CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E DE TECNOLOGIA PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM MATEMÁTICA

CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E DE TECNOLOGIA

PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM MATEMÁTICA

Atratores de trajetórias para equações de evolução abstratas

e aplicação a uma equação de reação difusão

FLÁVIA ENDSFELDZ TEIXEIRA

Orientadora: PROFA. DRA. KARINA SCHIABEL

CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E DE TECNOLOGIA

PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM MATEMÁTICA

Atratores de trajetórias para equações de evolução abstratas

e aplicação a uma equação de reação difusão

FLÁVIA ENDSFELDZ TEIXEIRA

Orientadora: PROFA. DRA. KARINA SCHIABEL

Dissertação apresentada ao Programa de Pós-Graduação em Matemática da Universidade Federal de São Carlos, como parte dos requisitos para a obtenção do Título de Mestre em Matemática.

SÃO CARLOS - SP

Agradecimentos

A Deus por ter me guiado e sustentado nesta jornada e, também, aos seus Mensageiros de luz que iluminaram o meu caminho.

Aos amigos que Deus colou ao meu lado, pessoas que estavam sempre prontas a ajudar-me, aconselhar-me e a acompanhar-me tanto nas horas de estudos e dificuldades quanto nas horas de diversão. Entre eles, meus colegas do mestrado, Bárbara, Karina, Dalton, Lucas, Renato, Tiago e Wagner, meus companheiros nas madrugadas de estudo e também de aventuras, Carlos, Cristiano e Filipe, meu colega de sala, Ronaldo e meus amigos desde a graduação Renata e Maykel que sempre estiveram presentes e me apoiando.

A família cheia de amor que possuo, a qual me deu todo o suporte necessário para chegar até aqui, meus pais, Ivan e Paula, meu padrasto, Fábio, minha irmã, Letícia, meus avós, Eroni, Eliseu, Doraci e Antônio Carlos (em memória).

A minha madrinha, Eva, que esteve sempre pronta a ouvir-me, aconselhar-me e a rezar por mim em todos os momentos.

A professora Karina pela orientação, por ter acreditado em mim, por ter me incentivado nos estudos desde o início da graduação, pela paciência e pela amizade.

Aos professores Everaldo e Vera que aceitaram compor a banca para e defesa deste trabalho, assim como ao professor Marcelo que participou da minha qualificação.

A CAPES pelo apoio financeiro.

Resumo

O objetivo desta dissertação é estudar o comportamento assintótico de equações de evolução autônomas abstratas. Inicialmente apresentamos a teoria de existência de atratores globais para problemas autônomos unívocos e de atratores de trajetórias para problemas autônomos multívocos para, então, com base nos resultados apresentados, analisarmos a existência do atrator de trajetórias para uma equação de reação-difusão para a qual não há garantia de unicidade de solução.

Abstract

The purpose of this work is to study the asymptotic behaviour of abstract autonomous evolu-tion equaevolu-tions. The first part is dedicated to the theory of existence of global attractors for univoque autonomous problems and trajectory attractors for multivoque autonomous problems. After that, we analyse the existence of the trajectory attractor for an autonomous reaction-diffusion equation for which it is not possible to guarantee the uniqueness property.

Sumário

Introdução 1

1 Resultados Preliminares 3

1.1 Equações Diferenciais Ordinárias . . . 3

1.2 Alguns Resultados de Topologia . . . 5

1.3 EspaçosLp _{. . . . 6}

1.4 Distribuições . . . 8

1.4.1 Distribuições Vetoriais . . . 11

1.5 Espaços de Sobolev . . . 11

1.6 Resultados Adicionais . . . 13

2 Atratores Globais para problemas autônomos 19 2.1 Atratores Globais para semigrupos . . . 20

2.2 Existência do Atrator Global . . . 25

2.2.1 Dissipatividade e Compacidade Assintótica . . . 25

2.2.2 Existência de um compacto que atrai . . . 32

3 Atratores de Trajetórias para problemas autônomos 35 3.1 Atrator de Trajetórias para uma equação emRn _{. . . 35}

3.1.1 A Topologia em_K+ _{. . . 37}

3.2 Construção e Caracterização do Atrator de Trajetórias . . . 43

4 Atrator de Trajetórias (caso abstrato) 50

4.1 Atratores em Espaços de Hausdorff . . . 50

4.2 Atrator de Trajetórias para uma equação autônoma abstrata . . . 51

4.2.1 A Topologia em_F+ _{. . . 53}

4.3 Construção e Caracterização do Atrator de Trajetórias . . . 56

5 Atrator de Trajetórias para um problema de Reação-Difusão 60 5.1 Um problema de Reação-Difusão com condição de Dirichlet: abordagem multívoca 60 5.2 Existência de solução via método de Faedo-Galerkin . . . 64

5.3 Construção do Atrator de Trajetórias . . . 74

Introdução

Uma questão interessante no estudo de equações de evolução é o comportamento assintótico de suas soluções. Neste trabalho consideramos apenas equações de evolução autônomas

    

ut+Au=f(u)

u(t0) =u0 ∈X.

(0.1)

Em um espaço funcional adequado e sob determinadas condições sobre a não-linearidade

f e o operador A, podemos garantir que o problema (0.1) admite solução única u(t, t0, u0) e, neste caso, o comportamento assintótico das soluções da equação pode ser estudado através do semigrupo dado por S(t)u0 = u(t, t0, u0). Um subconjunto A de um espaço de Banach X é o atrator global para o semigrupo_{S(t) : t > 0}se_A é compacto, invariante (i.e. S(t)A = A) e atrai conjuntos limitados deX(i.e.,S(t)B ∈ Aparatsuficientemente grande, seB é limitado).

Este procedimento não pode ser utilizado no caso em que o problema de Cauchy não admite a propriedade de unicidade de solução. Neste caso, uma possibilidade é considerar o atrator de trajetórias, um subconjunto_U do espaço_S das soluções de (0.1) que é compacto (numa topologia apropriada Θ), invariante com respeito ao semigrupo de translações _{T(t) : t > 0_} dado por

T(t)u(s) = u(t+s)e tal que, seB _{⊂ S}, então dist(T(t)B,_U)_→0(na topologiaΘ).

É possível também considerar o atrator de trajetórias para problemas bem postos, relacionando-o crelacionando-om relacionando-o atratrelacionando-or glrelacionando-obal_A. Neste caso, o atrator de trajetórias_U consiste de todas as trajetóriasu

tais que os valoresu(t), t> 0, pertencem a_A. Em outras palavras, o atrator global pode ser visto

como uma “seção” do atrator de trajetórias.

Este trabalho está estruturado da seguinte forma:

O primeiro capítulo destina-se aos resultados preliminares que serão utilizados ao longo do texto, tais resultados baseiam-se em conceitos envolvendo espaçosLp_{, espaços de Sobolev, teoria}

de distribuições e resultados de Análise.

O Capítulo2 é dedicado à teoria de atratores globais para semigrupos abstratos. Neste ca-pítulo apresentamos alguns conceitos utilizados na construção e caracterização do atrator global e apresentamos resultados que garantem condições necessárias e suficientes para a exitência do atrator global.

No Capítulo 3 consideramos uma equação autônoma, definida no espaço Rn_{, a qual não}

possui unicidade de solução para o problema de Cauchy correspondente. Consideramos também o semigrupo de translação definido sob o conjunto das soluções do problema dado. Definimos então o atrator de trajetórias para a equação considerada, que coincidirá, neste caso, com o atrator global para o semigrupo em questão. Por fim, fazemos uma comparação entre o atrator de trajetórias e o atrator global no caso em que há unicidade de solução para o problema autônomo.

No Capítulo4generalizamos os conceitos apresentados no Capítulo3, ou seja, construimos o atrator de trajetórias para equações de evolução abstratas que não possuem unicidade de solução para o problema de Cauchy correspondente.

No Capítulo5aplicamos a teoria apresentada no Capítulo4ao problema de reação difusão

  

∂tu=d∆u−f(u) +|u|α−1u, (t, x)∈(0,∞)×Ω

u|Γ = 0, (t, x)∈(0,∞)×Γ,

ondeΩ_⊂Rn_{é um domínio limitado com fronteira suaveΓ,d >1, α∈(0,1)ef :R→Ré uma}

função de classe C1 _{satisfazendo as seguintes condições: existem constantes positivasc}

1, c2 ec3 tais que, para todov _∈R,

f(v)_·v _≥c1|v|p−c3 e |f(v)|q≤c2(|v|p+ 1), onde2< p < 2n

Capítulo 1

Resultados Preliminares

Neste capítulo, apresentaremos alguns conceitos utilizados no desenvolvimento do trabalho.

1.1 Equações Diferenciais Ordinárias

Consideremos o problema de Cauchy

  

x′ _{=f(t, x)}

x(0) =x0,

(1.1)

ondex:I ⊂R→Rn_{ef :I×Ω→R}n_{, comΩ⊂R}n_{eI ⊂Rabertos.}

Os dois teoremas a seguir fornecem condições suficientes para a existência e para existência e unicidade de solução local para o problema (1.1). Suas demonstrações podem ser encontradas em [7] e [16], respectivamente. Consideraremos os conjuntosIa = {t ∈R;|t−t0| ≤a}, Bb =

{x_∈Rn_;kx−x

0k ≤b}eIα ={t∈R;|t−t0| ≤α}em seus enunciados.

Teorema 1.1.1 (Teorema de Peano) Sejaf contínua emIa×Bb. Pela continuidade daf, existe

M >0tal que|f|< M emIa×Bb e o problema(1.1)tem pelo menos uma solução emIα, onde

α = min

a, b M

.

Teorema 1.1.2 (Teorema de Picard) Suponhamosf contínua, Lipschitziana e_|f_{| ≤}M emIa×

Bb. Então existe uma única solução do problema(1.1)emIα, ondeα= min

a, b M

Sejaφ : (τmin, τmax)→Rnsolução de (1.1) definida em seu intervalo maximal. O resultado a seguir, o qual pode ser encontrado em [16], afirma que soluções limitadas em intervalos finitos podem ser estendidas a todo semieixo positivo, isto é,τmax=∞.

Teorema 1.1.3 Seja f contínua em um aberto_U deR×Rn_{. Seφ é uma solução definida em seu}

intervalo maximal (τmin, τmax), então a aplicaçãog(t) = (t, φ(t))tende a ∂U quandot → τmax (ouτmin). Isto é, para cada compactoK _{⊂ U} existe uma vizinhançaV deτmax(ouτmin) tal que

g(t)∈/ K parat∈V .

Observação 1.1.4 Segue do Teorema 1.1.3 que seτmax < ∞, então necessariamenteφ(t) → ∞ quandot_→τmax.

As demonstrações das desigualdades a seguir podem ser encontradas em [1].

Lema 1.1.5 (Desigualdade de Gronwall) Sejam y, a : [t0, t1] → R funções não negativas tais quea, y_∈L1_([t

0, t1]). Suponha que exista uma constanteC satisfazendo

y(t)_≤C+

Z t t0

y(s)a(s)ds, _∀t _∈[t0, t1], então, parat∈[t0, t1],

y(t)_≤Cexp

Z t t0

a(s)ds

.

Lema 1.1.6 (Desigualdade diferencial) Sejay(_·)_∈ C1_([t

0, t1]), y ≥0e suponha que a seguinte desigualdade seja válida

y′(t)_≤a(t)y(t) +h(t), t_∈[t0, t1], ondea, h_∈C([t0, t1]), a≥0, h≥0. Então,

y(t)≤y(t0) exp

Z t t0

a(τ)dτ

+

Z t t0

h(s) exp

Z t t0

a(τ)dτ

ds

e, consequentemente,

y(t)≤

y(t0) +

Z t t0

h(s)ds

exp

Z t t0

a(s)ds

.

Se a desigualdade

vale paraγ _≥0, então

y(t)≤y(0)e−γt+

Z t

0

e−γ(t−s)h(s)ds.

Em particular, seh(t) =C, então

y(t)_≤y(0)e−γt_+Cγ−1₍₁

−e−γt₎

≤y(0)e−γt_+Cγ−1_.

1.2 Alguns Resultados de Topologia

Os resultados apresentados nesta seção podem ser encontrados em Munkres, J [12].

Teorema 1.2.1 (Arzelà-Ascoli) Sejam(K, d)um espaço métrico compacto e F um subconjunto deC(K;R). EntãoF é compacto se, e somente se,F é uniformemente limitado e equicontínuo.

Corolário 1.2.2 Seja_{fn} uma sequência de aplicações contínuas fn : [a, b] → Rn e suponha

que existam constantesM, K >0tais que, para cadan ∈Ne quaisquers, t∈[a, b],

|fn(s)−fn(t)| ≤K|s−t| e |fn(t)| ≤M.

Então existe uma subsequência de {fn} que é uniformemente convergente para uma aplicação

contínuaf : [a, b]_→Rn_.

Proposição 1.2.3 SejamX, Y espaços métricos, f : X → Y contínua eA ⊂ X, entãof(A) ⊂

f(A).

Definição 1.2.4 Uma coleção_Ode subconjuntos abertos de um espaço topológico(X, τ)é uma base para a topologiaτ se cada aberto de (X, τ)pode ser escrito como união dos elementos de

O.

Teorema 1.2.5 _Oé uma base para a topologia(X, τ)se: 1. ∀x∈X, existeG∈ Otal quex∈G.

2. Sex∈ G1∩G2, comG1, G2 ∈ O, existeG3 ∈ Otal quex∈G3 ⊂G1∩G2.

Teorema 1.2.7 Se (X, τ) é E2, então (X, τ) é separável, isto é, (X, τ) possui um subconjunto enumerável e denso em X.

Teorema 1.2.8 Seja (X, τ)um espaço topológico E2. Então toda cobertura por abertos de um conjuntoM _⊂X admite subcobertura enumerável.

Definição 1.2.9 Dizemos que uma sequência_{xn}convergeaxem um espaço topológico(X, τ)

se para toda vizinhançaW dex, existen0 =n0(W)tal quexn∈W sempre quen≥n0.

Em um espaço métrico X, x ∈ M ⊂ X se, e somente se, existe uma sequência {xn} ⊂

M que converge a x. Em espaços topológicos gerais, essa propriedade não é necessariamente verdadeira.

Definição 1.2.10 Um espaço topológico X é Fréchet-Urysohn se para cada x _∈ M, M _⊂ X, existe sequência_{xn} ⊂M tal quexn→xem(X, τ).

Teorema 1.2.11 Seja(X, τ)um espaço topológico Fréchet-Urysohn. Uma funçãof : (X, τ1)→ (Y, τ2)é contínua emx0 ∈ X se, e somente se,xn →x0 em(X, τ1)implica quef(xn) → f(x0) em(Y, τ2).

Definição 1.2.12 Dizemos que um espaço topológico (X, τ) é Hausdorff se, dados quaisquer

x, y _∈X, existem vizinhançasVx, Vydexey, respectivamente, tais que

x∈Vx, y ∈Vy eVx∩Vy =∅.

Teorema 1.2.13 Se(X, τ)é Hausdorff eE2, então um conjuntoK ⊂Xé compacto se, e somente

se,Ké sequencialmente compacto, ou seja, se qualquer sequência emKpossui uma subsequência convergente.

1.3 Espaços

L

Definição 1.3.1 Sejam0< p <_∞ef : Ω_→Cmensurável. Definimos aLp_{-norma def como}

kf_kLp =

Z

Ω|

f_|p_dµ

1

p

e oespaçoLp_(Ω)por

Lp(Ω) ={f : Ω→C;kfkLp <∞}

e

Lp_loc(Ω) =

f : Ω_→C;

Z

K

|f_|p_{dµ <}

∞,_∀K _⊂Ωcompacto

.

Também definimos

kf_k∞=esssup Ω |

f(x)_|,

onde

esssup Ω |

f(x)|= inf

sup

x∈S|

f(x)|;S ⊂ΩeΩ\Spossui medida nula

e

L∞(Ω) ={f : Ω→C;kfk∞<∞}.

Lema 1.3.2 (Desigualdade de Young) Sejamp > 1eqexpoentes conjugados, isto é, 1

p+

1

q = 1.

Sea, b_∈R+_{, então}

ab≤ a

p

p + bq

q.

Em particular, para todoε >0, existeCε =

(εp)1−q

q tal que ab_≤εap_+C

εbq.

Lema 1.3.3 (Desigualdade de Hölder) Sejam 1 _≤ p _{≤ ∞} e q o expoente conjugado de p. Se

f _∈Lp_(Ω)eg

∈Lq_{(Ω), entãof g}

∈L1_(Ω)e

Z

Ω|

f g_|dµ_{≤ k}f_kLpkgk_Lq.

Definição 1.3.4 DadosT > 0,Eum espaço de Banach eI =RouI =R+_{, definimos}

Lp_{(0, T, E) =}

f : (0, T)_→E;

Z T

0 k

f(t)_kp_Edt <_∞

,

Lp_loc(I, E) =

f :I _→E;

Z

K

kf(t)_kp_Edt <_∞,_∀K _⊂Icompacto

e

L∞(0, T, E)) =

(

f : (0, T)_→E;ess sup (0,T) k

f(t)_kE <_∞

1.4 Distribuições

Os resultados apresentados aqui podem ser encontrados em Hounie, J. [8], e em Teles, R.S. [17].

SejamΩum aberto doRn_{ex= (x}

1, x2, ..., xn)∈Ω. Denotamos porC(Ω)o conjunto

C(Ω) =_{ϕ : Ω_→C;ϕé contínua_}.

Notação multi-índice: Seja α = (α1, α2, ..., αn) ∈ Nn e denotemos |α| = n

X

i=1

αi. A derivada

multi-índice de uma funçãoué dada por

Dα_u=D(α1,...,αn)_u= ∂

|α|_u

∂α1x

1∂α2x2...∂αnxn

,

quando a derivada do lado direito existe. O valor_|α|é chamado de multi-índice. Quando_|α|= 0, escrevemosDα_u=u.

Definição 1.4.1 Para cadak _∈N, definimos

Ck(Ω) ={ϕ : Ω→C, Dαϕexiste e é contínua,∀ |α| ≤k}.

Além disso,

C∞(Ω) = \

k∈N

Ck(Ω),

e escrevemos

Ck C(Ω) =

ϕ_∈Ck_{(Ω);ϕtem suporte compacto emΩ ,}

ondesuppϕ=_{x_∈Ω;ϕ(x)₆= 0_}. O conjuntoC∞

C (Ω)é chamado de espaço das funções teste, e seus elementos são as funções

teste.

Tratemos agora da convergência emC∞

C(Ω)e da continuidade de funcionais lineares

defini-dos emCC∞(Ω).

Definição 1.4.2 Dizemos que uma sequência(ϕj)⊂CC∞(Ω)converge paraϕemCC∞(Ω)se existe

Observe que, neste caso,Dα_ϕ

j →Dαϕuniformemente emK, para todoα.

Definição 1.4.3 Um funcional linearΛ : CC∞(Ω) → Cécontínuose, para todo compactoK em

Ω, existemM _∈N∗_{,M =M(K), eC ≥0,C =C(K), tais que}

|Λ(ϕ)_{| ≤}C X

|α|≤M

sup_{|Dα_ϕ(x)

|, x_∈K_}, _∀ϕ _∈CC∞(Ω).

Definição 1.4.4 Umadistribuiçãoé um funcional linear contínuoΛ : C∞

C (Ω) → C. Denotamos

porD′(Ω)o espaço das distribuições:

D′(Ω) ={Λ :CC∞(Ω)→C|Λé funcional linear contínuo}.

Vamos considerar emD′(Ω)a topologia fraca∗_,σ∗_((C∞

C (Ω))′, CC∞(Ω)). EntãoΛj →Λem

D′_{(Ω)se, e somente se,hΛ}

j, ϕi → hΛ, ϕi,∀ϕ∈CC∞(Ω). Exemplo 1.4.5 Sejax0 ∈Ω. A aplicação

δx0 :C

∞

C(Ω) →C

ϕ 7→ hδx0, ϕi=ϕ(x0)

é uma distribuição.

Exemplo 1.4.6 (Distribuições representadas por funções L1

loc(Ω)) Sejaf ∈ L1loc(Ω). O

funcio-nal

Λf :CC∞(Ω)→C

ϕ 7→

Z

Ω

f(x)ϕ(x)dx

é uma distribuição.

A aplicação f 7→ Λf é injetora, o que permite concluir que L1loc(Ω) ֒→ D′(Ω). Porém,

convém ressaltar que não há igualdade entre esses espaços, isto é, existe distribuiçãoΛ _{∈ D}′_(Ω)

que não é da formaΛf.

Queremos de certa forma estender um operador linear contínuoT :CC∞(Ω)→CC∞(Ω)a um

Veja queC∞

C (Ω)precisa estar identificado como subconjunto deD′(Ω)para que faça sentido

falarmos em extensão. O Exemplo 1.4.6 ilustra como fazer isso, uma vez queCC∞(Ω)⊂L1loc(Ω).

Suponhamos que exista um operador linear contínuoTX _:C∞

C (Ω)→CC∞(Ω)satisfazendo

hT ψ, ϕ_i=_hψ, TX_ϕ

i

Z

Ω

(T ψ)ϕ =

Z

Ω

ψ(TX_ϕ)

∀ψ, ϕ _∈CC∞(Ω).

EstendemosT à aplicaçãoT˜

˜

T :_D′(Ω) _{→ D}′(Ω)

Λ_7→T˜Λ :C_C∞(Ω)_→C,

onde_hT˜_{Λ, ϕi=hΛ, T}X_ϕ

i,∀Λ_{∈ D}′_(Ω)eϕ∈C∞

C(Ω).

Não é difícil verificar que_T˜_{é linear e contínuo.}

Operador diferenciaçãoDα _:D′_{(Ω)→ D}′_{(Ω):Como motivação, sejamf, g∈C}2

C((a, b)).

Integrando por parte, obtemos

Z b a

f′′(x)g(x)dx=−

Z b a

f′(x)g′(x)dx= (−1)2

Z b a

f(x)g′′(x)dx.

Consideremos o operadorDα_:C∞

C (Ω)→CC∞(Ω). Da integração por partes,Dα satisfaz

Z

Ω

Dα_{u(x)ϕ(x)dx= (}

−1)|α|

Z

Ω

u(x)Dα_ϕ(x)dx,

∀ϕ _∈CC∞(Ω).

Em notação de produto interno,

hDαu, ϕi= (−1)|α|hu, Dαϕi=hu,(−1)|α|Dαϕi.

Tome(Dα₎X _{= (−1)}|α|_Dα_{. Podemos então estenderD}α _aD′_(Ω)como

˜

Dα_:D′_{(Ω)→ D}′_(Ω)

Λ_{7→ h}D˜α_{Λ, ϕi=hΛ,(−1)}|α|_Dα_ϕi. Observações:

2. QualquerΛ _{∈ D}′_{(Ω)possui derivadas de todas as ordens.}

3. L1

loc ֒→ D′(Ω) possuem derivadas distribucionais de todas as ordens, mas podem não ser

deriváveis no sentido usual ou no sentido de Sobolev.

1.4.1 Distribuições Vetoriais

Definição 1.4.7 Umadistribuição vetorialsobre[0, T]com valores emX, ondeXé um espaço de Banach, é um operador linear contínuo

Λ :CC∞((0, T),R)→X.

Ao conjunto dessas distribuições denotamos_D′_{((0, T), X).}

Dado qualqueru_∈L1_{(0, T, X), consideremos a distribuição vetorial}

Λu:CC∞((0, T),R)→X

ϕ7→ hϕ,Λui=

Z T

0

u(t)ϕ(t)dt,

onde a integral anterior é calculada no sentido de Bochner em X. Não é difícil notar queΛu ∈

D′_{((0, T), X)e a aplicaçãou7→Λ}

u é injetora.

Proposição 1.4.8 Lp_{(0, T, X)⊂L}1_{(0, T, X)֒→ D}′_{((0, T), X).}

Definição 1.4.9 Suponhamosu, v _∈ Lp_{(0, T, X), ondeX é um espaço de Banach. Dizemos que}

v é aderivadadeuno sentido_D′_{(0, T, E)se}

Z T

0

u(t)∂tϕ(t)dt=−

Z T

0

v(t)ϕ(t)dt, _∀ϕ _∈C_C∞((0, T),R).

A integral é tomada emE e denotamosv =∂tu.

1.5 Espaços de Sobolev

Definição 1.5.1 O espaço de SobolevW1,p_{(Ω)é definido como}

W1,p(Ω) =

u∈Lp(Ω)|∃g1, ..., gn ∈Lp(Ω)tal que

Z Ω u∂ϕ ∂xi = Z Ω

giϕ,∀ϕ ∈CC∞(Ω),∀i= 1, ..., n

.

Parau∈W1,p_{(Ω)definimos} ∂u

∂xi

=gie escrevemos∇u=

∂u ∂x1, ...,

∂u ∂xn

.

DenotamosH1_{(Ω) =W}1,2_(Ω).

Equipamos o espaçoW1,p_{(Ω)com a norma}

kukW1,p =kuk_p+ n X i=1 ∂u ∂xi p .

Proposição 1.5.2 O espaçoW1,p_{é um espaço de Banach eH}1 _{é um espaço de Hilbert separável.}

Sejamm _≥2um inteiro ep_∈Rcom1_≤p_{≤ ∞}.

Definição 1.5.3 Definimos o espaço de SobolevWm,p_(Ω)por

Wm,p(Ω) =

u∈Wm−1,p(Ω)|∂u

∂xi ∈

Wm−1,p,∀i= 1, ..., n

ou, equivalentemente,Wm,p_{(Ω)é o conjunto}

u_∈Lp_(Ω)

|∀αcom_|α_{| ≤}m,_∃gα ∈Lp(Ω)tal que

Z

Ω

uDα_{ϕ = (}

−1)|α|

Z

Ω

gαϕ,∀ϕ ∈CC∞(Ω)

.

O espaçoWm,p_{(Ω)equipado com a norma}

ku_kWm,p =

X

0≤|α|≤m

kDα_u

kp

é um espaço de Banach.

Definição 1.5.4 Seja1_≤p <_∞, definimos o espaçoW₀1,p(Ω)como sendo o fecho deC1

C(Ω)em

W1,p_{(Ω)e denotamos}

H₀1(Ω) =W₀1,p(Ω).

Definição 1.5.5 Sejam E1, E2 espaços de Banach e suponha que E2 é um subespaço vetorial de E1. Dizemos que E2 está imerso em E1 se o operador inclusão é contínuo com respeito às topologias geradas pelas normas deE1 eE2. Denotaremos este fato porE2 ֒→E1.

Observamos que a imersãoE2 ֒→ E1 implicakukE1 ≤ CkukE2, ondeC é uma constante

independente deu _∈ E2. Além disso, se o operador imersão é compacto, então dizemos queE2 está imerso compactamente emE1 e denotamosE2

c

֒→E1.

O próximo teorema fornece uma forma de identificar imersões entre os espaços de Sobolev. Sua demonstração pode ser encontrada em Triebel, H. [18].

Teorema 1.5.6 SejamΩ⊂Rn_{um domínio limitado,l}

1, l2 ∈Ne1< p1, p2 <∞. 1. Sel2 ≥l1, p2 ≥p1e l_n2 − _p1₂ ≥ l_n1 − _p1₁ entãoWl2,p2(Ω)֒→Wl1,p1(Ω). 2. Sel2 ≥l1, p2 ≥p1e l_n2 − _p1₂ > l_n1 −_p1₁ entãoWl2,p2(Ω)

c

֒_→Wl1,p1(Ω).

1.6 Resultados Adicionais

A demonstração do lema a seguir pode ser encontrada em Lions, J.L.[10].

Lema 1.6.1 SejamE um espaço de Banach e1_≤p_{≤ ∞}. Seu_∈Lp_{(0, T, E)eu}′ _∈Lp_{(0, T, E),}

então após no máximo uma modificação em um conjunto de medida nula de[0, T],u: [0, T]_→E

é contínua.

O próximo teorema está demonstrado em Lions, J.L. e Magenes [11].

Teorema 1.6.2 SejamE, E0espaços de Banach e suponha queE ֒→E0. Seu∈L∞(0, T, E), u(t)∈

E0,∀t ∈[0, T]ehu(t), ϕié uma função contínua emtpara todoϕ ∈E0′, isto é,u: [0, T]→E0 é fracamente contínua, então

u(t)_∈Ee _ku(t)_{kE ≤ k}u_kL∞_(0,T,E),∀t∈[0, T],

eu: [0, T]→Eé fracamente contínua.

Teorema 1.6.3 SeΩ_⊂ Rn_{é um subconjunto aberto, limitado e de classeC}∞_{, então o problema}

de autovalor _

 

−∆w=λwemΩ, w_∈W1,2_(Ω)

w|∂Ω= 0,

(1.2)

possui uma quantidade enumerável de autovalores0< λ0 ≤λ1 ≤...≤λj ≤...tais queλj → ∞

e as autofunções satisfazem wj|∂Ω = 0 e formam um sistema ortonormal completo para L

2_(Ω), isto é,

v =

∞

X

j=1

hv, wjiwj, ∀v ∈L2(Ω).

Em particular,

kvk2L2_(Ω) =

∞

X

j=1

hv, wji2.

As autofunções do Laplaciano são elementos deC∞(Ω). Esta informação será importante

em resultados futuros e sua demonstração pode ser encontrada em Robinson, J. C. [13].

Corolário 1.6.4 As autofunções do Laplaciano com condição de Dirichlet são elementos deC∞_∩

H1 0(Ω).

O próximo teorema fornece as desigualdades de Poincaré. Sua demonstração pode ser en-contrada em Smoller, J. [15].

Teorema 1.6.5 SejamΩ_⊂Rn_{um domínio limitado com fronteira suave∂Ωeu}

∈H1_{(Ω). Seλ} 1 é o menor autovalor positivo de₋∆com condição de Dirichlet, então

1. k∇uk2L2_(Ω) ≥λ1kuk2L2_(Ω)quandou= 0sobre∂Ω.

2. Seu_∈H2_(Ω),k∆uk2

L2 ≥λ1k∇ukL22_(Ω)quandou= 0 sobre∂Ω.

Definição 1.6.6 Seja D _⊂ Rn+1 _{um subconjunto aberto. Dizemos queF : D → R}n _{satisfaz as}

condições de Carathéodory emDquando

• SeC_⊂Dé compacto, então existe uma função real integrávelmC(t)tal que

|F(t, x)| ≤mC(t),∀(t, x)∈C.

As demonstrações dos dois próximos teoremas podem ser encontradas em Coddington, E. A. e Levinson, N. [6].

Dadosa, b >0, sejaR ={(t, x)∈Rn+1_;|t−t

0| ≤a,kx−x0k ≤b} ⊂D.

Teorema 1.6.7 (Teorema de Carathéodory) SeF : D ⊂ Rn+1 _{→ R}n _{satisfaz as condições de}

Carathéodory emR, então existemβ >0e uma funçãox: [t0 −β, t0+β]→Rnabsolutamente contínua satisfazendo

1. (t, x(t))_∈R,_∀t _∈[t0−β, t0+β]. 2. x′_{(t) =F(t, x),∀t ∈[t}

0−β, t0+β], exceto em um conjunto de medida nula. 3. x(t0) =x0.

Teorema 1.6.8 Sejamb >0,0< T <∞, B ={x∈Rn_;kxk

Rn ≤b},kx0k_Rn ≤b e0< M < b.

ConsideremosD= [0, T]_×BeF :D _→RN _{nas condições de Carathéodory. Sex: [t}

0−β, t0+

β]→ Rn_{é uma função como a dada no Teorema 1.6.7 e|x(t)| ≤M,∀t ∈[t}

0 −β, t0+β], então

x(t)tem um prolongamento em[0, T].

Ambos os resultados a seguir podem ter suas demonstrações encontradas em Robinson, J.C. [13].

Teorema 1.6.9 (Banach-Alaoglu:) SejaE um espaço de Banach separável. Seumé uma

sequên-cia limitada emE′_{, entãou}

mtem subsequência convergente na topologia fraca *.

Corolário 1.6.10 SejaE um espaço de Banach reflexivo. Seum é uma sequência limitada emE,

entãoumtem uma subsequência que converge fracamente emE.

Sejamp1, p0 ≥1eE0, E1são espaços de Banach satisfazendoE1 ֒→E0. Consideremos

Wp1,p0(0, T, E1, E0) ={ψ : ψ ∈L

munido da norma

kψkWp₁,p₀ =kψkLp1(0,T,E1)+kψ

′_k

Lp₀ (0, T, E0).

Nestas condições, temos o seguinte resultado, cuja demonstração pode ser encontrada em Chepyzhov, V.V. e Vishik, M.I. [4].

Teorema 1.6.11 (Teorema da compacidade de Aubin-Lions:) Sejam1 < p1, p0 < ∞, T > 0, e

E1, E, E0 espaços de Banach. SeE1

c

֒_→E ֒_→E0,entãoWp1,p0

c

֒_→Lp1_{(0, T, E}).

Observação: Em decorrência do Teorema da compacidade de Aubin-Lions, segue que se

{um}m∈N é uma sequência limitada em Lp1(0, T, E1) e {u′m}m∈N é uma sequência limitada em

Lp0_{(0, T, E}

0), então{um}é limitada emWp1,p0(0, T, E1, E0). Assim, da imersão compacta, existe

uma subsequência_{umj}j∈Ntal queumj →ufortemente emLp1(0, T, E1).

A demonstração do próximo lema pode ser encontrada em Robinson, J.C. [13].

Lema 1.6.12 Seum →uemLp(Ω),1≤p≤ ∞, então existe subsequência de{um}que converge

pontualmente parauq.t.p. emΩ.

O próximo lema pode ter sua demonstração encontrada em Lions, J.L. [10].

Lema 1.6.13 SejamΩum domínio limitado emR×Rn_{e1< q <∞. Se{g}

m}m∈Negsão funções

emLq_{(Ω)tais que}

kgmkLq_(Ω) ≤Cegm →gq.t.p. emΩ,

entãogm ⇀ gemLq(Ω).

A demonstração do lema a seguir pode ser encontrada em Robinson, J.C. [13].

Lema 1.6.14 SejaV ֒→c H. Suponha que{un}seja uniformemente limitada emL∞(0, T, V), isto

é,

ess sup

s∈[0,T]k

un(s)k_V ≤C, (1.3)

e queun ⇀ uemL2(0, T, V). Então

ess sup

s∈[0,T]k

Além do mais, seu_{∈ C}([0, T], H), então

sup

s∈[0,T]k

u(s)_{kV ≤}C. (1.5)

A demonstração do lema a seguir pode ser encontrada em Robinson, J.C. [13].

Lema 1.6.15 Consideremos p > 2 e Ω _⊂ Rn _{um domínio suave. Se E = L}2_{(Ω), H}1_{(Ω) ou}

Lp_{(Ω) eP}

m é o operador projeção ortogonal sobre o subespaço deE gerado pelasmprimeiras

autofunções do Laplaciano com condição de Dirichlet, então_kPmukE ≤ kukE ePmu→u.

O lema a seguir pode ser encontrado em Chepyzhov, V.V. e Vishik, M.I. [4], Teorema 1.8, p. 33.

Lema 1.6.16 Sejam p > 1, q > 1 expoentes conjugados. Suponhamos que H é um espaço de Hilbert eV,E,X são espaços de Banach satisfazendo

V ֒_→H _≡H′ ֒_→V′ ֒_→X

E ֒→H ≡H′ ֒→E′ ֒→X,

onde V′ _{e E}′ _{denotam os duais deV eE, respectivamente. Seu ∈ L}2_{(0, T, V)∩L}p_{(0, T, E)e}

a distribuição ∂tu pode ser representada como∂tu(s) = w(s) +h(s),ondew ∈ L2(0, T, V′) e

h_∈Lq_{(0, T, E}′_{), então}

1. u∈ C([0, T], H).

2. A função_ku(_·)_k2_H é absolutamente contínua em[0, T]e, além disso,

d

dtku(t)k

2

H = 2hu(t), u

′_(t)

i= 2_hu(t), w(t)_i+ 2_hu(t), h(t)_i,

Capítulo 2

Atratores Globais para problemas

autônomos

Consideremos o problema autônomo

  

u′ =f(u), t≥0

u(0) =u0 ∈X,

(2.1)

em quef :U ⊂X →Xnão depende diretamente do tempo,U ⊂Xé aberto e conexo e o espaço

de faseXé um espaço de Banach com a métricad.

Se f é contínua e lipschitziana, existe uma única solução contínua u : [0,∞) → X para

o problema (2.1) e essa solução depende continuamente das condições iniciais. Denotaremos por

u(t) =u(t,0, u0) =u(t, u0)a solução que no tempot = 0assume o valor inicialu0.

Para cada soluçãou(t, u0), u0 ∈ X, podemos associar um operadorT(t) : X → X de tal forma que

T(t)u0 =u(t, u0).

Assim, as soluções do problema definem uma família de aplicações _{T(t), t _≥0_}. Por simplici-dade, usaremos a notaçãoT(·)ao invés de{T(t);t≥0}.

Definição 2.0.1 Dizemos que uma famíliaT(·)é um semigrupose satisfaz as seguintes proprie-dades:

2. T(t)T(s) =T(t+s), _∀t, s_≥0.

Além disso, se

3. (t, u0)7→T(t)u0for contínua de[0,∞)×XemX entãoT(_·)será chamado deC0-semigrupo.

Observação 2.0.2 SeT(_·)é um semigrupo de operadores limitados em um espaço de BanachX, a condição3vale se, e somente se, para cada elementou∈X,

T(t)u_→u, quando t_→0+.

2.1 Atratores Globais para semigrupos

Nesta seção estudaremos propriedades de atração para semigrupos abstratos, sem necessi-dade de associação com soluções de equações a princípio.

Apresentaremos a seguir alguns conceitos que serão úteis para definir o atrator global para semigrupos.

Definição 2.1.1 Sejam(X, d)um espaço métrico eA, B ⊂X. Asemidistância de Hausdorffentre

AeB é dada por

dist(A, B) = sup

a∈A

inf

b∈Bd(a, b).

Observemos que a semidistância de Hausdorff mede o quanto o conjunto A fica fora de B e que

dist(_·,_·) não é simétrica, desta forma a igualdadedist(A, B) = 0 não implicaA = B. Além disso, seB é fechado, então dist(A, B) = 0⇒ A ⊂ B. De fato, suponhamos que Anão esteja

contido em B, então existe a _∈ A_\B tal que d(a, b) > 0,_∀b _∈ B, já qued(a, B) > 0. Logo, sup

a∈A

inf

b∈Bd(a, b)>0.

Definição 2.1.2 SejamA, B ⊂X. Dizemos queAatraiB sob a ação deT(·)se lim

t→∞dist(T(t)B, A) = 0,

ou equivalentemente se, dadoε >0, existem vizinhança_NB =N(B, ε)eτB >0tais que

Definição 2.1.3 Sejam A, B _⊂ X. Dizemos que A absorveB sob a ação do semigrupoT(_·)se existeτB ≥0tal que

dist(T(t)B, A) = 0,_∀t_≥τB,

ou equivalentemente, se

T(t)B _⊂A,_∀t_≥τB.

Definição 2.1.4 Dizemos que A ⊂ X é umconjunto absorvente para o semigrupoT(·) se para cadaB _⊂Xlimitado, existeτB>0tal queT(t)B ⊂A,∀t≥τB.

Definição 2.1.5 Um pontop _∈ X é umequilíbrioou umponto de equilíbrio de T(_·)seT(t)p =

p,∀t ≥ 0. Dizemos que a aplicaçãot ∈ R 7→ p ∈ X é uma solução estacionáriaousolução de equilíbriopara o semigrupo.

Definição 2.1.6 Um conjunto A _⊂ X é invariante por T(_·) se T(t)A = A,_∀t _≥ 0 e A é positivamente invariantecom relação ao semigrupoT(·) se T(t)A⊂A,∀t≥0.

Observação 2.1.7 Quando não houver dúvidas sobre o semigrupoT(·)em questão, diremos ape-nas queAatraiB,AabsorveB eAéinvariante.

Definição 2.1.8 Dadou0 ∈X, definimos asemiórbita positivainiciando emu0 por

γ+(u0) = [

t≥0

T(t)u0.

Definição 2.1.9 Asemiórbita positiva gerada por um conjuntoB ⊂Xé o conjunto

γ+(B) = [

t≥0

T(t)B.

Definição 2.1.10 O conjuntoω-limitede um pontou0 ∈Xé dado por

ω(u0) =\

s≥0

[

t≥s

T(t)u0 =

n

v _∈X_{| ∃}tn → ∞tal queT(tn)u0

n→∞

→ vo.

Definição 2.1.11 SeB _⊂X, definimos o conjuntoω-limitedeB por

ω(B) = \

s≥0

[

t≥s

T(t)B =nv ∈X| ∃tn→ ∞e {vn} ⊂B tal queT(tn)vn n→∞

Definição 2.1.12 Uma função contínuax(_·) :R→X ésolução globaldeT(_·)se

T(t)x(τ) =x(t+τ),∀τ ∈R e t≥0.

Neste caso, aórbita da solução globalé o conjunto

Γ(x(·)) = [

t∈R

x(t).

Proposição 2.1.13 Um conjuntoA ⊂Xé invariante sobT(·)se, e somente se,Aconsiste de uma

coleção de órbitas de soluções globais deT(_·).

Demonstração: Suponhamos queAseja uma coleção de órbitas de soluções globais. Dadou0 ∈

A, existe uma solução globalu:R→Xtal queu0 está na órbita dessa solução, isto é,u(τ) =u0, para algum τ > 0. Logo, T(t)u0 = T(t)u(τ) = u(t +τ) ∈ A, pois a órbita está inteiramente contida em A, o que implicaT(t)A⊂ A, para todot ≥0. Além disso, comoué solução global,

temosu0 =u(τ) =T(t)u(τ−t). Portanto,A⊂T(t)A, para todot≥0.

Suponhamos agora queAseja invariante. Dadou0 ∈A, temosT(t)u0 ∈ A,∀t≥ 0. Defina

u :R→ Xporu(t) =T(t)u0, para todot _≥0. A construção deuparat < 0será indutiva: Pela invariância de A, temosT(1)A = A. Portanto, existe u−1 ∈ A tal queT(1)u−1 = u0 = u(0). Definamos u(t) = T(t + 1)u−1 para −1 ≤ t ≤ 0. Da mesma forma, existe u−2 ∈ A tal que

T(1)u−2 =u−1. Definamosu(t) =T(t+ 2)u−2 para−2 ≤t ≤ −1. Procedendo dessa forma,u

será solução global eΓ(u(_·))_⊂A.

Definição 2.1.14 Um conjunto_{A ⊂}Xé umatrator globalpara o semigrupoT(_·)se (a) _Aé compacto.

(b) _Aé invariante.

(c) Aatrai conjuntos limitados deX, isto é, seB ⊂Xé limitado, entãodist(T(t)B,A)t→∞→ 0.

Podemos caracterizar os atratores globais para um semigrupo da seguinte forma:

(a) o conjunto minimal compacto que atrai limitados.

(b) o conjunto maximal fechado, limitado e invariante.

Demonstração: (a) SejaB ⊂ X um compacto que atrai limitados. Como A é compacto, _A é limitado e portantoB atrai_A. Logo,

lim

t→∞dist(T(t)A, B) = 0.

Sendo_Ainvariante,dist(A, B) = 0_{⇒ A ⊂}B.

Portanto,_Aé o minimal compacto que atrai limitados. (b)SejaB _⊂Xfechado, limitado e invariante. Temos

dist(B,A) =dist(T(t)B,A),∀t≥0⇒dist(B,A) = lim

t→∞dist(T(t)B,A) = 0.

Portanto,B ⊂ Ae_Aé o maximal fechado, limitado e invariante.

Segue da proposição anterior que o atrator global de um semigrupo é único.

Podemos também caracterizar o atrator global em termos de soluções globais e limitadas.

Proposição 2.1.16 Se um semigrupoT(_·)possui um atrator global_A, então

A={Γ(x(·));x:R→Xé solução global limitada deT(·)}:= Ω.

Demonstração: SeT(·)tem atrator globalA, então_{A ⊂}Ω, uma vez que_Aé invariante, limitado e consiste de uma coleção de órbitas de soluções globais (Proposição 2.1.13).

Para mostrar a outra inclusão, sejaΓ = [

t∈R

x(t)a órbita de uma solução global limitada de

T(_·). Então Γ é limitada. Suponhamos queΓ _{6⊂ A}. Então existem ε > 0 e x0 ∈ Γ tais que

x0 ∈ N/ (A, ε). ComoAatrai limitados, segue queAatraiΓ, ou seja, existeτ >0suficientemente grande tal que

dist(T(τ)Γ,A)< ε, ou ainda,d(T(τ)z,A)< ε, ∀z ∈Γ.

Comox0 ∈Γ, existex˜∈Γtal quex0 =T(τ)˜x. Entãod(x0,A) =d(T(τ)˜x,A)< ε, o que é uma

Lema 2.1.17 SejamKum subconjunto compacto de um espaço métricoX e_{xn} ⊂X tais que

d(xn, K)→0quandon→ ∞.

Então, existe subsequência de{xn}que converge para um ponto deK.

Demonstração: Para cada k _∈ N, tomemosxnk ∈ {xn} tal qued(xnk, K) ≤

1

k. Logo, existe yk∈ Ktal qued(xnk, yk)≤

1

k. ComoKé compacto, passando a uma subsequência se necessário,

podemos assumir queyk→y0. Portanto, segue quexnk →y0.

Proposição 2.1.18 Se um conjunto compactoKatrai um conjunto compactoK1sob oC0-semigrupo

T(_·), entãoγ+_{(K1)é compacto e∅ 6=ω(K1)⊂K.}

Demonstração: Seja_{yn} ⊂γ+(K1), onde para cadan,yn =T(tn)xn, xn ∈ K1. Pela compaci-dade deK1, existe_{xnk} ⊂ {xn}, com lim

k→∞xnk = x, x ∈ K1. Setn → ∞, então comoK atrai

K1, temos

lim

n→∞dist(T(tn)xn, K) = 0⇒nlim→∞d(yn, K) = 0.

Usando o Lema 2.1.17 concluímos que toda sequência emγ+_(K

1)possui uma subsequência con-vergente.

Por outro lado, se existir_{tnk} ⊂ {tn}, com lim

k→∞tnk =t0, então

lim

k→∞T(tnk)xnk =T(t0)x

⇒ynk =T(tnk)xnk →T(t0)x quandok → ∞.

A compacidade deγ+_{(K1)implica queω(K1)é não vazio. Além disso, sex∈ω(K1), então} existem_{tn}, comtn→ ∞quandon→ ∞e{xn} ⊂K1 tais quex= lim

n→∞T(tn)xn. ComoK1 é

atraído porK e

d(x, K)_≤d(x, T(tn)xn) +d(T(tn)xn, K), para todon∈N,

entãod(x, K)_→0, quandon _{→ ∞}. Logo,x_∈K.

Proposição 2.1.19 Seja u(t) = T(t)u0 uma trajetória em um espaço de fase X e A o atrator global do C0-semigrupo T(·). Então, dados ε > 0eT > 0, existem τ = τ(ε, T) > 0 e uma trajetóriav(t) =T(t)v0 contida no atrator, tal que

ku(t+τ)−v(t)k ≤ε, ∀ 0≤t≤T.

Demonstração: Como T(_·) é um C0-semigrupo, a aplicação (t, z) 7→ T(t)z é contínua, esta aplicação é uniformemente contínua em[0, T]×

" [

t≥0

T(t)u0∪ A

#

, já que[

t≥0

T(t)u0é compacto pela Proposição 2.1.18 e união e produto de compactos é compacto. Assim, dadosε, T _≥0, existe

δ =δ(ε, T)tal que

u0∈ Ae ku0−v0k ≤δ ⇒ ku(t)−v(t)k ≤ε, t ∈[0, T].

Como _Aé o atrator global, a trajetóriau(t)tende para_A quandot _{→ ∞}, logo existemτ > 0e um pontov0 ∈ Atal que

|u(τ)₋v0|=dist(T(τ)u0,A)≤δ.

Consideremos a trajetóriav(t)em_Atal quev(0) =v0. Então, as trajetóriasu(t)(vista como uma trajetória iniciando no pontou(τ)) ev(t) =T(t)v0satisfazem

ku(t+τ)₋T(t)v0k=kT(t)u(τ)−T(t)v0k ≤ε, ∀0≤t≤T.

2.2 Existência do Atrator Global

Nesta seção, forneceremos condições necessárias e suficientes para que umC0-semigrupo

T(·)possua atrator global.

2.2.1 Dissipatividade e Compacidade Assintótica

Definição 2.2.1 Dizemos que um semigrupoT(·)é:

(ii) limitado dissipativose existe um limitadoB _⊂ X que atrai todo subconjunto limitado de

X;

(iii) assintoticamente compactose, dado qualquer conjunto fechado, limitado e não vazioW _⊂ X, positivamente invariante, então existe um compacto não vazioK ⊂W que atraiW.

Proposição 2.2.2 Se T(·) possui atrator global, então T(·)é limitado dissipativo e assintotica-mente compacto.

Demonstração: Suponha queT(_·)possui um atrator global_A. EntãoT(_·)é limitado dissipativo, uma vez que_Aatrai todos os limitados deX.

Seja agoraW _⊂ X não vazio, fechado, limitado e tal queT(t)W _⊂ W,_∀t _≥ 0. Sabemos que _A é compacto e, sendo W fechado, A ∩W também é compacto. Como T(t)W ⊂ W e d(T(t)W,_A) _→ 0, então W _{∩ A 6}= _∅. De fato, se W _{∩ A} = _∅, sendo esses dois conjuntos fechados, existiriam vizinhanças_NW eNA tais queW ⊂ NW, A ⊂ NA eNW ∩ NA =∅. Como

T(t)W _⊂ W _{⊂ N}W entãoT(t)W 6⊂ NA,∀t ≥ 0, o que seria um absurdo. Logo,A ∩W 6=∅.

Afirmamos que_{A ∩}W atraiW. De fato,

dist(T(t)W, W) = 0edist(T(t)W,_A)_→0quandot _{→ ∞}.

Logo,

dist(T(t)W,_{A ∩}W)_→0quandot _{→ ∞}.

Desta forma,K =_{A ∩}W é o compacto desejado.

O objetivo nos próximos resultados é caracterizar o atrator para umC0-semigrupo em termos de conjuntosω-limite.

Proposição 2.2.3 SejaT(·)umC0-semigrupo assintoticamente compacto. SeB ⊂ X é limitado e existeτB >0tal que

[

s≥τB

T(s)B

Demonstração: Começaremos mostrando queω(B)é compacto. Como [

s≥τB

T(s)B é positiva-mente invariante, temos

T(t) [

s≥τB

T(s)B

!

⊂ [

s≥τB

T(s+t)B ⊂ [

s≥τB

T(s)B, t≥0

eT(·)contínuo implica

T(t) [

s≥τB

T(s)B

!

⊂ [

s≥τB

T(s)B.

Como T(_·)é assintoticamente compacto e [

s≥τB

T(s)B é fechado, limitado, não vazio e positiva-mente invariante, existe um compacto não vazio C ⊂ [

s≥τB

T(s)B que atrai [

s≥τB

T(s)B. Logo,

dada qualquer vizinhança_NC deC, existe vizinhançaNC′ deCeτNC >0tais que

[

s≥τB

T(s)B _{⊂ NC}′ _{⊂ N}C ⇒ω(B)⊂ NC.

Como _NC foi tomado arbitrário e C é fechado, segue queω(B) ⊂ C. De fato, se ω(B) 6⊂ C,

como ambos são fechados, deve existiry_∈ω(B)_\Ctal qued(y, C)>0. Tomando_N(C, ε), com

ε =d(y, C)/2, temos queω(B)6⊂ N(C, ε), absurdo. Portanto,ω(B)⊂C eω(B)é compacto. Consideremos sequênciastn

n→∞

−→ ∞ e_{vn} ⊂ B. Como, para n suficientemente grande,

T(tn)vn→C, o qual é compacto, segue que podemos extrair subsequência convergenteT(tnk)vnk →

y0de modo quey0 ∈ω(B). Logo,ω(B)é não vazio. Mostremos queT(t)ω(B) =ω(B).

Dadoy _∈ ω(B), existem sequências _{tn}, tn n→∞

−→ ∞e_{vn} ⊂ B tais queT(tn)vn → y.

Então,

T(t)T(tn)vn →T(t)y ⇒T(tn+t)vn→T(t)y⇒T(t)y∈ω(B).

Portanto,T(t)ω(B)⊂ω(B).

Por outro lado, seja y _∈ ω(B). Existem sequências tn n→∞

−→ ∞ e _{vn} ⊂ B tais que

T(tn)vn → y. Queremos encontrar w0 ∈ ω(B) tal que T(t)w0 = y. Para n suficientemente grande, temostn > t, logoT(tn)vn =T(t)T(tn−t)vn. Também, para cadak ∈ N, existenk tal

que

T(tnk−t)vnk ∈ N(C,

1

k)⇒d(T(tnk−t)vnk, C)

k→∞

Pelo Lema 2.1.17, passando a uma subsequência se necessário,T(tnk−t)vnk →w0 comw0 ∈C. Uma vez queω(B)é fechado temos quew0 ∈ω(B). Logo,

T(tnk −t)vnk →w0 e T(t)T(tnk −t)vnk →y.

Pela continuidade deT(·), temosT(t)w0 =y. Portanto,ω(B)⊂T(t)ω(B). Resta mostrar que

dist(T(t)B, ω(B))_→0 quando t_{→ ∞}.

Se isto não acontecesse, existiriamε >0,tn n→∞

−→ ∞e_{vn} ⊂B tais que

dist(T(t)B, ω(B))_≥ε.

Mas_{T(tn)vn} → C e isto implica queT(tn)vn possui subsequência convergente para um ponto

deω(B), o que é uma contradição.

O corolário abaixo caracteriza o atrator global em termos dos conjuntosω-limites.

Corolário 2.2.4 SejaT(·)umC0-semigrupo com atrator globalA. Então

1. Aé a união dos conjuntosω-limites de todos os subconjuntos limitados deX, isto é,

A= [

B⊂X

{ω(B)_|Bé limitado_}.

2. _Aé a união dos conjuntosω-limites de todos os subconjuntos compactos deX, isto é,

A = [

K⊂X

{ω(K)_|Ké compacto_}.

Demonstração:

1. Como o semigrupoT(·)possui atrator global, segue queT(·)é assintoticamente compacto. SejaB _⊂Xlimitado. Como_Aatrai limitados, existeτB >0tal que

T(t)B ⊂ N(A, ε), ∀t ≥τB.

Logo,

[

t≥τB

Portanto, [

t≥τB

T(t)B é limitado e, pela Proposição 2.2.3,ω(B)é não vazio, compacto, inva-riante e atraiB. Além disso,

ω(B)_⊂A,

pois, dadoy∈ω(B), existem{tn}, tn n→∞

−→ ∞e_{vn} ⊂Btais queT(tn)vn→ye comoA

atraiB, d(T(tn)vn,A) → 0. Então, pelo Lema 2.1.17 existem subsequências{tnk},{vnk}

tais queT(tnk)vnk →y0 ∈ A. Logo,y=y0eω(B)⊂ A.

Como_Aé limitado, temos em particular queω(A)⊂ A. Além disso,_{A ⊂}ω(A). De fato, sejay0 ∈ A. Pela Proposição 2.1.13, existe uma órbita completa passando pory0. Tomey−1 tal queT(1)y−1 =y0,y−2tal queT(2)y−2 =y0, e assim sucessivamente. Consideretn=n,

{y−n} ⊂ A. TemosT(tn)y−n=y0 →y0. Logo,y0 ∈ω(A). Portanto,ω(A) =A. Logo,_A=S_{ω(B)_|B _⊂Xé limitado_}.

2. Segue do item anterior.

Definição 2.2.5 Um semigrupoT(·)é limitado, seγ+_{(B)é limitada sempre queB é um} subcon-junto limitado deX.

O teorema a seguir fornece condições suficientes para que umC0-semigrupo possua atrator.

Teorema 2.2.6 SejaT(_·)umC0-semigrupo ponto dissipativo, assintoticamente compacto e limi-tado. EntãoT(_·)tem um atrator global emX.

Demonstração: A demonstração será feita em dois passos.

Passo 1. Construiremos um conjunto limitadoΩ_⊂X tal que, para cada compactoC _⊂X, existe uma vizinhança_NC deCque é absorvida porΩ.

ComoT(_·)é ponto dissipativo, existe um conjunto limitadoW0 que atrai todos os pontos de

X. Seja NW0 uma vizinhança limitada qualquer de W0. Dado v ∈ X, comoW0 atraiv eT(·)é

contínuo, existemεv, τv >0tais que

ComoT(_·)é limitado, a órbita de qualquer limitado é limitada. ConsideremosτNW₀ tal que

Ω := [

t≥τN_W

0

T(t)NW0 seja limitado.

Temos as seguintes propriedades paraΩ.

(i) Ωé positivamente invariante, pela Proposição 2.2.3. (ii) Ωabsorve os pontos deX.

De fato, dadov _∈X, existeτv >0tal queT(t)v ⊂ NW0 ∀t ≥τv

⇒T(τNW₀)T(t)v ⊂T(τNW₀)NW0 ⊂Ω ⇒T(t

′_)v

⊂Ω, _∀t′ _≥τNW₀ +τv.

(iii) _∀v _∈X, existemεv, τv >0tais queT(t)B(v, εv)⊂ NW0,∀t≥τv

⇒T(τNW₀)T(t)B(v, εv)⊂T(τNW₀)NW0 ⊂Ω ⇒T(t

′_{)B(v, ε}

v)⊂Ω, ∀t′ ≥τNW₀ +τv.

SejaC _⊂Xcompacto. TemosC _⊂ [

vk∈X

B(vk, εvk)⇒ ∃v1, ...vk∈X tais que

C ⊂B(v1, εv1)∪...∪B(vk, εvk) := NC.

Assim, tomandoτ∗ _=τ

NW₀+max{τv1, ..., τvk}, ondeτvié o valor para o qualT(t)B(vi, εvi)⊂

NW0, ∀t≥τvi, temos

T(t)C ⊂T(t)NC =T(t) k

[

j=1

B(vj, εvj)

!

=

k

[

j=1

T(t)B(vj, εvj)⊂Ω, ∀t≥τ∗.

Portanto,Ωé o conjunto desejado.

Passo 2.Construiremos o conjunto_Acompacto, invariante e que atrai limitados.

SejaB _⊂Xlimitado. Por hipótese, a órbita deB é limitada. Segue da Proposição 2.2.3 que

ω(B)é compacto, invariante e atrai B. Seja Nω(B) a vizinhança de ω(B)que é absorvida por Ω (primeiro passo). Definimos_A=ω(Ω). ComoΩé limitado, segue que_Aé compacto, invariante, não vazio e atraiΩ.

Existemτω(B) >0eτB >0tais que

Logo,

T(t′)B ⊂Ω, ∀t′ ≥τNω(B) +τB,

ou seja,Bé absorvido porΩ. Portanto,Ωabsorve limitados.

Como_A=ω(Ω)atraiΩ, dada uma vizinhançaNω(Ω) deω(Ω), existeτΩ >0tal que

T(t)Ω_{⊂ N}ω(Ω), ∀t≥τΩ. Então,

T(t′′)B ⊂ Nω(Ω), ∀t′′≥τNω(B) +τB+τΩ.

Logo,_A=ω(Ω)atraiB.

Portanto, temos as seguintes condições necessárias e suficientes para a existência do atrator global.

Corolário 2.2.7 SeT(·)é um C0-semigrupo limitado, entãoT(·)possui atrator global se, e so-mente se, é ponto dissipativo e assintoticaso-mente compacto.

O próximo resultado fornece uma caracterização de semigrupos assintoticamente compactos em termos de sequências.

Proposição 2.2.8 Um semigrupo limitadoT(_·)é assintoticamente compacto se, e somente se, para quaisquer sequênciastn

n→∞

−→ ∞e_{xn}limitada,{T(tn)xn}admite subsequência convergente. Demonstração: Suponhamos T(·) assintoticamente compacto e seja B ⊂ X limitado. Então γ+_{(B)é limitada. Pela Proposição 2.2.3,ω(B)é não vazio, compacto, invariante e atraiB. Logo,} dada_{vn} ⊂B temos

dist(T(tn)B, ω(B)) n→∞

−→ 0 ⇒ dist(T(tn)vn, ω(B)) n→∞

−→ 0.

Como ω(B) é compacto, podemos extrair subsequência convergente de {T(tn)vn}, pelo Lema

2.1.13.

Para mostrar a recíproca, seja B não vazio, fechado, limitado e positivamente invariante. Então,_∀t_≥0, T(t)B _⊂B _⇒[

t≥0

T(t)B _⊂B.Logo,[

t≥0

T(t)Bé limitado.

Queremos encontrar um conjuntoC ⊂ B não vazio, compacto e que atraiB. Mostraremos

1. Observe queT(t)B ⊂B ⇒[

t≥0

T(t)B ⊂B ⇒ω(B)⊂B.

2. Mostraremos queω(B)é invariante. De fato, dadoy_∈ω(B). Existem sequências_{tn}com

tn → ∞e{vn} ⊂Btais queT(tn)vn→y. Então,

T(t)T(tn)vn →T(t)y⇒T(tn+t)vn→T(t)y∈ω(B).

Portanto,T(t)ω(B)⊂ω(B).

Para ver queω(B)⊂T(t)ω(B), dadosy∈ω(B)et >0, existen0 ∈Ntal quetn≥t, para

todon _≥n0. Além disso,

T(tn)vn→y⇒T(t)T(tn−t)vn→y.

Comotn−t → ∞,{vn} ⊂B, existe, por hipótese, subsequênciaT(tn′ −t)→ w∈ω(B).

Assim,

T(t)T(tn′ −t)v_n′ →y e T(t)T(t_n′ −t)v_n′ →T(t)w,

o que implicay =T(t)w_∈T(t)ω(B).

3. Sabemos que, para todot >0,T(t)ω(B) =ω(B)eω(B)é limitado. Seja{yn} ⊂ ω(B)e

tometn =n. Para cadanexistexn∈ ω(B)tal queyn =T(tn)xn.Por hipótese, existe

sub-sequênciaT(tn′)x_n′ convergente, o que implica{y_n′}convergente. Logo,ω(B)é compacto.

4. ω(B)atraiB segue de forma análoga ao que foi feito na demonstração da Proposição 2.2.3.

Assim, temos queT(_·)é assintoticamente compacto.

2.2.2 Existência de um compacto que atrai

A existência de um conjunto compacto que atrai limitados garante a existência de atrator global para o semigrupo, como mostra o teorema a seguir.

Teorema 2.2.9 UmC0-semigrupoT(_·)possui atrator global se, e somente se, existe um compacto

Demonstração: Se existe um compactoK _⊂Xque atrai limitados deXentãoT(_·)possui atrator global pela Proposição 2.1.15.

Reciprocamente, suponhamos queT(_·)possua atrator global e tomemos

A =[{ω(B);B ⊂XeBé limitado}.

DadoB _⊂Xlimitado, comoKatraiB, existeτB >0tal que

[

t≥τB

T(t)Bé limitado. Repetindo as mesmas ideias da demonstração da Proposição 2.2.2, usando o compactoK ao invés do atratorA, obtemos que T(_·)é assintoticamente compacto. Assim, pela Proposição 2.2.3,ω(B)é não vazio, compacto, invariante e atraiB. Pela Proposição 2.1.18,ω(B)⊂K.

Mostraremos que_Aé o atrator global deT(_·)e_A =ω(K).

1. Aé compacto, pois é fechado e está contido emK.

2. Aatrai limitados, pois dado qualquerB ⊂X limitado,B é atraído porω(B)e, consequen-temente, por_A.

3. _Aé invariante.

Dadox0 ∈ω(B), para algumB limitado, temosT(t)x0 ∈ ω(B), já queω(B)é invariante. Logo,T(t)S_{ω(B);B _⊂X é limitado_{} ⊂}S_{ω(B);B _⊂X e limitado_}implica que

T(t)[{ω(B);B ⊂X e limitado} ⊂[{ω(B);B ⊂X e limitado},

ou seja,T(t)_{A ⊂ A}.

Por outro lado, dadox0 ∈ω(B), comoω(B)é invariante, existet >0tal queT(t)y0 =x0,

y0 ∈ ω(B) ⊂ A. Logo, A ⊂ T(t)A (considerando os mesmos argumentos utilizados acima).

4. A =ω(K).

Comoω(K)é compacto e invariante,Aatraiω(K)e, pela Proposição 2.1.18,ω(K)⊂ A.

O teorema anterior pode ser aplicado a problemas práticos. Muitas vezes é possível mostrar a existência de um conjunto compacto no plano de fase que absorve limitados e então a existência de atrator global é garantida.

Reunindo os resultados de existência de atrator global para semigrupos apresentados anteri-ormente, temos o seguinte teorema.

Teorema 2.2.10 SejaT(_·)umC0-semigrupo limitado. São equivalentes as seguintes afirmações:

1. T(·)possui atrator global.

Capítulo 3

Atratores de Trajetórias para problemas

autônomos

O objetivo neste capítulo é construirmos o atrator de trajetórias de equações de evolução abstratas que não possuem unicidade de solução para o problema de Cauchy correspondente.

Diferentemente do atrator global, o objeto que definiremos como atrator de trajetórias não estará no espaço de fase da equação, mas sim em um espaço cujos elementos são soluções da equação em questão, o qual chamaremos espaço de trajetórias_K+_.

Começaremos com o estudo de um problema específico no espaço de fase Rn_{, para, no}

próximo capítulo, tratarmos o caso abstrato.

3.1 Atrator de Trajetórias para uma equação em

_R

Consideremos o problema autônomo

u′(t) =−F(u(t)), t≥0, (3.1)

ondeu= (u1_{, u}2_{, ..., u}n_{)∈ R}n_{eF(u) = (F}1_{(u), F}2_{(u), ..., F}n_(u))∈Rn_{é uma função contínua}

que satisfaz a seguintecondição de dissipatividade: existem constantesC, δ >0tais que

F(u)_·u=

n

X

i=1

Fi_(u)ui

O Teorema de Peano, Teorema 1.1.1, junto com o Teorema 1.1.3 implicam o seguinte resul-tado:

Teorema 3.1.1 Para todo u0 ∈ Rn existe uma função u : R+ → Rn de classe C1 que é uma solução de(3.1)satisfazendo a condiçãou(0) =u0.

Demonstração: Pelo Teorema de Peano, existe ao menos uma soluçãou(t)definida em seu inter-valo maximalu : [0, τmax)→Rn. Mostraremos que a hipótese de dissipatividade irá implicar que

u(t)é sempre limitada em[0, τmax). De fato,

d dt

1

2ku(t)k 2

=hu(t), u′(t)i=hu(t),−F(u(t))i=− hu(t), F(u(t))i ≤C−δku(t)k2.

Logo,

d

dt ku(t)k

2

+ 2δku(t)k2 ≤2C, ∀t >0.

Tomandoγ = 2δeC˜ = 2C, segue do Lema 1.1.6 que

ku(t)_k2 _{≤ k}u(0)_k2e−2δt₊ C˜

2δ =ku(0)k

2

e−2δt₊ C

δ, ∀t ≥0 (3.3)

⇒ ku(t)_k2 _{≤ k}u(0)_k2+ C

δ, ∀t≥ 0.

Portanto,ué limitada e o Teorema 1.1.3 garante queuestá definida emR+_.

Denotemos por_K+_{o subconjunto deC}1_(R+_,Rn_{)dado por}

K+ _=u∈C1_(R+_,Rn

); u é solução de (3.1) .

Note que, pelo teorema anterior, _K+ _{é não vazio, isto é, para cada u}

0 ∈ Rn, existe pelo menos uma soluçãou(·, u0)∈ K+_.

Definimos osemigrupo de translaçãoT(t) :C1_(R+_,Rn_)→C1_(R+_,Rn_)por

T(t)u(s) =u(t+s), _∀s, t_≥0.

Demonstração: Sejau_{∈ K}+_{. É imediato queT(t)u ∈ C}1_(R+_,Rn_{), por se tratar apenas de uma}

translação. Resta-nos verificar queT(t)ué solução de (3.1). De fato, d

dsT(t)u(s) = d

dsu(t+s) =−F(u(t+s)) =−F(T(t)u(s)).

Portanto,T(t)K+_{⊂ K}+_.

Podemos então considerar a ação deT(·)emK+_{, isto é,T(t) :K}+ _{→ K}+_.

3.1.1 A Topologia em

_K

Queremos construir o atrator para o semigrupoT(·)restrito ao espaçoK+_{. Para isso, vamos} definir uma topologia emC1_(R+_,Rn_{), que será denotada porθ}+

loc.

Definição 3.1.3 No espaço C1_(R+_,Rn_{) definimos a topologia da convergência uniforme local,}

denotada por θ_loc+ , e caracterizada da seguinte maneira: uma sequência {um} ⊂ C1(R+,Rn)

converge para uma funçãou_∈C1_(R+_,Rn_{)se, para todoT >0,}

max

s∈[0,T]kum(s)−u(s)k+ maxs∈[0,T]ku

′

m(s)−u′(s)k →0, quando n → ∞.

O conjunto_K+_{munido da topologia induzidaθ}+

locserá denominadoespaço de trajetóriasda

equação (3.1).

Exemplo 3.1.4 Daday:R+ _→Rn_{de classeC}1_{, satisfazendo lim}

s→+∞y(s) = 0 es→lim+∞y

′_{(s) = 0,}

seym(s) = y(s+m)param≥1, entãoym→0emθ_loc+ , quandom→+∞.

Observação 3.1.5 A topologiaθ+

locé metrizável e o espaço métrico correspondente,(C1(R+,Rn), dθ+_loc),

é completo (Veja [4], p.98).

DadosK ⊂C1_(R+_,Rn_{)eT >0, indicamos a restrição deK a[0, T]por}

Π[0,T]K =

u_|[0,T]:u∈ K =φ_∈C1([0, T],Rn_);

∃u_∈K tal queφ =u_|[0,T] . O teorema a seguir estabelece um critério de compacidade em(C1_(R+_,Rn_{), θ}+