Resumo. Este material foi proposto como ac¸˜ao emergencial devido a pande-mia de Covid-19. Portanto pode conter erros devido ao curto prazo para sua montagem/revis˜ao.
1. Introduc¸˜ao
Problemas de localizac¸˜ao possuem um apelo econˆomico muito relevante e por isso s˜ao alvo frequente de estudos na literatura [Galvao et al. 2002] [Klose and Drexl 2005] [Korupolo and Plaxton 2000].
h´a diversos problemas que se encaixam neste tipo, contudo, trˆes possuem maior destaque: o Problema das P-medianas, o Problema das K-medianas e o Problema de localizac¸˜ao de Facilidades. Devido `a imensa importancia deste ´ultimo, algumas de suas variantes tamb´em ser˜ao mostradas.
2. Problemas das P-medianas
Weber, nos anos 1920, inicio o estudo do uso de medianas no contexto de localizac¸˜ao. Com estudos na ´area comercial, desejava-se minimizar a distˆancia de f´abricas aos seus mercados consumidores e fornecedores de mat´erias primas. Weber se baseou nos traba-lhos de Fermat, relativos a triˆangulos, e acrescentou o uso de constantes multiplicativas (pesos) aos v´ertices do triˆangulo, que representavam o grau de “importˆancia” dos v´ertices. Na d´ecada de 1960, s˜ao apresentados trabalhos que aplicam esta de diferenciac¸˜ao dos v´ertices em grafos grafos, que s˜ao utilizadas at´e os dias de hoje.
O problema das P-medianas consiste em, dado um grafo G=(V,E), onde os v´ertices possuem demandas e as arestas representam os custos de transporte entre os v´ertices, encontrar um subconjunto de exatamente p v´ertices (da´ı o nome P-Medianas) para abrir/posicionar facilidades de produc¸˜ao/distribuic¸˜ao de modo que o custo total de trans-porte entre as facilidades e os demais v´ertices, ponderado pelas demandas, seja minimi-zado. A soluc¸˜ao do problema deve dizer qual facilidade vai atender a demanda de cada v´ertice e um v´ertice de demanda s´o pode estar ligado `a uma ´unica facilidade.
Em alguns casos, os v´ertices candidatos `a implantac¸˜ao das facilidades s´o podem ser escolhidos dentro de um subconjunto particular de V , chamado F , com F ⊂ V . Ou seja, as p facilidades s´o podem ser abertas dentro de um subconjunto espec´ıfico de v´etices. Em alguns casos, qualquer v´ertice do conjunto pode ser utilziado para posicionar a facilidade. ´E importante notar que os vertices em F podem possuir demanda, o que os coloca tanto como candidatos para a implantac¸˜ao quanto como clientes.
Por quest˜ao de generalidade, ser´a apresentado uma formulac¸˜ao que restringe o conjunto de v´ertices candidatos. Contudo a formulac¸˜ao ´e facilmente adaptavel para aten-der ao caso em que todos os v´ertices podem ser candidatos. Para tal, basta fazer com que o subconjunto de v´ertices candidatos F seja igual ao conjunto de v´ertices V , ou seja, F = V .
• Seja V o conjunto de v´ertices do problema (os v´ertices podem ser clientes, cida-des, etc);
• Seja F ⊆ V o subconjunto de v´ertices candidatos `a implantac¸˜ao da facilidade; • Seja p o n´umero de facilidades a serem abertas;
• Seja wi a demanda no v´ertice i por um determinado produto;
• Seja dij o custo de travessia da aresta que liga os v´ertices i e j.
Al´em disso, as seguintes vari´aveis precisam ser definidas: • xij =
1, se a demanda do vertice i ´e atendida pela facilidade implantada no v´ertice j
0, caso contr´ario • yj =
{
1, se uma das facilidades ´e implantada no v´ertice j 0, caso contr´ario
uma poss´ıvel formulac¸˜ao para o Problema das P-Medianas pode ser vista a seguir:
M in ∑ i∈V ∑ j∈F widij xij (1) ∑ j∈F xij = 1,∀i ∈ V, (2) ∑ j∈F yj = p, (3) xij ≤ yj,∀i ∈ V, ∀j ∈ F, (4) xij ∈ {0, 1}, ∀i ∈ V, ∀j ∈ F, (5) yj ∈ {0, 1}, ∀j ∈ F. (6)
Esta formulac¸˜ao apresenta a func¸˜ao objetivo (1) que minimiza os custos de trans-porte ponderados pela demanda de cada v´ertice. As restric¸˜oes (2) garantem que uma demanda est´a associada a exatamente uma facilidade. O conjunto de restric¸˜oes (3) limi-tam o n´umero de facilidades implantadas. J´a as restric¸˜oes (4) asseguram que as demandas s´o podem ser atendidas por facilidades implantadas e as demais restric¸˜oes tratam da inte-gralidade e n˜ao negatividade.
3. Problemas das K-Medianas
Este problema nem sempre ´e abordado pela literatura de modo isolado. Em alguns casos ele ´e tratado como variante do problema das P-Medianas e em alguns ´e tratado como variante do Problema de Localizac¸˜ao de Facilidades. O problema das K-Medianas Tem extrema semelhanc¸a com o Problema das P-Medianas. A diferenc¸a ´e que podem ser abertas k ou menos facilidades.
A seguir ser˜ao apresentadas as definic¸˜oes matem´aticas bem como uma poss´ıvel formulc¸˜ao para este problema.
• Seja V o conjunto de v´ertices do problema (os v´ertices podem ser clientes, cida-des, etc);
• Seja dij o custo de travessia da aresta que liga os v´ertices i e j.
Al´em disso, as seguintes vari´aveis precisam ser definidas: • xij =
1, se a demanda do vertice i ´e atendida pela facilidade implantada no v´ertice j
0, caso contr´ario • yj =
{
1, se uma das facilidades ´e implantada no v´ertice j 0, caso contr´ario
uma poss´ıvel formulac¸˜ao para o Problema das K-Medianas pode ser vista a seguir:
M in ∑ i∈V ∑ j∈F widij xij (7) ∑ j∈F xij = 1,∀i ∈ V, (8) ∑ j∈F yj ≤ k, (9) xij ≤ yj,∀i ∈ V, ∀j ∈ F, (10) xij ∈ {0, 1}, ∀i ∈ V, ∀j ∈ F, (11) yj ∈ {0, 1}, ∀j ∈ F. (12)
Esta formulac¸˜ao apresenta a func¸˜ao objetivo (7) que minimiza os custos de trans-porte ponderados pela demanda de cada v´ertice, assim como no problema das P-medianas. As restric¸˜oes (8) garantem que uma demanda est´a associada a exatamente uma facilidade. O conjunto de restric¸˜oes (9) limitam o n´umero de facilidades implantadas, fazendo com que at´e k facilidades possam ser implantadas. J´a as restric¸˜oes (10) asseguram que as de-mandas s´o podem ser atendidas por facilidades implantadas e as demais restric¸˜oes tratam da integralidade e n˜ao negatividade.
4. Problemas de Localizac¸˜ao de Facilidades
O Problema de Localizac¸˜ao de Facilidades (PLF), mais conhecido como Facility Loca-tion Problem (FLP), ´e um dos problemas de maior importˆancia econˆomica e portanto um dos mais estudados da literatura. Os conceitos s˜ao similares aos dos problemas das P-Medianas e das K-Medianas. No PLF cl´assico, busca-se minimizar a distˆancia entre os v´ertices de demanda e os vertices que possuem facilidades instaladas, respeitando o fato de que cada v´ertice de demanda s´o pode estar associado `a um v´ertice com facilidade instalada. As demandas dos clientes s˜ao unit´arias, n˜ao havendo portanto necessidade de ponderar as distˆancias pelas demandas na func¸˜ao objetivo, como feito nos problemas ante-riores. Tamb´em n˜ao h´a um n´umero m´aximo/exato de facilidades para instalar. Determinar a quantidade de facilidades a serem instaladas ´e parte do problema. Caso seja vantajoso, todos os v´ertices do conjunto F podem ser utilizados.
A seguir ser˜ao apresentadas as definic¸˜oes matem´aticas bem como uma poss´ıvel formulc¸˜ao para este problema.
• Seja V o conjunto de v´ertices do problema (os v´ertices podem ser clientes, cida-des, etc);
• Seja F ⊆ V o subconjunto de v´ertices candidatos `a implantac¸˜ao da facilidade; • Seja dij o custo de travessia da aresta que liga os v´ertices i e j.
Al´em disso, as seguintes vari´aveis precisam ser definidas: • xij =
1, se a demanda do vertice i ´e atendida pela facilidade implantada no v´ertice j
0, caso contr´ario • yj =
{
1, se uma das facilidades ´e implantada no v´ertice j 0, caso contr´ario
uma poss´ıvel formulac¸˜ao para o PLF pode ser vista a seguir:
M in ∑ i∈V ∑ j∈F dij xij (13) ∑ j∈F xij = 1,∀i ∈ V, (14) xij ≤ yj,∀i ∈ V, ∀j ∈ F, (15) xij ∈ {0, 1}, ∀i ∈ V, ∀j ∈ F, (16) yj ∈ {0, 1}, ∀j ∈ F. (17)
Esta formulac¸˜ao apresenta a func¸˜ao objetivo (28) que minimiza os custos de trans-porte entre as facilidades instaladas e os v´ertices de demanda. As restric¸˜oes (29) garantem que uma demanda est´a associada a exatamente uma facilidade. J´a as restric¸˜oes (30) asse-guram que as demandas s´o podem ser atendidas por facilidades implantadas e as demais restric¸˜oes tratam da integralidade e n˜ao negatividade.
Devido `a sua grande importˆancia econˆomica, algumas variantes do PLF de maior relevˆancia ser˜ao abordadas nas sec¸˜oes subsequentes
4.1. O PLF com Custo de Abertura
Em muitos trabalhos podem ser encontrados custos diferenciados para abertura das fa-cilidades dependendo do local escolhido para instalac¸˜ao, que representam reformas ou benfeitorias necess´arias para a instalac¸˜ao da facilidade em quest˜ao. Neste caso tudo o que deve ser feito ´e alterar a func¸˜ao objetivo para contemplar a quest˜ao.
A seguir ser˜ao apresentadas as definic¸˜oes matem´aticas bem como uma poss´ıvel formulc¸˜ao para este problema.
• Seja V o conjunto de v´ertices do problema (os v´ertices podem ser clientes, cida-des, etc);
• Seja F ⊆ V o subconjunto de v´ertices candidatos `a implantac¸˜ao da facilidade; • Seja dij o custo de travessia da aresta que liga os v´ertices i e j.
• Seja cj o custo para se instalar uma facilidade no v´ertice j.
0, caso contr´ario • yj =
{
1, se uma das facilidades ´e implantada no v´ertice j 0, caso contr´ario
uma poss´ıvel formulac¸˜ao para o PLF pode ser vista a seguir:
M in ∑ i∈V ∑ j∈F dij xij + ∑ j∈F cjyj (18) ∑ j∈F xij = 1,∀i ∈ V, (19) xij ≤ yj,∀i ∈ V, ∀j ∈ F, (20) xij ∈ {0, 1}, ∀i ∈ V, ∀j ∈ F, (21) yj ∈ {0, 1}, ∀j ∈ F. (22)
4.2. O Problema de Localizac¸˜ao de Facilidades Capacitado
Esta ´e a variante mais presente na literatura, sendo conhecido como Problema de Localizac¸˜ao de Facilidades Capacitado (PLFC) ou Capacitated Facility Location Pro-blem (CFLP). Nesta variante, cada facilidades j possui um limite de produc¸˜ao lj. Com a
presenc¸a de um limite de produc¸˜ao, faz sentido que cada vertice de demanda i tenha uma demanda wi espec´ıfica. Na maioria dos trabalhos para este problema, tamb´em existem
custos de abertura das facilidades.
A seguir ser˜ao apresentadas as definic¸˜oes matem´aticas bem como uma poss´ıvel formulc¸˜ao para este problema.
• Seja V o conjunto de v´ertices do problema (os v´ertices podem ser clientes, cida-des, etc);
• Seja F ⊆ V o subconjunto de v´ertices candidatos `a implantac¸˜ao da facilidade; • Seja wi a demanda no v´ertice i por um determinado produto;
• Seja dij o custo de travessia da aresta que liga os v´ertices i e j.
• Seja cj o custo para se instalar uma facilidade no v´ertice j.
• Seja lj o limite de produc¸˜ao da facilidade instalada no no v´ertice j.
Al´em disso, as seguintes vari´aveis precisam ser definidas: • xij =
1, se a demanda do vertice i ´e atendida pela facilidade implantada no v´ertice j
0, caso contr´ario • yj =
{
1, se uma das facilidades ´e implantada no v´ertice j 0, caso contr´ario
uma poss´ıvel formulac¸˜ao para o PLF pode ser vista a seguir:
M in ∑ i∈V ∑ j∈F widij xij + ∑ j∈F cjyj (23)
∑ j∈F xij = 1,∀i ∈ V, (24) ∑ i∈V wixij ≤ ljyj,∀j ∈ F, (25) xij ∈ {0, 1}, ∀i ∈ V, ∀j ∈ F, (26) yj ∈ {0, 1}, ∀j ∈ F. (27)
4.3. O PLF com Demanda Fracion´aria( ou Dividida)
Nesta variante, as demandas das cidades podem ser divididas em frac¸˜oes e atendidas por m´ultiplas facilidades simultaneamente, desde que a demanda de cada v´ertice seja atendida em sua totalidade. Neste caso, a vari´avel xij representa a frac¸˜ao da demanda do vertice i
atendida pela facilidade j, e portanto n˜ao ´e mais uma vari´avel bin´aria.
A seguir ser˜ao apresentadas as definic¸˜oes matem´aticas bem como uma poss´ıvel formulc¸˜ao para este problema.
• Seja V o conjunto de v´ertices do problema (os v´ertices podem ser clientes, cida-des, etc);
• Seja F ⊆ V o subconjunto de v´ertices candidatos `a implantac¸˜ao da facilidade; • Seja wi a demanda no v´ertice i por um determinado produto;
• Seja dij o custo de travessia da aresta que liga os v´ertices i e j.
• Seja cj o custo para se instalar uma facilidade no v´ertice j.
• Seja lj o limite de produc¸˜ao da facilidade instalada no no v´ertice j.
Al´em disso, as seguintes vari´aveis precisam ser definidas:
• xij ´e a frac¸˜ao da demanda do v´ertice i atendida pela facilidade instalada em j.
• yj =
{
1, se uma das facilidades ´e implantada no v´ertice j 0, caso contr´ario
uma poss´ıvel formulac¸˜ao para o PLF pode ser vista a seguir:
M in ∑ i∈V ∑ j∈F widij xij + ∑ j∈F cjyj (28) ∑ j∈F xij = 1,∀i ∈ V, (29) ∑ i∈V wixij ≤ ljyj,∀j ∈ F, (30) xij ∈ [0, 1], ∀i ∈ V, ∀j ∈ F, (31) yj ∈ {0, 1}, ∀j ∈ F. (32)
Referˆencias
Galvao, R. D., Espejo, L. G. A., and Boffey, B. (2002). A hierarchical model for the location of perinatal facilities in the municipality of Rio de Janeiro. European Journal of Operational Research, 138:495–517.
