Microeconomia2Grad NA2 ES

(1)

MICROECONOMIA 2 – GRADUAC

¸ ˜

AO

Departamento de Economia, Universidade de Bras´ılia

Notas de Aula 2 – Teoria da Escolha Social

Prof. Jos´

e Guilherme de Lara Resende

1 Escolha Social

1.1 Introdu¸

c˜

ao

A teoria da Escolha Social lida com o problema de agregar preferências individuais em uma preferência social. Ela analisa a questão de como um grupo ou uma sociedade decide coletivamente. Normalmente essa decisão é por meio de uma regra de agrega¸cão das preferências ou escolhas individuais. É desejável que essa regra satisfa¸ca certos critérios de caráter normativo. Por exemplo, podemos exigir que a regra de escolha social seja tal que se todos em uma sociedade preferem a alternativa x à alternativa y, então a regra social resulte sempre em x prefer´ıvel a y (critério de unanimidade de Pareto). O principal resultado deste tópico é o Teorema de Impossibilidade de Arrow. Varian (2012), cap´ıtulo 33 (“O Bem-Estar ”), constitui uma referência para essa se¸cão. Defini¸cões:

• Alternativa: descri¸c˜ao completa de um estado social; • X: conjunto finito de alternativas, todas excludentes; • I: tamanho do grupo ou sociedade (n´umero de indiv´ıduos);

• Preferˆencias individuais i completas e transitivas sobre as alternativas;

• Grupo de preferˆencias: lista das preferˆencias de todos os indiv´ıduos do grupo.

Defini¸cão: Preferência Social. Uma rela¸cão de preferência social S é uma rela¸cão binária

sobre X. Representamos por S e ∼S as rela¸c˜oes de preferˆencia estrita e indiferen¸ca derivadas de

S, respectivamente.

Relembrando a nota¸c˜ao de preferˆencias, temos que:

• x S y: (a alternativa) x ´e socialmente t˜ao boa quanto a y;

• x S y: (a alternativa) x ´e socialmente melhor que y;

• x ∼S y: (a alternativa) x ´e socialmente indiferente a y.

Sabemos que axiomas sobre preferências consistem em hipóteses sobre o comportamento in-div´ıdual e cada axioma tem um significado preciso. Vamos supor que a preferência i de todo

indiv´ıduo i satisfaz os dois axiomas abaixo:

• Axioma de Completeza: Para quaisquer alternativas x e y em X, ou x i y ou y i x (ou

ambos).

• Axioma de Transitividade. Para quaisquer alternativas x, y e z em X, se x i y e y i z

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O axioma de “completeza” diz que o indiv´ıduo é sempre capaz de comparar duas alternativas quaisquer do conjunto X. Portanto, se ele tiver que escolher entre x e y, ele dirá qual alternativa prefere (ou se é indiferente entre elas). O axioma de transitividade é crucial para a escolha do indiv´ıduo ser logicamente coerente. Se esse axioma não for satisfeito, pode não ser possivel dizer qual é a alternativa preferida pelo indiv´ıduo. Por exemplo, suponha um indiv´ıduo que ordene as alternativas x, y, e z da seguinte maneira não-transitiva: x y, y z e z x. Neste caso não é poss´ıvel determinar a alternativa preferida do indiv´ıduo.

Defini¸cão: Regra de Escolha Social (RES). Uma regra de escolha social (ou mecanismo de decisão social ) f é uma fun¸cão que associa cada grupo de preferências individuais a uma preferência social. Logo: (1, 2, · · · , I) | {z } I indiv´ıduos 7→ f S

Então f associa a cada conjunto particular de preferências individuais uma ordena¸cão social, de acordo com o que a regra estabelecer.

1.2 Caso de Duas Alternativas: Teorema de May

Suponha apenas duas alternativas a serem escolhidas, representadas por x e y. Para cada indiv´ıduo i, podem existir apenas três casos: 1) x i y, 2) x ∼i y, e 3) y i x. Então, a preferência

de cada indiv´ıduo pode ser descrita pela fun¸c˜ao Di _{definida como:}

Di = 1 se x i y

Di = 0 se y ∼i x

Di = −1 se y i x

Uma regra de escolha social para o caso de duas alternativas pode então ser vista como um mapa que leva cada vetor com as preferências de todos os indiv´ıduos sobre x e y (sendo que é poss´ıvel se declarar indiferente às duas alternativas), denotado por (D1_{, D}2_{, . . . , D}I_{), a uma preferˆ}_{encia social}

DS. Seja o conjunto U = {−1, 0, 1}. No caso de apenas duas alternativas, a regra de escolha social f pode ser definida como uma fun¸c˜ao com dom´ınio no produto cartesiano UI _{e contradom´ınio U}

(f : UI _{→ U ), de modo a associar cada grupo de preferˆencias individuais (D}1_{, D}2_{, . . . , D}I_{) `}_{a escolha}

social DS, de acordo com o que a regra f especificar: U × U × U × · · · × U

| {z }

I indiv´ıduos)

7→

f U

Exemplo: Vota¸c˜ao Majorit´aria. Seja αi ≥ 0, para todo i = 1, . . . , I, um sistema de pesos.

Definimos f como: f (D1, . . . , DI) = sign I X i=1 αiDi ! ,

onde sign : R → R é a fun¸cão definida por sign(a) = 1 se a > 0, sign(a) = 0 se a = 0 e sign(a) = −1 se a < 0. Se αi = 1 para todo i, f representa a regra de vota¸cão majoritária:

f (D1, . . . , DI) = sign I X i=1 Di ! .

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Para a regra de vota¸c˜ao majorit´aria vale que:

f (D1, . . . , DI) = 1 ⇔ #(i : x i y) > #(i : y i x)

f (D1, . . . , DI) = 0 ⇔ #(i : x i y) = #(i : y i x)

f (D1, . . . , DI) = −1 ⇔ #(i : x i y) < #(i : y i x) ,

em que #(i : x i y) denota o n´umero de pessoas que preferem estritamente x a y e #(i : y i x)

denota o n´umero de pessoas que preferem estritamente y a x.

Logo, a regra de vota¸cão majoritária decide que x é socialmente prefer´ıvel a y se o número de pessoas que preferem (estritamente) x a y for maior do que o número de pessoas que preferem (estritamente) y a x. No caso de o número de pessoas que preferem y a x for maior do que o número de pessoas que preferem x a y, então y será socialmente prefer´ıvel a x. Finalmente, se os dois grupos de pessoas, que preferem x a y e que preferem y a x tiverem o mesmo número de pessoas, então x e y serão socialmente indiferentes. Na prática, quando isto ocorrer, existirá alguma regra para a escolha entre x e y. Por exemplo, se houver empate no número de votos para presidente do Brasil no segundo turno de vota¸cão, então será escolhido o candidato mais idoso (ver artigo 77 da Constitui¸cão Federal).

Vamos discutir propriedades que podem ser impostas sobre a fun¸cão f de bem-estar social. Cada propriedade tem um significado intuitivo de caráter normativo. Por exemplo, o critério Paretiano abaixo é simples e é razoável exigir que uma regra de escolha social o satisfa¸ca.

Defini¸cão: Critério Paretiano (Unanimidade). f (·) satisfaz o critério Paretiano se f (1, . . . , 1) = 1 e f (−1, . . . , −1) = −1.

O critério Paretiano apenas exige que no caso em que todos na sociedade preferem estritamente a mesma alternativa, a preferência social também irá preferir estritamente esta alternativa. A regra ditadorial, definida no exemplo abaixo, satisfaz esse critério.

Exemplo: Defina f por f (D1_{, . . . , D}I_{) = D}h_{. O indiv´ıduo h ´}_{e chamado ditador, pois a sua}

preferˆencia determina a escolha social (αi = 0, ∀i 6= h, αh = 1, no exemplo anterior). Observe que

a regra ditadorial satisfaz o crit´erio Paretiano.

May (1952) elaborou 4 condi¸cões que uma regra de escolha social f deve satisfazer quando existem apenas 2 alternativas. Abaixo apresentamos essas condi¸cões formalmente. É fundamental entender o conteúdo econômico de cada condi¸cão. A primeira diz que a regra deve ser decisiva, isto é, que qualquer que seja o grupo de preferências dos indiv´ıduos considerado, a regra leve a uma preferência social (que pode ser indiferen¸ca entre x e y). A segunda condi¸cão, simetria ou anonimato, estabelece que todos os indiv´ıduos recebem o mesmo peso na regra. A terceira condi¸cão estabelece que as duas alternativas devem ter o mesmo status quo, nenhuma alternativa recebe a priori um peso maior na regra. Finalmente, a quarta condi¸cão estabelece que se para um determinado grupo de indiv´ıduos, a escolha social for a alternativa x ou a indiferen¸ca entre as duas alternativas, e se um indiv´ıduo mudar de posi¸cão em dire¸cão à alternativa x (isto é, se antes ele preferiria y, agora ele é indiferente entre x e y ou passa a preferir x, ou se antes ele era indiferente entre x e y, ele passa a preferir x estritamente), e todos os outros indiv´ıduos continuam com as mesmas preferências de antes, então a regra de escolha social resultará em x estritamente prefer´ıvel a y.

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Condi¸cão 1: Decisiva. A fun¸cão f de bem-estar social é bem definida e assume um único valor para todo elemento de UI_.

Condi¸c˜ao 2: Simetria ou Anonimato. A fun¸c˜ao f trata todos os indiv´ıduos de modo igual, ou seja, temos que f (D1_{, . . . , D}I_{) = f (D}π(1)_{, . . . , D}π(I)_{), onde π : {1, . . . , I} → {1, . . . , I} ´}_{e uma}

permuta¸cão dos indiv´ıduos (π é uma bije¸cão).

Condi¸c˜ao 3: Neutralidade entre as alternativas. A fun¸c˜ao f trata as duas alternativas de modo igual, ou seja, temos que f (D1, . . . , DI) = −f (−D1, . . . , −DI).

Condi¸cão 4: Resposta Positiva. Se para um certo grupo de preferências individuais, a alter-nativa y não era escolhida, e se pelo menos um indiv´ıduo muda a sua preferência na dire¸cão de x, então x passa a ser escolhido. Logo, temos que se D = f (D1_{, . . . , D}I_{) ≥ 0 e ˜}_Di _{= D}i _{para todo}

i 6= i0, e ˜Di0 > Di0, ent˜ao f ( ˜D1, . . . , ˜DI) = 1.

Teorema de May. A fun¸cão de bem-estar social f é de vota¸cão majoritária se, e somente se, é decisiva, simétrica, neutra entre as alternativas e de resposta positiva.

O Teorema de May não só garante que a regra de vota¸cão majoritária é decisiva, simétrica, neutra entre as alternativas e de resposta positiva (parte mais fácil de verificar), mas também que se uma regra de decisão for decisiva, igualitária, neutra entre as alternativas e de resposta positiva, então ela necessariamente será a regra de vota¸cão majoritária (parte mais dif´ıcil de verificar). Logo, o Teorema de May constitui uma caracteriza¸cão completa da regra de vota¸cão majoritária.

1.3 Paradoxo de Condorcet (Paradoxo da Vota¸

c˜

ao)

No caso de apenas duas alternativas, o requerimento de a regra social ser transitiva não é relevante. Se tivermos três ou mais alternativas, transitividade passa a ser importante. O requisito de transitividade exige uma coerência na escolha social que nem sempre será satisfeita, mesmo que todas as preferências individuais sejam completas e transitivas.

Vamos estender a regra de vota¸cão majoritária vista acima do seguinte modo. A regra de vota¸cão majoritária aos pares estabelece que todos os pares poss´ıveis de alternativas são postos em vota¸cão, um par por vez. Em cada rodada, o vencedor da vota¸cão será a alternativa socialmente prefer´ıvel. Logo, se colocarmos em vota¸cão as alternativas x vs y, se x tiver mais votos, então x S y. Se tiverem o mesmo número de votos, x ∼S y. E se y tiver mais votos, y S x.

Defini¸cão: Vencedor de Condorcet. Dizemos que uma alternativa é um vencedor de Condorcet se ela ganhar de todas as outras alternativas na vota¸cão majoritária aos pares.

Considere o seguinte exemplo bem simples, com apenas três alternativas, x, y e z, e três in-div´ıduos, 1, 2 e 3. As preferências dos três indiv´ıduos estão resumidas na tabela abaixo:

Posi¸c˜ao Indiv´ıduo 1 Indiv´ıduo 2 Indiv´ıduo 3

Primeira x y z

Segunda y z x

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Existem três combina¸cões de pares para a vota¸cões majoritária, que levam aos resultados abaixo: x vs y ⇒ x S y y vs z ⇒ y S z x vs z ⇒ z S x    ⇒ x S y, y S z, z S x | {z } Snão é transitiva!

Ou seja, mesmo que todas as preferências individuais sejam transitivas, pode ocorrer que a regra de escolha social leve essas preferências individuais a uma preferência social intransitiva. Para o grupo de preferências acima, não existe um vencedor de Condorcet. Regras de escolha social que levem a preferências socias não transitivas podem trazer problemas de manipula¸cão de agenda, como discutiremos a seguir.

Suponha que a regra de escolha social é tal que, no caso de três alternativas x, y e z, se a agenda de vota¸cão for (x, y, z), então primeiro vota-se x vs y, e depois vota-se o vencedor dessa primeira vota¸cão contra z. Podemos ter três agendas de vota¸cão diferentes, levando aos resultados abaixo para o caso das preferências apresentadas na tabela acima:

(x, y, z) : x vs y ⇒ x ganha, x vs z ⇒ z ganha (y, z, x) : y vs z ⇒ y ganha, y vs x ⇒ x ganha (z, x, y) : z vs x ⇒ z ganha, z vs y ⇒ y ganha

Logo, para o grupo de preferˆencias descrito acima, quem define a agenda de vota¸c˜oes define a alternativa vencedora.

Observe que o exemplo acima exige que as preferências dos indiv´ıduos sejam de conhecimento de todos. Isso possibilita vota¸cão estratégica, em que não é mais do interesse de um ou mais eleitores revelar corretamente as suas verdadeiras preferências, votando na sua alternativa preferida.

Por exemplo, suponha que o indiv´ıduo 1 define a agenda de vota¸cão. Ele decide implementar a agenda (y, z, x), que leva a escolha de x, sua alternativa preferida. Essa é a pior alternativa para o indiv´ıduo 2. Se este decidir na primeira rodada de vota¸cão, entre y e z, votar em z, z passa a ser escolhido em vez de y. Na segunda rodada de vota¸cão, a alternativa x será preterida e z será escolhida. Logo, o indiv´ıduo 2, ao revelar incorretamente a sua preferência, consegue afetar o resultado e fazer com que a sua segunda melhor alternativa, z, seja escolhida no lugar da sua terceira melhor alternativa, x.

Logicamente, a análise se complica: os outros eleitores podem também decidir votar estrategi-camente, não revelando corretamente suas preferências. Nesse caso, devemos analisar o problema de vota¸cão como um jogo e procurar por equil´ıbrios de Nash. Observe que a discussão acima mostra que a situa¸cão em que o indiv´ıduo 1 define a agenda (y, z, x) e todos votam de acordo com suas preferências verdadeiras não é um equil´ıbrio de Nash (mais especificamente, vimos que o indiv´ıduo 2 revelar corretamente sua preferência não é a melhor resposta quando os eleitores 1 e 3 revelam suas preferências verdadeiras).

Não vamos nos aprofundar mais na questão de comportamento estratégico agora. O ponto prin-cipal que desejamos enfatizar é o de que, em situa¸cões onde existam três ou mais alternativas, a regra de vota¸cão majoritária aos pares pode associar preferências sociais não transitivas a determi-nados conjuntos de preferências individuais que são todas completas e transitivas. Essas situa¸cões podem gerar problemas como manipula¸cão de agenda e vota¸cão estratégica. Vamos investigar se existe alguma regra de escolha social que não incorra nesses problemas e satisfa¸ca certas propri-edades, como levar sempre a preferências sociais completas e transitivas. O Teorema de Arrow responde essa questão.

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1.4 Teorema de Arrow

O Teorema de Arrow (Arrow, 1951) verifica a existência de uma regra de escolha social que agregue as preferências individuais de “modo satisfatório”. As condi¸cões do Teorema de Arrow são exigências de caráter normativo sobre a regra de escolha social f que gera a decisão do grupo analisado, S= f (1, . . . , N). Note que f associa a cada grupo de preferências individuais uma

preferˆencia social, ou seja, (1, . . . , N) 7→

f S. Os pressupostos do Teorema de Arrow s˜ao discutidos

abaixo.

Dom´ınio Irrestrito (ou Universal). O dom´ınio de f inclui todas as combina¸c˜oes poss´ıveis de preferˆencias sobre o espa¸co de alternativas X.

Essa condi¸cão impõe sobre a regra social f a capacidade de associar qualquer grupo de pre-ferências individuais a uma preferência social. Portanto, o mecanismo de escolha social é válido qualquer que seja o grupo de preferências individuais considerado.

Princ´ıpio Fraco de Pareto. Para qualquer par de alternativas x e y tal que x i y para todo

indiv´ıduo i, ent˜ao x S y.

Essa condi¸cão impõe um critério de unanimidade no mecanismo de escolha social. Podemos definir outros criterios de unanimidade (por exemplo, com preferências fracas).

Não-Ditadorial. Não existe indiv´ıduo h tal que se x h y então x S y, quaisquer que sejam as

preferˆencias dos outros indiv´ıduos que n˜ao h.

Essa condi¸cão elimina a possibilidade de um ditador na sociedade. Isso não exclui o fato de que a escolha social coincida, para um certo grupo de preferências, com a ordena¸cão de algum ou de alguns indiv´ıduos.

Independência das Alternativas Irrelevantes (IAI). Sejam dois conjuntos de preferências individuais (1, . . . , I) e ( ˜1, . . . , ˜I), que são levados pela regra de escolha social f às preferências

sociais S= f (1, . . . , I) e ˜S = f ( ˜1, . . . , ˜I) e sejam x e y duas alternativas quaisquer em X.

Se cada indiv´ıduo ordena x versus y em i do mesmo modo que ordena x versus y em ˜i ent˜ao o

ordenamento social de x versus y ser´a o mesmo em S e em ˜S.

A IAI é a mais sutil das condi¸cões do Teorema de Arrow. Ela impõe à regra de escolha social a propriedade de que o ordenamento entre duas alternativas dependa apenas dessas duas alternativas, e que não seja afetado por nenhuma outra alternativa diferente de x e y. Vamos discutir um exemplo para deixar essa condi¸cão mais clara.

Mecanismo de Escolha de Borda. A regra de escolha social de contagem de Borda pode tomar diversas formas. O mecanismo de contagem de Borda consiste em cada indiv´ıduo i reportar a sua preferência, como numa vota¸cão em lista. Da´ı associamos um número ci(x) para a alternativa x

para cada alternativa x ∈ X e para cada indiv´ıduo i. Calculamos a pontua¸c˜ao de Borda c(x) para a alternativa x como: c(x) = I X i=1 ci(x)

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Por exemplo, suponha que ci(x) = n, onde n é a posi¸cão de preferência de x para i. Por

exemplo, se c1(x) = 2, ent˜ao x ´e a segunda alternativa preferida do indiv´ıduo 1. Vamos supor

por enquanto que os indiv´ıduos ordenam todas as alternativas de modo estrito, para simplificar a exposi¸c˜ao. Neste caso, a regra de escolha da contagem de Borda ´e definida por:

x S y ⇔ c(x) = I X i=1 ci(x) ≤ I X i=1 ci(y) = c(y) ´

E poss´ıvel mostrar que regras de escolha social do tipo contagem de Borda: • Levam sempre a preferˆencias sociais completas e transitivas;

• S˜ao de dom´ınio irrestrito (podemos lidar com empates facilmente); • Satisfazem o princ´ıpio fraco de Pareto,

• N˜ao s˜ao ditadoriais.

Porém, a contagem de Borda não satisfaz o critério de independência das alternativas irrele-vantes, pois o ordenamento social de duas alternativas pode depender do posicionamento de outras alternativas, como o exemplo a seguir ilustra.

Exemplo: Suponha dois indiv´ıduos, 1 e 2, e três alternativas, x, y e z. Considere duas poss´ıveis situa¸cões para as preferências dos dois indiv´ıduos:

Situa¸c˜ao A: x 1 z 1 y ⇒ c1(x) = 1, c1(y) = 3 y 2 x 2 z ⇒ c2(x) = 2, c2(y) = 1 ⇒ x S y Situa¸c˜ao B: x 1 y 1 z ⇒ c1(x) = 1, c1(y) = 2 y 2 z 2 x ⇒ c2(x) = 3, c2(y) = 1 ⇒ y S x

Nas duas situa¸cões, os ordenamentos individuais entre x e y são os mesmos. Porém, o mecanismo de Borda resulta em ordenamentos sociais entre x e y distintos, devido à presen¸ca da alternativa z. Logo, z não é sempre irrelevante quando definimos o ordenamento social de x e y segundo a regra de escolha social de contagem de Borda. Isso significa que essa regra não satisfaz a hipótese de independência das alternativas irrelevantes.

Arrow (1951) mostrou que o fato de a contagem de Borda não satisfazer IAI não é por acaso. O Teorema de Arrow prova que quando existem três ou mais alternativas, não existe nenhuma regra de escolha social que leve sempre a ordenamentos sociais completos e transitivos e que satisfa¸ca as condi¸cões elencadas acima.

Então, supondo três ou mais alternativas, como é poss´ıvel mostrar que o mecanismo de Borda leva sempre a preferências completas e transitivas, é de dom´ınio universal, satisfaz o princ´ıpio fraco de Pareto e não é ditadorial, o Teorema de Arrow implica que esse mecanismo não pode satisfazer a condi¸cão de independência das alternativas irrelevantes.

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Teorema da Impossibilidade de Arrow (versão I). Se existem pelo menos três alternativas em X, então não existe regra de escolha social f que resulte sempre em uma preferência social S completa e transitiva e tal que satisfa¸ca as condi¸cões de dom´ınio universal, princ´ıpio fraco de

Pareto e independˆencia das alternativas irrelevantes e que seja n˜ao-ditadorial.

Teorema da Impossibilidade de Arrow (versão II). Se existem pelo menos três alternativas em X, então a única regra de escolha social f que resulta sempre em uma preferência social S

completa e transitiva e tal que satisfa¸ca as condi¸cões de dom´ınio universal, princ´ıpio fraco de Pareto e independência das alternativas irrelevantes é a regra de escolha social ditadorial.

O Teorema de Arrow possui uma conclusão negativa: é imposs´ıvel esperar que uma sociedade se comporte com a mesma coerência que podemos esperar de um indiv´ıduo racional (no sentido de preferências completas e transitivas). Esse problema de coerência mostra que detalhes institucionais e procedimentos do processo pol´ıtico são importantes. Ou seja, tomadas de decisões em grupo podem gerar resultados arbitrários e manipula¸cão. O processo instituticional pode e deve constituir uma restri¸cão a esses problemas.

Diversos autores da área de ciência pol´ıtica incorporaram o resultado de Arrow em suas análises (por exemplo, ver Shepsle and Boncheck (1995); Austen-Smith and Banks (1996)). Além disso, estes autores passaram a utilizar ferramentas como teoria dos jogos para auxiliar essas análises.

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1.5 Fun¸

c˜

ao de Bem-Estar Social

Vamos agora proceder de modo diferente com respeito ao problema de escolha social. Suponha que cada indiv´ıduo tenha uma utilidade definida sobre o conjunto das alternativas existentes. Vamos representar a utilidade do indiv´ıduo i sobre a alternativa x por ui(x).

Defini¸cão. Uma fun¸cão de bem-estar (FBE) W é uma fun¸cão definida sobre as fun¸cões de utilidade individuais, W = W (u1, . . . , uI).

Se W for crescente em cada um dos seus argumentos, então quanto maior o n´ıvel de utilidade, maior o valor de W . Neste caso dizemos que W é uma fun¸cão de bem-estar social (FBES).

Exemplos:

• FBES utilitarista ou de Bentham:

W (u1, . . . , uI) = I

X

i=1

ui.

• FBES da soma ponderada das utilidades:

W (u1, . . . , uI) = I X i=1 aiui, com ai ≥ 0 ∀ i. • FBES Rawlsiana: W (u1, . . . , uI) = min{u1, . . . , uI}.

• FBES com elasticidade de avers˜ao `a desigualdade constante: W (u1, . . . , uI) = (a1u ρ 1+ a2u ρ 2· · · + anuρn) 1/ρ , com ai ≥ 0 ∀ i, e 0 6= ρ < 1.

As FBES dependem da representa¸cão usada para a utilidade individual. Sabemos que a uti-lidade de um indiv´ıduo não é única: qualquer transforma¸cão crescente dela representao a mesma ordena¸cão, ou seja, a mesma pessoa. Porém, ao utilizarmos determinada forma funcional de uma FBES, estamos assumindo que é poss´ıvel fazer compara¸cões entre fun¸cões de utilidades de indiv´ıduos diferentes.

Suponha que a alternativa x defina uma cesta de consumo para cada indiv´ıduo, x = (x1, . . . , xI).

Suponha tamb´em que cada indiv´ıduo i tenha uma dota¸c˜ao inicial ei. Se a utilidade de cada

in-div´ıduo i depende da aloca¸cão x para todos os indiv´ıduos, então existem externalidades de consumo: o bem-estar de uma pessoa depende não somente do que ela consome, mas também do que os outros consomem. Vamos supor a partir de agora de que a utilidade de uma pessoa depende apenas da sua própria cesta: ui(xi), para todo i = 1, . . . , I. Neste caso dizemos que W (u1(x1), u2(x2), . . . , uI(xI))

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6 -u2 u1 Conjunto de Possibilidade de Utilidade Curva de Isobem-Estar sM´aximo da FBES W

Considere o seguinte problema de maximiza¸c˜ao: max x W (u1(x1), u2(x2), . . . , uI(xI)) s.a. X i xi = X i ei,

onde W é uma FBES. Como toda FBES é crescente, então a aloca¸cão ótima será Pareto eficiente. As curvas de indiferen¸ca de W são chamadas curvas de isobem-estar. A figura acima ilustra esse problema graficamente.

Mais ainda, qualquer aloca¸cão Pareto eficiente pode ser o resultado da maximiza¸cão de alguma FBES. Em particular, se maximizarmos a FBES da soma ponderada das utilidades variando os pesos ai, obtemos qualquer ponto da FPU como solu¸cão ótima. Para que este resultado seja válido,

´e necess´ario que o conjunto de possibilidade de utilidades seja convexo.

Observe então que existe uma rela¸cão estreita entre FBES e aloca¸cões eficientes: toda solu¸cão de um problema de maximiza¸cão de uma FBES crescente é eficiente e toda aloca¸cão eficiente é solu¸cão de um problema de maximiza¸cão de bem-estar social, para uma FBES apropriada.

Referˆ

encias

Arrow, K. (1951). Social choice and individual values. New York: John Wiley.

Austen-Smith, D., & Banks, J. (1996). Positive political theory. Ann Arbor: University of Michigan Press.

May, K. O. (1952). A set of independent necessary and sufficient conditions for simple majority decision. Econometrica, 20:4 , 680-684.

Shepsle, K., & Boncheck, M. (1995). Analysing politics. New York: W. W. Norton.

Varian, H. (2012). Microeconomia – uma abordagem moderna (8a edi¸c˜ao). Elsevier/Editora Campus.

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Exerc´ıcios

1. Mostre que a regra de vota¸c˜ao majorit´aria aos pares, conforme definida em sala, satisfaz as propriedades de anonimato, neutralidade entre as alternativas e resposta positiva.

2. Mostre que uma regra de escolha social que satisfaz as propriedades de resposta positiva e neutralidade entre as alternativas satisfaz a seguinte propriedade:

Propriedade de Resposta Negativa. Se D = f (D1, . . . , DI) ≤ 0 e ˜Di = Di para todo i 6= i0, e ˜Di0 < Di0, ent˜ao f ( ˜D1, . . . , ˜DI) = −1.

Interprete intuitivamente a propriedade acima.

3. Considere uma elei¸cão com 3 candidatos, A, B e C, e quatro eleitores, onde as preferências desses eleitores é descrita na seguinte tabela, em ordem decrescente de preferência:

Eleitor 1 Eleitor 2 Eleitor 3 Eleitor 4

A A B C

B B C B

C C A A

Assuma que o método de vota¸cão é dado pela contagem de Borda (vota¸cão em lista). Suponha que ninguém vote estrategicamente.

a) Calcule um sistema de pesos para o sistema de Borda onde o candidato A ganha, se tal sistema de pesos existir.

b) Calcule um sistema de pesos para o sistema de Borda onde o candidato B ganha, se tal sistema de pesos existir.

c) Considere o sistema de pesos calculado para o item b). Existe algum incentivo para algum eleitor votar estrategicamente?

4. Considere as seguintes regras de vota¸c˜ao:

Regra de Copeland: Fixe uma alternativa, digamos x. Compare essa alternativa x com toda outra alternativa y. Em cada compara¸cão, agracie 1 se a maioria prefere x a y, −1 se a maioria prefere y a x e 0 se ocorre empate. Some os pontos de todas as compara¸cões da alternativa x. Repita esse procedimento para toda alternativa existente. A alternativa com a maior soma (Copeland score) é o vencedor de Copeland.

Regra de Simpson: Fixe uma alternativa, digamos x. Para toda outra alternativa y, calcule o n´umero N (x, y) dos eleitores que preferem (fracamente) x a y. O score de Simpson para a alternativa x ´e o menor N (x, y) em y

min

y N (x, y)

. Repita esse procedimento para toda alternativa existente. A alternativa com o maior score de Simpson ´e o vencedor de Simpson.

Regra de Borda Modificada: Cada eleitor ordena as cinco alternativas da mais preferida à menos preferida (sem empates). A alternativa ordenada por último recebe 0 pontos, a quarta recebe 1 ponto, a terceira recebe 2 pontos, a segunda recebe 3 pontos e a primeira recebe 4 pontos. Some os pontos de todos os eleitores. A alternativa com maior pontua¸cão é o vencedor de Borda.

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Considere a seguinte ordena¸cão (estrita) de preferências, entre 9 eleitores e cinco alternativas: Número de eleitores: 1 4 1 3 a c e e b d a a c b d b d e b d e a c c

a) Identifique os vencedores de Copeland e de Simpson.

b) Calcule o vencedor de Borda para o crit´erio acima. Compare o vencedor de Borda com o vencedor de Copeland.

c) Encontre trˆes sistemas de pesos positivos (diferentes de zero) para uma regra do tipo de Borda tal que o primeiro eleja c, o segundo eleja b e o terceiro eleja d.

5. Verifique quais condi¸cões do Teorema de Arrow as regras de escolha social listadas abaixo satisfazem. Argumente de modo convincente caso a regra satisfa¸ca alguma condi¸cão e forne¸ca um contra-exemplo caso contrário.

a) Vota¸cão majoritária aos pares; b) Vota¸cão majoritária normal;

c) Regra ditadorial; d) Contagem de Borda.

6. Argumente de modo convincente que se existem apenas duas alternativas, a regra de vota¸cão majoritária satisfaz as hipóteses do Teorema de Arrow.

7. Considere uma elei¸cão com quatro candidatos, A, B, C e D e cinco eleitores, onde as pre-ferências desses eleitores são descritas na seguinte tabela, em ordem decrescente de preferência:

Eleitor 1 Eleitor 2 Eleitor 3 Eleitor 4 Eleitor 5

A A B C D

B D C B B

C C A D C

D B D A A

Assuma que a regra de escolha social ´e definida pela maioria simples, onde cada eleitor vota em apenas uma das alternativas e a alternativa mais votada ´e a escolhida.

a) Suponha que ningu´em vote estrategicamente, ou seja, cada eleitor seleciona a sua alter-nativa preferida. Qual ´e a alternativa eleita?

b) Mostre que para as preferˆencias exibidas na tabela acima, existe possibilidade de voto ´

util, ou seja, algum ou alguns eleitores selecionarem uma alternativa diferente da sua preferida.

c) Qual ou quais condi¸cões do Teorema de Arrow o sistema de vota¸cão descrito acima não satisfaz? Justifique a sua resposta.

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8. (P1-1/2019) Existem três indiv´ıduos na sociedade, {1, 2, 3}, três alternativas, {A, B, C}, e o dom´ınio das preferências é irrestrito. Suponha que a rela¸cão de preferência social, S, é dada

por vota¸cão majoritária, ou seja, cada indiv´ıduo escolhe uma das alternativas, coloca em uma urna, onde contam-se o número de votos e é escolhida a alternativa com maior número de votos (se ocorrer empate, então o indiv´ıduo 1 escolhe a alternativa preferida, em um voto de minerva), ordenando as alternativas seguintes pelo número de votos recebido. Assuma que cada indiv´ıduo conhece as preferências de todos os outros eleitores.

(a) Considere o seguinte conjunto de preferências, onde i denota a rela¸cão de preferência

estrita de i:

Indiv´ıduo 1: A 1 B 1 C

Indiv´ıduo 2: B 2 C 2 A

Indiv´ıduo 3: C 3 A 3 B

Se todos os três indiv´ıduos votarem na sua alternativa preferida, qual será escolhida? (b) Existe algum indiv´ıduo que tem incentivo para voto útil, ou seja, para votar não na

alternativa preferida, mas sim em outra?

(c) Quais das hipóteses do Teorema de Arrow são satisfeitas pela regra de vota¸cão acima? Quais não são satisfeitas? Argumente de modo claro e sucinto.

9. (JR) Suponha que existam três indiv´ıduos numa sociedade, {1, 2, 3}, três alternativas, {x, y, z}, e que a regra de escolha social f é a vota¸cão majoritária aos pares, com dom´ınio irrestrito, de modo que a qualquer indiferen¸ca obtida é resolvida votando x primeiro do que y e depois z, se a regra resultar em uma preferência social transitiva. Se a regra não resultar numa preferência social transitiva, então o ordenamento social será x S y S z.

(a) Considere o seguinte grupo de preferˆencias individuais: Indiv´ıduo 1: x 1 y 1 z

Indiv´ıduo 2: y 2 z 2 x

Indiv´ıduo 3: z 3 x 3 y

Qual ´e o ordenamento social neste caso?

(b) Qual seria a preferˆencia social se em (a) a preferˆencia de 1 fosse y 1 z 1 x? E se fosse

z 1 y 1 x?

(c) Argumente que f satisfaz o princ´ıpio fraco de Pareto. (d) Prove que f n˜ao ´e ditadorial.

(e) Conclua que f n˜ao satisfaz IAI usando o Teorema de Arrow.

(f) Mostre diretamente que f não satisfaz IAI criando dois grupos de preferências e obtendo a preferência social de cada um deles de modo que viole IAI.