Matrizes no ensino médio

(1)

UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA CATARINA CENTRO DE CIÊNCIAS FÍSICAS

E

MATEMÁTICAS

DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA

MAYRIZCZ

NQ

_{CP461140 MeDIQ}

(2)

UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA CATARINA

SABRINA NUNES PIRES

MAIRIZCZ

NO

CPWINCI MeDIO

Trabalho de Conclusão de Curso apresentado ao Curso de Matemática — Habilitação Licenciatura, Departamento de Matemática, Centro de Ciências Físicas e Matemáticas. Universidade Federal de

Santa Catarina.

Orientadora: Jane de Oliveira Crippa

(3)

Oh

i ira Crippa

Orientadora

Esta

Monografia foi

julgada adequada

como

TRABALHO DE CONCLUSÃO DE CURSO no

0.1110

de

_{Maternitica — Habilitação Licenciatura,}

_e

_{aprovada em}

_sua

_forma final

pela Banca

Examinadora

_{designada pela Portaria}

_n

_27/SCG/2000

Prof Cumin

_{Suzane Comitre Gimenez}

Professora

da

disciplina

Banca

Examinadora:

Prof Joana

Benedita

de Oliveira

Quandt

(4)

bedico este trabalho aos meus pais, irtnaos, meu sobrinho Artur e

(5)

Agradecimentos

Primeiramente à Deus, pela minha vida.

minha orientadora, professora Jane de Oliveira Crippa, obrigada pela paciência

e

dedicação durante a realização deste trabalho.

Aos meus pais, por sempre estarem presentes, por investirem em mim

_e

_{por todo apoio.}

Aos meus irmãos, pelo incentivo

e

por acreditarem em mim.

Ao meu namorado, Carlos, pelo

_{apoio e compreensão}

.

minha amiga, Eliane, por toda ajuda

e

incentivo.

As amigas, Samanta, Kátia, Ivoneide, Claddia, por participarem

e contribuírem

na minha

vida acadêmica.

As pessoas que neste trabalho com seriedade responderam aos

_{questionários,}

_obrigada pela ajuda.

(6)

'título

_Página

1- APRESENTAÇÃO ₀₇

2- UM POUCO DE HISTORIA ₀₈

3- A EDUCAÇÃO NA MA FE-MAMA ₁₁

4- CONTEÚDO DE MATRIZES NO ENSINO

MÉDIO

14

4.1- 0 que é uma inatriz ... . _ ... ... 14

4.2- Diferentes maneiras de escrever uma matriz ₁₄

4.3- A ordem de uma matriz ₁₅

4.4- Representação

algébrica

₁₅

4.5- Principais tipos de matrizes ₁₆

4.6- Igualdade de matrizes ₁₈

4.7- Operações com matrizes ₁₉

4.7.1- Adição de matrizes ₁₉

4.7.2- Subtração de matrixes ... .. ... ... ... 20 4.7.3- Multiplicação de urna matriz por um número (escalar) 21

4.7.4- Multiplicação do matrizes ₂₂

4.8- Matriz transposta ₂₆

4.9- Matriz

simétrica

₂₉

4.10- Matriz anti-simétrica ₃₁

4.11- Inversão de matrizes ₃₂

5- PROBLEMAS ENVOLVENDO MATRIZES ₃₅

5.1- Problema 1 ₃₅

5,2- Problema 2 ₃₆

5.3- Problema 3 ₃₇

5.4- Problema 4 ₃₈

(7)

6- ANÁLISE GRÁFICA 42 6.1- Questionário aplicado

a

professores

de

matemática 42

6.2-

Os

gráficos 43

6.3- Observações 48

6.4- Questionário aplicado

a

pessoas que tenham

um

certo conhecimento

sobre

matrizes

48

6.5-

Os

gráficos 50

6.6- Observações 54

7- CONCLUSÃO 55

(8)

1. _{Apresenfação}

O trabalho que segue trata de Matrizes no Ensino Médio. O que levou a autora a pesquisar sobre este assunto foi por não ter aprendido esse conteúdo na 2a série do Ensino Médio, ou melhor, aprendeu para o vestibular, mas não como mais um conhecimento para aplicar na vida diária. Isso ocorre: Por sua culpa? Culpa do professor? Culpa da escola? Ou até mesmo porque o material didático utilizado não era adequado?

Ao cursar as disciplinas Algebra e Algebra Linear I do Curs°. de Licenciatura em Matemática, a autora revisou esse conteúdo, mas, desta vez, com uma visão mais ampla, percebendo em que aplica-lo.

Por meio deste trabalho, a autora pretende verificar o que ocorre no Ensino Médio. Os professores ensinam matrizes? De que maneira? Utilizam um bom material didático? Seus alunos assimilam bem o conteúdo? Apenas decoram para realizar a prova? Os alunos aprendem matrizes? Depois de formados ainda lembram deste conteúdo? Alguma vez sentiram necessidade de utiliza-to?

Além disso, a autora descreve o conteúdo de Matrizes, dando sugestões, fazendo comentários e mostrando algumas aplicações para os alunos do Ensino Médio terem uma melhor aprendizagem.

(9)

2. Om

POUCO

de

Hisfória...

Hoje, a

teoria

de matrizes é

considerada

parte de um

assunto

mais

amplo,

a Algebra

Linear,

e é

um instrumento

matemático

para

cientistas sociais, geneticistas, estatísticos, engenheiros e fisicos.

Alguns

matemáticos contribuíram

no estudo de determinantes

e matrizes. Entre

eles:

- Seki

Kowa, um

matemático

chines, em

1683 sistematizou

um

antigo método

chinês de

resolução

de sistemas de

equações lineares cujos coeficientes

eram

representados

por barras

de

calcular-

barras de

bambu colocadas

em

quadrados sobre uma tábua,

com a

posição

dos

diferentes quadrados correspondendo aos coeficientes.

_{Para resolver}

_{o sistema,}

_Kowa

rearranjava

as barras de

maneira semelhante àquela

usada na

nossa

simplificação de

determinantes; desse

modo, acreditava-se que

ele

tinha

a

idéia

de

determinante.

- Gottfried Wilhelm

Leibniz, matemático

nascido em Leipzig, fez a

primeira referência

no

Ocidente

ao método

de determinantes. Em cartas de

1693

a

L'Hospital, Leibniz escreveu

que

ocasionalmente usava números indicando

linhas

e colunas

numa

coleção

de

equações simultâneas.

- Gabriel Cramer

inventou

os determinantes

.

Em

1750, foi publicada

a regra de Cramer

para resolver

sistemas lineares, sendo que ainda não

era

utilizada

a notação atual.

-

Alexandre

Théophile Vandermonde,

Pierre Simon Laplace, Josef Maria

Wronski e

Augustin Louis Cauchy também

deram

suas

contribuições

à

teoria

dos determinantes_ Foi

Cauchy que

atribuiu o nome

"determinante" ao

conceito e em 1812

introduziu

o

teorema da

(A

teoria da extensão

matriz também aparece nas "grandezas extensivas"

de

_um

fator

(11)

constante ) quando as variáveis eram transformadas por substituições representando translações , rotações , dilatações ( "alongamentos" a partir da origem ), reflexões em torno de um eixo e assim por diante. Cayley considerava transformações (lineares) _{do plano R2 em} si próprio do tipo T(x; y) = ( ax + by; ex + dy ). Em vez de transformações, pode-se considerar mudanças de variáveis, tal que

T: {

u= ax + by v= ex + dy

Supondo duas mudanças de variáveis:

Ti:

T2:

ax + by

-v= cx + dy

s= Cu + Dv

Para expressar r e s em termos de x e y, substitui as expressões de T1 em T2 e tem-se: r A(ax + by) + B(cx +dy) = (As + Bc)x + (Ah + Bd)y

s = C(ax + by) + D(cx + dy) = (Ca +Dc)x + (Cb +Dd)y la

Cayley chamou de "matriz de T1" a tabela _{c d}13 _{e observou que para obtermos}

a matriz que fornece r e s em termos de

x

_{e y bastava colocar as matrizes de}_T2_{e T1 lado a}

lado e "multiplicá-las" da maneira como fazemos até hoje:

IA

B1 lab

C D c d

Aa + Bc Ab + Bd Ca + Dc Cb + Dd

Em linguagem de transformações, a matriz da

_direita

_{6 a matriz da transformação} composta T2 0 _{Ti. Lembrando que a composição de duas funções não é comutativa, isto}

6,

em geral fo g#g cot vemos como 6 natural que o produto matricial não comute. As operações de adição matricial e multiplicação por escalar vieram depois.

(12)

3. A educação

ia

Matemática

(Proposta Curricular de Santa Catarina e

Parâmetros Curriculares Nacionais)

A primeira edição da Proposta Curricular de Santa Catarina, realizada entre 1988 e 1991, foi resultado da discussão e de estudos sistemáticos realizados sob a coordenação da Secretaria de Estado da Educação e do Desporto. 0 objetivo desta era de propiciar aos educadores um espaço de discussão e produção coletiva visando a transformação da. prática pedagógica.

A segunda edição procurou aprofundar e rever a proposta curricular do Estado, a partir da versão sistematizada no inicio de 1991, incorporando as discussões realizadas no âmbito da teoria que lhe dava sustentação desde aquela época, e fazendo um esforço para superar posturas lineares que, eventualmente, pontuavam a primeira edição. Esta versão da Proposta Curricular de Santa Catarina é o resultado de mais de dois anos de trabalho do Grupo que se valeu do auxilio de consultores buscados em Universidades e dos professores da rede estadual de ensino, uma vez que houve uma versão preliminar desta proposta que foi editada e distribuída a todas as escolas estaduais de Santa Catarina, com intuito de ser lida, discutida e criticada pelos educadores catarinenses.

Ao refletirmos sobre os oito anos ( 1988 — 1996 ) do processo de implementação da Proposta Curricular, constata-se que a situação do ensino de Matemática nas escolas públicas de Santa Catarina pouco se alterou. Ainda trabalha-se a Matemática desconsiderando tanta as aspectos politicos, econômicos e sociais, quanta os conceituais.

A Matemática ainda é vista somente coma uma ciência exata — pronta e acabada, cujo ensino e aprendizagem se dá pela memorização ou por repetição mecânica de exercícios de fixação, privilegiando o uso de regras e "macetes". Esta é entendida apenas coma uma ferramenta para a resolução de problemas ou como necessária para assegurar a continuidade linear do processo de escolarização, não contemplando a multiplicidade de fatores necessários ao desenvolvimento de uma efetiva Educação Matemática.

(13)

tentando produzir, com os professores de Matemática da Rede Pública Estadual de Ensino,

uma Proposta Curricular que pretende romper com a prática pedagógica vigente. Após

discussões e reivindicações de uma parcela dos educadores, somadas As pressões

desencadeadas pelo movimento neoliberal e pela iniciativa do Ministério da Educação /

MEC, com a elaboração dos Parâmetros Curriculares Nacionais, decidiu-se retomar o debate

em torno da Proposta Curricular de Matemática para o Estado de Santa Catarina.

Os Parâmetros Curriculares Nacionais, segundo o Secretário de Educação Média e

Tecnológica, Ruy Leite Berger Filho, cumprem o duplo papel de difundir os princípios da

reforma curricular e

brientar

o professor, na busca de novas abordagens e metodologias. Ao

distribui-los, temos a certeza de contar com a capacidade de nossos mestres e com o seu

empenho no aperfeiçoamento da pratica educativa. Por isso, entendemos sua construção

como um process() continuo: não só desejamos que influenciem positivamente a prática do

professor, como esperamos poder, com base nessa prática e no processo de aprendizagem

dos alunos, revê-los e aperfeiçoá-los.

A Matemática deve ser entendida como um conhecimento vivo, dinâmico e

historicamente sendo construída pelos homens, atendendo a determinados interesses e

necessidades sociais.

O

desenvolvimento do pensamento algébrico e de sua linguagem, por exempla, exige

atividades ricas em significados que permitam ao aluno pensar genericamente, perceber

regularidades e explicitar estas regularidades matematicamente, pensar analiticamente e

estabelecer relações entre grancluas variáveis. A Algebra, portanto, contribui com uma

forma especial de pensamento e de leitura da realidade.

Por conceber a educação e sociedade em incessante movimento, a equipe de matemática

do Grupo Multidisciplinar entende que uma proposta também não será definitiva, estando

sempre aberta a novas contribuições e reformulações oriundas do coletivo

de

professores.

0 Grupo Multidisciplinar organizou os conteúdos matemáticos por série. O conteúdo que

nos interessa neste momento

é Matrizes. Portanto:

MATRIZES E

SISTEMAS LINEARES

ENSINO FUNDAMENTAL ENSINO MÉDIO

pré la 2d _3* _4a _5' _6a _7a 8a _la _2a _3*

(14)

A passagem gradativa da cor branca para a cor preta, corresponde a uma gradativa passagem de um tratamento assisternatico para sistemático. Tratar assistematicamente um conteúdo significa abordá-lo enquanto noção ou significação social, sem preocupação em defini-lo simbólica ou formalmente. Tratar sistematicamente um conteúdo matemático significa dizer que ele será trabalhado conceituahnente, utilizando-se na medida do possível, a linguagem matemática simbólica tal como foi historicamente convencionada e organizada.

Embora esta proposta esteja sugerindo a sistematização dos conceitos a partir de uma determinada série, isto não impede que ela possa ocorrer antes, sobretudo quando se fizer necessária e existirem as condiv3es favoráveis para isso. É conveniente lembrar que a utilização de determinado conteúdo não se esgota nas séries onde é sistematizado, mas que a partir dai possa ser utilizado regularmente na solução de problemas.

(15)

4. Contecido

de

Mafrizes ro osioo Médio

Descreverei abaixo

o

conteúdo básico sobre matrizes, que em geral os livros utilizados no segundo ano do Ensino Médio apresentam. Quando

necessário,

farei um comentário sobre

o

conteúdo, assim como uma breve complementação do que estes livros poderiam apresentar.

4.10 que é uma matrix

As matrizes são tabelas de

números

reais.

O conjunto ordenado dos números que formam uma tabela, como por exemplo

[ 1 3 9

7 8 5

é denominado

matriz

e cada número é

chamado elemento da matriz.

importante ressaltar que os elementos da matriz podem ser também números complexos ou variáveis.

4.2 Diferentes reaneiras de escrever uma matriz

Alguns autores representam uma matriz utilizando parênteses ao redor da tabela de números, como por exemplo:

Outros preferem colchetes, como por exemplo:

2 3 6 4 5 7 8 1 9

E ainda há os que representam

um n matriz utilizando duplas barras, como por exemplo: 2 3 6 4 5 / 8 1 9 2 3 6 4 5 7 8 1 9

(16)

43 A

orden) de uroa matriz

A ordem de uma matriz pode ser indicada por mxn (16-se: m por n) com {m, n} c N*, sendo que, o número de linhas é sempre especificado primeiro e o número de colunas em segundo. Portanto, uma matriz que possui m linhas e n colunas é chamada matriz mxn.

Por exemplo: m =2 (2 linhas) n = 3 (3 colunas) A matriz [ 1 2 4 7 9 5 tem ordem 2x3

bom lembrarmos que duas matrizes são consideradas de mesma ordem se elas apresentam o mesmo número de linhas e o mesmo número de colunas.

4.4 Represeotaçiio Algébrica

Utilizamos letras maiúsculas para indicar matrizes genéricas e letras minúsculas correspondentes para os elementos.

Algebricamente, uma matriz A pode ser representada por:

ail au a13 • • • aln

a21

a22 a23 •• • a2n _{com {m, n}}_c_N* a31 a32 a33 •••

ami ain2 ana • •• arnn

Como a representação feita acima é muito extensa, podemos representar a matriz num abreviadamente por: A =

Os elementos da matriz A são indicados por ao, onde: i e {1,2,3,...,rn} e j e

0 elemento ao é afetado de dois indices, onde o primeiro, i, representa a linha, e o segundo, j, indica a coluna as quais o elemento ao pertence.

(17)

Por exemplo:

[ 3 5 48

A= é uma matriz de ordem

2

Por exemplo: an (18-se: a um um) -) elemento localizado na 1a linha e l a coluna (18-se: a três dois) elemento localizado na 3 a linha e 2a coluna

4.5 Principals tipos de matrixes

a) Matriz linha:

A matriz de ordem kin, ou seja, que tem somente uma linhaé chamada de matriz linha ou vetor linha.

Por exemplo: [ 1 2 3 4

b) Matriz coluna:

A matriz de ordem mxl, ou seja, que tem somente uma coluna é chamada de matriz coluna ou vetor coluna.

Por exemplo: r 2 3 4 c) Matriz

nula:

A matriz que tem todos os seus elementos iguais a zero é chamada de matriz nula. Podemos representá-la por O.

d) Matriz

quadrada:

A matriz na qual o número de linhas e o número de colunas sac iguais é chamada de matriz quadrada. Uma matriz quadrada de ordem nxn 6 dita ser de ordem n.

= 9 6 3

■

7 2 1 4 6 5

(18)

Numa matriz quadrada A = [a ], de ordem n, os elementos au, em que i = j, constituem a diagonal principal. Assim, a diagonal formada pelos elementos ail, an, a. é a diagonal principal.

Numa matriz quadrada A = [a], de ordem n, os elementos au, em que i + j = n + 1, constituem a diagonal secundária. Assim, a diagonal formada pelos elementos

2, an' é a diagonal secundária.

Por exemplo: 2 6 0 A= 1 5- 9 • 3 7 Ii. diagonal diagonal secuinclAria principal

Assim, na matriz A os elementos da diagonal principal são: all=2, a22=5 e a33=1 1, e os elementos da diagonal secundária são: a13=10, a22=5 e a31=3 .

e) Matriz

diagonal:

A matriz quadrada A = [ a] que tem os elementos au = 0 quando j é uma matriz diagonal.

an O ,.. O

A=r _O _{a22 ... O}

0 0 aim

f) Matriz unidade

ou

Matriz identidade:

A matriz diagonal que tem os elementos = 1 para i = j é uma matriz unidade ou Identidade. Indica-se a matriz unidade ou identidade de ordemn por I.

Por exemplo:

1 0 0 13= 0 1 0 0 0 1

(19)

Em alguns livros em que os autores não apresentam a matriz diagonal, quando definem

a matriz unidade ou identidade se referem a matriz quadrada de ordem n, em que os

elementos da diagonal principal são iguais a I (um) e os demais elementos são iguais a O (zero).

g) Matriz triangular superior

e

Matriz triangular inferior:

A

matriz quadrada

A

=

[aid que

tem

os elementos

aii = O

para

i> é

uma matriz

triangular superior

e

a

matriz quadrada B = [b1 .] que tem

os

elementos =

O

para i

<j

_{é uma}

matriz

triangular inferior.

Assim,

por exemplo:

ail au au

5 3 8

A=

a22 a23 0 2 5 a32 a33 0 0 7 b1 1 b12 b13 5

00 B=

b21 b22 b23 1 2 0 b31 b32 b33 6 9 7

A maioria dos livros utilizados no Ensino Media não apresentam a matriz triangular superior e a matriz triangular inferior, o que não custaria aos autores acrescentar para que

sua obra ficasse mais completa.

4.6 Igualdade de

roafrizes

Sejam

as

matrizes

A

= [a il e B =

de

mesma ordem.

Se

cada elemento

de A for

igual ao elemento correspondente (elemento que ocupa

a

mesma posição)

de

B,

as

matrizes

A

e B são ditas iguais. Desse modo, =

[bag. se,

e somente

se, a1

=

b1

V i e

{

1, 2, 3, ...,

(20)

e Por exemplo: 3 8 A= 05 -1 2 -"N 4 — 1 5 + 3 2-2 5 x 1 1-2 4/2 5 8 6 7 2+3 1+9 4+5 6+8 9+7 5+6 i A+B= 2 4 5 i 1 6 9 [ 3 9

Todos os elementos correspondentes sio iguais. Portanto A =B.

4.7 Operações com

matrixes

4.7.1 Adição

de matrixes

A soma de duas matrizes A = [aii] e B = [bid, de mesma ordem, 6 uma matriz C = [ci ] tal que c =a + IN, ou seja, faz-se a soma dos elementos correspondentes. Indica-se a soma de duas matrizes A e B por A+ B.

Por exemplo: Dadas duas matrizes

A soma destas 6: [ 2 4 5 1 69 I e B =

r

_{L. 9 8 7 )}3 5 6 I 5 9 11 10 14 16 Matriz oposta:

Denomina-se matriz oposta de uma matriz A a matriz — A cujos elementos são simétricos dos elementos correspondentes de A. Exemplo:

A=

[ _7

36 4

(21)

4 -2 3 [ 6 9 0 ] de ord 2x3. [ 2 5 -8 8 2 1 •Propriedades da adição:

Para as matrizes A, B e C, de mesma ordem, tem-se: I) A+B=B+A (comutativa)

A + (B + C) = (A + B) + C (associativa) III) A + O=O + A = A (elemento neutro) IV) A + (- A) = 0 (elemento oposto)

4.7.2 Subfração

de

roatrizes

A diferença de duas matrizes A = [aii1 e B = de mesma ordem, é a matriz C = [cii} tal que c = ati - , ou seja, faz-se a diferença entre elementos correspondentes. Indica-se a diferença de duas matriz A e B por A — B = A +(- B).

Por exemplo: Dadas duas matrizes

A diferença entre elas 6: 2 5 -8 A—B= 8 2 1 1690 4 -2 3 [ 2-6 5-9 -8-0 8-4 2—(-2) 1-3 [ -4 -4 -8 1. 4 4 -2

importante chamar a atenção para a não validade das propriedades comutativa, associativa, elemento neutro e elemento oposto para a subtração de matrizes.

Ouseja:1)A—B0 B—A

10 A — (B C) (A — B) C 111)A-0 =A

Não teria sentido apresentar a propriedade do elemento oposto na operação de subtração de matrizes, pois a propriedade do elemento neutro não é válida na subtração.

(22)

4.7.3 Multiplicaido

de

urna

roatriz por

oároero (escalar)

Se X é um escalar,

o

produto de uma matriz A = [aii] por esse escalar

é

uma matriz B = [bd tal que thi -- X x Indica-se

o

produto da matriz A por X por A.

Exemplo: Dada a matriz

A= 1 345 1. 2 6 9

e

X= 5. 0 produto XA 6: AAA= 5 x [ [ 15 20 25 10 30 45 [ 5x3 5x4 5x5 5x2 5x6 5x9

•

Propriedades da multiplicação de uma matriz por um escalar:

Para X e escalares quaisquer eAeB matrizes de mesma ordem, tem-se: I) X (pA) = (4) A II) (X + A = XA + IAA III) X (A + B) = XA + XB IV) 1A =A V) (- 1) A = - A VI) X0 =0 VII) OA= 0 21

(23)

4.7.4 Auffiplicação

de

roatrize6

Para explicar a operação da multiplicação de matrizes, facilitaria se os autores iniciassem com a multiplicação de uma matriz linha por uma matriz coluna, por estas serem matrizes mais simples de trabalhar.

a)

Multiplicação de uma "matriz linha" por uma "matriz colune:

Sejam

A

uma matriz linha lxm e B uma

matriz coluna

mxl.

O

produto

AB será uma

matriz

lx1 obtida, multiplicando-se cada elemento

de A pelo

"correspondente"

de

B

e

adicionando-se os

resultados.

Exemplo: Dadas duas

matrizes

A

= [ 6 7 8

e

B O produto

AB

6: AxB = [ 6 7 8 4 5 2 6x4 + 7x.5 + 8x2 [ 24 + 35 +16 ₇₅

b) Multiplicação de uma matriz mxn por uma matriz nxp:

Sejam

A lima

matriz mxn

e

B

uma

matriz nxp. 0

produto AB será uma matriz C de

ordem

rnxp obtida

do seguinte modo:

—>

o elemento

cii

de AB,

é obtido

multiplicando

ordenadamente

os

elementos

da

i-ésima linha

de A pela

j-ésima

coluna de

B,

e somando esses

resultados.

Exemplo:

Dadas duas matrizes

A=[ _{2 7 5}1 4 3 3.

2 3

e B=

2 5

(24)

1x2 + 4x2 + 3x4 2x2 + 7x2 + 5x4 1x3 + 4x5 + 3x1 2x3 + 7x5 + 5x1 [ 38 46 22 26 O produto AB 6: 2 3 AxB = 1 4 3 I 2 5 2 7 5 _{4 1} -4- Observações:

I) S6 podemos fazer a multiplicação se o número de colunas da primeira matriz for igual ao

número

de linhas da segunda matriz.

II) Ao multiplicarmos uma matriz de ordem mxn por outra de ordem nxp, a matriz produto

será

de ordem mxp.

•

Propriedades da multiplicação de matrizes:

Admitindo-se que as ordens das matrizes possibilitem a multiplicação, tem-se: I) A (BC) = (AB)

C

(associativa)

II) A (B + C) = AB + AC (distributiva à direita) III) (B + C) A -- BA + CA (distributiva à esquerda) IV) (o(A) B = A (ccB) =' a (AB), cc e

OA = AO =

AI = IA = A (multiplicação com a matriz identidade)

Dada a matriz A de ordem mxn. Queremos multiplicá-la pela matriz identidade, e para isso I deve ter ordem n. Assim: . h = Em seguida, multiplicaremos a matriz identidade pela matriz A (6 importante percebermos que a ordem da matriz I deve ser m para podermos efetuar a multiplicação) e teremos: I.. A = A. Observe que a ordem da matriz identidade não é a mesma para h e I.• A n...Para termos a mesma ordem para I nos dois casos, é preciso que a matriz A seja quadrada.

(25)

Observaçbes:

I) A

multiplicação

de

matrizes

não é

comutativa,

isto

6, existem matrizes

A

e B tais

que

AB BA.

Exemplo:

Se A =

1 1 1.

[ 01

e

B = [ 1 0

então AxB [2 1

enquanto

BxA -- 2

um doce custa

R$ 2,00;

Na segunda padaria um

pão custa R$ 0,80

e

um

doce custa

R$

1,50. Montagem

das

matrizes

e

respectiva multiplicação:

[ 35 [ 0,20 0,80 = [ 2,00 1,50

I

ail

a12 a21 a22 [ 4,60 5,40 7,00 8,50

-)

total de gastos

na primeira

padaria

a12 -)

quantia que teria

gasto

se

comprasse 3

pães

e

2 doces na

segunda padaria

a21 4 quantia que teria gasto

se

comprasse 5

pães e

3

doces na

primeira

padaria

a22 -)

total de

gastos

na segunda padaria

[ 0,20 0,80

I

2,00 1,50

x[

3 2 [ b11 b12 53

J

1,21 b22 [ 4,60 2,80

I

13,50 8,50 b1 1 -)

total de

gastos com pão

1)1 2 -)

total de gastos

com doces

se

o preço

de cada doce fosse

o

preço

de cada

pão ki 4

total de

gastos com

pães

se

o

preço de cada pão fosse

o

preço de cada doce

(26)

Assim, podemos perceber que os elementos das matrizes resultantes das multiplicações

são diferentes, apresentando significados diferentes 0 que confirma a não comutatividade

da multiplicação de matrizes.

II) Se ocorrer AB BA, dizemos que as matrizes A e B comutam.

Exemplo: Se

então AxB =

-2

[-

₆

7

0 -

6 -4

e

Bx.A --

[

-24

-7

6 -6

-4

i

III) Na multiplicação de matrizes não vale a lei do anulamento cio produto, isto 6,

podemos ter AB = 0, mesmo com A # 0 e B # 0.

Exemplo: Dados

[ 0 1 0 1

[

I

o o

veremos que:

A=

AxB

=

[ 0 x [ [

0 0

00 =

0

Assim como no item 1), neste o autor também poderia exemplificci-lo com uma situação prática, para melhor compreensão.

Situação:

Na festa de aniversário de Adriana foram encomendadas 100 (cem) coxinhas e nenhum

pastel. Nenhuma criança na festa de Adriana queria comer coxinha e 20 (vinte) queriam

comer pastéis.

(27)

as crianças que estavam na festa da Adriana se estivessem na de Carla?

Este problema pode ser visualizado através da seguinte representação matricial:

[ 100 0 I X [ 100x0 + Ox20 100x0 + Ox40 150 0 20 40 150x-0 + Ox20 150x0 + Ox40 at1 an a12 a22 I 0 0 0 0

all + número de salgadinhos comidos na festa de Adriana

+ número de salgadinhos comidos pelas crianças que estavam na festa de Carla se estivessem na festa de Adriana

a21 4 número de salgadinhos comidos pelas crianças que estavam na festa de Adriana se estivessem na festa de Carla

a22 4 número de salgadinhos comidos na festa de Carla

Ou seja, ninguém comeu nada em nenhuma festa, pois todos queriam pastel

e

só tinha coxinha nas duas festas.

IV) Não vale

também

a lei do cancelamento, isto 6, podemos ter AB = AC, mesmo com A*0 eB*C.

4.8 Matrix fransposta

Se A

é

uma matriz de ordem mxn, denominamos transposta de A a matriz de ordem man obtida, trocando-se ordenadamente as linhas pelas colunas. Indica-se a transposta de A por

(28)

Por exemplo: Seja a matriz A= _-3I 2 ₅ a sua transposta 2"2 0 At= [ 1 -3 2 1/2 i 2 5 0 • Propriedades da matriz transposta:

Para um escalar qualquer e para A e B matrizes de mesma ordem, tem-se: 1-) (A + B)t = At + Bt

• (?.A t --= 2L At III) (At)t = A IV) (- = - At V) (AB)t = Bt At

Em geral, os autores dos livros não se preocupam em apresentar as propriedades da matriz transposta, o que só enriqueceria o seu trabalho.

Um exemplo prático que envolve matriz transposta seria interessante para motivar o leitor e esclarecer a utilidade desta. A seguir temos uma sugestão:

• Situaçâo:

Camila

e

Thais VA° ao shopping fazer compras de Natal. Camila quer comprar 7 (sete) camisetas, 2 (duas) calças

e

5 (cinco) calçados

e

Thais quer comprar 3 (três) camisetas, I (uma) calça

e

4 (quatro) calçados.

De posse dessas informações, já poderemos começar a trabalhar, organizando-as melhor, colocando em uma tabela.

COMMAS MENINAS Camila Thais Camiseta(s) Calça(s) 2 I Calçado(s) 5 4

(29)

73 A matriz correspondente 6: A = 2 1

54 j

Para efetuar as compras, as meninas fizeram uma pesquisa de preços em três lojas que ofereciam os produtos com a mesma qualidade. Na loja 1 cada camiseta custa R$ 12,00, cada calça R$ 53,50 e cada calçado R$ 27,00. Na loja 2 cada camiseta custa R$ 10,00, cada calça R$ 47,00 e cada calçado R$ 31,00. Na loja 3 cada camiseta custa R$ 9,90, cada calça R$ 60,00 e cada calçado R$ 25,00.

Organizando os dados temos a tabela:

COMPRAS

LOJAS

Loja 1 Loja 2 Loja 3

Camiseta 12,00 10,00 9,90 Calça 53,50 47,00 60,00 Calçado 27,00 31,00 25,00 Matricialmente temos: 12,00 10,00 9,90 B = 53,50 47,00 60,00 27,00 31,00 25,00

Em qual loja pagarão menos?

Podemos perceber que o produto de A por B no é possível, pois o número de colunas da matriz A é diferente do número de linhas da matriz B.

Assim, para podermos fazer esse produto, rearranjamos a matriz A, obtendo sua transposta. 7 3 A= 2 1 54 en_{tão At [}₌ _{7 2 5} 3 1 4

(30)

Por exemplo: 1 5 9 1 5 9 = 5 3 8 ---- 5 3 8 -- S 9 8 7 9 8 7 /- 12,00 10,00 9,90 Atx B = [ 7 2 5 3 1 4 53,50 47,00 60,00 27,00 31,00 25,00 [ a21 a22 all au a23 326,00 319,00 314,30 197,50 201,00 189,70 Portanto,

total que Camila pagará se fizer suas compras na loja 1

-) total que Camila pagará se fizer suas compras na loja 2

an 4 total que Camila pagará se fizer suas compras na loja 3 au 4 total que Thais pagará se fizer suas compras na loja 1 a22 ₄ total que Thais pagará se fizer suas compras na loja 2

a23 4 total que Thais pagará se fizer suas compras na loja 3

Portanto, pagarão menos na loja 3.

4. Ntafriz siroéfrica

Uma matriz quadrada S = [aka é simétrica se St = S.

Seria interessante os autores dos livros citarem a matriz simétrica. Os poucos que citam, apresentam como um complemento do assunto ao qual na maioria das vezes os professores não dão importância ou ainda em algum exercício proposto no livro.

importante observarmos alguns resultados que envolvem matriz transposta e matriz simétrica. Em geral, os livros do Ensino Médio não chamam atenção para isto.

(31)

—* O produto de uma matriz quadrada A pela sua transposta A t é uma matriz simétrica. Por exemplo: 1 4 3-■ t." A= 2 3 -5 At= 4 3 1 -617 3-57 . ... .../ N, ... 26 -1 19 AxAt = -1 38 -44 19 -44 86

- A soma de uma matriz quadrada A com a sua transposta A t é uma matriz simétrica.

Por exemplo: ₆ _{4 2} r _{6 -3 5} A= -3 -1 9 At = 4 -1 7 5 7 1 2 9 1 _./ -"N 12 1 7 A+At = 1 -2 16 = S =St 7 16 2

• Propriedade da matriz simétrica:

-lima matriz quadrada A = [ai] é simétrica se, e somente se, os elementos dispostos simetricamente em relação A. diagonal principal são iguais.

Os autores poderiam apresentar um exempla prático como o citado abaixo para motivar

os leitores.

Situação:

Uma pessoa de carro, em Florianópolis, demora em média:

4 20 minutos para deslocar-se da Trindade ao Centro ou vice-versa;

4 10 minutos para deslocar-se do Centro a Coqueiros ou vice-versa; -> 30 minutos para deslocar-se da Trindade a Coqueiros ou vice-versa.

(32)

Confira a tabela abaixo:

TRINDADE CENTRO COQUEIROS

TRINDADE 0 20 min 30 min

CENTRO 20 min 0 10 min

COQUEIROS 30 min 10 min 0

0 20 30

Portanto, a matriz 20 0 10 é simétrica, pois At = A 30 10 0

4.10 Matriz aoti-simitrica

Uma matriz quadrada A é anti-simétrica se A t - A. Por exemplo:

0 3 4 - 3 - 4

A= -3 0 -6 At = 3 0 6 - A

-460 4-60

Seria também interessante os autores dos livros descreverem a matriz anti-simétrica.

comentário feito anteriormente sobre matriz simétrica vale também para matriz

anti-simétrica.

---> A diferença B = A - At entre uma matriz quadrada A e sua transposta At é 111TIR matriz

anti-simétrica. 3 2 7 3 8 5 Por exemplo: _{A =} _{8 4 1} [ _{2 4 6} 5 6 9 7 1 9 B A — At = 0 -6 2 6 0 -5 31

(33)

Exemplo: Dada a matriz 1 5 A= 124 2 4 [ 5/6 -2/3 I -1/6 1/3 [ 2 4 1 5 1 0 01 ]

Bt=

0 _-6 2 6 0 -5 -2 5 0 = - B

• Propriedade da matriz anti-simétrica:

Uma matriz qiiadrada A ---- [air] é anti-simétrica se, e somente se, aii = - aji, isto 6, se os elementos dispostos simetricamente em relaçAo a diagonal principal so opostos e os elementos da diagonal principal sAo nulos.

4.11 loverstio

de matrixes

SO determinamos inversa de matrizes quadradas. Se existir uma matriz B tal que AB = BA = I dizemos que a matriz B é a matriz inversa de A e a indicamos por Portanto: A.A"

NI . A = In.

Observações:

1) 1 6 unia matriz identidade de mesma ordem que as matrizes A e B.

II) Se existir a inversa, dizemos que a matriz A é inversive' e, em caso contrário, nao inversive' ou singular.

III) Se a matriz quadrada A é inversive', a inversa dela é única.

A x A-1 ---- 2 e A-1 x A = 12 (A é uma matriz de ordem 2)

[ 4 5 x 5/6 -2/3 -1/6 1/3

[

(34)

Seria interessante se o autor exenrplificasse a inversão de matrizes com um exemplo

prático, para esclarecer melhor a utilidade desta. Segue então uma sugestão.

Situação:

A criptografia é muito usada para senhas em computadores, principalmente para acessar informaç6es na internet, que de alguma forma, o acesso é pago, ou restrito a um grupo de pessoas de uma determinada empresa, por exempla.

Um professor do Ensino Médio, após ter explicado inversão de matrizes aos seus alunos,

propde que decifrem uma mensagem. Diz aos alunos: - Sejam as correspondências entre letras e números

br — ABCDEF G H 1 3 K L M N O P Q R S T UV WYZ 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25

significa espaço

Uma mensagem é transformada, em matrizes coluna do tipo 2x1, pelos números correspondentes a cada letra e espaço.

Em seguida é obtido o código da mensagem pela multiplicação da matriz A por cada uma das matrizes coluna.

Esta mensagem em código é enviada ao interlocutor, que de posse da mesma e previamente da matriz A, deverá decodificá-la, usando a multiplicação da inversa de A por cada uma das matrizes códigos.

0 professor quer enviar a seguinte mensagem: "TESTE RELÂMPAGO". Fazendo a correspondência com os números, tem-se:

- 20, 5, 19, 20, 5, 0, 18, 5, 12, 1, 13, 16, 1, 7, 15, 0; e matricialmente: [ 250 [ 2190 [ 50 [ 158 [ 11 1 2 t- 13 1 15 6 7 0

Para a matriz código o professor escolhe a seguinte matriz: A = [ 2 4 1 5

(35)

Fazendo a multiplicação da matriz A com cada matriz acima tem-se:

[ 60 I [ 118 I [ 10 56 28 90 30 30

45 119 5 43 17 93 36 15

■._

JL

no caso esta

é

a mensagem a ser enviada.

Então

o

professor fornece a matriz A

e

essas matrizes acima aos alunos. Os alunos irão decodificar esta mensagem, multiplicando pela inversa de A,

[

5/6 -2/3

-1/6 1/3 , no qual

voltará

coin a mensagem anterior. Em seguida, precisam apenas substituir os números pelas letras correspondentes.

Em grande parte os livros apresentam exemplos práticos e bem ilustrativos na introdução do conteúdo de matrizes e na parte que comenta a operação da multiplicação de matrizes, sendo que os demais exemplos silo do tipo "tradicionais". Em geral, os livros contém bastante exercícios.

(36)

5. Problemas etwolveodo

m

a

t

riz

A maioria dos livros trazem o conteúdo de Determinantes e Sistemas Lineares, logo após

o estudo de Matrizes. Ao apresentar o conteúdo de Sistemas Lineares é utilizado Matrizes na resolução destes. 0 conteúdo de Sistemas Lineares poderia ser melhor apresentado e

fixado, isto é, através de problemas práticos e não apenas por exercícios mecânicos. Sera apresentado a seguir alguns problemas como sugestão no estudo de Sistemas Lineares.

5.1 Problem I

Numa loja feminina são vendidas 9 (nove) calças, 22 (vinte e duas) saias e 17 (dezessete) vestidos no mês de Janeiro; 6 (seis) calças, 16 (dezesseis) saias e 20 (vinte) vestidos no mês de Fevereiro; 10 (dez) calças, 13 (treze) saias e 24 (vinte e quatro) vestidos no mês de Março. A loja, incluindo as três mercadorias, vendeu no mês de Janeiro R$1268,50, no mês de Fevereiro R$1093,00 e no mês de Março R$1274,00. Sabendo que o preço de mercadorias iguais é o mesmo e que não teve aumento de preço das mercadorias durante os três meses, diga qual é o valor de cada mercadoria.

DSOLUÇÃO: As variáveis são:

x1

—

>

preço de uma calça

x2-3 preço de uma saia x33 preço de um vestido

Sabe-se que:

- 9 calças,22 saias e 17 vestidos custam R$1268,50; - 6 calças, 16 saias e 20 vestidos custam R$1093,00;

(37)

O problema pode

ser

representado

na forma de um

sistema

linear:

+ 22x2 + 17x3 = 1268,5 { 9x1

6x1

+ 16x2 + 20x3 = 1093 10xi + 13x2 + 24x3 = 1274

Podemos

representar o

sistema

por meio

de matrizes, da

seguinte

forma:

ta ", 9 22 17 6 16 20 10 13 24 x ,-- --N

xi

X2 X3

=

r' -' 1268,5 1093 1274

Pela Regra de Cramer

(conteúdo visto em

Sistemas Lineares),

temos

que cada

calça

custa

R$

37,50,

cada saia

R$23,00 e

cada vestido

R$25,00.

5.2 Problema

2 Os

funcionários

da

padaria

A

fabricam pAes e doces num

total de

1800 durante 10

horas.

Os

funcionários

da

padaria 13

fabric= a

metade

da quantia de

pães fabricados na

padaria A

e

a

mesma quantia

de

doces em 8

horas,

num

total de

1000.

Quantos pães e quantos

doces silo fabricados na

padaria

A por

hora? E

na

padaria B?

>SOLUCAO:

As

variáveis são:

x1.4 número

de

pães

a

serem fabricados

por hora na padaria A

(38)

[ 1800 I 1000 4 8

[ 10 10

O problema pode ser representado na forma de um sistema linear:

{

8 (xi/2 + x2 ) = 1000

Podemos representar o sistema por meio de matrizes, da seguinte forma:

Pela Regra de Cramer (conteúdo visto em Sistemas Lineares), temos que na padaria A são fabricados 110 pães e 70 doces por hora e na padaria B são fabricados 55 pães e 70 doces por hora

5.3 Problema 3

Carolina, estudante da 6a série do Ensino Fundamental, no quarto bimestre somou nas disciplinas de História, Português

e Matemática

17 pontos. Sua colega de classe, chamada Marina, somou 22 pontos nas três disciplinas, sendo que, em História tirou

o

dobro da sua nota, em Português tirou

o

triplo da sua nota

e

em Matemática tirou a metade da sua nota. Eduardo obteve a mesma nota de Marina em História

e

em

Matemática e

a mesma nota de Carolina em Português, somando 16 pontos nas três disciplinas.

Quais foram as notas de Carolina em cada disciplina?

E

de Marina?

E

de Eduardo?

>SOLUCÃO: As variáveis são:

nota em História de Carolina X2 -> nota em Português de Carolina x3-> nota em

Matemática

da Carolina

(39)

0 problem— pode ser tepteSentadO na forma de um sistema line,:at { xi + x2 +x3 =-- 17

2x1 + 3X2 ±X3/2 --= 22 2x1 + x2 + x3/2 = 16

Podemos representar

o

sistema por meio de matrizes, da seguinte forma:

te .... 1 1 1 2 3 1/2 x 2 1 1/2 Xi 17 xl- --- 22 X3 16 ..., i.... .../

Pela Regra de Cramer (conteúdo visto em Sistemas Lineares), temos que Carolina tirou 4,0 em História, 3,0 em

Português e

10,0 em Matematica, sua colega Marina tirou 8,0 em História, 9,0 erii Portugas

e

5,0 em Matemática

e

Eduardo tirou 8,0 em História, 3,0 em Português

e

5,0 em

Matemática.

5.4 Problems

4

Fabio com a intenção de emagrecer procurou um endocrinologista. Esse receitou-lhe uma dieta com valor calórico de 1660 calorias dirias.

Fábio

pode fazer 5 refeições

DSOLUCk0i As variáveis são:

x1 -> caloria consumida no desjejum por Fabio x2-> caloria consumida na colação por Fábio x3-> caloria consumida no almoço por Fábio X4 -> caloria consumida no lanche por Fábio x5 -> caloria consumida no jantar por Fábio

O problema pode ser representado na forma de um sistema linear:

{ xi + x2 +x3 + x4 + x5 = 1660 x112 + X2 + 2X3 + X4 4- X5 =.- 2095 x1/2 +2x2 + 2x3 + Ox4 + x5 -- 1955 23(1 +x2 + x3 + x4 + x5/2 = 1720 Oxi + x2 + x3 + x4+ 3/2x5= 1600

Podemos representar o sistema por meio de matrizes, da seguinte forma:

.. 1 1 1 1 1 xi. 1660 1/2 1 2 1 1 x2 2095 1/22 20 1 X3 --= 1955 2 1 1 1 1/2 _x4 1720 0 1 1 1 3/2 xs 1600 -.)

Como a matriz dos coeficientes deste sistema é de ordem 5 e os livros apresentam

geralmente determinante de matriz de ordem 3, é mais sensato não resolvermos esse sistema

pela Regra de Cramer.

Por escalonamento (conteúdo visto em Sistemas Lineares), temos que Fabio consome 230 cal no desjejum 200 cal na colação, 550 cal no almoço, 340 cal no lanche

e

340 cal no jantar; Tatiane consome 115 cal no desjejum, 200 cal na colação, 1100 cal no almoço, 340

cal no lanche e 340 cal no jantar; Cristina consome 115 cal no desjejum, 400 cal na colação, 1100 cal no almoço e 340 cal no jantar; Priscila consome 460 cal no desjejum, 200 cal na

(41)

colação, 550 cal no almoço, 340 cal no lanche e 170 cal no jantar; Marcos consome 200 cal na colação, 550 cal no almoço, 340 cal no lanche e 510 cal no jantar.

5.5 Probleroa

5

Um construtor tem contratos para construir três estilos de casas: moderno, mediterrâneo e colonial. No estilo moderno são utilizados 18 unidades de madeira, 12 unidades de vidro, 9 unidades de ferro. No estilo mediterrâneo são utilizados 12 unidades de madeira, 8 de vidro e 6 de ferro, enquanto que no estilo colonial são utilizados, 12 de madeira, 6 de vidro e 6 de ferro.

Na casa de estilo moderno o construtor gastará com esses três materiais RS339,00, na casa de estilo mediterrâneo ele gastard com os materiais R$226,00, enquanto que na casa de estilo colonial gastará R$216,00.

Se ele construir uma casa de cada estilo, quanta custa por unidade cada material empregado?

DSOLUCÃO: As variáveis são:

x1 -3 preço por unidade da madeira x2-3 preço por unidade do vidro x3 -3 preço por unidade do ferro

O problema pode ser representado na forma de um sistema linear: { 18x1 + 12x2 + 9x3 = 339,00

12x1 + 8x2 + 6x3 = 226,00 12x1 + 6x2 + 6x3 = 216,00

(42)

Podemos

representar

o

sistema

por meio de

matrizes,

da

seguinte

forma:

18 12 9 _x1 _339,00

12 8 6 _x _x2 = 226,00

12 6 6 _X3 _216,00

', -9 ‘.... -9 _\-- _-9

Como o determinante da matriz dos coeficientes é igual a zero, nab podemos resolver o

problema pela Regra de Cramer.

Por

escalonamento (conteúdo visto em

Sistemas Lineares) temos que

o

custo da

unidade

da

madeira depende

do custo da

unidade

do ferro

e

vice-versa,

ou

seja,

2x1 + x3 = 31, e que

a

(43)

6.Aofi1ise

gráfica

Para ter uma idéia do que ocorre no Ensino Médio, a autora aplicou questionários a

professores de Matemática do Ensino Médio e a ex-alunos formados no Ensino Médio. A

seguir temos os questionários e algumas observações feitas através destes.

6.1 Questiooário aplicado

a

profesaores

de

Matemática

1) Nome(opcional):

2) Idade:

anos

3) Sexo:

OF DM

4) Qual a sua formação: 02° grau completo. Em que instituição?

0 3° grau incompleto. Em que instituição?

030 grau completo. Em que instituição?

O Outros

5) Se tem 3° grau completo. Em que ano se formou?

6) Quanto tempo leciona?

anos

7) Você trabalha com matrizes em alguma escola? O Não

0 Sim. Qual(is)?

Em que série(s)?

8) Qual(is) técnica(s) de ensino você utiliza para ensinar matrizes?

9) Adota algum livro? 0 Não (neste caso, passe para a questão 16)

0 Sim

10) Qual o titulo deste?

11) Esse livro foi você quem escolheu

0-11

foi adotado pela escola para esta série nesta

disciplina?

12) 0 considera bom?

0 Sim

CI

Não

13) Segue exatamente o livro?

0 Sim U Não

14) Procura outro(s) titulo(s) ao preparar suas aulas? 0 Não

(44)

15) Algum conteúdo do livro utilizado não é visto? fl Não

Li Sim. QuaXis)? 16) Como os alunos assimilam o conteúdo ministrado sabre matrizes?

bem CI + ou - Omal

17) Você aplica matrizes em outros conteúdos da mesma série que esta é ensinada? Não El Sim. Qual(is)?

6.2 Qs

gráficos

Foram entrevistados 4 professores.

(45)

(46)

(47)

(48)

(49)

6.5 Qbser

ivaçes

+ A idade, o sexo e o tempo de serviço dos entrevistados não influenciam no resultado da pesquisa.

+ As escolas que os entrevistados trabalham são: - Centro Educacional Alfa — Objetivo;

Colégio Coração de Jesus;

Colégio Estadual José Maria Cardoso da Veiga; Colégio Geração;

- Lavoisier.

+ Dos professores entrevistados, alguns trabalharn em mais de uma escola.

+ Na maioria das escolas o conteúdo de matrizes 6 ministrado na

r

série do Ensino Médio, como 6 organizado segundo a Proposta Curricular de Santa Catarina.

+ Apenas um professor, durante a entrevista, mencionou que utilizava situações da vida diária para exemplificar matrizes.

+ O titulo do livro adotado por alguns dos professores 6: Matemática — vol. único, dos

autores José Ruy Giovanni e José Roberto Bonjorno. Este foi analisado no decorrer do trabalho.

+ Algumas escolas adotam apostila, mesclando alguns livros didáticos, organizada pelos professores de Matemática da própria escola.

• Os professores não se detem apenas ao livro adotado, eles se preocupam em selecionar o que acham mais importante e interessante e além disso acrescentam conteúdos.

•

A maioria dos professores utilizam Matrizes no conteúdo de Sistemas Lineares e Determinantes. E alguns responderam que na 3a série do Ensino Médio aplicam Matrizes junto com Geometria Analítica.

6.4 Questionário aplicado a pessoas que teoban) urn certo

coobecimeoto sobre matrixes

01)Nome(opcional): 02) Idade: anos

(50)

3) Sexo: OF OM

4) Qual a sua formação? 01° grau incompleto.(nesse caso, não é necessário continuar respondendo este)

Or grau completo. (nesse caso, não é necessário continuar respondendo este)

0_{20 grau incompleto. (nesse caso, não é necessário continuar}

respondendo este)

02° grau completo. Em que instituição? Em que ano se formou?

03° grau incomplete). Em que instituição? Que curso voce faz? 0 3° grau completo. Em que instituição?

Que curso você é formado(a)? Em que ano se formou?

5) Qual a sua profissão?

6) Analise a situação:

Você deseja fazer uma pesquisa de pregos de 10 produtos em três supermercados distintos. Para isto você deseja dispor o preço dos produtos pesquisados de uma maneira tal que seja fácil você decidir em qual supermercado fazer a compra dos 10 produtos gastando o mínimo possível. Como você o faria?

7) Com qual conteúdo do 2° grau a situação descrita acima está relacionada?

8) Em que série no colégio você aprendeu o conteúdo de matrizes?

9) 0 conteúdo de matrizes visto por você era: O totalmente desnecessário O relacionava-o com o dia a dia O necessário para o vestibular

O outros

10) Se você já é formado(a) no 3° grau. Você estudou matrizes em alguma disciplina na universidade no seu curso de graduação ? El Sim 0 Não

11) Utiliza ou já utilizou o conteúdo de matrizes na sua profissão? O Não O Sint Em que situação?

(51)

grau, _{2° grau e 30 grau, respectivamente, considerando que as pessoas entrevistadas, na} época em que estudaram, utilizavam esta nomenclatura.

6.5 Os

gráficos

(52)

(53)

(54)

(55)

6.6 Observações

•:•

A idade e o

sexo

das pessoas não influenciam na pesquisa.

A maioria das pessoas responderam lista ou tabela de

preços/produtos/fornecedores

na

questão

que é proposta uma

situação (questão 6

do questionário), mas

são

poucas as que

relacionaram

isto

com

matrizes. Das que

relacionaram são

estudantes

universitários

e administradores que tiveram matrizes no

curso

de graduação.

•:•

Cs conteúdo de matrizes na maioria das

vezes

é visto na

28

série do Ensino

Médio,

segundo

as respostas dos entrevistados, sendo que esta é a série sugerida na Proposta Curricular de Santa Catarina.

Houve uma preocupação da autora em selecionar

pessoas

que

cursaram

o Ensino

Médio em Santa Catarina.

As pessoas que

são

formadas no

Ensino

Superior e que

tiveram matrizes no curso de

graduação,

em sua maioria,

não utilizaram matrizes na sua

profissão.

•:•

Das pessoas entrevistadas, as que utilizam ou já utilizaram matrizes na sua

profissão

foram:

estudante,

em alguma disciplina; administrador, para formação de

preços

de

venda; ou ainda, telefonista, atendente

de

calkenter,

promotora de

vendas, que

relacionam matrizes com computador.

(56)

7. C

onclusão

Ao final do presente trabalho, a autora surpreendeu-se com alguns resultados dos questionários aplicados. Verificou-se que há uma contradição, pois os professores, em geral, dizem ensinar, em contrapartida, a maioria dos ex-alunos do Ensino Médio não sabem, não lembram e não aplicam o conteúdo em questão.

Em geral os livros didáticos são incompletos e além disso, a maioria dos livros, não apresentam ainda características segundo o PCN (Parâmetros Curriculares Nacionais). Deve-se aqui salientar que apesar da sistematização pretendida através da Proposta Curricular (veja página 11) o que se percebe na maioria dos livros adotado é que as demonstrações não são apresentadas, dificultando mais ainda o aprendizado. Com isso a autora se "atreve" a concluir que a razão de os alunos não assimilarem o conteúdo 6 por os livros didáticos não apresentarem o conteúdo de forrna adequada. Mas por outro lado, os professores não deveriam seguir esses livros, sendo capazes de preparar suas aulas, selecionando e acrescentando itens do conteúdo.

Como um dos objetivos é mostrar a aplicação do conteúdo de matrizes, foram apresentados alguns problemas com tal propósito, para serem utilizados por professores e alunos interessados.

(57)

8. Referências gibliogrificas

1. BAUMGART, John K. História da Álgebra. Editora Atual,

sao

Paulo, 1992. 2. BERGER FILHO, Ruy Leite. Parâmetros Curriculares Nacionais. Secretaria da

Educação Média e Tecnológica, 1999.

3. BIANCHINI, Edwaldo; PACCOLA, Herval. Matemática. Vol 2. Editora Moderna, São Paulo, 1996.

4. BOLDRINI, José Luiz e outros. Álgebra Linear. Editora Harbra LTDA, 1986.

5. BOYER, Carl Benjamin. História da Matemática. Editora Edgard Blither, Sao Paulo, 1974.

6. DAVIS, Philip J. The Mathematics of Matrices. 1965.

7. GIOVANNI, José Ruy; BONJORNO, José Roberto; GIOVANNI JR., José Ruy.

Matemática Fundamental —2° grau. Vol Wilco. FTD, Sao Paulo, 1994.

8. GOULART, Márcio Cintra. Matemática no Ensino Médio. Vol 2. Editora Scipione, Sao Paulo, 1999.

9. HENTZ, Paulo. Proposta Curricular de Santa Catarina. COGEN, Florianópolis, 1998.

10. POSSAM, Claúdio. Revista do professor de matemática — número 21. SBM, Rio de Janeiro, 1992.