Tópicos Abordados Nesta Aula

Tópicos Abordados Nesta Aula

●

As propriedades entre estados da matéria

Variáveis de estado:

●

Massa específica

●

Densidade absoluta

●

Densidade relativa

●

Densidade como função da temperatura

●

Pressão

A Diferença entre os Estados da Matéria

●Sólidos: Possuem volume e forma bem definidos, que somente se

alteram em resposta à forças externas;

●Líquidos: Possuem volume bem definidos, porém não possuem forma definida. Mantendo seu volume,

amolda-se ao recipiente que o contém;

●Gases: Não possuem volume, nem forma bem definidos, expandindo-se até ocupar todo o volume do

A Diferença entre os Estados da Matéria

Líquidos e gases possuem, graças a grande facilidade de deformação, a propriedade de se escoar ou fluir facilmente por isto são denominados fluídos.

Para definirmos com mais propriedade os fluidos, entendamos como os sólidos e fluidos respondem a tenções normais e tangenciais.

Sólidos: Resistem a tensão de cisalhamento

Um sólido submetido a uma força tangencial (ou de cisalhamento) se deforma até que

sejam produzidos tensões tangenciais internas que equilibrem a força externa; depois

permanece em equilíbrio, em repouso.

Se a força externa não for muito grande, a deformação é elástica, ou seja, o sólido

Fluídos: Escoam

Centro de Massa

Em um sólido é comum denotarmos um certo volume de material por uma massa associada aquele volume.

É comum ainda dizer que podemos considerar que existe um ponto ( que é exatamente o baricentro daquele volume) que contém toda a massa, chamado

Massa Específica (

ρ

)

Porém, em um líquido é conveniente trabalhar com o conceito de massa específica ao invés do conceito de massa.

Podemos definir a massa específica ρ de um fluido homogênio e isotrópico como,

onde Δm é a massa de um volume ΔV do fluido entorno a um determinado ponto A.

ρ= lim

ΔV→0

Δm

ΔV = d m d V

,

Onde ΔV = ΔxΔyΔz.

Massa Específica (

ρ

)

Unidade:

A unidade padrão no Sistema Internacional (SI) para massa específica e para densidade é kg/m³.

Fator de conversão:

[ρ]=[M]

[L]3 →[ρ]= kg m3

1 g

cm³→1000

A Massa específica e a densidade absoluta

Massa Específica Densidade Absoluta

A massa especifica de uma

substância é a razão entre a

massa e o volume da substância,

ρ=ms V_s

A densidade absoluta de um

corpo é a razão entre a massa e o volume daquele corpo,

d=mc V_c

ρ→massa específica da substância

m_s→massa da substância V_s→volume da substância

d→densidade do corpo m_c→massa da corpo

Densidade em materiais heterogêneos

Em materiais heterogêneos, utilizamos o conceito de densidade absoluta ao invés de massa específica.

A densidade absoluta, é uma média ponderada das densidades de materiais contidos naquele sistema:

Onde os d_i são as densidades de cada material.

Exemplo: Imagine que no corpo humano temos a mesma quantidade de gordura e ossos. Assim, sabendo que:

● A gordura do corpo humano possui densidade 940 kg/m³; ●

● Os ossos do corpo humano possuem densidade 1700 kg/m³.

A densidade do corpo humano será de 1010 kg/m³.

d=

∑

i

Tabela de densidade

Material ou objeto Densidade (kg/m³)

Espaço interestelar 10-20

Ar (20°C, 1 atm) 1,21

espuma 1x102

Água (20°C, 1atm) 0,998x103

Água do mar (20°C, 1atm) 1,024x103

Gelo 0,917x103

Ferro 7,9x103

Marcúrio 13,6x103

A Terra (média) 5,5x104

O Sol 1,3x103

Núcleo de Urânio 3x1017

Estrela de Nêutrons 1018

Densidade Relativa

É a relação entre a densidade da substância em causa e e a massa volúmica da substância de referência (a água é geralmente tomada como referência).

É uma grandeza adimensional, devido ao quociente.

Quando se diz que um corpo tem uma densidade de 5, quer dizer que tem uma massa volúmica 5 vezes superior à da água (no caso dos sólidos e líquidos).

Se quisermos fazer comparação entre gases, podemos calcular a densidade

relativa através do quociente entre as densidades absolutas dois dois gases, nas mesmas condições de temperatura e pressão:

δ=dmaterial

d_água

δ=d1 d₂

d₁→densidade absoluta do gás1.

Densidade Relativa

Quando dois fluidos que não se misturam (imiscíveis) são colocados num mesmo recipiente, eles se dispões de modo que o fluido de maior densidade ocupe a parte de baixo, e o de menor densidade a parte de cima.

Se , então:d₂>d₁

δ=d1

A Densidade como função da temperatura

Em dilatação térmica volumétrica, vimos que podemos escrever o volume final como

Desta forma, podemos escrever a densidade como

V_f=V_i(1+γ ΔT)

d=mc V_c

d(T)= mc

A Densidade da água

Temperatura (°C) Densidade (kg/m³)

100 958,4

80 971,8

60 983,2

40 992,2

30 995,6502

25 997,0479

22 998,2071

20 999,1026

15 999,1026

10 999,7026

4 999,9720

0 999,8395

A Densidade do ar

Temperatura (°C) Densidade (kg/m³)

-10 1,342

-5 1,316

0 1,293

5 1,269

10 1,247

15 1,225

20 1,204

25 1,184

30 1,165

Tabela de Propriedades dos Fluidos

0,791 7910 791 Acetona 0,789 7890 789 Etanol 0,820 8200 820 Querosene 0,850 8500 850 Petróleo bruto 0,880 8800 880 Óleo lubrificante 13,6 136000 13600 Mercúrio 0,720 7200 720 Gasolina 0,879 8790 879 Benzeno 1,025 10250 1025 Água do mar

1 10000

1000 Água

Peso específico Relativo -γr Peso Específico

-γ(N/m³) Massa Específica

Exemplo

1) Sabendo-se que 1500kg de massa de

uma determinada substância ocupa um

volume de 2m³, determine a massa

específica, o peso específico e o peso

específico

relativo

dessa

substância.

Dados:

Exemplo

V

m

=

ρ

2

1500

=

ρ

750

=

ρ

Massa Específica: kg/m³

Peso Específico: Peso Específico Relativo:

O H r 2

γ

γ

γ

₌

10000

7500

=

r

γ

75

,

0

=

r

γ

Solução:

γ=ρ

g

γ=

750

kg

m

³

10

m

s

²

γ=

7500

N

Exemplo

2) Um reservatório cilíndrico possui

diâmetro de base igual a 2m e altura de

4m, sabendo-se que o mesmo está

totalmente preenchido com gasolina (ver

propriedades na Tabela), determine a

massa

de

gasolina

presente

no

Exemplo

Solução:

h A

V _{= b ⋅} V ₌ ⋅d _⋅h

4 2 π 4 4 22 ⋅ ⋅ = π

V V ₌12,56

Volume do Reservatório

m³

Massa Específica

720

=

ρ

kg/m³ (obtido na tabela de propriedades dos fluidos)

V

m

₌

_ρ

_⋅

m

₌

720

_⋅

12

,

56

m

₌

9047

,

78

V

m

=

Exercícios Propostos

1) A massa específica de uma determinada

substância é igual a 740kg/m³, determine o

volume ocupado por uma massa de 500kg dessa

substância.

2) Sabe-se que 400kg de um líquido ocupa um

reservatório com volume de 1500 litros,

determine sua massa específica, seu peso

específico e o peso específico relativo. Dados:

Exercícios Propostos

3) Determine a massa de mercúrio presente em

uma garrafa de 2 litros. (Ver propriedades do

mercúrio na Tabela). Dados: g = 10m/s², 1000

litros = 1m³.

4) Um reservatório cúbico com 2m de aresta está

completamente cheio de óleo lubrificante (ver

propriedaes na Tabela). Determine a massa de

óleo quando apenas ¾

do tanque estiver

ocupado. Dados:

Exercícios Propostos

5) Sabendo-se que o peso específico relativo de

um determinado óleo é igual a 0,8, determine seu

peso específico em N/m³. Dados:

Pressão (P)

De maneira geral:

P=

|

d F⃗ d S

|

De maneira particular:

P=F A

Unidade:

[P]=[F]

[A] [P]=

N

m2 [P]=Pa ,

onde Pa≡N/m2.

Unidades de Pressão

Pascal (pa) – Unidade usada no SI.

Atmosfera (atm) – 1 atm corresponde à pressão exercida pela atmosfera terrestre sob nós, 1atm = 760 mmHg.

Milímetros de Mercúrio (mmHg) ou Torricelli – Unidade de pressão inventada com o surgimento do barômetro.

Bária – Unidade de pressão do Sistema CGS, vale uma dyn/cm².

Bar – é um múltiplo de bária, onde 1bar = 106 _bárias.

Milibar ou hectoPascal – Utilizado na meteorologia, 1hPa = 100Pa

Comparação entre as unidades de pressão

1 bar 105 _Pa

1 barye 0,1Pa

1 milibar 100Pa

1 atm 101.325,0Pa

1 mmHg (Torr) 133.322,0 Pa

1 cm H₂O 98.063,8Pa

Exemplos

Exemplos

Área da Placa:

m2

Determinação da Pressão:

N/m2

4

2

d

A

₌

π

⋅

Exemplos

Exemplos

Cálculo do Peso:

A

F

P

₌

A

P

F

₌

_⋅

2

5000

_⋅

=

F

F

₌

10000

N

A Força calculada corresponde ao peso

da placa

Exercícios Propostos

1) Uma caixa d'água de área de base

1,2m X 0.5 m e altura de 1 m pesa

1000N que pressão ela exerce sobre o

solo?

a) Quando estiver vazia

b) Quando estiver cheia com água

Exercícios Propostos

Exercícios Propostos

3) Converta as unidades de pressão para o sistema indicado. (utilize

os fatores de conversão apresentados na tabela).

a) converter 20psi em Pa.

b) converter 3000mmHg em Pa.

c) converter 200kPa em kgf/cm².

d) converter 30kgf/cm² em psi.

e) converter 5bar em Pa.

Exercícios Propostos

4) Converta as unidades de pressão para o sistema

indicado. (utilize os fatores de conversão apresentados na

tabela).

a) converter 2atm em Pa.

b) converter 3000mmHg em psi.

c) converter 30psi em bar.

d) converter 5mca em kgf/cm².

e) converter 8bar em Pa.

Pressão devido à gravidade

Consideremos três recipientes cujo a abertura superior do recipiente possui uma seção transversal diferente, se pensarmos que a pressão manométrica destes recipientes serão:

ΔP=p−P₀=d gh, onde d→massa específica do fluido .

Apesar do volume de fluido ser diferente nos três recipientes, eles possuem a

Pressão devido à gravidade

Se alterarmos a altura entre os recipientes, tendo como base ainda que a pressão manométrica é

ΔP=ρgh , onde Veremos que:h→altura envolvida .

A pressão devido ao peso do líquido nas paredes do recipiente

Vamos considerar o líquido sob ação da sua força peso descartando qualquer outra possível força atuando sobre a superfície do líquido.

A pressão, devida à gravidade, no ponto A de um líquido depende da distância h do ponto A até a superfície do líquido, de modo que:

A pressão devido ao peso do líquido nas paredes do recipiente

Imagine separarmos o recipiente em várias pequenas tiras horizontais,

poderemos expressar a força exercida pelo líquido como

ΔF_i=P_iΔS_i

A pressão devido ao peso do líquido nas paredes do recipiente

Imagine separarmos o recipiente em várias pequenas tiras horizontais,

poderemos expressar a força exercida pelo líquido como

Podemos ver que a força é diretamente proporcional à distância h da superfície do líquido.

ΔF_i=P_iΔS_i

A pressão devido ao peso do líquido nas paredes do recipiente

A pressão devido ao peso do líquido nas paredes do recipiente

Podemos observar que as forças que o líquido exerce nas paredes verticais do recipiente se balanceiam duas a duas.

De modo que somente as forças exercidas pelo líquido no fundo do recipiente não são balanceadas, estas forças é que serão

A pressão devido ao peso do líquido nas paredes do recipiente

Consideremos o efeito do peso do líquido nas paredes de um reservatório sem um forma regular. Por exemplo, com duas paredes curvadas.

A pressão, devida à gravidade, no ponto A ainda se mantém

A pressão devido ao peso do líquido nas paredes do recipiente

Separando o recipiente em várias

pequenas tiras horizontais, poderemos expressar a força (em módulo) exercida pelo líquido como:

Agora, vejamos o problema por outra perspectiva.

A pressão devido ao peso do líquido nas paredes do recipiente

Esta é a ánalise da força exercida pelo líquido no recipiente.

A pressão devido ao peso do líquido nas paredes do recipiente

A pressão devido ao peso do líquido nas paredes do recipiente

E podemos calcular analiticamente, que as componentes verticais da força é que irão compor o peso do líquido.

É importante notar que quanto mais

perto do fundo do recipiente, maior será a contribuição para o peso do líquido.

Também algumas forças verticais com direção para cima atuam no recipiente

1)

A figura representa a seção de um contêiner preenchido com

um líquido. Qual das figuras representa corretamente a

distribuição de forças nas paredes do contêiner?

a) O da esquerda;

b) o da direita.

Exercícios Propostos

2) Qual a pressão, em kgf/cm

2

_{, no fundo de um reservatório que}

contém água, com 3m de profundidade? Faça o mesmo cálculo para

um reservatório que contém gasolina (peso específico relativo =

0,72).

3) O nível de água contida em uma caixa d’água aberta à atmosfera

se encontra 10m acima do nível de uma torneira, determine a pressão

de saída da água na torneira.

Princípio de Pascal

Pela lei de Stevin, a diferença de dois pontos de um líquido homogênio em

equilíbrio é constante, dependendo apenas do desnivel em equilíbrio é constante, dependendo apenas do desnivel entre esses pontos. Logo, se produzimos uma variação de pressão num ponto de um líquido em equilíbrio, essa variação se transmite a todos o líquido, ou seja, todos os pontos do líquido sofrem a mesma variação.

Pascal enunciou: “Uma variação da pressão aplicada a um fluido imcompressível contido em um recipiente é transmitida integralmente a todas as partes do fluido e às paredes do recipiente.”

Prensa Hidráulica - Demostração

⃗

F_e→força de entrada

⃗

F_s→força de saida A_e→área de entrada A_s→área de saida

p₁=p_e+ρg h _e, p₂=p_s+ρg h p₁−p_e=ρg h _e, p₂−p_s=ρg h

Ou seja, Princípio de Pascal

Prensa Hidráulica - Demostração

Δ p_e=Δ p_s

Δ p_e=Fe A_e

Mas como

e Δ p_s= Fs

A_s

Então,

F_e A_e=

F_s A_s

Ou mesmo,

F_s= As

A_e Fe , como

A_s>A_e As A_e>1

Com isto sou capaz de a partir de uma força F_e, gerar uma força F_s maior, que não

Prensa Hidráulica

Exemplo

Exemplo

Solução:

Força atuante em A:

B B A A

A

F

A

F

=

g

m

F

_A

₌

_A

_⋅

10

100

_⋅

=

A

F

1000

=

A

F

80

20

1000

F

_B

=

80

20

1000

_⋅

=

B

F

250

=

B

F

g

m

F

_B

₌

_B

_⋅

g

F

m

_B

₌

B

10

250

=

B

m

25

=

B

m

N

Força atuante em B:

N

Massa em B:

Exercícios Propostos

Exercícios Propostos

Exercícios Propostos

3) Na prensa hidráulica mostrada na figura, os diâmetros dos tubos 1

e 2 são, respectivamente, 4cm e 20cm. Sendo o peso do carro igual a

10000N, determine:

a) a força que deve ser aplicada no tubo 1 para equilibrar o carro.

Vasos Comunicantes

Quando dois líquidos que não se misturam (imiscíveis) são colocados num mesmo recipiente, eles se dispõem de modo que o líquido de maior densidade ocupe a parte de baixo e o de menor densidade a parte de cima. A superfície de separação entre eles é horizontal.

Caso os líquidos imiscíveis sejam colocados num sistema constituídos por vasos comunicantes, como um tubo em U, eles se dispõem de modo que as alturas das colunas líquidas, medidas a partir da superfície de separação, sejam proporcionais às respectivas densidades.

d <d

Se

d₂h₂=d₁h₁

h =d1h

Exemplo

1) O tubo em forma de U contém dois líquidos em equilíbrio estático; do lado direito

existe água de massa específica ρ_a= 998 kg/m³, e no esquerdo existe óleo de

massa específica desconhecida ρ_óleo. Os valores das distâncias indicadas na figura

Exemplo

Solução:

Pelo teorema de Stevin,

p_oleo=p_atm+ρ_oleog(l+d)

p_a=p_atm+ρ_ag l

P/ o óleo

P/ a água

Na interface:

p_a=p_oleo

Principio de pascal

p_atm+ρ_agl=p_atm+ρ_oleog(l+d)

ρ_al=ρ_oleo(l+d) l

ρ_oleo= 135mm

(135+12,3)mm 998 kg m³

ρ_oleo=914,66 kg

Exercícios Propostos

1) Um bloco cúbico de madeira com peso específico

γ

_{= 6500N/m³,}

com 20 cm de aresta, flutua na água (

). Determine a

altura do cubo que permanece dentro da água.

2) Um bloco pesa 50N no ar e 40N na água. Determine a massa

específica do material do bloco. Dados:

ρ

_H2O

_{= 1000kg/m³ e g = 10m/s².}

3) Um corpo com volume de 2,0m³

e massa 3000kg encontra-se

totalmente imerso na água, cuja massa específica é (

ρ

_H2O

=

1000kg/m³). Determine a força de empuxo sobre o corpo.

ρ_H

Tópicos Abordados Nesta Aula

●

Flutuação e Empuxo.

●

Princípio de Arquimedes

Empuxo (E)

Quando se mergulha um corpo em um líquido, seu peso aparente

diminui, chegando às vezes a parecer totalmente anulado (quando o corpo

flutua). Esse fato se deve à existência de uma força vertical de baixo para

cima, exercida no corpo pelo líquido, a qual recebe o nome de

Empuxo

.

Princípio de Arquimedes

A teoria para a obtenção da força de empuxo está diretamente relacionada

ao Princípio de Arquimedes que diz:

“Todo corpo imerso, total ou parcialmente, num fluido em equilíbrio, dentro

de um campo gravitacional, fica sob a ação de uma força vertical, com

sentido ascendente, aplicada pelo fluido. Esta força é denominada

Princípio de Arquimedes

O Princípio de Arquimedes permite calcular a força que um fluido (líquido

ou gás) exerce sobre um sólido nele mergulhado.

Para entender o Princípio de Arquimedes, imagine a seguinte situação: um

copo totalmente cheio d'água e uma esfera de chumbo. Se colocarmos a

esfera na superfície da água, ela vai afundar e provocar o extravasamento

de uma certa quantidade de água. A força que a água exerce sobre a

Exemplo de Aplicação

Um exemplo clássico da aplicação do Princípio de arquimedes são os

movimentos de um submarino. Quando o mesmo estiver flutuando na

superfície, o seu peso terá a mesma intensidade do empuxo recebido.

Para que o submarino afunde, deve-se aumentar o seu peso, o que se

consegue armazenando água em reservatórios adequados em seu

interior. Controlando a quantidade de água em seus reservatórios, é

Flutuação do Submarino

Para que o submarino volte a flutuar, a água deve ser expulsa de seus

Formulação Matemática do Empuxo

Como citado, o Princípio de Aquimedes diz que o empuxo é igual ao peso

do líquido deslocado, portanto, pode-se escrever que:

Na equação apresentada,

E

representa o empuxo e

m

_L

a massa do líquido

deslocado. Essa mesma equação pode ser reescrita utilizando-se

considerações de massa específica, pois como visto anteriormente

Portanto, , assim:

Nesta equação, representa a messa específica do líquido e V

_L

o

volume de líquido deslocado. Pela análise realizada é possível perceber

que o empuxo será tento maior quanto maior for o volume de líquido

deslocado e quanto maior for a densidade deste líquido.

ρ=m/V m_L=ρ_LV_L

E=ρ_LV_Lg

ρ_L

Considerações sobre o Empuxo

Três importantes considerações podem ser feitas com relação ao empuxo:

a) se , tem-se e, neste caso, o corpo afundará no líquido.

b) se , tem-se e, neste caso, o corpo ficará em equilíbrio

quando estiver totalmente mergulhado no líquido.

c) se , tem-se e, neste caso, o corpo permanecerá boiando na

superfície do líquido.

Desta forma, é possível se determinar quando um sólido flutuará ou

afundará em um líquido, simplesmente conhecendo o valor de sua massa

específica.

ρ_L<ρ_{C E<P}

ρL=ρC E=P

Exemplo

1) Um objeto com massa de 10kg e volume de 0,002m³ está

totalmente imerso dentro de um reservatório de água (

ρ

_H2O

=

1000kg/m³), determine:

a) Qual é o valor do peso do objeto? (utilize g = 10m/s²)

b) Qual é a intensidade da força de empuxo que a água exerce sobre

o objeto?

Exemplo

a) Peso do Corpo:

N

b) Empuxo:

g

m

P

_c

₌

⋅

10

10

⋅

=

c

P

100

=

c

P

c

V

g

E

₌

_ρ

⋅

⋅

002

,

0

10

1000

⋅

⋅

=

E

20

=

E

E

P

P

_A

₌

_c

−

20

100

−

=

A

P

80

=

A

P

c) Peso Aparente:

N

N

P_c E

Exercícios Propostos

1) Um bloco cúbico de madeira com peso específico

γ

_{= 6500N/m³,}

com 20 cm de aresta, flutua na água (

). Determine a

altura do cubo que permanece dentro da água.

2) Um bloco pesa 50N no ar e 40N na água. Determine a massa

específica do material do bloco. Dados:

ρ

_H2O

_{= 1000kg/m³ e g = 10m/s².}

3) Um corpo com volume de 2,0m³

e massa 3000kg encontra-se

totalmente imerso na água, cuja massa específica é (

ρ

_H2O

=

1000kg/m³). Determine a força de empuxo sobre o corpo.