Aperfeiçoamento e desenvolvimento de ferramentas do controle estatístico da qualidade: utilizando quartis para estimar o desvio padrão

(1)

UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA CATARINA PROGRAMA DE P ÓS-GRADUAÇ ÃO EM

ENGENHARIA DE PRODUC¸ ˜AO E SISTEMAS

Aperfei¸coamento e Desenvolvimento de Ferramentas

do Controle Estat´ıstico da Qualidade - Utilizando

Quartis para Estimar o Desvio Padr˜

ao

Edson Marcos Leal Soares Ramos

Orientador: Prof. Robert Wayne Samohyl,Ph.D.

(2)

Edson Marcos Leal Soares Ramos

Aperfei¸coamento e Desenvolvimento de Ferramentas

do Controle Estat´ıstico da Qualidade - Utilizando

Quartis para Estimar o Desvio Padr˜

ao

Tese apresentada ao Programa de

P´os-Gradua¸c˜ao em Engenharia de

Produ¸c˜ao da Universidade Federal de

Santa Catarina como requisito

par-cial para a obten¸c˜ao do grau de

Doutor em Engenharia de Produ¸c˜ao.

´

Area de Concentra¸c˜ao: Gest˜

ao da Qualidade e Produtividade

Orientador: Prof. Robert Wayne Samohyl,Ph.D.

(3)

FICHA CATALOGR ´AFICA

R175a Ramos, Edson Marcos Leal Soares

Aperfei¸coamento e desenvolvimento de ferramentas do controle estat´ıstico da qualidade - Utilizando quartis para estimar o desvio padr˜ao / Edson Marcos Leal Soares; orientador Robert Wayne Samohyl. - Florian´opolis, 2003.

130 f. : il. ; gr´afs. ; tabs.

Tese (Doutorado) - Universidade Federal de Santa Catarina, Programa de Pós-Gradua¸cão em Engenharia de Produ¸cão, 2003.

Inclui bibliografia.

1. Controle de qualidade - Métodos estat´ısticos. 2. Métodos gráficos. 3. Fer-ramentas - Desenvolvimento. 4. Quartis. I. Samohyl, Robert Wayne. II. Uni-versidade Federal de Santa Catarina. Programa de Pós-Gradua¸cão em Engenha-ria de Produ¸cão. III. T´ıtulo.

CDU: 658.5

(4)

Edson Marcos Leal Soares Ramos

Aperfei¸coamento e Desenvolvimento de Ferramentas

do Controle Estat´ıstico da Qualidade - Utilizando

Quartis para Estimar o Desvio Padr˜

ao

Esta tese foi julgada e aprovada para a obten¸cão do grau de Doutor em Engenharia de Produ¸cão no Programa de Pós-Gradua¸cão em Engenharia de Produ¸cão da Universidade Federal de Santa Catarina.

Florian´opolis, 15 de Abril de 2003

Prof. Edson Pacheco Paladini, Dr.

(Coordenador do Programa de Pós-Gradua¸cão em Engenharia de Produ¸cão)

Banca Examinadora

Prof. Robert Wayne Samohyl, Ph.D. Universidade Federal de Santa Catarina Orientador

Prof. Gustavo Daniel Donatelli, Dr. Prof. Manoel Raimundo de Sena J´unior, Dr. Universidade Federal de Santa Cantarina Universidade Federal de Pernambuco

Moderador/Examinador Examinador

Prof. Miguel Angel Verdinelli, Dr. Profa. Verˆonica Maria Costa Rom˜ao, Dra. Universidade Federal de Santa Catarina Universidade Federal de Pernambuco

(5)

`

(6)

Agradecimentos

? `A Deus que me concedeu a vida e a inspira¸c˜ao necess´aria para chegar ao final deste trabalho;

? Ao meu orientador, Professor Robert Samohyl, por acreditar em minha capacidade e

pelo grande apoio dado em todos os momentos de dificuldade;

? Aos professores do PPGEP-UFSC, que de alguma forma contribu´ıram para o crescimento

de meu conhecimento, em especial aos professores Ana L´ucia e Miguel Verdinelli;

? Aos professores e funcion´arios do Departamento de Estat´ıstica da UFPA, em especial

aos professores Ely Ciqueira, H´eliton e Regina Tavares, pelo apoio e confian¸ca que sempre depositaram em mim;

? Aos amigos de Pernambuco, Gauss Cordeiro, Cl´audia Regina, Manoel Sena, Tatiene

Cor-reia, Enivaldo Rocha, Jacira, Cl´audio, Val´eria e Cristina Raposo, pelo est´ımulo e amizade;

? Aos amigos Andr´ea, Ed´er, Berenice, Daniel, Rubson, Ivanete, Rodrigo, Rafael, Adauto,

Wesley, Luciana, Ricardo, Luciano e Florence, pela amizade e pelos bons momentos em Floripa;

? Aos amigos Michel Ferreira, Manoel Domingos e Telma Figueir´o, pela amizade, amor,

carinho e pela presen¸ca constante mesmo de t˜ao longe;

? `A Patr´ıcia Tavares, pela grande amizade, apoio, compreensão, amor, pelas longas horas de tradu¸cão e corre¸cões nos textos deste trabalho e pela presen¸ca nos bons momentos em Santa Catarina;

? `A Adrilayne Araújo, pela eterna amizade, incentivo, amor, presen¸ca constante e incal-culável apoio para a realiza¸cão deste trabalho;

? `As minhas companheiras nesta jornada, Yasmin Ramos, S´ılvia Almeida e Eliane Silva, pelo amor, compreensão, carinho e por terem participado de todos os momentos que levaram à realiza¸cão deste trabalho;

? Aos meus pais, irm˜aos e sobrinhos, por aceitarem a distˆancia e sempre me demonstrarem

confian¸ca;

(7)

“H´a entre o tempo e o destino

um caso antigo, um elo, um par.

O que pode acontecer, menino,

se o tempo n˜ao passar?”.

(8)

Resumo

RAMOS, Edson Marcos Leal Soares. Aperfei¸coamento e Desenvolvimento de Ferramentas do Controle Estat´ıstico da Qualidade - Utilizando Quartis para Estimar o Desvio Padrão. 2003. Tese (Doutorado em Engenharia de Produ¸cão) - PPGEP/UFSC, Florianópolis - SC, Brasil.

O objetivo deste trabalho é aperfei¸coar e desenvolver ferramentas do controle estat´ıstico da qualidade, através da utiliza¸cão de um estimador do desvio padrão σ baseado nos quartis. A teoria utilizada para estimar σ através dos quartis foi desenvolvida e o estimador do desvio padrão apresentado. Resultados de simula¸cões demonstram que as estimativas de

σ, obtidas a partir do estimador baseado nos quartis s˜ao, em geral, mais pr´oximas do

verdadeiro valor do parˆametro do que as estimativas produzidas por ¯R/d2 e ¯S/cn. Quando

o estimador proposto de σ for utilizado nas aplica¸cões, a poss´ıvel falta de capacidade do processo em atender às exigências, tende ser mais rapidamente detectada do que quando

¯

R/d2 é utilizado. Durante a aplica¸cão verificou-se que os limites obtidos para os gráficos

de controle reduzem a probabilidade de ocorrência de alarmes falsos (erro tipo I). Na presen¸ca de outliers, o estimador de σ proposto produz estimativas, para a linha central e para os limites de controle, mais robustas do que o método padrão de Shewhart. De fato, o método proposto detecta a presen¸ca de observa¸cões extremas no processo, enquanto que o método de Shewhart não o faz. Quatro ´ındices de capacidade do processo e cinco gráficos de controle foram aperfei¸coados para monitorar o n´ıvel e a dispersão do processo. Tabelas com fatores empregados na constru¸cão dos gráficos de controle, quando σ é estimado a partir dos quartis, são apresentadas. E finalmente, duas novas ferramentas gráficas para o controle estat´ıstico da qualidade foram desenvolvidas e apresentadas.

(9)

Abstract

RAMOS, Edson Marcos Leal Soares. Tools Improvement and Development of the Statis-tical Quality Control - Using Quartiles to Estimate the Standard Deviation. 2003. Thesis (Doctoral in Industrial Engineering) - PPGEP/UFSC, Florian´opolis - SC, Brazil.

The objective of this work is to improve and develop tools of the Statistical Quality Control, by using an estimator of the standard deviation σ based on the quartiles. The theory used to estimate σ through quartiles was developed and the standard deviation’s estimator was presented. Results of simulations show that estimates of σ obtained from the estimator based on quartiles, are in general closer to the parameter’s true value, than the estimates produced by ¯R/d2 and ¯S/cn. When the σ proposed estimator was

used in applications, the possible lack of the process capability to meet the requirements tended to be more quickly detected than when ¯R/d2 was used. During application it

was noted that the limits obtained by the control charts reduces the probability of false alarms occurs (type I error). In the present of outliers, the σ proposed estimator produces estimates, for the central line and control limits, more robust than the pattern Shewhart’s method. In fact, the σ proposed estimator detects the extreme observations present in the process, while Shewhart’s method fails. Four process capability indices and five control charts were improved in order to monitor the level and the spread process. Tables with factors used in the control charts construction, when σ is estimated from the quartiles, are presented. Finally, two new graphic tools for the statistical quality control were developed and presented.

(10)

´Indice

Resumo viii

Abstract ix

Lista de Tabelas xii

Lista de Figuras xiv

1 Introdu¸c˜ao 1

1.1 Aspectos Gerais . . . 1

1.2 Justificativa e Importˆancia do Trabalho . . . 3

1.3 A Hip´otese B´asica da Tese . . . 4

1.4 Objetivos . . . 4

1.4.1 Objetivo Geral . . . 4

1.4.2 Objetivos Espec´ıficos . . . 4

1.5 As Limita¸c˜oes do Trabalho . . . 5

1.6 Estrutura do Trabalho . . . 5

2 Visão Geral de Gráficos de Controle 7 2.1 Introdu¸cão . . . 7

2.2 Algumas das Principais Pesquisas Envolvendo Gr´aficos de Controle . . . 8

2.3 Princ´ıpios dos Gr´aficos de Controle . . . 12

2.4 Gr´afico de Controle na Pr´atica . . . 13

2.5 Planejamento de um Gr´afico de Controle . . . 15

2.6 Benef´ıcios da Utiliza¸c˜ao dos Gr´aficos de Controle . . . 17

2.7 Tipos de Gr´aficos de Controle . . . 18

2.8 Teste de Hip´otese e Gr´aficos de Controle . . . 19

3 Gráficos de Controle para Variáveis 21 3.1 Introdu¸cão . . . 21

3.2 Gr´aficos de Controle para Monitorar a Dispers˜ao do Processo . . . 23

3.2.1 Gráfico do Desvio Padrão (Gráfico S) . . . 23

3.2.2 Gráfico da Variância (Gráfico S2_{) . . . 26}

3.2.3 Gr´afico da Amplitude (Gr´afico R) . . . 28

3.3 Gr´aficos de Controle para Monitorar o N´ıvel do Processo . . . 31

(11)

xi

3.3.2 Gr´afico da Mediana (Gr´afico ˜X) . . . 35

4 ´Indices de Capacidade do Processo 42 4.1 Introdu¸c˜ao . . . 42

4.2 ´Indice Cp . . . 43

4.2.1 Teste de Hip´oteses e o ´Indice Cp . . . 47

4.3 ´Indices Cpu, Cpl e Cpk . . . 47

5 Princ´ıpios de Estima¸c˜ao em Controle Estat´ıstico da Qualidade 50 5.1 Introdu¸c˜ao . . . 50

5.2 Propriedades dos Estimadores . . . 51

5.3 Estimando a Dispers˜ao do Processo . . . 53

5.4 Estimando o N´ıvel do Processo . . . 55

6 Estimando o Desvio Padrão Amostral Através dos Quartis 58 6.1 Introdu¸cão . . . 58

6.2 Fun¸c˜ao de Distribui¸c˜ao Amostral . . . 61

6.3 Quantil Populacional e Quantil Amostral . . . 62

6.4 Estimador do Desvio Padr˜ao Amostral Baseado nos Quartis . . . 64

6.5 Simula¸c˜oes . . . 67

7 Aplica¸c˜ao 73 7.1 Introdu¸c˜ao . . . 73

7.2 ¯Q Aplicado aos Gráficos de Controle para Variáveis para Monitorar a Dis-persão do Processo . . . 74

7.2.1 ¯Q Aplicado ao Gr´afico do Desvio Padr˜ao . . . 74

7.2.2 ¯Q Aplicado ao Gr´afico da Variˆancia . . . 76

7.2.3 ¯Q Aplicado ao Gr´afico da Amplitude . . . 78

7.3 ¯Q Aplicado aos Gr´aficos de Controle para Vari´aveis para Monitorar o N´ıvel do Processo . . . 80

7.3.1 ¯Q Aplicado ao Gr´afico da M´edia . . . 80

7.3.2 ¯Q Aplicado ao Gr´afico da Mediana . . . 82

7.4 ¯Q Aplicado aos ´Indices de Capacidade . . . 85

7.5 ¯Q Aplicado ao Desenvolvimento de Novas Ferramentas para o CEQ . . . 87

7.5.1 Gr´afico ¯Q . . . 87

7.5.2 Gr´afico Q2 . . . 89

8 Considera¸cões Finais e Recomenda¸cões 94 8.1 Considera¸cões Finais . . . 94

8.2 Recomenda¸cões . . . 96 A Tabelas dos Fatores para Constru¸cão de Gráficos de Controle 98

B Tabelas com Exemplos para Aplica¸c˜ao 104

(12)

Lista de Tabelas

6.1 M´edias Amostrais das estimativas obtidas por ¯R/d2, IQ/ξn e ¯S/cn para o

desvio padrão σ, juntamente com seus respectivos erros quadráticos médios dentro de parênteses. . . 69 6.2 Médias Amostrais das estimativas obtidas por ¯S2 _{e ¯}_Q2 _{para a Variância}

σ2_{, juntamente com seus respectivos erros quadr´aticos m´edios dentro de}

parˆenteses. . . 71 7.1 Linha Central e Limites de Controle para o Gr´afico S - Dados de medidas

de temperatura do eletrodo (o_{C), apresentados na Tabela B.2 do Apˆendice}

B. . . 76 7.2 Linha Central e Limites de Controle para o Gr´afico S2 _{- Dados de medidas}

de temperatura do eletrodo (o_{C), mostrados na Tabela B.2 do Apˆendice B.} ₇₈

7.3 Linha Central e Limites de Controle para o Gráfico R - Dados de medidas do diâmetro interno (mm) de anéis de pistões, mostrados na Tabela B.1 do Apêndice B. . . 79 7.4 Linha Central e Limites de Controle para o Gráfico ¯X - Dados de medidas

do diâmetro interno (mm) de anéis de pistões, mostrados na Tabela B.1 do Apêndice B. . . 81 7.5 Linha Central e Limites de Controle para o Gráfico ˜X - Dados do exemplo

da Tabela B.3 do Apˆendice B. . . 85 7.6 Estimativas para os ´Indices de Capacidade Cpl e Cpu - Dados de medidas

de temperatura do ´oleo (o_{C) do misturador, mostrados na Tabela B.3 do}

Apêncide B. . . 86 7.7 Fatores utilizados na constru¸cão do Gráfico Q2. . . 91

A.1 Fatores para constru¸cão de gráficos de controle para variáveis - Gráficos de controle para dispersão do processo. . . 99 A.2 Fatores para constru¸cão de gráficos de controle para variáveis - Gráficos de

controle para dispersão do processo. (continua¸cão) . . . 100 A.3 Fatores para constru¸cão de gráficos de controle para variáveis - Gráficos de

controle para o n´ıvel do processo. . . 101 A.4 Fatores para constru¸cão de gráficos de controle para variáveis - Gráficos de

controle para a dispersão do processo. . . 102 A.5 Fatores para constru¸cão de gráficos de controle para variáveis - Gráficos de

(13)

xiii

B.1 Medidas do diâmetro interno (mm) durante a fabrica¸cão de anéis de pistão. 105 B.2 Medidas de temperatura do eletrodo (o_{C) durante a produ¸cão de alum´ınio}

- Fevereiro/2003. . . 106 B.3 Medidas de temperatura do ´oleo (o_{C) do misturador durante a produ¸c˜ao}

de alum´ınio - Fevereiro/2003. . . 107 B.4 Medidas de temperatura do eletrodo (o_{C) durante a produ¸c˜ao de alum´ınio}

(14)

Lista de Figuras

2.1 Gráfico de Controle de Shewhart com Linhas de Controle e Advertência Bilaterais. . . 14 4.1 Rela¸cão entre a dispersão permitida do processo e a dispersão natural do

processo. . . 45 4.2 Rela¸c˜ao entre a faixa de especifica¸c˜ao utilizada, Cp e as unidades

não-conformes produzidas. . . 46 6.1 Compara¸cão de algumas medidas resistentes numa distribui¸cão simétrica. . 61 6.2 Compara¸cão entre as estimativas de σ, obtidas a partir de IQ/ξn e ¯R/d2,

para pequenos e moderados tamanhos amostrais (n = 5, 6, 8 e 10). . . 68 6.3 Compara¸cão entre os erros quadráticos médios dos estimadores ¯S/cn, ¯R/d2

e IQ/ξn, considerando σ2 = 1 e m = n, para tamanhos amostrais n =

3, 4, . . . , 25. . . 70 6.4 Compara¸c˜ao entre as estimativas de σ, obtidas a partir de IQ/ξn e ¯R/d2,

para grandes tamanhos amostrais (n = 15, 30, 50 e 100). . . 72 7.1 Gr´afico S para medidas de temperatura do eletrodo (o_{C) - σ estimado por}

¯

S/cn e IQ/ξn. . . 75

7.2 Gr´afico S2 _{para medidas de temperatura do eletrodo (}o_{C) - σ}2 _estimado

por ¯S2 _{e (IQ/ξ}

n)2. . . 77

7.3 Gráfico R para medidas do diâmetro interno (mm) de anéis de pistões - σ estimado por ¯R/d2 e IQ/ξn. . . 79

7.4 Gráfico ¯X para medidas do diâmetro interno (mm) de anéis de pistões - σ

estimado por ¯R/d2, ¯S/cn e IQ/ξn. . . 81

7.5 Gr´afico ¯X para medidas de temperatura do ´oleo (o_{C) do misturador - σ}

estimado por ¯S/cn e IQ/ξn. . . 82

7.6 Gr´afico ˜X para medidas de temperatura do ´oleo (o_{C) do misturador - σ}

estimado por ¯R/d2 e IQ/ξn. . . 84

7.7 Histograma para medidas de temperatura do ´oleo (o_{C) do misturador. . . . 86}

7.8 Gr´afico S para medidas de temperatura do ´oleo (o_{C) do misturador. . . 88}

7.9 Gr´afico ¯Q para medidas de temperatura do ´oleo (o_{C) do misturador. . . 89}

7.10 Gráfico da Distribui¸cão Normal Padrão. . . 90 7.11 Gráfico Q2 para medidas de temperatura do óleo (oC) do misturador. . . . 92

(15)

Cap´ıtulo 1

Introdu¸c˜

ao

1.1 Aspectos Gerais

Os métodos estat´ısticos cada vez mais vêm sendo reconhecidos como um importante instrumento para diagnosticar e otimizar a gestão e opera¸cão de diversos sistemas, desde os sistemas humanos aos mais complexos sistemas f´ısicos. As aplica¸cões destes vêm desem-penhando um papel importante na solu¸cão de muitos problemas, da indústria à agricul-tura, passando pelos setores sócio-econômico, administrativo e de saúde. Grande parte das mais avan¸cadas pesquisas cient´ıficas em diversas áreas do conhecimento dependem cada vez mais dos métodos estat´ısticos. Eles são cada vez mais empregados nas engenharias, sobretudo na Engenharia de Produ¸cão.

De fato, os métodos estat´ısticos aplicados à Engenharia de Produ¸cão, mais especifi-camente nas indústrias, não constituem novidade, eles são tão antigos como a própria indústria. Parte desses métodos, conhecidos como Controle da Qualidade, foram durante muito tempo aplicados sob a forma tradicional denominada “inspe¸cão”. Somente a partir de 1924 [veja Shewhart (1931)], no entanto, é que se desenvolveu o Controle Estat´ıstico da Qualidade (CEQ), cuja aplica¸cão vem se tornando generalizada nos pa´ıses industriali-zados.

Desde sua introdu¸cão por Shewhart, os gráficos de controle têm sido a ferramenta do CEQ mais amplamente utilizada para monitorar e manter o controle estat´ıstico dos processos. Gráficos de controle são aplicados para distinguir num processo as varia¸cões que não podem ser economicamente identificadas e corrigidas (causas aleatórias), daquelas que podem ser (causas assinaláveis).

Dentre os diversos tipos de gráficos de controle, os gráficos de controle para variáveis são, certamente, os mais empregados no controle estat´ıstico da qualidade, mais especificamente,

(16)

1.1 Aspectos Gerais 2

os gráficos desenvolvidos para monitorar o n´ıvel do processo, como por exemplo, o gráfico da média (gráfico ¯X), o gráfico da mediana (gráfico ˜X) e os gráficos desenvolvidos para

monitorar a dispersão do processo, como por exemplo, o gráfico do desvio padrão (gráfico

S), o gráfico da variância (gráfico S2_{) e o gráfico da amplitude (gráfico R).}

Os ´ındices de capacidade são outro exemplo de ferramentas bastante comuns do CEQ, utilizadas primordialmente para avaliar a habilidade de um processo em satisfazer às especifica¸cões exigidas. O controle estat´ıstico da qualidade não é simplesmente uma cole¸cão de técnicas estat´ısticas, mas uma forma de pensar que é essencial para a melhoria cont´ınua da qualidade.

Comprovadamente, métodos estat´ısticos como o CEQ são ferramentas eficazes no pro-cesso de investiga¸cão, análise e inferências nos mais variados tipos de ocorrências nas diversas áreas do conhecimento humano. Por exemplo, parece razoável supor que a dis-tribui¸cão das alturas dos brasileiros adultos possa ser representada por um modelo normal. Mas esta afirma¸cão não é suficiente para determinar qual a distribui¸cão normal corres-pondente; seria necessário conhecer os parâmetros (média e variância) desta distribui¸cão normal para que ela ficasse caracterizada. Se fosse poss´ıvel medir a altura de todos os brasileiros adultos, haveriam meios de obter a sua distribui¸cão exata e, da´ı, produzir os correspondentes parâmetros. Contudo, raramente se consegue obter a distribui¸cão exata de alguma variável, ou porque isto é muito dispendioso, ou muito demorado ou às vezes porque consiste num processo destrutivo. Por exemplo, se fosse observada a durabilidade de lâmpadas e se todas fossem testadas até queimarem, não restaria nenhuma para ser vendida. Assim, a solu¸cão é selecionar parte dos elementos (amostra), analisá-los, obter estimativas para os parâmetros desejados e inferir propriedades para o todo (popula¸cão). Seguramente, no controle estat´ıstico da qualidade, um dos maiores interesses é obter estimativas para o desvio padrão populacional σ. Logo, se o valor de σ da dispersão do processo não é conhecido, pode-se estimá-lo dos dados observados. Estimadores comuns de σ, utilizados no CEQ, baseiam-se no desvio padrão amostral S e na amplitude amostral

R.

Entretanto, apesar da presen¸ca obrigatória dos métodos de estima¸cão no controle es-tat´ıstico de qualidade, lacunas no processo de estima¸cão do desvio padrão σ, ainda pre-cisam ser preenchidas. Assim, esse trabalho procura apresentar uma alternativa para

(17)

es-1.2 Justificativa e Importˆancia do Trabalho 3

tima¸c˜ao de σ atrav´es dos quantis amostrais, mais especificamente, baseando-se nos quartis amostrais.

O estimador proposto possui a vantagem de reduzir a probabilidade de ocorrência de alarmes falsos (erro tipo I), quando aplicado aos gráficos de controle para variáveis, e também de melhorar a sensibilidade do processo de avalia¸cão de capacidade na deteçcão de um não atendimento dos processos às especifica¸cões exigidas. Ainda, novas ferramentas para o controle estat´ıstico de qualidade podem ser desenvolvidas a partir do estimador de

σ baseado nos quartis.

1.2 Justificativa e Importˆ

ancia do Trabalho

A pesquisa é justificada em virtude dos constantes avan¸cos na tecnologia empregada nos processos produtivos industriais, que exigem, além de um quadro de pessoal qualificado, métodos de controle estat´ıstico da qualidade capazes de monitorar, detectar e avaliar mudan¸cas nas caracter´ısticas de qualidade, durante o processo de produ¸cão, tão logo quanto poss´ıvel.

A quantifica¸cão da dispersão do processo é fundamental para entender a qualidade das unidades produzidas num processo fabril. Infelizmente, a total falta de compreensão estat´ıstica, a respeito dos estimadores de σ, por alguns usuários do controle estat´ıstico de qualidade, pode conduzir ao não comprometimento destes no processo de melhoria cont´ınua dos processos industriais, não assegurando desta forma a qualidade das unidades produzidas.

A utiliza¸cão de um estimador para σ baseado nos quartis melhora o entendimento dos usuários do CEQ a respeito do conceito de variabilidade do processo. Além disso, possibilita melhorias nas estimativas dos ´ındices utilizados para avaliar a capacidade dos processos e nos tradicionais gráficos de controle Shewhart para variáveis.

Finalmente, a metodologia proposta possibilita aos usu´arios e pesquisadores do CEQ o desenvolvimento e aperfei¸coamento de muitas ferramentas para o controle estat´ıstico da qualidade.

(18)

1.3 A Hip´otese B´asica da Tese 4

1.3 A Hip´

otese B´

asica da Tese

Parte-se da hipótese de que o estimador para σ, baseado nos quartis, reduz a probabili-dade de ocorrência de alarmes falsos (erro tipo I), quando aplicado aos gráficos de controle para variáveis e também melhora a sensibilidade dos ´ındices de capacidade em detectar um não atendimento dos processos às especifica¸cões exigidas. Ainda, possibilita o desen-volvimento de novas ferramentas para o controle estat´ıstico de qualidade, contribuindo desta forma para o aperfei¸coamento e desenvolvimento do CEQ.

1.4 Objetivos

1.4.1 Objetivo Geral

Este trabalho tem como objetivo aperfei¸coar e desenvolver ferramentas do controle estat´ıstico da qualidade, através da utiliza¸cão de um estimador para o desvio padrão σ baseado nos quartis.

1.4.2 Objetivos Espec´ıficos

Como objetivos espec´ıficos podem-se enumerar:

• Dar uma vis˜ao geral a respeito de gr´aficos de controle;

• Demonstrar o processo de constru¸cão e avalia¸cão dos gráficos de controle para

vari´aveis;

• Desenvolver a teoria de estima¸c˜ao de σ atrav´es dos quartis;

• Mostrar a metodologia de constru¸cão e avalia¸cão de gráficos de controle para

moni-torar o n´ıvel e a dispers˜ao do processo, quando σ for estimado a partir dos quartis;

• Criar tabelas com fatores para constru¸cão dos gráficos de controle da média,

media-na, amplitude, desvio padrão e variância, quando o estimador de σ é baseado nos quartis;

• Utilizar o estimador de σ baseado nos quartis, durante a avalia¸c˜ao da capacidade

(19)

1.5 As Limita¸c˜oes do Trabalho 5

• Avaliar o desempenho do estimador de σ baseado nos quartis, quando este for

uti-lizado nos ´ındices de capacidade e nos gr´aficos de controle;

• Apresentar um novo gr´afico de controle para monitorar e avaliar o n´ıvel do processo,

quando o estimador de σ baseado nos quartis ´e utilizado;

• Realizar a constru¸c˜ao de um novo gr´afico de controle para monitorar e avaliar a

dispers˜ao do processo, utilizando o estimador de σ baseado nos quartis.

1.5 As Limita¸c˜

oes do Trabalho

Como principais limita¸c˜oes deste trabalho tˆem-se:

• A escassez de material bibliogr´afico referente `a teoria dos quantis, mais

especifica-mente referentes aos quartis;

• A falta de acompanhamento in loco da aplica¸c˜ao dos gr´aficos de controle e dos ´ındices

de capacidade desenvolvidos dificultou a interpreta¸c˜ao e an´alise dos mesmos;

• A aplica¸cão em poucos processos reduziu a capacidade de análise e interpreta¸cão da

metodologia proposta.

1.6 Estrutura do Trabalho

Esta tese de doutorado encontra-se dividida em oito cap´ıtulos, a saber:

• Cap´ıtulo 1: refere-se à introdu¸cão do trabalho, onde são englobados a justificativa e

importância do trabalho, a hipótese do trabalho, objetivos geral e espec´ıficos, além das suas limita¸cões;

• Cap´ıtulo 2: traz uma vis˜ao geral a respeito dos gr´aficos de controle;

• Cap´ıtulo 3: mostra os gr´aficos para vari´aveis utilizados no monitoramento do n´ıvel

e da dispers˜ao do processo;

• Cap´ıtulo 4: apresenta os principais ´ındices para avalia¸c˜ao da capacidade dos

proces-sos;

(20)

1.6 Estrutura do Trabalho 6

• Cap´ıtulo 5: faz uma breve apresenta¸c˜ao dos princ´ıpios de estima¸c˜ao em controle

estat´ıstico da qualidade;

• Cap´ıtulo 6: traz toda estrutura de estima¸cão do desvio padrão amostral através dos

quartis;

• Cap´ıtulo 7: mostra a aplica¸c˜ao do estimador de σ baseado nos quartis, aos principais

gráficos de controle para variáveis, ´ındices de capacidade e na constru¸cão de novos gráficos de controle para monitorar o n´ıvel e a dispersão do processo;

(21)

Cap´ıtulo 2

Vis˜

ao Geral de Gr´

aficos de Controle

2.1 Introdu¸c˜

ao

A busca por métodos mais rigorosos de controle da qualidade que pudessem gerar mais confian¸ca nos produtos e servi¸cos conduziu à forma¸cão do Departamento de Engenharia e Inspe¸cão dos laboratórios da Bell Telephone, em 1924. Neste mesmo ano, Walter Andrew Shewhart introduz o conceito de gráficos de controle através de um memorando técnico nos laboratórios Bell, nele Shewhart apresenta um gráfico de controle, o qual mais tarde veio a ser chamado o primeiro gráfico de controle de Shewhart [veja Banks, 1989].

Os gráficos de controle são instrumentos que mostram a evolu¸cão do n´ıvel de opera¸cão do processo e de sua varia¸cão ao longo do tempo. Além disso, os gráficos de controle são ferramentas extremamente úteis para identificar se as varia¸cões observadas num processo são decorrentes de causas comuns de varia¸cão, conseqüentemente, de pequena importância, ou decorrentes de causas especiais de varia¸cão, e portanto, de grande importância, que necessitam ser identificadas e eliminadas do processo. Um gráfico de controle é um registro gráfico da qualidade de uma caracter´ıstica particular de um produto.

O procedimento de constru¸cão de gráficos de controle envolve, de forma geral, tomar amostras de tamanhos fixos em intervalos amostrais e através destas, obter estimativas para o n´ıvel e para a dispersão do processo. Estas estimativas são então utilizadas para determinar os limites de controle (superior e inferior) e a linha central dos gráficos.

Avan¸cos na tecnologia exigem dos usuários e pesquisadores dos gráficos de controle interesse em pôr estimadores cada vez mais precisos, tanto para o n´ıvel quanto para a dispersão do processo. Assim, uma das proposi¸cões deste trabalho é obter um estimador para a dispersão do processo baseado nos quartis para ser utilizado na constru¸cão de gráficos de controle.

(22)

2.2 Algumas das Principais Pesquisas Envolvendo Gr´aficos de Controle 8

Neste cap´ıtulo um breve relato dos diferentes tipos de gráficos de controle será feito, destacando a peculiaridade de cada um, mas considerando que eles têm o propósito primário de monitorar o processo. Para a utiliza¸cão na prática, os aspectos básicos para se aplicar um gráfico de controle são descritos. É destacado na fase de planejamento de um gráfico de controle, o cuidado na escolha do tamanho amostral e da especifica¸cão dos limites de controle, dentre outros, visto que estes passos constituem-se como fundamentais para a correta aplica¸cão desta ferramenta do controle estat´ıstico da qualidade. Além disso, alguns dos benef´ıcios advindos da aplica¸cão dos gráficos de controle são citados.

Por fim, esse cap´ıtulo encontra-se estruturado em oito se¸cões que discutirão os seguintes aspectos: a se¸cão 2.2 apresentará algumas das principais pesquisas envolvendo a utiliza¸cão e o desenvolvimento dos gráficos de controle; a Se¸cão 2.3 tecerá breves considera¸cões acerca dos princ´ıpios dos gráficos de controle; a Se¸cão 2.4 abordará a utiliza¸cão do gráfico de controle na prática; a Se¸cão 2.5 falará sobre o planejamento de um gráfico de controle; a Se¸cão 2.6 trará um breve relato acerca dos benef´ıcios da utiliza¸cão dos gráficos de controle; a Se¸cão 2.7 mostrará os tipos de gráficos de controle e, finalmente, a Se¸cão 2.8 enfocará brevemente a rela¸cão entre teste de hipótese e gráficos de controle.

2.2 Algumas das Principais Pesquisas Envolvendo Gr´

a-ficos de Controle

A aceita¸cão dos gráficos de controle de Shewhart nas indústrias é em parte devido à sua simplicidade. Seguramente, melhorar o desempenho destes gráficos e/ou propor novas metodologias de constru¸cão e utiliza¸cão, tornou-se um desafio dos pesquisadores e usuários do controle estat´ıstico da qualidade. Shewhart (1941), por exemplo, propõe testes adicionais para tornar os gráficos de controle sens´ıveis à pequenas mudan¸cas na média do processo. Moore (1957) mostra o efeito da não-normalidade quando gráficos de controle são utilizados. Ennerson e Manning (1959) apresentam um gráfico de controle para avaliar o desempenho do processo de forma rápida e simples. Dentre as vantagens da utiliza¸cão da metodologia proposta, verifica-se a redu¸cão do retrabalho e sucateamento, além da melhoria na confiabilidade do produto. Freud (1960) considera a utiliza¸cão dos gráficos de controle de Shewhart na indústria qu´ımica, comparando-os com gráficos de controle de aceita¸cão.

(23)

O gráfico de controle de regressão é apresentado por DiPaola (1945) para descrever e representar o controle simultâneo das rela¸cões entre duas variáveis. Mandel (1969) utiliza o gráfico de controle de regressão para estudar as rela¸cões entre o número de homens-horas trabalhadas e o volume de cartas processadas nas 74 maiores agências de correios dos EUA. Mitra (1988) utiliza a amplitude amostral como estimador de σ para constru¸cão dos limites de controle do gráfico de regressão.

Comumente, durante a constru¸cão de gráficos de controle são utilizados tamanhos de amostras constantes. Mitra (1957) tabela valores para constru¸cão de limites de controle, onde o tamanho amostral n é constante, baseados na média e amplitude de uma popula¸cão normal. Porém, existem situa¸cões em que o tamanho amostral n não é constante. Numa situa¸cão em que o tamanho amostral é variável, cada amostra pode conter um número diferente de observa¸cões. Neste contexto, Ferrell (1964) propõe construir gráficos de con-trole utilizando tamanhos de subgrupos variáveis. Neles são “plotadas” as amplitudes de varia¸cão do tamanho amostral, Rv, e as meias varia¸cões do tamanho amostral, Mv (uma

medida de tendˆencia central do subgrupo, um tipo de “m´edia”, isto corresponde a “plotar”

R e ¯X em gr´aficos de controle convencionais. Outra proposta, vista em Ferrell (1964), ´e

utilizar a mediana das amplitudes de varia¸c˜ao do tamanho amostral, ˜Rv, e a mediana

das meias varia¸c˜oes do tamanho amostral, ˜Mv, para estabelecer os limites de controle e

estimar as caracter´ısticas populacionais. Isto corresponde ao uso de ¯R e ¯¯X em gr´aficos de

controle convencionais.

Segundo Alloway e Raghavachari (1991), os limites de controle destes gráficos conven-cionais são exatos somente se a caracter´ıstica do processo em considera¸cão é normalmente distribu´ıda. Entretanto, Burr (1967) verifica que os usuais limites de controle para os gráficos ¯X − R são robustos às suposi¸cões de normalidade e podem ser empregados a

menos que a popula¸cão seja extremamente não-normal. Schilling e Nelson (1976) mostram que amostras de tamanhos quatro e cinco, para o gráfico ¯X, são suficientes para assegurar,

razoavelmente, a robustez para a suposi¸c˜ao de normalidade.

Contudo, se a verdadeira distribui¸cão do processo é desconhecida, então, gráficos de controle que são baseados em suposi¸cões distribucionais menos restritivas são úteis. Co-mumente, muitas distribui¸cões das caracter´ısticas de qualidade monitoradas têm mais volume na cauda (distribui¸cões caudalosas) do que a distribui¸cão normal. Vários

(24)

tat´ısticos envolvidos na aplica¸cão de gráficos de controle nos processos, por exemplo Gunter (1989), crêem que estas distribui¸cões ocorrem mais freqüentemente na prática do que a distribui¸cão normal. Conhecidamente, o desempenho de estimadores robustos e não-paramétricos são freqüentemente melhores estimadores do que estimadores tradi-cionais para distribui¸cões caudalosas.

Um número limitado de gráficos de controle não-paramétricos tem sido relatado na lite-ratura. Farnum e Stanton (1986) propõem a utiliza¸cão de gráficos de controle baseados no teste de sinal. Considera¸cões econômicas para um gráfico baseado em testes de sinais são apresentadas por Arnold (1986). Alloway e Raghavachari (1991) apresentam um gráfico de controle baseado no estimador Hodges-Lehmann associado com a estat´ıstica de rank de Wilcoxon, sua eficiência estat´ıstica é quase tão boa quanto a aproxima¸cão paramétrica se as suposi¸cões Gaussianas são consideradas, e pode ser mais eficiente quando a normalidade não é considerada. Saad e Reynolds (1979) utilizam uma estat´ıstica de rank para testar a simetria em torno de um n´ıvel fixado, enquanto que Hackl e Ledolter (1991) descrevem um procedimento baseado em ajustes exponencialmente “rankeados” para constru¸cão de limites de controle.

Outro fator relevante é que, freqüentemente, erros significantes de medidas estão pre-sentes em aplica¸cões de controle de qualidade. O efeito dos erros de medidas nas caracte-r´ısticas monitoradas pelo gráfico ¯X, considerando que somente a média do processo muda,

´e discutida por Bennett (1954). O efeito de erros de medida sobre o poder do gr´afico ¯X −R

em detectar mudan¸cas no processo, quando a média e a variância do processo mudam, são apresentadas por Kanazuka (1986). Ele mostra que o poder dos gráficos de controle depende da magnitude da mudan¸ca do processo. Um grande erro de medida resulta na redu¸cão do poder, assim, a utiliza¸cão de um tamanho de amostra maior e/ou redu¸cão dos erros de medida podem cobrir a perda. Tricker et al. (1998) mostram o efeito do erro de medida quando o gráfico R é utilizado. Linna e Woodall (2001) apresentam o efeito do erro de medida em gráficos de controle de Shewhart. Um modelo considerando o custo e um plano ótimo de amostragem também é dado.

Um problema comum na utiliza¸cão de gráficos de controle é o baixo poder que estes apresentam em detectar pequenas mudan¸cas na caracter´ıstica de qualidade monitorada. Uma solu¸cão para este problema é a utiliza¸cão dos gráficos de controle CUSUM (soma

(25)

acumulada) e EWMA (médias móveis ponderadas exponencialmente), que possuem alta probabilidade de detectar pequenas mudan¸cas. Entretanto, uma aproxima¸cão proposta por Burr (1969), que utiliza tamanhos amostrais adaptáveis, isto é, utiliza qualquer gráfico de controle permitindo que o tamanho amostral mude dependendo do valor estat´ıstico, obtido em análises da amostra prévia, vem sendo utilizada por alguns pesquisadores como solu¸cão para este problema. Por exemplo, Daudin (1992) apresenta a primeira compara¸cão entre os dois esquemas de constru¸cão de gráficos de controle (tamanhos amostrais fixos

versus tamanhos amostrais adapt´aveis). Prabhu et al. (1993) e Costa (1994) prop˜oem

esquemas similares àquele dos tamanhos amostrais de Daudin (1992), porém mais simples para opera¸cão do usuário.

O gr´afico de controle T2 _{de Hotelling [veja Hotelling (1947)], com tamanhos amostrais}

adaptáveis, é apresentado por Aparisi (1996). Seus resultados mostram intensa melhoria em compara¸cão com esquemas de tamanhos amostrais univariados. Os ganhos de poder são até melhores que aqueles obtidos com gráficos de controle multivariados CUSUM, mostradas por Pignatiello e Runger (1990), e com gráficos de controle multivariados

EWMA, apresentadas por Lowry et al. (1992), mas mantˆem a simplicidade do gr´afico T2 _{de Hotelling.}

Costa (1998) desenvolve um procedimento que utiliza os gr´aficos ¯X e R conjuntamente,

quando os parâmetros são adaptáveis. Um modelo de Markov para determinar as pro-priedades da união dos gráficos de controle ¯X e R com tamanhos amostrais variáveis é

visto em Costa (1999). O planejamento econômico do gráfico ¯X, quando os parâmetros

são adaptáveis, é obtido por Costa e Rahim (2001). O esquema do tamanho amostral adaptável é utilizado por Aparisi et al. (2001) em gráficos de controle de variância genera-lizada |S|, para detectar mais rapidamente mudan¸cas na matriz de variância-covariância. Epprecht e Costa (2001) apresentam uma metodologia para constru¸cão de gráficos de controle para atributos com amostras adaptáveis. Magalhães et al. (2001) mostram um modelo de custo da qualidade para um gráfico ¯X, quando todos os parâmetros de

planeja-mento são adaptáveis. O modelo proposto viabiliza a sele¸cão ótima e de forma econômica os parâmetros de planejamento do gráfico.

O gráfico de controle para propor¸cões de duas variáveis desenvolvido por Spisak (1990), o gráfico de controle baseado na distribui¸cão geométrica mostrado por Kaminsky et al.

(26)

2.3 Princ´ıpios dos Gr´aficos de Controle 12

(1992) e o gráfico de sele¸cão de causas de Wade e Woodall (1993), são algumas das mais recentes linhas de pesquisa sobre gráficos de controle.

Finalmente, na última década, uma nova classe de gráficos de controle para a moni-tora¸cão dos processos sujeitos a distúrbios moderados tem sido desenvolvida. Estes gráficos são chamados de dinâmicos porque alguns de seus parâmetros são permitidos variar du-rante a opera¸cão. Por enquanto, o tamanho das amostras varia entre dois tamanhos, grandes e pequenos, dependendo do que é observado do processo. Se um ponto amostral situa-se perto mas não fora dos limites de controle (indicando que o processo poderia ser ajustado), então a próxima amostra é escolhida para ser grande (para aperfei¸coar o poder do gráfico). Inversamente, se um ponto amostral situa-se perto ao alvo, então a próxima amostra é escolhida para ser pequena (para compensar grandes amostras). A motiva¸cão do esquema dinâmico é associada com o ganho em velocidade com o qual o gráfico sinalizará condi¸cões fora de controle.

2.3 Princ´ıpios dos Gr´

aficos de Controle

A fabrica¸cão de um produto sempre envolve uma certa quantidade de varia¸cão nas condi¸cões de produ¸cão. De uma forma geral, diversos fatores são responsáveis pela varia¸cão estocástica das caracter´ısticas de qualidade de interesse, observadas nas unidades produzi-das. Num processo de produ¸cão implementado e planejado cuidadosamente, estas varia¸cões inerentes são pequenas e não podem ser atribu´ıdas a fatores isolados controláveis. Sob estas condi¸cões diz-se que o processo de produ¸cão está sob controle estat´ıstico ou que ocorre sem distúrbios. Durante a produ¸cão cont´ınua, pode acontecer que estas varia¸cões aumentem ou excedam uma quantidade razoável, devido a mudan¸cas significantes nos fatores controláveis do processo. Por exemplo, fadiga do pessoal ou desgaste de uma fer-ramenta poderia levar a uma mudan¸ca sistemática no n´ıvel do processo. Então conclui-se que o processo está fora de controle estat´ıstico ou está perturbado.

Mantendo o foco nessas caracter´ısticas, os gráficos de controle foram desenvolvidos com o propósito primário de monitorar continuamente se o processo de produ¸cão está sob controle estat´ıstico. Quando trabalha-se com gráficos de controle sempre se supõe que o estado de controle estat´ıstico é caracterizado por um processo que pode ser representado

(27)

2.4 Gr´afico de Controle na Pr´atica 13

por variáveis aleatórias independentes e identicamente distribu´ıdas (i.i.d.). Em particular, esta suposi¸cão implica em falta de autocorrela¸cão.

Os gráficos de controle são definidos através de estat´ısticas e se baseiam em certas distribui¸cões de probabilidade, principalmente na distribui¸cão normal. Assim, supõe-se que, quando um processo industrial está sob controle, uma caracter´ıstica de qualidade observável em sa´ıdas sucessivas se comporta como uma seqüência de variáveis aleatórias independentes com distribui¸cão normal de média µ e variância σ2_{, pelo menos}

aproxi-madamente.

2.4 Gr´

afico de Controle na Pr´

atica

Ao se aplicar um gráfico de controle, geralmente, extraem-se amostras de tamanhos fixos n de um processo de produ¸cão em pontos espec´ıficos de tempo. Os intervalos entre estes pontos de tempo são em geral constantes. Os valores observáveis X1, X2, . . . , Xndas

caracter´ısticas de qualidade monitoradas são resumidos no vetor amostral X e são também utilizados nas suas formas originais ou são condensados numa estat´ıstica amostral, por exemplo, a soma amostral, a média amostral, a mediana amostral, a variância amostral, o desvio padrão amostral ou a amplitude amostral. Um gráfico de controle é uma figura gráfica desses resultados amostrais, constru´ıdo de forma manual ou através do processa-mento eletrônico dos dados.

Os resultados são “plotados” no eixo vertical contra os pontos de tempo espec´ıficos de suas observa¸cões ou contra o número de ´ındices amostrais no eixo horizontal. Em adi¸cão a esses dois eixos o sistema de coordenadas contém várias linhas fixas. Um gráfico de controle tipo Shewhart usualmente contém uma linha central paralela a abscissa. A altura desta linha central (LC) é dada pelo valor alvo do processo de produ¸cão. Este valor pode, por exemplo, ser um valor nominal exigido por lei, um padrão ou especifica¸cões de produ¸cão. Pode ser também um valor baseado na experiência passada do processo ou um valor estimado tomado de uma pré-produ¸cão do processo produtivo sob condi¸cões sem perturba¸cões.

´

E absolutamente necessário um gráfico de controle possuir uma ou duas linhas de con-trole. Dependendo se é desejável monitorar os desvios das caracter´ısticas de qualidade acima e abaixo do valor alvo ou somente desvios unilaterais, respectivamente, trabalha-se

(28)

2.4 Gr´afico de Controle na Pr´atica 14

com duas ou uma linha de controle. De acordo com isto há uma distin¸cão entre gráficos de controle bilaterais e gráficos de controle unilaterais. As linhas de controle são chamadas de limite superior de controle e limite inferior de controle, abreviadas por LSC e LIC, respectivamente. Estas linhas têm o propósito de decidir se o processo está sob controle es-tat´ıstico ou se distúrbios possam ter ocorrido. Além dessas linhas de controle, os gráficos de controle de Shewhart algumas vezes contêm uma ou duas linhas adicionais de advertência. Os n´ıveis correspondentes a estas linhas são chamados limite de advertência superior e limite de advertência inferior (LSA e LIA, respectivamente) e a distância entre eles e a linha central é menor do que aquelas entre as linhas de controle LSC e LIC.

A Figura 2.1 mostra um gráfico de controle de Shewhart com linhas de controle e advertência bilaterais. Para facilitar a orienta¸cão os pontos amostrais são ligados por linhas retas.

Figura 2.1 Gr´afico de Controle de Shewhart com Linhas de Controle e Advertˆencia

Bila-terais.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 Número das Amostras (Pontos de Tempo)

R e s u lt a d o s A m o s tr a is LSC LIC LSA LIA LC

Durante a aplica¸cão de um gráfico de controle existem três eventos poss´ıveis para cada amostra. No primeiro, o resultado amostral pode situar-se dentro dos limites de ad-vertência, neste caso assume-se que o processo de produ¸cão ocorre sob controle estat´ıstico, da´ı não é necessário tomar qualquer a¸cão particular. No segundo evento, o resultado amostral pode situar-se entre os limites de controle e os limites de advertência, havendo assim a suspeita de uma perturba¸cão no processo. Neste caso, uma segunda amostra é extra´ıda imediatamente, e se o novo resultado situar-se dentro dos limites de advertência, a suspeita é descartada, entretanto, se o novo resultado situar-se fora dos limites de ad-vertência a suspeita justifica-se e uma a¸cão corretiva deverá ser tomada objetivando tornar o processo produtivo sob controle estat´ıstico. Finalmente, no terceiro evento, o resultado

(29)

2.5 Planejamento de um Gr´afico de Controle 15

amostral pode situar-se sobre ou fora dos limites de controle. Se isto ocorrer, uma inter-ven¸cão no processo produtivo deverá ser feita imediatamente. Numa situa¸cão concreta, esta interven¸cão depende particularmente do processo produtivo, do conhecimento sobre ele e do tipo de perturba¸cão indicada na inspe¸cão. Sob certas circunstâncias pode até ser necessário separar todas as unidades que foram produzidas depois da última amostragem. Quando gráficos de controle sem limites de advertência são utilizados, o primeiro evento refere-se aos limites de controle e o segundo evento é omitido.

Para Mittag e Rinne (1993) a utiliza¸cão de limites de advertência modifica conside-ravelmente as propriedades estat´ısticas de um gráfico de controle. Em particular, não é poss´ıvel controlar sua curva de poder.

2.5 Planejamento de um Gr´

afico de Controle

O planejamento de um gráfico de controle envolve principalmente a escolha adequada do tamanho da amostra, o intervalo de tempo entre amostras consecutivas e a especifica¸cão dos limites de controle e, quando apropriado, dos limites de advertência. Durante a fase de planejamento de um gráfico de controle, testes teóricos e considera¸cões econômicas são importantes. Woodall (1985) planeja gráficos de controle, baseando-se no desempenho estat´ıstico destes sobre algumas regiões de controle previamente especificadas. Caulcutt (1995) mostra os principais tipos de erros e acertos, usualmente cometidos por usuários dos gráficos de controle. Woodall (2000) afirma que o planejamento dos gráficos de controle desenvolvidos por Shewhart são bastante úteis em muitas aplica¸cões atuais, entretanto, ele considera que a introdu¸cão de novas idéias relacionadas ao controle estat´ıstico da qualidade, como por exemplo, métodos multivariados e planos amostrais, têm sido muito lentamente introduzidos no ambiente industrial.

Quando se quer determinar o tamanho da amostra e o intervalo amostral, pode-se utilizar critérios econômicos, como por exemplo, custos de inspe¸cão, custos de produ¸cão parada devido à interrup¸cão do processo para realizar ajustes necessários e custos de perturba¸cões não detectadas. Na prática o tamanho amostral n e a freqüência amostral são escolhidos arbitrariamente, geralmente, baseados em experiências passadas. O tamanho amostral n é raramente maior que 15 e, por razões numéricas, um número ´ımpar.

(30)

2.5 Planejamento de um Gr´afico de Controle 16

Proschan e Savage (1960) dão boas recomenda¸cões de como iniciar o processo de cons-tru¸cão de gráficos de controle. Considera¸cões a respeito do tamanho amostral ideal e do n´ıvel de significância utilizados no desenvolvimento dos limites de controle, também são mostradas.

A especifica¸cão dos limites de controle é o assunto central no planejamento de um gráfico de controle. Os limites de controle são especificados de forma que a estat´ıstica de teste

g(X) alcance ou exceda seus valores somente com uma pequena probabilidade α, quando

o processo ocorre sem perturba¸c˜oes. Para um gr´afico de controle, com ambos LSC e LIC, isto significa que:

P [g(X) /∈ (LSC; LIC)|processo está sob controle estat´ıstico] = α. (2.1) Na prática utilizam-se testes estat´ısticos com distribui¸cões simétricas e, conseqüente-mente, sempre se procederá como descrito na Figura 2.1, especificando-se os limites LSC e LIC com a mesma distância da linha central (LC). A probabilidade (2.1) então consiste de duas probabilidades iguais, dadas por:

P [g(X) ≥ LSC|processo est´a sob controle estat´ıstico] = α/2 (2.2) e

P [g(X) ≤ LIC|processo está sob controle estat´ıstico] = α/2. (2.3) Quando se planeja um gráfico de controle unilateral se procede de forma análoga. So-mente não se divide a probabilidade α em duas probabilidades e se determina o LSC ou

LIC, respectivamente, atrav´es das seguintes equa¸c˜oes:

P [g(X) ≥ LSC|processo est´a sob controle estat´ıstico] = α (2.4) ou

P [g(X) ≤ LIC|processo est´a sob controle estat´ıstico] = α. (2.5) ´

E importante não especificar os limites de controle muito próximos da linha central, porque a varia¸cão natural no tempo, quando o processo está em estado de controle es-tat´ıstico, pode induzir a uma interven¸cão. A probabilidade α de interferir num processo sem perturba¸cões (alarme falso) aumenta, quando a distância entre os limites de controle diminui. Entretanto, se as linhas de controle estão muito distantes da linha central então ocorre o risco de se responder muito tarde a uma perturba¸cão sistemática no processo.

(31)

2.6 Benef´ıcios da Utiliza¸c˜ao dos Gr´aficos de Controle 17

A probabilidade de não interferir em um processo perturbado (alarme negligenciado) aumenta quando a distância entre as linhas de controle e a linha central aumenta. Geral-mente, os limites de controle são calculados de forma que a estat´ıstica amostral g(X) de um processo sem perturba¸cões situe-se dentro das linhas de controle com probabili-dade de 99%. Conseqüentemente, para determina¸cão das linhas de controle geralmente estabelece-se um α = 0, 01 em (2.1) e, respectivamente, em (2.4) ou (2.5).

A estat´ıstica amostral g(X), supostamente, possui uma distribui¸cão simétrica e cont´ınua, por exemplo a distribui¸cão normal. Supõe-se também que sua densidade exista. Se o teste escalar Y = g(X) possui condi¸cões sob controle e distribui¸cão com esperan¸ca µY (n´ıvel

da linha central LC) e desvio padrão σY, então os limites de controle LSC e LIC são

colocados no n´ıvel µY ± 3σY.

2.6 Benef´ıcios da Utiliza¸c˜

ao dos Gr´

aficos de Controle

Um gráfico de controle monitora a conformidade entre o estado desejado e o atual de um processo com rela¸cão a certas caracter´ısticas de qualidade. A aplica¸cão de um gráfico de controle supõe possuir o efeito de que mudan¸cas indesejáveis no comportamento da ca-racter´ıstica de qualidade, por exemplo, uma mudan¸ca na média, um aumento na dispersão, um aumento no número de unidades não-conformes ou um aumento de não-conformidades, sejam descobertas e corrigidas tão logo quanto poss´ıvel. Como conseqüência, a fra¸cão defeituosa do processo, ou respectivamente, a quantidade de reparos de não-conformidades é reduzida e conseqüentemente a produtividade aumenta.

Gráficos de controle que já cumpriram seu propósito como instrumento do controle de um processo, servem para a empresa como prova e documenta¸cão dos esfor¸cos da garantia da qualidade do produtor para o consumidor.

Finalmente, os gráficos de controle da qualidade podem também ser utilizados para avalia¸cões internas da precisão do maquinário e ferramentas. Ainda, podem servir como aux´ılio nas decisões sobre investimentos adicionais ou na programa¸cão de manuten¸cão e/ou vistorias gerais.

(32)

2.7 Tipos de Gr´aficos de Controle 18

2.7 Tipos de Gr´

aficos de Controle

Existem vários critérios utilizados para classificar os gráficos de controle, como por exemplo, quanto ao número de linhas de controle, os gráficos distinguem-se entre gráficos de controle unilaterais e bilaterais. Dependendo se os cálculos dos limites de controle en-volvem ou não especifica¸cões técnicas, os gráficos de controle de Shewhart são classificados em clássicos ou modificados, respectivamente.

Um gráfico de controle é dito ser de rastreamento único, quando o gráfico contém so-mente um sistema de coordenadas no qual os resultados da inspe¸cão, para monitorar um aspecto do processo de produ¸cão (loca¸cão ou dispersão), são introduzidos. Um gráfico de controle de rastreamento duplo contém dois sistemas de coordenadas para monitorar simultaneamente a loca¸cão e a dispersão. Gráficos de controle com rastreamento duplo são nada mais que dois gráficos de controle com rastreamento simples aplicados simul-taneamente, ambos relacionados a mesma caracter´ıstica de qualidade. Diferentes destes, gráficos de controle multivariados monitoram várias caracter´ısticas de qualidade ao mesmo tempo.

De acordo com o tipo de caracter´ıstica de qualidade, os gráficos de controle distin-guem-se entre gráficos de controle para atributos e gráficos de controle para variáveis. Termos sinônimos são gráficos de controle para dados contáveis e gráficos de controle para medidas. Gráficos de controle para atributos sempre utilizam uma estat´ıstica de teste com distribui¸cão discreta, enquanto a estat´ıstica amostral de um gráfico para variáveis possui uma distribui¸cão cont´ınua.

Finalmente, pode-se diferenciar os gráficos de controle dependendo se a decisão de in-terferir no processo é baseada unicamente no resultado amostral apresentado ou também em amostras precedentes. Gráficos de controle do tipo Shewhart somente utilizam o resul-tado amostral atual, sendo conhecidos como gráficos de controle sem memória. Gráficos de controle com memória, por exemplo CUSUM e EWMA, utilizam os resultados das amostras precedentes.

A nota¸cão dos gráficos de controle depende, freqüentemente, da estat´ıstica de teste e do tipo de rastreamento do gráfico. Na prática, as seguintes nota¸cões mais usuais foram estabelecidas:

(33)

2.8 Teste de Hip´otese e Gr´aficos de Controle 19

• Gr´afico X - Gr´afico de controle simples para atributos onde a estat´ıstica teste

acu-mula as conformidades por unidades produzidas ou o n´umero de unidades n˜ao-conformes na amostra;

• Gráfico p - Gráfico de controle para atributos, o qual utiliza a propor¸cão de unidades

n˜ao-conformes na amostra como sua estat´ıstica de teste;

• Gráfico u - Gráfico de controle para atributos. Sua estat´ıstica de teste é o acúmulo

de n˜ao-conformidades por unidade f´ısica;

• Gráfico de ¯X e Gráfico ˜X - Gráficos de controle para variáveis com a média amostral

e a mediana amostral, respectivamente, como a estat´ıstica de teste. Por conseguinte, estes gráficos são também chamados de gráfico da média e gráfico da mediana. Ambos têm o propósito de monitorar o n´ıvel do processo;

• Gráfico de R, Gráfico S e Gráfico S2 _{- Gráficos de controle para variáveis onde}

a estat´ıstica de teste é a amplitude amostral, ou o desvio padrão amostral ou a variância amostral, respectivamente. Estes gráficos são também chamados de gráfico da amplitude, gráfico do desvio padrão e gráfico da variância, respectivamente. Eles monitoram a dispersão do processo de produ¸cão;

• Gráfico de ¯X − S, Gráfico ¯X − R, Gráfico ¯X − MR, Gráfico ˜X − S, Gráfico ˜X − R

e Gráfico ˜X − MR - Gráfico de controle para variáveis com rastreamento duplo e

que utilizam a média amostral ou a mediana amostral para monitorar o n´ıvel do processo e o desvio padrão amostral, a amplitude amostral ou a amplitude móvel para controlar a dispersão do processo. Estes gráficos são apropriadamente chamados como acima, por exemplo, gráfico da média-amplitude no caso do gráfico ¯X − R.

2.8 Teste de Hip´

otese e Gr´

aficos de Controle

Conforme mencionado na Se¸cão 2.5, gráficos de controle são principalmente uma forma gráfica de uma estat´ıstica amostral g(X) como uma fun¸cão do tempo. Todos os gráficos de controle têm em comum que suas aplica¸cões são equivalentes a repetidamente desempenhar um teste de hipóteses da seguinte forma:

H0 : o processo produtivo est´a sob controle estat´ıstico

H1 : o processo produtivo est´a fora do controle estat´ıstico. (2.6)

(34)

2.8 Teste de Hip´otese e Gr´aficos de Controle 20

Se a realiza¸cão da fun¸cão amostral alcan¸ca ou excede os limites de controle LSC e LIC (gráficos de controle bilaterais) ou um deles (no caso de gráficos de controle unilaterais), então a hipótese H0 é rejeitada e ajustes no processo são realizados. A região de aceita¸cão

(RA) para H0 ´e dada pelo conjunto de todas as realiza¸c˜oes da estat´ıstica de teste que se

situam dentro dos limites de controle. Conseqüentemente, a região de rejei¸cão (RR) para

H0 é definida como sendo o complementar de RA. Logo, a regra de decisão do teste lê-se

como segue:

• Se a estat´ıstica de teste g(X) situa-se sobre ou fora das linhas de controle, ´e necess´ario

intervir no processo.

• Se a estat´ıstica de teste g(X) situa-se dentro das linhas de controle, então não é

necess´ario tomar nenhuma a¸c˜ao.

Numa dada situa¸cão a hipótese H0diz que um parâmetro de loca¸cão (µ, digamos) ou um

parâmetro de dispersão (σ, digamos) da caracter´ıstica de qualidade monitorada concorda com um desejado valor. Este valor alvo pode ainda ser um valor nominal ou estimado de uma produ¸cão prévia do processo.

No que segue este trabalho estará restrito a gráficos de controle univariados para variáveis.

Este cap´ıtulo procurou proporcionar uma visão geral acerca dos gráficos de controle, destacando algumas das principais pesquisas envolvendo a utiliza¸cão e o desenvolvimento destes gráficos. Além dos tipos, os princ´ıpios, a utiliza¸cão na prática e o planejamento dos gráficos de controle, foram mostrados testes de hipóteses por trás da utiliza¸cão de tal ferramenta, bem como, os seus benef´ıcios.

Todos estes aspectos são de extrema importância, pois através deles serão obtidas me-lhores estimativas para o n´ıvel e dispersão do processo. Tais estimativas para a dispersão do processo, constituem um dos principais objetivos deste trabalho, ou seja, buscar por estimadores cada vez mais precisos a serem utilizados na constru¸cão de gráficos de controle. Finalmente, este cap´ıtulo serve como embasamento para o entendimento a respeito dos gráficos de controle para variáveis implementado no próximo cap´ıtulo.

(35)

Cap´ıtulo 3

Gr´

aficos de Controle para Vari´

aveis

3.1 Introdu¸c˜

ao

Conforme pôde ser visto no cap´ıtulo anterior, existe um crescente interesse de pesqui-sadores e usuários de gráficos de controle na obten¸cão de estimadores cada vez melhores para o n´ıvel e dispersão do processo.

De fato, as caracter´ısticas importantes de um processo produtivo, no controle para variáveis, são o n´ıvel e a dispersão natural do processo. Mudan¸cas significativas no n´ıvel e/ou na dispersão do processo produtivo podem originar altera¸cões significativas na fra¸cão não-conforme, por esta razão, no controle para variáveis, o n´ıvel e dispersão do processo, comumente são controlados simultaneamente. Isto é geralmente conseguido utilizando o gráfico ¯X ou o gráfico ˜X, para o controle do n´ıvel e o gráfico S, o gráfico S2 _{ou o gráfico R,}

para o controle da variabilidade. Quando utilizados em conjunto, estes gráficos constituem um procedimento razoavelmente eficiente para o controle de um processo. Os gráficos para dispersão monitoram a variabilidade dentro da amostra, enquanto que, os gráficos para o n´ıvel monitoram a variabilidade entre as amostras.

Deve ficar claro que para o controle da variabilidade (e indiretamente do n´ıvel) de um processo, a caracter´ıstica de qualidade deve ser normalmente distribu´ıda. Nas aplica¸cões práticas do controle da qualidade, esta restri¸cão não é demasiadamente séria, uma vez que caracter´ısticas qualitativas medidas em escala continua têm, em geral, distribui¸cão normal ou aproximadamente normal. Se os gráficos de controle vão ser estabelecidos para um novo processo, do qual não se têm informa¸cões prévias, antes de procurar estabelecer os gráficos deve ser feito um teste de normalidade para a caracter´ıstica de interesse. Eventualmente pode ser necessário efetuar uma transforma¸cão na variável, visando a normalidade.

(36)

3.1 Introdu¸c˜ao 22

dos limites de controle, quer nos gráficos para o n´ıvel, quer nos gráficos para a dispersão. Porém, mesmo com todos os pontos entre os limites de controle, a presen¸ca de tendências, ciclos ou alguma outra configura¸cão t´ıpica dos pontos pode revelar descontrole do processo.

Algumas recomenda¸cões práticas têm sido apresentadas por vários estudiosos, por exem-plo Kume (1993) e Montgomery (2001), para a verifica¸cão do estado de controle de um processo. Segundo Bravo (1995), é geralmente aceito que no gráfico de um processo sob controle estat´ıstico, cerca de 2/3 do número total de pontos devem estar localizados no ter¸co central do gráfico. Se para 25 amostras mais de 90% ou menos de 40% dos pontos estiverem situados no ter¸co central do gráfico de controle, tem-se uma indica¸cão de des-controle do processo. Evidências de deslocamento da média do processo ou de tendência dos pontos são geralmente aceitas se ocorrerem 7 pontos consecutivos de um dos lados da linha central do gráfico ou 7 pontos consecutivos não crescentes ou não decrescentes. Nelson (1984) apresenta oito testes gráficos simples para detectar falta de controle através do gráfico ¯X.

Durante o processo de constru¸cão dos gráficos de controle para variáveis, o gráfico para dispersão é constru´ıdo em primeiro lugar, uma vez que ele fornece uma estimativa da variabilidade do processo, a qual é usada para constru¸cão do gráfico para o n´ıvel. Evidentemente, esta estimativa só deve ser usada quando o processo estiver sob controle em rela¸cão a variabilidade. Nas aplica¸cões em conjunto, o gráfico para a dispersão é usualmente apresentado depois do gráfico para o n´ıvel.

Neste cap´ıtulo será abordado o processo de constru¸cão e implementa¸cão dos gráficos de controle para variáveis, mais especificamente, os gráficos para monitorar o n´ıvel e a dispersão do processo. O processo de obten¸cão dos limites de controle e da linha central para os gráficos do desvio padrão, da variância, da amplitude, da média e da mediana serão detalhadamente vistos. Tabelas com fatores para constru¸cão dos limites serão mostradas. Algumas das principais pesquisas envolvendo os gráficos de controle para variáveis serão apresentadas.

Portanto, nas se¸cões seguintes serão abordados as seguintes classes de gráficos de con-trole para variáveis: a Se¸cão 3.2 mostrará os três gráficos de concon-trole mais comuns (gráfico do desvio padrão, gráfico da variância e gráfico da amplitude), utilizados no

(37)

monitora-3.2 Gr´aficos de Controle para Monitorar a Dispers˜ao do Processo 23

mento da dispersão do processo, e a Se¸cão 3.3 apresentará o gráfico da média e o gráfico da mediana, ambos, utilizados no monitoramento do n´ıvel do processo.

3.2 Gr´

aficos de Controle para Monitorar a Dispers˜

ao

do Processo

Quando se constrói gráficos de controle para a dispersão do processo, tem-se que decidir primeiramente se o gráfico é para detectar mudan¸cas em ambas as dire¸cões ou se somente numa dire¸cão. Neste último caso um gráfico de controle unilateral para dispersão do processo é utilizado.

Se o teste de hip´otese ´e escolhido da seguinte forma

H0 : σt ≤ σ

H1 : σt > σ, (3.1)

somente ´e de interesse uma mudan¸ca crescente (gr´afico de controle unilateral com limite superior), em um tempo t, na caracter´ıstica de qualidade monitorada X (X ∼ N(µ, σ2_)).

Certamente, gráficos de controle que detectam mudan¸cas na dispersão do processo em am-bas as dire¸cões podem ser constru´ıdos. A aplica¸cão de tal gráfico de controle corresponde a realiza¸cão de um teste de hipóteses do tipo

H0 : σt = σ

H1 : σt 6= σ. (3.2)

Finalmente, a seguir, três diferentes gráficos de controle para a dispersão do processo são apresentados. O gráfico do desvio padrão amostral, o gráfico da variância amostral e o gráfico da amplitude amostral.

3.2.1 Gr´

afico do Desvio Padr˜

ao (Gr´

afico S)

Com a relativa facilidade com que é poss´ıvel calcular os desvios padrões utilizando calculadoras com fun¸cões embutidas, o gráfico S está crescendo em uso como gráfico de controle para medir a dispersão do processo. Davis (1999) fornece um programa computa-cional simples que determina o tamanho amostral ótimo e o limite superior de controle para gráficos S unilaterais. Logo, se algum desvio padrão amostral observado está acima do LSC, então o gráfico sinalizará que o processo pode ter problemas. Enquanto que, se o desvio padrão amostral observado estiver abaixo do LSC, sinais não serão gerados. Para

(38)

3.2 Gr´aficos de Controle para Monitorar a Dispers˜ao do Processo 24

Montgomery (2001) o gráfico do desvio padrão oferece maior eficiência na estima¸cão da dispersão e é mais flex´ıvel para aplica¸cões que envolvam tamanhos de subgrupos maiores e/ou diferentes que o gráfico R.

Para determinar os limites de controle do gráfico S, é necessário supor que os valores observados da caracter´ıstica de qualidade monitorada são normalmente distribu´ıdos com média µ e variância σ2_{. Se S}

j é o desvio padrão amostral do j-ésimo subgrupo, então

Sj = v u u tXn i=1 (Xi− ¯X)2 n − 1 . (3.3)

No entanto, o desvio padrão amostral Sj não é um estimador não-viesado de σ (veja

Cap´ıtulo 5). Como (n − 1)S2

j/σ2 tem distribui¸c˜ao qui-quadrado com n − 1 graus de

liber-dade, pode-se verificar que

µSj = E[Sj] = cnσ (3.4) e σSj = q V ar[Sj] = p σ2_{− c}2 nσ2 = σ p 1 − c2 n, (3.5)

onde n ´e o tamanho do subgrupo amostral e

cn= µ 2 n − 1 ¶_1/2 Γ(n/2) Γ[(n − 1)/2]. (3.6)

Baseando-se nas fórmulas (3.4) e (3.5), a linha central e os limites de controle 3 sigmas para o gráfico S, quando um valor padrão é dado por σ, são obtidos através das seguintes expressões: LSC = cnσ + 3σ p 1 − c2 n LC = cnσ LIC = cnσ − 3σ p 1 − c2 n. Comumente, defini-se B5 = cn− 3 p 1 − c2 n e B6 = cn+ 3 p 1 − c2 n,