Diagnóstico em modelos simétricos de regressão

Texto

(1) DIAGNOSTICO EM MODELOS SIMETRICOS DE ~ REGRESSAO. LUIS HERNANDO VANEGAS PENAGOS. Orientador: Prof. Dr. Fran is o Jose de Azevêdo Cysneiros de Con entra a~o: Estatsti a Apli ada Area. Disserta ~ao submetida omo requerimento par ial para obten ~ao do grau de Mestre em Estatsti a pela Universidade Federal de Pernambu o. Re ife, dezembro de 2005.

(2) Vanegas Penagos, Luis Hernando Diagnóstico em modelos simétricos de regressão / Luis Hernando Vanegas Penagos . – Recife : O Autor, 2005. xii, 119 folhas. : il., fig., quadros. Dissertação (mestrado) – Universidade Federal de Pernambuco. MEI. Estatística, 2005. Inclui bibliografia e apêndices. 1. Estatística aplicada – Modelagem . 2. Modelos simétricos de regressão – Tipos de resíduos – Componentes desvio e quantal . 3. Influência global – Métodos de diagnóstico . I. Título. 519.233.5 519.536. CDU (2.ed.) CDD (22.ed.). UFPE BC2005-678.

(3)

(4) minha esposa, Luz Marina, A minha m~ae, Mara Eugenia, A A minha irm~a, Luz Dary.. i.

(5) Agrade imentos Ao Programa de Mestrado em Estatsti a da Universidade Federal de Pernambu o, pela oportunidade e pelo apoio a mim on edidos, que me permitiram realizar o mestrado neste maravilhoso pas, e em espe ial, aos seus oordenadores, os professores Fran is o Cribari Neto e Klaus Vas on ellos. Ao Professor Dr. Fran is o Jose A. Cysneiros, meu orientador, pela oportunidade on edida, on

(6) an a, apoio, in entivo, disponibilidade, ompetên ia, pa iên ia, e ex elente orienta ~ao. Ao orpo do ente do Programa de Mestrado em Estatsti a da Universidade Federal de Pernambu o, pela sua ontribui ~ao na minha forma ~ao pessoal, a adêmi a e pro

(7) ssional. A minha esposa, Luz Marina, pelo apoio, pa iên ia, arinho e amor por ela sempre ofere idos. Agrade o tambem, sua ompreens~ao da minha ausên ia, mesmo quando eu estava presente

(8) si amente. A minha m~ae, Mara Eugenia, pelo apoio, amor, e em espe ial, pelo seu imensuravel esfor o para me edu ar e me forne er prin pios basi os. A minha irm~a, Luz Dary, pelo in entivo e ompreens~ao. Aos meus amigos, Gabriel, Angela, Alexandra, Angeli a, Rafael, Javier e Alexander, pelo in entivo e amizade. Aos meus olegas do mestrado, e em espe ial, Artur Jose Lemonte e Themis da Costa Abensur, pela amizade por eles ofere ida. A ban a examinadora, pelos omentarios e sugest~oes. A Valeria Bitten ourt, pela e

(9) iên ia e disponibilidade. Ao CNPq pelo apoio

(10) nan eiro. ii.

(11) Resumo A modelagem estatsti a sob a suposi ~ao de erros normalmente distribudos pode ser altamente in uen iada por observa ~oes extremas, o que motiva o estudo de te ni as de regress~ao mais robustas frente a este tipo de observa ~oes. Como uma alternativa, podem ser onsiderados modelos em que a distribui ~ao assumida para o erro perten e a lasse simetri a. Estes modelos s~ao hamados de modelos simetri os de regress~ao. Neste trabalho, estudamos analiti amente e atraves de simula ~oes de Monte Carlo as propriedades estatsti as de dois tipos de resduos propostos: omponente desvio e quantal para os modelos simetri os de regress~ao om omponentes sistemati as n~ao-lineares. Alem disso, desenvolvemos metodos de diagnosti o usando o enfoque de in uên ia global. Neste sentido, propomos algumas medidas tais omo distân ia de Cook, estatsti a W-K, aproxima ~ao a um passo, afastamento da verossimilhan a e alguns metodos gra

(12) os.. iii.

(13) Abstra t The statisti al modelling using the assumption of normally distributed errors an be strongly in uen ed by extreme observations. This motivates the study on regression te hniques that are robust in presen e of this type of observations. As an alternative, models in whi h the error term belongs to the symmetri al lass an be onsidered. This lass of models is alled symmetri al regression models. In these models, the tails of the distribution of the error term are heavier than the tails of the normal distribution. In this work, we studied analyti ally and numeri ally the properties for two types of proposed residuals for symmetri al nonlinear regression models: devian e and quantal. Besides, we developed diagnosti methods on symmetri al regression models with systemati nonlinear omponents using the global in uen e approa h. Through this approa h we obtain measures as the Cook distan e, W-K statisti , one step approximation, likelihood displa ement and some graphi s methods.. iv.

(14) Sum ario. 1 Introdu ~ao. 1. 5 2 Modelos Simetri os de Regress~ao 2.1 Classe simetri a de distribui ~oes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 2.2 Modelo Simetri o de Regress~ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 3 Resduos 3.1 De

(15) ni ~ao de resduos . . . . . . . . . . 3.1.1 Resduo omponente de desvio . 3.1.2 Resduo quantal . . . . . . . . . 3.2 Avalia ~ao analti a dos resduos . . . . 3.3 Avalia ~ao numeri a dos resduos . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. 4 In uên ia 4.1 Modelo de dele ~ao de asos . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.1 Distân ia de Cook . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.2 Estatsti a W-K . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2 Modelo de mudan a de medias . . . . . . . . . . . . . 4.2.1 Estudo de simula ~ao . . . . . . . . . . . . . . 4.3 Gra

(16) o da variavel adi ionada . . . . . . . . . . . . . 4.3.1 Testando a in lus~ao de parâmetros . . . . . . 4.3.2 Testando a ex lus~ao de parâmetros do modelo v. . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . .. . . . . .. 26 28 29 36 37 44. . . . . . . . .. 53 54 57 63 63 66 70 71 73.

(17) Sumario. vi. 5 Exemplos 75 5.1 Coelhos Europeus na Australia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 5.2 Con entra ~ao de Cloro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 6 Con lus~oes. 97. A Lemas e Resultados. 100. B Vies de segunda ordem. 106. C Coelhos Europeus. 107. D Programa Coelhos Europeus. 108. E Con entra ~ao de Cloro. 113. Referên ias. 114.

(18) Lista de Quadros. 2.1 Algumas distribui ~oes perten entes a lasse simetri a. . . . . . . . 2.2 Express~oes para v (z ), 4dg , 4fg e para algumas distribui ~oes perten entes a lasse simetri a. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1 Express~oes para o resduo tD (^zi ) em algumas distribui ~oes perten entes a lasse simetri a. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Express~oes para zg (z ) em algumas distribui ~oes perten entes a lasse simetri a. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3 Compara ~ao das audas da distribui ~ao de tD (zi )=g om as audas da distribui ~ao normal padr~ao. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4 Express~oes gerais para as vers~oes padronizadas dos resduos tD (^zi ), tQ (^zi ) e zî . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5 Valores da variân ia e do fator de orre ~ao para o resduo tD (^zi ) quando o erro do modelo segue distribui ~ao t-Student om graus de liberdade. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.6 Valores do fator de orre ~ao para o resduo tQ (^zi ) quando o erro do modelo segue distribui ~ao t-Student om graus de liberdade. . 3.7 Medidas des ritivas para a distribui ~ao empri a do resduo tQ (^zi ) no modelo de Gompertz om erros t-Student de =5 graus de liberdade. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. vii. 8 18 31 32 35 42 43 43 46.

(19) LISTA DE QUADROS. 3.8 Medidas des ritivas para a distribui ~ao empri a do resduo tD (^zi ) no modelo de Gompertz om erros t-Student de =5 graus de liberdade. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.9 Medidas des ritivas para a distribui ~ao empri a do resduo tri no modelo de Gompertz om erros t-Student de =5 graus de liberdade. 3.10 Medidas des ritivas para a distribui ~ao empri a do resduo tQ (^zi ) no modelo de Gompertz om erros logsti a tipo II. . . . . . . . . . 3.11 Medidas des ritivas para a distribui ~ao empri a do resduo tD (^zi ) no modelo de Gompertz om erros logsti a tipo II. . . . . . . . . . 3.12 Medidas des ritivas para a distribui ~ao empri a do resduo tri no modelo de Gompertz om erros logsti a tipo II. . . . . . . . . . . 3.13 Medidas des ritivas para a distribui ~ao empri a do resduo tQ (^zi ) no modelo de Mi haelis-Menten om erros t-Student de =5 graus de liberdade. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.14 Medidas des ritivas para a distribui ~ao empri a do resduo tD (^zi ) no modelo de Mi haelis-Menten om erros t-Student de =5 graus de liberdade. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.15 Medidas des ritivas para a distribui ~ao empri a do resduo tri no modelo de Mi haelis-Menten om erros t-Student de =5 graus de liberdade. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.16 Medidas des ritivas para a distribui ~ao empri a do resduo tQ (^zi ) no modelo de Mi haelis-Menten om erros logsti a tipo II. . . . . 3.17 Medidas des ritivas para a distribui ~ao empri a do resduo tD (^zi ) no modelo de Mi haelis-Menten om erros logsti a tipo II. . . . . 3.18 Medidas des ritivas para a distribui ~ao empri a do resduo tri no modelo de Mi haelis-Menten om erros logsti a tipo II. . . . . . .. viii. 47 47 48 48 49 49 50 50 51 51 52. 4.1 Express~oes para (z )z em algumas distribui ~oes da lasse simetri a. 59 4.2 Tamanho dos testes para identi

(20) ar outliers no modelo de Mi haelisMenten quando o erro segue distribui ~ao t-Student om =4 graus de liberdade. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 4.3 Poder empri o do teste para identi

(21) ar outliers no modelo de Mi haelisMenten para s =0,5 e 0,8 quando o erro segue distribui ~ao tStudent om =4 graus de liberdade. . . . . . . . . . . . . . . . . 68.

(22) LISTA DE QUADROS. ix. 4.4 Poder empri o do teste para identi

(23) ar outliers no modelo de Mi haelisMenten para s =1,38 e 2,07 quando o erro segue distribui ~ao tStudent om =4 graus de liberdade. . . . . . . . . . . . . . . . . 69 4.5 Poder empri o do teste para identi

(24) ar outliers no modelo de Mi haelisMenten para s =2,77 e 4,15 quando o erro segue distribui ~ao tStudent om =4 graus de liberdade. . . . . . . . . . . . . . . . . 69 4.6 Poder empri o do teste para identi

(25) ar outliers no modelo de Mi haelisMenten para s =5,54 e 6,92 quando o erro segue distribui ~ao tStudent om =4 graus de liberdade. . . . . . . . . . . . . . . . . 70 5.1 Estimativas de maxima verossimilhan a (erro padr~ao) para alguns modelos simetri os ajustados aos dados dos oelhos europeus. . . . 5.2 Mudan as per entuais nas estimativas dos parâmetros nos modelos ajustados aos dados dos oelhos depois de ex ludas as observa ~oes (4, 5, 16, 17). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3 Estimativas de maxima verossimilhan a (erro padr~ao) para alguns modelos simetri os ajustados aos dados da on entra ~ao de loro. 5.4 Mudan as per entuais nas estimativas dos parâmetros nos modelos ajustados aos dados da on entra ~ao de loro depois de ex ludas as observa ~oes (10, 17, 18). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.5 Mudan as per entuais nas estimativas dos parâmetros nos modelos ajustados aos dados da on entra ~ao de loro depois de ex ludas as observa ~oes (10, 17, 18, 35, 39, 40). . . . . . . . . . . . . . . .. 76 84 88 95 95. C.1 Pesos das lentes dos olhos de oelhos europeus (y ), em miligramas, e idade (x) em dias numa amostra de 71 observa ~oes. . . . . . . . 107 E.1 Con entra ~ao de loro disponvel num produto, (y ) e tempo desde que o mesmo foi produzido, (x) em semanas numa amostra de 44 observa ~oes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113.

(26) Lista de Figuras. 2.1 Fun ~ao de densidade da distribui ~ao logsti a tipo II. . . . . . . . 11 2.2 Fun ~ao de densidade da distribui ~ao t-Student generalizada om parâmetros r = 3, s = 5 (esquerda) e s = 7 (direita). . . . . . . . 11 2.3 Fun ~ao de densidade da distribui ~ao t-Student om = 4 (esquerda) e = 10 (direita) graus de liberdade. . . . . . . . . . . . 12 2.4 Fun ~ao de densidade da distribui ~ao exponen ial potên ia om parâmetro k = 0; 5 (esquerda) e k = 0; 7 (direita). . . . . . . . . . . . . . . . 12 2.5 Comportamento da famlia de urvas de Gompertz para diferentes valores de

(27) 3 om

(28) 1 = 10 e

(29) 2 = 7. . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.6 Comportamento da famlia de urvas de Mi haelis-Menten para diferentes valores de

(30) 2 om

(31) 1 = 10. . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.7 Comportamento da fun ~ao de pesos (z ) para modelos em que o erro segue distribui ~ao exponen ial potên ia de parâmetro k. . . . 23 2.8 Comportamento da fun ~ao de pesos (z ) para modelos em que o erro segue distribui ~ao t-Student om graus de liberdade. . . . . 23 2.9 Comportamento da fun ~ao de pesos (z ) para modelos em que o erro segue distribui ~ao t-Student generalizada om parâmetros s =4 e r. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.10 Comportamento da fun ~ao de pesos (z ) para modelos em que o erro segue distribui ~ao exponen ial potên ia de parâmetro k. . . . 24. x.

(32) LISTA DE FIGURAS. 2.11 Comportamento da fun ~ao de pesos (z ) para modelos em que o erro segue distribui ~ao logsti a tipo II. . . . . . . . . . . . . . . . Fun ~ao de densidade de tD (zi ) em modelos em que o erro segue distribui ~ao t-Student generalizada om parâmetro r = 5 (esquerda) e r = 8 (direita). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Fun ~ao de densidade de tD (zi ) em modelos em que o erro segue distribui ~ao t-Student om = 4 (esquerda) e = 10 (direita) graus de liberdade. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3 Fun ~ao de densidade de tD (zi ) em modelos em que o erro segue distribui ~ao logsti a tipo II. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4 Rela ~ao entre a variavel resposta y e a variavel expli ativa x para uma amostra gerada do modelo de Gompertz om erros logsti a tipo II e parâmetro de es ala =0,5. . . . . . . . . . . . . . . . .. xi. 25. 3.1. 4.1 Comportamento da fun ~ao (z )z para modelos em que o erro segue distribui ~ao t-Student om graus de liberdade. . . . . . . . . . . 4.2 Comportamento da fun ~ao (z )z para modelos em que o erro segue distribui ~ao t-Student generalizada de parâmetros s =4 e r. . . . . 4.3 Comportamento da fun ~ao (z )z para modelos em que o erro segue distribui ~ao logsti a tipo II. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4 Comportamento da fun ~ao (z )z para modelos em que o erro segue distribui ~ao exponen ial potên ia de parâmetro k. . . . . . . . . . 5.1 Gra

(33) o de dispers~ao do peso das lentes dos olhos ontra idade de oelhos europeus. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2 Gra

(34) o de resduos tD (^zi ) ontra os valores ajustados para o exemplo dos oelhos europeus. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3 Gra

(35) o normal de probabilidades om envelope para o exemplo dos oelhos europeus. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4 Gra

(36) o das estatsti as L e tD2 (^z ) ontra o ndi e das observa ~oes para o exemplo dos oelhos europeus. As estatsti as L e tD2 (^z ) s~ao representadas por e 4, respe tivamente. . . . . . . . . . . . I 5.5 Gra

(37) o de DG

(38) (^ (i) ) ontra o ndi e das observa ~oes para o exemplo dos oelhos europeus. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 33 33 34 45 61 61 62 62 76 78 79 80 82.

(39) LISTA DE FIGURAS I 5.6 Gra

(40) o de DG (^ (i) ) ontra o ndi e das observa ~oes para o exemplo dos oelhos europeus. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.7 Gra

(41) o do parâmetro ex ludo (

(42) 3 ) para o exemplo dos oelhos europeus. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.8 Compara ~ao das medidas de in uên ia baseadas em ^ (i) om as baI seadas na aproxima ~ao a um passo ^ (i) para o modelo de resposta t-Student(4) no exemplo dos oelhos. As medidas baseadas em ^ (i) I e ^ (i) s~ao representadas por e 4, respe tivamente. . . . . . . . . 5.9 Gra

(43) o de dispers~ao da on entra ~ao de loro disponvel no produto e o tempo em semanas desde sua fabri a ~ao. . . . . . . . . . . . . 5.10 Gra

(44) o de resduos tD (^zi ) ontra os valores ajustados para o exemplo da on entra ~ao de loro. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.11 Gra

(45) o normal de probabilidades om envelope para o exemplo da on entra ~ao de loro. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I 5.12 Gra

(46) o de DG

(47) (^ (i) ) ontra o ndi e das observa ~oes para o exemplo da on entra ~ao de loro. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I 5.13 Gra

(48) o de DG (^ (i) ) ontra o ndi e das observa ~oes para o exemplo da on entra ~ao de loro. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.14 Gra

(49) o de W Ki (

(50) ^2I ) ontra o ndi e das observa ~oes para o exemplo da on entra ~ao de loro. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.15 Compara ~ao das medidas de in uên ia baseadas em ^ (i) om as I baseadas na aproxima ~ao a um passo ^ (i) para o modelo de resposta t-Student(3) no exemplo da on entra ~ao de loro. As medidas I baseadas em ^ (i) e ^ (i) s~ao representadas por e 4, respe tivamente.. xii. 83 85. 86 87 89 90 92 93 94. 96.

(51) CAPITULO 1. Introdu ~ao A modelagem estatsti a e uma das ferramentas usadas om maior frequên ia em diversas areas do onhe imento por pesquisadores, ujo interesse e responder as perguntas que motivaram sua investiga ~ao atraves da analise estatsti a de um onjunto de dados. Na literatura estatsti a existem muitas te ni as de modelagem, dentre as quais, a analise baseada em modelos de resposta normal e a mais popular quando a variavel de interesse e ontnua, devido a que esta distribui ~ao tem propriedades estatsti as desejaveis e uma ampla teoria desenvolvida. Entretanto, e bem onhe ido que a modelagem sobre a suposi ~ao de respostas normalmente distribudas pode ser altamente in uen iada por outliers (observa ~oes extremas ou aberrantes). Sendo assim, a apli a ~ao destes modelos na presen a de observa ~oes extremas pode levar a on lus~oes inadequadas. Como uma alternativa a analise lassi a para onjuntos de dados om observa ~oes extremas, podem ser onsiderados modelos em que a distribui ~ao assumida para a resposta perten e a lasse simetri a de distribui ~oes (veja Fang, Kotz e Ng, 1990). Por exemplo, modelos em que as respostas s~ao assumidas omo variaveis aleatorias independentes seguindo distribui ~oes om audas mais pesadas do que a normal podem reduzir e ontrolar a in uên ia das observa ~oes aberrantes. Estes modelos, hamados de modelos simetri os de regress~ao (veja Cysneiros, Paula e Galea, 2005), podem ser onsiderados omo uma extens~ao da teoria lassi a de regress~ao para resposta ontnua, na qual se propor iona alta exibilidade na espe i

(52) a ~ao da distribui ~ao para a variavel resposta. Exemplos tpi os desta lasse s~ao modelos em que e assumido que a resposta segue distri1.

(53) Introdu ~ao. 2. bui ~oes tais omo normal, logsti a tipos I e II, t-Student, t-Student generalizada, exponen ial potên ia, entre outras. Dado que o modelo simetri o de regress~ao pode ser uma alternativa para a modelagem de onjuntos de dados om observa ~oes extremas, e importante avaliar a adequabilidade e/ou robustez deste tipo de modelo na presen a de observa ~oes aberrantes. Para esta avalia ~ao podem ser usados os metodos de diagnosti o, os quais permitem avaliar se a diferen a entre o observado e o expli ado pelo modelo e estatisti amente signi

(54) ativa. Alem disso, as te ni as de diagnosti o permitem identi

(55) ar observa ~oes om uma in uên ia despropor ional nas estimativas dos parâmetros do modelo. Portanto, a valida ~ao do modelo ajustado atraves de metodos de diagnosti o e uma omponente fundamental na apli a ~ao dos modelos simetri os de regress~ao, o que in entiva o estudo e aprofundamento deste topi o. Galea, Paula e Cysneiros (2005) desenvolvem metodos de diagnosti o em modelos simetri os de regress~ao, propondo um resduo seguindo a linha de Cox e Snell (1968), avaliando in uên ia lo al seguindo a linha de Cook (1986), e medindo alavan agem seguindo a linha de Wei, Hu e Fung (1998). Neste trabalho desenvolvemos metodos de diagnosti o em modelos simetri os de regress~ao usando o enfoque de in uên ia global. Este enfoque foi usado, por exemplo, em Cook (1977) para os modelos normais lineares, em Pregibon (1981) para os modelos lineares generalizados, em Tang, Wei e Wang (2000) para os modelos n~ao-lineares reprodutivos, e em Fung et al (2002) para os modelos mistos semi-parametri os. Este trabalho esta organizado em seis aptulos. No Captulo 2 de

(56) nimos os modelos simetri os de regress~ao, des revendo suas omponentes aleatoria e sistemati a, bem omo suas prin ipais propriedades e ara tersti as no pro esso de estima ~ao e de inferên ia. Tambem s~ao apresentadas as express~oes da fun ~ao de es ore e da matriz de informa ~ao esperada de Fisher. Alem disso, estudamos o efeito da espe i

(57) a ~ao da distribui ~ao para a variavel resposta no pro esso de estima ~ao. No Captulo 3, propomos uma de

(58) ni ~ao geral de resduos para os modelos simetri os de regress~ao. A adequabilidade e as propriedades estatsti as mais importantes dos resduos propostos s~ao estudadas analiti amente usando expans~oes de Cox e Snell (1968), e via simula ~ao de Monte Carlo apli ando os resduos es-.

(59) Introdu ~ao. 3. tudados em modelos em que a omponente sistemati a e dada pelas urvas de Gompertz e Mi haelis-Menten. A distribui ~ao assintoti a dos resduos propostos e estudada usando as propriedades dos estimadores de maxima verossimilhan a. Alem disso, os resduos onsiderados naquele aptulo s~ao omparados atraves de simula ~ao de Monte Carlo om o resduo proposto em Galea, Paula e Cysneiros (2005). Vale salientar que os estudos de simula ~ao desenvolvidos neste trabalho foram onduzidos usando as rotinas omputa ionais nos softwares R e S-Plus disponveis no site www.de.ufpe.br/ ysneiros/ellipti al/ellipti al.html (veja Cysneiros, Paula e Galea, 2005). No Captulo 4, desenvolvemos algumas medidas para identi

(60) ar observa ~oes in uentes na lasse dos modelos simetri os de regress~ao. Utilizando o enfoque baseado no modelo de dele ~ao de asos (CDM) proposto por Cook (1977), desenvolvemos varias medidas tais omo distân ia de Cook (Cook, 1977), estatsti a W-K (Pregibon, 1981), aproxima ~ao a um passo e o afastamento da verossimilhan a (Cook e Weisberg, 1982). Alem disso, utilizando simula ~ao de Monte Carlo e o modelo de Mi haelis-Menten, estudamos o desempenho do teste para identi

(61) ar outliers baseado na metodologia denominada modelo de mudan a de medias (MSOM) (veja Wei e Fung, 1999). Finalmente, naquele aptulo apresentamos alguns metodos gra

(62) os para avaliar a in uên ia das observa ~oes na signi

(63) ân ia estatsti a dos parâmetros do modelo. Estes metodos s~ao uma extens~ao das te ni as estudadas por Cook e Weisberg (1982) e Wang (1985). No Captulo 5 apresentamos dois exemplos atraves dos quais ilustramos a apli a ~ao e interpreta ~ao da metodologia estudada neste trabalho. Para o primeiro exemplo, onsideramos uma apli a ~ao analisada em Ratkowsky (1983), ujo interesse prin ipal e estudar a rela ~ao entre o peso das lentes dos olhos de oelhos europeus, y (em mg) e a idade do animal, x (em dias), numa amostra de 71 observa ~oes. A motiva ~ao para o uso deste onjunto de dados e a suspeita da presen a de outliers quando este e analisado sob a suposi ~ao de erros normais. Como um segundo exemplo, onsideramos o onjunto de dados analisado em Draper e Smith (1998), que orresponde a um experimento desenvolvido om o objetivo de expli ar a on entra ~ao de loro disponvel num produto, y em rela ~ao ao tempo desde que o mesmo foi fabri ado, x (em semanas), numa amostra de 44 observa ~oes. A motiva ~ao para o uso deste onjunto de dados e a.

(64) Introdu ~ao. 4. presen a de outliers quando o mesmo e analisado om o modelo de resposta normal. Para

(65) nalizar, no Captulo 6 apresentamos as on lus~oes mais importantes deste trabalho..

(66) CAPITULO 2. Modelos Simetri os de Regress~ao Os modelos de regress~ao s~ao formulados e apli ados om o objetivo de expli ar e/ou predizer o omportamento de uma variavel de interesse, denominada variavel resposta, em rela ~ao a um onjunto de variaveis expli ativas. Isto e feito supondo que para ada indivduo na popula ~ao de estudo, a variavel resposta segue uma distribui ~ao de probabilidade ujos parâmetros dependem dos valores das variaveis expli ativas. Desta maneira, os modelos de regress~ao podem ser de

(67) nidos om base em duas omponentes prin ipais, a aleatoria e a sistemati a. A omponente aleatoria des reve a distribui ~ao assumida pelo modelo para a variavel resposta, a qual e es olhida dependendo de ara tersti as parti ulares da variavel resposta na popula ~ao de estudo. Uma destas ara tersti as pode ser a es ala na qual e medida esta variavel; desta maneira, se a resposta e ontnua no intervalo ( 1; 1) e possvel assumir uma distribui ~ao normal, enquanto que, para respostas do tipo dis reto, por exemplo, podem-se usar distribui ~oes omo poisson ou binomial, entre outras. Por outro lado, a omponente sistemati a do modelo des reve a rela ~ao assumida entre a variavel resposta e as variaveis expli ativas. Geralmente, a media da distribui ~ao da variavel resposta e um indi ador adequado do omportamento desta variavel; portanto, muitos dos modelos de regress~ao s~ao formulados supondo que a media da distribui ~ao da resposta e uma fun ~ao das variaveis expli ativas e de um vetor de parâmetros des onhe idos. Desta maneira, a omponente sistemati a determina a rela ~ao fun ional entre os parâmetros da distribui ~ao da resposta e as variaveis expli ativas. Dependendo do fenômeno em estudo, 5.

(68) Modelos Simetri os de Regress~ao. 6. a omponente sistemati a pode ser onsiderada omo linear ou n~ao-linear nos parâmetros, dando lugar aos modelos de regress~ao lineares e n~ao-lineares, respe tivamente. Assim, os modelos simetri os de regress~ao s~ao uma extens~ao da teoria lassi a de regress~ao para resposta ontnua, na qual se abre o leque de op ~oes para a omponente aleatoria do modelo, permitindo que a distribui ~ao para a variavel resposta possa ser estendida a lasse simetri a de distribui ~oes. Alem disso, estes modelos podem onsiderar omponentes sistemati as n~ao-lineares, possibilitando o estudo de grande variedade de fenômenos, muitos dos quais n~ao podem ser abordados usando modelos lineares. Entretanto, a motiva ~ao para o uso de modelos simetri os de regress~ao n~ao esta baseada somente na exibilidade da espe i

(69) a ~ao da omponente aleatoria, pois estes modelos propor ionam tambem uma modelagem apropriada para a analise de onjuntos de dados om outliers (observa ~oes extremas ou aberrantes), em que a apli a ~ao de modelos de resposta normal pode ser inadequada. A apli a ~ao de um modelo em que a distribui ~ao assumida para a resposta tem audas mais pesadas do que a normal pode reduzir e ontrolar a in uên ia das observa ~oes extremas, permitindo uma inferên ia apropriada do onjunto de dados em estudo. Os modelos simetri os de regress~ao têm re ebido muitas ontribui ~oes nos ultimos anos, podendo-se rela ionar alguns trabalhos re entes. Por exemplo, Cordeiro et al (2000) derivam express~oes para o vies de segunda ordem dos estimadores de maxima verossimilhan a dos parâmetros nos modelos simetri os de regress~ao. Ferrari e Uribe-Opazo (2001) desenvolvem orre ~oes de Bartlett para a estatsti a da raz~ao de verossimilhan as em modelos om omponentes sistemati as lineares. Cordeiro (2004) estende os resultados de Ferrari e UribeOpazo (2001) aos modelos om omponentes sistemati as n~ao-lineares. Galea, Paula e Uribe-Opazo (2003) avaliam in uên ia lo al em modelos simetri os de regress~ao om omponentes sistemati as lineares. Cysneiros e Paula (2004) desenvolvem testes restritos em modelos lineares om erros t-multivariados. Cysneiros (2004) e Galea, Paula e Cysneiros (2005) prop~oem um resduo padronizado e avaliam in uên ia lo al em modelos simetri os de regress~ao om omponentes sistemati as n~ao-lineares. Podemos itar algumas referên ias de texto no assunto tais omo Fang, Kotz e Ng (1990), Fang e Anderson (1990), Fang e Zhang (1990).

(70) Modelos Simetri os de Regress~ao. 7. e Cysneiros, Paula e Galea (2005). Neste aptulo de

(71) nimos os modelos simetri os de regress~ao, des revendo suas omponentes aleatoria e sistemati a, bem omo suas propriedades e ara tersti as mais importantes no pro esso de estima ~ao e de inferên ia.. 2.1 Classe simetri a de distribui ~oes A famlia de distribui ~oes elpti as, introduzida por Kelker (1970), onsiste em uma generaliza ~ao da distribui ~ao normal multivariada. Esta famlia de distribui ~oes tem sido onsiderada por muitos autores, omo, por exemplo, Cambanis, Huang e Simons (1981), Berkane e Bentler (1986), Fang, Kotz e Ng (1990), Fang e Anderson (1990), Fang e Zhang (1990), Rao (1990), Landsman e Valdez (2002), entre outros. No aso univariado, a famlia de distribui ~oes elpti as orresponde a lasse simetri a de distribui ~oes, na qual esta baseada a omponente aleatoria dos modelos simetri os de regress~ao. A distribui ~ao da variavel aleatoria y perten e a lasse simetri a de distribui ~oes se sua fun ~ao de densidade pode ser es rita omo 1 (y )2 ; y 2 IR; (2.1) f (y ; ; ) = p g para alguma fun ~ao g () denominada fun ~ao geradora de densidades, om g (u) > 0, R para u > 0 e 01 u 1=2 g (u)du = 1, em que 2 IR e > 0 s~ao os parâmetros de lo a ~ao e es ala, respe tivamente. Se esta ondi ~ao e satisfeita, es revemos y S (; ) e dizemos que a distribui ~ao da variavel aleatoria y perten e a lasse simetri a. Como exemplos de distribui ~oes perten entes a esta lasse podemos itar a normal, au hy, t-Student, t-Student generalizada, logsti a tipos I e II, logsti a generalizada, Kotz, Kotz generalizada, normal ontaminada, exponen ial dupla, exponen ial potên ia, entre outras. No Quadro 2.1 apresentamos algumas destas distribui ~oes. Se y S (; ), sua fun ~ao ara tersti a, &y (t) = E (eity ), pode ser es rita omo &y (t) = eit '(t2 ), t 2 IR para alguma fun ~ao ', om '(u) 2 IR para u > 0. Quando existem, E (y ) = e Var(y ) = , em que > 0 e uma onstante dada por = 2'0 (0), om '0 (0) = '(u)=uju = 0 e que n~ao depende dos parâmetros e . As distribui ~oes perten entes a lasse simetri a apresentam algumas propriedades analogas as da distribui ~ao normal, omo por exemplo, se.

(72) Fun ~ao geradora de densidades g (u). Distribui ~ao. p1. Normal. 2. Curtose. exp( u=2). 3. 1 (1 + u). Cau hy. t-Student. 1 =2 ( + u) B(1=2; =2). t-Student generalizada. 1 sr=2 (s + u) B(1=2; r=2). Logsti a tipo I Logsti a tipo II. n~ao existe +1 2. r +1 2. ,. eu (1 + e u )2 1. eu1=2 (1 + e u1=2 )2. ,. >0. 3+. s; r > 0. 3+. . 6. 4. 6. r 4. Modelos Simetri os de Regress~ao. Quadro 2.1 Algumas distribui ~oes perten entes a lasse simetri a.. ; >4 ; r>4. 2,3851 4,2. B(; ) e a fun a~o beta; 1; 484300029. 8.

(73) Distribui ~ao. p. Logsti a generalizada. e m u. p , B(m; m) (1 + e u )2m. Exponen ial potên ia. exp[ 21 u1=(k+1) ℄ , (1 + 1+2 k )21+(1+k)=2. Kotz Kotz generalizada Normal ontaminada. (1 "). m > 0, > 0 1<k1. r(2N 1)=2 N 1 u e ( 2N2 1 ). ru. ,. r > 0; N. sr(2N 1)=2s N 1 u e ( 2N2s 1 ). rus. ,. r; s > 0; N. exp( u=2) exp( u=(2 2 )) p p , +" 2 2. B(; ) e a fun a~o beta, () a fun a~o gama e. Curtose. (1). ();. (3). 1 1. > 0; 0 " 1. 3+. 2. (3) (m). (1) (m)2. ( 52 (1 + k)) ( 1+2 k ) 2 ( 3 (k + 1)) 2. Modelos Simetri os de Regress~ao. Fun ~ao geradora de densidades g (u). 2N + 1 2N 1 ( 2N2s 1 ) ( 2N2s+3 ) 2 ( 2N +1 ) 2s 3[1 + "( 4 1)℄ [1 + "( 2 1)℄2. () a primeira e ter eira derivadas da fun a~o digama.. 9.

(74) Modelos Simetri os de Regress~ao. 10. y S (; ) ent~ao a + b y S (a + b; b2 ), em que a, b 2 IR om b = 6 0, isto e, a distribui ~ao de uma ombina ~ao linear de uma variavel aleatoria uja distribui ~ao perten e a lasse simetri a tambem perten e a esta lasse. Este resultado permite que, a partir de uma variavel aleatoria simetri a padr~ao, possa ser onstruda uma famlia de variaveis aleatorias ujas distribui ~oes tambem perten em a lasse simetri a. Ou seja, se z segue distribui ~ao S (0; 1) om fun ~ao geradora de densidades g (), ent~ao para ada 2 IR e > 0, a distribui ~ao p da variavel aleatoria y = + z; perten e a lasse simetri a de distribui ~oes om fun ~ao geradora de densidades g () e primeiros momentos (quando existem) dados por E (y ) = , Var(y ) = . Apesar de que a lasse simetri a de distribui ~oes propor iona grande exibilidade para a omponente aleatoria dos modelos simetri os de regress~ao, as distribui ~oes perten entes a esta lasse om audas mais pesadas do que a normal s~ao de maior interesse, pois os modelos baseados nessas distribui ~oes s~ao menos afetados pelas observa ~oes extremas do que o modelo de resposta normal. Entre estas podemos itar, por exemplo, as distribui ~oes t-Student, t-Student generalizada (s r 2 > 0), logsti a tipo II, exponen ial potên ia (k > 0), entre outras. Como ilustra ~ao, apresentamos nas Figuras 2.1 a 2.4 os gra

(75) os das densidades de algumas destas distribui ~oes em suas vers~oes padronizadas. Em todos os asos, a densidade onsiderada e omparada om a densidade da distribui ~ao normal padr~ao, a qual e representada pela linha pontilhada. Todavia, podemos rela ionar algumas propriedades destas distribui ~oes; por exemplo, a distribui ~ao t-Student tende para a distribui ~ao normal a medida que , o numero de graus de liberdade, tende para in

(76) nito. Este omportamento tambem e observado para a distribui ~ao exponen ial potên ia quando k tende para zero. A distribui ~ao t-Student generalizada de parâmetros r e s e equivalente a distribui ~ao t-Student om graus de liberdade quando r = s = ..

(77) Modelos Simetri os de Regress~ao. 11. PSfrag repla ements. 0.2 0.0. 0.1. f (z ). 0.3. 0.4. Figura 2.1 Fun ~ao de densidade da distribui ~ao logsti a tipo II.. −4. −2. 0. 2. 4. z. 0.4 0.3. −4. −2. PSfrag2 repla ements 4. 0. z. 0.0. 0.1. 0.2. f (z ). 0.3. f (z ). 0.2 0.1 0.0. PSfrag repla ements. 0.4. Figura 2.2 Fun ~ao de densidade da distribui ~ao t-Student generalizada om parâmetros r = 3, s = 5 (esquerda) e s = 7 (direita).. −4. −2. 0. z. 2. 4.

(78) Modelos Simetri os de Regress~ao. 12. PSfrag repla ements. 0.4 0.3 0.2. f (z ) −4. −2. 0.0. 0.1. 0.2 0.0. 0.1. f (z ). 0.3. 0.4. Figura 2.3 Fun ~ao de densidade da distribui ~ao t-Student om = 4 (esquerda) e = 10 (direita) graus de liberdade.. PSfrag2 repla ements 4. 0. −4. −2. z. 0. 2. 4. z. 0.4 0.3. −4. −2. PSfrag2 repla ements 4. 0. z. 0.0. 0.1. 0.2. f (z ). 0.3. f (z ). 0.2 0.1 0.0. PSfrag repla ements. 0.4. Figura 2.4 Fun ~ao de densidade da distribui ~ao exponen ial potên ia om parâmetro k = 0; 5 (esquerda) e k = 0; 7 (direita).. −4. −2. 0. z. 2. 4.

(79) Modelos Simetri os de Regress~ao. 13. 2.2 Modelo Simetri o de Regress~ao Sejam y1 ; : : : ; yn os valores de uma variavel de interesse medida em n indivduos ou unidades experimentais, os quais s~ao assumidos omo variaveis aleatorias independentes ada uma om distribui ~ao perten ente a lasse simetri a de

(80) nida em (2.1), om i e > 0 os parâmetros de lo a ~ao e es ala da distribui ~ao de yi . Com o objetivo de expli ar e/ou predizer o omportamento das yi, supomos que existe um onjunto de l variaveis, denominadas variaveis expli ativas, uja rela ~ao om a variavel de interesse e hamada omponente sistemati a e pode ser des rita por. i = (

(81) ; xi );. i = 1; : : : ; n;. (2.2). em que xi = (xi1 ; : : : ; xil ) s~ao os valores das variaveis expli ativas para o i-esimo indivduo e i (

(82) )= (

(83) ; xi ) e uma fun ~ao ontnua e duplamente diferen iavel em rela ~ao ao vetor

(84) = (

(85) 1 ; : : : ;

(86) p)T de parâmetros des onhe idos. Adi ionalmente, assumimos que a matriz de derivadas D

(87) = =

(88) tem posto p (p < n) para todo

(89) 2

(90) IR p, om

(91) um onjunto ompa to om pontos interiores. O modelo om omponente sistemati a (2.2) e onsiderado n~ao-linear quando a matriz D

(92) envolve o vetor de parâmetros

(93) . Assim, os modelos simetri os de regress~ao s~ao de

(94) nidos pela omponente aleatoria (2.1) e pela omponente sistemati a (2.2). Entretanto, e possvel formular o modelo des rito a ima usando as propriedades das distribui ~oes perten entes a lasse simetri a. Isto e feito es revendo o valor da variavel de interesse na seguinte forma p. yi = i (

(95) ) + i ;. i = 1; : : : ; n;. (2.3). em que 1 ; : : : ; n s~ao variaveis aleatorias independentes seguindo distribui ~ao S (0; 1). Esta formula ~ao e a mais popular na literatura estatsti a, pois, da mesma maneira que em modelos de resposta normal, os i podem ser interpretados omo erros aleatorios, permitindo estender diretamente aos modelos simetri os de regress~ao muitas das ideias e dos on eitos nos modelos lineares e n~ao-lineares de resposta normal. A seguir, apresentamos alguns exemplos de omponentes sistemati as n~aolineares usadas frequentemente em modelos de regress~ao apli ados nas areas biologi a e qumi a:.

(96) Modelos Simetri os de Regress~ao. . 14. Curva de Gompertz. i (

(97) ) =

(98) 1 expf

(99) 2 exp(

(100) 3 xi )g;. . (2.4). Curva de Mi haelis-Menten. i(

(101) ) =.

(102) 1 xi : xi +

(103) 2. (2.5). A urva de Gompertz permite des rever o res imento de um objeto ou indivduo em rela ~ao ao tempo, sendo

(104) 1 o tamanho maximo que pode ter o indivduo e

(105) 3 a taxa de res imento. Por outro lado, a urva de Mi haelis-Menten e usada na area qumi a para des rever o omportamento ineti o das enzimas em rela ~ao a sua on entra ~ao, sendo

(106) 1 a velo idade maxima da rea ~ao e

(107) 2 uma onstante ineti a. No entanto, devido a sua exibilidade, estas urvas tambem s~ao utilizadas para des rever grande variedade de fenômenos em areas omo engenharia e e onomia. Nas Figuras 2.5 e 2.6 ilustramos o omportamento destas urvas para algumas ombina ~oes dos parâmetros.. 4. (

(108) ). 6. 8. 10. Figura 2.5 Comportamento da famlia de urvas de Gompertz para diferentes valores de

(109) 3 om

(110) 1 = 10 e

(111) 2 = 7.. PSfrag repla ements. 0. 2.

(112) 3 = 4

(113) 3 = 5

(114) 3 = 6

(115) 3 = 7

(116) 3 = 8 0.0. 0.2. 0.4. 0.6. x. 0.8. 1.0.

(117) Modelos Simetri os de Regress~ao. 15. 4. (

(118) ). 6. 8. 10. Figura 2.6 Comportamento da famlia de urvas de Mi haelis-Menten para diferentes valores de

(119) 2 om

(120) 1 = 10.. PSfrag repla ements. 0. 2.

(121) 2 = 0,02

(122) 2 = 0,05

(123) 2 = 0,1

(124) 2 = 0,2

(125) 2 = 0,3 0.0. 0.2. 0.4. 0.6. 0.8. 1.0. x. Para a estima ~ao dos parâmetros nos modelos simetri os de regress~ao e possvel apli ar o metodo de maxima verossimilhan a. Este metodo de estima ~ao onsiste em maximizar uma fun ~ao que expresse a han e de observar os dados que omp~oem a amostra em fun ~ao dos parâmetros do modelo. A utiliza ~ao deste metodo apresenta muitas vantagens, pois, sob ertas ondi ~oes, os estimadores obtidos desta maneira possuem propriedades estatsti as desejaveis, omo onsistên ia, e

(126) iên ia e normalidade assintoti as. Para a apli a ~ao deste metodo de estima ~ao podemos onsiderar o logaritmo da fun ~ao de verossimilhan a de =(

(127) T ; )T, o qual e dado por. L( ) =. n X i=1. l(yi ; i ; );. em que 1 log(); (2.6) 2 om zi = (yi i (

(128) ))=1=2 . O estimador de maxima verossimilhan a de pode ser es rito omo ^ = arg max L(). Quando o parâmetro de dispers~ao e onhe ido, . l(yi ; i; ) = log g (zi2 ). . .

(129) Modelos Simetri os de Regress~ao. 16. o estimador de maxima verossimilhan a de

(130) pode ser obtido na seguinte forma.

(131) ^ = arg min MQ(

(132) );. (2.7).

(133). em que MQ(

(134) ) e uma fun ~ao n~ao-negativa e duplamente diferen iavel em rela ~ao ao vetor de parâmetros

(135) , podendo ser expressa na forma abaixo. MQ(

(136) ) = 2. n X i=1. . . log g (0)=g (zi2) ;. (2.8). om g () a fun ~ao geradora de densidades. Ent~ao, a estimativa de

(137) e obtida miP nimizando uma express~ao da forma (zi2 ), em que a fun ~ao () depende da fun ~ao g (), a qual e induzida pela distribui ~ao assumida para a variavel resposta. Para a distribui ~ao normal temos que g (u) = exp( u=2), aso em que () e a fun ~ao identidade e (2.7) orresponde ao estimador de mnimos quadrados ordinarios. O pro esso de estima ~ao de quando e des onhe ido sera dis utido na pagina 19. De (2.6) podemos obter a fun ~ao de es ore para , a qual pode ser es rita na seguinte forma 3 2 U

(138) () 5; U() = 4 U () em que 1 U

(139) () = DT

(140) D(v)(y ) . (2.9). e U ( ) =. 1 n + 2 (y )T D(v)(y ); 2 2. (2.10). om D(v) = diagfv1 ; : : : ; vng, y = (y1 ; : : : ; yn)T , = (1 ; : : : ; n)T , i = i (

(141) ), vi = v (zi ), v (z ) = 2g 0 (z 2 )=g (z 2 ), e g 0(z 2 ) = g (u)=uju = z . A matriz de informa ~ao observada de Fisher para pode ser denotada omo L ^^ = L j ^. Podemos es rever a matriz L da seguinte forma 2. L = L

(142)

(143) L

(144). L

(145) ; L .

(146) Modelos Simetri os de Regress~ao. 17. em que . . n 1 X L

(147)

(148) = 2s D (i) + DT

(149) D(a)D

(150) ; i = 1 i

(151)

(152) 2 L

(153) = 2 DT

(154) b; n o L = 1 n + uT D( )u 1 eT D(v)e ; 2 2 . om D

(155)

(156) (i) = 2 i =

(157)

(158) T , D(a) = diagfa1 ; : : : ; an g, D( ) = diagf 1 ; : : : ; n g, b = (b1 ; : : : ; bn )T , u = (u1; : : : ; un)T , ai = v (zi ) + v 0 (zi )zi , i = v 0 (zi )=4zi , bi = fv (zi )=2+v 0(zi )zi =4gei , ui = zi2 , ei = (yi i ), si = v (zi )ei =2, i = 1; : : : ; n. A inversa de L pode ser es rita na forma abaixo 2. L 1 = 4 em que M = DT

(159) D(a) D

(160) +. n P i=1. M 1 + AA E T A. T. A. E5 1 E. E. 3. ;. (2.11). 2si D

(161)

(162) (i), A = 2 M 1 DT

(163) b e E = L + 2 bT D

(164) A. 2. Dado que o logaritmo da fun ~ao de verossimilhan a e assumido regular om respeito ao vetor de parâmetros segundo as ondi ~oes des ritas em Cox e Hinkley (1974), podemos assumir que o estimador de maxima verossimilhan a de e onsistente e segue distribui ~ao normal assintoti amente, om matriz de variân ias e ovariân ias dependendo da matriz de informa ~ao esperada K , a qual pode ser es rita omo . . K = K0

(165)

(166) K0 ; . (2.12). 4d n em que K

(167)

(168) = g (DT

(169) D

(170) ) e K = 2 (4fg 1), om 4dg = E (v 2 (z )z 2 ) e 4 4fg = E (v 2 (z )z 4 ), sendo z uma variavel aleatoria om distribui ~ao S (0; 1). No Quadro 2.2 apresentamos express~oes para v (z ), 4dg e 4fg para algumas das distribui ~oes da lasse simetri a. Da express~ao (2.12) podemos on luir que os estimadores de maxima verossimilhan a de

(171) e s~ao assintoti amente ortogonais, o que onjuntamente om a suposi ~ao de normalidade, impli a que estes estimadores ^

(172)

(173) 1 = 4d^ (DT^ D

(174) ^) s~ao assintoti amente independentes. E possvel mostrar que K g

(175) e um estimador onsistente da matriz de variân ias e ovariân ias assintoti a do.

(176) v (z ). 4dg. 4fg. . 1. 1. 3. 1. t-Student. +1 + z2. +1 +3. 3( + 1) +3. t-Student generalizada. r+1 s + z2. r(r + 1) s(r + 3). 3(r + 1) r+3. Logsti a tipo I. 2 tanh(z 2 =2). 1; 47724. 4,01378. 0,79569. Logsti a tipo II. 1 exp( jz j) jzj(1 + exp( jzj)). 1 3. 2,42996. 2 3. Logsti a Generalizada. m[1 exp( jz j)℄ jzj[1 + exp( jzj)℄. 2 m2 2m + 1. (2 + m2 (1) (m)) (2m + 1)=2m. Exponen ial potên ia. (1 + k). jzj. 21 k ((3 k)=2) (1 + k)2 ((k + 1)=2). k+3 k+1. Distribui ~ao Normal. 1. 2k=(k+1). . s. 2. r 2. 2 2(1+k). ,>2. Modelos Simetri os de Regress~ao. Quadro 2.2 Express~oes para v (z ), 4dg , 4fg e para algumas distribui ~oes perten entes a lasse simetri a.. ,r>2. (1) (m) (3(1+k)=2) ((1+k)=2). 18.

(177) Modelos Simetri os de Regress~ao. 19. estimador de maxima verossimilhan a de

(178) . De maneira analoga, pode-se mos^ 1 = n(44f^ 1) e um estimador onsistente da variân ia assintoti a do trar que K g estimador de maxima verossimilhan a de . Vale salientar que as ondi ~oes de regularidade para o logaritmo da fun ~ao de verossimilhan a de n~ao s~ao satisfeitas para distribui ~oes omo, por exemplo, exponen ial dupla, Kotz, e Kotz generalizada. Neste trabalho somente onsideramos as distribui ~oes para as quais s~ao satisfeitas estas ondi ~oes. 2. A estimativa de maxima verossimilhan a de pode ser obtida resolvendo a equa ~ao U(^ ) = 0. Se a variavel resposta segue distribui ~ao Exponen ial potên ia mostra-se fa ilmente que as estimativas de maxima verossimilhan a de

(179) e podem ser obtidas separadamente. Nesse aso, o estimador de maxima verossimilhan a de

(180) pode ser es rito na forma abaixo.

(181) ^ = arg min

(182). n

(183) X

(184) y i i=1.

(185). i (

(186) )

(187) 2=1+k :. Por outro lado, o estimador de maxima verossimilhan a do parâmetro de dispers~ao apresenta forma fe hada, podendo ser expresso na seguinte forma. ^ =. . n

(188) 1 X

(189) y n(1 + k) i = 1 i.

(190) i (

(191) ^ )

(192) 2=1+k. 1+k :. Para k = 1 temos que

(193) ^ e obtido minimizando a quantidade denominada L1 norm , a qual tem sido estudada na literatura estatsti a omo alternativa robusta ao estimador de mnimos quadrados (veja Huber, 1981; Sun e Wei, 2004). De forma similar, quando k tende para -1, a distribui ~ao exponen ial potên ia tende a uma p3; + p3 , aso em que

(194) ^ e obtido distribui ~ao uniforme no intervalo i i minimizando a quantidade denominada na literatura estatsti a omo L1 norm . Para k = 0 a distribui ~ao exponen ial potên ia e equivalente a distribui ~ao normal, aso em que

(195) ^ orresponde ao estimador de mnimos quadrados ordinarios. Contudo, no aso geral das distribui ~oes perten entes a lasse simetri a, as estimativas de maxima verossimilhan a de

(196) e devem ser obtidas atraves de um pro esso iterativo onjunto. Por exemplo, ^ pode ser obtido atraves de um pro esso iterativo da seguinte forma.

(197) Modelos Simetri os de Regress~ao.

(198) (m+1). n. T (m). = D

(199). 20. W(m) D

(200) (m). o 1 D

(201) T (m) W(m) Z~ (m) ;. (2.13). 1 m = 0; 1; 2; : : : ; (2.14) (m+1) = Q(

(202) (m+1) ; (m) ); n em que Z~ = D

(203)

(204) + (1=)W 1D(v)(y ) e uma variavel resposta lo al modi

(205) ada em ada itera ~ao do pro esso, W e uma matriz simetri a positiva de

(206) nida hamada matriz de pesos, e Q(

(207) ; ) = (y )T D(v)(y ). O pro esso iterativo da equa ~ao (2.13) e hamado de algoritmo delta (veja Jrgensen, 1984). Este algoritmo e analogo ao algoritmo Newton-Raphson em que a matriz L

(208)

(209) e substituda por uma aproxima ~ao da forma L

(210)

(211) (DT

(212) W D

(213) ): ^ D ^) seja assintoti aA matriz W deve ser sele ionada de tal forma que (DT

(214) ^ W

(215) mente equivalente a matriz de informa ~ao esperada de

(216) . Por simpli idade, a matriz W pode ser assumida omo diagonal, isto e, W = diagfw1; : : : ; wn g om wi > 0 para todo i, garantindo que W e positiva de

(217) nida. Neste trabalho onsideramos a matriz W = E ( 2 L()= T ) = (4dg =)I, em que I e a matriz identidade de ordem n. Sendo assim, o pro esso da equa ~ao (2.13) e equivalente ao algoritmo s oring de Fisher, o qual e usado omo algoritmo padr~ao no pro esso de estima ~ao em muitos modelos de regress~ao. Alem disso, om esta matriz W, o algoritmo de estima ~ao pode ser rees rito de tal maneira, que e possvel estudar o efeito da espe i

(218) a ~ao da omponente aleatoria do modelo no pro esso de estima ~ao. Assim, podemos rees rever o pro esso iterativo dado em (2.13) omo um pro edimento de mnimos quadrados ordinarios modi

(219) ado, em que temos o 1 n DT

(220) (m) D

(221) (m)

(222) (m) + D((m) ) y n o 1 DT

(223) (m) D

(224) (m) DT

(225) (m) Z~ (m) ; m = 0; 1; 2; : : :. n.

(226) (m+1) = DT

(227) (m) D

(228) (m) =. (

(229) (m) ). o. (2.15). om D() = diagf(z1 ); : : : ; (zn )g e (zi ) = v (zi )=4dg . No pro esso iterativo de estima ~ao de e possvel observar que quando (m) onverge para ^ , o valor de

(230) ^ pode ser onsiderado omo a estimativa de mnimos quadrados dos parâmetros do seguinte modelo linear 8 ~ ) = D

(231) ^

(232) ; < E (Z (2.16) : ~ Var(Z) = (=4dg )I:.

(233) Modelos Simetri os de Regress~ao. 21. Alem disso, o efeito da espe i

(234) a ~ao da omponente aleatoria do modelo no pro esso de estima ~ao pode ser observado atraves da matriz D() no pro esso (2.15) para

(235) , e atraves da matriz D(v) no pro esso (2.14) para . Pode-se observar nas express~oes (2.14) e (2.15) que as fun ~oes v () e () atribuem pesos as observa ~oes no pro esso iterativo, os quais podem ser onsiderados omo medidas da qualidade da informa ~ao a respeito do vetor de parâmetros ontida em ada uma das observa ~oes. Assim, os valores de v (m) (z ) e (m) (z ) s~ao o riterio atraves do qual o modelo onsiderado determina quais das observa ~oes ontêm as maiores e melhores informa ~oes a respeito dos parâmetros de interesse. Podemos observar que, se a fun ~ao g (u) e monotoni amente de res ente para u > 0, ent~ao v () e () s~ao fun ~oes positivas, isto e, v (z ) > 0 e (z ) > 0 para todo z 2 IR. Alem disso, v () e () s~ao fun ~oes pares de z , isto e, v (z ) = v ( z ) e (z ) = ( z ) para todo z 2 IR, o que impli a que os valores de v (z ) e (z ) dependem da magnitude e n~ao do sinal de z . Os modelos em que a distribui ~ao assumida para a resposta tem audas mais pesadas do que a normal atribuem pesos \pequenos" as observa ~oes nas quais o valor de jz j e \grande". Desta maneira, tais modelos podem reduzir e ontrolar a in uên ia das observa ~oes extremas. Em ontraste, o modelo de resposta normal atribui pesos iguais a todas as observa ~oes, ou seja, n~ao onsidera a informa ~ao forne ida por z , sendo, em onsequên ia, muito sensvel as observa ~oes aberrantes. Portanto, estudar a robustez do modelo onsiderado frente as observa ~oes extremas ou aberrantes e equivalente a estudar o omportamento das fun ~oes v () e () induzidas pela distribui ~ao assumida para a variavel resposta. E fa il mostrar que em distribui ~oes omo t-Student, logsti a tipo II, t-Student generalizada (s r 2 > 0) e exponen ial potên ia (k > 0), os valores das fun ~oes v () e () de res em a medida que jz j aumenta. Nas Figuras 2.7 a 2.11 apresentamos os gra

(236) os da fun ~ao () para estas distribui ~oes; em todos os asos a fun ~ao de pesos onsiderada e omparada om a fun ~ao de pesos da distribui ~ao normal, a qual e representada pela linha pontilhada. Nas Figuras 2.8 a 2.11 e possvel observar que o peso (z ) de res e a medida que jz j aumenta. Portanto, em modelos baseados nestas distribui ~oes, as observa ~oes om valor de jz j \grande" ter~ao peso \pequeno" no pro esso de estima ~ao e de inferên ia. Para a distribui ~ao t-Student este omportamento foi des rito em Arellano-Valle (1994) e Kowalski et al (1999)..

(237) Modelos Simetri os de Regress~ao. 22. Na Figura 2.7 e possvel observar que no aso da distribui ~ao exponen ial potên ia om k < 0, o peso (z ) res e om o valor de jz j. Vale salientar que quando k < 0 a distribui ~ao exponen ial potên ia tem audas mais leves do que a normal. Para a distribui ~ao t-Student observamos que, a medida que o numero de graus de liberdade aumenta, o peso (z ) tende para 1 para todo z , o que indi a que nesses asos o modelo e mais sensvel a observa ~oes extremas. Este omportamento e esperado pelo fato da distribui ~ao t-Student tender para a distribui ~ao normal quando o numero de graus de liberdade tende para in

(238) nito. Para a distribui ~ao exponen ial potên ia e observado um omportamento analogo ao da distribui ~ao t-Student quando k de res e para zero, aso em que esta distribui ~ao tende para a normal. Desta maneira, o estudo do omportamento das fun ~oes v () e () pode ser uma ferramenta para o pesquisador na etapa da formula ~ao do modelo, pois o omportamento destas fun ~oes des reve a robustez do modelo onsiderado frente a observa ~oes extremas ou aberrantes. Alem disso, na lasse simetri a existe grande variedade de distribui ~oes, o que permite ao pesquisador sele ionar uma distribui ~ao para modelar a resposta que possua ao mesmo tempo, robustez frente as observa ~oes extremas e grande poder des ritivo do omportamento da variavel de interesse na popula ~ao de estudo..

(239) Modelos Simetri os de Regress~ao. 23. 1.0 0.5. (z ). 1.5. 2.0. Figura 2.7 Comportamento da fun ~ao de pesos (z ) para modelos em que o erro segue distribui ~ao exponen ial potên ia de parâmetro k.. k = − 0,10 k = − 0,15 k = − 0,20 k = − 0,25. 0.0. PSfrag repla ements 0. 1. 2. (z ) . 3. 4. 5. z. 1.0 0.5. (z ). 1.5. 2.0. Figura 2.8 Comportamento da fun ~ao de pesos (z ) para modelos em que o erro segue distribui ~ao t-Student om graus de liberdade.. =4 =6 =8 = 10. k (z ). 0.0. PSfrag repla ements 0. 1. 2. 3. z. 4. 5.

(240) Modelos Simetri os de Regress~ao. 24. 1.0 0.5. (z ). 1.5. 2.0. Figura 2.9 Comportamento da fun ~ao de pesos (z ) para modelos em que o erro segue distribui ~ao t-Student generalizada om parâmetros s =4 e r.. 0.0. PSfrag repla ements. r= 3 r= 4 r= 5 r= 6. k. 0. 1. 2. 3. 4. 5. z. 1.0 0.5. (z ). 1.5. 2.0. Figura 2.10 Comportamento da fun ~ao de pesos (z ) para modelos em que o erro segue distribui ~ao exponen ial potên ia de parâmetro k.. 0.0. PSfrag repla ements. k = 0,20 k = 0,40 k = 0,60 k = 0,80. 0. r. 1. 2. 3. z. 4. 5.

(241) Modelos Simetri os de Regress~ao. 25. Figura 2.11 Comportamento da fun ~ao de pesos (z ) para modelos em que o erro. 1.0 0.0. 0.5. (z ). 1.5. 2.0. segue distribui ~ao logsti a tipo II.. PSfrag repla ements. 0. 1. 2. 3. z. 4. 5.

(242) CAPITULO 3. Resduos Os metodos de diagnosti o s~ao usados para avaliar a adequabilidade de modelos de regress~ao apli ados om o objetivo de des rever e/ou expli ar o omportamento de uma variavel de interesse. Para esta avalia ~ao podem ser usadas medidas denominadas resduos, as quais têm omo objetivo medir a qualidade do ajuste do modelo para ada observa ~ao na amostra. Os resduos propor ionam evidên ia a respeito de observa ~oes ujo omportamento n~ao e des rito ompletamente pelo modelo ajustado, avaliando se a diferen a entre o observado e o expli ado pelo modelo e estatisti amente signi

(243) ativa. Embora os resduos me am a qualidade do ajuste para ada observa ~ao separadamente, estes podem ser usados onjuntamente para avaliar a qualidade do ajuste global do modelo onsiderado. Por exemplo, podem ser utilizados para avaliar o efeito da in lus~ao ou ex lus~ao de parâmetros do modelo ou, para estudar os possveis efeitos n~ao-lineares das variaveis expli ativas. Alem disso, os resduos podem ser usados para onstruir testes estatsti os ujo objetivo e avaliar a adequabilidade global do modelo (veja Cox e Snell, 1971). Em resumo, os resduos s~ao uma ferramenta muito importante no pro esso de valida ~ao do modelo, o que motiva o estudo das propriedades estatsti as das de

(244) ni ~oes de resduo existentes, bem omo a de

(245) ni ~ao de novos resduos que sejam mais e

(246) azes para identi

(247) ar falta de ajuste no modelo estimado. Galea, Paula e Cysneiros (2005) apresentam um resduo para os modelos simetri os de regress~ao baseado na de

(248) ni ~ao geral de resduos des rita em Cox e Snell (1968). A metodologia des rita por Cox e Snell permite de

(249) nir resduos para modelos em 26.

(250) Resduos. 27. que as respostas s~ao assumidas independentes. Embora esta metodologia possa ser apli ada em diversos metodos de estima ~ao, os autores fo am sua aten ~ao em situa ~oes em que os parâmetros s~ao estimados atraves do metodo de maxima verossimilhan a, aso para o qual e apresentado um pro edimento para al ular os dois primeiros momentos da distribui ~ao dos resduos. Para a apli a ~ao desta de

(251) ni ~ao de resduo assumimos que os valores da variavel de interesse podem ser es ritos na seguinte forma. yi = mi (; i );. i = 1; : : : ; n;. (3.1). em que m1 ; : : : ; mn s~ao fun ~oes onhe idas e 1 ; : : : ; n s~ao variaveis aleatorias ontnuas, independentes e identi amente distribudas. Adi ionalmente, assumimos que a distribui ~ao das i e onhe ida e ompletamente espe i

(252) ada. Supondo uma solu ~ao uni a para i em (3.1) podemos es rever. i = ki (yi ; );. i = 1; : : : ; n:. Sendo assim, o resduo de Cox e Snell pode ser de

(253) nido omo. î = ki (yi ; ^ );. i = 1; : : : ; n:. Da express~ao (2.3) temos que para os modelos simetri os de regress~ao o resduo de Cox e Snell orresponde a zî = (yi i (

(254) ^ ))=^1=2 . Galea, Paula e Cysneiros (2005) apresentam uma vers~ao padronizada deste resduo, denotada tri , que pode ser expressa na seguinte forma. tri =. zî ; 1=2 [1 (4dg ) 1 h^ ii ℄1=2. em que hii e o i-esimo elemento da diagonal da matriz H = D

(255) (DT

(256) D

(257) ) 1 DT

(258) . No entanto, neste aptulo, propomos uma de

(259) ni ~ao geral de resduos para os modelos simetri os de regress~ao, em que o resduo tri e um aso parti ular. As propriedades estatsti as mais importantes dos resduos propostos s~ao estudadas analiti amente usando o pro edimento des rito em Cox e Snell (1968) e empiri amente atraves de simula ~ao de Monte Carlo..

(260) Resduos. 28. 3.1 De

(261) ni ~ao de resduos Consideramos resduos de

(262) nidos omo t(^zi ), para alguma fun ~ao t() mpar e duplamente diferen iavel, em que zî orresponde ao resduo obtido apli ando aos modelos simetri os de regress~ao a de

(263) ni ~ao geral de resduos des rita em Cox e Snell (1968). A transforma ~ao t() preserva as prin ipais propriedades estatsti as de zî ; por exemplo, se zî segue distribui ~ao simetri a em torno de zero, ent~ao o resduo t(^zi ) tambem seguira distribui ~ao simetri a em torno de zero. Dado que o resduo t(^zi ) somente depende da estrutura do modelo de regress~ao atraves dos valores de i (

(264) ^ ) e ^, este resduo e invariante sob transforma ~oes invertveis do vetor de parâmetros

(265) , pois i (

(266) ^ ) e ^ s~ao invariantes a essas transforma ~oes. Alem disso, e possvel sele ionar uma fun ~ao t() que permita, pelo menos para grandes amostras, que a distribui ~ao de t(^zi ) apresente uma forma onhe ida e fa il de interpretar em gra

(267) os de resduos. Assim, para uma adequada es olha da transforma ~ao t(), o resduo t(^zi ) pode apresentar propriedades estatsti as desejaveis. A forma da fun ~ao t() pode ser es olhida om base na estatsti a do teste para avaliar se a i-esima observa ~ao pode ser onsiderada omo outlier. Se esta estatsti a assume valores \grandes" na regi~ao de rejei ~ao, e laro que quando aumenta o valor desta estatsti a, diminui a probabilidade de errar ao on luir que o omportamento desta observa ~ao n~ao e des rito adequadamente pelo modelo ajustado. Assim, o valor desta estatsti a pode ser usado omo uma medida da qualidade do ajuste do modelo nesta observa ~ao, desempenhando o mesmo papel que um resduo. Desta maneira, podemos de

(268) nir resduos omo fun ~oes da estatsti a do teste para identi

(269) ar outliers. Tais fun ~oes, alem de preservar a informa ~ao forne ida pela estatsti a do teste, devem permitir que o resduo obtido apresente ara tersti as desejaveis, omo, por exemplo, media zero e variân ia um. No aso dos modelos simetri os de regress~ao pode-se mostrar que resduos obtidos desta forma podem ser es ritos omo t(^zi ), om t() uma fun ~ao mpar e duplamente diferen iavel. De maneira geral, testar se uma observa ~ao e outlier onsiste em avaliar se o modelo ajustado des reve adequadamente o omportamento desta observa ~ao, o que e equivalente a testar se esta observa ~ao pode ser onsiderada omo \gerada" pela distribui ~ao assumida para a variavel resposta, que, neste aso, e.

(270) Resduos. 29. ompletamente espe i

(271) ada pelos valores de e . Sendo assim, testar se a iesima observa ~ao pode ser onsiderada omo outlier e avaliar a seguinte hipotese H0 : i = iÆ (3.2) H1 : i 6= Æi Para avaliar a hipotese des rita em (3.2) podemos onstruir um teste om um nvel de signi

(272) ân ia (0 < < 1) para rejeitar H0 quando Æ (yi) = 1, em que Æ () e de

(273) nido omo ( 1; se yi 2= (a; b); Æ (yi ) = 0; em outro aso. Ent~ao, a fun ~ao de poder para este teste e expressa da seguinte forma. () = P [ yi 2= (a; b) j i = Æi + ℄;. 2 IR;. om a restri ~ao (0) = , que permite que o teste possa ser apli ado om o nvel de signi

(274) ân ia . Desta maneira, para ada intervalo (a; b) que satisfaz (0) = , temos um teste de nvel para avaliar a hipotese (3.2). Para sele ionar o intervalo (a; b) no qual estara baseado o teste, podemos usar por exemplo, a estatsti a da raz~ao de verossimilhan as. Entretanto, podemos tambem de

(275) nir um teste da seguinte maneira (. Æ (yi ) =. 1; se yi 2= (q( =2) ; q(1 0; em outro aso;. =2) ). ;. (3.3). em que q(1 =2) e o quantil 100(1 =2)% da distribui ~ao S (Æi ; ). Assim, podemos de

(276) nir resduos omo fun ~oes da estatsti a do teste para avaliar a hipotese em (3.2), em que Æi e substitudo por i (

(277) ^ ) e por ^; ou seja, Æi e representado pelo ajuste do modelo. A ideia por tras desta de

(278) ni ~ao de resduo e medir a diferen a entre os valores observado e predito para a i-esima observa ~ao usando omo metri a a estatsti a do teste para avaliar a hipoteses em (3.2). Como a distribui ~ao de yi e simetri a, o teste da raz~ao de verossimilhan as e o teste de

(279) nido em (3.3) determinam o mesmo intervalo (a; b). Porem, os resduos baseados nestes testes apresentam ara tersti as diferentes. 3.1.1. Res duo omponente de desvio. Apli ando o ra io nio des rito a ima aos modelos lineares generalizados, e usando a estatsti a da raz~ao de verossimilhan as para avaliar a hipotese em.

(280) Resduos. 30. (3.2), obtemos o resduo omponente de desvio proposto por Pregibon (1981), que devido a suas propriedades estatsti as e o mais utilizado nesta lasse de modelos (veja Pier e e S hafer, 1986; Davison e Gigli, 1989; M Cullagh e Nelder, 1989). Alem disso, este resduo tem sido estendido a outros modelos de regress~ao, por exemplo, Svetliza e Paula (2003) estudam o omportamento do resduo omponente de desvio em modelos n~ao-lineares de resposta binomial negativa, en ontrando grande proximidade entre a distribui ~ao deste resduo e a normal padr~ao. A seguir, de

(281) nimos um resduo para os modelos simetri os de regress~ao baseado na estatsti a da raz~ao de verossimilhan as generalizada (LR) (veja Gigli, 1987). A estatsti a LR para avaliar a hipotese em (3.2) pode ser expressa omo LR = 2 l(yi ; ~i; ) l(yi ; Æi ; ) ; em que l(yi ; i ; ) e a ontribui ~ao da i-esima observa ~ao ao logaritmo da fun ~ao de verossimilhan a de , e ~i e o valor de que maximiza l(yi ; ; ). Mostra-se fa ilmente que o valor de ~i e igual a yi . Assim, da equa ~ao (2.6) e substituindo o valor de ~i na equa ~ao a ima temos o seguinte n. . LR = 2 log g (0). . o. . log g (ziÆ 2 ) ;. em que g () e a fun ~ao geradora de densidades e ziÆ = (yi Æi )=1=2 . Ent~ao, podemos de

(282) nir o resduo tD (^zi ) baseado na estatsti a LR, onde e substitudo pela sua estimativa de maxima verossimilhan a no modelo de interesse, obtendo n. . tD (^zi ) = sinal(^zi ) 2 log g (0). . o 21 2 g (^zi ). . 2 log. ;. em que zî = (yi î )=^1=2 e sinal(x) = I [ 0; 1) (x) I ( 1; 0 ) (x), om IA (x) a fun ~ao indi adora. No Quadro 3.1 apresentamos as express~oes para o al ulo do resduo tD (^zi ) para algumas distribui ~oes perten entes a lasse simetri a. Podemos observar que o resduo tD (^zi ) assume valores no intervalo ( 1; 1). Temos que tD () e uma fun ~ao mpar e duplamente diferen iavel; em onsequên ia, podemos usar o Lema 1 do Apêndi e A para mostrar que a simetria de tD (^zi ) depende da simetria de zî , ou seja, se zî e simetri o em torno de zero, ent~ao o resduo tD (^zi ) tambem e simetri o em torno de zero. Notamos tambem que a quantidade MQ(

(283) ^ ) pode ser es rita na seguinte forma. MQ(

(284) ^ ) =. n X i=1. t2D (^zi );.