-invariante de k em g e valem as relações [h, n] ⊂ n,
[k, p] ⊂ p e [n, n] ⊂ h. Um produto escalar AdG(H)-invariante em n, define uma métrica
Riemanniana G-invariante ˇg em G/H e um produto escalar AdG(K)-invariante em p
define uma métrica H-invariante ˆg em H/K. Nessas condições, π é uma submersão Riemanniana de (G/K, g) para (G/H, ˇg), com fibras totalmente geodésicas isométricas a
(H/K, ˆg).
2.3
Estruturas quase complexas harmônicas
Aplicaremos a teoria de seções harmônicas a G-fibrados principais cujas seções são estruturas quase complexas harmônicas como em [27]. Descrevemos as equações do campo de tensão vertical e da variação de energia usando a estrutura da álgebra de Lie g do grupo
é equivalente a uma condição de comutatividade no operador Ricci estrela da variedade
M , veja [25].
Seja G um grupo de Lie, ξ : E → M um G-fibrado principal, N = E/H o espaço de órbitas pela ação de subgrupo do Lie H de G, como no diagrama 1.4 abaixo.
E ζ // ξ N π M (2.4)
A aplicação ζ : E → N , das órbitas por H, é um H-fibrado principal e ξ = π ◦ ζ onde π : N → M é um fibrado cujas fibras são G/H, que é isomorfo ao fibrado associado
E×GG/H . Vamos assumir que G/H seja redutível, isto é, se g = h ⊕ m então
AdG(H)m ⊂ m,
em que g é a álgebra de Lie de G e h é a álgebra de Lie de H. Adicionalmente, assumimos que (M, g) é uma variedade Riemanniana, <, > uma métrica G-invariante em G/H ou equivalentemente um produto interno positivo definido AdG(H)-invariante em m e ω uma
conexão em E. Nessas condições, podemos considerar a decomposição do fibrado T N = V ⊕ H, onde os subfibrados verticais e horizontais são definidos por
V = Kerπ∗ = ζ∗(Kerξ∗) e H = ζ∗(Kerω).
A métrica h em N é construída como sendo a soma do levantamento da métrica g com a métrica em V induzida pelo produto interno <, >. Foi mostrado em [16] que, nessas condições, π : (N, h) → (M, g) é uma submersão Riemanniana com fibras totalmente geodésicas.
Para entender melhor a métrica h, considere mE → N como sendo o fibrado associado
à ζ com fibra m, como em [27]. De tal forma que, se q ∈ E e a ∈ m com subgrupo a 1-parâmetro expta, definimos
a∗(q) = d dt t=0 q · expta ∈ TqE,
relação a uma base q. Assim, ζ∗(a∗(q)) ∈ Vζ(q) e a seguinte aplicação é um isomorfismos
de fibrados
I : V → mE, ζ∗(a∗(q)) → q · a,
o qual chamaremos de isomorfismo canônico. Considere ω = ωh + ωm somo sendo a
decomposição da conexão induzida pela decomposição de g. Então, ω(m) é uma 1-forma
H-equivariante e ζ-horizontal em E com valores em m que se projeta à uma 1-forma φ
em N com valores em mE:
φ(ζ∗W ) = q · ωm(W ), ∀W ∈ TqE
Pela definição de τV e da diferencial em espaços homogêneos, temos
φ|V = I, e Ker(φ) = H. (2.5)
Iremos nos referimos a φ como forma de conexão homogênea. O produto interno em m induz uma métrica nas fibras em mE, o qual continuamos denotando por h, i. A métrica
h é caracterizada por
h = π∗g + hφ, φi .
Em particular, I é uma isometria. Como o grupo de estrutura G é redutível, temos
gE = σ∗hE ⊕ σ∗mE.
O pull back por σ : M → N da 1-forma φ é uma forma com valores em σ∗mE, em
particular, da Equação 1.5 temos
σ∗φ = φ ◦ dσ = I ◦ dVσ.
Exemplo 2.3.1 Uma distribuição k-dimensional em uma variedade M de dimensão n
é uma seção do fibrado de Grassmannianas Gk(M ) de k-planos no espaço tangente de
M . O fibrado de Grassmannianas é associado ao fibrado ortogonal E = O(M ), que é um fibrado principal com grupo estrutural G = O(n) e tem fibras N = Gk(Rn) =
2.3.1
O fibrado Twistor
Seja π : (Q, ∇, h,i) → M um fibrado vetorial de posto r = 2k, com estrutura de variedade Riemanniana. Munido de uma estrutura complexa J , o fibrado Q adquire estrutura de fibrado vetorial complexo. Em particular, Q é orientável. Assuma que J seja ortogonal em relação a métrica h,i, isto é, hJ ·, J ·i = h·, ·i. Então, J é antissimétrico e, portanto, existe uma 2-forma Kähler η em Q associada
η(u, v) = hJ u, vi ,
e Q adquire uma estrutura de fibrado vetorial Hermitiano, com fibras Hermitianas cujo produto interno é dado por
hu, viC= hu, vi − iη(u, v).
Quando um referencial complexo em Q é considerado como um referencial real dado por
(u1, u2, ..., uk) → (u1, u2, ..., uk, J u1, J u2, ..., J uk)
o conjunto das base unitárias B em relação a hu, viCformam um U (k)-subfibrado principal
ξ0 : E0 → M do SO(r)-fibrado principal ξ : E → M das bases ortonormais orientadas positivamente, chamado fibrado twistor. Neste caso H = U (k) é considerado como um subgrupo de G = SO(r) dado pelo seguinte homomorfismo
A + iB → A −B B A .
O subgrupo H pode ser caracterizado como o centralizador do elemento
J0 = 0k −Ik Ik 0k .
A subálgebra h é formada pelo conjunto da matrizes r ×r antissimétricas que comutam com J0 e as matrizes antissimétricas que são anticomutativas com relação a J0, define o
complemento de h, denotado por m. Pensando como no diagrama 1.4, consideramos a aplicação definida em π∗Q da seguinte forma: Para todo y ∈ N , consideramos J (y) como
sendo o automorfismo de (π∗Q)y ∼= Qπ(y) cuja matriz em qualquer base de ζ−1(y) é J0.
Com estas identificações, as fibras de mE (respectivamente hE), sobre y, correspondem aos
endomorfismos antissimétricos de Qπ(y) que comutam (respectivamente anti-comutam)
com J (y). Chamamos a aplicação J de estrutura complexa universal . A proposição seguinte, provada em [27], nos dá uma fórmula para a conexão mE.
Proposição 2.3.2 Se A, B ∈ T N . Então
φ(A) = 1
2J ◦ ∇AJ .
Agora, com essas identificações, podemos expressar a derivada vertical e o campo de tensão vertical de uma seção de π, como no diagrama 1.4, em termos da correspondente estrutura complexa J . Note que σ e J estão relacionadas via J , isto é, σ∗J = J. Neste caso, dizemos que a seção σ parametriza a estrutura quase complexa J .
Observação 2.3.3 Todas as estruturas quase complexas J consideradas neste trabalho,
são compatíveis com a métrica, isto é, g(J, J ) = g.
Teorema 2.3.4 ([27], Teorema 4.2) As seguintes relações são verificadas entre J e a
seção σ que o parametriza:
(a) I(dVσ) = 14[J, ∇J ] = 12J ◦ ∇J (b) I(τVσ) := τ (J ) = −14[J, ∇∗∇J].
O nosso interesse, neste trabalho, é estudar um tipo especial de estrutura quase complexa, seguindo os trabalhos de Chris M. Wood em [25] e [26], onde são mostrados resultados para estruturas (1,2)-simpléticas. Isto motiva a seguinte definição.
Definição 2.3.5 Seja (M, g) uma variedade Riemanniana. Uma estrutura quase
com-plexa J é dita (1,2)-simplética se a componente (1,2) de dηC se anula, isto é, dη(1,2) = 0.
Uma primeira caracterização para encontrar estruturas (1,2)-simpléticas harmônicas, em variedades Hermitianas, aparece em [25] e, posteriormente, mais detalhada em [26]. Entre outras implicações, foi mostrado o seguinte resultado:
Teorema 2.3.6 ([25], Teorema 2.8) Seja J uma estrutura quase complexa na variedade
Riemanniana (M, g). Se J é (1,2)-simplética, então J é harmônica se, e somente se,
A partir deste teorema, Chris M. Wood provou o resultado chave que utilizamos para verificar se uma estrutura quase complexa (1,2)-simplética é harmônica e, caso afirmativo, podemos verificar sua estabilidade, isto é, se J é ponto de mínimo para o problema variacional. Todos os resultados obtidos por Chris M. Wood, envolviam um tensor chamado Ricci estrela. Este tensor já aparecia nos trabalhos de Alfred Gray [12].
Definição 2.3.7 O tensor de Ricci estrela, denotado por Ric*, é definido como sendo
Ric*(X, Y ) = φ(X, J Y ) = −1 2
X j
hR(Ej, J Ej)X, J Y i.
Note que vale a seguinte relação
Ric*(J X, J Y ) = Ric*(X, Y )
mas, em geral, o Ric* não é simétrico nem antissimétrico. Entretanto vale o seguinte
resultado.
Teorema 2.3.8 ([26], Teorema 4.6) Suponha que a seção σ, no fibrado twistor,
parame-triza uma estrutura quase complexa J que é (1,2)-simplética na variedade (M, g). Então, σ é uma seção harmônica se, e somente se, o Ric* é simétrico.
Neste mesmo artigo, foi estudado a estabilidade das estruturas quase complexas harmônicas para um tipo especial de variedade, as variedades ∗Einstein (variedades Einstein estrela), que passamos a descrever agora seus principais resultados.
Definição 2.3.9 (M. Wood, [25]) Uma variedade quase Hermitiana (M, J, g) de
dimen-são n é dita ∗Einstein se vale a seguinte relação para o Ric*
Ric*(X, Y ) = 1 2ns
∗hX, Y i
sempre que X, Y ∈ T M e a curvatura escalar estrela s∗ = −12P i
hR(Ei, J Ei)Ej, J Eji. Observação 2.3.10 Quando a variedade (M, J, g) é ∗Einstein, dizemos que (J, g) é uma
estrutura ∗Einstein para M .
Observação 2.3.11 Quando fica claro a métrica que estamos utilizando, escrevemos
Teorema 2.3.12 ([25], Teorema 4.4) Suponha que J seja uma estrutura ∗Einstein para
a variedade Riemanniana (M, g). Se J é (1,2)-simplética e s∗ ≤ 0, então J é harmônica
estável.
Em geral, seções harmônicas não são aplicações harmônicas, como foi visto em 1.2.2, mas existe uma caracterização via curvatura escalar estrela s∗.
Observação 2.3.13 Vale lembrar que uma seção σ parametriza uma estrutura quase
complexa J localmente.
Teorema 2.3.14 ([25], Teorema 4.8) Suponha que J seja uma estrutura ∗Einstein para
a variedade Riemanniana (M, g), parametrizada pela seção σ. Se J é (1,2)-simplética então, σ é uma aplicação harmônica se, e somente se, a curvatura escalar estrela s∗ é constante.
Este resultado permite-nos identificar quando uma estrutura quase complexa J pode ser vista como uma aplicação harmônica da variedade (M2n, g) para o fibrado twistor
SO(2n)/U (n). Todos estes resultados serão aplicados, posteriormente, para classificar
Capítulo 3
Geometria das variedades flag
3.0.1
Variedades flag generalizadas
Nesta seção, vamos definir as variedades flag como em [11]. Estas são espaços homogêneos redutíveis cuja estrutura e classificação decorrem da teria geral das álgebras e grupos semi-simples, veja [3].
Seja g uma álgebra de Lie simples complexa e G um grupo de Lie com álgebra de Lie g. Dada uma subálgebra de Cartan h de g, denote por Π o conjunto de raízes do par (g, h). A álgebra g pode ser escrita como
g= h ⊕ X
α∈Π
gα,
onde gα = {X ∈ g; ∀H ∈ h, [H, X] = α(H)X} denota o correspondente espaço de raiz
complexa 1-dimensional.
Denotaremos por h·, ·i a forma de Cartan-Killing de g. Dado α ∈ h∗, H
α é definido
por α(·) = hHα, ·i. Denotamos por hR = spanR{Hα : α ∈ Π} e por h ∗
R o subespaço real
do dual h∗ gerado pelas raízes. Fixamos uma base de Weyl de g, dada por X
α ∈ gα que
satisfazem
hXα, X−αi = 1 e [Xα, Xβ] = mα,βXα+β,
com mα,β ∈ R, m−α,−β = −mα,β e mα,β = 0 se α + β não é raiz (ver [22]).
Sejam Σ um conjunto de raízes simples de Π e Π+ o conjunto de raízes positivas com
relação a Σ. Dado um subconjunto Θ de Σ, denotamos por hΘi é o conjunto de raízes geradas por Θ, ΠM = Π \ hΘi o conjunto das raízes complementares e Π+M o conjunto das
raízes complementares positivas. Seja pΘ = h ⊕ X α∈hΘi+ gα⊕ X α∈hΘi+ g−α⊕ X β∈Π+M gβ
a subálgebra parabólica canônica de g determinada por Θ.
A variedade flag generalizada FΘ associada a g é definida como o espaço homogêneo
FΘ = G/PΘ,
onde G é um grupo de Lie complexo cuja álgebra de Lie é g e PΘ é o normalizador de pΘ
em G.
Denote por u uma forma real compacta de g cuja base real é dada por
u= spanR{√−1hR, Aα, Sα; α ∈ Π+} (3.1)
em que Aα = Xα−X−αe Sα =
√
−1(Xα+X−α). Observe que os vetores Xα, Sαe
√ −1Hα
formam uma base de u, em que α ∈ Π+. Denote por U = exp u a correspondente forma
real de G e defina KΘ = PΘ ∩ U . O grupo de Lie U age transitivamente em FΘ com
subgrupo de isotropia KΘ e, portanto, temos a identificação
FΘ= G/PΘ= U/(PΘ∩ U ) = U/KΘ.
É conveniente subdividir as variedades flag generalizadas em duas classes, as maximais e as parciais. Para cada g existe uma única variedade flag maximal que corresponde a Θ = ∅. Chamamos as demais de variedades flag parciais, isto é, quando Θ 6= ∅.
Se Θ = ∅, a álgebra se decompõe em g= h ⊕ X β∈Π+ gβ⊕ X β∈Π+ g−β. Desse modo, pΘ = p = h ⊕ X β∈Π+ gβ
é uma subálgebra parabólica minimal de g e, neste caso,
F = G/P = U/T
é chamada de variedade flag maximal, onde T = P ∩ U é um toro maximal em U . A álgebra de Lie de T é o subespaço real t = ihR.
Se Θ 6= ∅, chamaremos
FΘ = G/PΘ = U/(PΘ∩ U ) = U/KΘ
de variedade flag parcial.
Denote por kΘ a álgebra de Lie de KΘ. Desta forma kΘ= pΘ∩ u e sua complexificada
kC
Θ pode ser escrita como
kC
Θ = h ⊕
X α∈hΘi
gα.
Denote por o = eKΘ a origem de F. O espaço tangente ToFΘ pode ser identificado com o
complemento ortogonal de kΘ em u com relação a forma de Cartan-Killing, ou seja,
ToFΘ = mΘ = spanR{Aα, Sα; α ∈ Π+\ hΘi} = X α∈Π+\hΘi
gα,
onde u = (gα ⊕ g−α) ∩ u = spanR{Aα, Sα}. Complexificando mΘ, obtemos o espaço
tangente complexificado TC
o FΘ, o qual podemos identificar com
mΘ =
X β∈Π\hΘi
gβ
O isomorfismo entre mΘ e ToFΘ é dado por d0π : mΘ→ ToFΘ, onde π : U → FΘ = U/KΘ
é a projeção canônica.
Ao longo deste trabalho, utilizaremos com frequência a estrutura de álgebra de Lie de u para compreender o comportamento dos vetores em mΘ. As constantes de estruturas
Lema 3.0.1 Os colchetes entre elementos da base 2.1 de u são dados por
[Aα, S−α] = 2iHα [Aα, Aβ] = mα,βAα+β+ m−α,βAα−β
[ihα, Aβ] = β(h)Sβ [Sα, Sβ] = −mα,βAα+β − mα,−βAα−β
[ihα, Sβ] = −β(h)Aβ [Aα, Sβ] = mα,βSα+β + mα,−βSα−β.
3.0.2
A representação de isotropia
A representação de isotropia desempenha, para os espaços homogêneos, um papel fundamental similar ao da representação adjunta em grupos de Lie, no estudo dos objetos invariantes.
Uma estrutura quase complexa invariante em M = G/K produz em Tx0M um tensor
invariante via a representação de isotropia. Por sua importância no estudo das variedades flag, passamos a descrevê-la agora.
Definição 3.0.2 Seja U/KΘ um espaço homogêneo. A representação de isotropia de KΘ
em Tx0FΘ é um homomorfismo
j : KΘ −→ Aut(Tx0U/KΘ),
definido por
j(k)X = dEk(X), para todo X ∈ Tx0U/KΘ,
onde
Ek : U/KΘ −→ U/KΘ
x 7−→ Ek(x) = kx
é a translação a esquerda, dEk : T (U/KΘ) −→ T (U/KΘ) é a sua diferencial sendo x =
vKΘ com v ∈ U .
O grupo {j(k) : k ∈ KΘ} é chamado de grupo de isotropia linear. Usando que o grupo
U/KΘ é redutível, podemos identificar a representação de isotropia
j(k) : Tx0(U/KΘ) −→ Tx0(U/KΘ)
A representação adjunta de KΘ deixa mΘ invariante e o decompõe em componentes
irredutíveis
mΘ= m1⊕ m2⊕ · · · ⊕ mn.
Cada componente irredutível mi é invariante por Ad(KΘ), ou seja, Ad(KΘ)(mi) ⊂ mi.
Além disso, Ad(KΘ)|mi é irredutível, isto é, para cada i, os únicos espaços invariantes por
Ad(KΘ)|mi são os triviais. Vamos nos referir aos mi como os somandos isotrópicos da
representação de isotropia.
3.0.3
Métricas invariantes em F
Θ Uma métrica Riemanniana ds2 em FΘ = U/KΘ é dita invariante à esquerda (ou U
-invariante) se o difeomorfismo Ea : FΘ → FΘ dada por Ea(gKΘ) = agKΘ for uma
isometria para todo a ∈ U . Uma métrica invariante é completamente determinada por seu valor na origem de FΘ.
Como FΘ é um espaço homogêneo redutível, existe uma correspondência biunívoca
entre as métricas U -invariantes em FΘ e os produtos escalares B invariantes por Ad(KΘ) :
mΘ → mΘ (veja, por exemplo, [21]).
Dado uma métrica invariante ds2 e seja B o correspondente produto escalar Ad(KΘ
)-invariante. Podemos escrever B como
B(·, ·) = h·, ·iΛ= −(Λ·, ·)
em que (·, ·) é a forma de Cartan-Killing de u e Λ : mΘ → mΘ é um operador simétrico e
positivo definido com respeito à forma de Cartan-Killing. O produto escalar B admite uma extensão natural a uma forma simétrica e bilinear em mC
Θ. Usaremos a mesma notação
para esta extensão.
A partir da decomposição mΘ = m1⊕m2⊕...⊕mnem componentes mi, irredutíveis pela
representação de isotropia, i = 1, 2, ..., n. Podemos usar o Lema de Schur para escrever Λ em cada componente mi como sendo
Desta forma, qualquer escalar Ad(KΘ)-invariante pode ser escrito da forma
B(X, Y ) = −(λ1(X, Y )m1 ⊕ . . . ⊕ λn(X, Y )mn),
onde X, Y ∈ mΘ. Assim, o conjunto das métricas invariantes pode ser parametrizado por
Mu = {(λ1, λ2, . . . , λn) ∈ Rn, λ1 > 0, λ2 > 0, . . . , λn > 0}.
Considerando o espaço tangente complexificado, o produto escalar B admite uma extensão natural a uma forma simétrica bilinear em mC
Θ. Denotando o produto escalar
complexificado pelo mesmo B e o correspondente operador por Λ. Em cada componente mC
α de mCΘ, temos Λ = λα· Id, como λ−α = λα> 0.
Observação 3.0.3 Ao longo deste trabalho, abusaremos da notação e diremos que Λ =
(λα)α∈Π\ Θ é uma métrica invariante em FΘ.
.
3.0.4
Estruturas quase complexas invariantes em F
ΘNesta seção, definimos as estruturas quase complexas invariantes no contexto de variedades flag, descrevendo-as completamente pelo sinal que seus autovalores complexos assumem em cada componente isotrópica como em [16].
Definição 3.0.4 Uma estrutura quase complexa em uma variedade flag FΘ é um campo
tensorial J tal que, em cada ponto, é um endomorfismo J : TxFΘ → TxFΘ satisfazendo
(J )2 = −Id.
Definição 3.0.5 Uma estrutura quase complexa J na variedade flag FΘ = U/KΘ é dita
U -invariante se
Jux= dEu◦ Jx◦ dEu−1
para todo u ∈ U
Estruturas quase complexas U -invariantes em FΘ (resumidamente eqci), são
uma correspondência biunívoca entre estruturas quase complexas J que são U -invariantes e estruturas complexa Jx0 em Tx0FΘ que comuta com o grupo de isotropia, isto é,
AdU/KΘ(k)J
x0 = Jx0d
U/KΘ(k).
Note que, a estrutura quase complexa invariante J satisfaz Jx0(gα) = gα, para todo
α ∈ Π. Se denotarmos por JC o complexificado de J , os autovalores de JC são ±i e os
autovetores em JCsão X
α com α ∈ Π. Assim, J (Xα) = iεαXα, com εα = ±1 e εα= −ε−α.
Desta forma, uma estrutura quase complexa JΘ fica determinada pelos sinais
{εα = ±1, α ∈ Π\ hΘi tal que εα = −ε−α}.
Observação 3.0.6 Por simplicidade e economia de índices, vamos denota a eqci J =
{εα}α∈R\hΘi somente por J = {εα}.
3.0.5
Estruturas quase Hermitianas (1,2)-simpléticas em F
Θ Métricas invariantes ds2Λ em FΘ são quase Hermitianas com relação a eqci JΘ, isto é
ds2Λ(J X, J Y ) = ds2Λ(X, Y ), para todos os campos vetoriais X,Y em FΘ, veja [23].
Denote por Ω = ΩJ,Λ a 2-forma fundamental
Ω(X, Y ) = ds2Λ(X, J Y ) = − hΛX, J Y i .
Esta forma estende-se, de maneira natural, a uma 2-forma U-invariante ao complexi-ficado mC de m, que continuaremos a denotar por Ω. Seus valores nos vetores da base
são Ω(Xα, Xβ) = −iλαεβhXα, Xβi , se β = −α 0, se β 6= −α . Se tomarmos uma base de Weyl para g, então Ω satisfaz
Observação 3.0.7 Quando a eqci é integrável, a 2-forma Ω é conhecida como forma
de Kähler da variedade quase Hermitiana FΘ. Neste trabalho abusaremos da notação e
chamaremos Ω de forma Kähler mesmo quando J não for integrável.
A diferencial de uma p-forma invariante ω em um espaço homogêneo é calculada em [14] como sendo dω(X0, . . . , Xp) = 1 p + 1 X i<j ω([Xi, Xj], X0, . . . ,Xci, . . . ,Xcj, . . . Xp).
A partir desta expressão, podemos calcular a diferencial da 2-forma Kähler, que será utilizada no decorrer deste trabalho. Se X, Y, Z ∈ mΘ são campos vetoriais em FΘ, então
a diferencial dΩ na origem é dada por
−1
3dΩ(X, Y, Z) = −Ω([X, Y ], Z) + Ω([X, Z], Y ) − Ω([Y, Z], X).
Para a variedade flag maximal, isto é, Θ = ∅, foi provado em [21] o seguinte resultado:
Proposição 3.0.8 A dΩ(Xα, Xβ, Xγ) é zero á menos α + β + γ = 0. Neste caso
dΩ(Xα, Xβ, Xγ) = −i3mα,β(λαεα+ λβεβ+ λγεγ).
Note que estamos usando os εα e λα para representar o par (J, Λ) = ({εα}, {λα}). Definição 3.0.9 Uma estrutura quase Hermitiana invariante (J, Λ) em um flag
genera-lizada FΘ é dita (1, 2)-simplética, ou quasi-Kähler, se satisfaz
dΩΘ(X, Y, Z) = 0 (3.2)
sempre que um dos vetores X, Y, Z ∈ mΘ é do tipo (1,0) e os outros dois são do tipo (0,1).
Observação 3.0.10 Por abuso de notação, algumas vezes, chamamos J de estrutura
(1,2)-simplética, ficando subintendido que estamos falando do par (J, Λ), quando Λ estiver previamente especificada.
A estrutura é (2, 1)-simplética se satisfaz a Equação 2.2, quando um dos vetores em mΘ é do tipo (0,1) e os outros dois são do tipo (1,0). Em nosso caso, estes dois tipos de
Definição 3.0.11 Seja uma eqci J = εΘ
α em FΘ. A tripla de raízes α, β, γ com α+β +γ =
0 é dita
1. Uma {0,3}-tripla se εΘ
α = εΘβ = εΘγ
2. Uma {1,2}-tripla caso contrário.
Note que, se as raízes α, β, γ formam uma {0,3}-tripla ( ou uma {1,2}-tripla) então as raízes simétricas −α, −β, −γ também formam uma {0,3}-tripla (respectivamente uma {1,2}-tripla).
A proposição a seguir, demonstrada em [21], fornece um critério para verificar se um par invariante (J, Λ) é (1, 2)-simplético em uma variedade flag FΘ.
Proposição 3.0.12 ([23]) O par (J, Λ) é (1, 2)-simplético em F se, e somente se,
εΘαλα+ εΘβλβ+ εΘγλγ = 0,
para toda {1,2}-tripla α, β, γ ∈ Π.
Usaremos a proposição acima no capítulo 4 para verificar se a eqci J é (1,2)-simplética com relação a uma métrica invariante Λ dada.
Capítulo 4
Estruturas quase complexas
harmônicas em variedades flag
Neste capitulo concentram-se os resultados que foram obtidos em variedades flag maximais (U/T, J, Λ). Usando propriedades das variedades flag e ferramentas da teoria de Lie, conseguimos escrever o operador Ric* e mostrar que este é diagonal em uma variedade flag maximal U/T . Como consequência, mostramos que toda estrutura quase
complexa invariante (eqci) em uma variedade flag é harmônica. Mostramos, também, que
toda variedade flag generalizada é ∗Einstein. Com este resultado foi possível estudar a estabilidade destas estruturas usando o Teorema 1.3.12. Encontramos uma classe de eqci em variedade flag maximais que são estáveis para toda métrica invariante, são as eqci parabólicas. Por fim, calculamos exemplos desta estruturas em SU (4)/T e G2/T . No que
segue, adotaremos R(X, Y )Z = ∇X∇Y Z − ∇Y ∇XZ − ∇[X,Y ]Z.
4.1
O operador Ric
*em uma variedade flag
Nesta seção, usaremos a notação da Seção 2.0.1. Seja (U/T, J, Λ) uma variedade flag maximal. Fixe uma base de Weyl {Aα, Sα, α ∈ Π+} para a forma real compacta u de g.
Como estamos em um contexto de variedade Hermitiana, podemos considerar o tensor Ricci e, mais geralmente o Ricci estrela (Ric*) que, neste caso, pode ser escrito da seguinte
forma 2 Ric*(X, Y ) = X γ∈Π+ hR(Aγ, J Aγ)X, J Y i + X γ∈Π+ hR(Sγ, J Sγ)X, J Y i. (4.1)
métrica Λ é dada por, veja [14]
∇YX = −12[Y, X]m+ U (Y, X), (4.2)
para cada X, Y ∈ m onde U : m × m → m é a aplicação bilinear simétrica satisfazendo
2 hU (X, Y ), Zi = h[Z, X], Y i + hX, [Z, Y ]i (4.3)
para todo X, Y, Z ∈ u. Nosso primeiro resultado para variedade flag U/T é o seguinte:
Lema 4.1.1 Na variedade flag maximal F = U/T valem as seguintes relações para o
operador U : • U (Aα, Sβ) = − m−α−β,α 2√λα+βλαS−α−β − m−α−β,β 2√λα+βλβ S−α−β • U (Aα, Aβ) = − m−α−β,α 2√λα+βλα A−α−β− m−α−β,β 2√λα+βλβ A−α−β • U (Sα, Sβ) = m−α−β,α 2√λα+βλα A−α−β + m−α−β,β 2√λα+βλβ A−α−β
Demonstração: Sejam Aα, Sβ, Sγ ∈ m. Note, primeiramente, que hU (Aα, Sβ), Sγi 6= 0
somente para triplas α, β, γ ∈ Π tais que α + β + γ = 0. Utilizando a Equação 3.3 e as relações dos colchetes descritas no lema 2.0.1, temos
2 hU (Aα, Sβ), S−α−βi = h[S−α−β, Aα], Sβi + hAα, [S−α−β, Sβ]i = * m−α−β,α q λα−βλα S−β + m−α−β,−α q λα−βλα −β−2α, Sβ + + * Aα, m−α−β,β q λα−βλβ A−α+ m−α−β,−β q λα−βλβ Aα−2β +
Como a métrica invariante Λ é ortogonal, chegamos que
U (Aα, Sβ) = − m−α−β,α 2qλα+βλα S−α−β− m−α−β,β q λα+βλβ S−α−β.
De forma análoga, fazemos 2 hU (Aα, Aβ), A−α−βi = h[A−α−β, Aα], Aβi + hAα, [A−α−β, Aβ]i = * m−α−β,α q λα+βλα A−β + mα+β,α q λα+βλα A−2α−β, Aβ + + * Aα, m−α−β,β q λα+βλβ A−α+ mα+β,β q λα+βλβ A−α−2β + e obtemos U (Aα, Aβ) = − m−α−β,α 2qλα+βλα A−α−β − m−α−β,β 2qλα+βλβ A−α−β. Finalmente, 2 hU (Sα, Sβ), A−α−βi = h[A−α−β, Sα], Sβi + hSα, [A−α−β, Sβ]i = * m−α−β,α q λα+βλα S−β + m−α−β,−α q λα−βλα S−2α−β, Sβ + + * Sα, m−α−β,β q λα+βλβ S−α+ mα+β,−β q λα+βλβ S−α−2β + .
Usando, novamente, a ortogonalidade da métrica concluímos que
U (Sα, Sβ) = m−α−β,α 2qλα+βλα A−α−β+ m−α−β,β q λα+βλβ A−α−β como queríamos.
Para a variedade flag maximal U/T vale a propriedade do Ric* diagonal, utilizada
por M. Wood em [25], ver Teorema 1.3.12, para classificar as estruturas quase hermitiana harmônicas. Para verificar se o Ric* é diagonal é suficiente calcular expressão 3.1 numa
base de Weyl, isto é, calcular Ric*(A
α, Aβ), Ric*(Sα, Sβ) e Ric*(Sα, Aβ), onde Aα, Aβ ∈ u
com α, β ∈ Π+.
A expressão de Ric*(A
α, Aβ) pode ser escrita da seguinte forma
2 Ric*(Aα, Aβ) = X γ∈Π+ hR(Aγ, J Aγ)Aα, J Aβi + X γ∈Π+ hR(Sγ, J Sγ)Aα, J Aβi.
Note que, na primeira parcela do somatório do Ric*(A
α, Aβ), aparece a expressão
R(Aα, J Aα)Aβ = ∇Aα∇J AαAβ − ∇J Aα∇AαAβ − ∇[Aα,J Aα]Aβ. (4.4)
Faremos o cálculo de cada parcela de 3.4 separadamente. O primeiro termo pode ser escrito como sendo
∇Aα∇J AαAβ = ∇Aα −1 2[J Aα, Aβ] + U (J Aα, Aβ) = −1 2εα∇Aα(−mα,βSα+β − mα,−βSα−β) + εα∇Aα − m−α−β,α 2qλα+βλα S−α−β− m−α−β,β q λα+βλβ S−α−β = 1 2mα,βεα∇AαSα+β+ 1 2mα,−βεα∇AαSα−β − m−α−β,α 2qλα+βλα εα∇AαS−α−β − m−α−β,β 2qλα+βλβ εα∇AαS−α−β = −1 4mα,−α−βmα,βεαS−β− 1 4mα,−α−βmα,−βεαSβ + mα,−α−βm−α−β,α 4qλα+βλα + mβ,αm−α−β,α 4λα q λα+βλβ + mβ,αmβ,−α−β 4λβ q λα+βλα εαS−β mα,−α−βm−α−β,β 4qλα+βλβ +mβ,αm−α−β,β 4λβ q λα+βλα + m−α−β,β 4λα+βλβ εαS−β (4.5)
Para o segundo termo ∇J Aα∇AαAβ da Equação 3.4, fazemos ∇J Aα∇AαAβ = ∇J Aα −1 2[Aα, Aβ] + U (Aα, Aβ) = −1 2εα∇Sα[Aα, Aβ] + εα∇SαU (Aα, Aβ) = −mα,β 2 εα∇SαAα+β − m−α,β 2 εα∇SαAα−β − m−α−β,α 2qλα+βλα εα∇SαA−α−β− m−α−β,β 2qλα+βλβ εα∇SαA−α−β = −mα,βmα,−α−β 4 εαS−β− mα,β 2 εαU (Sα, Aα+β) − m−α,βmα,−α+β 4 εαSβ − m−α,β 2 εαU (Sα, Aα−β) − m−α−β,α 2qλα+βλα εα 1 2mα,−α−βS−β+ mα,α+βSβ − mβ,α 2qλβλα Sβ− mβ,−α−β 2qλα+βλβ Sβ − m−α−β,β 2qλα+βλβ εα 1 2mα,−α−βS−β+ mα,α+βSβ− mβ,α 2qλβλα Sβ − mβ,−α−β 2qλα+βλβ Sβ = mα,βmα,−α−β 4 εαS−β − m−α,βmα,−α+β 4 εαSβ − mα,−α−βm−α−β,α 4qλα+βλα −mα,α+βm−α−β,α 2qλα+βλα + mβ,αm−α−β,α 4λα q λα+βλβ + mβ,−α−βm−α−β,α 4λα+β q λβλα εαS−β − mα,−α−βm−α−β,β 4qλα+βλβ − mα,α+βm−α−β,β 2qλα+βλβ + mβ,αm−α−β,β 4λβ q λα+βλα +mβ,−α−βm−α−β,β 4λα+β q λαλβ εαS−β (4.6)
O último termo em 3.2 vale
∇[J Aα,Aα]Aβ = −εα∇[Sα,Aα]Aβ = εα· ∇2hαAβ −εα 2 · ([hα, Aβ] + U (hα, Aβ)) = −εα 2 · β(hα)Sβ + εα 4 β(hα)Sβ (4.7)
Note que, nos demais termos do somatório em Ric*(A
α, Aβ) aparecem termos
R(Sα, J Sα)Aβ e R(Aα, J Aα)Aβ . Mas pelas propriedade antissimétrica do operador
curvatura R, valem as igualdades
Assim, é suficiente trabalhar na seguinte expressão
R(Aα, J Aα)Sβ = ∇Aα∇J AαSβ− ∇J Aα∇AαSβ − ∇[Aα,J Aα]Sβ. (4.9)
fazemos os cálculos de 3.9 termo à termo
∇Aα∇J AαSβ = ∇Aα −1 2[J Aα, Sβ] + U (J Aα, Sβ) = −εα∇Aα 1 2[Sα, Sβ] + εα∇SαU (Sα, Sβ) = −εα 2 ∇Aα − mα,β q λβλα Aα+β − mα,−β q λβλα Aα−β + εα∇Aα m−α−β,α 2qλα+βλα A−α−β+ m−α−β,β 2qλα+βλβ A−α−β = εα 2 mα,β q λβλα ∇AαAα+β + εα 2 mα,−β q λβλα ∇SαAα−β − εα m−α−β,α 2qλα+βλα + m−α−β,β 2qλα+βλβ ∇AαA−α−β = εα 2 mα,β q λβλα · −1 2[Aα, Aα+β] + U (Aα, Aα+β) + εα 2 mα,β q λβλα · −1 2[Aα, Aα−β] + U (Aα, Aα−β) − εα m−α−β,α 2qλα+βλα + m−α−β,β 2qλα+βλβ ∇AαA−α−β = −εα 4 m−α,α+βmα,β q λβλα A−β + εα 2 m−α,α−βmα,β q λβλα A−β − m−α−β,α 2qλα+βλα + m−α−β,β 2qλα+βλβ 1 2mα,−α−β− mβ,α 2qλβλα − mβ,−α−β 2qλα+βλβ εαAβ
e ∇J Aα∇AαSβ = ∇J Aα −1 2[Aα, Sβ] + U (Aα, Sβ) = −εα∇Sα 1 2[Aα, Sβ] + εα∇SαU (Aα, Sβ) = −εα 2 ∇Sα mα,β q λβλα Sα+β mα,−β q λβλα Sα−β + εα∇Sα − m−α−β,α 2qλα+βλα − m−α−β,β 2qλα+βλβ S−α−β −εα 2 mα,β q λβλα ∇SαSα+β− εα 2 mα,−β q λβλα ∇SαSα−β + εα − m−α−β,α 2qλα+βλα − m−α−β,β 2qλα+βλβ ∇SαS−α−β = εα 4 mα,−α−βmα,β q λβλα A−β+ εα 4 mα,−α+βmα,β q λβλα Aβ −mα,−α+β 2 − m−α−β,α 2qλα+βλα − m−α−β,β 2qλα+βλβ εαAβ Ainda ∇[Aα,J Aα]Sβ = εα∇[Aα,Sα]Sβ = εα mβ−α,−β √ λβ−αλβ ∇2hα Sβ = 2εα· ([hα, Sβ] + U (hα, Sβ)) = −2εα· β(hα)Aβ− εαβ(hα)Aβ+ εαAβ
Assim, vale o seguinte resultado.
Proposição 4.1.2 Seja J = {εα} uma estrutura quase complexa invariante na variedade
flag U/T e Λ = {λα} uma métrica invariante. Nestas condições vale a seguinte relação
para a 2-forma de Ricci
R(Aα, J Aα)Aβ = εαf (λα, mα)Sβ,
onde f depende do par (J, Λ) e é dada pela soma das expressões 3.5 +3.6+3.7.
Proposição 4.1.3 Seja J = {εα} uma estrutura quase complexa invariante na variedade
flag U/T e Λ = {λα} uma métrica invariante. Nestas condições vale a seguinte relação
para a 2-forma de Ricci
R(Sα, J Sα)Aβ = εαf (λb αmα)Sβ
R(Aα, J Aα)Sβ = εαφ(λα, mα)Aβ
R(Sα, J Sα)Sβ = εαφ(λb α, mα)Aβ
em que f , φ,b φ têm expressões que dependem de εb α, λα e mα, como na Proposição 3.1.2
acima.
Mais geralmente, vale o seguinte resultado.
Corolário 4.1.4 Seja J = {εα} uma estrutura quase complexa invariante na variedade
flag U/T e Λ = {λα} uma métrica invariante. Nestas condições vale a seguinte relação
Ric*(Sα, Aα) = 0.
Demonstração: De fato, pela proposição 3.1.3, vale a relação
Ric*(Sα, Aα) = X γ∈Π+ hR(Aγ, J Aγ)Sα, J Aαi + X γ∈Π+ hR(Sγ, J Sγ)Sα, J Aαi = X γ∈Π+ hεγg(λγ, mγ)Aα, J Aαi + X γ∈Π+ hεγg(λˆ γ, mγ)Aα, J Aαi = X γ∈Π+ hεαεγg(λγ, mγ)Aα, Sαi + X γ∈Π+ hεαεγˆg(λγ, mγ)Aα, Sαi = 0
Corolário 4.1.5 Toda estrutura quase complexa invariante na variedade flag maximal
U/T é harmônica.
Demonstração: Queremos verificar que o operador Ric*(X, Y ) é diagonal em U/T .
Para isso é suficiente verificar em uma base ortonormaln√Aα
λα,
Sα √
λα, α ∈ Π
