Séries SeminárioArthur

S´

eries em espa¸cos normados

Arthur Silvestrin Severiano

Universidade Federal de Uberlˆandia

S´

eries

Seja (xn)∞n=1 uma sequˆencia num espa¸co vetorial normado E . Para

cada n = 1, 2, 3, . . . , formemos a soma parcial (ou reduzida) sn= x1+ x2+ . . . + xn dos elementos da sequˆencia (xn)∞n=1. Se

existe a ∈ E tal que a = lim

n→∞sn, dizemos que a ´e a soma da s´erie

P xn e escrevemos a = ∞ X n=1 xn= x1+ x2+ . . . + xn+ . . .

Neste caso, a s´erie diz-se convergente. Quando a sequˆencia das somas parciais (sn)∞n=1 n˜ao possuir limite em E , dizemos que a

S´

eries

Seja (xn)∞n=1 uma sequˆencia num espa¸co vetorial normado E .

Para cada n = 1, 2, 3, . . . , formemos a soma parcial (ou reduzida) sn= x1+ x2+ . . . + xn dos elementos da sequˆencia (xn)∞n=1. Se

existe a ∈ E tal que a = lim

n→∞sn, dizemos que a ´e a soma da s´erie

P xn e escrevemos a = ∞ X n=1 xn= x1+ x2+ . . . + xn+ . . .

Neste caso, a s´erie diz-se convergente. Quando a sequˆencia das somas parciais (sn)∞n=1 n˜ao possuir limite em E , dizemos que a

S´

eries

Seja (xn)∞n=1 uma sequˆencia num espa¸co vetorial normado E . Para

cada n = 1, 2, 3, . . . , formemos a soma parcial (ou reduzida) sn= x1+ x2+ . . . + xn dos elementos da sequˆencia (xn)∞n=1.

Se existe a ∈ E tal que a = lim

n→∞sn, dizemos que a ´e a soma da s´erie

P xn e escrevemos a = ∞ X n=1 xn= x1+ x2+ . . . + xn+ . . .

Neste caso, a s´erie diz-se convergente. Quando a sequˆencia das somas parciais (sn)∞n=1 n˜ao possuir limite em E , dizemos que a

S´

eries

Seja (xn)∞n=1 uma sequˆencia num espa¸co vetorial normado E . Para

cada n = 1, 2, 3, . . . , formemos a soma parcial (ou reduzida) sn= x1+ x2+ . . . + xn dos elementos da sequˆencia (xn)∞n=1. Se

existe a ∈ E tal que a = lim

n→∞sn, dizemos que a ´e a soma da s´erie

P xn e escrevemos a = ∞ X n=1 xn= x1+ x2+ . . . + xn+ . . .

Neste caso, a s´erie diz-se convergente. Quando a sequˆencia das somas parciais (sn)∞n=1 n˜ao possuir limite em E , dizemos que a

S´

eries

Seja (xn)∞n=1 uma sequˆencia num espa¸co vetorial normado E . Para

cada n = 1, 2, 3, . . . , formemos a soma parcial (ou reduzida) sn= x1+ x2+ . . . + xn dos elementos da sequˆencia (xn)∞n=1. Se

existe a ∈ E tal que a = lim

n→∞sn, dizemos que a ´e a soma da s´erie

P xn e escrevemos a = ∞ X n=1 xn= x1+ x2+ . . . + xn+ . . .

Neste caso, a s´erie diz-se convergente. Quando a sequˆencia das somas parciais (sn)∞n=1 n˜ao possuir limite em E , dizemos que a

S´

eries

Seja (xn)∞n=1 uma sequˆencia num espa¸co vetorial normado E . Para

cada n = 1, 2, 3, . . . , formemos a soma parcial (ou reduzida) sn= x1+ x2+ . . . + xn dos elementos da sequˆencia (xn)∞n=1. Se

existe a ∈ E tal que a = lim

n→∞sn, dizemos que a ´e a soma da s´erie

P xn e escrevemos a = ∞ X n=1 xn= x1+ x2+ . . . + xn+ . . .

Neste caso, a s´erie diz-se convergente.

Quando a sequˆencia das somas parciais (sn)∞n=1 n˜ao possuir limite em E , dizemos que a

S´

eries

Seja (xn)∞n=1 uma sequˆencia num espa¸co vetorial normado E . Para

cada n = 1, 2, 3, . . . , formemos a soma parcial (ou reduzida) sn= x1+ x2+ . . . + xn dos elementos da sequˆencia (xn)∞n=1. Se

existe a ∈ E tal que a = lim

n→∞sn, dizemos que a ´e a soma da s´erie

P xn e escrevemos a = ∞ X n=1 xn= x1+ x2+ . . . + xn+ . . .

Neste caso, a s´erie diz-se convergente. Quando a sequˆencia das somas parciais (sn)∞n=1 n˜ao possuir limite em E , dizemos que a

Exemplos

Exemplo 1: Sejam o espa¸co vetorial normado R, com a norma usual kx k = |x |, para todo x ∈ R, e o conjunto

X = {x ∈ R ; |x| < 1}. Fixando-se um x ∈ X e tomando-se

xn= xn, para todo n ∈ N, a sequˆencia (sn)∞_n=0(o ´ındice foi tomado

de 0 em diante para facilitar contas) das somas parciais dos elementos de (xn)∞n=1´e convergente, isto ´e, a s´erie P xn =P xn´e

convergente. Com efeito, um c´alculo simples nos mostra que, para sn= 1 + x1+ x2+ . . . + xn,

Exemplos

Exemplo 1:

Sejam o espa¸co vetorial normado R, com a norma usual kx k = |x |, para todo x ∈ R, e o conjunto

X = {x ∈ R ; |x| < 1}. Fixando-se um x ∈ X e tomando-se

xn= xn, para todo n ∈ N, a sequˆencia (sn)∞_n=0(o ´ındice foi tomado

de 0 em diante para facilitar contas) das somas parciais dos elementos de (xn)∞n=1´e convergente, isto ´e, a s´erie P xn =P xn´e

convergente. Com efeito, um c´alculo simples nos mostra que, para sn= 1 + x1+ x2+ . . . + xn,

Exemplos

Exemplo 1: Sejam o espa¸co vetorial normado R, com a norma usual kx k = |x |, para todo x ∈ R, e o conjunto

X = {x ∈ R ; |x| < 1}.

Fixando-se um x ∈ X e tomando-se

xn= xn, para todo n ∈ N, a sequˆencia (sn)∞_n=0(o ´ındice foi tomado

de 0 em diante para facilitar contas) das somas parciais dos elementos de (xn)∞n=1´e convergente, isto ´e, a s´erie P xn =P xn´e

convergente. Com efeito, um c´alculo simples nos mostra que, para sn= 1 + x1+ x2+ . . . + xn,

Exemplos

Exemplo 1: Sejam o espa¸co vetorial normado R, com a norma usual kx k = |x |, para todo x ∈ R, e o conjunto

X = {x ∈ R ; |x| < 1}. Fixando-se um x ∈ X e tomando-se

xn= xn, para todo n ∈ N, a sequˆencia (sn)∞n=0(o ´ındice foi tomado

de 0 em diante para facilitar contas) das somas parciais dos elementos de (xn)∞n=1 ´e convergente, isto ´e, a s´erie P xn=P xn´e

convergente.

Com efeito, um c´alculo simples nos mostra que, para sn= 1 + x1+ x2+ . . . + xn,

Exemplos

Exemplo 1: Sejam o espa¸co vetorial normado R, com a norma usual kx k = |x |, para todo x ∈ R, e o conjunto

X = {x ∈ R ; |x| < 1}. Fixando-se um x ∈ X e tomando-se

xn= xn, para todo n ∈ N, a sequˆencia (sn)∞n=0(o ´ındice foi tomado

de 0 em diante para facilitar contas) das somas parciais dos elementos de (xn)∞n=1 ´e convergente, isto ´e, a s´erie P xn=P xn´e

convergente. Com efeito, um c´alculo simples nos mostra que, para

sn= 1 + x1+ x2+ . . . + xn,

Exemplos

Exemplo 1: Sejam o espa¸co vetorial normado R, com a norma usual kx k = |x |, para todo x ∈ R, e o conjunto

X = {x ∈ R ; |x| < 1}. Fixando-se um x ∈ X e tomando-se

xn= xn, para todo n ∈ N, a sequˆencia (sn)∞n=0(o ´ındice foi tomado

de 0 em diante para facilitar contas) das somas parciais dos elementos de (xn)∞n=1 ´e convergente, isto ´e, a s´erie P xn=P xn´e

convergente. Com efeito, um c´alculo simples nos mostra que, para sn= 1 + x1+ x2+ . . . + xn,

Exemplos

Exemplo 1: Sejam o espa¸co vetorial normado R, com a norma usual kx k = |x |, para todo x ∈ R, e o conjunto

X = {x ∈ R ; |x| < 1}. Fixando-se um x ∈ X e tomando-se

xn= xn, para todo n ∈ N, a sequˆencia (sn)∞n=0(o ´ındice foi tomado

de 0 em diante para facilitar contas) das somas parciais dos elementos de (xn)∞n=1 ´e convergente, isto ´e, a s´erie P xn=P xn´e

convergente. Com efeito, um c´alculo simples nos mostra que, para sn= 1 + x1+ x2+ . . . + xn,

Exemplos

sn− x · sn= (1 + x1+ x2+ . . . + xn) − (x1+ x2+ . . . + xn+1)

= 1 + x1− x1+ x2− x2+ . . . + xn− xn− xn+1

= 1 − xn+1. (1)

Por outro lado,

sn− x · sn= sn· (1 − x). (2) De (1) e de (2) segue que sn· (1 − x) = 1 − xn+1 ⇐⇒ sn = 1 (1 − x )· (1 − x n+1_{). (3)}

Exemplos

sn− x · sn= (1 + x1+ x2+ . . . + xn) − (x1+ x2+ . . . + xn+1)

= 1 + x1− x1+ x2− x2+ . . . + xn− xn− xn+1

= 1 − xn+1. (1)

Por outro lado,

sn− x · sn= sn· (1 − x). (2) De (1) e de (2) segue que sn· (1 − x) = 1 − xn+1 ⇐⇒ sn = 1 (1 − x )· (1 − x n+1_{). (3)}

Exemplos

sn− x · sn= (1 + x1+ x2+ . . . + xn) − (x1+ x2+ . . . + xn+1)

= 1 + x1− x1+ x2− x2+ . . . + xn− xn− xn+1

= 1 − xn+1. (1)

Por outro lado,

sn− x · sn= sn· (1 − x). (2) De (1) e de (2) segue que sn· (1 − x) = 1 − xn+1 ⇐⇒ sn = 1 (1 − x )· (1 − x n+1_{). (3)}

Exemplos

sn− x · sn= (1 + x1+ x2+ . . . + xn) − (x1+ x2+ . . . + xn+1)

= 1 + x1− x1+ x2− x2+ . . . + xn− xn− xn+1

= 1 − xn+1. (1)

Por outro lado,

sn− x · sn= sn· (1 − x). (2) De (1) e de (2) segue que sn· (1 − x) = 1 − xn+1 ⇐⇒ sn = 1 (1 − x )· (1 − x n+1_{). (3)}

Exemplos

sn− x · sn= (1 + x1+ x2+ . . . + xn) − (x1+ x2+ . . . + xn+1)

= 1 + x1− x1+ x2− x2+ . . . + xn− xn− xn+1

= 1 − xn+1. (1)

Por outro lado,

sn− x · sn= sn· (1 − x). (2) De (1) e de (2) segue que sn· (1 − x) = 1 − xn+1 ⇐⇒ sn= 1 (1 − x )· (1 − x n+1_{). (3)}

Exemplos

Observe que, como |x | < 1, tem-se que −1 < x < 1, de onde, quando n → ∞ em (3), segue que

lim n→∞sn= limn→∞  1 1 − x · (1 − x n+1₎  = lim n→∞  1 1 − x  · lim n→∞(1 − x n+1₎ = lim n→∞  1 1 − x  · 1 = 1 1 − x,

provando, de fato, que a s´erie P xn_{´e convergente.}

Exemplos

Observe que, como |x | < 1, tem-se que −1 < x < 1, de onde, quando n → ∞ em (3), segue que

lim n→∞sn= limn→∞  1 1 − x · (1 − x n+1₎  = lim n→∞  1 1 − x  · lim n→∞(1 − x n+1₎ = lim n→∞  1 1 − x  · 1 = 1 1 − x,

provando, de fato, que a s´erie P xn_{´e convergente.}

Exemplos

Observe que, como |x | < 1, tem-se que −1 < x < 1, de onde, quando n → ∞ em (3), segue que

lim n→∞sn= limn→∞  1 1 − x · (1 − x n+1₎  = lim n→∞  1 1 − x  · lim n→∞(1 − x n+1₎ = lim n→∞  1 1 − x  · 1 = 1 1 − x,

provando, de fato, que a s´erie P xn_{´e convergente.}

Exemplos

Observe que, como |x | < 1, tem-se que −1 < x < 1, de onde, quando n → ∞ em (3), segue que

lim n→∞sn= limn→∞  1 1 − x · (1 − x n+1₎  = lim n→∞  1 1 − x  · lim n→∞(1 − x n+1₎ = lim n→∞  1 1 − x  · 1 = 1 1 − x,

provando, de fato, que a s´erie P xn_{´e convergente.}

Exemplos

Exemplo 2:

Seja E o conjunto das transforma¸c˜oes lineares

T : Rn−→ Rn_{. N˜ao provaremos, nesta aula, que E se trata de um}

espa¸co vetorial normado com a norma

kT k = sup{kT (x)k x ∈ Rn_{, kx k = 1}; portanto, apenas}

admitamos tais fatos. Al´em disso, consideremos E munido de uma multiplica¸c˜ao (composi¸c˜ao) tal que, dadas S , T ∈ E ,

kS · T k ≤ kSkkT k. Se T : Rn_{−→ R}n_{´e uma transforma¸c˜ao linear}

com kT k < 1, ent˜ao kT (x )k < kx k, para todo x ∈ Rn, com kxk = 1 e, portanto, x − T (x) 6= 0 (suponha, por absurdo, que x − T (x ) = 0. Ent˜ao, x = T (x ) e, portanto, kx k = kT (x )k, o que ´e um absurdo, j´a que kT (x )k < kx k) para todo x 6= 0 em Rn, com kxk = 1, o que nos garante que (I − T ) restrita a todo x ∈ Rn_,

com kx k = 1, ´e injetiva, j´a que ker(I − T ) = {0} (pois para todo x 6= 0 em Rn, com kx k = 1, tem-se (I − T )(x ) 6= 0 e para x = 0, (I − T )(x ) = 0, j´a que (I − T ) ´e transforma¸c˜ao linear). N˜ao ´e dif´ıcil concluir que sendo (I − T ) injetiva e definindo-a de {x ∈ Rn _{; kx k = 1} em {(I − T )(x ) ∈ R}n _{; kx k = 1}, (I − T )}

Exemplos

Exemplo 2: Seja E o conjunto das transforma¸c˜oes lineares T : Rn−→ Rn_.

N˜ao provaremos, nesta aula, que E se trata de um espa¸co vetorial normado com a norma

kT k = sup{kT (x)k x ∈ Rn_{, kx k = 1}; portanto, apenas}

admitamos tais fatos. Al´em disso, consideremos E munido de uma multiplica¸c˜ao (composi¸c˜ao) tal que, dadas S , T ∈ E ,

kS · T k ≤ kSkkT k. Se T : Rn_{−→ R}n_{´e uma transforma¸c˜ao linear}

com kT k < 1, ent˜ao kT (x )k < kx k, para todo x ∈ Rn, com kxk = 1 e, portanto, x − T (x) 6= 0 (suponha, por absurdo, que x − T (x ) = 0. Ent˜ao, x = T (x ) e, portanto, kx k = kT (x )k, o que ´e um absurdo, j´a que kT (x )k < kx k) para todo x 6= 0 em Rn, com kxk = 1, o que nos garante que (I − T ) restrita a todo x ∈ Rn_,

com kx k = 1, ´e injetiva, j´a que ker(I − T ) = {0} (pois para todo x 6= 0 em Rn, com kx k = 1, tem-se (I − T )(x ) 6= 0 e para x = 0, (I − T )(x ) = 0, j´a que (I − T ) ´e transforma¸c˜ao linear). N˜ao ´e dif´ıcil concluir que sendo (I − T ) injetiva e definindo-a de {x ∈ Rn _{; kx k = 1} em {(I − T )(x ) ∈ R}n _{; kx k = 1}, (I − T )}

Exemplos

Exemplo 2: Seja E o conjunto das transforma¸c˜oes lineares

T : Rn−→ Rn_{. N˜ao provaremos, nesta aula, que E se trata de um}

espa¸co vetorial normado com a norma

kT k = sup{kT (x)k x ∈ Rn_{, kx k = 1}; portanto, apenas}

admitamos tais fatos.

Al´em disso, consideremos E munido de uma multiplica¸c˜ao (composi¸c˜ao) tal que, dadas S , T ∈ E ,

kS · T k ≤ kSkkT k. Se T : Rn_{−→ R}n_{´e uma transforma¸c˜ao linear}

com kT k < 1, ent˜ao kT (x )k < kx k, para todo x ∈ Rn, com kxk = 1 e, portanto, x − T (x) 6= 0 (suponha, por absurdo, que x − T (x ) = 0. Ent˜ao, x = T (x ) e, portanto, kx k = kT (x )k, o que ´e um absurdo, j´a que kT (x )k < kx k) para todo x 6= 0 em Rn, com kxk = 1, o que nos garante que (I − T ) restrita a todo x ∈ Rn_,

com kx k = 1, ´e injetiva, j´a que ker(I − T ) = {0} (pois para todo x 6= 0 em Rn, com kx k = 1, tem-se (I − T )(x ) 6= 0 e para x = 0, (I − T )(x ) = 0, j´a que (I − T ) ´e transforma¸c˜ao linear). N˜ao ´e dif´ıcil concluir que sendo (I − T ) injetiva e definindo-a de {x ∈ Rn _{; kx k = 1} em {(I − T )(x ) ∈ R}n _{; kx k = 1}, (I − T )}

Exemplos

Exemplo 2: Seja E o conjunto das transforma¸c˜oes lineares

T : Rn−→ Rn_{. N˜ao provaremos, nesta aula, que E se trata de um}

espa¸co vetorial normado com a norma

kT k = sup{kT (x)k x ∈ Rn_{, kx k = 1}; portanto, apenas}

admitamos tais fatos. Al´em disso, consideremos E munido de uma multiplica¸c˜ao (composi¸c˜ao) tal que, dadas S , T ∈ E ,

kS · T k ≤ kSkkT k.

Se T : Rn_{−→ R}n_{´e uma transforma¸c˜ao linear}

com kT k < 1, ent˜ao kT (x )k < kx k, para todo x ∈ Rn, com kxk = 1 e, portanto, x − T (x) 6= 0 (suponha, por absurdo, que x − T (x ) = 0. Ent˜ao, x = T (x ) e, portanto, kx k = kT (x )k, o que ´e um absurdo, j´a que kT (x )k < kx k) para todo x 6= 0 em Rn, com kxk = 1, o que nos garante que (I − T ) restrita a todo x ∈ Rn_,

com kx k = 1, ´e injetiva, j´a que ker(I − T ) = {0} (pois para todo x 6= 0 em Rn, com kx k = 1, tem-se (I − T )(x ) 6= 0 e para x = 0, (I − T )(x ) = 0, j´a que (I − T ) ´e transforma¸c˜ao linear). N˜ao ´e dif´ıcil concluir que sendo (I − T ) injetiva e definindo-a de {x ∈ Rn _{; kx k = 1} em {(I − T )(x ) ∈ R}n _{; kx k = 1}, (I − T )}

Exemplos

Exemplo 2: Seja E o conjunto das transforma¸c˜oes lineares

T : Rn−→ Rn_{. N˜ao provaremos, nesta aula, que E se trata de um}

espa¸co vetorial normado com a norma

kT k = sup{kT (x)k x ∈ Rn_{, kx k = 1}; portanto, apenas}

admitamos tais fatos. Al´em disso, consideremos E munido de uma multiplica¸c˜ao (composi¸c˜ao) tal que, dadas S , T ∈ E ,

kS · T k ≤ kSkkT k. Se T : Rn_{−→ R}n _{´e uma transforma¸c˜ao linear}

com kT k < 1, ent˜ao kT (x )k < kx k, para todo x ∈ Rn, com kxk = 1 e, portanto, x − T (x) 6= 0

(suponha, por absurdo, que x − T (x ) = 0. Ent˜ao, x = T (x ) e, portanto, kx k = kT (x )k, o que ´e um absurdo, j´a que kT (x )k < kx k) para todo x 6= 0 em Rn, com kxk = 1, o que nos garante que (I − T ) restrita a todo x ∈ Rn_,

com kx k = 1, ´e injetiva, j´a que ker(I − T ) = {0} (pois para todo x 6= 0 em Rn, com kx k = 1, tem-se (I − T )(x ) 6= 0 e para x = 0, (I − T )(x ) = 0, j´a que (I − T ) ´e transforma¸c˜ao linear). N˜ao ´e dif´ıcil concluir que sendo (I − T ) injetiva e definindo-a de {x ∈ Rn _{; kx k = 1} em {(I − T )(x ) ∈ R}n _{; kx k = 1}, (I − T )}

Exemplos

Exemplo 2: Seja E o conjunto das transforma¸c˜oes lineares

T : Rn−→ Rn_{. N˜ao provaremos, nesta aula, que E se trata de um}

espa¸co vetorial normado com a norma

kT k = sup{kT (x)k x ∈ Rn_{, kx k = 1}; portanto, apenas}

admitamos tais fatos. Al´em disso, consideremos E munido de uma multiplica¸c˜ao (composi¸c˜ao) tal que, dadas S , T ∈ E ,

kS · T k ≤ kSkkT k. Se T : Rn_{−→ R}n _{´e uma transforma¸c˜ao linear}

com kT k < 1, ent˜ao kT (x )k < kx k, para todo x ∈ Rn, com kxk = 1 e, portanto, x − T (x) 6= 0 (suponha, por absurdo, que x − T (x ) = 0. Ent˜ao, x = T (x ) e, portanto, kx k = kT (x )k, o que ´e um absurdo, j´a que kT (x )k < kx k)

para todo x 6= 0 em Rn, com kxk = 1, o que nos garante que (I − T ) restrita a todo x ∈ Rn_,

com kx k = 1, ´e injetiva, j´a que ker(I − T ) = {0} (pois para todo x 6= 0 em Rn, com kx k = 1, tem-se (I − T )(x ) 6= 0 e para x = 0, (I − T )(x ) = 0, j´a que (I − T ) ´e transforma¸c˜ao linear). N˜ao ´e dif´ıcil concluir que sendo (I − T ) injetiva e definindo-a de {x ∈ Rn _{; kx k = 1} em {(I − T )(x ) ∈ R}n _{; kx k = 1}, (I − T )}

Exemplos

Exemplo 2: Seja E o conjunto das transforma¸c˜oes lineares

T : Rn−→ Rn_{. N˜ao provaremos, nesta aula, que E se trata de um}

espa¸co vetorial normado com a norma

kT k = sup{kT (x)k x ∈ Rn_{, kx k = 1}; portanto, apenas}

admitamos tais fatos. Al´em disso, consideremos E munido de uma multiplica¸c˜ao (composi¸c˜ao) tal que, dadas S , T ∈ E ,

kS · T k ≤ kSkkT k. Se T : Rn_{−→ R}n _{´e uma transforma¸c˜ao linear}

com kT k < 1, ent˜ao kT (x )k < kx k, para todo x ∈ Rn, com kxk = 1 e, portanto, x − T (x) 6= 0 (suponha, por absurdo, que x − T (x ) = 0. Ent˜ao, x = T (x ) e, portanto, kx k = kT (x )k, o que ´e um absurdo, j´a que kT (x )k < kx k) para todo x 6= 0 em Rn, com kxk = 1,

o que nos garante que (I − T ) restrita a todo x ∈ Rn, com kx k = 1, ´e injetiva, j´a que ker(I − T ) = {0} (pois para todo x 6= 0 em Rn, com kx k = 1, tem-se (I − T )(x ) 6= 0 e para x = 0, (I − T )(x ) = 0, j´a que (I − T ) ´e transforma¸c˜ao linear). N˜ao ´e dif´ıcil concluir que sendo (I − T ) injetiva e definindo-a de {x ∈ Rn _{; kx k = 1} em {(I − T )(x ) ∈ R}n _{; kx k = 1}, (I − T )}

Exemplos

Exemplo 2: Seja E o conjunto das transforma¸c˜oes lineares

T : Rn−→ Rn_{. N˜ao provaremos, nesta aula, que E se trata de um}

espa¸co vetorial normado com a norma

kT k = sup{kT (x)k x ∈ Rn_{, kx k = 1}; portanto, apenas}

admitamos tais fatos. Al´em disso, consideremos E munido de uma multiplica¸c˜ao (composi¸c˜ao) tal que, dadas S , T ∈ E ,

kS · T k ≤ kSkkT k. Se T : Rn_{−→ R}n _{´e uma transforma¸c˜ao linear}

com kT k < 1, ent˜ao kT (x )k < kx k, para todo x ∈ Rn, com kxk = 1 e, portanto, x − T (x) 6= 0 (suponha, por absurdo, que x − T (x ) = 0. Ent˜ao, x = T (x ) e, portanto, kx k = kT (x )k, o que ´e um absurdo, j´a que kT (x )k < kx k) para todo x 6= 0 em Rn, com kxk = 1, o que nos garante que (I − T ) restrita a todo x ∈ Rn_,

com kx k = 1, ´e injetiva, j´a que ker(I − T ) = {0}

(pois para todo x 6= 0 em Rn, com kx k = 1, tem-se (I − T )(x ) 6= 0 e para x = 0, (I − T )(x ) = 0, j´a que (I − T ) ´e transforma¸c˜ao linear). N˜ao ´e dif´ıcil concluir que sendo (I − T ) injetiva e definindo-a de {x ∈ Rn _{; kx k = 1} em {(I − T )(x ) ∈ R}n _{; kx k = 1}, (I − T )}

Exemplos

Exemplo 2: Seja E o conjunto das transforma¸c˜oes lineares

T : Rn−→ Rn_{. N˜ao provaremos, nesta aula, que E se trata de um}

espa¸co vetorial normado com a norma

kT k = sup{kT (x)k x ∈ Rn_{, kx k = 1}; portanto, apenas}

admitamos tais fatos. Al´em disso, consideremos E munido de uma multiplica¸c˜ao (composi¸c˜ao) tal que, dadas S , T ∈ E ,

kS · T k ≤ kSkkT k. Se T : Rn_{−→ R}n _{´e uma transforma¸c˜ao linear}

com kT k < 1, ent˜ao kT (x )k < kx k, para todo x ∈ Rn, com kxk = 1 e, portanto, x − T (x) 6= 0 (suponha, por absurdo, que x − T (x ) = 0. Ent˜ao, x = T (x ) e, portanto, kx k = kT (x )k, o que ´e um absurdo, j´a que kT (x )k < kx k) para todo x 6= 0 em Rn, com kxk = 1, o que nos garante que (I − T ) restrita a todo x ∈ Rn_,

com kx k = 1, ´e injetiva, j´a que ker(I − T ) = {0} (pois para todo x 6= 0 em Rn, com kx k = 1, tem-se (I − T )(x ) 6= 0 e para x = 0, (I − T )(x ) = 0, j´a que (I − T ) ´e transforma¸c˜ao linear).

N˜ao ´e dif´ıcil concluir que sendo (I − T ) injetiva e definindo-a de {x ∈ Rn _{; kx k = 1} em {(I − T )(x ) ∈ R}n _{; kx k = 1}, (I − T )}

Exemplos

Exemplo 2: Seja E o conjunto das transforma¸c˜oes lineares

T : Rn−→ Rn_{. N˜ao provaremos, nesta aula, que E se trata de um}

espa¸co vetorial normado com a norma

kT k = sup{kT (x)k x ∈ Rn_{, kx k = 1}; portanto, apenas}

admitamos tais fatos. Al´em disso, consideremos E munido de uma multiplica¸c˜ao (composi¸c˜ao) tal que, dadas S , T ∈ E ,

kS · T k ≤ kSkkT k. Se T : Rn_{−→ R}n _{´e uma transforma¸c˜ao linear}

com kT k < 1, ent˜ao kT (x )k < kx k, para todo x ∈ Rn, com kxk = 1 e, portanto, x − T (x) 6= 0 (suponha, por absurdo, que x − T (x ) = 0. Ent˜ao, x = T (x ) e, portanto, kx k = kT (x )k, o que ´e um absurdo, j´a que kT (x )k < kx k) para todo x 6= 0 em Rn, com kxk = 1, o que nos garante que (I − T ) restrita a todo x ∈ Rn_,

com kx k = 1, ´e injetiva, j´a que ker(I − T ) = {0} (pois para todo x 6= 0 em Rn, com kx k = 1, tem-se (I − T )(x ) 6= 0 e para x = 0, (I − T )(x ) = 0, j´a que (I − T ) ´e transforma¸c˜ao linear). N˜ao ´e dif´ıcil concluir que sendo (I − T ) injetiva e definindo-a de {x ∈ Rn _{; kx k = 1} em {(I − T )(x ) ∈ R}n _{; kx k = 1}, (I − T )}

Exemplos

restrita a {x ∈ Rn ; kx k = 1} seja tamb´em bijetiva e, portanto, invert´ıvel.

Em s´ıntese, o que fizemos acima foi mostrar que se kT k < 1, ent˜ao (I − T )−1 existe. Feito isso, mostraremos que a “s´erie geom´etrica”

∞

X

n=0

Tn= I + T1+ T2+ . . . + Tn+ . . .

converge em E e sua soma ´e (I − T )−1. Com efeito, escrevendo-se sn= I + T + T2+ . . . + Tn, vemos que

sn− T · sn= (I + T1+ T2+ . . . + Tn) − (T1+ T2+ . . . + Tn+1)

= I + T1− T1+ T2− T2+ . . . + Tn− Tn− Tn+1

= I − Tn+1. (4)

Exemplos

restrita a {x ∈ Rn ; kx k = 1} seja tamb´em bijetiva e, portanto, invert´ıvel. Em s´ıntese, o que fizemos acima foi mostrar que se kT k < 1, ent˜ao (I − T )−1 existe.

Feito isso, mostraremos que a “s´erie geom´etrica”

∞

X

n=0

Tn= I + T1+ T2+ . . . + Tn+ . . .

converge em E e sua soma ´e (I − T )−1. Com efeito, escrevendo-se sn= I + T + T2+ . . . + Tn, vemos que

sn− T · sn= (I + T1+ T2+ . . . + Tn) − (T1+ T2+ . . . + Tn+1)

= I + T1− T1+ T2− T2+ . . . + Tn− Tn− Tn+1

= I − Tn+1. (4)

Exemplos

restrita a {x ∈ Rn ; kx k = 1} seja tamb´em bijetiva e, portanto, invert´ıvel. Em s´ıntese, o que fizemos acima foi mostrar que se kT k < 1, ent˜ao (I − T )−1 existe. Feito isso, mostraremos que a “s´erie geom´etrica”

∞

X

n=0

Tn= I + T1+ T2+ . . . + Tn+ . . .

converge em E e sua soma ´e (I − T )−1. Com efeito, escrevendo-se sn= I + T + T2+ . . . + Tn, vemos que

sn− T · sn= (I + T1+ T2+ . . . + Tn) − (T1+ T2+ . . . + Tn+1)

= I + T1− T1+ T2− T2+ . . . + Tn− Tn− Tn+1

= I − Tn+1. (4)

Exemplos

restrita a {x ∈ Rn ; kx k = 1} seja tamb´em bijetiva e, portanto, invert´ıvel. Em s´ıntese, o que fizemos acima foi mostrar que se kT k < 1, ent˜ao (I − T )−1 existe. Feito isso, mostraremos que a “s´erie geom´etrica”

∞

X

n=0

Tn= I + T1+ T2+ . . . + Tn+ . . .

converge em E e sua soma ´e (I − T )−1. Com efeito, escrevendo-se sn= I + T + T2+ . . . + Tn, vemos que

sn− T · sn= (I + T1+ T2+ . . . + Tn) − (T1+ T2+ . . . + Tn+1)

= I + T1− T1+ T2− T2+ . . . + Tn− Tn− Tn+1

= I − Tn+1. (4)

Exemplos

restrita a {x ∈ Rn ; kx k = 1} seja tamb´em bijetiva e, portanto, invert´ıvel. Em s´ıntese, o que fizemos acima foi mostrar que se kT k < 1, ent˜ao (I − T )−1 existe. Feito isso, mostraremos que a “s´erie geom´etrica”

∞

X

n=0

Tn= I + T1+ T2+ . . . + Tn+ . . .

converge em E e sua soma ´e (I − T )−1.

Com efeito, escrevendo-se sn= I + T + T2+ . . . + Tn, vemos que

sn− T · sn= (I + T1+ T2+ . . . + Tn) − (T1+ T2+ . . . + Tn+1)

= I + T1− T1+ T2− T2+ . . . + Tn− Tn− Tn+1

= I − Tn+1. (4)

Exemplos

restrita a {x ∈ Rn ; kx k = 1} seja tamb´em bijetiva e, portanto, invert´ıvel. Em s´ıntese, o que fizemos acima foi mostrar que se kT k < 1, ent˜ao (I − T )−1 existe. Feito isso, mostraremos que a “s´erie geom´etrica”

∞

X

n=0

Tn= I + T1+ T2+ . . . + Tn+ . . .

converge em E e sua soma ´e (I − T )−1. Com efeito, escrevendo-se sn= I + T + T2+ . . . + Tn, vemos que

sn− T · sn= (I + T1+ T2+ . . . + Tn) − (T1+ T2+ . . . + Tn+1)

= I + T1− T1+ T2− T2+ . . . + Tn− Tn− Tn+1

= I − Tn+1. (4)

Exemplos

restrita a {x ∈ Rn ; kx k = 1} seja tamb´em bijetiva e, portanto, invert´ıvel. Em s´ıntese, o que fizemos acima foi mostrar que se kT k < 1, ent˜ao (I − T )−1 existe. Feito isso, mostraremos que a “s´erie geom´etrica”

∞

X

n=0

Tn= I + T1+ T2+ . . . + Tn+ . . .

converge em E e sua soma ´e (I − T )−1. Com efeito, escrevendo-se sn= I + T + T2+ . . . + Tn, vemos que

sn− T · sn= (I + T1+ T2+ . . . + Tn) − (T1+ T2+ . . . + Tn+1)

= I + T1− T1+ T2− T2+ . . . + Tn− Tn− Tn+1

= I − Tn+1. (4)

Exemplos

restrita a {x ∈ Rn ; kx k = 1} seja tamb´em bijetiva e, portanto, invert´ıvel. Em s´ıntese, o que fizemos acima foi mostrar que se kT k < 1, ent˜ao (I − T )−1 existe. Feito isso, mostraremos que a “s´erie geom´etrica”

∞

X

n=0

Tn= I + T1+ T2+ . . . + Tn+ . . .

converge em E e sua soma ´e (I − T )−1. Com efeito, escrevendo-se sn= I + T + T2+ . . . + Tn, vemos que

sn− T · sn= (I + T1+ T2+ . . . + Tn) − (T1+ T2+ . . . + Tn+1)

= I + T1− T1+ T2− T2+ . . . + Tn− Tn− Tn+1

= I − Tn+1. (4)

Exemplos

sn− T · sn= sn· (I − T ). (5)

De (4) e de (5), segue que

sn· (I − T ) = I − Tn+1. (6)

Multiplicando-se (6) por (I − T )−1, que, como vimos, existe, temos que sn= (I − T )−1(I − Tn+1). Para concluir que

lim

n→∞sn= (I − T )

−1_{, basta observar que}

lim

n→∞T

n+1_{= 0,}

pois kTn+1k ≤ kT kn+1 _{(pela multiplica¸c˜ao entre transforma¸c˜oes}

lineares da qual E ´e munido e que foi considerada no in´ıcio do exemplo) e lim

n→∞kT k

Exemplos

sn− T · sn= sn· (I − T ). (5)

De (4) e de (5), segue que

sn· (I − T ) = I − Tn+1. (6)

Multiplicando-se (6) por (I − T )−1, que, como vimos, existe, temos que sn= (I − T )−1(I − Tn+1). Para concluir que

lim

n→∞sn= (I − T )

−1_{, basta observar que}

lim

n→∞T

n+1_{= 0,}

pois kTn+1k ≤ kT kn+1 _{(pela multiplica¸c˜ao entre transforma¸c˜oes}

lineares da qual E ´e munido e que foi considerada no in´ıcio do exemplo) e lim

n→∞kT k

Exemplos

sn− T · sn= sn· (I − T ). (5)

De (4) e de (5), segue que

sn· (I − T ) = I − Tn+1. (6)

Multiplicando-se (6) por (I − T )−1, que, como vimos, existe, temos que sn= (I − T )−1(I − Tn+1). Para concluir que

lim

n→∞sn= (I − T )

−1_{, basta observar que}

lim

n→∞T

n+1_{= 0,}

pois kTn+1k ≤ kT kn+1 _{(pela multiplica¸c˜ao entre transforma¸c˜oes}

lineares da qual E ´e munido e que foi considerada no in´ıcio do exemplo) e lim

n→∞kT k

Exemplos

sn− T · sn= sn· (I − T ). (5)

De (4) e de (5), segue que

sn· (I − T ) = I − Tn+1. (6)

Multiplicando-se (6) por (I − T )−1, que, como vimos, existe, temos que sn= (I − T )−1(I − Tn+1).

Para concluir que lim

n→∞sn= (I − T )

−1_{, basta observar que}

lim

n→∞T

n+1_{= 0,}

pois kTn+1k ≤ kT kn+1 _{(pela multiplica¸c˜ao entre transforma¸c˜oes}

lineares da qual E ´e munido e que foi considerada no in´ıcio do exemplo) e lim

n→∞kT k

Exemplos

sn− T · sn= sn· (I − T ). (5)

De (4) e de (5), segue que

sn· (I − T ) = I − Tn+1. (6)

Multiplicando-se (6) por (I − T )−1, que, como vimos, existe, temos que sn= (I − T )−1(I − Tn+1). Para concluir que

lim

n→∞sn= (I − T )

−1_{, basta observar que}

lim

n→∞T

n+1_{= 0,}

pois kTn+1k ≤ kT kn+1 _{(pela multiplica¸c˜ao entre transforma¸c˜oes}

lineares da qual E ´e munido e que foi considerada no in´ıcio do exemplo) e lim

n→∞kT k

Exemplos

sn− T · sn= sn· (I − T ). (5)

De (4) e de (5), segue que

sn· (I − T ) = I − Tn+1. (6)

Multiplicando-se (6) por (I − T )−1, que, como vimos, existe, temos que sn= (I − T )−1(I − Tn+1). Para concluir que

lim

n→∞sn= (I − T )

−1_{, basta observar que}

lim

n→∞T

n+1_{= 0,}

pois kTn+1k ≤ kT kn+1 _{(pela multiplica¸c˜ao entre transforma¸c˜oes}

lineares da qual E ´e munido e que foi considerada no in´ıcio do exemplo) e lim

n→∞kT k

Exemplos

sn− T · sn= sn· (I − T ). (5)

De (4) e de (5), segue que

sn· (I − T ) = I − Tn+1. (6)

Multiplicando-se (6) por (I − T )−1, que, como vimos, existe, temos que sn= (I − T )−1(I − Tn+1). Para concluir que

lim

n→∞sn= (I − T )

−1_{, basta observar que}

lim

n→∞T

n+1_{= 0,}

pois kTn+1_{k ≤ kT k}n+1 _{(pela multiplica¸c˜ao entre transforma¸c˜oes}

lineares da qual E ´e munido e que foi considerada no in´ıcio do exemplo)

e lim

n→∞kT k

Exemplos

sn− T · sn= sn· (I − T ). (5)

De (4) e de (5), segue que

sn· (I − T ) = I − Tn+1. (6)

Multiplicando-se (6) por (I − T )−1, que, como vimos, existe, temos que sn= (I − T )−1(I − Tn+1). Para concluir que

lim

n→∞sn= (I − T )

−1_{, basta observar que}

lim

n→∞T

n+1_{= 0,}

pois kTn+1_{k ≤ kT k}n+1 _{(pela multiplica¸c˜ao entre transforma¸c˜oes}

lineares da qual E ´e munido e que foi considerada no in´ıcio do exemplo) e lim

n→∞kT k

n+1_{= 0, j´a que 0 < kT k < 1;}

Exemplos

sn− T · sn= sn· (I − T ). (5)

De (4) e de (5), segue que

sn· (I − T ) = I − Tn+1. (6)

Multiplicando-se (6) por (I − T )−1, que, como vimos, existe, temos que sn= (I − T )−1(I − Tn+1). Para concluir que

lim

n→∞sn= (I − T )

−1_{, basta observar que}

lim

n→∞T

n+1_{= 0,}

pois kTn+1_{k ≤ kT k}n+1 _{(pela multiplica¸c˜ao entre transforma¸c˜oes}

lineares da qual E ´e munido e que foi considerada no in´ıcio do exemplo) e lim

n→∞kT k

Exemplos

lim n→∞kT n+1_k(cont. de k·k)_{= k lim} n→∞T n+1_{k ≤ lim} n→∞kT k n+1_{= 0,}

o que ´e poss´ıvel se, e somente se, lim

n→∞T

n+1_{= 0 (propriedade de}

norma), como hav´ıamos observado anteriormente. Portanto,

lim n→∞sn= limn→∞ (I − T ) −1_{· (I − T}n+1₎
= lim n→∞(I − T ) −1_{· lim} n→∞(I − T n+1₎ = (I − T )−1· lim n→∞(I − T n+1₎ = (I − T )−1· ( lim n→∞I − limn→∞T n+1₎ = (I − T )−1· ( lim n→∞I − 0) = (I − T )−1· lim n→∞I = (I − T ) −1_{· I = (I − T )}−1 .

Exemplos

lim n→∞kT n+1_k(cont. de k·k)_{= k lim} n→∞T n+1_{k ≤ lim} n→∞kT k n+1_{= 0,}

o que ´e poss´ıvel se, e somente se, lim

n→∞T

n+1_{= 0 (propriedade de}

norma), como hav´ıamos observado anteriormente.

Portanto, lim n→∞sn= limn→∞ (I − T ) −1_{· (I − T}n+1₎
= lim n→∞(I − T ) −1_{· lim} n→∞(I − T n+1₎ = (I − T )−1· lim n→∞(I − T n+1₎ = (I − T )−1· ( lim n→∞I − limn→∞T n+1₎ = (I − T )−1· ( lim n→∞I − 0) = (I − T )−1· lim n→∞I = (I − T ) −1_{· I = (I − T )}−1 .

Exemplos

lim n→∞kT n+1_k(cont. de k·k)_{= k lim} n→∞T n+1_{k ≤ lim} n→∞kT k n+1_{= 0,}

o que ´e poss´ıvel se, e somente se, lim

n→∞T

n+1_{= 0 (propriedade de}

norma), como hav´ıamos observado anteriormente. Portanto,

lim n→∞sn= limn→∞ (I − T ) −1_{· (I − T}n+1₎
= lim n→∞(I − T ) −1_{· lim} n→∞(I − T n+1₎ = (I − T )−1· lim n→∞(I − T n+1₎ = (I − T )−1· ( lim n→∞I − limn→∞T n+1₎ = (I − T )−1· ( lim n→∞I − 0) = (I − T )−1· lim n→∞I = (I − T ) −1_{· I = (I − T )}−1 .

Exemplos

lim n→∞kT n+1_k(cont. de k·k)_{= k lim} n→∞T n+1_{k ≤ lim} n→∞kT k n+1_{= 0,}

o que ´e poss´ıvel se, e somente se, lim

n→∞T

n+1_{= 0 (propriedade de}

norma), como hav´ıamos observado anteriormente. Portanto,

lim n→∞sn= limn→∞ (I − T ) −1_{· (I − T}n+1₎
= lim n→∞(I − T ) −1_{· lim} n→∞(I − T n+1₎ = (I − T )−1· lim n→∞(I − T n+1₎ = (I − T )−1· ( lim n→∞I − limn→∞T n+1₎ = (I − T )−1· ( lim n→∞I − 0) = (I − T )−1· lim n→∞I = (I − T ) −1_{· I = (I − T )}−1 .

Exemplos

Vejamos agora um exemplo de s´erie divergente.

Considerando-se os mesmos objetos matem´aticos do Exemplo 1, isto ´e, o espa¸co vetorial normado R, com a norma usual kxk = |x|, para todo x ∈ R, e o conjunto X = {x ∈ R ; |x| < 1}; sejam xn∈ X pontos

de X tais que, para cada n ∈ N, xn=

1

n. A sequˆencia das somas parciais (sn)∞n=1 dos elementos de (xn)∞n=1´e divergente.

Com efeito, observe que, dada a subsequˆencia (s2n)∞

n=1 da

sequˆencia (sn)∞n=1, temos que

s2n = s₂₃ z }| { s₂₂ z }| {  1 +1 2  | {z } s₂₁ + 1 3 + 1 4  + 1 5 + 1 6 + 1 7+ 1 8  +

Exemplos

Vejamos agora um exemplo de s´erie divergente. Considerando-se os mesmos objetos matem´aticos do Exemplo 1, isto ´e, o espa¸co vetorial normado R, com a norma usual kxk = |x|, para todo x ∈ R, e o conjunto X = {x ∈ R ; |x| < 1};

sejam xn∈ X pontos

de X tais que, para cada n ∈ N, xn=

1

n. A sequˆencia das somas parciais (sn)∞n=1 dos elementos de (xn)∞n=1´e divergente.

Com efeito, observe que, dada a subsequˆencia (s2n)∞

n=1 da

sequˆencia (sn)∞n=1, temos que

s2n = s₂₃ z }| { s₂₂ z }| {  1 +1 2  | {z } s₂₁ + 1 3 + 1 4  + 1 5 + 1 6 + 1 7+ 1 8  +

Exemplos

Vejamos agora um exemplo de s´erie divergente. Considerando-se os mesmos objetos matem´aticos do Exemplo 1, isto ´e, o espa¸co vetorial normado R, com a norma usual kxk = |x|, para todo x ∈ R, e o conjunto X = {x ∈ R ; |x| < 1}; sejam xn∈ X pontos

de X tais que, para cada n ∈ N, xn=

1 n.

A sequˆencia das somas parciais (sn)∞n=1 dos elementos de (xn)∞n=1´e divergente.

Com efeito, observe que, dada a subsequˆencia (s2n)∞

n=1 da

sequˆencia (sn)∞n=1, temos que

s2n = s₂₃ z }| { s₂₂ z }| {  1 +1 2  | {z } s₂₁ + 1 3 + 1 4  + 1 5 + 1 6 + 1 7+ 1 8  +

Exemplos

Vejamos agora um exemplo de s´erie divergente. Considerando-se os mesmos objetos matem´aticos do Exemplo 1, isto ´e, o espa¸co vetorial normado R, com a norma usual kxk = |x|, para todo x ∈ R, e o conjunto X = {x ∈ R ; |x| < 1}; sejam xn∈ X pontos

de X tais que, para cada n ∈ N, xn=

1

n. A sequˆencia das somas parciais (sn)∞n=1 dos elementos de (xn)∞n=1´e divergente.

Com efeito, observe que, dada a subsequˆencia (s2n)∞

n=1 da

sequˆencia (sn)∞n=1, temos que

s2n = s₂₃ z }| { s₂₂ z }| {  1 +1 2  | {z } s₂₁ + 1 3 + 1 4  + 1 5 + 1 6 + 1 7+ 1 8  +

Exemplos

Vejamos agora um exemplo de s´erie divergente. Considerando-se os mesmos objetos matem´aticos do Exemplo 1, isto ´e, o espa¸co vetorial normado R, com a norma usual kxk = |x|, para todo x ∈ R, e o conjunto X = {x ∈ R ; |x| < 1}; sejam xn∈ X pontos

de X tais que, para cada n ∈ N, xn=

1

n. A sequˆencia das somas parciais (sn)∞n=1 dos elementos de (xn)∞n=1´e divergente.

Com efeito, observe que, dada a subsequˆencia (s2n)∞

n=1 da

sequˆencia (sn)∞n=1, temos que

s2n = s₂₃ z }| { s₂₂ z }| {  1 +1 2  | {z } s₂₁ + 1 3 + 1 4  + 1 5 + 1 6 + 1 7+ 1 8  +

Exemplos

Vejamos agora um exemplo de s´erie divergente. Considerando-se os mesmos objetos matem´aticos do Exemplo 1, isto ´e, o espa¸co vetorial normado R, com a norma usual kxk = |x|, para todo x ∈ R, e o conjunto X = {x ∈ R ; |x| < 1}; sejam xn∈ X pontos

de X tais que, para cada n ∈ N, xn=

1

n. A sequˆencia das somas parciais (sn)∞n=1 dos elementos de (xn)∞n=1´e divergente.

Com efeito, observe que, dada a subsequˆencia (s2n)∞

n=1 da

sequˆencia (sn)∞n=1, temos que

s2n = s₂₃ z }| { s₂₂ z }| {  1 +1 2  | {z } s₂₁ + 1 3 + 1 4  + 1 5 + 1 6+ 1 7+ 1 8  +

Exemplos

+  1 2n−1_{+ 1}+ . . . + 1 2n−1_{+ 2}n−1  > 1 +1 2 + 2 · 1 4+ 4 · 1 8+ + . . . + 2n−1· 1 2 · 2n−1 = 1 + n · 1 2,

de onde, tomando-se o limite quando n → ∞ segue que (s2n)∞_n=1

diverge. Ora, se a sequˆencia das somas parciais (sn)∞n=1 admite

uma subsequˆencia divergente, ent˜ao, (sn)∞n=1 diverge, isto ´e,

P xn=P 1/n diverge.

Exemplos

+  1 2n−1_{+ 1}+ . . . + 1 2n−1_{+ 2}n−1  > 1 +1 2 + 2 · 1 4+ 4 · 1 8+ + . . . + 2n−1· 1 2 · 2n−1 = 1 + n · 1 2,

de onde, tomando-se o limite quando n → ∞ segue que (s2n)∞_n=1

diverge.

Ora, se a sequˆencia das somas parciais (sn)∞n=1 admite

uma subsequˆencia divergente, ent˜ao, (sn)∞n=1 diverge, isto ´e,

P xn=P 1/n diverge.

Exemplos

+  1 2n−1_{+ 1}+ . . . + 1 2n−1_{+ 2}n−1  > 1 +1 2 + 2 · 1 4+ 4 · 1 8+ + . . . + 2n−1· 1 2 · 2n−1 = 1 + n · 1 2,

de onde, tomando-se o limite quando n → ∞ segue que (s2n)∞_n=1

diverge. Ora, se a sequˆencia das somas parciais (sn)∞n=1 admite

uma subsequˆencia divergente, ent˜ao, (sn)∞n=1 diverge, isto ´e,

P xn=P 1/n diverge.

Exemplos

+  1 2n−1_{+ 1}+ . . . + 1 2n−1_{+ 2}n−1  > 1 +1 2 + 2 · 1 4+ 4 · 1 8+ + . . . + 2n−1· 1 2 · 2n−1 = 1 + n · 1 2,

de onde, tomando-se o limite quando n → ∞ segue que (s2n)∞_n=1

diverge. Ora, se a sequˆencia das somas parciais (sn)∞n=1 admite

uma subsequˆencia divergente, ent˜ao, (sn)∞n=1 diverge, isto ´e,

P xn=P 1/n diverge.

S´

eries

Uma condi¸c˜ao necess´aria para a convergˆencia da s´erie P xn´e que

se tenha lim

n→∞xn= 0.

Com efeito, dada a s´erie P x_n, suponha P xn convergente. Da´ı, digamos que lim

n→∞sn= a. Como a

tamb´em ´e lim

n→∞sn−1 e xn= sn− sn−1, temos

lim

n→∞xn = limn→∞(sn− sn−1) = limn→∞sn− limn→∞sn−1= a − a = 0.

Esta condi¸c˜ao n˜ao ´e suficiente. O contra-exemplo cl´assico ´e dado pela s´erie harmˆonicaP 1/n que acabamos de ver. ´E f´acil ver que

lim

S´

eries

Uma condi¸c˜ao necess´aria para a convergˆencia da s´erie P xn´e que

se tenha lim

n→∞xn= 0. Com efeito, dada a s´erie P xn, suponha

P xn convergente.

Da´ı, digamos que lim

n→∞sn= a. Como a

tamb´em ´e lim

n→∞sn−1 e xn= sn− sn−1, temos

lim

n→∞xn = limn→∞(sn− sn−1) = limn→∞sn− limn→∞sn−1= a − a = 0.

Esta condi¸c˜ao n˜ao ´e suficiente. O contra-exemplo cl´assico ´e dado pela s´erie harmˆonicaP 1/n que acabamos de ver. ´E f´acil ver que

lim

S´

eries

Uma condi¸c˜ao necess´aria para a convergˆencia da s´erie P xn´e que

se tenha lim

n→∞xn= 0. Com efeito, dada a s´erie P xn, suponha

P xn convergente. Da´ı, digamos que lim

n→∞sn= a.

Como a tamb´em ´e lim

n→∞sn−1 e xn= sn− sn−1, temos

lim

n→∞xn = limn→∞(sn− sn−1) = limn→∞sn− limn→∞sn−1= a − a = 0.

Esta condi¸c˜ao n˜ao ´e suficiente. O contra-exemplo cl´assico ´e dado pela s´erie harmˆonicaP 1/n que acabamos de ver. ´E f´acil ver que

lim

S´

eries

Uma condi¸c˜ao necess´aria para a convergˆencia da s´erie P xn´e que

se tenha lim

n→∞xn= 0. Com efeito, dada a s´erie P xn, suponha

P xn convergente. Da´ı, digamos que lim

n→∞sn= a. Como a

tamb´em ´e lim

n→∞sn−1 e xn= sn− sn−1, temos

lim

n→∞xn = limn→∞(sn− sn−1) = limn→∞sn− limn→∞sn−1= a − a = 0.

Esta condi¸c˜ao n˜ao ´e suficiente. O contra-exemplo cl´assico ´e dado pela s´erie harmˆonicaP 1/n que acabamos de ver. ´E f´acil ver que

lim

S´

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Uma condi¸c˜ao necess´aria para a convergˆencia da s´erie P xn´e que

se tenha lim

n→∞xn= 0. Com efeito, dada a s´erie P xn, suponha

P xn convergente. Da´ı, digamos que lim

n→∞sn= a. Como a

tamb´em ´e lim

n→∞sn−1 e xn= sn− sn−1, temos

lim

n→∞xn= limn→∞(sn− sn−1) = limn→∞sn− limn→∞sn−1= a − a = 0.

Esta condi¸c˜ao n˜ao ´e suficiente. O contra-exemplo cl´assico ´e dado pela s´erie harmˆonicaP 1/n que acabamos de ver. ´E f´acil ver que

lim

S´

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Uma condi¸c˜ao necess´aria para a convergˆencia da s´erie P xn´e que

se tenha lim

n→∞xn= 0. Com efeito, dada a s´erie P xn, suponha

P xn convergente. Da´ı, digamos que lim

n→∞sn= a. Como a

tamb´em ´e lim

n→∞sn−1 e xn= sn− sn−1, temos

lim

n→∞xn= limn→∞(sn− sn−1) = limn→∞sn− limn→∞sn−1= a − a = 0.

Esta condi¸c˜ao n˜ao ´e suficiente.

O contra-exemplo cl´assico ´e dado pela s´erie harmˆonicaP 1/n que acabamos de ver. ´E f´acil ver que

lim

S´

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Uma condi¸c˜ao necess´aria para a convergˆencia da s´erie P xn´e que

se tenha lim

n→∞xn= 0. Com efeito, dada a s´erie P xn, suponha

P xn convergente. Da´ı, digamos que lim

n→∞sn= a. Como a

tamb´em ´e lim

n→∞sn−1 e xn= sn− sn−1, temos

lim

n→∞xn= limn→∞(sn− sn−1) = limn→∞sn− limn→∞sn−1= a − a = 0.

Esta condi¸c˜ao n˜ao ´e suficiente. O contra-exemplo cl´assico ´e dado pela s´erie harmˆonicaP 1/n que acabamos de ver.

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E f´acil ver que lim

S´

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Uma condi¸c˜ao necess´aria para a convergˆencia da s´erie P xn´e que

se tenha lim

n→∞xn= 0. Com efeito, dada a s´erie P xn, suponha

P xn convergente. Da´ı, digamos que lim

n→∞sn= a. Como a

tamb´em ´e lim

n→∞sn−1 e xn= sn− sn−1, temos

lim

n→∞xn= limn→∞(sn− sn−1) = limn→∞sn− limn→∞sn−1= a − a = 0.

Esta condi¸c˜ao n˜ao ´e suficiente. O contra-exemplo cl´assico ´e dado pela s´erie harmˆonicaP 1/n que acabamos de ver. ´E f´acil ver que

lim

S´

eries

Quando os termos da s´erie P xn s˜ao n´umeros reais n˜ao negativos

as somas parciais formam uma sequˆencia n˜ao decrescente, j´a que s1≤ s2 ≤ . . . ≤ sn≤ . . ..

Logo, ´e natural deduzirmos que uma s´erieP xn de termos reais n˜ao negativos converge se, e somente

se, a sequˆencia das somas parciais associada `a essa s´erie for limitada. Ora, uma sequˆencia mon´otona ´e limitada se, e somente se, possui uma subsequˆencia limitada. Seja a s´erie P 1/n2_.

Provaremos que a sequˆencia (sn)∞_n=1 das somas parciais associada `a

s´erie sum1/n2 admite uma subsequˆencia (snk)

∞

k=1 limitada; o que,

pelo exposto acima, faz da s´erie P 1/n2 _{uma s´erie convergente.}

Pois bem, seja (sn)∞n=1 a sequˆencia das somas parciais associada `a

s´erieP 1/n2_{. Tomando-se a subsequˆencia (s} nk)

∞

k=1 da sequˆencia

(sn)∞n=1 de tal modo que, nk = 2k− 1, para cada k ∈ N, temos que

snk = 1+ 1 22+ 1 32+ 1 42+ 1 52+ 1 62+ 1 72+. . .+ 1 2k−1 2 +. . .+ 1 (2k _{− 1)}2 =

S´

eries

Quando os termos da s´erie P xn s˜ao n´umeros reais n˜ao negativos

as somas parciais formam uma sequˆencia n˜ao decrescente, j´a que s1≤ s2 ≤ . . . ≤ sn≤ . . .. Logo, ´e natural deduzirmos que uma

s´erieP xn de termos reais n˜ao negativos converge se, e somente

se, a sequˆencia das somas parciais associada `a essa s´erie for limitada.

Ora, uma sequˆencia mon´otona ´e limitada se, e somente se, possui uma subsequˆencia limitada. Seja a s´erie P 1/n2_.

Provaremos que a sequˆencia (sn)∞_n=1 das somas parciais associada `a

s´erie sum1/n2 admite uma subsequˆencia (snk)

∞

k=1 limitada; o que,

pelo exposto acima, faz da s´erie P 1/n2 _{uma s´erie convergente.}

Pois bem, seja (sn)∞n=1 a sequˆencia das somas parciais associada `a

s´erieP 1/n2_{. Tomando-se a subsequˆencia (s} nk)

∞

k=1 da sequˆencia

(sn)∞n=1 de tal modo que, nk = 2k− 1, para cada k ∈ N, temos que

snk = 1+ 1 22+ 1 32+ 1 42+ 1 52+ 1 62+ 1 72+. . .+ 1 2k−1 2 +. . .+ 1 (2k _{− 1)}2 =

S´

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Quando os termos da s´erie P xn s˜ao n´umeros reais n˜ao negativos

as somas parciais formam uma sequˆencia n˜ao decrescente, j´a que s1≤ s2 ≤ . . . ≤ sn≤ . . .. Logo, ´e natural deduzirmos que uma

s´erieP xn de termos reais n˜ao negativos converge se, e somente

se, a sequˆencia das somas parciais associada `a essa s´erie for limitada. Ora, uma sequˆencia mon´otona ´e limitada se, e somente se, possui uma subsequˆencia limitada. Seja a s´erie P 1/n2_.

Provaremos que a sequˆencia (sn)∞_n=1 das somas parciais associada `a

s´erie sum1/n2 admite uma subsequˆencia (snk)

∞

k=1 limitada; o que,

pelo exposto acima, faz da s´erie P 1/n2 _{uma s´erie convergente.}

Pois bem, seja (sn)∞n=1 a sequˆencia das somas parciais associada `a

s´erieP 1/n2_{. Tomando-se a subsequˆencia (s} nk)

∞

k=1 da sequˆencia

(sn)∞n=1 de tal modo que, nk = 2k− 1, para cada k ∈ N, temos que

snk = 1+ 1 22+ 1 32+ 1 42+ 1 52+ 1 62+ 1 72+. . .+ 1 2k−1 2 +. . .+ 1 (2k _{− 1)}2 =

S´

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Quando os termos da s´erie P xn s˜ao n´umeros reais n˜ao negativos

as somas parciais formam uma sequˆencia n˜ao decrescente, j´a que s1≤ s2 ≤ . . . ≤ sn≤ . . .. Logo, ´e natural deduzirmos que uma

s´erieP xn de termos reais n˜ao negativos converge se, e somente

se, a sequˆencia das somas parciais associada `a essa s´erie for limitada. Ora, uma sequˆencia mon´otona ´e limitada se, e somente se, possui uma subsequˆencia limitada. Seja a s´erie P 1/n2_.

Provaremos que a sequˆencia (sn)∞_n=1 das somas parciais associada `a

s´erie sum1/n2 admite uma subsequˆencia (snk)

∞

k=1 limitada; o que,

pelo exposto acima, faz da s´erie P 1/n2 _{uma s´erie convergente.}

Pois bem, seja (sn)∞n=1 a sequˆencia das somas parciais associada `a

s´erieP 1/n2_{. Tomando-se a subsequˆencia (s} nk)

∞

k=1 da sequˆencia

(sn)∞n=1 de tal modo que, nk = 2k− 1, para cada k ∈ N, temos que

snk = 1+ 1 22+ 1 32+ 1 42+ 1 52+ 1 62+ 1 72+. . .+ 1 2k−1 2 +. . .+ 1 (2k _{− 1)}2 =

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Quando os termos da s´erie P xn s˜ao n´umeros reais n˜ao negativos

as somas parciais formam uma sequˆencia n˜ao decrescente, j´a que s1≤ s2 ≤ . . . ≤ sn≤ . . .. Logo, ´e natural deduzirmos que uma

s´erieP xn de termos reais n˜ao negativos converge se, e somente

se, a sequˆencia das somas parciais associada `a essa s´erie for limitada. Ora, uma sequˆencia mon´otona ´e limitada se, e somente se, possui uma subsequˆencia limitada. Seja a s´erie P 1/n2_.

Provaremos que a sequˆencia (sn)∞_n=1 das somas parciais associada `a

s´erie sum1/n2 admite uma subsequˆencia (snk)

∞

k=1 limitada; o que,

pelo exposto acima, faz da s´erie P 1/n2 _{uma s´erie convergente.}

Pois bem, seja (sn)∞_n=1 a sequˆencia das somas parciais associada `a

s´erieP 1/n2_.

Tomando-se a subsequˆencia (snk)

∞

k=1 da sequˆencia

(sn)∞n=1 de tal modo que, nk = 2k− 1, para cada k ∈ N, temos que

snk = 1+ 1 22+ 1 32+ 1 42+ 1 52+ 1 62+ 1 72+. . .+ 1 2k−1 2 +. . .+ 1 (2k _{− 1)}2 =

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Quando os termos da s´erie P xn s˜ao n´umeros reais n˜ao negativos

as somas parciais formam uma sequˆencia n˜ao decrescente, j´a que s1≤ s2 ≤ . . . ≤ sn≤ . . .. Logo, ´e natural deduzirmos que uma

s´erieP xn de termos reais n˜ao negativos converge se, e somente

se, a sequˆencia das somas parciais associada `a essa s´erie for limitada. Ora, uma sequˆencia mon´otona ´e limitada se, e somente se, possui uma subsequˆencia limitada. Seja a s´erie P 1/n2_.

Provaremos que a sequˆencia (sn)∞_n=1 das somas parciais associada `a

s´erie sum1/n2 admite uma subsequˆencia (snk)

∞

k=1 limitada; o que,

pelo exposto acima, faz da s´erie P 1/n2 _{uma s´erie convergente.}

Pois bem, seja (sn)∞_n=1 a sequˆencia das somas parciais associada `a

s´erieP 1/n2_{. Tomando-se a subsequˆencia (s} nk)

∞

k=1 da sequˆencia

(sn)∞n=1 de tal modo que, nk = 2k− 1, para cada k ∈ N, temos que

snk = 1+ 1 22+ 1 32+ 1 42+ 1 52+ 1 62+ 1 72+. . .+ 1 2k−1 2 +. . .+ 1 (2k _{− 1)}2 =

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Quando os termos da s´erie P xn s˜ao n´umeros reais n˜ao negativos

as somas parciais formam uma sequˆencia n˜ao decrescente, j´a que s1≤ s2 ≤ . . . ≤ sn≤ . . .. Logo, ´e natural deduzirmos que uma

s´erieP xn de termos reais n˜ao negativos converge se, e somente

se, a sequˆencia das somas parciais associada `a essa s´erie for limitada. Ora, uma sequˆencia mon´otona ´e limitada se, e somente se, possui uma subsequˆencia limitada. Seja a s´erie P 1/n2_.

Provaremos que a sequˆencia (sn)∞_n=1 das somas parciais associada `a

s´erie sum1/n2 admite uma subsequˆencia (snk)

∞

k=1 limitada; o que,

pelo exposto acima, faz da s´erie P 1/n2 _{uma s´erie convergente.}

Pois bem, seja (sn)∞_n=1 a sequˆencia das somas parciais associada `a

s´erieP 1/n2_{. Tomando-se a subsequˆencia (s} nk)

∞

k=1 da sequˆencia

(sn)∞n=1 de tal modo que, nk = 2k− 1, para cada k ∈ N, temos que

snk = 1+ 1 22+ 1 32+ 1 42+ 1 52+ 1 62+ 1 72+. . .+ 1 2k−1 2 +. . .+ 1 (2k _{− 1)}2 =

S´

eries

= 1 + 1 22 + 1 32  + 1 42 + 1 52 + 1 62 + 1 72  + . . . + +  1 (2k−1₎2 + . . . + 1 (2k_{− 1)}2  < 1 + 2 · 1 22 + 4 · 1 42+ + . . . + 2k−1· 1 (2k−1₎2 = 1 + 1 2 + 1 4 + . . . + 1 2k−1,

de onde, tomando-se o limite quando k −→ ∞, temos que

lim k→∞snk < limk→∞ k−1 X m=0 1 2m ! = lim k→∞ k−1 X m=0  1 2 m! =

S´

eries

= 1 + 1 22 + 1 32  + 1 42 + 1 52 + 1 62 + 1 72  + . . . + +  1 (2k−1₎2 + . . . + 1 (2k_{− 1)}2  < 1 + 2 · 1 22 + 4 · 1 42+ + . . . + 2k−1· 1 (2k−1₎2 = 1 + 1 2 + 1 4 + . . . + 1 2k−1,

de onde, tomando-se o limite quando k −→ ∞, temos que

lim k→∞snk < limk→∞ k−1 X m=0 1 2m ! = lim k→∞ k−1 X m=0  1 2 m! =

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= 1 + 1 22 + 1 32  + 1 42 + 1 52 + 1 62 + 1 72  + . . . + +  1 (2k−1₎2 + . . . + 1 (2k_{− 1)}2  < 1 + 2 · 1 22 + 4 · 1 42+ + . . . + 2k−1· 1 (2k−1₎2 = 1 + 1 2 + 1 4 + . . . + 1 2k−1,

de onde, tomando-se o limite quando k −→ ∞, temos que

lim k→∞snk < limk→∞ k−1 X m=0 1 2m ! = lim k→∞ k−1 X m=0  1 2 m! =

S´

eries

= ∞ X m=0  1 2 m (Ex . 1) = 1

1 − 1/2 = 2 (s´erie geom´etrica de raz˜ao 1/2).

Assim, a subsequˆencia (snk)

∞

k=1 da sequˆencia (sn)∞n=1 das somas

parciais ´e limitada e, como (sn)∞n=1´e mon´otona, segue que (sn)∞n=1

S´

eries

= ∞ X m=0  1 2 m (Ex . 1) = 1

1 − 1/2 = 2 (s´erie geom´etrica de raz˜ao 1/2). Assim, a subsequˆencia (snk)

∞

k=1 da sequˆencia (sn)∞n=1 das somas

parciais ´e limitada e, como (sn)∞n=1´e mon´otona, segue que (sn)∞n=1

S´

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