Modelação numérica de túneis com consideração explícita das heterogeneidades do maciço

Lúcia Cidália Fernandes Peixoto

MODELAÇÃO NUMÉRICA DE TÚNEIS

COM CONSIDERAÇÃO EXPLÍCITA

DAS HETEROGENEIDADES DO MACIÇO

Lúcia Cidália Fernandes Peixoto

MODEL A ÇÃ O NUMÉRIC A DE TÚNEIS C OM C ONSIDERA ÇÃ O EXPLÍCIT A D AS HETER OGENEID ADES DO MA CIÇO

Escola de Engenharia

Dissertação de Mestrado

Ciclo de Estudos Integrados Conducentes ao

Grau de Mestre em Engenharia Civil

Trabalho efectuado sob a orientação do

Professor Doutor Tiago Filipe da Silva Miranda

Lúcia Cidália Fernandes Peixoto

MODELAÇÃO NUMÉRICA DE TÚNEIS

COM CONSIDERAÇÃO EXPLÍCITA

DAS HETEROGENEIDADES DO MACIÇO

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“Your vision of where or who you want to be is the greatest asset you have.”

“A visão de onde e quem quer ser é o maior trunfo que você tem.”

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A

Não será propriamente um agradecimento. Será sim uma oportunidade para demonstrar a estima que guardo por aqueles que direta ou indiretamente fizeram parte do meu percurso académico e da realização desta dissertação.

Ao Professor Doutor Tiago Miranda, por me ter dado o privilégio de ser sua orientanda, por partilhar comigo os seus conhecimentos e pela oportunidade de me permitir observar a maneira como desenvolve os seus raciocínios.

Ao Fabian Dedecker, por toda a assistência técnica, pela cedência da licença temporária para o uso do 𝐹𝐿𝐴𝐶3𝐷 _{e pela paciência para responder às minhas perguntas e aceder aos}

meus pedidos.

À Marisa Pinheiro, por todo o apoio ao longo desta dissertação, por ter desafiado a minha mente e me ter incentivado a evoluir, por partilhar comigo ideias e valores. Ao Flávio Gillardino, por fazer da programação algo sublime e por ser meu amigo. A única pessoa que me demonstrou o quão entusiasmante a programação pode ser.

Ao Professor Rui Ramos, pela disponibilidade com que sempre me recebeu, pelo incentivo e pelos conselhos valiosos.

Aos professores do Departamento de Engenharia Civil. Seria ingrato da minha parte não demonstrar apreço por aqueles que me transmitiram os seus conhecimentos e os seus valores ao longo destes 5 anos.

Aos meus pais, essenciais para o meu desenvolvimento enquanto Ser, por nunca me terem negado uma oportunidade e por serem o maior exemplo de resiliência que conheço.

Ao meu Zé, por tudo o que me ensina todos os dias e por ser o meu melhor amigo para toda a vida.

Ao André Lopes e à Joana Silva, pela amizade, pela disponibilidade e pela partilha de experiências, opiniões e valores.

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A otimização de custos e controlo de riscos desempenham um papel cada vez mais central em todos os ramos de atividade. No que concerne à engenharia geotécnica, e no caso particular das obras subterrâneas, essa questão tem cada vez mais relevância, através de uma melhor e mais detalhada caracterização das propriedades dos maciços rochosos com o fim de diminuir as incertezas associadas à sua caracterização e aos parâmetros que traduzem o seu comportamento, que podem conduzir a sobrecustos consideráveis e colocar em risco a segurança de pessoas e bens. Assim, a caracterização detalhada e tão rigorosa quanto possível é, nos dias de hoje, um aspeto muito relevante a tratar na área da Geotecnia.

Embora as técnicas correntes, como a aplicação direta dos sistemas empíricos de classificação dos maciços rochosos e a análise de ensaios in situ e ensaios laboratoriais, permitam na maior parte dos casos uma caracterização dos maciços adequada para o desenvolvimento de um projeto, por vezes, esta caracterização poderá ser insuficiente especialmente se se tratar de maciços com elevado grau de heterogeneidade. Nesse sentido, as técnicas geoestatísticas surgem como uma alternativa com elevado interesse e potencialidade na caracterização dos maciços de uma forma mais precisa, reduzindo as incertezas associadas, caracterizando a variabilidade espacial existente e identificando as heterogeneidades de forma explícita. Estas técnicas avaliam a interação entre os dados com o objetivo de considerar a sua dependência espacial.

A presente dissertação tem como principal objetivo o estabelecimento de uma metodologia numérica para modelação de maciços marcadamente heterogéneos que utilize as modelações geoestatísticas como base para o seu desenvolvimento. Com o auxílio de um software de diferenças finitas, irão ser desenvolvidos modelos numéricos de um túnel teórico traduzindo uma abordagem tradicional e uma abordagem de base geoestatística para posterior comparação. Os resultados mostram que é possível desenvolver modelos numéricos para obras subterrâneas com consideração explícita das heterogeneidades baseados em resultados de modelação geoestatística e levados a cabo num tempo de cálculo aceitável.

Palavras-chave: Modelação de Heterogeneidades, Análise Numérica, Caracterização

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The cost optimization and risk control play an increasingly central role in all fields of activity. Regarding the geotechnical engineering, and in particular the case of underground works, this issue has increasingly relevance through a better and more detailed characterization of the properties of rock masses. In order to reduce the uncertainties associated with rock mass characterization and the parameters translating their behavior, which can lead to considerable extra costs and put at risk the safety of people and goods. So detailed and as accurate as possible characterization is, today, a very important aspect to be addressed in the field of Geotechnics.

Although current techniques, such as direct application of the empirical classification systems of rock masses and analysis of in situ and laboratory tests enable in most cases the appropriate characterization of rock masses for the development of a project, sometimes this characterization may be insufficient especially in the case of rock masses with a high degree of heterogeneity. In this sense, geostatistical techniques emerge as an alternative of high interest due to its capability in the characterization of rock masses more precisely, reducing the associated uncertainties, characterizing the spatial variability and identifying heterogeneity explicitly. These techniques measure the interaction between the data for the purpose of considering the spatial dependence. This master thesis aims to establish a numerical methodology for markedly heterogeneous rock masses modelling that integrates geostatistical modelling as the basis for its development. With the aid of a finite difference software, numerical models of a theoretical tunnel translating a traditional approach and a based on geostatistics approach, will be developed for further comparison. The results show that it is possible to develop numerical models designed for underground works with explicit consideration of the rock mass heterogeneities, based on the geostatistical modelling results, with an acceptable computing time.

Key-Words: Heterogeneities modelling, Numerical Analysis, Rock Mass

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1 Introdução e Motivação do Trabalho... 1

1.1 Contextualização ... 1 1.2 Objetivos ... 3 1.3 Organização do Documento ... 3 2 Revisão Bibliográfica ... 5 2.1 Incerteza na Geotecnia ... 5 2.2 Métodos Probabilísticos ... 8

2.2.1 Método de Monte Carlo ... 9

2.2.2 Método de Primeira Ordem e Segundo Momento (MPOSM) ... 11

2.2.3 Método das Estimativas Pontuais ... 13

2.3 Métodos Estocásticos ... 15

2.3.1 Geoestatística ... 16

2.3.2 Aplicações dos Métodos Probabilísticos e Estocásticos... 22

3 Metodologia ... 25

3.1 Introdução ... 25

3.2 Procedimento Geral ... 26

3.3 Geoestatística Aliada à Modelação Numérica ... 27

3.4 Construção do Modelo Numérico - 𝑭𝑳𝑨𝑪𝟑𝑫 (ITASCA, 2012) ... 28

3.4.1 Definição da Grelha ... 30 3.4.2 Escavação ... 35 3.4.3 Simulação Geoestatística ... 36 3.5 Considerações Finais ... 44 4 Análise de Resultados ... 45 4.1 Parâmetros Geomecânicos ... 46 4.2 Deformações ... 49

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4.3 Tensões ... 60

4.3.1 Tensões Principais Máximas ... 60

4.3.2 Tensões Principais Mínimas ... 62

4.3.3 Magnitude das Tensões ... 64

4.3.4 Zonas de Rotura ... 65 4.4 HBEM2 vs. HBEA2 ... 67 4.5 Considerações Finais ... 74 5 Conclusões ... 79 5.1 Considerações Gerais ... 79 5.2 Trabalhos Futuros ... 80 Bibliografia ... 81 ANEXO I ... 89 ANEXO II ... 97 ANEXO III ... 107

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Figura 1: Incertezas associadas ao processo de engenharia geotécnica (Christian e

Baecher, 2003). ... 5

Figura 2: Causa principais relativas aos erros de medição (Christian e Baecher, 2003). . 6

Figura 3: Sequência das fases a seguir para implementação do método de Monte Carlo. ... 11

Figura 4: Procedimento de implementação do método das Estimativas Pontuais. ... 15

Figura 5: Esquema geral demonstrativo do funcionamento da estimação geoestatística (Zhang, 2011). ... 17

Figura 6: Esquema geral demonstrativo do funcionamento da simulação geoestatística (Zhang, 2011). ... 17

Figura 7: Esquema geral do variograma em caso estacionário (Imanzadeh, 2013). ... 19

Figura 8: Comparação entre as realizações resultantes da simulação, simulação condicionada e interpolação Kriging, (Dubost, 2009). ... 20

Figura 9: Esquema dos modelos numéricos desenvolvidos para análise. ... 30

Figura 10: Geometria final do modelo, com o túnel e o maciço rochoso totalmente definidos. ... 33

Figura 11: Secção do túnel. ... 33

Figura 12: Pormenor do revestimento aplicado aos modelos numéricos. ... 34

Figura 13: Condições de fronteira. ... 35

Figura 14: Escavação sequencial. ... 36

Figura 15: Técnicas de desmonte em secções parciais, Ubierta (1997) e Pereira (1996). ... 36

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Figura 17:Variograma ajustado obtido para o parâmetro Rc (resistência à compressão uniaxial). ... 40 Figura 18: Resumo da metodologia adotada para a modelação numérica. ... 42 Figura 19: Regressão linear entre os valores de RMR simulados e os valores de teste. . 43 Figura 20: Modelação da incerteza de RMR para a probabilidade igual a 0.1, 0.3, 0.5, 0.7 e 0.9. ... 43 Figura 21: Pontos de controlo das diferentes secções ao longo do desenvolvimento do túnel. ... 45 Figura 22: Pontos de controlo à superfície do maciço rochoso. ... 46 Figura 23: a) Módulo de deformabilidade, E, atribuído a EM e HBEM; b) Módulo de deformabilidade, E, atribuído a EA e HBEA. ... 47 Figura 24: A partir do canto superior esquerdo e no sentido horário está representado 𝑚𝑏, s, 𝜎𝑐 e a. ... 48 Figura 25: a) Deslocamentos absolutos para EM; b) Deslocamentos absolutos para

HBEM. ... 50

Figura 26: a) Deslocamentos horizontais (direção X) totais para EM; b) Deslocamentos horizontais (direção X) totais para HBEM. ... 51 Figura 27: a) Deslocamentos horizontais (direção Y) totais para EM; b) Deslocamentos horizontais (direção Y) totais para HBEM. ... 52 Figura 28: a) Deslocamentos verticais (direção Z) totais para EM; b) Deslocamentos verticais (direção Z) totais para HBEM. ... 53 Figura 29: a) Deslocamentos absolutos para EA; b) Deslocamentos absolutos para

HBEA. ... 55

Figura 30: a) Deslocamentos horizontais (direção X) totais para EA; b) Deslocamentos horizontais (direção X) totais para HBEA. ... 56

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Figura 31: a) Deslocamentos horizontais (direção Y) totais para EA; b) Deslocamentos horizontais (direção Y) totais para HBEA. ... 57 Figura 32: a) Deslocamentos verticais (direção Z) totais para EA; b) Deslocamentos verticais (direção Z) totais para HBEA. ... 58 Figura 33: a) Tensões principais máximas obtidas para EM; b) Tensões principais máximas obtidas para HBEM. ... 61 Figura 34: a) Tensões principais máximas obtidas para EA; b) Tensões principais máximas obtidas para HBEA. ... 62 Figura 35: a) Tensões principais mínimas obtidas para EM; b) Tensões principais mínimas obtidas para HBEM. ... 63 Figura 36: a) Tensões principais mínimas obtidas para EA; b) Tensões principais mínimas obtidas para HBEA. ... 63 Figura 37: a) Magnitude total das tensões obtidas para EM; b) Magnitude total das tensões obtidas para HBEM. ... 64 Figura 38: a) Magnitude total das tensões obtida para EA; b) Magnitude total das tensões obtidas para HBEA. ... 65 Figura 39: a) Zonas de rotura para o modelo HBEM; b) Zonas de rotura para o modelo

HBEA. ... 66

Figura 40: a) Deslocamentos absolutos para HBEM2; b) Deslocamentos absolutos para

HBEA2. ... 68

Figura 41: a) Deslocamentos horizontais (direção X) totais para HBEM2; b) Deslocamentos horizontais (direção X) totais para HBEA2. ... 69 Figura 42: a) Deslocamentos horizontais (direção Y) totais para HBEM2; b) Deslocamentos horizontais (direção Y) totais para HBEA2... 70 Figura 43: a) Deslocamentos horizontais (direção Z) totais para HBEM2; b) Deslocamentos horizontais (direção Z) totais para HBEA2... 71

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Tabela 1: Resumo de algumas primitivas disponíveis no 𝐹𝐿𝐴𝐶3𝐷 (ITASCA, 2012). . 30 Tabela 2: Exemplo do ficheiro texto construído para importação FLAC3D. ... 36 Tabela 3: Funções matemáticas utilizadas para o ajuste do variograma. ... 38 Tabela 4: Funções matemáticas utilizadas para o ajuste do variograma. ... 40 Tabela 5: Deslocamentos obtidos a partir dos gráficos para as diferentes secções para

EM e HBEM... 54

Tabela 6: Deslocamentos obtidos para as diferentes secções do túnel para EA e HBEA. ... 59 Tabela 7: Deslocamentos máximos obtidos para HBEM2 e HBEA2. ... 71 Tabela 8: Tensões máximas obtidas para HBEM2 e HBEA2. ... 72 Tabela 9: Deslocamentos máximos para as diferentes secções dos modelos HBEM2 e

HBEA2. ... 73

Tabela 10: Resumo dos valores máximos obtidos para os deslocamentos e tensões, para os vários modelos. ... 76 Tabela 11: Tempo de cálculo para os diferentes modelos numéricos. ... 77

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E – Módulo de Deformabilidade.

𝐹𝐿𝐴𝐶3𝐷 _{– Fast Lagrangian Analysis of Continua in 3 Dimensions.}

HB – Hoek & Brown RMR – Rock Mass Rating. GSI – Geological Strength Index. TBM – Turning Bands Method.

EA – Modelo elástico heterogéneo.

EM – Modelo elástico homogéneo.

HBEM – Modelo elasto-plástico homogéneo. HBEA – Modelo elasto-plástico heterogéneo. RMSE – Root Mean Square Error.

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Uma vez que um engenheiro é dito ser um idiota como nenhum outro idiota, mas capaz de fazer por um euro o que outros fariam por dois, os fatores económicos sempre foram de grande importância nos projetos de engenharia (Levy e Salvadori, 2002). Como tal, a otimização de custos e controlo de riscos são aspetos basilares no desenvolvimento de projetos de qualquer ramo da engenharia, requerendo aos vários intervenientes a obtenção de soluções mais eficientes em termos de previsão do comportamento das estruturas.

Relativamente à engenharia geotécnica, e no caso particular das obras subterrâneas, essa questão é cada vez mais tida em consideração, através de uma caracterização das propriedades dos maciços mais refinada com o propósito de diminuir as incertezas associadas à sua caracterização e aos parâmetros que traduzem o seu comportamento, que podem conduzir a sobrecustos consideráveis e colocar em risco a segurança de pessoas e bens. Assim, a caracterização detalhada e tão rigorosa quanto possível é, nos dias de hoje, um aspeto muito relevante a tratar na área da Geotecnia e em particular nas vertentes da caracterização geotécnica e da geomecânica.

Os maciços rochosos podem apresentar zonas com características geomecânicas muito distintas numa curta distância com impacto relevante no comportamento das obras geotécnicas, como tal, existe cada vez mais uma perceção da necessidade de caracterização destas heterogeneidades. Em termos geomecânicos, um maciço heterogéneo pode ser definido como aquele que apresenta transições acentuadas de zonas de maior para menor resistência e deformabilidade e vice-versa, em pequenos intervalos espaciais. As heterogeneidades, a variabilidade espacial e as incertezas associadas à mesma desempenham um papel importante em Geotecnia e, cada vez mais, existe a perceção da necessidade de estabelecer metodologias que melhor caracterizem os maciços para que assim sejam mitigadas as incertezas e considerados também os riscos associados.

O comportamento de maciços marcadamente heterogéneos é altamente imprevisível, no entanto, o seu impacto no comportamento das estruturas geotécnicas é bastante elevado. É de conhecimento geral que grande parte dos acidentes que ocorrem durante as fases

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de construção se devem às condições adversas não detetadas no terreno, mais precisamente a análises incompletas na caracterização dos maciços rochosos e que não consideram conjuntamente as incertezas (incertezas associadas às medições e transformações ou simplificações), a variabilidade espacial e também as heterogeneidades e as suas implicações na estabilidade dessas obras.

O objetivo principal da presente dissertação baseia-se na construção e análise de modelos numéricos de um caso teórico de um túnel em forma de ferradura, utilizando parâmetros geomecânicos obtidos com base em dados reais que permitam a modelação explícita das heterogeneidades. O presente estudo considera como caso de estudo os dados geotécnicos recolhidos de uma mina localizada no norte do Chile, mais precisamente no deserto do Atacama. Estes dados foram anteriormente tratados com técnicas geoestatísticas para simular os parâmetros geomecânicos do maciço, com o fim de considerar no cálculo as incertezas associadas, a variabilidade espacial do maciço e as suas heterogeneidades.

O trabalho realizado no âmbito da presente dissertação esteve relacionado com o procedimento de transição de um modelo geoestatístico para o software de análise numérica utilizado, nomeadamente o 𝐹𝐿𝐴𝐶3𝐷 (ITASCA, 2012) e posteriormente a modelação de um caso teórico de escavação de um túnel no maciço simulado e análise do seu comportamento. Na modelação numérica foram consideradas duas abordagens distintas, uma primeira que modela o maciço de forma tradicional, ou seja, considerando um meio homogéneo e uma segunda abordagem que considera o maciço como um meio heterogéneo. Os resultados foram, posteriormente, comparados com o objetivo de apurar as principais diferenças entre as duas abordagens. Perante o comportamento do modelo numérico em cada situação, será apresentada uma reflexão final referindo qual a abordagem que melhor traduz o comportamento do maciço e aquela que conduz a resultados mais precisos e realistas.

Por último, o trabalho desenvolvido na presente dissertação pretende representar as potencialidades da modelação numérica aliada a técnicas geoestatísticas constituindo uma evolução das técnicas empregues até esta altura no que toca à caracterização de maciços rochosos e análise de obras subterrâneas.

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1.2 OBJETIVOS

A temática das obras subterrâneas, especialmente aquelas construídas em maciços de carácter heterogéneo é, por vezes, de difícil caracterização, e tem vindo a ser alvo de especial atenção por parte dos engenheiros geotécnicos. Estes têm a preocupação de encontrar técnicas e soluções que melhor caracterizem os maciços e apresentem resultados mais aproximados da realidade, tentando abarcar três fatores relevantes, nomeadamente a heterogeneidade, a variabilidade espacial e as incertezas.

Com esta dissertação, pretende-se proceder à modelação numérica de um caso teórico de um túnel criando dois modelos de cálculo distintos: o primeiro, baseado na abordagem tradicional até agora implementada no estudo de túneis e caracterização de maciços rochosos; o segundo, baseado numa metodologia inovadora com o fim de melhorar a abordagem tradicional em termos de caracterização dos maciços tendo por base técnicas geoestatísticas.

Assim, os principais objetivos a desenvolver ao longo desta dissertação consistem:

 Construção de um modelo geométrico que traduza da melhor forma a geometria do maciço rochoso e do túnel a estudar.

 Desenvolvimento de uma metodologia para a atribuição dos parâmetros geomecânicos, obtidos com base em técnicas geoestatísticas, no software de análise do comportamento do maciço rochoso 𝐹𝐿𝐴𝐶3𝐷 _{(ITASCA, 2012).}

 Analisar e comparar os resultados dos vários modelos numéricos com vista a confrontar os resultados da abordagem geoestatística com os da abordagem tradicional.

1.3 ORGANIZAÇÃO DO DOCUMENTO

A presente dissertação organiza-se em cinco capítulos, onde serão abordadas todas as etapas e temáticas que constituíram a investigação e o trabalho realizados.

Capítulo 1 – Introdução: Este capítulo pretende dar a conhecer uma breve descrição do documento, no sentido de contextualizar as temáticas e conceitos abordados. Ainda, contém uma breve descrição das motivações e principais objetivos da dissertação.

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Capítulo 2 – Revisão Bibliográfica: Revisão de conhecimentos sobre as incertezas na Geotecnia, assim como métodos probabilísticos e estocásticos correntemente utilizados na caracterização e análise de obras subterrâneas. As incertezas, assim como a variabilidade espacial e heterogeneidade características dos maciços rochosos, serão definidas e serão identificadas as suas origens assim como, as suas consequências. Adicionalmente, serão abordados exemplos de métodos probabilísticos atualmente utilizados em geomecânica como é o caso do método de Monte Carlo, o método de Primeira Ordem e Segundo Momento e o método das Estimativas Pontuais. Relativamente aos métodos estocásticos, serão referidos alguns dos métodos mais utilizados, no entanto as técnicas geoestatísticas terão mais destaque.

Capítulo 3 – Metodologia: Consiste na descrição detalhada dos processos que envolveram a utilização do método geoestatístico para simulação dos valores dos parâmetros geomecânicos e também, os processos adotados e essenciais à modelação numérica, no software de diferenças finitas 𝐹𝐿𝐴𝐶3𝐷 (ITASCA, 2012), do caso teórico de um túnel.

Capítulo 4 – Análise de Resultados: Considera a análise e comparação dos resultados de tensões e deslocamentos obtidos para as duas abordagens (abordagem tradicional e abordagem geoestatística) da simulação numérica, recorrendo ao programa de análise de comportamento do maciço rochoso 𝐹𝐿𝐴𝐶3𝐷 _{(ITASCA, 2012).}

Capítulo 5 – Conclusões: Capítulo reservado à síntese de todo o trabalho desenvolvido, onde se enunciam as respostas às questões levantadas e conclusões acerca das comparações dos resultados obtidos no capítulo anterior. Também aqui serão referidas indicações sobre trabalhos futuros a desenvolver no âmbito da consideração explícita das heterogeneidades de maciços rochosos.

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2.1 INCERTEZA NA GEOTECNIA

A necessidade da obtenção de resultados mais precisos e confiáveis constitui um fator de grande importância na análise de qualquer problema. Relativamente à engenharia geotécnica, resultados precisos e confiáveis podem contribuir para uma melhor análise das estruturas, prevenindo erros de dimensionamento e custos adicionais consequentes. Dada a consciência de que os erros nos resultados não se dão apenas pelas características aleatórias dos materiais, moldados por processos naturais, ou apenas por erros relativos associados aos equipamentos de medição, o engenheiro viu-se também confrontado com o erro humano. Assim, é reconhecida a existência de um número elevado de incertezas intrínsecas à engenharia geotécnica que podem ser classificadas como mostra a Figura 1 (Christian e Baecher, 2003).

Figura 1: Incertezas associadas ao processo de engenharia geotécnica (Christian e Baecher, 2003).

As variações naturais encontram-se ligadas, como seu nome sugere, à aleatoriedade dos processos naturais. Dentro destas, existe a variabilidade temporal que se relaciona com a variação ao longo do tempo de processos ocorridos no mesmo local, e a variabilidade espacial que reflete a ocorrência destes eventos em locais diferentes (Christian e Baecher, 2003).

Os maciços rochosos apresentam, normalmente, elevada heterogeneidade o que dificulta em muito a sua caracterização. O conceito de variabilidade relaciona-se diretamente com este facto uma vez que, a pequenas distâncias, é possível observar níveis de alteração distintos, ou seja, observam-se zonas de rocha completamente sã até zonas de rocha decomposta. No entanto, não há qualquer padrão que defina o aparecimento destas zonas, sendo a sua distribuição considerada totalmente aleatória.

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Os erros de medição, e segunda fonte de incerteza, advêm de três causas principais. As imprecisões dos equipamentos são intrínsecas aos próprios e podem levar à obtenção de informação distorcida das propriedades da rocha quando ignoradas. Como tal, é recorrente o fornecimento de informação sobre a magnitude destas imprecisões por parte do fabricante, numa tentativa de ajudar o utilizador a garantir a integridade dos resultados. O inevitável e imprevisível erro humano relaciona-se principalmente, com o deficiente manuseamento e/ou interpretação dos equipamentos e procedimentos de ensaio. Normalmente, o erro humano é consequência do desconhecimento parcial das normas e regulamentos a aplicar nos diversos ensaios. A dispersão residual nos resultados dos ensaios não é de tão fácil identificação já que não se deve a parâmetros específicos e tão pouco à variabilidade inerente à rocha. A Figura 2 apresenta-se um esquema resumindo as causas principais que levam aos erros de medição (Christian e Baecher, 2003).

Figura 2: Causa principais relativas aos erros de medição (Christian e Baecher, 2003).

A terceira e última fonte de incerteza relaciona-se com os modelos que são desenvolvidos para a representação dos fenómenos que se pretendem escrutinar. Estes modelos são construídos com base em formulações matemáticas e, independentemente do grau de complexidade das formulações aplicadas, o comportamento real do fenómeno sob escrutínio nunca será totalmente representado. A complexidade destes modelos está diretamente relacionada com a necessidade de um maior número de

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parâmetros de entrada e a determinação dos últimos pode levar a mais erros associados. Acrescenta-se ainda que os modelos 2D utilizados para análise nem sempre são bem-sucedidos a traduzir o comportamento 3D das condições do terreno em estudo somando, assim, mais erros associados. Ainda que recomendadas, as simplificações efetuadas para a construção destes modelos resultam como mais incertezas associadas.

Como um fator que irá estar sempre associado a qualquer obra de natureza subterrânea, os especialistas têm vindo a fazer um esforço no sentido de encontrar métodos cada vez mais capazes e precisos para lidar com as incertezas.

Os métodos que utilizam valores determinísticos para a caracterização de maciços são a abordagem mais corrente mas apresentam limitações consideráveis já que simplificam muito a aleatoriedade natural do meio em que estão inseridos. Embora úteis, a utilização dos métodos determinísticos tem muitas limitações dado o elevado grau de incerteza sobre os resultados obtidos porque as características geomecânicas das rochas usadas nos modelos podem afastar-se significativamente das características reais do maciço, o que pode conduzir a estruturas sobredimensionadas e muito acima dos custos esperados ou por outro lado podendo por em causa a estabilidade das próprias estruturas. Assim, têm vindo a ser desenvolvidas alternativas mais complexas para a caracterização de maciços que possuem a capacidade de colmatar as falhas dos métodos determinísticos, no que toca à consideração das heterogeneidades e da variabilidade.

Não só pelo controlo de riscos mas também pelo atual enquadramento económico em que muitas destas obras estão inseridas, é fulcral desenvolver métodos que mitiguem esta incerteza para se desenvolverem projetos mais económicos, seguros e eficazes. Dadas estas necessidades, as técnicas de caracterização dos maciços e avaliação geotécnica têm vindo a ser melhoradas com o aparecimento de novas e mais avançadas metodologias probabilísticas e estocásticas.

Os métodos probabilísticos baseiam-se em distribuições de probabilidades para os parâmetros, a partir das quais são retiradas amostragens através de métodos como os de Monte Carlo, estimativas pontuais e primeira ordem segundo momento, no sentido de prever uma resposta probabilística da estrutura. No entanto, os métodos probabilísticos continuam a não corresponder às necessidades da caracterização de maciços porque não

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têm em conta as heterogeneidades, apesar de cumprirem a tarefa no que toca à consideração das incertezas e variabilidade.

2.2 MÉTODOS PROBABILÍSTICOS

Segundo Christian e Baecher (2003), hoje em dia as incertezas e os riscos devem ser expressos segundo a linguagem probabilística e o cálculo do risco deve ser baseado em deduções suportadas por métodos estatísticos.

A utilização dos métodos probabilísticos é particularmente útil para comparação, análise e combinação de incertezas. Em termos de aplicabilidade aos problemas de engenharia, com um determinado grau de incerteza, os métodos probabilísticos permitem estabelecer uma relação entre a segurança e a probabilidade de rotura. Assim, torna-se possível ter como discussão um leque de soluções, todas passíveis de ser implementadas, permitindo um discernimento mais perspicaz e claro na resolução deste tipo de problemas.

A análise e caracterização de maciços foi sofrendo alterações e evoluções na forma como tem vindo a ser implementada. A abordagem determinística, de natureza mais simples e direta, tem vindo a ser maioritariamente empregue. Esta abordagem caracteriza-se por uma estimação ponderada dos dados disponíveis para se apurar um e único valor adequado para os parâmetros de entrada. Utilizados na modelação analítica ou numérica, os valores convergem para um resultado apenas, como representação da realidade. Segundo El Ramly (2001), a principal suposição por detrás das abordagens determinísticas baseia-se no facto de que o erro estimado, diferença entre o valor real dos parâmetros e as respetivas estimativas, seja igual a zero. Suportar tal suposição constitui um distanciamento da realidade na caracterização de maciços, visto que os seus parâmetros geomecânicos se caracterizam pela elevada variabilidade. Sendo assim, houve a necessidade de evoluir esta abordagem determinística para uma abordagem probabilística que considera de forma clara e explícita as incertezas dos parâmetros que caracterizam o maciço. A abordagem probabilística para além de considerar as incertezas associadas aos parâmetros de entrada também tem em conta as incertezas associadas aos modelos. Os parâmetros de entrada constituem variáveis aleatórias, deixando estes de ser caracterizados com um valor único para agora assumir qualquer valor dentro de um dado intervalo. Assegurando a representação da variabilidade

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através destes parâmetros, será possível verificar a variação dos resultados das análises de onde se poderá extrair um intervalo de resultados possíveis e prováveis. No entanto, tais técnicas continuam a não conseguir que os métodos probabilísticos considerem as heterogeneidades intrínsecas aos maciços rochosos.

A maioria dos métodos probabilísticos pode dividir-se em métodos de amostragem e simulações de Monte Carlo. Dentro dos métodos de amostragem, encontram-se o Método das Estimativas Pontuais e o Método de Primeira Ordem Segundo Momento, sendo classificados como métodos indiretos. Estes necessitam apenas do conhecimento da média e do desvio padrão das variáveis de entrada. Retirando amostras dos parâmetros pela sua distribuição de probabilidades e utilizando-as em cálculos determinísticos, estes métodos permitem obter uma resposta probabilística da estrutura e do meio onde esta se insere. Já as simulações de Monte Carlo, definindo-se como método direto, permitem manipular um elevado número de dados relativos a uma variável aleatória, resultando então numa análise mais detalhada dos resultados.

2.2.1 Método de Monte Carlo

O método de Monte Carlo, inicialmente proposto por Metropolis (1987), deve o seu nome à roleta de Monte Carlo, no principado do Mónaco. Em 1944, aquando do desenvolvimento da bomba atómica, este método tornou-se numa ferramenta de pesquisa para os cientistas da altura (Pllana, 2000).

Os métodos de simulação aleatória baseados no método de Monte Carlo, não são aplicados apenas aos vários ramos da engenharia como também se aplicam a outras áreas científicas como na Física Computacional, Astrofísica e Biologia, nomeando apenas algumas. Este método de Monte Carlo define-se como um método estatístico, baseando-se numa geração aleatória de um determinado número de valores para atribuir às variáveis aleatórias independentes. Segundo Christian e Baecher (2003), este método pode ser dividido em duas áreas de ação, sendo que a primeira se baseia na simulação de processos de cariz estocástico, enquanto a segunda envolve problemas que podem ser resolvidos por meio de simulações, usando variáveis aleatórias.

Em termos de aplicação prática, os processos físicos podem ser simulados através do método de Monte Carlo sem necessidade de considerar as equações matemáticas que traduzem o comportamento do sistema em análise. No entanto, os processos físicos que

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se pretendem escrutinar devem ser passíveis de serem descritos por funções de densidade de probabilidade. Estabelecendo o número de simulações adequadas, os resultados são obtidos estimando o valor médio das grandezas a controlar durante o dado número de simulações (Griffiths et al., 2002). Este valor pode ainda ser traduzido pela estimação da sua variância, permitindo uma correção, se necessária, no número de simulações controlando assim o erro que se pretende atingir. Assim, o resultado pretendido é obtido pelo resultado acumulado das amostras aleatórias.

Na utilização do método de Monte Carlo, é muito importante a definição prévia do número de iterações que se pretende executar. Para uma distribuição de resultados realista, o método de Monte Carlo exige um elevado número de iterações e, consequentemente, um maior número de dados que traduzem as variáveis de entrada. Com o aumento das variáveis aleatórias e o aumento da variabilidade das mesmas, aumenta a quantidade de iterações que é necessária realizar para os resultados convergirem. A convergência de resultados referida pode se apurar por observação dos resultados em termos de flutuações. Se não se observam diferenças drásticas nos valores dos resultados ao longo dos cálculos realizados, compreende-se que o resultado atingido é aceitável. Caso estas diferenças se traduzam no resultado ao longo dos cálculos, provavelmente, o número de iterações terá que ser ajustado. Com vista à estabilização dos valores dos resultados, o número de iterações a realizar deve ser o mínimo possível de forma a limitar o esforço computacional.

Quando aplicado à Geotecnia, o método de Monte Carlo permite efetuar um elevado número de simulações combinando os parâmetros geomecânicos do maciço de acordo com o peso pretendido, ou seja, alguns parâmetros podem ser considerados como constantes e outros podem apresentar uma variação aleatória nos seus valores. Como resultados, são apresentados os deslocamentos, distribuições de tensões e fatores de segurança para o modelo numérico em estudo.

Para a aplicação e implementação do método de Monte Carlo, deve ser cumprido um conjunto de fases como explanado no diagrama da Figura 3.

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Figura 3: Sequência das fases a seguir para implementação do método de Monte Carlo.

O método de Monte Carlo apresenta algumas vantagens como, por exemplo, a simplicidade e compatibilidade com as análises requeridas nos projetos de obras geotécnicas (El-Ramly, 2001). O facto de se poderem atribuir diferentes pesos às variáveis aleatórias antes da simulação constitui outra vantagem por permitir analisar qual a variável que tem mais influência no sistema em estudo assim como apurar a correlação entre as diferentes variáveis. No caso das obras geotécnicas, isto permite analisar quais as propriedades que influenciam e pesam mais sobre o comportamento de um dado maciço rochoso. Ainda é de notar que o método de Monte Carlo permite um número elevado de variáveis sem tornar a análise excessivamente complexa e de difícil interpretação.

Mesmo com todas estas vantagens e potencialidades, o método de Monte Carlo não é capaz de ter em consideração um dos fatores mais importantes na caracterização e análise dos maciços, a heterogeneidade. Ainda que abarcando um elevado número de variáveis aleatórias de entrada, o método de Monte Carlo requer um processamento computacional elevado que nem sempre significa a obtenção de resultados satisfatórios.

2.2.2 Método de Primeira Ordem e Segundo Momento (MPOSM)

O método de Primeira Ordem e Segundo Momento (MPOSM) também pode ser referido como Método do Valor Médio de Primeira Ordem e Segundo Momento

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(MSPOVM), e baseia-se na aproximação da série de Taylor de primeira ordem de uma dada função limite, linearizada segundo os valores médios de cada variável aleatória. Considerando uma função f(x.y) de duas variáveis aleatórias x e y independentes entre si e normalmente distribuídas, a expansão da série de Taylor da função em relação aos valores médios (𝜇_𝑥, 𝜇_𝑦) é dada por:

𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑓(𝜇𝑥, 𝜇𝑦) + (𝑥 − 𝜇𝑥) 𝑑𝑓 𝑑𝑥+ (𝑦 − 𝜇𝑦) 𝑑𝑓 𝑑𝑦 +1 2(𝑥 − 𝜇𝑥)² 𝑑²𝑓 𝑑𝑥²+ 1 2(𝑦 − 𝜇𝑦) 2𝑑_𝑑𝑦2𝑓₂ +1 2(𝑥 − 𝜇𝑥)(𝑦 − 𝜇𝑦) 𝑑2_𝑓 𝑑𝑥𝑑𝑦 +1 2(𝑦 − 𝜇𝑦)(𝑥 − 𝜇𝑥) 𝑑2_𝑓 𝑑𝑥𝑑𝑦+ ⋯ (1)

Na maioria das situações em que o método é aplicado, apenas os termos de primeira ordem (lineares) e os primeiros dois momentos (média e desvio padrão) da série são considerados, justificando-se assim o nome do método. Conhecida a função de desempenho 𝑌 = 𝑔(𝑋₁, 𝑋₂, … , 𝑋_𝑛), onde 𝑋_𝑖 representa as variáveis aleatórias independentes, o valor médio de 𝑌 é obtido através dos valores médios das variáveis aleatórias:

𝜇(𝑌) = 𝑔[𝜇(𝑋₁), 𝜇(𝑋2), … , 𝜇(𝑋𝑛)] (2)

O desvio padrão de 𝑌 no caso de variáveis não correlacionadas é dado por:

𝜎(𝑌) = √∑ (𝜕𝑌 𝜕𝑋_𝑖𝜎(𝑋𝑖)) 2 𝑛 𝑖=1 (3)

com as derivadas parciais apuradas no ponto 𝜇(𝑋_𝑖).

Por sua vez, a variância da função para n variáveis aleatórias não correlacionadas é dada por:

𝑉𝑎𝑟 [𝑌(𝑋₁, 𝑋₂, … , 𝑋_𝑛)] = (𝑑𝑌

𝑑𝑋_𝑖) 𝑉𝑎𝑟[𝑋𝑖]

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De forma a apurar o impacto que a variação em cada variável apresenta no resultado final, ao utilizar o MPOSM, é necessária a realização de n+1 análises. Usando os valores médios das variáveis de entrada é realizada, por fim, uma última análise.

Para aplicações corretas e eficazes deste método, Christian (1996), sugere o seguinte procedimento:

 Identificar as variáveis que contribuem para a incerteza;

 Determinar os valores médios, desvios padrão e coeficientes de correlação das variáveis;

 Estimar as incertezas em cada variável e exprimir essa incerteza como a variância de uma função;

 Realizar uma análise de sensibilidade, calculando as alterações na variável dependente, devido às variações em cada variável dependente;

 Usar a expressão (4) para estimar a variância e, consequentemente, o desvio padrão.

Como vantagens, o MPOSM consegue providenciar uma visão clara sobre a contribuição que cada variável apresenta para a incerteza. É um método relativamente simples de implementar e não sendo necessário o conhecimento da função probabilística das variáveis aleatórias. Tratando-se de funções lineares, o método apresenta ainda grande precisão nos resultados obtidos.

A principal desvantagem do MPOSM relaciona-se com a sua incapacidade de representar a variabilidade e heterogeneidade presentes e características dos maciços.

2.2.3 Método das Estimativas Pontuais

O método das Estimativas Pontuais, originalmente proposto por Rosenblueth (1975), tem sido vastamente utilizado na Geotecnia e consiste numa técnica de simples implementação quando é pretendida a avaliação dos momentos das funções de variáveis aleatórias. Segundo Christian e Baecher (2003), a partir dos momentos de baixa ordem de uma variável independente x, o método fornece aproximações para os momentos da mesma ordem para a variável dependente y.

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Como valores de ponderação, o método das Estimativas Pontuais faz uso do desvio padrão para cada lado da média relativa a cada variável de entrada. Desta forma, a distribuição probabilística da variável dependente é conseguida pela transformação da variável contínua x numa variável discreta considerando os pontos (x+ e x-), com P+ e

P- como as concentrações de probabilidade correspondentes.

É recomendado um número mínimo de cálculos a realizar correspondente a 2𝑛_{, em que}

n constitui o número de variáveis aleatórias a tratar, para a obtenção de resultados para

todas as combinações possíveis.

Feitas as n combinações necessárias, a distribuição probabilística da variável dependente, do tipo 𝑦 = (𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛), é dada por:

𝑦̅ = ∑ 𝑃 𝑓_𝑖

2𝑛

𝑖=1

(5)

onde os valores de ponderação P são dados por ₂1_𝑛, e 𝑓𝑖 representam avaliações

sucessivas de uma dada função f em todas as combinações possíveis das variáveis aleatórias, nos locais dos pontos estimados.

Outro cálculo necessário a este método é a variância dos valores da variável y, sendo esta dada por:

𝑉𝑎𝑟(𝑦) = ∑ 𝑃𝑓_𝑖2 2𝑛 𝑖=1 − (∑ 𝑃𝑓_𝑖2 2𝑛 𝑖=1 ) 2 ₍₆₎

Na Figura 4, sugerem-se os passos a seguir para uma correta aplicação do método das Estimativas Pontuais:

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Figura 4: Procedimento de implementação do método das Estimativas Pontuais.

A simplicidade e precisão que o método das Estimativas Pontuais constituem uma das suas grandes vantagens. Quando comparado com o método de Monte Carlo, o método das Estimativas Pontuais apresenta uma necessidade inferior de análises determinísticas poupando no custo computacional.

Como todas as variáveis aleatórias devem apresentar uma distribuição normal, o método restringe-se e não se adequa à utilização de outras distribuições, já que podem comprometer a exatidão dos resultados, constituindo uma óbvia desvantagem.

Talvez a maior desvantagem que este método apresenta é a incapacidade de considerar explicitamente as heterogeneidades características dos maciços rochosos.

2.3 MÉTODOS ESTOCÁSTICOS

A palavra “estocástico” tem a sua origem no Grego e significa “aleatoriedade”, “acaso”. Os seus antónimos são precisamente as palavras “certo” e “determinístico”, entre outras. Como foi possível apurar, os métodos probabilísticos anteriormente apresentados apesar de serem capazes de considerar as incertezas e variabilidade associadas ao estudo de maciços, continuam a não traduzir a heterogeneidade intrínseca aos mesmos. Devido às simplificações efetuadas para implementação dos métodos probabilísticos, os dados

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sofrem distorção ocultando informações essenciais no que toca à caracterização das propriedades heterogéneas dos maciços, resultando em representações pouco aproximadas da realidade.

Os métodos estocásticos surgem assim como ferramentas alternativas de avaliação e consideração explícita das heterogeneidades nos modelos desenvolvidos para análise de maciços rochosos, permitindo representações mais precisas e realistas do seu comportamento. Por definição, os métodos estocásticos ou simulações estocásticas constituem uma geração de números aleatórios conseguindo assim reproduzir todos os cenários possíveis envolvendo fenómenos físicos ou não, desde que o fenómeno em causa seja passível de ser traduzido matematicamente. Quando aplicados à Geotecnia, os métodos estocásticos permitem que as propriedades dos maciços rochosos sejam tratadas como heterogéneas e aleatórias.

De entre as técnicas estocásticas existentes, a geoestatística está na base da metodologia para a simulação dos parâmetros geomecânicos utilizados nesta dissertação.

2.3.1 Geoestatística

As primeiras aplicações da geoestatística datam de 1951 e foram introduzidas na indústria mineira por Krige. Estas foram aplicadas, inicialmente, em minas de ouro com o objetivo de compreender a variância da concentração deste mineral tendo em conta a distância entre os dados. Em seguida, Matheron (1963) definiu uma nova função espacial numérica que varia localmente e cuja variância pode ser definida através de um variograma e não através de uma função numérica simples (Matheron 1963, 1971). Assim, as variáveis aleatórias podem assumir diferentes classificações, estacionária e não-estacionária, de acordo com os diferentes modelos existentes capazes de as caracterizar. Quando é pretendida a análise e entendimento sobre a distribuição espacial das variáveis aleatórias associadas a coordenadas espaciais, a abordagem geoestatística pode dividir-se fundamentalmente em estimação ou simulação (Matheron, 1963).

A Figura 5 e Figura 6 apresentam um esquema geral demonstrativo da estimação e da simulação, respetivamente. Na Figura 5, é demonstrado o processo geral a aplicar num caso de estimação, onde é definido primeiramente um variograma experimental em concordância com os dados da amostra sendo, posteriormente, ajustado utilizando um modelo matemático adequado. Após aplicação do estimador de Kriging, os resultados

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obtidos apresentam-se na forma de dois mapas, representando a melhor estimação e a variância da estimação. Relativamente ao processo de simulação, a sequência de implementação é análoga, diferindo apenas nos resultados obtidos. Através da simulação, como se pode observar na Figura 6, os resultados obtidos tomam a forma de diversos mapas equivalentes ou realizações, e permitem a quantificação da incerteza associada à previsão da variável (Chilès e Delfiner, 2012).

De acordo com Chilès e Delfiner (2012), as variáveis aleatórias podem ser agrupadas em três famílias distintas: contínua, categórica e objeto. A variável contínua representa propriedades físicas que apresentem um histograma contínuo, já a variável categórica representa um elemento de classificação, indicadores ou variáveis com rankings desordenados.

Figura 5: Esquema geral demonstrativo do funcionamento da estimação geoestatística (Zhang, 2011).

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As potencialidades das técnicas geoestatísticas são reconhecidas e por isso, têm sido aplicadas em diversas áreas que vão desde a indústria petrolífera à indústria mineira, passando pela hidrogeologia, entre outras. A título de exemplo, as técnicas geoestatísticas são aplicadas na indústria petrolífera para a modelação de geometria e caracterização dos reservatórios. Relativamente à indústria mineira, a modelação dos minerais, análise de concentrações e respetiva classificação é feita com base em técnicas geoestatísticas (Krige, 1951, 1966; Krige et al., 1989). Quando aplicadas à hidrogeologia, as técnicas geoestatísticas permitem a correta estimação da permeabilidade dos terrenos.

2.3.1.1 Variograma

O variograma é uma função matemática que relaciona a variância existente entre os pontos do espaço situados a diferentes distâncias. Traduz o comportamento de uma variável aleatória e é requisito fundamental para a estimação ou simulação geoestatística. Esta função matemática foi apresentada por Deutsch (2002) e permite classificar a variável Z(x) como estacionária ou não estacionária e é obtida com base no quadrado da diferença do seu valor em dois pontos separados por um vetor de distância h.

𝛾(ℎ) = 1

2𝑁(ℎ)∑(𝑍(𝑥) − 𝑍(𝑥 + ℎ))2

(7)

onde, N(h) representa o número de pares de pontos a uma distância h, h representa a distância entre pares de pontos e Z(x) representação a variável aleatória na localização x. De acordo com a Figura 7, o variograma é então caracterizado pelo seu patamar e alcance. O patamar de um variograma experimental representa o valor/nível para o qual a variância entre os pontos começa a ser constante e corresponde à diferença entre o ponto de maior correlação (origem do variograma). Este patamar é atingido quando a distância entre pontos tende para infinito (alcance), ou seja, onde Z(x) e Z(x+h) não apresentam qualquer relação espacial. Ainda, o designado “efeito pepita” pode surgir no variograma experimental, caracterizando a variável como descontínua na sua origem entre os dados de maior proximidade, o que poderá levar a alguma irregularidade espacial. Este efeito poderá ser justificado através dos erros de amostragem.

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Figura 7: Esquema geral do variograma em caso estacionário (Imanzadeh, 2013).

Definido o variograma experimental com base nos pontos da amostra é importante que seja efetuado um estudo direcional, ou seja, verificar se a variável apresenta anisotropia (diferentes valores nos patamares e alcances para as direções testadas).

Calculado o variograma experimental e por forma a que este seja utilizado na estimação ou simulação geoestatística, é necessário efetuar o seu ajuste, recorrendo a funções matemáticas que poderão ser utilizadas individualmente ou combinadas, como é o caso de funções esféricas, cúbicas, exponenciais, gaussianos, etc.

2.3.1.2 Estimação

Relativamente à estimação de uma ou mais variáveis aleatórias, esta pode ser feita através do Kriging (Krige, 1951; Krige, 1966; Krige et al., 1989). Esta técnica consiste em estimar os valores e erros associados onde não existe informação prévia e traduzir esses resultados num mapa, que poderá ser 2D ou 3D. Com base na variância observada, são posteriormente calculados os ponderadores 𝜆. Estes ponderadores pretendem representar a importância/influência que cada ponto da amostra apresenta na estimação do ponto alvo. Este valor deverá ser maior ou menor, de acordo com a distância da amostra ao alvo e o seu somatório não deverá ultrapassar a unidade. O estimador de Kriging também designado por “melhor” estimador tenta minimizar a variância entre pontos e não apresenta viés, ou seja, o erro residual médio tende para zero. Existem diversos tipos de estimadores de Kriging: Kriging Simples (média da amostra conhecida), Kriging Ordinário (média da amostra desconhecida) e Kriging

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Universal (Krige, 1966). Ao estimador da variável aleatória poderão ser adicionados dados complementares e correlacionados com a variável principal em questão, e assim, resultar em técnicas de cokriging ou co-estimação.

2.3.1.3 Simulação

A ideia principal da simulação geoestatística passa por gerar como resultado alternativas múltiplas e equiparáveis para uma ou mais variáveis regionalizadas, designadas por realizações de um campo aleatório permitindo assim diferentes interpretações da realidade (Chilès e Delfiner, 2012). A simulação geoestatística pode ainda ser caracterizada como condicionada ou não condicionada. A simulação condicionada caracteriza-se por permitir a obtenção de um campo aleatório que, através de realizações do fenómeno regionalizado, traduz a sua variabilidade respeitando a estrutura espacial da amostra (média, variância e variograma experimental) e utilizando seus valores para a simulação dos pontos de grelha (através do estimador Kriging). Assim, a incerteza de uma variável num ponto não amostrado é traduzida por uma função de distribuição de probabilidade. Por sua vez, a simulação não condicionada considera os pontos amostrados para a definição da estrutura espacial dos dados, negligenciando a informação local dos mesmos para a simulação da grelha (Chilès e Delfiner, 2012). A Figura 8 apresenta um exemplo de simulação não-condicionada, condicionada e estimação por Kriging Simples.

Figura 8: Comparação entre as realizações resultantes da simulação, simulação condicionada e interpolação Kriging, (Dubost, 2009).

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O leque de algoritmos de simulação existente é bastante vasto de acordo com o tipo de variável aleatória em questão. Após a revisão bibliográfica de alguns dos métodos do tipo pixel, destaca-se o Turning Bands Method (TBM).

A simulação surge assim como alternativa aos estimadores para casos não estacionários e apresenta bons resultados na determinação de valores mínimos e máximos (valores extremos), em casos onde a informação de campo não é elevada.

Concluído o cálculo e ajuste de todos os fatores determinantes da simulação geoestatística, são assim obtidas as n realizações. O número de realizações poderá ser variável, no entanto é prática comum utilizar um número de 100 realizações para que seja atingida a convergência do modelo (Chilès e Delfiner, 2012). No entanto, poderá ser levado a cabo um estudo de convergência de forma a otimizar o número de realizações a calcular. A metodologia adotada para a simulação condicionada dos parâmetros geomecânicos assenta nos seguintes passos principais:

1. Análise dos dados de entrada e cálculo das estatísticas básicas; 2. Transformação dos dados de entrada em dados gaussianos normais; 3. Cálculo do variograma experimental;

4. Ajuste do variograma experimental definindo assim o modelo matemático do variograma;

5. Definição da grelha de simulação, escolha do número de nós e espaçamento entre os nós nas três coordenadas, X, Y e Z;

6. Simulação ou co-simulação condicionada utilizando o algoritmo de simulação selecionado;

7. Transformação dos dados gaussianos nos seus valores originais; 8. Validação do modelo.

2.3.1.4 Turning Bands Method

Este método inclui o algoritmo de simulação Turning Bands, proposto inicialmente por Chentov (1957) e mais tarde adaptado a casos estacionários por Matheron (1973) e consiste na obtenção das realizações no espaço através da simulação por bandas ou linhas. Mais precisamente, a simulação de um ponto numa localização x do plano corresponde à soma dos valores obtidos com a simulação em 1D através da projeção de

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entanto de acordo com Emery e Lantuéjoul (2006) o valor ideal encontra-se entre 1000 e 1500 bandas. Este método apresenta inúmeras vantagens, quando o objetivo passa pela simulação em 2D e 3D, tal como o reduzido tempo de cálculo quando comparado com os restantes algoritmos gaussianos. No entanto, a desvantagem associada a este método passa por uma possível visualização de artefactos nos mapas, resultantes da geometria das inúmeras bandas usadas.

2.3.1.5 Validação dos Modelos

No que concerne à validação dos modelos simulados, em geoestatística, é geralmente utilizada uma de duas validações distintas, a validação cruzada e a validação recorrendo a técnica de Jack-knife (Chilès e Delfiner, 2012). No caso específico desta dissertação, apenas foi implementada a técnica de Jack-Knife para validação dos modelos simulados.

A validação recorrendo à técnica de Jack-knife consiste na divisão dos dados iniciais em dois grupos. O primeiro grupo deverá ser usado para a simulação da variável ou variáveis na localização exata dos dados pertencentes ao segundo grupo. Por conseguinte, o segundo grupo é usado para a comparação dos valores simulados com os valores reais.

2.3.2 Aplicações dos Métodos Probabilísticos e Estocásticos

Dada a elevada utilidade na aplicação tanto dos métodos probabilísticos como dos métodos estocásticos em obras geotécnicas, é com facilidade que se encontram diversos trabalhos desenvolvidos na área.

O método de Monte Carlo é um dos métodos maioritariamente empregue na análise de obras geotécnicas, quer no estudo da estabilidade de taludes quer no estudo de obras subterrâneas devido à sua capacidade de considerar um grande número de variáveis. Como exemplo dá-se o trabalho de Hammah et al. (2009) que, pela combinação do método das estimativas pontuais e do método de Monte Carlo, mostraram que o uso destes métodos pode conduzir a uma previsão correta da probabilidade de rotura de um talude. Outro exemplo é o trabalho de Chandler (1996), onde foi efetuada a avaliação da estabilidade de um talude pela implementação do método de Monte Carlo, concluindo

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que o método permite a análise de grandes quantidades de dados necessários à análise probabilística. Com o objetivo de analisar a pressão crítica de colapso na face de um túnel, Mollon et al. (2011) executaram uma análise probabilística da estabilidade da face do túnel aplicando o método de Monte Carlo. Utilizando uma abordagem probabilística para o projeto de suportes primários para túneis, Oreste (2005) considerou as distribuições de probabilidades dos parâmetros geomecânicos do maciço rochoso e dos parâmetros mecânicos do suporte usando o método de Monte Carlo. Camposinhos et al. (2010), com o objetivo de analisar a ocorrência do colapso na frente de um túnel, introduziram na sua análise as incertezas ao nível das propriedades geotécnicas, das características geométricas do túnel e do modelo geotécnico através de uma abordagem probabilística do tipo Monte Carlo. Faustino (2013) estimou o índice de fiabilidade e probabilidade de falha de um túnel usado o método de Monte Carlo. Costa (2008) simulou o processo de construção de um túnel para um conjunto de perfis de classificação de um maciço rochoso, usando a simulação de Monte Carlo.

Dada a sua simplicidade de implementação, o método de Primeira Ordem e Segundo Momento tem sido aplicado aos mais diversos estudos. Christian et al. (1994) realizaram as avaliações dos diques do projeto da barragem James Bay. Suchomel et al. (2009) compararam os resultados obtidos a partir da teoria dos campos aleatórios e os obtidos a partir do MPOSM na previsão da estabilidade de um talude num solo de coesão e ângulo de atrito variáveis espacialmente.

O método das estimativas pontuais não tem grande utilização na caracterização de maciços rochosos, dado não conseguir considerar as heterogeneidades dos maciços, mas revela-se eficaz quando se pretende estudar e avaliar sistemas de suporte para túneis. Valley et al. (2010) analisaram o comportamento de um túnel, concluindo que o recurso aos métodos probabilísticos pode ajudar na otimização dos sistemas de suporte.

Constituindo técnicas mais complexas e capazes de tratar as propriedades dos maciços rochosos como heterogéneas e aleatórias, facilmente se entende a razão para o aumento da utilização dos métodos estocásticos na caracterização de maciços rochosos. Huang (2007) analisou o comportamento de um túnel tendo em conta a variabilidade espacial das propriedades do maciço rochoso empregando métodos estocásticos. Miranda (2011) analisou os efeitos que a escavação de um túnel tem na bacia de subsidência, aplicando a teoria dos campos aleatórios.

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As técnicas geoestatísticas têm vindo a crescer na sua aplicação para avaliação e estudo de obras geotécnicas, principalmente devido ao facto de permitirem a consideração dos principais fatores na caracterização de maciços rochosos – incertezas, variabilidade e heterogeneidades. Através do uso destas técnicas, Davidovic et al. (2010) modelaram a incerteza espacial presente nos propriedades de um solo e Jeon et al. (2009) estimaram o valor do parâmetro Rock Mass Rating do maciço rochoso adjacente a um túnel para estabelecer posteriormente o projeto do seu sistema de suporte. Blanchin et al. (1993) avaliaram a eficácia dos estudos geoestatísticos realizados para o projeto do Eurotúnel, no Canal da Mancha, concluindo a sua eficácia na caracterização das camadas geológicas presentes na área de construção. Doostmohammadi et al. (2014) utilizaram técnicas geoestatísticas para estimação dos parâmetros geotécnicos do maciço rochoso envolvente do túnel de Behesht-Abad, dando especial atenção à resistência à compressão uniaxial e sua estimação.

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3 M

O caso de estudo da presente dissertação passa pela análise do comportamento de um maciço rochoso para o caso teórico de um túnel de secção em forma de ferradura. Para tal, foram utilizados dados de uma mina localizada no deserto de Atacama (Chile), mais precisamente a informação relativa ao sistema empírico de classificação de maciços rochosos, Rock Mass Rating (RMR). O conjunto de dados é constituído, aproximadamente, por 4000 dados obtidos através de sondagens mecânicas com profundidades que variam entre 96 m e 390 m.

A análise do comportamento foi efetuada utilizando duas abordagens para posterior comparação. A primeira abordagem considera apenas um conjunto de parâmetros do maciço, ou seja, o maciço é assumido como um meio homogéneo, sendo esta a abordagem entendida como tradicional. Já a segunda abordagem consiste na metodologia baseada em técnicas geoestatísticas, e assim assumindo o maciço como um meio heterogéneo. Para a implementação e análise das abordagens, assim como dos parâmetros geomecânicos, a malha a utilizar para o modelo foi construída diretamente no software 𝐹𝐿𝐴𝐶3𝐷 (ITASCA, 2012). Adicionalmente à construção da geometria do bloco que pretende representar o maciço rochoso foi ainda inserido o túnel em análise. Desta forma, foram obtidos resultados, para cada abordagem, do comportamento do maciço rochoso no que concerne às deformações, tensões instaladas e zonas de rotura. O último passo que constitui a metodologia passa pela comparação dos resultados recorrendo às duas abordagens e na demonstração e validação das vantagens da segunda abordagem que considera explicitamente as heterogeneidades do maciço rochoso, algo que será devidamente explorado no Capítulo 4.

Com base nos pressupostos anteriores, tornou-se importante formular algumas questões às quais se procura dar resposta:

1. De que forma será realizada a migração dos resultados das simulações geoestatísticas para o software de modelação numérica?

2. Em comparação com as técnicas tradicionais, trará esta metodologia vantagens significativas para a caracterização dos maciços rochosos?

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3. Conseguirá esta metodologia apresentar aplicabilidade prática com tempos de processamento aceitáveis?

3.2 PROCEDIMENTO GERAL

A modelação numérica de problemas físicos, reais ou teóricos, de precisão e representação confiáveis da realidade nem sempre é algo fácil de se atingir. Por essa mesma razão e para que a análise numérica seja viável, é importante seguir alguns passos:

 Definição do Problema: Antes de qualquer tentativa de cálculo ou de introdução computacional, o problema deve ser analisado e entendido corretamente na sua totalidade. Compreendendo o problema e as suas variáveis na totalidade, é possível efetuar uma escolha bastante mais informada e consciente do método numérico adequado para o objetivo da análise.

 Escolha do método numérico mais adequado ao problema: Existem diferentes métodos numéricos que podem ser implementados (método dos elementos finitos, método das diferenças finitas, entre outros). Cada um tem as suas limitações, vantagens e desvantagens, que podem afetar o resultado da análise. Como tal, é importante considerar como fatores principais de escolha a qualidade do maciço rochoso, se a análise será estática ou dinâmica e se a análise será realizada a duas ou a três dimensões.

 Geometria: No caso da engenharia geotécnica, nem sempre é possível construir uma geometria que reflita na totalidade a estrutura ou maciço rochoso em causa. Por isso mesmo, é necessário fazer simplificações geométricas para se modelar e construir a geometria na forma o mais aproximada possível da realidade. Também o método construtivo deve ser muitas vezes simplificado para permitir um tempo de cálculo mais célere, no entanto essas simplificações não devem colocar em causa os resultados globais.

 Parâmetros de entrada: Talvez o passo ou decisão mais importante em toda a modelação e análise numéricas, já que a qualidade dos resultados está diretamente relacionada com a qualidade e precisão dos parâmetros utilizados. Quando possível, devem ser realizados ensaios laboratoriais e/ou in situ devidamente executados seguindo as normas e regulamentos existentes. Quando