Algebras de Rees de Ideais de Arestas

(1)

Curso de Pós-graduação em Matemática Dissertação de Mestrado

Normalidade das ´

Algebras de Rees de Ideais de

Arestas

B´arbara Costa da Silva

Salvador-Bahia

(2)

Arestas

B´arbara Costa da Silva

Disserta¸c˜ao sob orienta¸c˜ao do Prof. Dr.

Carlos Eduardo Nogueira Bahiano que ser´a

apresentada ao colegiado do curso de

Pós-Gradua¸cão em Matemática da Universidade

Federal da Bahia, como requisito parcial

para obten¸c˜ao do T´ıtulo de Mestre em

Matem´atica.

Banca examinadora:

Prof. Dr. Carlos Eduardo Nogueira Bahiano (Orientador)

Prof. Dr.Aron Simis

(3)

O presente trabalho estuda a normalidade das ´algebras de Rees de ideais monomiais

I = (M1,· · · , Mr)⊂k[x1,· · · , xn] gerados por monˆomios de grau 2 e livres de quadrados.

O texto é dividido em três cap´ıtulos: preliminares, tópicos em álgebra comutativa e

normalidade. O primeiro cap´ıtulo tem o objetivo de familiarizar o leitor sobre alguns conceitos

envolvidos na disserta¸c˜ao, tais como grafos e ideais monomiais. J´a no cap´ıtulo seguinte,

nor-malidade de anéis e ideais, álgebra de Rees e graduada associada e potências simbólicas são os

principais t´opicos comentados, almejando obter ferramentas para o desenvolvimento e conclus˜ao

dos resultados mais importantes desse trabalho. Finalmente, o cap´ıtulo sobre normalidade ´e o

ponto culminante do trabalho, em que s˜ao apresentados alguns ideais monomiais cujas algebras

de Rees são normais, assim como, exemplos de um ideal monomial cuja algebra de Rees não é

(4)

(Disserta¸c˜ao de Mestrado apresentada ao curso de

pós-gradua¸cão em Matemática), 45 páginas.

PALAVRAS-CHAVE: Grafos, Monˆomios, Gerador

M´ınimo Essencial, An´eis, Ideal de Arestas, ´Algebra de

(5)

(6)

(Autor Desconhecido)

(7)

Resumo iii

Introdu¸c˜ao 1

1 Preliminares 3

1.1 Grafos . . . 3

1.2 Ideais Monomiais . . . 6

1.2.1 Decomposi¸c˜ao Prim´aria de Ideais Monomiais . . . 6

1.2.2 Ideais de Arestas . . . 9

2 T´opicos em ´Algebra Comutativa 11 2.1 Ideais Normais . . . 11

2.2 Algebra de Rees e ´´ Algebra Graduada Associada . . . 15

2.3 Potˆencias Simb´olicas . . . 18

3 Normalidade 22 3.1 Normalidade de Grafos Bipartidos . . . 22

3.2 Outras ´Algebras de Rees Normais . . . 31

(8)

4 Apˆendice 37

4.1 Integralidade . . . 37

Bibliografia 40

(9)

O objetivo deste trabalho ´e estudar a normalidade das ´algebras de Rees associadas

a ideais de arestas de um grafo (n˜ao orientado, e desprovido de loops e arestas paralelas),

I = (M1,· · · , Mr) ⊂ k[x1, . . . , xn], e a sua rela¸c˜ao com a normalidade da subalgebra k[F] =

k[M1,· · · , Mr].

Um grafo simples n˜ao orientado ser´a identificado com um ideal gerado por um conjunto

de monômios de grau 2 e livres de quadrados, de acordo com a descri¸cão a seguir: se G é

um grafo cujo conjunto de v´ertices ´e V = {x1,· · · , xn}; A(G) seu conjunto de arestas e R

o anel de polinômios sobre um corpo k, cujo número de variáveis independentes é igual a n

(R=k[x1,· · · , xn]), ent˜ao o ideal I deR gerado por monˆomios de grau 2 e livres de quadrados,

denominado ideal de arestas, ´e dado por

I = ({xixj ; (xi, xj)∈A(G)}).

Esta ordem de id´eias foi originalmente introduzida por A. Simis, W. Vasconcelos e R.

Villarreal em [4], e este mesmo artigo motivou o presente trabalho.

Dizemos que um grafo G é normal se o seu ideal de arestas é normal, ou seja, se o fecho inteiro da n-ésima potência de I é igual a In ₍_In ₌ _In _, _∀n _≥ _{1). Os pontos chave}

desta disserta¸c˜ao s˜ao: caracterizar os grafos normais em termos de sua estrutura; e relacionar

a normalidade da ´algebra de Rees com a dak-sub´algebra k[F].

Neste sentido, os principais resultados que iremos demonstrar s˜ao:

(10)

(11)

Preliminares

Neste Cap´ıtulo abordaremos, de forma resumida, algumas no¸c˜oes de grafos e ideais de

arestas. O objetivo ´e deixar o leitor familiarizado com os conceitos utilizados no decorrer do

trabalho.

1.1 Grafos

Nesta se¸cão veremos uma no¸cão da teoria de grafos. A teoria de grafos é um grande

est´ımulo para o estudo de ideais gerados por monˆomios de grau 2 e livres de quadrados em

um anel de polinˆomios sobre um corpo k, os chamados ideais de arestas. Isto ocorre porque existem alguns elementos desta teoria que podem ser associados a elementos da teoria de ideais

monomiais. Por exemplo, a cobertura m´ınima em grafos est´a associada aos primos m´ınimos

dos ideais de arestas, como veremos no teorema 1.6. Esta rela¸cão serve para tornar mais com-preens´ıvel e fácil algumas demonstra¸cões, além de ser uma alternativa a mais para a obten¸cão

dos resultados durante o trabalho.

Dado um conjuntoV 6=∅, umgrafo dev´ertices emV e arestasA´e um parG= (V, A),

em que A⊆V ×V.

Os elementos de A s˜ao chamados arestas de G. Quando n˜ao for claro escreveremos

A(G), em lugar de A, para evidenciar a dependˆencia entre G eA.

(12)

Um grafoGéfinito se o conjuntoV de seus vértices é finito. Dados vérticesv1, v2 ∈V,

dizemos que v1 ´e adjacente a v2 em G, se (v1, v2) ∈ A(G). Um grafo ´e dito ser completo se

seus vértices são dois a dois adjacentes. Dois vérticesv1, v2 ∈V, são ditos independentes emG

se, ambos, (v1, v2),(v2, v1) ∈/ A(G). Dizemos que o grafo G possui loops ou la¸cos emv ∈ V se

(v, v)∈A. O grafo ´e orientado se existev1 ,v2 ∈V tais que (v1, v2)∈A e (v2, v1)∈/ A.

Quando um grafo G é não-orientado, desprovido de loops, sem vértices isolados e o conjunto dos vértices é finito diremos queGé simples. A partir de agora só trabalharemos com grafos desse tipo.

SejamG, H grafos. Dizemos queH é subgrafo de G, e escrevemosH ⊆G,se V(H)⊆ V(G) e A(H)⊆A(G). Além disto, se A(H) = A(G)∩(V(H)× V(H)) entãoH é um subgrafo induzido deG. Neste caso, denotamos por G⊑H.

Observe que dado um grafo G = (V, A) e um subconjunto V′ _⊆ _V, _{existe um ´}_unico

subgrafo induzido deGcujos vértices são os elementos deV′_{. O subgrafo induzido é denominado}

subgrafo gerado por V′_.

Umcaminho de comprimentoré um grafo cujos vértices e arestas são, respectivamente, a menos de nota¸cão,

V ={0,1, . . . , r} e A={(0,1),(1,2), . . . ,(r−1, r)}.

Dado r ∈ N(r > 2), um ciclo de ordem r, escrito Cr, ´e um grafo cujos v´ertices e

arestas s˜ao, respectivamente, a menos de nota¸c˜ao,

V ={1, . . . , r} e A={(1,2), . . . ,(r−1, r),(r,1)}

Um grafoGéconexose para todo par de vértices existe um caminho emGligando-os. Um grafo ér-conexo (r ∈ N+) se para todo subconjunto V′ ⊂ V(G), de cardinalidade menor

ou igual a r−1,o subgrafo induzido G(V(G)\V′_{) ´e conexo.}

Um grafo Gé uma árvore se é conexo e não possui ciclos.

Sejam G um grafo e v ∈ V. O grau de incidˆencia de v em G (escrito dG(v)) ´e a

(13)

zero são chamados de vértices isolados. Observe que se G é r-conexo, então dG(v) ≥ r para

todo v´ertice.

SejaG um grafo de v´erticesV ={v1, . . . , vn}. Uma cobertura deG´e um subconjunto

P ⊂ V tal que para toda aresta (vı, v) tem-se vı ∈ P ou v ∈ P. Uma cobertura ´e m´ınima

se nenhum de seus subconjuntos próprios é uma cobertura de G, e será minimal se não existe cobertura de cardinalidade menor. A cardinalidade de uma cobertura minimal de G, escrita

αo(G), é também designada como o número de cobertura de G, enquanto βo(G) := #V(G)−

αo(G) ´e dito ser a dimens˜ao de G.

Da defini¸cão segue que o complementar de uma cobertura é um conjunto de vértices

independentes em G,e vice-versa. Portanto, o complementar de cobertura m´ınima (resp. min-imal) corresponde a um conjunto m´aximo (resp. maxmin-imal) de v´ertices independentes em G.

A distância d(v1, v2) entre dois vértices v1 e v2 é o m´ınimo do comprimento de todos

os caminhos que unev1 av2.

Dizemos que um grafo G´ebipartido se admite uma cobertura composta por v´ertices independentes.

Se G é bipartido, então G admite uma cobertura minimal composta por vértices in-dependentes. Um ciclo de ordem ´ımpar não é bipartido. De fato, toda cobertura m´ınima de

G contém ao menos uma aresta de G. Segue-se, portanto, que um grafo bipartido não contém ciclos de ordem ´ımpar. Esta necessidade óbvia também é uma condi¸cão suficiente:

1.1 Teorema. Um grafo não trivial G é bipartido se, e somente se, não contém ciclos de ordem ´ımpar.

Demonstra¸c˜ao. Para provar a rec´ıproca do teorema basta provar que cada

compo-nente conexa deG ´e bipartida, portanto podemos supor Gconexo. Seja v1 ∈V e considere

V1 ={v ∈V;d(v, v1) ´e ´ımpar} e V2 =V −V1.

Segue que V1 e V2 não possuem dois vértices adjacentes, pois G não contém ciclos de

ordem ´ımpar. LogoG´e bipartido.

(14)

Exemplo1.1. Um exemplo simples de grafos bipartidos são as árvores, visto que árvores

n˜ao possuem ciclos.

1.2 Ideais Monomiais

Nesta se¸cão estudaremos as caracter´ısticas básicas dos ideais monomiais e sua rela¸cão

com os grafos.

1.2 Definição. Um ideal I ⊂ R = k[x1,· · · , xn], em que k é um corpo, é dito um ideal

monomial se I ´e gerado por monˆomios.

Como o anel de polinômios R é um dom´ınio noetheriano, então, se I é um ideal monomial, existe um conjunto finito de monômios em R que geram I.

1.3 Definição. Dizemos que o monômio f ∈R é livre de quadrado se

f =xα1

1 · · ·x

αn

n , e αi = 0 ou αi = 1.

1.2.1 Decomposi¸c˜

ao Prim´

aria de Ideais Monomiais

Um resultado clássico na teoria da álgebra comutativa diz que seR é um anel Noethe-riano e I é um ideal próprio de R, então I possui uma decomposi¸cão primária irredundante [[6],Corolário 1.1.25]. A decomposi¸cão primária de ideais descreve muito bem as caracter´ısticas

do ideal. Nesta se¸cão veremos a decomposi¸cão primária de ideais monomiais para estudarmos

as caracter´ısticas dos ideais de aresta. As demonstra¸c˜oes dos resultados desta se¸c˜ao ensinam

como fazer a decomposi¸c˜ao prim´aria destes ideais.

Para todo f ∈ R podemos escrever f =PλıMı, em que λı ∈ k\ {0} e Mı ∈ R s˜ao

monômios. Como o anel de polinômios é uma álgebra graduada, utilizando a ordem lexicográfica

reversa, podemos considerar f =PλıMı, tal queMı < M, sempre que ı < . Usaremos Lf

para denotar o monômio l´ıder def, enquanto que, para um ideal I ⊂R,L(I) denotará o ideal gerado pelos monômios l´ıderes dos elementos de I.

(15)

(a) Se f =PλıMı ∈J, ent˜ao Lf ∈J. Consequentemente,Mı ∈J, sempre que λı 6= 0.

(b)Dados monˆomiosXα_{, X}β _∈_R. _{Se MDC(}_Xα_{, X}β_{) = 1}_, _ent˜ao:

(Xα_Xβ_{, J}_{) = (}_Xα_{, J}₎_∩₍_Xβ_{, J}₎_.

Demonstra¸c˜ao. (a) Neste caso,J possui uma base de gr¨obner{g1, . . . , gr} ⊂J,

com-posta por monˆomios e, portanto,J =L(J) = (Lg1, . . . , Lgr).Em particular, sef = P

λıMı ∈J,

ent˜aof′ ₌_f_−L

f ∈Je portantoLf′ ∈J.Usando recursivamente o argumento obtemosM_ı ∈J,

para todoı.

(b) Veja que a inclus˜ao (Xα_Xβ_{, J}₎_⊆₍_Xα_{, J}₎_∩₍_Xβ_{, J}_{) ´e trivial. Por outro lado, dado}

f ∈(Xα_{, J}₎_∩₍_Xβ_{, J}_{) podemos escrever}

f =h1Xα+u1 =h2Xβ +u2 u1, u2 ∈J e h1, h2 ∈R.

Seh1 =PλiMı ∈J,temos f ∈J ⊂(XαXβ, J).Contudo, se algum termoMıo deh1 n˜ao

per-tence aJ, comoh1Xα =h2Xβ+u2−u1 ∈(Xβ, J),temos, obrigatoriamente, MıoX

α ₌_Xθ_Xβ_.

Uma vez que, MDC(Xα_{, X}β_{) = 1}_, _obtemos _M

ıo ∈ (X

β₎_, _{e conseq¨}_{uentemente, se repetirmos o}

mesmo argumento com todos os termos de h1 que n˜ao est˜ao em J obtemos

h1Xα ∈(XαXβ, J).

¥

1.5 Teorema. Sejam R =k[x1, . . . , xn] um anel de polinˆomios e I ⊂ R um ideal monomial.

Ent˜ao:

(a) existe uma decomposi¸cão primáriaI =∩Qλ,em que osQλ são ideais gerados por potências

de vari´aveis;

(b)I ´e primo se, e somente se, ´e gerado por um subconjunto de {x1, . . . , xn};

(c) os primos associados de I s˜ao gerados por subconjuntos de vari´aveis;

(16)

Demonstra¸cão. (a) Sejam I = (Xα1_{, . . . , X}αr), em que cada Xαi é um monômio e J = (Xα2_{, . . . , X}αr₎_. _{Então podemos supor que}_Xα1 ₌_xd1

1 · · ·x

dt

t t≤n.

Usando recursivamente o lema 1.4 temos:

I = (xd1

1 , J)∩ · · · ∩(x

dt

t , J).

Pela hipótese de indu¸cão J tem uma decomposi¸cão primária J = ∩Qeλ, em que os Qλ são

gerados por potˆencias de vari´aveis, e portanto, para todo ∈ {1, . . . , t}, temos

(xd

 , J) = (x d

 ,∩Qeλ) =∩(xd,Qeλ).

Isto demonstra o item (a).

(b) SejaXα _∈_I _{o monˆomio de maior grau, que ´e um gerador m´ınimo de}_I _{e seja}_x ı um

divisor de Xα_. _Temos Xα

xı ∈/ I. Como I é primo, então xı ∈ I e, conseqüentemente, X

α ₌ _x ı.

Logo I é gerado por variáveis. A rec´ıproca é imediata.

(c) De fato, a decomposi¸c˜ao prim´aria dada no ´ıtem (a) pode ser reduzida por

elim-ina¸cão dos primários que já contém algum outro presente na decomposi¸cão, fornecendo assim,

uma decomposi¸cão primária irredundante, composta por ideais primários que são gerados por

potências de variáveis. Sabe-se, entretanto, que os primos associados são os radicais dos ideais

primários de uma decomposi¸cão irredundante, e é imediato que o radical de um ideal primário,

que tem a forma acima, ´e gerado por vari´aveis.

(d) Neste caso, a decomposi¸c˜ao dada pelo item (a) ´e composta por ideais gerado por

um subconjunto do conjunto de variáveis, e portanto, primos. O idealIé, portanto, interseçcão de ideias primos, logo radical. Em particular, I é a interseçcão de seus primos m´ınimos, logo não tem primos imersos.

(17)

1.2.2 Ideais de Arestas

Nesta parte do trabalho indicaremos algumas correspondˆencias existentes entre um

grafo G e o ideal monomial gerado por monômios livres de quadrados de grau 2 em um anel de polinômios sobre um corpo k. Inicialmente, daremos um mecanismo para passarmos de um grafo para um ideal como descrito acima e, em seguida mostraremos as rela¸cões entre eles.

Seja G um grafo cujo conjunto de v´ertices ´e V = {x1,· · ·, xn}. Considere R o anel

de polinômios em um corpo k, cujo número de variáveis independentes é igual ao número de elementos em V, isto é, R =k[x1,· · · , xn]. O ideal de arestas de Gé o ideal I(G)⊂R gerado

pelos monˆomiosxixj, tais que (xi, xj) ´e uma aresta deG. Assim,

I(G) = ({xixj ; (xi, xj)∈A(G)}).

Exemplo 1.2. Para exemplificar a defini¸c˜ao acima, considere o grafo G= (V, A) tal que V = {x, y, z, w} e A = {(x, y),(x, z),(y, w),(z, w)}. Ent˜ao o ideal de aresta de G em

k[x, y, z, w] ´e dado por

I(G) = (xy, xz, yw, zw).

´

E claro que esta rela¸cão é biun´ıvoca, isto é, para cada grafo dado existe um único ideal

de arestas associado a este grafo e vice-versa.

Oanel do grafo, denominado Anel de Petersen, ´e o anel de classesk[G] := _I₍R_G₎.

O teorema abaixo relaciona os primos m´ınimos do ideal de arestas de um grafoGcom as suas coberturas, e a dimens˜ao de Gcom a dimens˜ao do anel de Petersen de G.

1.6 Teorema. Dado um grafo simples G, com n v´ertices, seja I = I(G) ⊂ R seu ideal de arestas. Os conjuntos de geradores (m´ınimos) dos primos m´ınimos de I(G) correspondem a coberturas m´ınimas de G. Em particular, ht I(G) =αo(G), e dimk[G] =βo(G) = dimG.

Demonstra¸cão. Uma vez que I é gerado por monômios livres de quadrados, I é ideal radical, e seus primos m´ınimos são gerados por variáveis.

Dado um primo m´ınimoP = (xı1, . . . , xıt) de I, Afirmamos que CP ={xi1,· · · , xit}´e

(18)

De fato, dada uma aresta (xı, x), temos xıx ∈I ⊂P e, portanto, xı ∈P ou x ∈ P,

o que implicaxı ∈CP oux ∈CP. Segue que CP ´e uma cobertura de G. Para mostrar queCP

é uma cobertura m´ınima, basta observar que se P′ _⊂_P _{é gerado por um subconjunto próprio}

de{xı1, . . . , xıt}, ent˜ao I 6⊆P

′_. _Como_P′ _{´e primo m´ınimo e} _P′ _{´e primo, existe aresta}_x

ıoxo ∈I

tal que xıo, xo∈/P

′_. _Logo, _x

ıo, xo ∈/ CP′.

Reciprocamente, dada uma cobertura m´ınima C = {xı1, . . . , xıt} do grafo G, o primo P = (xı1, . . . , xıt) cont´em I e nenhum primo P

′ _⊂

P cont´em I, pois neste caso, P′

deveria

conter um subconjunto de vari´aveis propriamente contida emP e portanto pela primeira parte acima, teriamos uma subcoberturaCP′ ⊂C e C n˜ao seria uma cobertura m´ınima.

Para concluir a demonstra¸c˜ao do teorema, observamos que as coberturas minimais

correspondem aos primos minimais e vice-versa, logo ht(I) é igual à cardinalidade da menor cobertura poss´ıvel, i.é,ht(I) =αo(G). Em particular,

dimk[G] =n−ht(I) = #V(G)−αo(G) =βo(G) = dimG.

¥

No exemplo 1.2 vemos que os primos m´ınimos deIs˜ao (x, z),(y, w) pois os subconjuntos deV dados por {x, z},{y, w} s˜ao coberturas m´ınimas de G.

Dado um monˆomioXα ₌_xα1

1 . . . xαnn ∈k[x1,· · ·xn], o seu suporte ´e o conjunto

(19)

T´

opicos em ´

Algebra Comutativa

Neste cap´ıtulo abordaremos alguns t´opicos em ´algebra comutativa tais como ideais

normais, potências simbólicas, álgebra de Rees e álgebra graduada associada, com o intuito de

fornecer ferrramentas para o pr´oximo Cap´ıtulo.

2.1 Ideais Normais

Veremos a defini¸c˜ao de normalidade de ideais e, em paralelo, estaremos provando alguns

resultados referentes a este assunto. Um resultado muito importante e utilizado bastante no

decorrer do trabalho (que demonstraremos nesta se¸c˜ao), descreve como obter o fecho inteiro de

um ideal monomialI a partir do mesmo [Proposi¸cão 2.2]. Como o foco da nossa aten¸cão são os ideais de arestas, a caracteriza¸cão do fecho inteiro de ideais monomiais será um grande passo

na busca da normalidade de tais ideais.

2.1 Definição. SejamR um anel eI um ideal de R. Um elemento z ∈R é inteiro sobre I se

z satisfaz a seguinte equa¸c˜ao:

zn₊_a

1zn−1+· · ·+an = 0; sendo ai ∈Ii.

O conjunto de todos os elementos z ∈ R inteiro sobre I, denotado por I, ´e chamado fecho inteiro de I. Quando I =I dizemos que I ´e integralmente fechado ou completo. Caso In _seja

completo para todo n∈N ent˜ao o ideal I ´e dito normal.

(20)

Diremos que um grafoG´e normal se seu ideal de arestas for normal.

Existe uma quest˜ao natural que surge neste ponto: ser´a que o fecho inteiro de um

ideal monomial ´e ainda um ideal monomial? Em [6] podemos comprovar que a resposta desta

questão é afirmativa. Mais ainda, se I ⊂ k[x1,· · ·, xn] é um ideal monomial, em que k é um

corpo, ent˜aoI ´e gerado pelo conjunto

{Xα; (Xα)m ∈Im para algumm ≥1},

em queXα ₌_xαi₁

i1 . . . x

αir

ir são monômios emk[x1,· · · , xr] tais queαi1+· · ·+αir =α, como será

provado na proposi¸c˜ao seguinte. Como estaremos interessados em encontrar grafos normais,

saber como se comporta o fecho inteiro de um ideal monomial ´e de grande importˆancia para o

desenvolvimento do trabalho.

2.2 Proposição. Sejam R =k[x1,· · · , xn] um anel de polinômios sobre um corpo k e I ⊂R

um ideal monomial. Ent˜ao o fecho inteiro de I ´e dado por:

I = ({Xα_{; (}_Xα₎m _∈_Im _{para algum} _m_≥₁_}₎_,

em que Xα ₌_xαi₁

i1 . . . x

αir

ir s˜ao monˆomios tais que αi1 +· · ·+αir =α.

Demonstra¸c˜ao. SejamJ ={Xα_{; (}_Xα₎m _∈_Im _{para algum} _m_≥₁_}_e_Xα _∈_J_{. Ent˜ao}

existe m ≥ 1 tal que (Xα₎m _∈ _Im_{. Note que} _Xα _{´e raiz do polinˆomio} _f₍_z_{) =} _zm ₋₍_Xα₎m _e

portanto Xα _∈_I_.

Reciprocamente, sez =Xα_∈_I _ent˜ao

zr+a1zr−1+· · ·+ar−1z1+ar= 0 , ai ∈Ii.

ComoI ´e ideal monomial ent˜aozm _∈_Im _{para algum} _m_≥_1.

¥

Sejam R = k[x1, ..xn] o anel de polinˆomios sobre um corpo k e P ⊂ R um ideal

(21)

do fecho inteiro de um ideal I dado acima. Além disso, esse resultado será usado em outras demonstra¸cões.

Vamos mostrar que P ´e normal por indu¸c˜ao em n. Observe que Pn _⊂ _Pn _{para todo}

n, logo basta mostrar que Pn _⊂ _Pn_{. Para} _n _{= 1 seja} _y _∈ _P_{. Ent˜ao existe} _j _∈ _N _{tal que}

yj _∈_Pj _⊂_P_{. Como} _P _{´e primo ent˜ao} _y_∈_P_{. Portanto} _P ₌_P_.

Suponha que parai < n tenhamos Pi ₌_Pi _{e seja}_y _∈_Pn_{. Ent˜ao existe} _j _∈_N _{tal que}

yj _∈_Pnj_{. Como} _y_∈_Pn_⊂_Pn−1 ₌_Pn−1 _ent˜ao _y _{tem grau pelo menos}_n₋_{1, isto ´e,}

y=xα1

i1 . . . x

αr

ir u,

em que |α|=n−1 e u é um monômio de grau maior que 0 ou u é uma constante. Mas, se u

for uma constanteyj ₌_xα1j

i1 . . . x

αrj

ir u

j _{ter´a o grau menor que} _jn_{, absurdo. Logo} _y _∈_Pn_.

Vamos agora estabelecer uma rela¸c˜ao entre normalidade de um dom´ınio [ver Apˆendice]

e ideais completos.

2.3 Lema. Seja R um dom´ınio e x ∈ R− {0} tal que o anel de fra¸c˜oes Rx = {_xan , a ∈ R}

seja normal. Então, R é normal se, e somente se,(x) é completo.

Demonstra¸c˜ao. Suponha que R seja normal e seja z ∈ (x). Logo, z satisfaz a equa¸c˜ao abaixo:

zn+ (a1x)zn−1+· · ·+ (anxn) = 0, com ai ∈R.

Dividindo a equa¸c˜ao porxn _teremos

(z

x)

n

+a1(

z x)

n−1₊_{· · ·}₊_a

n = 0.

Da´ı, z

x ∈R =R e, portanto,z ∈(x).

Reciprocamente, suponha (x) completo e seja z ∈R. Como o corpo de fra¸cões deR é igual ao de Rx e R ⊂ Rx então R ⊂ Rx = Rx. Logo, podemos escrever z = _xar, a ∈ R. Para

mostrar que z ∈R basta mostrar que a∈(x).

Comoz ∈R temos que z satisfaz a equa¸c˜ao que segue:

(22)

Multiplicando a equa¸c˜ao por xrn _teremos:

an_{+ (}_b

1xr)an−1+· · ·+bnxrn= 0.

Logo a∈(x) = (x).

¥

2.4 Proposição. Se I é um ideal de um anel R e S é um sistema multiplicativo fechado tal que S∩I =∅ então

S−1(I) = S−1₍_I₎_.

2.5 Corolário. Seja R um dom´ınio e x∈R− {0}. Então, R é normal se, e somente se, Rx

e Rp s˜ao normais para todo P ∈Ass₍R_x₎.

Demonstra¸c˜ao. Sejam x∈R− {0} eB =T_P_∈_Ass₍R

x)RP. Podemos observar que se R ´e um dom´ınio ent˜ao

R=Rx

\ B.

Portanto, R´e um dom´ınio normal se, e somente se, Rx eRP s˜ao dom´ınios normais para algum

x∈R− {0} e para todo P ∈AssR x.

¥

DadaA⊂B uma extensão de anéis, uma questão que surge é: seB é um anel normal entãoAtambém é normal? Em geral, a normalidade deB não é herdada porA. Nos resultados abaixo daremos as condi¸cões necessárias para que o anelA seja normal.

2.6 Lema. Seja A ⊂ B uma extensão de anéis. Se B = A ⊕C, como A-módulos, então

IB∩A=I para todo ideal I de A.

Demonstra¸c˜ao. Seja z ∈ IB ∩A e escreva z =Pq_i₌₁bifi, em que bi ∈B e fi ∈I.

Por hip´otese, bi =ai+ci, comai ∈A eci ∈C. Como z ∈Asegue que z =

Pq

i=1aifi ∈I. Isso

prova o lema pois I ⊂IB∩A ´e claro.

(23)

2.7Proposic¸˜ao. SejamAeB dom´ınios de integridade comA⊂B ekA ekB seus respectivos

corpo de fra¸cões. Se B =A⊕C, como A-módulos, então kA∩B ⊂A.

Em particular, se B é normal, então A é normal.

Demonstra¸c˜ao. Seb = a

c ∈ B com a, c∈A, ent˜aoa ∈ (c)B∩A= (c) [Lema 2.6],

portanto a=λc=bc, com λ∈A. Logo, b=λ∈A

¥

2.2 Algebra de Rees e ´

´

Algebra Graduada Associada

Sejam R um anel e F = {In ; n ≥ 0} uma fam´ılia de ideais em R. Dizemos que F ´e

uma filtra¸c˜aose F ´e tal que

Ii+1 ⊂Ii , I0 =R eIiIj ⊂Ii+j , ∀i, j ∈N.

As potências ordinárias de um ideal I ⊂R é um exemplo de uma filtra¸cão.

Dada uma filtra¸c˜ao F = {Ii ;n ∈ N} de um anel R podemos definir um anel N

-graduado associado aF dado por:

R(F) =R⊕It⊕ · · · ⊕Intn⊕ · · · ⊂R[t].

Chamamos o anelR(F) deálgebra de Rees da filtra¸cãoF. Quando nos referirmos à álgebra de

Rees deI estaremos considerando a filtra¸c˜ao F ={In _,_n _∈_N_} _{e usaremos a nota¸c˜ao} _R₍_I_).

Se I é um ideal de um anel R gerado por f1,· · · , fr, então a álgebra de Rees de I é

dada por:

R(I)≈R[f1t,· · · , frt]⊂R[t],

em que t´e transcendente sobre R. De fato, basta observar que

In _{= (}_{fαi₁

i1 . . . f

αir

ir ; αi1 +· · ·+αir =n}).

Da´ı, sef ∈In_tn _ent˜ao

f =afαi₁

i1 . . . f

αir

ir t

n ₌_a₍_fαi₁

i1 t

αi₁₎_{. . .}₍_fαir

ir t

αir₎_,

(24)

2.8 Definição. Seja I um ideal de um anel R. Definimos a Álgebra de Rees extendida de I

por A =R[It, t−1_].

2.9Proposição. SejamI um ideal de um anelR eAa álgebra de Rees extendida deI. SeRé um dom´ınio normal, então Aé normal se, e somente se,AP é normal para todo P ∈Ass t−1A.

Demonstra¸cão. Basta observar que Au =R[t, u], em que u =t−1 e Au ={_uan; a∈ A}. Logo Au é um dom´ınio normal. Da´ı, a proposi¸cão segue por 4.3.

¥

Sejam R um anel e I um ideal de R. Podemos definir outro anel graduado por

grI(R) =

R I ⊕

I

I2 ⊕ · · · ⊕

In

In+1 ⊕ · · · ,

em que a opera¸cão de multiplica¸cão definida em grI(R) é dada por:

(a+Ii)(b+Ij) =ab+Ii+j−1,

em quea ∈Ii−1 _e_b _∈_Ij−1_{. ´}_{E f´acil provar que}_gr

I(R) com a opera¸c˜ao de multiplica¸c˜ao definida

acima e a operara¸cão usual de soma é de fato um anel. O anel grI(R) é chamado álgebra

graduada associada a I. Veja que se I = (f1,· · · , fr) ent˜ao grI(R) ≃ R_I[f1,· · · , fn], em que

f_i =fi+I2.

Existe uma liga¸cão entre a álgebra de Rees de um ideal I de R e a álgebra graduada associada de I como será mostrado no lema abaixo.

2.10 Lema. Se I ´e um ideal de um anel R ent˜ao,

A

t−1_A ≃grI(R),

em que A=R[It, t−1_] _{´e a ´algebra de Rees extendida de} _I_.

O pr´oximo teorema mostra algumas equivalˆencias sobre normalidade. Entre elas existe

uma que associa a normalidade de um ideal de arestas e a normalidade da ´algebra de Rees deste

ideal, um resultado especial, pois permite que trabalhemos tanto com o ideal de arestas de um

(25)

2.11 Teorema. Seja I um ideal de um dom´ınio normalR. Então as seguintes afirma¸cões são equivalentes:

(a) I ´e um ideal normal de R;

(b) a ´algebra de Rees deI ´e normal;

(c) o idealIR(I)⊂ R(I) ´e completo;

(d) o ideal (t−1₎_⊂_R_[_{It, t}−1_{] ´e completo;}

(e) a ´algebra de Rees extendida de I ´e normal.

Demonstra¸cão. (a) ⇒ (b) Sejam A = R(I) e z ∈ A. Note que como R é um dom´ınio normal entãoR[t] também é normal. Além disso o corpo de fra¸cões de Ae de R[t] é o mesmo. Logo,A⊂R[t] implica A⊂R[t] =R[t]. Portanto, podemos escrever

z =

s

X

i=0

biti.

´

E suficiente provar que bsts ∈ A. Primeiro provaremos que bsts ∈ A. Como z ´e quase inteiro

sobre A existe f ∈A, com f 6= 0 tal que f zn _∈_A _{para todo} _{n >} ₀_. _{Portanto existe} _f

m ∈Im,

com fm 6= 0 tal que (fmtm)(bsts)n ∈ A para todo n > 0, ou seja, bsts ´e quase inteiro sobre A.

Logo, pela proposi¸cão 4.5, bsts é inteiro sobre A. Portanto bsts satisfaz a equa¸cão abaixo:

(bsts)m+a1(bsts)m−1+· · ·+am−1(bsts) +am = 0,

em que ai = Pr_ji₌₀aijtj e aij ∈ Ij. Agrupando todos os termos em t de grau sm temos a

equa¸c˜ao

bm s +

m

X

i=1

ai,sib

m−i s = 0.

Portantobs ´e inteiro sobre Is e, conseq¨uentemente, bs ∈Is.

(b)⇒(c) Seja z=b0+b1t+· · ·+bsts um elemento deR(I) que ´e inteiro sobreIR(I)

(A justificativa para escrevermosz desta forma é a mesma dada em (a)⇒(b)). Entãoz satisfaz uma equa¸cão da forma

(26)

multiplicando por tm_{, obtemos que} _tz _{´e inteiro sobre} _R₍_I_{). Portanto,} _tz _{∈ R}₍_I_{), o que prova}

quez ∈IR(I).

(c)⇒(d) SejamB =R[It, t−1_{] e} _z _∈_B _{inteiro sobre} _t−1_B_{. Como a parte negativa da}

expansão de Laurent dez já está em t−1_B _{podemos escrever}

z =

s

X

i=0

biti,

sendo s ≥ 0 e bi ∈ Ii para todo i ≥ 0. Por indu¸c˜ao descendente em s ´e suficiente provar que

bs ∈Is+1. Existe uma equa¸c˜ao

zm+a1zm−1+· · ·+am−1z+am = 0,em que ai ∈(t−1)iB.

Multiplicando a equa¸c˜ao por tm_{, obtemos que} _zt _{´e quase inteiro sobre} _B_{. Usando o mesmo}

argumento dea)⇒b) conclu´ımos quebsts+1´e quase inteiro sobreB e, portanto,bsts+1 ´e inteiro

sobre B. Por um c´alculo simples podemos provar que bsts+1 ´e inteiro sobre IR(I), que prova

quebs∈Is+1.

(d) ⇒ (e) Seja u = t−1_{. Como} _R_[_{It, u}_]

u = R[t, u] ´e um dom´ınio normal, ent˜ao pelo

lema 4.3 temos que R[It, u] ´e normal.

(e)⇒(a) Se z ∈Ir_{, ent˜ao} _z _{satisfaz a equa¸c˜ao}

zm₊_a

1zm−1+· · ·+am−1z+am = 0, com ai ∈Iri,

multiplicando portrm_,_{encontramos que} _ztr _{´e inteiro sobre} _R_[_{It, t}−1_{]. Portanto,} _z _∈_Ir_.

¥

Exemplo 2.1. SejamR=Q[x, y]e I = (x2_{, y}2_{). Observe que} _I _{= (}_x2_{, y}2_{, xy}_{), portanto}

R(I) n˜ao ´e normal.

2.3 Potˆ

encias Simb´

olicas

Sejam I um ideal de um anel R e P1,· · ·, Pr os primos m´ınimos de I. Dado n ≥1 a

n-ésima potência simbolica de I é definida como o ideal

I(n) ₌_Q

(27)

em que Qi ´e a componente prim´aria de In correspondendo a Pi.

Podemos definir potˆencia simb´olica de um ideal I de um anelR por

I(n)₌_S−1_In_∩_R _,_∀n _≥₁_,

em queS =R\ ∪Pi ePi s˜ao os primos m´ınimos de I. Esta defini¸c˜ao e a outra apresentada no

in´ıcio desta secão são equivalentes, como será demonstrado na proposi¸cão abaixo.

2.12 Proposição. Sejam I um ideal de um anel R e S =R\ ∪Pi, em que Pi′s são os primos

m´ınimos de I para todo i. Ent˜ao

I(n) =S−1In∩R , ∀n≥1.

Demonstra¸c˜ao. Seja In₌_Q

1∩ · · · ∩Qr∩Qr+1∩ · · · ∩Qs a decomposi¸c˜ao prim´aria

deIn_{, em que}_Q′

issãoPi-primários para todoi≤re osQ′is são componentes primárias imersas

para todoi > r. Como Pi∩S =∅ para i > r, ent˜ao S−1Qi =S−1R [7]. Portanto,

S−1In₌_S−1₍

s

\

i=1

Qi) = r

\

i=1

S−1Qi.

Note que S−1_Q

i∩R = Qi e, portanto, interceptando a igualdade acima com R, a proposi¸c˜ao

segue.

¥

O caso de nosso interesse ´e os ideais de arestas e, para este caso, ainda existe uma

outra maneira de encontrar a potência simbólica, como mostra a proposi¸cão abaixo.

2.13 Proposic¸˜ao. Sejam I um ideal radical de um anel R e P1,· · · , Pr os primos m´ınimos

de I. Ent˜ao

I(n) =P₁(n)∩ · · · ∩Pr(n).

Demonstra¸c˜ao. Seja In₌_Q

1∩ · · · ∩Qr∩Qr+1∩ · · · ∩Qs a decomposi¸c˜ao prim´aria

de In_{, em que} _Q′

is são Pi-primários ∀i ≤ r e os Q′is são componentes primárias imersas para

i > r. Localizando em Pi obtemos InRPi =QiRPi e, como I =P1∩ · · · ∩Pr, teremos:

In_R

Pi = (IRPi)

n_{= (}_P iRPi)

(28)

Portanto,Pn

i RPi =QiRPi parai≤re, fazendo a contra¸c˜ao destes ideais, obteremos o resultado

proposto, pois Pi(n) =Qi ,∀i≤r.

¥

Observe que, se R = k[x1,· · · , xn] ´e um anel de polinˆomios sobre um corpo k e I um

ideal monomial ent˜ao seus ideais primos s˜ao da formaP = (xi1,· · · , xir) com 1≤i1 <· · ·< ir.

Assim,

Pn = ({xα1

i1 . . . x

αr

ir ;|α|=|(α1,· · · , αr)|=n})

e, portanto,Pn₌T₍_xα1

i1 ,· · ·, x

αr

ir) com |(α1,· · · , αr)|=n+r−1. Desta forma, P

n _{possui um}

´

unico primo associado que é o próprio P e, conseqüentemente, P(n) ₌ _Pn_{. Assim, se} _I _{é um}

ideal monomial radical ent˜ao

I(n)=\Pin,

em que Pi s˜ao os primos m´ınimos de I.

2.14Definição. Seja I um ideal de um anel R. Dizemos que I é normalmente livre de tor¸cão se Ass(R

Ii) est´a contido em Ass(

R

I) para todo i≥1 e I 6=R.

Observe que caso I seja um ideal radical ent˜ao Ass(R

I) ⊂ Ass( R

Ii) , ∀i ∈ N. Como o

nosso interesse está focado nos ideais de arestas e estes são ideais radicais, entãoIé normalmente livre de tor¸cão se Ass(R

I) =Ass( R

Ii) , ∀i∈N.

2.15 Proposição. Seja I um ideal radical de um anel R. Então I é normalmente livre de tor¸cão se, e somente se, In ₌_I(n)_{, para todo} _n _≥₁_.

Demonstra¸cão. ⇒) Como I é um ideal radical então I é normalmente livre de tor¸cão se

Ass(R

I) = Ass( R

Ii), para todo i∈N,

ou seja, In _{n˜ao tem primos imersos. Portanto} _In ₌_I(n)_{, para todo} _n_≥₁_.

⇐) Veja que In ₌_I(n)_{, para todo} _n _≥_{1 implica em}

Ass( R

I(i)) = Ass(

R

(29)

Como I é ideal radical então pela proposi¸cão 2.13 temos I(n) ₌ _P(n)

1 ∩ · · · ∩ P (n)

r , ou seja,

Ass( R

I(i)) ={P1,· · · , Pr}. Logo

Ass(R

I) = Ass( R

Ii) , ∀i∈N.

Portanto, I ´e normalmente livre de tor¸c˜ao.

¥

2.16 Corolário. Seja R um anel de polinômios sobre um corpo k. Se I é um ideal de R

gerado por monômios livres de quadrados então I(n) _{é integralmente fechado, para todo} _n_≥_1.

Demonstra¸c˜ao. Sejam J =I(n) _e _P

1,· · · , Ps os primos associados de I. Se f ∈ J

ent˜ao existe m ∈ N tal que fm _∈ _Jm_{, ou seja,} _fm _∈ _Pmn

i , para todo i. Como Pin ´e completo,

f ∈pn

i para todo i e, portanto,f ∈J.

(30)

Normalidade

Sejamkum corpo eRo anel de polinˆomiosk[x1,· · · , xn]. Considere ´algebras definidas

por um conjunto finito G = {M1,· · · , Mq} de monˆomios de R. Seja k[G] = k[M1,· · · , Mq] a

k-sub´algebra de R gerada pelos Mi.Estamos interessados em estudar a ´algebra de Rees de um

idealI(G), no que diz respeito à normalidade, e a rela¸cão existente entre a álgebra de Rees e a subálgebra k[G].

O foco da nossa aten¸cão é os ideais gerados por monômios de grau 2 e livres de

quadra-dos que podem ser definidas por grafos, como vimos no Cap´ıtulo 1, e o problema est´a em

detectar a normalidade na álgebra de Rees destes ideais e em k[G], em que Gé o conjunto de monômios geradores do ideal citado.

3.1 Normalidade de Grafos Bipartidos

O objetivo desta se¸cão é mostrar que a álgebra de Rees do ideal de arestas de um grafo

bipartido é normal [Corolário 3.10]. Este resultado segue imediatamente como um corolário do teorema 3.9. Por esta razão, estaremos nesta se¸cão com nossa aten¸cão voltada para demonstrar esse teorema. Existem algumas demonstra¸cões deste teorema, uma delas aparece em [4] e usa

a ´algebra de Rees extendida A de um anel R, o isomorfismo entre _uAA e grI(R) e a igualdade

A=Au∩(

T

AP), em que P ∈ Ass(uA) vistas no Cap´ıtulo 2. Apresentaremos neste trabalho

uma outra demonstra¸c˜ao (que pode ser encontrada em [5]) e envolve mais os conceitos de

(31)

combinat´oria.

Sejam R o anel de polinômios sobre um corpok eI um ideal de R. Definimos como o módulo simbólico essencial de I oR-módulo

F(I) = M

n≥2

I(n)

P

n

,

em que P_n=PI(i)_I(n−i)_.

Chamaremos de gerador essencial (resp. gerador m´ınimo essencial) de ordemn deF(I) todo elemento, n˜ao nulo,f ∈ I(n)_\P

n (resp. f ∈ I(

n)_\₍₍_X₎_I(n)₊P

n) e de subm´odulo trivial

deI(n) _{o m´odulo} P

n. Os geradores m´ınimos essenciais s˜ao os geradores n˜ao triviais de I(n).

SejaR o anel de polinômios sobre um corpok. Temos que, seI é um ideal deR gerado por monômios livres de quadrados e normalmente livre de tor¸cão, isto é,I(n) ₌_In_{, então} _F₍_I₎

n˜ao possui gerador m´ınimo essencial de nenhuma ordem.

A fam´ılia de ideaisF ={I(r)_, _∀r_∈_N_} _{é uma filtra¸cão, chamada filtra¸cão da potência}

simb´olica, pois

I(r+1) ⊂I(r) eI(r)I(s) ⊂I(r+s).

3.1 Definição. Seja I um ideal de um anel k[x1,· · · , xn], em que k é um corpo. Definimos a

fun¸cão ordem associada à filtra¸cão da potência simbólica de I como

VI(f) = max{r;f ∈I(r)}.

Assim, sef ´e um gerador m´ınimo essencial ent˜ao f /∈(x1,· · · , xn)I(VI(f))+PVI(f).

Podemos observar que se I ⊂ k[x1,· · · , xn], com k corpo, ´e um ideal gerado por

monômios de grau 2 e livres de quadrados eXα∈k[x1,· · · , xn] é um monômio livre de

quadra-dos, ent˜ao VI(Xα) =ht(Iα), em que Iα =I∩supp(Xα) [5]. Desta forma, para provar que Xα

é um gerador m´ınimo essencial de F(I), em que Xα é um monômio livre de quadrados, basta observar queXα _∈_/ ₍_x

1,· · · , xn)I(ht(Iα))+

P

htα.

3.2Proposic¸˜ao. Sejamk um corpo eI ⊂k[x1,· · · , xn]o ideal de arestas de um grafo simples

G. Ent˜ao,X =x1. . . xn´e um gerador m´ınimo essencial deF(I)se, e somente se, para qualquer

parti¸c˜ao disjunta {x1,· · · , xn}=M∪N, temos,

dimK[N] IN

+dimk[M] IM

(32)

em que IN =I∩k[N] e IM =I ∩k[M].

Demonstra¸cão. Considerando M∪N uma parti¸cão disjunta de {x1,· · · , xn}é fácil

ver que IM e IN s˜ao, respectivamente, os ideais de aresta dos subgrafos induzidos por M e N.

Denotaremos por XM eXN o produto dos elementos de M eN, respectivamente.

Temos que ht(I) = VI(X), ht(IM) = VI(XM), ht(IN) = VI(XN) e naturalmente

VI(X)≥ VI(XM) +VI(XN).

Suponha que

dimK[N] IN

+dimk[M] IM

≤dimk[G] + 1.

A desigualdade acima equivale a VI(X)−1 <VI(XM) +VI(XN). Como VI(X) ≥ VI(XM) +

VI(XN)

VI(X) =VI(XM) +VI(XN).

Caso VI(XM) > 0 e VI(XN) > 0, ent˜ao, pela igualdade acima, isto equivale a X ∈

P

V_I(X).

Se VI(XM) = 0, então M é um conjunto de vértices não adjacentes e isto é equivalente a

X ∈(supp(XM))I(VI(X)). Portanto,

dimK[N] IN

+dimk[M] IM

≤dimk[G] + 1 ⇔X ∈(x1,· · · , xn)I(VI(X))+

X

VI(X) .

Logo, pela defini¸c˜ao, temos:

dimK[N] IN

+dimk[M] IM

≤dimk[G] + 1 ⇔X n˜ao ´e um gerador m´ınimo essencial.

¥

SeG é um grafo bipartido, então pela defini¸cão, existe uma parti¸cão disjunta do con-junto de vértices de G, digamos V1 eV2, tal que toda aresta deG une V1 a V2, ou seja,V1 e V2

é uma cobertura deG. Veja que ou #V1 ≤ n₂ ou #V2 ≤ n₂, em que né o número de vértices de

G. Desta forma, a altura de um primo m´ınimo do ideal de arestasI deG, que corresponde ao n´umero de elementos de uma cobertura m´ınima de G, ´e menor ou igual a n

2, isto ´e,

ht I ≤ n

2. Mais ainda, se n for um n´umero par ent˜ao ht I ≤ n

2, porém se n for um número ´ımpar então

(33)

3.3 Corol´ario. Seja o grafo G um ciclo ´ımpar com v´ertices em V ={x1,· · · , x2r−1}, r ≥ 2

que não tem subciclos próprios. Então, x1. . . x2r−1 é um gerador m´ınimo essencial.

Demonstra¸cão. SejaI o ideal de arestas deG. Então,htI =r, edim(k[G]) =r−1. Considere M e N uma parti¸cão disjunta não trivial de V com o número de elementos de M

´ımpar. Como Gé um ciclo de ordem ´ımpar sem subciclos próprios, qualquer subgrafo de G é uma árvore ou uma floresta e, portanto, os subgrafos de G induzidos por M e N, e denotados porGM e GN, são bipartidos. Logo, 2dim(k[GM])≥#M + 1 e 2dim(k[GN])≥#N. Da´ı,

2(dim(k[GM]) +dim(k[GN]))≥#M + #N + 1 = 2r−1 + 1 = 2r= 2(dim(k[G]) + 1).

Logo, pela proposi¸c˜ao acimax1. . . x2r−1 ´e um gerador m´ınimo essencial.

¥

Este corolário nos permite observar que, se G é um ciclo de ordem ´ımpar, então G

possui um gerador m´ınimo essencial, isto é, o ideal de arestas deGnão é normalmente livre de tor¸cão. Esta observa¸cão mostra que estamos no caminho certo para demonstrar que o ideal de

arestas de um grafoGé normalmente livre de tor¸cão se, e somente se, Gé um grafo bipartido, pois um ciclo de ordem ´ımpar não é um grafo bipartido.

3.4 Definição. Seja x um vértice do grafo G. A vizinhan¸ca de x, denotado por Γ(x), é o subconjunto de vértices de G que são adjacentes a x.

Algebricamente, a vizinhan¸ca ´e equivalente ao conjunto

Γ(x) = {xi ;xi ∈Annk[G](x)}.

3.5 Proposição. Sejam G um grafo simples com vértices V = {y, x1,· · ·xn}, G′ = G−y

o subgrafo induzido por {x1,· · ·, xn} e I, J seus respectivos ideais de arestas. Se nenhuma

cobertura m´ınima de G cont´em Γ(y) ent˜ao:

1. ht(I) =ht(J) + 1

2. Sex1. . . xné um gerador m´ınimo essencial deF(J)entãoyx1. . . xné um gerador m´ınimo

(34)

Demonstra¸c˜ao. (1) Note que I = (J, yxi1,· · · , yxir), em que Γ(y) = {xi1,· · · , xir}

e, portanto, htI ≤htJ + 1. Por outro lado, seja P um primo m´ınimo de I tal que htI =htP. Ent˜ao, P cont´em um primo m´ınimo Q ⊂ k[x1,· · · , xn] de J. Como o conjunto de cobertura

m´ınima de G′ _{n˜ao cont´em Γ(}_y_{), algum}_x

ij j 6= 1 n˜ao pertence a P e, portanto, y∈ P. Assim,

(Q, y)⊂P, ou seja, htP ≥htQ+ 1 ≥htJ+ 1. Logo, htI =htJ + 1.

(2) Note que J(r) _⊂ _I(r)_{, para todo} _r _≥ _{0. Mais ainda,} _I(r)_∩ _k_[_x

1,· · · , xn] = J(r).

Suponha quex1. . . xn´e um gerador m´ınimo essencial deF(J). Ent˜ao, necessariamente,x1. . . xn

é essencial no grau simbólico h = htJ de J. Desta forma, se yx1. . . xn é um gerador m´ınimo

essencial de F(I), então ele é essencial no grau simbólico h+ 1 de I. Portanto, se yx1. . . xn

não é um gerador m´ınimo essencial de F(I), então depois de uma rearruma¸cão das variáveis, se necessário, podemos assumir que yx1. . . xn=x1. . . xtyxt+1. . . xn, em que x1. . . xty∈I(s), e

xt+1. . . xn ∈ I(h+1−s), s ≤ h. Assim, se s = 1, ent˜ao xt+1. . . xn ∈ I(h) e portanto, x1. . . xn ∈

(x1,· · · , xt)J(h), contradizendo o fato que x1. . . xn ´e m´ınimo. Se s > 1, ent˜ao x1. . . xty/y ∈

I(s−1) _{e portanto} _x

1. . . xn∈I(s−1)I(h−s+1) contradizendo a hip´otese de x1. . . xn ser essencial.

¥

Todos os resultados vistos at´e aqui que tratam sobre geradores m´ınimos essenciais

estão relacionados com monômios livres de quadrados. A proposi¸cão a seguir, permite reduzir

a verifica¸cão de que monômio é, ou não, um gerador m´ınimo essencial através da verifica¸cão

para um monˆomio livre de quadrados. De fato, isso ´e poss´ıvel de ser feito aplicando, sucessivas

vezes, a seguinte estrat´egia: seja I =I(G)⊂k[x1,· · · , xn] o ideal de arestas de um grafo com

n v´ertices. Dado o monˆomio x2

1x2· · ·xn, considere o grafo G′ obtido de G acrescentando-se

um novo vértice y com vizinhan¸ca igual a de x1. Com esta constru¸cão, o monômio yx1. . . xn

´e essencial (com respeito a G’) se, e somente se, x2

1· · ·xn ´e essencial. Mais a frente estaremos

fazendo este mesmo processo de forma mais geral, isto ´e, para um monˆomioxα _{qualquer. Este}

procedimento será chamado método de polariza¸cão.

(35)

Γ(x1). Se yx1. . . xn é um gerador m´ınimo essencial então x1. . . xn é um gerador m´ınimo

essencial.

Demonstra¸c˜ao. Sejam I ⊂ k[y, x1,· · · , xn] o ideal de arestas de G, h = htI =

VI(y, x1. . . xn) e s=dim

k[y,x1,···,xn]

I . Como yx1. . . xn´e um gerador m´ınimo essencial

ht(I∩k[x1,· · ·, xn]) =VI(x1. . . xn) = h−1 e dim

k[x1,· · · , xn]

I∩k[x1,· · · , xn]

=s.

Suponha que x1. . . xn n˜ao ´e um gerador m´ınimo essencial e seja M ∪N = {x1,· · · , xn} uma

parti¸cão não trivial de V, com x1 ∈ N e o grau de XN o maior poss´ıvel, em que XN é o

produto de todos os elementos de N. Ent˜ao, x1. . . xn = XNXM, com VI(XN) +VI(XM) =

h−1, ou ainda, dim_I_∩k[_kM_[_M]_]+dim_I_∩k_k[N_[_N]_] =s. Mas, yx1. . . xn ´e um gerador m´ınimo essencial e,

pela proposi¸c˜ao 3.2,

dim k[M]

I∩k[M] +dim

k[y, N]

I∩k[y, N] ≥s+ 1, ou seja,

dim k[y, N]

I∩k[y, N] =dim

k[N]

I ∩k[N] + 1.

Portanto, Γ(y)∩k[N] = Γ(x1)∩k[N] ´e um subconjunto dos geradores de todos os primos

m´ınimos deI ∩k[N] de altura m´ınima.

Suponha quexi ∈Γ(y)∩k[M] para algumi∈ {1,· · · , n}, ent˜ao ou VI( X_M

xi ) =VI(XM)

ouVI( X_M

xi ) =VI(XM)−1. O primeiro caso implica queVI(XMxi) =VI(XM) + 1 e, portanto, yx1. . . xn ∈ II(h−1), que ´e um absurdo. Caso VI(

X_M

xi ) = VI(XM)−1, teremos VI(xiXN) = VI(XN) + 1 e (xiXN)XM ∈

P

h−1, portanto supp(xiXN)∪M ={x1,· · · , xn} ´e uma parti¸c˜ao

n˜ao trivial com o grau de xiXN maior que o grau de XN, contradizendo a escolha de N.

Conseq¨uentemente, Γ(y)∩k[M] =∅, isto ´e, Γ(y) = Γ(x1)⊆N.

Como yx1. . . xn ´e um gerador m´ınimo essencial, existe um primo m´ınimo P de I de

altura m´ınima tal quey , x1 ∈P eht(P∩k[x1,· · · , xn]) = h−1, portantoP∩k[N] ´e um primo

m´ınimo de I∩k[N] de altura m´ınima. Assim, {y, x1} ∪Γ(x1) ⊆ P, contradizendo o fato que

primos m´ınimos de altura m´ınima corresponde a cobertura m´ınima do conjunto de v´ertices.

(36)

A proposi¸c˜ao abaixo ´e uma importante ferramenta na prova do teorema 3.9 pois prova que se dim k[G] ≥ n

2, caso que ocorre nos grafos bipartidos, então x1. . . xn não é um gerador

m´ınimo essencial.

3.7 Proposição. Sejam G um grafo conexo e simples com vértices V ={x1,· · ·, xn} e I(G)

seu ideal de arestas. Se dimK[G]≥ n

2 ent˜ao x1. . . xn∈

P

h+(X)I

(n)_{, em que} _h₌_ht₍_I_).

Demonstra¸c˜ao. Podemos supor sem perda de generalidade que G ´e conexo. Seja

s=dimk[G] =n−h. Para cada conjunto maximal S′ _{de v´ertices n˜ao adjacentes, seja}_q₍_S′_{) a}

cardinalidade dos subconjuntos de arestas n˜ao adjacentes MS′ ⊆A(G) tal que

(xi, xj)∈MS′ ⇒x_i ∈S′ oux_j ∈S′.

Sejam q = max{q(S′

)} e S o conjunto de vértices não adjacentes tal que q =q(S). Usaremos as seguintes nota¸cões:

1. S={y1,· · ·, ys}e V(G)−S={x1,· · · , xh}

2. MS ={(x1, y1),· · · ,(xq, yq)}.

Observe que comoS é um conjunto máximo de vértices independentes, entãoV(G)\S

´e uma cobertura m´ınima de G. Se q = h, ent˜ao x1. . . xn ∈ Ih ⊆

P

h+(X)I(

h)_{. Suponha que}

q < h ≤ s. Usando o fato que G ´e conexo podemos supor, sem perda de generalidade, que

x1 ∈Γ(yq+1,· · · , ys) =

S

q+1≤i≤sΓ(yi), digamos quex1 ∈Γ(yq+1).

Considere a seguinte cadeia de subconjuntos de A(G) definida recursivamente

N1 ={(x1, y1)} ,N2 =N1∪ {(xi, yi); (xi, yi)∈MS e xi ∈Γ(y1)},

Nr=Nr−1∪ {(xi, yi); (xi, yi)∈MS e xi ∈Γ(yb) para algum yb tal que (xb, yb)∈Nr−1}.

A seq¨uˆenciaNi ⊆Nj estabiliza, fornecendo um subconjuntoN ⊂MS tal que (xi, yi)∈/

N ⇒ xi ∈/ Γ(yb), para todo (xb, yb) ∈ N. Seja t = #N. Reenumerando os v´ertices que

aparecem como aresta que est˜ao emMS, obtemos as seguintes caracter´ısticas de N:

a. Se (xi, yi) ∈ N, ent˜ao existe um caminho x1, y1, xi1, yi1,· · · , xia, yia, xi, yi inteiramente

(37)

b. {y1,· · · , yt} ∩Γ(xt+1,· · · , xh) = ∅.

O item a segue imediatamente da defini¸c˜ao de N. Para provar o item b assuma que

xi ∈ Γ(yj) para algum i ≥ t+ 1 com (xj, yj) ∈ N. Veja que, por defini¸c˜ao de N, temos que

i > q e por a temos queyq+1, x1, y1, xi1, yi1,· · · , xia, yia, xj ´e um caminho. Se Q={(x1, y1),(xi1, yi1),· · · ,(xi, yi)} ⊆N ⊂MS,

ent˜ao o seguinte conjunto{(x1, yq+1),(xi1, y1),· · · ,(xj, yia),(xi, yj)}∪MS−Q´e um subconjunto

de arestas n˜ao adjacentes tal quexixj ∈ MS′ ⇒x_i ∈S′ oux_j ∈ S′ com cardinalidadeq+ 1, o

que contradiz a maximalidade de q. Logo b´e verdade.

Considere os subgrafosG1eG2 induzidos, respectivamente, porN e porV(G)−V(G1).

Como S − {y1,· · · , yt} ⊂ V(G2) temos que dim(k[G2]) ≥ s − t. Mas, como Γ(V(G2))∩

{y1,· · · , yt} = ∅, se dim(k[G2]) > s−t, ent˜ao existiria um subconjunto de V(G) com s+ 1

v´ertices n˜ao adjacentes, o que contradiz o fato quedim(k[G]) =s. Portanto,dim(k[G2]) =s−t

e, conseq¨uentemente,

ht(I(G2)) = n−2t−(s−t) =n−s−t=h−t.

ComoI(G1) tem um produto de t arestas,ht(I(G1))≥t, mas

ht(I(G1)) +ht(I(G2))≤h

e, portanto,ht(I(G1)) =t. Assim, x1. . . xn∈I(t)I(h−t).

¥

Seja I = I(G) o ideal de arestas de um grafo simples G cujo conjunto de v´ertices ´e

{x1,· · · , xn}. Dado um monˆomio Xα = xα11. . . xαnn ∈ I, considere o anel de polinˆomios com

|α| =α1 +· · ·+αn vari´aveis k[Y] = k[y₁,· · ·, y_n], em que y_i = yi1,· · · , yiαi ´e uma lista de αi

vari´aveis. Defina o idealJ ⊂k[Y] gerado por monˆomios livres de quadrados por:

J ={yityjs;xixj ∈I}.

Claramente, J ´e o ideal de arestas do grafo G∗

α obtido de G adicionando, para cada v´erticexi,

αi −1 novos vértices com a mesma vizinhan¸ca de xi. Este pocesso é chamado de método de

(38)

O gerador m´ınimo essencial é invariante pelo método de polariza¸cão, isto é, Xα _é

um gerador m´ınimo essencial de F(I) se, e somente se, Y∗ ₌ Q_y

iti com i ∈ {1,· · · , n} e ti ∈ {1,· · · , αi}´e um gerador m´ınimo essencial de F(J) [5].

3.8 Proposição. Seja G um grafo simples com ideal de arestas I. Se um monômio Xα é um gerador m´ınimo essencial de F(I) então Xβ _{é um gerador m´ınimo essencial para todo} _Xβ

tal que Xβ|Xα

e supp(Xα) = supp(Xβ). Em particular, o produto de todos os elementos de

supp(Xα₎ _{tamb´em ´e um gerador m´ınimo essencial.}

Demonstra¸c˜ao. Basta usar a proposi¸c˜ao 3.6 sucesivamente em G∗

α.

¥

3.9 Teorema. SejamG um grafo simples e I(G) o seu ideal de arestas. Então, G é bipartido se, e somente se, I(G) é normalmente livre de tor¸cão.

Demonstra¸cão. Suponha que o grafo Gé bipartido eI(G) não é normalmente livre de tor¸cão, isto é, existe um monômio Xα tal que Xα é um gerador m´ınimo essencial. Pela proposi¸cão 3.8, o produto de todos os elementos de supp(Xα_{) também é um gerador m´ınimo}

essencial. Seja G′ _{o subgrafo induzido pelos elementos do} _supp₍_Xα

). Observe que G′ _tamb´em

é bipartido e o produto de seus elementos também é um gerador m´ınimo essencial. Podemos,

então, assumir que o produto de todos os vértices de Gé um gerador m´ınimo essencial. Como

G ´e bipartido, ent˜ao dim(k[G])≥ n

2 e, pela proposi¸c˜ao 3.7, o produto de todos os v´ertices de

Gnão é um gerador m´ınimo essencial, absurdo. Portanto, I é normalmente livre de tor¸cão.

Suponha agora que I é normalmente livre de tor¸cão. Então, G não possui elemento essencial de nenhuma ordem. Suponha que G não é bipartido, ou seja, G possui cliclos de ordem ´ımpar e, então, existe um ciclo que não tem subciclos próprios. Pelo corolário 3.3, G

possui um gerador m´ınimo essencial de alguma ordem, absurdo. LogoG ´e bipartido.

(39)

3.10 Corolário. Se G é um grafo bipartido, então G é normal.

Demonstra¸cão. Como G é um grafo bipartido, o seu ideal de arestas I é normal-mente livre de tor¸cão pelo teorema 3.9, ou seja,In ₌_I(n) _{para todo}_n _∈_N_{. Pelo corolário 2}_._16,

temos queI(n)_{´e integralmente fechado. Logo,}_In₌_In _{para todo}_n_≥_{1. Portanto,} _G_{´e normal.}

¥

3.2 Outras ´

Algebras de Rees Normais

Nesta se¸c˜ao, estaremos interessados em encontrar alguns grafos cuja ´algebra de Rees

do seus ideais de arestas são normais. Devido à proposi¸cão 2.11 para provar que a álgebra de Rees do ideal de arestasI é normal, provaremos que I é normal. Portanto pelo último corolário da se¸cão anterior temos que a álgebra de Rees de ideais de arestas de grafos bipartidos são

normais. Vejamos agora outros grafos.

3.11 Lema. Sejam G um ciclo de ordem ´ımpar e I(G) o seu ideal de arestas. Se x1 e xl s˜ao

v´ertices de G, ent˜ao x1xlIs∩(Is+1 :x1)⊂Is+1.

Demonstra¸cão. Faremos indu¸cão ems. Paras = 0 a verifica¸cão é simples. Suponha que a afirma¸cão seja válida para inteiros menores que s e tome y6= 0 um monômio tal que

y∈ x1xlI

s_∩₍_Is+1 _:_x 1)

Is+1 .

Existem monˆomios livres de quadrados de grau 2,

y1,· · · , ys e f1,· · · , fs+1

em I tais que y =y1. . . ysx1xly e x1y =f1. . . fs+1h para algum monˆomio h e y. Por hip´otese

de indu¸c˜ao, podemos assumir que {y1,· · · , ys} ∩ {f1,· · · , fs+1}=∅.

Vamos mostrar, por indu¸c˜ao, que dado 1 ≤ k ≤ s + 1 existem v´ertices diferentes

x1,· · · , x2k de Gtal que yi =x2ix2i+1 para i≤k−1, fi =x2i−1x2i para i≤k, e

(40)

Se k = 1, temos a equa¸c˜ao x1y = f1. . . fs+1h e usando y /∈ Is+1, obtemos fi = x1x2

para algumi. Reordenando os f′

is, teremos f1 =x1x2 e, conseq¨uentemente,

y=x2f2. . . fs+1h.

Assuma que a afirma¸c˜ao ´e verdadeira para k e considere a igualdade

yk. . . ysx1xly=x2kfk+1. . . fs+1h.

Observe que, se x2k = xl, ent˜ao y1. . . yk−1x1xl ∈ Ik e, portanto, y ∈ Is+1. Podemos assumir

quex1 6=x2k. Se x2k divide y, ent˜ao a igualdade

y1. . . yk−1x1x2k=f1. . . fk

implica que y ∈ Is+1_{. Portanto,} _x

2k divide yi para algum k ≤ i ≤ s e, reordenando os yi′s,

temos yk =x2kz para algum v´ertice z. Note que z 6= x1, pois G ´e um ciclo ´ımpar. Portanto,

z =x2k+1 satisfaz z /∈ {x1,· · · , x2k} e

x2k+1yk+1. . . ysx1xly =fk+1. . . fs+1h.

Comoy /∈Is+1 _{a ´}_{ultima equa¸c˜ao prova que}_x

2k+1dividefipara algumi, digamosfk+1 =x2k+1w

para algum vértice w. Note que w /∈ {x1,· · · , x2k+1} e a indu¸cão em k está completa. Para

k=s+ 1, a equa¸c˜ao yk. . . ysx1xly=x2kfk+1. . . fs+1h se reduz a y=x2s+2h.

Para completar a indu¸c˜ao em snote que se k =s+ 1 ent˜ao y1. . . yk−1x1x2k =f1. . . fk

junto com o argumento visto acima resulta em y∈Is+1_, _{que contradiz a escolha inicial de}_y_.

¥

3.12 Teorema. Se o grafo Gé um ciclo ´ımpar então G é normal.

Demonstra¸c˜ao. Sejam V = {x1,· · · , xn} os v´ertices de G, R = k[x1,· · · , xn] um

anel de polinˆomios sobre um corpokem= (x1,· · · , xn) o ideal irrelevante deR. Vamos provar

por indu¸cão em n que o ideal In _{é integralmente fechado. Para} _k_{= 0, temos que} _R ₌_I0 _{é um}

dom´ınio normal. Suponha que parar < n tenhamos Ir ₌_Ir_{. Como estamos trabalhando com}

ideais monomiais, temos que

(41)

Considere In

In diferente de zero. Note que a localiza¸c˜ao de In em qualquer primo associado de

In

In diferente de m é uma floresta. Portanto, usando que a álgebra de Rees de uma árvore é

normal, obtemos quem´e um primo associado de In

In. Sejay∈

In

In um monˆomio que ´e conduzido

porm aIn_{. Por hip´oteses de indu¸c˜ao, temos}

y∈In _⊂_In−1 ₌_In−1_.

Por fim, observamos quey tem grau pelo menos 2n e, portanto,y∈x1xiIn−1∩(In :x1), que ´e

imposs´ıvel pelo lema 3.11.

¥

3.13 Proposição. Se G é um grafo completo comn vértices, então G é normal.

Demonstra¸c˜ao. Sejam V = {x1,· · · , xn} os v´ertices de G, R = k[x1,· · · , xn] um

anel de polinˆomios sobre um corpokem= (x1,· · · , xn) o ideal irrelevante deR. Vamos provar

por indu¸c˜ao em n que o ideal In _{´e integralmente fechado. Suponha que para} _{r < n} _tenhamos

Ir ₌_Ir_{. Seja} _y_∈ In

In um monˆomio que ´e conduzido por m aI

n_.

Note que R(I) ⊂ R(m2_{) e, como} _R₍_m2_{) ´e integralmente fechado, todo monˆomio em}

In _{tem grau pelo menos 2}_n_{. Por hip´otese de indu¸c˜ao, temos}

y∈In _⊂_In−1 ₌_In−1_,

portanto podemos escrever

y=y1. . . yn−1u,

em queué um monômio de grau pelo menos 2 eyi ∈I.Seu não é potência de variáveis, então

u ∈ I e, conseq¨uentemente, y ∈ In_{. Suponha que} _u ₌ _xr

1 , r ≥ 2. Caso x1 n˜ao ocorra em

algum dos monômios yi, digamos yl, entãoylx21 ∈ I2, portanto a proposi¸cão segue novamente.

Suponha, ent˜ao, quex1 ocorre em cada yi, ou seja,

y=z1. . . zn−1xr1+n−1,

com zi ∈ {x1,· · · , xn}. Logo x1y /∈In e isto contradiz a escolha de y.

(42)

Neste ponto, surge uma questão: será que existe um grafo cuja álgebra de Rees de seu

ideal de Arestas não é norma? Esta questão poderá ser respondida na próxima se¸cão.

3.3 Transferˆ

encia de Normalidade

Nesta se¸c˜ao estudaremos, por fim, a normalidade da sub´algebra k[G] = k[f1,· · · , fd],

em queké um corpo, Gé um grafo e f1,· · · , fdsão os monômios associados às arestas do grafo

G. No artigo [4], em que estamos baseando esta disserta¸cão, está provado o seguinte teorema: Teorema [7.1]: SejaGum grafo. Se a álgebra de ReesR(I(G)) é normal, entãoK[G] também é normal.

Por´em, apresentaremos uma vers˜ao mais geral do teorema descrito acima. Mais

pre-cisamente, provaremos no teorema 3.16 que se G é um grafo conexo, então a álgebra de Rees

R(I) é normal se, e somente se, R[G] é normal. Esse teorema é demasiadamente importante pois através dele poderemos obter grafos cuja álgebra de Rees de seus ideais de arestas não são

normal.

Como na secão anterior já estudamos algumas álgebras de Rees normais, podemos,

imediatamente, obter algumas sub´algebras k[G] normais. Como de costume, veremos algumas ferramentas que nos auxiliar˜ao na prova do teorema central.

Seja G= (V(G), A(G)) um grafo, em que V(G) = {x1,· · · , xn} um grafo. Definimos

o cone de G por C(G) = (V, A), em que V = V(G) ∪ {t} com t um novo v´ertice e A =

A(G)∪ {(x1, t),· · · ,(xn, t)}.

A proposi¸cão que segue será usada na demonstra¸cão do teorema 3.16. A prova desse resultado não será apresentada neste trabalho e poderá ser encontrada em [VER

REFEREN-CIA].

3.14 Proposição. Sejam G um grafo e C(G) o cone de G. Então, existe um isomorfismo

R(I(G))≃k[C(G)].

(43)

{zs, zs+1,· · · , zt = zs}, e um caminho ligando-os, P = {zr,· · · , zs}. Neste caso, denotaremos

Mw =z1. . . zrzs+1. . . zt.

Observe que se w é um bow tie de um grafo G, então Mw é inteiro em k[G]. De fato,

Mw é raiz do polinômio f(x) =x2−Mw2. (Veja queMw2 ∈k[G], pois tem grau par e é produto

de arestas por um elelmento de k.) Mais ainda, em [6] ´e provado que o fecho inteiro k[G] de

k[G] ´e uma k-sub´algebra monomial gerada pelo conjunto

B ={f1,· · ·fq} ∪ {Mw ; w´e um bow tie },

em quef1,· · · , fq s˜ao os monˆomios definidos pelas arestas deG. Assim, para verificar quek[G]

´e um dom´ınio normal, basta observar se Mw ∈ k[G] para todo w bow tie, o que torna simples

verificar a normalidade de k[G].

3.16 Teorema. Sejam G um grafo conexo simples e I seu ideal de arestas. Então a álgebra de Rees R(I)é normal se, e somente se, a subálgebra k[G] é normal.

Demonstra¸c˜ao. ⇒) Suponha que R(I(G)) ´e um dom´ınio normal. Denote por m

o ideal maximal irrelevante de k[x1,· · · , xn] e por A o anel k[tf1,· · · , tfq], em que I(G) =

(f1,· · · , fq). Observe que existe a decomposi¸c˜ao de A-m´odulos

R(I(G)) =k[x1,· · · , xn, tf1,· · · , tfq] =k[tf1,· · · , tfq]⊕mR(I(G)).

ComoA ≃k[G] eR(I(G)) ´e normal, k[G] ´e normal.

⇐) Seja C(G) o cone do grafo G. Pela proposi¸c˜ao 3.14, existe um isomorfismo

R(I(G))≃k[C(G)].

Assim, basta mostrar que a álgebra k[C(G)] é normal, isto é, que para todo w bow tie de

C(G) o elemento Mw ∈ k[C(G)]. Seja w um bow tie de C(G). Para concluir a demonstra¸c˜ao

separaremos em alguns casos.

1. Set /∈Z1∪Z2∪P, ent˜aow´e um bow tie deGe, portanto,Mw ∈k[G] =k[G]⊂k[C(G)].

2. Suponha que t ∈ Z1 ∪Z2, digamos t ∈ Z1. Se Z1 ∩Z2 6= ∅, ent˜ao Mw ∈ k[C(G)]. Caso

Z1 ∩Z2 = ∅ então Z1 e Z2 é unido pela aresta (t, z), em que z é um vértice de Z2 e,