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GRÁFICOS ESTATÍSTICOS DISTRIBUIÇÃO DE FREQÜÊNCIA

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Academic year: 2019

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GRÁFICOS ESTATÍSTICOS

DISTRIBUIÇÃO DE FREQÜÊNCIA

Suponhamos termos feito uma coleta de dados relativos às estaturas de quarenta alunos, que compõem uma amostra dos alunos de um colégio A, resultando a seguinte tabela de valores:

TABELA  1  

ESTATURA  DE  40  ALUNOS  DO  COLÉGIO  A  

166   160   161   150   162   160   165   167   164   160  

162   161   168   163   156   173   160   155   164   168  

155   152   163   160   155   155   169   151   170   164  

154   161   156   172   153   157   156   158   158   161  

A esse tipo de tabela, cujos elementos não foram numericamente organizados, denominamos tabela primitiva.

A tabela obtida após a ordenação dos dados recebe o nome de rol.

TABELA  2  

ESTATURA  DE  40  ALUNOS  DO  COLÉGIO  A  

150   154   155   157   160   161   162   164   166   169  

151   155   156   158   160   161   162   164   167   170  

152   155   156   158   160   161   163   164   168   172  

153   155   156   160   160   161   163   165   168   173  

Agora, podemos saber, com relativa facilidade, qual a menor estatura (150 cm) e qual a maior (173 cm); que a amplitude de variação foi de 173 – 150 = 23 cm.

1.   DISTRIBUIÇÃO FREQÜÊNCIA

Denominamos freqüência o número de vezes que o elemento fica relacionado a um determinado valor da variável. Obtemos, assim, uma tabela que recebe o nome de

distribuição de freqüência.

TABELA  3  

Estat.   Freq.     Estat.   Freq.     Estat.   Freq.  

150   1     158   2     167   1  

151   1     160   5     168   2  

152   1     161   4     169   1  

153   1     162   2     170   1  

154   1     163   2     172   1  

155   4     164   3     173   1  

156   3     165   1          

157   1     166   1     Total   40  

Mas o processo dado é ainda inconveniente, já que exige muito espaço. A solução é o agrupamento dos valores em vários intervalos, denominado: Distribuição

(2)

  TABELA  4  

ESTATURA  DE  40  ALUNOS   DO  COLÉGIO  A  

       

Estaturas  (cm)   Freqüências  

150     154   4  

154     158   9  

158     162   11  

162     166   8  

166     170   5  

170     174   3  

Total   40  

Assim, se um dos intervalos for, por exemplo, 154 158 (é um intervalo fechado à esquerda e aberto à direita, tal que: 154 < = x < 158), em vez de dizermos que a estatura de 1 aluno é de 154 cm; de 4 alunos, 155 cm; de 3 alunos, 156 cm; de 1 aluno, 157 cm, diremos que nove alunos têm estaturas entre 154, inclusive, e 158 cm.

Deste modo, estaremos agrupando os valores de variável em intervalos, sendo que, em Estatística, preferimos chamar os intervalos de classes.

2.   ELEMENTOS DE UMA DISTRIBUIÇÃO DE FREQÜÊNCIA

2.1  CLASSE

Classe de freqüência ou, simplesmente, classes são intervalos de variação de variável.

Representadas simbolicamente por i, sendo i = 1,2,3,...,k (onde k é o número total de classes da distribuição)

2.2  LIMITES DE CLASSE

Determinamos limites de classe os extremos de cada classe ℓi= limite inferior

Li= limite superior

2.3  AMPLITUDE DE UM INTERVALO DE CLASSE

É a medida do intervalo que define a classe

hi= Li – ℓi

2.4  AMPLITUDE TOTAL DA DISTRIBUIÇÃO

É a diferença entre o limite superior da última classe (máximo) e o limite inferior da primeira classe (mínimo)

AT = L(máx.) – ℓ (mín.)

2.5  AMPLITUDE AMOSTRAL

É a diferença entre o valor máximo e o valor mínimo da amostra:

(3)

 

2.7  FREQÜÊNCIA SIMPLES OU ABSOLUTA

É o número de observações correspondentes a essa classe ou a esse valor

fi = n

Soma de Todas as Freqüências. ∑ fi = n

Podemos, agora, dar a distribuição de freqüência das estaturas dos quarentas alunos do Colégio A a seguinte representação tabular técnica:

TABELA  4.1  

ESTATURA  DE  40  ALUNOS  DO  COLÉGIO  A  

     

i   Estaturas  (cm)   fi   hi   xi  

1   150     154   4   4   152,0  

2   154     158   9   4   156,0  

3   158     162   11   4   160,0  

4   162     166   8   4   164,0  

5   166     170   5   4   168,0  

6   170     174   3   4   172,0  

    ∑ fi =     40          

      L(máx)   174      

ℓ2  =  154     ℓ  (mín)   150  -­    

L5  =  170     AT   24      

      Na  amostra      

      x(máx)   173      

      x(mín)   150  -­    

      AA   23      

3.   TIPOS DE FREQÜÊNCIAS

Freqüência simples ou absoluta (fi) são os valores que realmente representam o

número de dados de cada classe

Freqüência relativa (fri) são os valores das razões entre as freqüências simples

e a freqüência total

fri = fi / ∑ fi

Freqüência acumulada (Fi) é o total das freqüências de todos os valores

inferiores ao limite superior do intervalo de uma dada classe:

Fk = f1 + f2 + … + fk

Ou Fk = ∑ fi (i = 1, 2, ..., k)

Freqüência acumulada relativa (Fri) de uma classe é a freqüência acumulada

da classe, dividida pela freqüência total da distribuição.

(4)

 

Considerando a Tabela 4, podemos montar a seguinte tabela com as freqüências estudadas:

TABELA  4.2  

         

i   Estaturas  (cm)   fi   xi   fri   Fi   Fri  

1   150     154   4   152,0   0,100   4   0,100  

2   154     158   9   156,0   0,225   13   0,325  

3   158     162   11   160,0   0,275   24   0,600  

4   162     166   8   164,0   0,200   32   0,800  

5   166     170   5   168,0   0,125   37   0,925  

6   170     174   3   172,0   0,075   40   1,000  

     ∑ =   40   ∑ =   1,000      

EXERCÍCIO

1.   Preencha a distribuição de freqüência:

38   49   26   7   41   52   47   46  

46   9   22   8   22   24   16   25  

16   41   20   12   51   12   19   30  

23   20   27   48   31   26   52   41  

52   22   49   21   33   51   16   29  

i   Notas       xi   fi   fri   Fi   Fri  

1   6   |-­-­-­-­   14            

2   14   |-­-­-­-­   22            

3   22   |-­-­-­-­   30            

4   30   |-­-­-­-­   38            

5   38   |-­-­-­-­   46            

6   46   |-­-­-­-­   54            

                 

Responda:

a.   Qual amplitude amostral (AA) ?

b.   Qual amplitude da distribuição (AT) ?

c.   Qual o limite inferior da 5ª classe ?

d.   Qual o limite superior da 2ª classe ?

e.   Qual a amplitude do 6º intervalo de classe (hi) ?

(5)

 

4.   REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DE UMA DISTRIBUIÇÃO

4.1  HISTOGRAMA

É formado por um conjunto de retângulos justapostos, cujas bases se localizam sobre o eixo horizontal, de tal modo que seus pontos médios coincidam com os pontos médios dos intervalos de classe.

4.2  POLÍGONO DE FREQÜÊNCIA

É um gráfico em linha, sendo as freqüências (fi) marcadas sobre perpendiculares

ao eixo horizontal, levantadas pelos pontos médios (xi) dos intervalos de classe.

4.3  POLÍGONO DE FREQÜÊNCIA ACUMULADA

É traçado marcando-se as freqüências acumuladas (Fi) sobre perpendiculares

ao eixo horizontal, levantadas nos pontos correspondentes aos limites superiores (Li)

(6)

 

5.   CURVA DA FREQÜÊNCIA

5.1  A CURVA DE FREQÜÊNCIA. CURVA POLIDA

Como no geral, os dados coletados pertencem a uma amostra extraída de uma população, podemos imaginar as amostras tornando-se cada vez mais amplas e a amplitude das classes ficando cada vez menor, o que nos permite concluir que a linha poligonal (contorno do polígono de freqüência) tende a se transformar numa curva – a curva da freqüência – , mostrando, de modo mais evidente, a verdadeira natureza da distribuição da população.

Assim, após o traçado de um polígono de freqüência, é desejável, que se lhe faça

um polimento, de modo a mostrar o que seria tal polígono com um número maior de

dados.

Consegue-se isso com o emprego de uma fórmula, a qual, a partir das freqüências reais, nos fornece novas freqüências – freqüência calculadas (fci) :

fci = fi – 1 + 2fi + fi + 1 / 4

onde:

fci é a freqüência calculada da classe considerada;

fi é a freqüência simples da classe considerada;

fi – 1 é a freqüência simples da classe anterior à classe considerada;

fi + 1 é a freqüência simples da classe posterior à classe considerada;

Exemplo da tabela 4

fc2 = 4 + 2x9 + 11 / 4 = 33/4 = 8,25

i   Estaturas  (cm)   fi   fci  

1   150     154   4   4,25  

2   154     158   9   8,25  

3   158     162   11   9,75  

4   162     166   8   8,00  

5   166     170   5   5,25  

6   170     174   3   2,75  

(7)

 

EXERCÍCIO

1.   Preencha a distribuição de freqüência:

10   24   52   48   59   7   28   26  

8   33   3   26   34   16   38   22  

25   46   30   36   49   26   3   24  

5   11   44   5   19   55   18   12  

16   24   47   21   30   12   38   38  

46   13   14   48   35   6   38   38  

 

TABELA  DE  DISTRIBUIÇÃO  DE  FREQÜÊNCIA    

     

i   Notas       xi   fi   fri   Fi   Fri  

1   3   |-­-­-­-­-­-­-­-­-­-­-­   10            

2   10   |-­-­-­-­-­-­-­-­-­-­-­   17            

3   17   |-­-­-­-­-­-­-­-­-­-­-­   24            

4   24   |-­-­-­-­-­-­-­-­-­-­-­   31            

5   31   |-­-­-­-­-­-­-­-­-­-­-­   38            

6   38   |-­-­-­-­-­-­-­-­-­-­-­   45            

7   45   |-­-­-­-­-­-­-­-­-­-­-­   52            

8   52   |-­-­-­-­-­-­-­-­-­-­-­   59            

9   59   |-­-­-­-­-­-­-­-­-­-­-­   66            

             

MEDIDAS DE POSIÇÃO

1.   MÉDIA ARITMÉTICA

É o quociente da divisão da soma dos valores da variável pelo número deles:

= Σxi / n

sendo :

a média aritmética;

xios valores da variável;

n o número de valores.

1.1  DADOS NÃO-AGRUPADOS

Determinamos a média aritmética simples. Exemplo:

Sabendo-se que a produção leiteira diária da vaca A, durante a semana, foi de 10, 14, 13, 15, 16, 18, e 12 litros, temos, para produção média da semana:

= (10+14+13+15+16+18+12) / 7 = 98 / 7 = 14 Logo :

= 14 litros

x

x

x

(8)

 

1.2  DESVIO EM RELAÇÃO À MÉDIA

A diferença entre cada elemento de um conjunto de valores e a média aritmética.

di = xi –

Exemplo

d1 = 10 – 14 = 4 d2 = 14 – 14 = 0 d3 = 13 – 14 = 1 d4 = 15 – 14 = 1 d5 = 16 – 14 = 2 d6 = 18 – 14 = 4 d7 = 12 – 14 = 2

1.3  DADOS AGRUPADOS

1.3.1   Sem intervalos de classe

Consideramos a distribuição relativa a 34 famílias de quatro filhos, tomando para variável o número de filhos do sexo masculino.

Neste caso, como as freqüências são números indicadores da intensidade de cada valor da variável, elas funcionam como fatores de ponderação, o que nos leva a calcular

a média aritmética ponderada.

= Σxifi / Σfi

xi   fi   xifi  

0   2   0  

1   6   6  

2   10   20  

3   12   36  

4   4   16  

Σ =   34   78  

     

=  78  /  34  =   2,3  

     

=   2,3  meninos  

1.3.2   Com intervalos de classe

Neste caso, convencionamos que todos os valores incluídos em um determinado intervalo de classe coincidem com o seu ponto médio, e determinamos a média aritmética ponderada por meio de fórmula:

= Σxifi / Σfi

onde xié o ponto médio da classe.

x

x

x

x

(9)

 

i   ESTATURAS  (cm)   fi   xi   xifi  

1   150   |-­-­-­-­-­   154   4   152,0   608  

2   154   |-­-­-­-­-­   158   9   156,0   1.404  

3   158   |-­-­-­-­-­   162   11   160,0   1.760  

4   162   |-­-­-­-­-­   166   8   164,0   1.312  

5   166   |-­-­-­-­-­   170   5   168,0   840  

6   170   |-­-­-­-­-­   174   3   172,0   516  

            Σ =   40   Σ =   6.440  

             

  =  6.440  /  40  =   161      

             

    =   161  cm      

2.   A MODA (Mo)

O valor que ocorre com maior freqüência em uma série de valores.

2.1  DADOS NÃO-AGRUPADOS

Quando lidamos com valores não-agrupados, a moda é facilmente reconhecida: basta, de acordo com a definição, procurar o valor que mais se repete

A série de dados : 7, 8, 9, 10, 10, 10, 11, 12, 13, 15, tem moda igual a 10.

Podemos, entretanto, encontrar séries nas quais não exista valor modal, isto é, nas quais nenhum apareça mais vezes que outros. É o caso da série: 3, 5, 8, 10, 12, 13, que não apresenta moda (amodal).

Em outros casos, ao contrario, pode haver dois ou mais valores de concentração. Dizemos, então, que a série tem dois ou mais valores modais. Na série: 2, 3, 4, 4, 4, 5, 7, 7, 7, 8, 9, temos duas modas: 4 e 7 (bimodal).

2.2  DADOS AGRUPADOS

2.2.1   Sem intervalos de classe

xi   fi  

0   2  

1   6  

2   10  

3   12  

4   4  

Σ =   34  

A freqüência máxima (12) corresponde o valor da variável 3 da variável. Logo:

Mo = 3

2.2.2   Com intervalos de classe

É o valor dominante que está compreendido entre os limites da classe modal Método para o cálculo da moda denominada de moda bruta:

Mo = ℓ* + L* / 2

Onde:

* é o limite inferior da classe modal

L* é o limite superior da classe modal

x

(10)

  Exemplo:

i   ESTATURAS  (cm)   fi  

1   150   |-­-­-­-­-­   154   4  

2   154   |-­-­-­-­-­   158   9  

3   158   |-­-­-­-­-­   162   11  

4   162   |-­-­-­-­-­   166   8  

5   166   |-­-­-­-­-­   170   5  

6   170   |-­-­-­-­-­   174   3  

            Σ =   40  

Mo = 158+162 / 2 = 320 / 2 = 160 à logo Mo = 160 cm

Exercício de Moda

Observe e responda:

A = {3,5,6,8,9,10,10,10,11,12,17} B = {4,5,7,10,11,13,15}

C = {2,3,4,5,5,5,5,6,7,8,8,8,8,9,10,11}

I.   A é unimodal e Mo = 10 II.   B é unimodal e Mo = 10 III.   C é bimodal e Mo = 5 e 8

a.   Todas estão corretas. b.   Todas estão erradas. c.   I e II estão corretas. d.   I e III estão corretas. e.   II e III estão corretas.

3.   A MEDIANA

É outra medida de posição definida como o número que se encontra no centro de uma série de números, estando estes dispostos segundo uma ordem.

3.1  DADOS NÃO-AGRUPADOS

Série de valores : 5, 13, 10, 2, 18, 15, 6, 16, 9, o primeiro passo a ser dado é o de ordenação dos valores : 2, 5, 6, 9, 10, 13, 15, 16, 18. Em seguida, tomamos aquele número central que apresenta o mesmo número à direita e à esquerda. Temos, então :

Md = 10.

Se, porém, a série dada tiver um número par de termos, a mediana será, por definição, qualquer dos números compreendidos entre os dois valores centrais da série. Convencionou-se utilizar o ponto médio.

Assim, a série de valores ordenados : 2, 6, 7, 10, 12, 13, 18, 21, tem para mediana a média aritmética entre 10 e 12.

(11)

 

3.2  DADOS AGRUPADOS

3.2.1   Sem intervalos de classe

É o bastante identificar a freqüência acumulada imediatamente superior à metade da soma das freqüências.

É dada por : Σfi / 2

xi   fi   Fi  

0   2   2  

1   6   8  

2   10   18  

3   12   30  

4   4   34  

Σ =   34    

Sendo: 34 / 2 = 17

A menor freqüência acumulada que supera esse valor é 18, que corresponde ao valor de 2 da variável, sendo este o valor mediano. Logo: Md = 2 meninos.

3.2.2   Com intervalos de classe

Neste caso o problema consiste em determinar o ponto do intervalo em que está compreendida a mediana.

i   ESTATURAS  (cm)   fi   Fi  

1   150   |-­-­-­-­-­   154   4   4  

2   154   |-­-­-­-­-­   158   9   13  

3   158   |-­-­-­-­-­   162   11   24  

4   162   |-­-­-­-­-­   166   8   32  

5   166   |-­-­-­-­-­   170   5   37  

6   170   |-­-­-­-­-­   174   3   40  

            Σ =   40   .  

Temos : Σfi / 2 – 40 / 2 = 20

Como há 24 valores incluídos nas três primeiras classes da distribuição e como pretendemos determinar o valor que ocupa o 20.º lugar, a partir do início da série, vemos que este deve estar localizado na terceira classe (i = 3).

Como há 11 elementos nessa classe e o intervalo de classe é igual a 4 (162 – 158), devemos tomar, a partir do limite inferior, a distância.

Sendo: Md = ℓ* + ( ([(Σfi / 2) – F(ant)] x h*) / f*) No qual:

* é o limite inferior da classe mediana;

F(ant) é a freqüência acumulada da classe anterior à classe mediana;

f* é a freqüência simples da classe mediana;

h* é a amplitude do intervalo da classe mediana;

(12)

 

MEDIDAS DE DISPERSÃO OU DE VARIABILIDADE: AMPLITUDE TOTAL, DESVIO MÉDIO, VARIÂNCIA E DESVIO PADRÃO

1. Dispersão ou Variabilidade

Chamamos de dispersão ou variabilidade a maior ou menor diversificação dos valores de uma variável em torno de um valor de tendência central tomado como ponto de comparação.

Exemplo: Consideremos os seguintes conjuntos de valores das variáveis x, y e z

X: 70, 70, 70, 70, 70.

Y: 68, 69, 70, 71, 72.

Z: 5, 15, 50, 120, 160.

Calculando a média aritmética de cada um desses conjuntos, obtemos: x: = Σ xi⇒ x = 350 = 70

n 5

y: = Σ yi⇒ y = 350 = 70 n 5

z: = Σ zi⇒ z = 350 = 70 n 5

Vemos, então, que os três conjuntos apresentam a mesma média aritmética: 70.

Entretanto,é fácil notar que o conjunto X é mais homogêneo que os conjuntos Y

e Z, já que todos os valores são iguais à média.

O conjunto Y, por sua vez , é mais homogêneo que o conjunto Z, pois há menor diversificação entre cada um de seus valores e a média representativa.

Podemos dizer então que o conjunto X apresenta dispersão ou variabilidade

menor que o conjunto Z.

Portanto, para qualificar os valores de uma dada variável, ressaltando a maior ou menor dispersão ou variabilidade entre esses valores e a sua medida de posição, a Estatística recorre às medidas de dispersão ou de variabilidade.

2. Amplitude Total

2.1 Dados não-agrupados

A amplitude total é a diferença entre o maior e o menor valor observado:

AT = x(max.) – x(mín) Exemplo:

Para os valores:

(13)

 

Quando dizemos que a amplitude total dos valores é 30, estamos afirmando alguma coisa do grau de sua concentração. É evidente que, quanto maior a amplitude total, maior é a dispersão ou variabilidade dos valores da variável.

Relativamente aos três conjuntos de valores mencionados no início:

Atx = 70 – 70 = 0 (dispersão nula) Aty = 72 – 68 = 4

Atz = 160 – 5 = 155

2.2 Dados agrupados

2.2.1. Sem intervalos de classe

Neste caso, ainda temos: AT = x(max.) – x(mín.)

Exemplo:

Considerando a tabela abaixo:

xi 0 1 2 3 4

fi 2 6 12 7 3

Temos:

AT = 4 – 0 = 4

2.2.2. Com intervalos de classe

Neste caso, a amplitude total é a diferença entre o limite superior da última classe e o limite inferior da primeira classe:

AT = L(max.) - ϑ(mín.)

Exemplo:

Considerando a distribuição abaixo:

i Estaturas

(cm)

fi

1 2 3 4 5 6

150 154 154 158 158 162 162 166 166 170 170 174

4 9 11

8 5 3 Σ = 40

Temos:

(14)

 

A amplitude total tem o inconveniente de só levar em conta os dois valores extremos da série, descuidando do conjunto de valores intermediários, o que quase sempre invalida a idoneidade do resultado. Ela é apenas uma indicação aproximada da dispersão ou variabilidade.

Faz-se uso da amplitude total quando se quer determinar a amplitude da temperatura em um dia ou no ano, no controle de qualidade ou como uma medida de cálculo rápido, e quando a compreensão popular é mais importante que a exatidão e a estabilidade.

3. Variância Desvio Padrão

Como já foi visto, a amplitude total é instável, por se deixar influenciar pelos valores extremos, que são, na sua maioria, devidos ao acaso.

A variância e o desvio padrão são medidas que fogem a essa falha, pois

levam em consideração a totalidade dos valores da variável em estudo, o que faz delas, índices de variabilidade bastante estáveis e, por isso mesmo, os mais geralmente empregados.

A variância baseia-se nos desvios em torno da média aritmética, porém determinado a média aritmética dos quadrados dos desvios Σ di = Σ(xi – x) = 0. Assim,

representando a variância por s2, temos:

s2 = Σ(xi – x)2

Σ fi

Ou, lembrando que Σ fi = n :

s2 = Σ(xi – x)2

n

Tanto o desvio padrão como a variância são usados como medidas de dispersão ou variabilidade. O uso de uma ou de outra dependerá da finalidade que se tenha em vista. A variância é uma medida que tem pouca utilidade como estatística descritiva, porém é extremamente importante na inferência estatística e em combinações de amostras.

s = Σ xi2 - Σ xi 2 n n

O desvio padrão goza de algumas propriedades, dentre as quais destacamos:

1ª) Somando-se (ou subtraindo-se) uma constante a de todos os valores de uma variável, o desvio padrão não se altera:

yi = xi± c ⇒ sy = sx

(15)

 

Essas propriedades nos permitem introduzir, no cálculo do desvio padrão, simplificações úteis.

Para o cálculo do desvio padrão, consideremos os seguintes casos:

3.2 Dados não-agrupados

Tomemos, como exemplo, o conjunto de valores da variável x:

40, 45, 48, 52, 54, 62, 70

O modo mais prático para se obter o desvio padrão é formar uma tabela com duas colunas: uma para xi e outra para xi2. Assim:

xi xi2

40 45 48 52 54 62 70

1.600 2.025 2.304 2.704 2.916 3.844 4.900 Σ = 371 Σ = 20.293

Como n = 7, temos:

s = 20.293 - 371 2 = 2.899 - 532 = 7 7

= 2.899 – 2.809 = 90 = 9,486

Logo: S = 9,49

3.3 Dados agrupados

3.3.1 Sem intervalos de classe

Como, neste caso, temos a presença de freqüências, devemos levá-las em consideração, resultando a fórmula:

s = Σfixi2 - Σfixi 2 n n

Consideremos, como exemplo, a distribuição da tabela abaixo:

xi 0 1 2 3 4

fi 2 6 12 7 3

O modo mais prático para se obter o desvio padrão é abrir, na tabela dada, uma coluna para os produtos fixi e outra para fixi2, lembrando que para obter fixi2 basta

(16)

 

xi fi fixi fixi2

0 1 2 3 4 2 6 12 7 3 0 6 24 21 12 0 6 48 63 48 Σ = 30 Σ = 63 Σ = 165

Logo:

s = 165 - 63 2 = 5,5 - 4,41 = 1,09 30 30

Daí: s = 1,04

3.3.2 Com intervalos de classe

Tomemos como exemplo a distribuição a tabela:

i Estaturas

(cm) fi 1 2 3 4 5 6

150 154 154 158 158 162 162 166 166 170 170 174

4 9 11 8 5 3 Σ = 40

Comecemos com xi (ponto médio), fixi e fixi2. Assim:

i Estaturas

(cm)

fi xi fixi fixi2

1 2 3 4 5 6

150 154 154 158 158 162 162 166 166 170 170 174

4 9 11 8 5 3 152 156 160 164 168 172 608 1.404 1.760 1.312 840 516 92.416 219.024 281.600 215.168 141.120 88.752 Σ = 40 Σ = 6.440 Σ = 1.038.080 Logo:

Imagem

TABELA  DE  DISTRIBUIÇÃO  DE  FREQÜÊNCIA    

Referências

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