MD-Aula110209

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MATEMÁTICA

DISCRETA

UPE – FACETEG Campus Garanhuns Licenciatura em Informática Haroldo Amaral 11/02/09

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TÓPICOS DA AULA



Recapitulando ...



Noções de Lógica – Parte 2

 Fórmulas, Linguagem Lógica e

Tabelas-Verdade

11/02/0 9 UPE – FACETEG – Licenciatura em Informática – Matemática Discreta

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VIMOS NA AULA PASSADA ...

 A Lógica Matemática, especialmente a Booleana, é

uma ferramenta fundamental na definição de conceitos computacionais

 A noção de preposição e que ela pode assumir somente dois valores (valores-verdade);

 V – Verdadeiro  F – Falso

 As proposições podem ser atômicas – não podem ser decompostas em proposições mais simples – e

complexas – composição de proposições, usando operadores lógicos

 Então, ao contrário do que eu afirmei na aula passada ...

 A proposição “p = Java não é portável” é complexa (composta)

 As proposições compostas, claramente, podem ser usadas para construir novas proposições

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VIMOS NA AULA PASSADA ...



Os operadores lógicos (conectivos) usados para

compor proposições são:

 e, ou, não, se-então e se-somente-se



O operação de negação é usada para negar

uma preposição

 Se p é uma proposição, então p’ = p (“não” p) denota a negação de p

 Ou seja:

 Se p é VERDADE, então p’ = p é FALSA  Se p é FALSA, então p’ = p é VERDADEIRA

 Tabela-verdade:

p p

V F

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VIMOS NA AULA PASSADA ...



A operação de conjunção entre duas

proposições p e q, r = p  q (“p e q”), reflete a

noção de (simultaneidade) que as duas

proposições devem ocorrer para que a resultante

seja verdadeira

 Se p e q são proposições, então r = p  q denota a conjunção de p e q

 Ou seja, r = p  q

 é VERDADE apenas quando p e q são simultaneamente

verdadeiras

 caso contrário, é FALSA

 Tabela-verdade:

p q p  q

V V V

V F F

F V F

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VIMOS NA AULA PASSADA ...



A operação de disjunção entre duas

proposições p e q, r = p  q (“p e q”), reflete a

noção de que pelo menos uma proposição deve

ocorrer para que a proposição resultante seja

verdadeira

 Se p e q são proposições, então r = p  q denota a disjunção de p e q

 Ou seja, r = p  q

 é VERDADE quando pelo menos uma proposição é

verdadeira

 FALSA, quando as duas proposições são falsas

 Tabela-verdade:

p q p  q

V V V

V F V

F V V

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VIMOS NA AULA PASSADA ...



A operação de condição entre duas proposições p e

q, r = p  q (“se p então q), reflete a noção de que,

partindo de uma premissa p verdadeira, deve-se

chegar a uma conclusão q verdadeira para que a

proposição resultante seja verdadeira



Porém, partindo de uma premissa p falsa não

podemos concluir coisa alguma, ou seja, a conclusão

q pode ser qualquer coisa (verdadeira ou falsa)

 Se p e q são proposições, então r = p  q denota a

condição entre p e q

 Ou seja, r = p  q

 é FALSA quando p é verdadeira e q é falsa  é VERDADE, caso contrário

 Tabela-verdade:

p q p  q V V V V F F F V V F F V

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VIMOS NA AULA PASSADA ...



A operação de bi-condição entre duas proposições

p e q, r = p  q (“p se e somente se q), reflete a

noção de condição nos dois sentidos

 Sentido de ida: p é premissa e q é conclusão  Sentido de volta: q é premissa e p é conclusão



Portanto, considerando a noção de condição e que

ela é nos dois sentidos ...

 Se p e q são proposições, então r = p  q denota a

bi-condição entre p e q

 Ou seja, r = p  q

 é VERDADEIRA quando p e q são

ambas verdadeiras ou falsas

 é FALSA quando as duas proposições

possuem valores-verdade distintos  Tabela-verdade:

p q p  q V V V V F F F V F F F V

(9)

FÓRMULAS LÓGICAS



Uma fórmula (lógica) é uma sentença lógica

corretamente construída sobre um alfabeto,

cujos símbolos são:

 Conectivos  Parênteses

 Identificadores (p, q, r, ...)  Variáveis



Se uma fórmula contém variáveis, não podemos

necessariamente associar um valor-verdade

 Seu valor lógico irá depender do valor-verdade das sentenças que substituem as variáveis na fórmula

(10)

FÓRMULAS LÓGICAS



Exemplos:

 Supondo que p, q e r são sentenças variáveis, então, são fórmulas:

 As constantes que denotam os valores-verdade V e F  Qualquer proposição  p, q e r  p, p  q, p  q, p  q, p  q  p  (q)  (p  q)  F  (p  q)  (p  q)  p  (q  r)  (p  q)  (p  r) 11/02/09 10 UPE – FACETEG – Licenciatura em Informática – Matemática Discreta

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FÓRMULAS LÓGICAS

 Ordem de precedência entre os conectivos para redução do

número de parênteses (melhor visualização das fórmulas):

1. Conectivos entre parênteses, dos mais internos para os mais

externos 2. Negação 3. Conjunção e disjunção 4. Condição 5. Bi-condição  Exemplos:  p  (q)  p  q  (p  q)  F  p  q  F  (p  q)  (p  q)  (p  q)  p  q  p  (q  r)  (p  q)  (p  r)  p  (q  r)  (p  q)  (p  r) 11/02/09 11 UPE – FACETEG – Licenciatura em Informática – Matemática Discreta

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FÓRMULAS LÓGICAS

TABELAS-VERDADE

 Como construir uma tabela-verdade para uma fórmula?  A tabela-verdade deve explicitar todas as combinações

possíveis dos valores lógicos das fórmulas atômicas componentes

 _{Observações:}

 Cada fórmula atômica não-constante pode assumir dois valores

lógicos: V e F

 Uma fórmula atômica possui um valor-verdade fixo: V ou F

 Para a tabela-verdade da negação, por exemplo, duas linhas são

suficientes para expressar os valores lógicos possíveis

 Para as tabelas com duas fórmulas atômicas (não-constantes), como

as da conjunção, disjunção, condição e bi-condição são necessárias quatro linhas

 22 possíveis combinações dos valores lógicos

 Quantas linhas na tabela-verdade são necessárias para expressar

todas as combinações possíveis de valores lógicos de n fórmulas atômicas (não-constantes)?

 2n linhas na tabela-verdade

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FÓRMULAS LÓGICAS

TABELAS-VERDADE – EXEMPLOS:



p  q

 A tabela-verdade deve possui 4 = 22 linhas pois se trata de duas fórmulas atômicas (p e q)

 As duas primeiras colunas devem expressar as combinações possíveis de p e q

 Uma terceira coluna deve ser introduzida para expressar a negação de q, ou seja, a fórmula q

 Uma quarta coluna deve ser introduzida para indicar a disjunção de p com q, ou seja, a fórmula p  q que contém o resultado desejado

p q V V V F F V F F p q q V V F V F V F V F F F V p q q p  q V V F V V F V V F V F F F F V V

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FÓRMULAS LÓGICAS

TABELAS-VERDADE – EXEMPLOS:



p  q  F

 A fórmula possui três proposições atômicas; porém, como a fórmula atômica F é constante, ela não deve ser considerada no cálculo do número de linhas

 Então, a tabela-verdade deve possui 4 = 22 linhas pois se trata de duas fórmulas atômicas (p e q)

p q q p  q p  q  F V V F F V V F V V F F V F F V F F V F V

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FÓRMULAS LÓGICAS

TABELAS-VERDADE – EXEMPLOS:



p  (q  r)  (p  q)  (p  r)

 A tabela-verdade deve possui 8 = 23 linhas pois se trata de três fórmulas atômicas (p, q e r)

 A construção da tabela deve respeitar a ordem de precedência dos operadores

p q r q  r p  (q  r) p  q p  r (p  q)  (p  q) (p  q)  (p  p  (q  r)  r) V V V V V V V V V V V F F V V V V V V F V V V V V V V V F F F V V V V V F V V V V V V V V F V F F F V F F V F F V V F F V F V F F F F F F F F V