Aula 1.2 Fasor

Fasor

As tensões geradas pelos geradores síncronos em sistemas de potência e pela maioria dos geradores disponíveis comercialmente,possuem uma

forma de onda essencialmente senoidal;

Fontes senoidais são comuns tanto emsistemas de potência como em

sistemas eletrônicos;

Emboraentradas senoidaispossam ser analisadas através deequações

diferenciais, torna-se importante desenvolver novas técnicas que redu-zam o esforço computacionalpara sua análise.

As tensões geradas pelos geradores síncronos em sistemas de potência

e pela maioria dos geradores disponíveis comercialmente,possuem uma

forma de onda essencialmente senoidal;

Fontes senoidais são comuns tanto emsistemas de potência como em

sistemas eletrônicos;

Emboraentradas senoidaispossam ser analisadas através deequações

diferenciais, torna-se importante desenvolver novas técnicas que redu-zam o esforço computacionalpara sua análise.

As tensões geradas pelos geradores síncronos em sistemas de potência

e pela maioria dos geradores disponíveis comercialmente,possuem uma

forma de onda essencialmente senoidal;

Fontes senoidais são comuns tanto emsistemas de potência como em

sistemas eletrônicos;

Emboraentradas senoidaispossam ser analisadas através deequações

diferenciais, torna-se importante desenvolver novas técnicas que

Determine a corrente no circuito da Figura 1. Sabendo que, vs(t) = 2 sen(200t) e o capacitor possui uma carga inicial vc(0) = 1 V.

− + vs(t) t= 0 5Ω 1µF + − vc(t) Figura 1:Circuito RC. −2 sen(200t) + Ri(t) + 1 C Z t 0 i(t) dt + vc(0) = 0 ou Rdi(t) dt + 1 Ci(t) = 400 cos(200t)

Determine a corrente no circuito da Figura 1. Sabendo que, vs(t) = 2 sen(200t) e o capacitor possui uma carga inicial vc(0) = 1 V.

− + vs(t) t= 0 5Ω 1µF + − vc(t) Figura 1:Circuito RC. −2 sen(200t) + Ri(t) + 1 C Z t 0 i(t) dt + vc(0) = 0 ou Rdi(t) dt + 1 Ci(t) = 400 cos(200t)

Determine a corrente no circuito da Figura 1. Sabendo que, vs(t) = 2 sen(200t) e o capacitor possui uma carga inicial vc(0) = 1 V.

− + vs(t) t= 0 5Ω 1µF + − vc(t) Figura 1:Circuito RC. −2 sen(200t) + Ri(t) + 1 C Z t 0 i(t) dt + vc(0) = 0 ou Rdi(t) dt + 1 Ci(t) = 400 cos(200t)

Rdi(t) dt +

1

Ci(t) = 400 cos(200t) (1)

Asolução particular: devido a função forçante

ip(t) = 200 cos(200t) + 200 sen(200t) µA (2)

Asolução complementar: resposta natural

ic(t) = −400e−t/RCµA (3)

Rdi(t) dt +

1

Ci(t) = 400 cos(200t) (1)

Asolução particular: devido a função forçante

ip(t) = 200 cos(200t) + 200 sen(200t) µA (2)

Asolução complementar: resposta natural

ic(t) = −400e−t/RCµA (3)

Rdi(t) dt +

1

Ci(t) = 400 cos(200t) (1)

Asolução particular: devido a função forçante

ip(t) = 200 cos(200t) + 200 sen(200t) µA (2)

Asolução complementar: resposta natural

ic(t) = −400e−t/RCµA (3)

Rdi(t) dt +

1

Ci(t) = 400 cos(200t) (1)

Asolução particular: devido a função forçante

ip(t) = 200 cos(200t) + 200 sen(200t) µA (2)

Asolução complementar: resposta natural

ic(t) = −400e−t/RCµA (3)

Revisão

Contextualização

Solução

immediately after the switch closes.

vC(0+) = 1. Consequently, the voltage across the resistor must be vR(0+) = 1 V. Thus, we get

i(0+) =vR(0+)

R =

1

5000= 200 A

Substituting t = 0 into Equation 4.54, we obtain

i(0+) = 200 = 200 + K A (4.55)

Solving, we nd that K = 400 A. Substituting this into Equation 4.54, we have the solution

i(t) = 200 cos(200t) + 200 sin(200t) 400e t/RC A (4.56) Plots of the particular solution and of the complementary solution are shown in Figure 4.16. The time constant for this circuit is = RC = 5 ms. Notice that the natural response decays to negligible values in about 25 ms. As expected, the natural response has decayed in about ve time constants. Furthermore, notice that for a sinusoidal forcing function, the forced response is also sinusoidal and persists after the natural response has decayed.

Notice that the forced response is sinusoidal for a

sinusoidal forcing function. A plot of the complete solution is shown in Figure 4.17.

Exercise 4.7 Repeat Example 4.4 if the source voltage is changed to 2 cos(200t) and the initial voltage on the capacitor is vC(0) = 0. The circuit with these changes is shown in Figure 4.18. Current (mA) t (ms) 300 400 200 100 0 100 200 300 400 0 20 40 60 80

Particular solution or forced response

Complementary solution or natural response

Figure 4.16The complementary solution and the par-ticular solution for Example 4.4.Figura 2:Solução particular e solução complementar.

Section 4.5 Second-Order Circuits 183

Figure 4.17The complete solution for Example 4.4. i(t) (mA) t (ms) 300 400 200 100 0 100 200 300 400 0 20 40 60 80

Figure 4.18The circuit for Exercise 4.7. 2 cos(200t) R = 5 k t = 0 vC(t) vC(0) = 0 + + _i(t) C 1 mF

Figure 4.19The circuit for Exercise 4.8. 10et R = 1 M t = 0 vC(t) vC(0) = 5 V + + _i(t) C 2 mF

Answer i(t) = 200 sin(200t) + 200 cos(200t) + 200e t/RC A, in which = RC =

5 ms. *

Exercise 4.8 Solve for the current in the circuit shown in Figure 4.19 after the switch closes. [Hint: Try a particular solution of the form ip(t) = Ae t.]

Answer i(t) = 20e t _15e t/2 _{A. *}

4.5 SECOND-ORDER CIRCUITS

In this section, we consider circuits that contain two energy-storage elements. In particular, we look at circuits that have one inductance and one capacitance, either in series or in parallel.

Figura 3:Solução completa.

A análise clássica de circuitos elétricos requer a solução de equações diferenciais;

Resposta natural decai a zeroao longo do tempo =⇒ se anula quanto t tende ao infinito;

Resposta forçadapara fontes senoidaispersiste indefinidamente Resposta em estado permanente

Utilização da função exponencial complexaejωt, ao invés da função senoi-dal.

A análise clássica de circuitos elétricos requer a solução de equações diferenciais;

Resposta natural decai a zeroao longo do tempo =⇒ se anula quanto t

tende ao infinito;

Resposta forçadapara fontes senoidaispersiste indefinidamente Resposta em estado permanente

Utilização da função exponencial complexaejωt, ao invés da função senoi-dal.

A análise clássica de circuitos elétricos requer a solução de equações diferenciais;

Resposta natural decai a zeroao longo do tempo =⇒ se anula quanto t

tende ao infinito;

Resposta forçadapara fontes senoidaispersiste indefinidamente

Resposta em estado permanente

Utilização da função exponencial complexaejωt, ao invés da função senoi-dal.

A análise clássica de circuitos elétricos requer a solução de equações diferenciais;

Resposta natural decai a zeroao longo do tempo =⇒ se anula quanto t

tende ao infinito;

Resposta forçadapara fontes senoidaispersiste indefinidamente

Resposta em estado permanente

Utilização da função exponencial complexaejωt, ao invés da função senoi-dal.

A análise clássica de circuitos elétricos requer a solução de equações diferenciais;

Resposta natural decai a zeroao longo do tempo =⇒ se anula quanto t

tende ao infinito;

Resposta forçadapara fontes senoidaispersiste indefinidamente

Resposta em estado permanente

Utilização da função exponencial complexaejωt, ao invés da função senoi-dal.

A Utilização dafunção exponencial complexaresulta em uma simplifica-çãodos procedimentos de análise em estado permanente, transformando as equações diferenciais emequações algébricas complexas.

Outro aspecto muito importante, que vem forçar a necessidade de estudar a resposta em estado permanente senoidal, advém do fato de que uma função periódicaqualquer pode ser expressa,através da série de Fourier, como asoma de várias componentes senoidais de frequências diferentes.

A Utilização dafunção exponencial complexaresulta em uma simplifica-çãodos procedimentos de análise em estado permanente, transformando as equações diferenciais emequações algébricas complexas.

Outro aspecto muito importante, que vem forçar a necessidade de estudar a resposta em estado permanente senoidal, advém do fato de que uma

função periódicaqualquer pode ser expressa,através da série de Fourier,

ponenciais;

Possibilitando, a substituição das funçõessenoidais pelas exponenciais complexas correspondentes;

O conceito defasorpermite a conversão das equaçõesdiferencias

line-ares em equações algébricas lineares envolvendo números complexos;

A utilização de fasores resulta nos conceitos deimpedânciaeadmitância, análogos àresistênciaecondutânciaem circuitos puramente resistivos; Osmétodos de análiseeteoremasdesenvolvidos para circuitos resistivos

ponenciais;

Possibilitando, a substituição das funçõessenoidais pelas exponenciais

complexas correspondentes;

O conceito defasorpermite a conversão das equaçõesdiferencias

line-ares em equações algébricas lineares envolvendo números complexos;

A utilização de fasores resulta nos conceitos deimpedânciaeadmitância, análogos àresistênciaecondutânciaem circuitos puramente resistivos; Osmétodos de análiseeteoremasdesenvolvidos para circuitos resistivos

ponenciais;

Possibilitando, a substituição das funçõessenoidais pelas exponenciais

complexas correspondentes;

O conceito defasorpermite a conversão das equaçõesdiferencias line-ares em equações algébricas lineares envolvendo números complexos;

A utilização de fasores resulta nos conceitos deimpedânciaeadmitância, análogos àresistênciaecondutânciaem circuitos puramente resistivos; Osmétodos de análiseeteoremasdesenvolvidos para circuitos resistivos

ponenciais;

Possibilitando, a substituição das funçõessenoidais pelas exponenciais

complexas correspondentes;

O conceito defasorpermite a conversão das equaçõesdiferencias line-ares em equações algébricas lineares envolvendo números complexos; A utilização de fasores resulta nos conceitos deimpedânciaeadmitância, análogos àresistênciaecondutânciaem circuitos puramente resistivos;

Osmétodos de análiseeteoremasdesenvolvidos para circuitos resistivos

ponenciais;

Possibilitando, a substituição das funçõessenoidais pelas exponenciais

complexas correspondentes;

O conceito defasorpermite a conversão das equaçõesdiferencias line-ares em equações algébricas lineares envolvendo números complexos; A utilização de fasores resulta nos conceitos deimpedânciaeadmitância, análogos àresistênciaecondutânciaem circuitos puramente resistivos;

Osmétodos de análiseeteoremasdesenvolvidos para circuitos resistivos

Ostrês parâmetrosque descrevem um sinalsenoidalsãoamplitude,

ân-gulo de faseefrequência;

Quando umcircuito linearé excitado por uma ou mais fontes senoidais, todas de mesma frequência ω, asamplitudese osângulos de fasedas correntes e tensõesvariamde ramo para ramo;

Ostrês parâmetrosque descrevem um sinalsenoidalsãoamplitude,

ân-gulo de faseefrequência;

Quando umcircuito linearé excitado por uma ou mais fontes senoidais, todas de mesma frequência ω, asamplitudese osângulos de fasedas correntes e tensõesvariamde ramo para ramo;

Ostrês parâmetrosque descrevem um sinalsenoidalsãoamplitude,

ân-gulo de faseefrequência;

Quando umcircuito linearé excitado por uma ou mais fontes senoidais, todas de mesma frequência ω, asamplitudese osângulos de fasedas correntes e tensõesvariamde ramo para ramo;

Re 1 1 cos(ωt)ωt sin(ωt) 90 180 270 360 −1 −0.5 0.5 1

Im

Re

F

Φ

ωt

ω

O vetor pode ser visto como a

represen-tação gráfica de um número complexode

módulo Fme ângulo Φ, ou seja,FmejΦ. O vetor assume novos ângulos (ωt + Φ) à medida que gira, sendo descrito por

Seja

Fm= FmejΦ (5)

Então a função Fmejωtdescreve o vetor em qualquer instante de tempot. Aprojeção horizontaldeste vetor resulta

<[Fmejωt] = Fmcos(ωt + Φ) (6)

Assim, afunção fisicamente realizávelFmcos(ωt + Φ) pode ser imaginada como sendo aparte real da função complexaFmejωt, descrita por um vetor girante de módulo Fme ângulo de fase inicial Φ.

Seja

Fm= FmejΦ (5)

Então a função Fmejωt_{descreve o vetor em qualquer instante de tempot.}

Aprojeção horizontaldeste vetor resulta

<[Fmejωt] = Fmcos(ωt + Φ) (6)

Assim, afunção fisicamente realizávelFmcos(ωt + Φ) pode ser imaginada como sendo aparte real da função complexaFmejωt, descrita por um vetor girante de módulo Fme ângulo de fase inicial Φ.

Seja

Fm= FmejΦ (5)

Então a função Fmejωt_{descreve o vetor em qualquer instante de tempot.}

Aprojeção horizontaldeste vetor resulta

<[Fmejωt_{] = Fmcos(ωt + Φ) (6)}

Assim, afunção fisicamente realizávelFmcos(ωt + Φ) pode ser imaginada como sendo aparte real da função complexaFmejωt, descrita por um vetor girante de módulo Fme ângulo de fase inicial Φ.

Seja

Fm= FmejΦ (5)

Então a função Fmejωt_{descreve o vetor em qualquer instante de tempot.}

Aprojeção horizontaldeste vetor resulta

<[Fmejωt_{] = Fmcos(ωt + Φ) (6)} Assim, afunção fisicamente realizávelFmcos(ωt + Φ) pode ser imaginada como sendo aparte real da função complexaFmejωt, descrita por um vetor girante de módulo Fme ângulo de fase inicial Φ.

Ocoeficiente complexoFmé chamado defasor.

Embora todos os fasores sejam números complexos, nem todos os

nú-meros complexos são fasores;

O fasor descreve a função complexa completamente, a menos do valor

da frequênciaωque deve serespecificada em separado.

Aconvenção usualna análise de circuitos é expressar a função senoidal comoparte real da função exponencial complexa;

Assim, todas astensões e correntes em estado permanentepodem ser

determinadas comoprojeções no eixo real de seus fasores girantes em

Ocoeficiente complexoFmé chamado defasor.

Embora todos os fasores sejam números complexos, nem todos os

nú-meros complexos são fasores;

O fasor descreve a função complexa completamente, a menos do valor

da frequênciaωque deve serespecificada em separado.

Aconvenção usualna análise de circuitos é expressar a função senoidal comoparte real da função exponencial complexa;

Assim, todas astensões e correntes em estado permanentepodem ser

determinadas comoprojeções no eixo real de seus fasores girantes em

Ocoeficiente complexoFmé chamado defasor.

Embora todos os fasores sejam números complexos, nem todos os

nú-meros complexos são fasores;

O fasor descreve a função complexa completamente, a menos do valor

da frequênciaωque deve serespecificada em separado.

Aconvenção usualna análise de circuitos é expressar a função senoidal comoparte real da função exponencial complexa;

Assim, todas astensões e correntes em estado permanentepodem ser

determinadas comoprojeções no eixo real de seus fasores girantes em

Ocoeficiente complexoFmé chamado defasor.

Embora todos os fasores sejam números complexos, nem todos os

nú-meros complexos são fasores;

O fasor descreve a função complexa completamente, a menos do valor

da frequênciaωque deve serespecificada em separado.

Aconvenção usualna análise de circuitos é expressar a função senoidal

comoparte real da função exponencial complexa;

Assim, todas astensões e correntes em estado permanentepodem ser

determinadas comoprojeções no eixo real de seus fasores girantes em

Ocoeficiente complexoFmé chamado defasor.

Embora todos os fasores sejam números complexos, nem todos os

nú-meros complexos são fasores;

O fasor descreve a função complexa completamente, a menos do valor

da frequênciaωque deve serespecificada em separado.

Aconvenção usualna análise de circuitos é expressar a função senoidal

comoparte real da função exponencial complexa;

Assim, todas astensões e correntes em estado permanentepodem ser determinadas comoprojeções no eixo real de seus fasores girantes em sentido anti-horário;

Ofasor é um número complexo, representado por um ponto sobre a va-riável (ou emnegrito) queindepende do tempo;

Aconversãoentre a função senoidal e a representação fasorial, ou vice-versa, pode ser descrito da seguinte forma:

Fmcos(ωt + Φ) ⇐⇒ Fm= FmejΦ (7)

Desta forma, os fasores são úteis na soma e na subtração de funções

senoidais de mesma frequência, bastando, para isso, convertê-las em fasores, obter o fasor resultante e voltar para o domínio do tempo.

Ofasor é um número complexo, representado por um ponto sobre a va-riável (ou emnegrito) queindepende do tempo;

Aconversãoentre a função senoidal e a representação fasorial, ou

vice-versa, pode ser descrito da seguinte forma:

Fmcos(ωt + Φ) ⇐⇒ Fm= FmejΦ (7)

Desta forma, os fasores são úteis na soma e na subtração de funções

senoidais de mesma frequência, bastando, para isso, convertê-las em fasores, obter o fasor resultante e voltar para o domínio do tempo.

Ofasor é um número complexo, representado por um ponto sobre a va-riável (ou emnegrito) queindepende do tempo;

Aconversãoentre a função senoidal e a representação fasorial, ou

vice-versa, pode ser descrito da seguinte forma:

Fmcos(ωt + Φ) ⇐⇒ Fm= FmejΦ (7) Desta forma, os fasores são úteis na soma e na subtração de funções

senoidais de mesma frequência, bastando, para isso, convertê-las em

Considere uma tensão senoidal da forma:

v(t) = Vpcos(ωt + θ) (8)

Ofasorcorrespondente é dado por:

V(ω) = Vp θ (9)

Exemplo

i1(t) = I1cos(ωt + θ1) =⇒ I1= I1 θ1

Considere uma tensão senoidal da forma:

v(t) = Vpcos(ωt + θ) (8)

Ofasorcorrespondente é dado por:

V(ω) = Vp θ (9)

Exemplo

i1(t) = I1cos(ωt + θ1) =⇒ I1= I1 θ1

Considere uma tensão senoidal da forma:

v(t) = Vpcos(ωt + θ) (8)

Ofasorcorrespondente é dado por:

V(ω) = Vp θ (9)

Exemplo

i1(t) = I1cos(ωt + θ1)=⇒ I1= I1 θ1

Considere uma tensão senoidal da forma:

v(t) = Vpcos(ωt + θ) (8)

Ofasorcorrespondente é dado por:

V(ω) = Vp θ (9)

Exemplo

i1(t) = I1cos(ωt + θ1) =⇒ I1= I1 θ1

Considere uma tensão senoidal da forma:

v(t) = Vpcos(ωt + θ) (8)

Ofasorcorrespondente é dado por:

V(ω) = Vp θ (9)

Exemplo

i1(t) = I1cos(ωt + θ1) =⇒ I1= I1 θ1

Considere uma tensão senoidal da forma:

v(t) = Vpcos(ωt + θ) (8)

Ofasorcorrespondente é dado por:

V(ω) = Vp θ (9)

Exemplo

i1(t) = I1cos(ωt + θ1) =⇒ I1= I1 θ1

Im

Re

|Z|

θ

x

y

Im

Re

|Z|

θ

x

y

iL(t) L + − vL(t) Figura 6:indutor.

Considere que a seguinte corrente flui através do indutor iL(t) = Imsen(ωt + θ) (14) Sabendo que vL(t) = L diL(t) dt (15) Substituindo (14) em (15)

iL(t) L + − vL(t) Figura 6:indutor.

Considere que a seguinte corrente flui através do indutor iL(t) = Imsen(ωt + θ) (14) Sabendo que vL(t) = LdiL(t) dt (15) Substituindo (14) em (15)

IL ZL + − VL Figura 7:indutor. Ou vL(t) = ωLImsen(ωt + θ + 90◦) (17) Em termos de fasores IL= Im θ − 90◦ (18) VL= ωLIm θ (19)

IL ZL + − VL Figura 7:indutor. Ou vL(t) = ωLImsen(ωt + θ + 90◦) (17) Em termos de fasores IL= Im θ − 90◦ (18) VL= ωLIm θ (19)

IL ZL + − VL Figura 8:indutor. Impedância ZL=VL IL = ωLIm θ Im θ − 90◦ Ou ZL= VL IL = ωL 90◦ Portanto Z = jωL (20)

IL ZL + − VL Figura 8:indutor. Impedância ZL=VL IL = ωLIm θ Im θ − 90◦ Ou ZL= VL IL = ωL 90 ◦ Portanto Z = jωL (20)

VL = VMu

IL = IM u 90°

(a) Phasor diagram (b) Current and voltage versus time

vt vL(t) iL(t) 90° 2p u

Figure 5.8 Current lags voltage by 90 in a pure inductance.

The phasor diagram of the current and voltage is shown in Figure 5.8(a). The corre-sponding waveforms of current and voltage are shown in Figure 5.8(b). Notice that

the current lags the voltage by 90 for a pure inductance.

Current lags voltage by 90 for a pure inductance.

Equation 5.41 can be written in the form

VL= ( L

*

*

Using Equation 5.40 to substitute into Equation 5.42, we nd that

VL= ( L

*

which can also be written as

VL= j L × IL (5.44)

We refer to the term j L = L

_*

ZL= j L = L

*

and

VL= ZLIL (5.46)

Thus, the phasor voltage is equal to the impedance times the phasor current. Equation 5.46 shows that phasor voltage and phasor current for an inductance are related in a manner analogous to Ohm s law.

This is Ohm s law in phasor form. However, for an inductance, the impedance is an imaginary number, whereas resistance is a real number. (Impedances that are pure imaginary are also called reactances.)

Capacitance

In a similar faashion for a capacitance, we can show that if the current and voltage are sinusoidal, the phasors are related by

VC= ZCIC (5.47)

Figura 9:Formas de onda de tensão e corrente no indutor.

ic(t) C + − vc(t) Figura 10:Capacitor.

Utilizando a mesma metodologia aplicada ao indutor e sabendo que:

ic(t) = C dvc(t) dt (21) Obtém-se ZC= Vc Ic = 1 ωC −90 ◦ Portanto 1 1

ic(t) C + − vc(t) Figura 10:Capacitor.

Utilizando a mesma metodologia aplicada ao indutor e sabendo que:

ic(t) = Cdvc(t) dt (21) Obtém-se ZC= Vc Ic = 1 ωC −90 ◦ Portanto 1 1

Revisão

Impedância complexa

Resumo

The equivalent expression in the frequency domain is obtained once more by letting v(t) and i(t) be the complex quantities of Eqs. [16] and [17],

tak-ing the indicated derivative, suppresstak-ing ejωt_{, and recognizing the phasorsV} and I. Doing this, we find

I = jωCV [21]

Thus, I leads V by 90° in a capacitor. This, of course, does not mean that a current response is present one-quarter of a period earlier than the voltage that caused it! We are studying steady-state response, and we find that the current maximum is caused by the increasing voltage that occurs 90° earlier than the voltage maximum.

The time-domain and frequency-domain representations are compared in Fig. 10.15a and b. We have now obtained the V-I relationships for the three passive elements. These results are summarized in Table 10.1, where the time-domain v-i expressions and the frequency-domain V-I

relation-ships are shown in adjacent columns for the three circuit elements. All the phasor equations are algebraic. Each is also linear, and the equations relat-ing to inductance and capacitance bear a great similarity to Ohm’s law. In fact, we will indeed use them as we use Ohm’s law.

■FIGURE 10.15 (a) The time-domain and (b) the

frequency-domain relationships between capacitor current and voltage.

i = C v + – (a) C dv dt I = j␻CV V + – (b) C R i v + – L i v + – C i v + – R I V + – V + – V + – I I j␻L 1/j␻C

TABLE 10.1 Comparison of Time-Domain and Frequency-Domain ● Voltage-Current Expressions

Time Domain Frequency Domain

v = Ri V = RI

v = Ldi_dt V = jωLI v =_C1 i dt V =_jωC1 I

Kirchhoff’s Laws Using Phasors Kirchhoff’s voltage law in the time domain is

v1(t) + v2(t) + · · · + vN(t) = 0