1. Tipos de Erros em Cálculo Numérico - Cap1 notas exercicios

1.

Tipos de Erros em Cálculo Numérico

Existem dois tipos de erros fundamentais associados ao cálculo

computacional:

•

Erros de arredondamento

os números reais são representados nos computadores e máquinas de calcular com precisão finita

•

Erros de truncatura

a maioria dos métodos de cálculos fornecem soluções aproximadas, não exactas (ex: a utilização de um número finito de termos de uma série para calcular o valor de uma função)

2.

Definições de Erros

Seja

x

∈

ℜ

o

valor exacto de um número e _xuma aproximação de

x

.

• Erro:

ε

x

=

x

−

x

• Erro Absoluto:

Δ

x

=

x

−

x

• Erro Relativo:

x

x

x

r

_x

=

−

• Percentagem de erro:

r

x

×

100

%

Exemplo 1:

a)

x

=

0

.

000006

,

x

=

0

.

000005

Erro Absoluto:

Δ

_x

=

0

.

000006

−

0

.

000005

=

0

.

000001

Erro Relativo: 0.2

000006 .

0

000001 .

0

≈ =

− =

x x x rx

Percentagem de erro: 20 %

Apesar de o erro absoluto ser pequeno um erro relativo de 20% não é

Gladys Castillo

b)

x

=

600000

,

x

=

606000

Erro Absoluto:

Δ

_x

=

600000

−

606000

=

6000

Erro Relativo: 0.01

600000 6000

≈ =

− =

x x x r_x

Percentagem de erro: 1 %

Apesar do erro absoluto de b) ser largamente maior, o erro relativo

correspondente é pequeno (1%). Como os valores são de grande magnitude, apesar

do erro absoluto ser elevado, a aproximação pode ser considerada boa.

A importância de um erro é melhor observada quando quantificada em termos

relativos. O erro relativo fornece mais informação do que o erro absoluto pois é

uma medida da aproximação xa

x,

tendo em conta a ordem de grandeza do valor de

x.

3.

Aproximações por defeito e por excesso

Seja

x

∈

ℜ

o

valor exacto de um número e _xuma aproximação de

x

.

Def 1: x é uma aproximação por defeito se

x

<

x

.

Def 2: x é uma aproximação por excesso se

x

>

x

.

Exemplo 1:

a)

x

=

0

.

000006

,

x

=

0

.

000005

⇒

x

<

x

⇒ x é uma aproximação por defeito

4.

Casas decimais correctas e algarismos significativos

Definições informais:

9 um número

x

se encontra representado com d casas decimais correctas

quando a sua parte decimal apresenta decimais e resulta de um

arredondamento correctamente efectuado sobre um outro número.

Exemplo: supondo que o número

x

=0.00354 está correctamente

arredondado, então possui 5 casas decimais correctas (d=5)

9 um número

x

se encontra representado com k algarismos (ou dígitos)

significativos quando está representado por k algarismos, contados da

esquerda para a direita, a partir do primeiro algarismo diferente de zero.

Exemplo: supondo que o número

x

=0.00354 está correctamente arredondado,

então possui três algarismos significativos (k=3).

Seja

x

∈

ℜ

o

valor exacto de um número e _xuma aproximação de

x

.

Def 3: xé uma aproximação de

x

com pelo menos d casas decimais correctas se:

x

x

x

d

−

×

≤

−

=

Δ

0

.

5

10

Para determinar o número de algarismos significativos da aproximação x pode-se

utilizar este resultado importante1:

Proposição 1:

Se

r

_x

≤

0

.

5

×

10

−k

,

k

∈

N

então x tem pelo menos k algarismos significativos

Exemplo 2:

(

exercício 3 (a) FP1)

7182

.

2

,

71828182

.

2

=

=

x

x

3 4

10

5

.

0

10

)

8182

.

0

(

7182

.

2

71828182

.

2

−

=

−

<

×

−

=

Δ

x

⇒ x tem pelo menos 3 casas decimais correctas

1

Gladys Castillo

4 4

4

10 5 . 0 10 3 . 0 71828182 .

2

10 ) 8182 . 0

( − _{≈ ×} − _{< ×} −

= − =

x x x rx

⇒ x tem pelo menos 4 algarismos significativos

5.

Computação em Ponto Flutuante

(estudar acetatos 1-19 capítulo 1)

O Sistema de representação em ponto flutuante FP (b, p, q)

com

b – base do sistema

p - número de dígitos da mantissa

q – número de dígitos do expoente

contém todos os números reais da forma:

x

=

±

mb

t

onde

m

≥ _{0 é a mantissa e}

t

_{é o expoente}

Dado que um número neste formato pode ser representado de diferentes formas

que são equivalentes, devemos estabelecer uma única representação. Por isso é

habitual trabalhar com números normalizados.

Por exemplo, na base b=10, o número 10.75 pode ser expressado como

mantissa expoente

10.75 x 100 → não normalizado

1.075 x 101 → não normalizado

0.1075 x 102 = + (.1075)10+2 → normalizado

Assim, para um número decimal representado em sistema de ponto flutuante

Exemplo 3: Determine uma representação de x=0.001329 em formato de ponto

flutuante FP(10, 4, 2).

Podemos representar em FP(10, 4, 2) todos os números reais da forma

2 1

0

1

)

...

.

(.

d

₁

d

₂

d

₄ tt

x

=

±

_{− − −}

4 dígitos para a mantissa , 2 dígitos para o expoente

com 0 ≤ d-i ≤ 9, i=1,…,4; d-1 ≠ 0 (← normalizado); 0 ≤ t1 , t2 ≤ 9

Para x=0.001329 → fl(x) = + (.1329) 10-2

Neste caso x tem representação exacta em FP(10, 4, 2).

Exemplo 4: Determine uma representação de

π

=3.14159265…

em formato de

ponto flutuante FP(10, 5, 2).

Como neste caso π não tem representação exacta em FP(10, 5, 2) podemos

determinar uma aproximação de π por truncatura ou arredondamento.

6.

Aproximações obtidas por truncatura e arredondamento

Seja

x

∈

ℜ

e fl(

x

)a representação de

x

no sistema de ponto flutuante FP(b, p, q)

9 se

x

=

fl(

x

), então

x

tem representação exacta em FP(b, p, q)

9 se

x

≠

fl(

x

), então podemos determinar uma aproximação _x de x por:

• truncatura: desprezando os dígitos d-p-1, d–p-2, … da mantissa m

Exemplo 4 (continuação):

π

=3.14159265…, fl(

π

) = + (.31415)10

01

em FP(10, 5, 2,

T

)

• arredondamento: aproximando pelo número do sistema FP(b, p, q) que

está mais próximo de

x

em valores absolutos

• se o primeiro algarismo da parte eliminada for inferior a 5, o número obtido é a verdadeira representação, após arredondamento, do número dado;

• se o primeiro algarismo da parte eliminada for não inferior a 5, adiciona-se uma unidade ao algarismo da última ordem decimal conservada.

Gladys Castillo Exemplo 5: (exercício 4, (d), FP1)

Determine uma representação de x = -83785 em formato de ponto flutuante com

arredondamento FP(10, 4, 2, A) .

x ≈ fl(x) = - (.8379)105 - arredondamento para cima

x ≈ fl(x) = - (.8378)105 _{- arredondamento simétrico}

(aproxima-se pelo algarismo par mais próximo, neste caso 8)

7.

Algarismos significativos em computação em ponto

flutuante

Seja x

∈

ℜ

e

x=± 0. d-1 d-2 …d-k d-k-1…d-k-m x 10p

∈

ℜ

uma aproximação de x.

Def 3: xé uma aproximação de x com pelo menos d casas decimais correctas se:

(repetida) x

x

x

d

−

×

≤

−

=

Δ

0

.

5

10

Def 4: xé uma aproximação de x com pelo menos k algarismos significativos se:

x

x

x

k p

+ −

×

≤

−

=

Δ

0

.

5

10

adicionalmente, se

Δ

x

=

x

−

x

>

0

.

5

×

10

−k+p−1

então xé uma aproximação de x com exactamentek algarismos significativos

Exemplo 2:

(

exercício 3 (a) FP1, revisto)

7182

.

2

,

71828182

.

2

=

=

x

x

Podemos representar a aproximação

x

=

2

.

7182

obtida de x por corte em formato de ponto flutuante

1º. Determinar o expoente p2:

x

=

2

.

7182

= (.27182) 101 ⇒ p = 1

2º. Determinar d:

3 4

10

5

.

0

10

)

8182

(.

7182

.

2

71828182

.

2

−

=

−

<

×

−

=

Δ

_x ⇒ d = 3

⇒ x tem pelo menos 3 casas decimais correctas

2

3º. Determinar k:

Pela def 3 e def 4 vem:

- d = - k + p⇔ -3 = -k + 1 ⇔ k = 3 + 1 ⇒ k = 4 ⇒ x tem pelo menos 4 algarismos significativos

Como adicionalmente verifica-se que:

Δ

x

=

x

−

x

=

0

.

8182

×

10

−4

>

0

.

5

×

10

−4

=

0

.

5

×

10

−4+1−1

=

0

.

5

×

10

−k+p−1

⇒ x tem exactamente 4 algarismos significativos (x= 2.7182 )

Exemplo 6: Determinar o número de algarismos significativos para a aproximação

000125

.

0

=

x

obtida de x=0.0001256723 por corte em FP(10, 6, 2, T)

1º. Determinar p:

x

=

0

.

000125

= (.125) 10-3 ⇒ p = -3

2º. Determinar d:

5 6

10

5

.

0

10

6723

.

0

×

−

≤

×

−

=

−

=

Δ

_x

x

x

⇒ d= 5 ⇒ x tem pelo menos 5 casas decimais correctas

3º. Determinar k:

Pela def 3 e def 4 vem:

- d = - k + p⇔ -5 = -k – 3 ⇔ k = 5 – 3 ⇔ k = 2 ⇒ x tem pelo menos 2 algarismos significativos

Como adicionalmente verifica-se que:

Δ

x

=

x

−

x

=

0

.

6723

×

10

−6

>

0

.

5

×

10

−6

=

0

.

5

×

10

−2−3−1

=

0

.

5

×

10

−k+p−1

⇒ x tem exactamente 2 algarismos significativos (x= 0.000125 )

Utilizando agora o resultado da proposição 1 podemos determinar o número de algarismos significativos utilizando o majorante do erro relativo.

Se

r

x

≤

×

k

k

∈

N

−

,

10

5

.

0

então x tem pelo menos k algarismos significativos

Como

r

x

≈

0

.

5349

×

10

−2

<

0

.

5

×

10

−1 então x tem pelo menos 1 algarismo

significativo (neste caso particular mostramos que tem exactamente 2 algarismos

Gladys Castillo Exemplo 7

Considere as aproximações para o valor de

π

,

π

t= .3141(10

01_{) em FP(10, 4, 2, T)}

(por corte) e

π

a = .3142(10

01_{) em FP(10, 4, 2, A) (por arredondamento). Tomando}

como “exacto” o valor de

π

dado pela sua máquina de calcular, calcule o erro absoluto e o erro relativo de cada uma das aproximações, e, diga, justificando, quantos algarismos significativos possui

π

t e

π

a.

Em Matlab: » p=pi p = 3.141592653589793e+000 » pt=3.141 pt = 3.141000000000000e+000 » pa=3.142 pa = 3.142000000000000e+000

» err_abs_pt = abs(p-pt) err_abs_pt =

5.926535897931018e-004

» err_abs_pa = abs(p-pa) err_abs_pa =

4.073464102067881e-004

» err_rel_pt = abs((p-pt)/p) err_rel_pt =

1.886474967134572e-004

» err_rel_pa = abs((p-pa)/p) err_rel_pa =

1.296623894702984e-004

t

π

=0.3141(1001_{) em FP(10, 4, 2, T)}

1º. Determinar p:

π

t=0.3141(10

01_{) ⇒ p = 1}

2º. Determinar d:

2 3

10

5

.

0

10

592653

.

0

×

−

≤

×

−

≈

−

π

t

π

⇒ d = 2 ⇒

π

_t tem pelo menos 2 casas

decimais correctas.

3º. Determinar k: Pela def 3 e def 4 vem:

- d = - k + p ⇔ -2 = -k + 1 ⇔ k = 2 + 1

⇔ k = 3

⇒

π

t tem pelo menos 3 alg. sign.

Adicionalmente como: 3 3

10

5

.

0

10

592653

.

0

×

−

>

×

−

≈

−

π

_t

π

⇒

π

_t tem exactamente 3 algarismos

a

π

= 0.3142(1001) em FP(10, 4, 2, A)

1º. Determinar p:

π

a = 0.3142(10

01_{) ⇒ p = 1}

2º. Determinar d:

3 3

10

5

.

0

10

407346

.

0

×

−

≤

×

−

≈

−

π

_a

π

⇒ d = 3 ⇒

π

a tem pelo menos 3 casas

decimais correctas.

3º. Determinar k: Pela def 3 e def 4 vem:

- d = - k + p⇔ -3 = -k + 1 ⇔ k = 3 + 1

⇔ k = 4

⇒

π

a tem pelo menos 4 alg. sign.

Adicionalmente como: 4 3

10

5

.

0

10

407346

.

0

×

−

>

×

−

≈

−

π

a

π

⇒

π

_a tem exactamente 4 alg. sign.

Referencias

1. Heitor Pina, Métodos Numéricos, McGraw-Hill, 1995.

2. Jorge Sá Esteves, Introdução à Análise Numérica, Vol. I, Universidade de Aveiro, 1996

3. Isabel Cação, Acetatos de Métodos Numéricos 10/11, Introdução à computação numérica

4. Rosália Rodrigues, Capítulo I – Representação de números e erros, disponível em: http://www2.mat.ua.pt/rosalia/cadeiras/AN/TPcap1.pdf. 5. Balsa e A. Santos, Capítulo I – Erros e Aritmética Computacional, disponível