Judson Santos Luciano Santos

(1)

• APRESENTAÇÃO

•

Desde os primórdios da história a experiência matemática do homem se confunde com a necessidade de resolver problemas.

Neste contexto surgiu a criação do jornal LPM que é uma produção bimestral do grupo loucos por matemática que tem como objetivo acompanhar os alunos olímpicos e das escolas militares e ajudá – los com os nossos artigos e problema para iniciantes e avançados. Aproveitamos a oportunidade para convidar todos os loucos por matemática para enviar as soluções dos problemas e também quem quiser colocar artigos, qualquer outra forma de ajuda será muito bem vinda. Tenham certeza que estaremos aguardando ansiosos por seus e-mails.

Esperamos que vocês gostem do nosso primeiro número e que aprendam bastante com os artigos e se divirtam tentando despertar nos estudantes desta bela ciência o prazer da descoberta e entendimento, através da resolução de problemas propostos e da análise com as situações mais engenhosas.

Os editores, Fortaleza 2010

• Fatorações de polinômios

•

Judson Santos / Luciano Santos

Fatorar é transformar uma soma ou diferença de duas ou mais parcelas num produto de dois ou mais fatores. Há vários processos para a decomposição de um polinômio em um produto de dois ou mais fatores. Os principais processos de fatoração são: "fator comum","fator agrupamento", "diferença de quadrados", "soma de dois cubos", "diferença de dois cubos", e "trinômio quadrado perfeito”. Porém, vamos mostrar um processo de fatoração de polinômios com multivariáveis que não é muito comum nos livros de matemática do ensino fundamental e médio. Sabemos também que o processo de fatoração é um conteúdo de grande importância na matemática que vem sendo cobrado na maioria das provas de concurso de Escolas Militares e Olimpíadas.

(2)

Agora, vamos mostrar vários problemas resolvidos de fatoração de polinômios com multivariaveis e também colocaremos uma lista de exercícios para os leitores enviarem as soluções para os e-mais :

judsonsantos7@gmail.com.br e prof.luciano1977@gmail.com .

Fatorações de polinômios

Para fatorar - mos funções polinomiais inicialmente temos que encontrar os zeros ou raiz do polinômios. Vejamos alguns exemplos:

6 5 2 ) (

)f x =x − x+ a

Observe que:

Como x=2 é o zero ou raiz , então o polinômio f

( )

x é divisível por

(

x−2

)

Como x=3 é o zero ou raiz , então o polinômiof

( )

x é divisível por

(

x−3

)

Portanto, a forma fatorada será:

(

2

)(

3

)

.

)

(x =k x− x− f

Porém, substituindo um valor para x≠2 , x≠3, encontraremos o valor de k. Com isso, temos:

( )( )

1 2 . 2

3 1 2 1 . ) 1 (

2 ) 1 ( 6 1 . 5 2 1 ) 1 ( 1

= =

− − =

= → + − = → =

k k

k f Mas

f f

x para

Portanto, obtemos a seguinte forma fatorada:

(

2

)(

3

)

(x = x− x− f

1 3 2 2 ) (

)f x = x − x+ b

Observe que:

( )

x é divisível por

( )

x−1

Como

2 1

=

x é o zero ou raiz , então o polinômio f

( )

x é divisível por      

−

2 1

x

( )



    

− − =

2 1 1 . )

(x k x x f

Porém, substituindo um valor para

2 1 ,

1 ≠

≠ x

x , encontraremos o valor de k.

Com isso, temos:

( )

2 2 3 . 3

2 1 2 1 2 . ) 2 (

3 ) 2 ( 1 2 . 3 2 2 . 2 ) 2 ( 2

=

     

=

     

− − =

= → + − = → =

k k

k f Mas

f f

x para

(3)

( )

     

− − =

2 1 1 . 2 )

(x x x

f

6 11 2 6 3 ) (

)f x =x − x + x− c

Observe que:

( )

x é divisível por

( )

x−1

( )

x é divisível por

(

x−2

)

( )

x é divisível por

(

x−3

)

( )(

1 2

)(

3

)

.

)

(x =k x− x− x− f

Porém, substituindo um valor para x≠1 , x≠2 , x≠3, encontraremos o valor de k. Com isso, temos:

( )(

)(

)

( )

1 6 . 6

3 0 2 0 1 0 . ) 0 (

6 ) 0 ( 0

= − = −

− − − =

− = → =

k k

k f Mas

f x

para

Portanto, obtemos a seguinte forma fatorada:

( )(

1 2

)(

3

)

.

1 )

(x = x− x− x− f

Observação:

O polinômio f(x)=x3−6x2+11x−6 tem a soma dos coeficientes igual a zero. Portanto, 1 é uma raiz do polinômio.

Com isso, o polinômio é divisível por

( )

x−1

Então:

Obtemos, a forma fatorada do polinômio

( )

   



 ₋ ₊

−

= 1 2 5 6 )

(x x x x

f

Mas, sabemos que:

(

2

)(

3

)

6 5

2₋ _x₊ ₌ _x₋ _x₋

x

Concluimo que a forma fatorada do polinômio vale:

( )(

1 2

)(

3

)

(x = x− x− x− f

6 11 2 6

3₋ _x ₊ _x₋

x

( )

x−1

6 5 2₋ _x₊

x

2 3 _x

x +

−

6 11 2

5 + −

− x x x x2 5 5 −

6 6x−

6 6 +

(4)

Fatorações de polinômios com multivariaveis

Portanto, agora vamos fazer algumas fatorações utilizando estes artifícios matemáticos transformando expressões em polinômios e depois encontraremos os zeros ou raiz.

Vejamos alguns casos:

(

b c

)

b

(

c a

)

c

(

a b

)

a Fatore

a) 2 − + 2 − + 2 −

Caro leitor, seja a função polinomial f

(

a,b,c

)

=a2

(

b−c

)

+b2

(

c−a

)

+c2

(

a−b

)

. Observamos por inspeção que:

b

a= é raiz do polinômio c

b= é raiz do polinômio Com isso:

(

a−b

)

é divisível de f

(

a,b,c

)

(

a−c

)

é divisível de f

(

a,b,c

)

(

b−c

)

é divisível de f

(

a,b,c

)

Portanto, o polinômio é da forma:

(

a b c

)

a

(

b c

)

b

(

c a

)

c

(

a b

) (

ka b

)(

a c

)(

b c

)

f , , = 2 − + 2 − + 2 − = − − −

Substituindo qualquer valor para a≠b≠c temos:

(

) ( ) ( ) ( )( )(

)

1 . 2 2

:

3 2 3 1 2 1 2 1 9 1 3 4 3 2 1 3 2 , 1

= − = −

− − − = − + − + − → = = =

k

k Temos

k c

e b a

Então, concluímos que a forma fatorada da expressão vale:

(

b c

)

b

(

c a

)

c

(

a b

) (

a b

)(

a c

)(

b c

)

a2 − + 2 − + 2 − =1. − − −

(

)

3 3 3 3

)Fatore a b c a b c

b + + − − −

Caro leitor, seja a função polinomial f

(

a,b,c

) (

= a+b+c

)

3−a3−b3−c3. Observamos por inspeção que:

b

a=− é raiz do polinômio temos:

(

−b,b,c

) (

= −b+b+c

) ( )

3− −b 3−b3−c3 → f

(

−b,b,c

)

=0

f

Portanto,

(

a+b

)

é divisível por f

(

a,b,c

)

c

a=− é raiz do polinômio temos

(

−c,b,c

) (

= −c+b+c

) ( )

3− −c3−b3−c3 → f

(

−c,b,c

)

=0

f

Portanto,

(

a+c

)

é divisível por f

(

a,b,c

)

De modo análogo, temos que

(

b+c

)

também é divisível por f

(

a,b,c

)

Portanto, o polinômio é da forma:

(

a b c

) (

a b c

)

a b c k

(

a b

)(

a c

)(

b c

)

f , , = + + 3− 3− 3− 3 = + + +

(5)

(

)

( )( )( )

3 . 8 3 27 : 1 1 1 1 1 1 3 1 3 1 3 1 3 1 1 1 1 1 , 1 = = − + + + = − − − + + → = = = k k Temos k c e b a

Então, concluímos que a forma fatorada da expressão vale:

(

a+b+c

)

3−a3−b3−c3=3

(

a+b

)(

a+c

)(

b+c

)

CRITÉRIOS DE FATORAÇÕES DE POLINÔMIOS COM MULTIVARIAVEIS Vejamos alguns critérios de fatorações dos polinômios utilizando as seguintes formas. C1.

( )

x y Ax Bx y Cy ou P

( )

x Ax Bx C

P , = 2n + n m + 2m = 2n + n +

Para fatorar

( )

n n m m Cy y Bx Ax y x

P , = 2 + + 2

Seguiremos os seguintes procedimentos:

I. Decompomos os termos extremos da seguinte forma

( )

+     → → + + m n m n m n m n m m n n y x a c y c x a y x a c y c x a Cy y Bx Ax 1 2 2 2 2 1 1 1 2 2

II. Se o termo central é igual a soma dos produtos das parcelas acima

2 1 2 1 1 2 2 1 c c C a a A a c a c B = = + =

III. Logo,

( )

n n m m

(

n m

)(

n m

)

y c x a y c x a Cy y Bx Ax y x

P , = 2 + + 2 = ₁ + ₁ ₂ + ₂

Por exemplo:

a) Fatorar _P

( )

_x =3_x2 +10_x+8 Solução:

Decompondo os extremos, temos:

( )

x x x x x x x x x 10 6 4 6 2 4 4 3 8 10 3 2 = + +    → → + +

Obtemos o termo central. Portanto, a forma fatorada é dada por:

( )

=3 2 +10 +8=

(

3 +4

)(

+2

)

x x x x x P

b) Fatorar

( )

4 2 2

2 11

15

,y x x y y

x

P = − +

Solução:

(6)

( )

y x y x y x y x y x y x y x y y x x 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 11 5 6 5 1 3 6 2 5 2 11 15 − = − − +     − → − − → − + −

( )

x y x x y y

(

x y

)(

x y

)

P _, =₁₅ 4 −₁₁ 2 +₂ 2 = ₅ 2 −₂ ₃ 2 −

c) Fatorar _M

( )

_x =_x5 −2_x3 +5_x2 −10 Solução 1:

Utilizando a técnica de agrupamento, temos:

( )

(

) (

)

( )

(

2

)(

5

)

2 5 2 3 2 2 2 3 + − = − + − = x x x M x x x x M Solução 2:

( )

+     − → − → + − + − 3 2 2 3 2 3 5 2 2 5 5 10 5 2 x x x x x x x

( )

x = x5 −2x3 +5x2 −10=

(

x3 +5

)(

x2 −2

)

M

C2. FORMA GERAL

( )

x y Ax Bx y Cy Dx Ey F

P , = 2n + n m + 2m+ n + m +

Seguiremos os seguintes procedimentos:

I. Devemos ordenar o polinômio de acordo com a forma geral

II. Se falta algum termo preencher com zero

III. Aplicaremos a seguinte idéia

( )

2 2 2 1 1 1 2 2 , f y c x a f y c x a F Ey Dx Cy y Bx Ax y x P m n m n m n m m n

n + + + + +

=

Façamos em casos separados:

1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 f a f a D f c f c E c a c a B + = + = + =

Com isso, a forma fatorada do polinômio é dada por:

( )

(

1 1 1

)(

2 2 2

)

2

,y Ax Bx y Cy Dx Ey F a x c y f a x c y f

x

P = n + n m + m+ n + m + = n + m + n + m+

Por exemplo:

a) Fatorar P

( )

x,y =6x2 +13xy+6y2 +7x+8y+2 Solução:

(7)

1 3

2

2 2

3

2 8 7 6 13

6 2 2

y x

y x y xy

x + + + + +

Observamos que:

y y y

x x x

xy xy

xy

8 6 2

7 4 3

13 4

9

= +

( )

x,y =6x2 +13xy+6y2 +7x+8y+2=

(

3x+2y+2

)(

2x+3y+1

)

P

b) Fatorar P

( )

x,y =10x2 +11xy−6y2 −x−11y−3 Solução:

Aplicando o teorema estudado acima temos:

1 3

2

3 2

5

3 11 6

11

10 2 2

y x

y x y xy x

− −

− − − − +

Observamos que:

y y

y

x x x

xy xy

xy

11 9

2 6 5

11 4

15

− = − −

− = −

= −

( )

x,y =10x2 +11xy−6y2 −x−11y−3=

(

5x−2y−3

)(

2x+3y+1

)

P

c)Fatorar M

(

x,y,z

)

=6x2 −25y2 +20z2 −5xy−23xz−5yz Solução:

Inicialmente vamos ordenar o nosso polinômio de acordo com forma geral

(

)

2 2 2

20 5

23 25

5 6 ,

,y z x xy y xz yz z

x

M = − − − − +

Aplicando o teorema estudado temos:

z y

x

z y

x

z yz xz y

xy x

5 5

2

4 5

3

20 5

23 25

5

6 2 2 2

− −

− + − −

− −

Observamos que:

yz yz

yz

xz xz

xz

xy xy

xy

5 20

25

23 8

15

5 10

15

− = +

−

− = − −

− = −

−

(

x y z

)

x xy y xz yz z

(

x y z

)(

x y z

)

M , , =6 2 −5 −25 2 −23 −5 +20 2 = 3 +5 −4 2 −5 −5 C3. FORMA GERAL

(8)

Procedimento para fatorar o polinômio:

P1. Ordenar o polinômio da forma geral e colocar zero nos termos que estão faltando P2. Aplicaremos a seguinte idéia

2 2

1 1

2 1

2 3

4

e x

k x

a

e x

k x

a

E Dx Cx

Bx Ax

n n

n n n

n + + + +

Façamos em casos separados:

1 2 2 1

e k e k D

k a k a B

+ =

Porém, para obter-mos o termo n

Cx2 vamos proceder da seguinte forma:

2 1 1 2 2

1e a e k k

a

C = + +

Isto é, o produto de k₁k₂ é o coeficiente que falta para a₁e₂ +a₂e₁ para obter-mos o coeficiente C. Com isso, a forma fatorada do polinômio é dada por:

( )

(

)(

2 2

)

2 2 1 1 2 1 2

3 4

e x k x a e x k x a E Dx Cx

Bx Ax

x

P = n + n + n + n + = n + n + n + n +

Por exemplo:

a)Fatorar

( )

= 4 +7 3 +14 2 +7 +1 x x x

x x P Solução:

Aplicando o teorema estudado temos:

1 1 1 7 14 7

2 2

2 3

4

x x

x x x

x + + + +

Temos:

2 2 2

2x x

x + =

Observamos que:

2 2

2

12 2

14x − x = x

Então, o polinômio P

( )

x = x4 +7x3 +14x2 +7x+1 pode ser escrito da seguinte forma:

1 3

1 4

1 7 14 7

2 2

2 3

4

x x

x x x

x + + + +

Com isso, verificamos que:

x x x

7 3 4

7 4

3 3 3 3

= +

Portanto, a forma fatorada do polinômio é dada por:

( )

x = x4 +7x3 +14x2 +7x+1=

(

x2 +4x+1

)(

x2 +3x+1

)

P

b)Fatorar P

( )

x = x4 +x3 +2x2 +5x−15 Solução:

(9)

3 5 15 5 2

2 2

2 3 4

− − + + +

x x

x x x x

Temos:

2 2 2

2 3

5x − x = x

Então, o polinômio P

( )

x = x4 +x3 +2x2 +5x−15 pode ser escrito da seguinte forma:

3 5 0

15 5 2

2 2

2 3 4

− − + + +

x x

x x x x

Com isso, verificamos que:

x x x

5 0 5

0 3 3

3

= +

Portanto, a forma fatorada do polinômio é dada por:

( )

= 4 + 3 +2 2 +5 −15=

(

2 +5

)(

2 + −3

)

x x x

x x x x x P

Seção nó cego.

Nesta secção nó cego tem como objetivo principal aprofundar os seus conhecimentos, isto é, todos os

problemas aqui contidos envolvem um raciocínio matemático apurado e uma certa dose de criatividade.

Problema 1.

(ITA – 2003) A área do polígono, situado no primeiro quadrante, que é delimitado pelos eixos coordenados e pelo conjunto

{(x, y) ∈ R2 : 3x2 + 2y2 + 5xy - 9x - 8y + 6 = 0}, é igual a:

A) 6

B) 2 5

C) 2 2 D) 3

E) 3 10

Resp.: B

Problema 2.

(10)

Problema 3.

(IME – 2005)Determine o valor das raízes comuns das equações 0 52 32 44

12 0

18 18 11

2 3 2 4 3 2

4 − − + + = − + − − =

x x

e x

x x x

Resp.: 1± 3 Problema 4.

(PERU)Fatorar

(

)

2

(

)

3 2

(

)

3 2

(

)

3 ,

,y z x y z y z x z x y

x

A = − + − + −

Resp.: A

(

x,y,z

) (

= x−y

)(

y−z

)(

z−x

)(

xy+yz+xz

)

Problema 5.

(OMRJ)Determine todas as raízes reais de 6 −2 5 −5 4 +12 3 −5 2 −2 +1=0 x

x x x

x x

Problema 6.

(E.N – 2006) Um tanque de combustível tema forma de um cilindro circular reto e sua altura mede 3 metros. O raio da base do cilindro vale, em metros, o dobro da soma dos cubos dos inversos das raízes da equação x4 + 4x3 + 8x2 + 8x + 4 = 0. A área lateral do tanque em m2, mede:

a) 6π _{b) 12}π _{c) 18}π _{d) 36}π _{e) 48}π

Resp.: B

Problema 7.

(PERU)Fatorar e indicar o fator primo cúbico de P

( )

x = x5 −x4 +2x2 −2x+1

1 )

2 3

3

2 3

2 3 3

+ −

− + +

+ +

x x e

x x d

x x x c

x x b

x x a

Resp.: D

Problema 8.

(E. N – 86)O valor da soma das raízes comuns às equações x4 – 7x3 + 16x2 – 15x + 3 = 0 e x4 – 3x3 – x2 – 7x + 2 = 0 é:

a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4 Resp.: E

Problema 9.

a)(OMRUSSIA)Fatore x3 + y3 + z3 – 3xyz

b) Usando a fatoração obtida em (a), verifique a famosa desigualdade das médias aritmética e geométrica.

Se a, b, c ∈ R+ então 3

3

a b c

abc≤ + + e a igualdade ocorre, se, e somente se, a = b = c.

Problema 10.

(11)

Problema 11. Verifique que:

(x + y + z)3 – (y + z –x)3 – (x + z – y)3 – (x + y – z)3 = 24xyz.

Problema 12.

(Croácia-2001) Se x+y+z=0, simplifique

₍

₎

4 4 4

7 7 7

z y x xyz

z y x

+ +

Sugestão : calcule

(

x+y

)

4 e

(

x+y

)

6

Problema 13.

(Grécia-2001) Fatore a expressão

(i) 4 4 4 2 2 2 2 2 2

2 2

2x y y z z x z

y x

A= + + − − −

e mostre que a equação A = 2000 não possui solução no conjunto dos números inteiros.

Problema 14.

Se x + y + z = 0, prove que _

  



 ₊ ₊

   



 ₊ ₊

= + +

2 3

5

2 2 2 3 3 3 5 5 5

z y x z y x z y x

Problema 15.

(HONG KONG – 1997)Se a, b e c são as raízes da equação x3 – 2x2 – 3x – 4 = 0. O valor da expressão

a c

a c c b

c b b a

b a

− − + − − + −

− 5 5 5 5 5 5

é igual a:

a) 180 b) 181 c) 182 d) 183 e) 184 Resp.: D

Problema 16.

(BULGARIA)Se x₁,x₂, x₃ são as raízes da equação x3 −2x2 +x−3=0, então

3 2 1

3 2

3 2 1

3 1

3 2 1

2 1

2 2

2 x x x

x x x

x x

x x x

x x

+ +

+

é igual a :

ado er

ser pode não e d

c i

b

a)0 )1− )1 ) 2 ) det min

Resp.: C

Problema 17.

(BULGARIA)Os comprimentos das alturas do ∆ABC são soluções da equação cúbica 0

2

3 ₊ ₊ ₊ ₌

m x kx

x . Então o raio do círculo inscrito no ∆ABC é igual a:

m e k

m d m

c k

b m

k

(12)

Problema 18.

(BULGARIA)Seja p(x) um polinômio de grau 2 tal que p(0)=cos310, p(1)=cos10.sen210 e p(2)=0. Então o valor de 2 3.p(3) é igual a:

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 Resp.: C

Problema 19.

(IME – 2002) Resolva a equação 5− 5−x =x, sabendo-se que x>0.

Resp.:

2 21 1+

− =

x

Problema 20. (IME – 2002)

a) Encontre as condições a que devem satisfazer os coeficientes de um polinômio P(x) de quarto grau para que P(x) = P(1 – x).

b) Considere o polinômio P(x) = 16x4 – 32x3 – 56x2 + 72x + 77. Determine todas as suas raízes sabendo-se que o mesmo satisfaz à condição do item acima.

Resp.:

a) P

( )

x =ax4 −2ax3 +cx2 +

(

a−c

)

x+e, a≠0 b) Logo as raízes de P(x) são: 2

2 1

± , 3

2 1

±

Problema 21.

(IME – 2006)Considere o polinômio

( )

= 5 −3 4 −3 3 +27 2 −44 +30 x x

x x x x

P . Sabendo que o produto de

duas de suas raízes complexas é igual a 3−i e que as partes reais e imaginárias de todas as suas raízes complexas são inteiras e não – nulas, calcule todas as raízes do polinômio.

Problema 22. (IME – 1986)

a) Mostre que se P

( )

x =a₀ +a₀x+a₀x2 +a₀x3 +a₀x4, então existe um polinômio g

( )

x do segundo grau, tal que P

( )

x = g

(

x+x−1

)

b) Determine todas as raízes de P

( )

x =1+4x+5x2 +4x3 +x4

Problema 23.

(13)

Problema 24.

(ITA – 2006)Sobre o polinômio P

( )

x =x5 −5x3 +4x2 −3x−2 podemos afirmar que a) x=2 não é raízes de P

b) P só admite raízes reais, sendo uma delas inteira, duas racionais e duas irracionais c) P admite uma única raiz real, sendo ela uma raiz inteira

d) P só admite raízes reais, sendo duas delas inteiras

e) P admite somente 3 raízes reais, sendo uma delas inteira e duas irracionais. RESP.: E

Problema 25.

(ITA - 1997) Seja S o conjunto de todas as raízes da equação 2x6 - 4x5 + 4x - 2 = 0. Sobre os elementos de S podemos afirmar que:

(A)Todos são números reais. (B)4 são números reais positivos. (C)4 são números reais.

(D)3 são números reais positivos e 2 não são reais. (E)3 são números reais negativos.

Resp.: D

Problema 26.

(ITA - 1991) Considere as afirmações:

I- A equação 3x4-10x3 + 10x - 3 = 0 só admite raízes reais. II-Toda equação recíproca admite um número par de raízes.

III- As raízes da equação x3 + 4x2 - 4x - 16 = 0. São exatamente o dobro das raízes de x3 + 2x2 - x - 2 = 0 .

Então:

(A)Apenas I é verdadeira. (B)Apenas II é falsa. (C)Apenas III é verdadeira. (D)Todas são verdadeiras. (E)n.d.a.

RESP.: B Problema 27.

(EUA)Determinar todos os valores reais que satisfazem a equação:

2 4 5 3 1 3

2 x

x

x − + = + +

   

− =

+ =

2 1

3 2 : . Re

x x sp

Problema 28.