Funções e os Números Grandes

Universidade Federal do Rio Grande do Norte

Especialização em Ensino de Matemática para o Ensino Médio

Fabiano Pereira Mariz

Funções e os Números Grandes

Orientador: Prof. Mestre Daniel Ecco

Caicó – RN

2016

Universidade Federal do Rio Grande do Norte

Especialização em Ensino de Matemática para o Ensino Médio

Fabiano Pereira Mariz

Funções e os Números Grandes

Monografia apresentada ao Programa

de Pós-graduação do Departamento

de Matemática da UFRN/SEDIS,

como parte dos requisitos para a

obtenção do título de Especialista em

Ensino de Matemática para o Ensino

Médio.

Caicó – RN

2016

Catalogação da Publicação na Fonte. UFRN / SISBI / Biblioteca Setorial Centro de Ciências Exatas e da Terra – CCET.

Mariz, Fabiano Pereira.

Funções e os números grandes / Fabiano Pereira Mariz. - Caicó, RN, 2016. 27 f. : il.

Orientador: Prof. Me. Daniel Ecco.

Monografia (Especialização) – Universidade Federal do Rio Grande do Norte. Secretaria de Educação à Distância. Coordenação do Curso de Especialização em Ensino de Matemática para o Ensino Médio.

1. Funções - Monografia. 2. Números - Monografia. 3. Grandes - Monografia. I. Ecco, Daniel. II. Título.

Fabiano Pereira Mariz

Funções e os Números Grandes

Experimentação em sala de aula

Universidade Federal do Rio Grande do Norte

Especialização em Ensino de Matemática para o Ensino Médio

Monografia

apresentada

ao

Programa de Pós-graduação do

Departamento de Matemática da

UFRN/SEDIS, como parte dos

requisitos para a obtenção do título

de Especialista em Ensino de

Matemática para o Ensino Médio.

Aprovado em: ______de___________________2016.

___________________________________________ Prof. Mestre Benedito Tadeu Vasconcelos Freire

Professor – UFRN

____________________________________________ Prof. Mestre Daniel Ecco

Orientador – UFRN

____________________________________________ Prof. Mestre Odilon Júlio dos Santos

Dedicatória

Dedico este trabalho aos meus pais, Edmundo Pereira Mariz e Joana dos Santos

Mariz, agricultores aposentados, que mesmo com pouca instrução sempre incentivaram

seus filhos para o conhecimento mostrando que nele encontramos a verdadeira liberdade.

A minha esposa Ivone de Faria, companheira nos momentos de desânimos, nela encontrei uma palavra de estímulo para realizar a tarefa de concluir o presente documento.

Aos meus filhos Felipe Medeiros Mariz e Íris de Faria Mariz, que sempre quero tê-los para desfrutarmos da felicidade de viver em família.

―Que nenhuma família comece em qualquer de repente Que nenhuma família termine por falta de amor

Que o casal seja um para o outro de corpo e de mente E que nada no mundo separe um casal sonhador! Que nenhuma família se abrigue debaixo da ponte Que ninguém interfira no lar e na vida dos dois

Que ninguém os obrigue a viver sem nenhum horizonte Que eles vivam do ontem, do hoje em função de um depois Que a família comece e termine sabendo onde vai

E que o homem carregue nos ombros a graça de um pai Que a mulher seja um céu de ternura, aconchego e calor E que os filhos conheçam a força que brota do amor! Abençoa, Senhor, as famílias! Amém!

Abençoa, Senhor, a minha também Abençoa, Senhor, as famílias! Amém! Abençoa, Senhor, a minha também

Que marido e mulher tenham força de amar sem medida Que ninguém vá dormir sem pedir ou sem dar seu perdão Que as crianças aprendam no colo, o sentido da vida Que a família celebre a partilha do abraço e do pão!

Que marido e mulher não se traiam, nem traiam seus filhos Que o ciúme não mate a certeza do amor entre os dois Que no seu firmamento a estrela que tem maior brilho Seja a firme esperança de um céu aqui mesmo e depois Que a família comece e termine sabendo onde vai E que o homem carregue nos ombros a graça de um pai Que a mulher seja um céu de ternura, aconchego e calor E que os filhos conheçam a força que brota do amor! Abençoa, Senhor, as famílias! Amém!

Abençoa, Senhor, a minha também Abençoa, Senhor, as famílias! Amém! Abençoa, Senhor, a minha também‖

Agradecimentos

Agradeço em primeiro lugar a Deus que com sua misericórdia possibilitou este momento, sem ele não estaríamos aqui! Agradeço também a todos que colaboraram de maneira direta ou indireta: principalmente o Professor Mestre Daniel Ecco, que com sua sabedoria e inteligência orientou a presente Monografia, superando todas as expectativas; aos demais integrantes da banca examinadora; os que fazem a Escola Estadual Professor Leomar Batista de Araújo, em especial a Professora Vera Núbia Costa Ferreira que cedeu espaço em suas aulas possibilitando a realização do nosso trabalho; alunos da turma, que participaram com atenção e empenho em sala de aula; e os colegas e amigos no curso que ajudaram com suas sugestões.

Resumo

O presente trabalho aborda informações sobre números grandes fazendo uma relação de sua interpretação com conceitos de funções matemáticas, em particular as funções quadráticas e exponenciais. Inicialmente é apresentado um panorama histórico sobre as técnicas de contagem: abordando sistemas de numeração que facilitaram a escrita dos números e a invenção do zero, até os dias atuais, com o moderno sistema de numeração decimal. Este sistema por ser posicional facilitou muito a vida em sociedade, facilitando a escrita dos números e de cálculos impossíveis em sistemas anteriores. Isso impulsionou a evolução das sociedades e o avanço da própria matemática. Números grandes e funções são abordados juntos através de suas conexões garantindo um melhor entendimento dos mesmos. Neste trabalho executamos aulas práticas a uma turma de alunos do Ensino Médio, usando o tema na quantidade da população mundial ou à distância Terra-Sol, para que eles possam escrevê-los de maneira mais simples, e através de funções, analisar seus valores com interpretações algébricas e gráficas. Todo este trabalho irá gerar uma aula que deverá ser publicado em um local apropriado na internet, como o Portal do Professor do MEC.

Abstract

This study covers information on large numbers making a list of interpretation with concepts of mathematical functions, particularly the quadratic and exponential functions. Initially a historical overview of the counting techniques is presented: addressing numbering systems that facilitated the writing of numbers and the invention of zero, to the present day, with the modern decimal. This system positional be much easier life in society, facilitating the writing of numbers and calculations impossible on previous systems. This spurred the evolution of societies and the advancement of mathematics itself. large numbers and functions are addressed together through their connections ensuring a better understanding of them. In this work we perform practical classes at a high school students in class, using the theme in the amount of the population or the Earth-Sun distance, so they can write them in a simpler way, and through functions, analyze your values algebraic and graphical interpretations. All this work will generate a class to be published in an appropriate location on the Internet, such as the Ministry of Education Teacher Portal.

Sumário 1. Introdução --- 9 2. Desenvolvimento --- 12 2.1. Local de trabalho --- 12 2.2. Números grandes --- 12 2.3. Funções --- 14 2.4. Notação científica --- 16 2.5. Escalas --- 19

2.6. Aula por aula --- 22

3. Conclusões --- 25

9

1. Introdução

O homem surgiu na Terra há aproximadamente cem mil anos [2]. Deste surgimento até hoje ele se desenvolveu, ou melhor, se modificou. Mudou seus hábitos, mudou sua forma de ver o mundo, mudou seu modo de se relacionar, mudaram suas habilidades, e nessa evolução surgiu à necessidade de contar.

Há muito tempo que os números fascinam os homens, e com a necessidade de contar objetos e coisas e de representar quantidades surgiram às técnicas para contar. Nos primórdios, a contagem era realizada através de marcas em ossos ou pedaços de madeira e de pedras ou utilizando-se dos dedos das mãos e dos pés. Foi contando objetos com outros objetos que a humanidade começou a construir o conceito de número.

No momento em que o homem começou a se organizar socialmente e começaram a surgir às primeiras cidades, era necessário, além de registrar quantidades, resolver problemas do dia a dia e efetuar cálculos, a partir do desenvolvimento das relações comerciais, de forma rápida e precisa. Surgiram, então, os símbolos – desenhos que representam quantidades de objetos – e que atendiam a estas necessidades daqueles primeiros povoados. Dados históricos revelam que há 5.000 anos antes da era cristã, quando começaram a ocorrer à apropriação de sinais para a escrita, já existiam modelos de registros nas comunidades locais que esboçavam a escrita dos numerais – símbolos que representam números. Os primeiros povos de que se tem notícia, que foram os egípcios e sumérios, já faziam seus registros em pedras, blocos de argila, madeira, papel. Com o desenvolvimento da capacidade de se estabelecer relações comerciais entre si e entre outros povos, de estudar os fenômenos naturais, de observar movimentos dos planetas e estrelas, de plantar e armazenar alimentos pela agricultura, de construir monumentos como as pirâmides egípcias, eram notórias a sistematização destes registros e a criação de símbolos que pudessem facilitar a comunicação dos dados numéricos.

Com o surgimento dos sistemas de numeração a humanidade avançou muito, pois estas invenções facilitavam muito o comércio e a vida em sociedade. Os sistemas evoluíram muito até chegar ao que temos hoje, citamos como exemplo o sistema de numeração egípcio (cerca de 3500 a.C.) que usavam símbolos daquele lugar como a flor

10

de lótus e o peixe para representar quantidades; podemos citar também o sistema de numeração romano (100 d.C.) que usavam letras para representar as quantidades. Nenhum destes sistemas tinha um símbolo para o zero, e não era posicional o que dificultava muito na escrita de números grandes e para as operações.

Por volta do século V d.C., surge, na Índia, um sistema de numeração posicional de base 10, que usamos atualmente, este sistema foi divulgado na Europa em torno de 825 d.C. pelo matemático árabe Mohamed Ben Mussa Al Khawarismi [2], por isso que o sistema ficou conhecido como sistema indo-arábico, pois surgiu na Índia. Na obra de Aryabhata, intitulada Aryabhatiya (de 449 d.C.), aparece a frase "de lugar para lugar, cada um vale dez vezes o precedente". Isso significa o seguinte: por exemplo, tomemos o número 3333. Segundo Aryabhata [2], cada número vale dez vezes o precedente. Sendo o primeiro número o da direita, o segundo aquele que está à esquerda do primeiro, o terceiro à esquerda do segundo e assim por diante, o quarto número 3 vale dez vezes o terceiro, que vale dez vezes o segundo, e que vale dez vezes o primeiro. Portanto, se o primeiro vale três, uma vez que não há outro número que o antecede, o segundo vale trinta, o terceiro vale trezentos e o quarto vale três mil. Temos, portanto: 3333 = 3+30+300+3000. Acompanhe na tabela abaixo a evolução dos símbolos deste sistema [3]:

Figura 1: Sistema de Numeração Indo-Arábico Disponível em

11

Observe que, inicialmente, os hindus não utilizavam o zero. A criação de um símbolo para o nada, ou seja, o zero foi uma das grandes invenções daquele povo. Atualmente este sistema é conhecido como sistema de numeração decimal que resolveu todas as situações desfavoráveis dos sistemas anteriores, inclusive resolveu o problema de representar e operar com números grandes.

No Brasil [4], nos últimos 20 anos, houve uma ampliação do acesso dos adolescentes e jovens ao Ensino Médio, a qual trouxe para as escolas públicas um novo contingente de estudantes, de modo geral jovens filhos das classes trabalhadoras. Os sistemas de ensino passam a atender novos jovens com características diferenciadas da escola tradicionalmente organizada. Situação semelhante acontece com o aumento da demanda do Ensino Médio no campo, cujo atendimento induz a novos procedimentos no sentido de promover a permanência dos mesmos na escola, evitando a evasão e diminuindo as taxas de reprovação.

Nesse contexto, o ensino médio tem de assumir a tarefa de preparar cidadãos para uma sociedade, cada vez mais, permeada por novas tecnologias, e de possibilitar o ingresso de parcelas significativas de seus cidadãos a patamares mais elaborados do saber.

Contudo iremos desenvolver um trabalho que alie os estudos de funções e a representação de números grandes, com alunos do Ensino Médio. Trataremos da escrita desses tipos de números, realizando comparações usando as funções matemáticas estudadas naquela modalidade de ensino.

12

2. Desenvolvimento

Compomos o desenvolvimento do presente trabalho em quatro partes, onde iremos descrevê-las, conforme roteiro abaixo:

2.1. Local de trabalho

O local onde iremos desenvolver nosso trabalho é a Escola Estadual Professor Leomar Batista de Araújo, na cidade de Serra Negra do Norte – RN, a referida escola oferece a modalidade de Ensino Médio nos turnos matutino, vespertino e noturno, conforme descrito no quadro abaixo:

Tabela 1: Quadro informativo de turmas por turno da Escola Estadual Professor Leomar Batista de Araújo

Turnos Turmas

Matutino EMM1A1 EMM2A EMM2B EMM3A Vespertino EMV1A EMV2A EMV3A -

Noturno2 EMNDN1A3 EMNDN2A EMNDN3A -

Fonte: secretaria da escola.

Iremos trabalhar com a turma EMV2A, lembro que leciono nestas turmas a disciplina de Química, porém irei trabalhar nas aulas de Matemática da professora Vera Núbia Costa Ferreira, que gentilmente nos cedeu tais aulas. Esta escolha se justifica pelo fato da turma ser heterogênea, pois dos dezoito alunos, treze são novatos com passagem na primeira série no ano anterior, que também teve a mesma professora de agora, onde estudaram os conteúdos que iremos abordar; e os demais alunos com idade um pouco mais avançada para aquela etapa de ensino, mas também com experiência nos assuntos que serão abordados.

2.2. Números grandes

O artigo do professor Geraldo Ávila intitulado ―Números Muito Grandes‖ [5], na Revista do Professor de Matemática (RPM) de nº 25 que inspirou nosso trabalho,

1

Na sigla EMM1A, EM significa Ensino Médio, M refere-se ao turno matutino e 1A a turma da primeira série.

2

Neste turno é oferecida também a modalidade de Educação de Jovens e Adultos para alunos do Ensino Fundamental II.

3

Na sigla EMNDN1A, EM significa Ensino Médio, ND nível diferenciado, N diz respeito ao turno noturno e 1A a turma da primeira série.

13

inicia sua narrativa citando a ―Lenda do jogo de Xadrez‖, um conto passado na Índia antiga que vem comprovar o fascínio da humanidade por números ao longo dos tempos:

Segundo uma lenda antiga, o jogo de xadrez foi inventado na índia, para agradar a um soberano, como passatempo que o ajudasse a esquecer os aborrecimentos que tivera com uma desastrada batalha. Encantado com o invento, o soberano, rei Shirham, quis recompensar seu súdito Sissa Ben Dahir, o inventor do xadrez. Shirham disse a Sissa que lhe fizesse um pedido, que ele, rei Shirham, o atenderia prontamente. Sissa disse, simplesmente:

— Bondoso rei, dê-me então um grão de trigo pela primeira casa do tabuleiro, dois pela segunda casa, quatro (= 22) pela terceira, oito (= 23) pela quarta, e assim por diante, até 263 grãos de trigo pela última casa do tabuleiro, isto é, a 64.ª casa.

O rei achou esse pedido demasiado modesto e, sem dissimular seu desgosto, disse a Sissa:

— Meu amigo, tu me pedes tão pouco, apenas um punhado de grãos de trigo. Eu desejava cumular-te de muitas riquezas - palácios, servos e tesouros de ouro e prata.

Como Sissa insistisse em seu pedido original, o rei ordenou a seus auxiliares e criados que tratassem de satisfazê-lo. O administrador do palácio real mandou que um dos servos buscasse um balde de trigo e fizesse logo a contagem.

Para um leitor mais distraído ou que não conhece de matemática imaginará, assim como o rei, que se trata de um pedido modesto, no entanto fazendo-se os cálculos chegaremos à conclusão que o súdito fez um pedido impossível de ser atendido para época.

Com os dados de que hoje dispomos, podemos fazer uns cálculos simples e interessantes. Sabemos que a produção brasileira de trigo em 1992 foi de 2,839 milhões de toneladas, um total de 65 297 000 000 000 grãos, quando o número de grãos pedido por Sissa era exatamente

1 + 2 + 22 + 23 + ... + 263 = 264 l = 18 446 744 073 709 551 615.

Ora, este número dividido pelo número de grãos de trigo que o Brasil produziu em 1992 é certamente maior do que

18 x 1018 72 x 1012 = 250 000.

Isso significa que seriam necessários mais do que 250 000 anos de produção brasileira de trigo, no nível da safra de 1992, para atender ao pedido de Sissa. (A divisão, sem aproximação dos números, dá 282 505 anos).

Com o advento do nosso sistema de numeração decimal e a representação de números com o uso de potências, ficou fácil chegar ao resultado, porém vale lembrar

14

que na época do problema não tinha esta técnica para realizar os cálculos, o que deve ter dado muito trabalho para o pobre rei chegar a nossa conclusão.

O fato da lenda do xadrez nos ajudou a entender como pode se tornar simples a representação e a interpetação de números grandes quando usamos ferramentas modernas da matemática. Hoje podemos citar a notação científica aliada às regras de arredondamento que usamos no cálculo.

Para nosso trabalho iremos interpretar os seguintes números:





[5] – 1,5 ∙ 108 km;  Volume de água no planeta7

[7] – 1,4 ∙ 109 km3;  Açude Castanhão volume8

[8] – 6,7 ∙ 109 m3;  Contagem atual das casas decimais do número π9

[9] – 5 ∙ 1012 casas. 2.3. Funções

O estudo de função inicia ainda no Ensino Fundamental II, momento onde é visto as principais ideias de representações da lei e gráfica para uma dada relação. Naquela etapa de ensino são abordadas as funções polinomiais do 1o e 2o graus, tema retomado na 1a série do Ensino Médio, porém de forma mais aprofundada.

No Ensino Médio também é visto outras funções como a logaritma, exponencial e as funções periódicas como o seno, cosseno e tangente. É neste leque que faremos a escolha da função mais adequada para interpretar nossos números.

Através de comparações iremos descobrir qual função será a mais adequada para nosso trabalho, veja a situação proposta pelo professor Geraldo Ávila [5] em seu artigo ―Números Muito Grandes‖:

4

Química / Martha Reis Marques da Fonseca. 1. Ed. – São Paulo: Ática, 2013 vol. 1 – página 129. Encontramos o valor 6,02214 ∙ 1023 que pode ser arredondado para 6 ∙ 1023.

5

Artigo ―Números Muito grandes‖ do professor Geraldo Ávila na revista do professor de matemática (RPM) número 25. Este valor refere-se aos dados da época, hoje temos um número maior para a citada população.

6

Artigo ―Números Muito grandes‖ do professor Geraldo Ávila na revista do professor de matemática (RPM) número 25.

7

Química / Martha Reis Marques da Fonseca. 1. Ed. – São Paulo: Ática, 2013 vol. 1 – página 36.

8

http://www.dnocs.gov.br/barragens/castanhao/castanhao.html, acesso em 16 de março de 2016.

9_{http://obaricentrodamente.blogspot.com.br/2010/12/5-trilhoes-de-digitos-de-pi-novo.html, acesso em 27}

15

Suponhamos que você, professor, estivesse ensinando essas funções a seus alunos. Pois bem, faça os gráficos delas na lousa, mas proponha a sua classe a seguinte "brincadeira" (que, por sinal, vai animar muito a turma):

- Pessoal, agora vocês vão fazer o gráfico da função exponencial vocês mesmos, aí no caderno. Você, Marcelo, venha à lousa me ajudar; eu vou dando os números (se você tiver uma calculadora de bolso, use-a para fazer os cálculos na hora, fica mais interessante) e você vai escrevendo. Vamos começar fazendo uma tabela (mostrada logo adiante), pondo numa primeira coluna alguns valores de x, numa segunda coluna vamos pôr os valores correspondentes da função y = x2, só para efeito de

comparação; e, finalmente, numa terceira e última coluna listamos os valores correspondentes de y = ex . Vamos usar a mesma unidade de

comprimento nos dois eixos, digamos, o centímetro. Vamos lá pessoal. Veja a tabela que Marcelo escreveu na lousa, com valores arredondados:

Tabela 2 x y = x2 y = ex 0 0 cm 1 cm 3 9 cm ≈ 20,085 cm 5 25 cm ≈ 148,413 cm 10 100 cm ≈ 22 km 15 225 cm ≈ 32,690 km 20 400 cm ≈ 4 851,652 km

30,3357 ≈ 920, 255 cm ≈ Distância Terra ao Sol 41,39 ≈ 1 713, 132 cm ≈ 1 ano-luz

42,85 ≈ 1 836, 122 cm ≈ 4,3 anos-luz

Distância da Terra ao Sol = 149 500 000 km 1 ano-luz = 946 728 . 107 4,3 anos luz = 407 093 . 108 km = dist. da estrela mais próxima do Sol

Agora veja até onde você, professor, e sua turma conseguem ir na construção do gráfico. Quando x = 5 cm, Marcelo terá de marcar 25 cm na vertical para a função y = x2 e 148 (quase um metro e meio) para a

função exponencial; quando x = 10 cm, Marcelo terá de marcar, na vertical, x2 = 100 cm = 1 metro e ex = 220 metros, a altura de um

prédio de mais de 70 andares! Quando xpassa por volta do valor 30 cm e x2 por volta de 9 metros, ex já está assumindo a distância da Terra ao Sol! E quando x estiver por volta de 40 cm e x2 por volta de 1700

metros, ex estará assumindo o valor de um ano-luz; e 4,3 anos-luz, ou seja, a distância da estrela (Alfa do Centauro) mais próxima de nós, quando x for pouco mais de 42 cm!

Estes poucos cálculos mostram claramente o quão rapidamente cresce a função exponencial com o crescer de seu argumento.

16

2.4. Notação científica

Para registrar ou fazer cálculos com números muito pequenos ou números muito grandes, usa-se uma representação científica [10]:

Dado um número n, a notação científica para n é o produto a • 10k tal que:

 a é um número escrito na forma decimal cuja parte inteira tem um único algarismo diferente de zero.

 k é um número inteiro não nulo. Exemplos:

 A massa do planeta Plutão10 é aproximadamente 12 000 000 000 000 000 000 000 kg = 1,2 • 1022

kg.

 A massa de um próton é aproximadamente 0,00000000000000000000000000167 kg = 1,67 • 10-27

kg.

A primeira tentativa conhecida de representar números demasiadamente extensos foi empreendida pelo matemático e filosofo grego Arquimedes, e descrita em sua obra O Contador de Areia11, no século III a.C. Ele desenvolveu um método de representação numérica para estimar quantos grãos de areia existiam no universo. O número estimado por ele foi de 1 × 1063 grãos.

Apesar de ser um conhecimento abordado no último ano do Ensino Fundamental, traremos aqui algumas situações problemas envolvendo notação científica, por entender que esse conhecimento é importante na compreensão e representação de números grandes.

No Ensino Médio o estudo de notação científica é feito na área de matemática, e também utilizado na área de ciências da natureza, principalmente em física e química. Abaixo citaremos algumas questões que são resolvidas com este conhecimento:

(ENEM – 2015) As exportações de soja no Brasil totalizaram 4,129 milhões de toneladas no mês de julho de 2012, e registraram um aumento em relação ao mês de julho de 2011, embora tenha havido uma baixa em relação ao mês de maio de 2012.

Disponível em: www.noticiasagricolas.com.br. Acesso em: 2 ago. 2012.

10 _{Nessa época Plutão ainda ostentava a classificação de planeta.} 11

http://eugeniogenio.blogspot.com.br/2010/05/notacao-cientifica-uma-historia.html, acesso em 07 de maio de 2016.

17

A quantidade, em quilogramas, de soja exportada pelo Brasil no mês de julho de 2012 foi de a) 4,129 •103 b) 4,129 •106 c) 4,129 •109 d) 4,129 •1012 e) 4,129 •1015 Resolução:

Como uma tonelada tem 1000 kg, temos que a exportação de soja no Brasil naquele mês foi de 4 129 000 • 1000 = 4 129 000 000 = 4,129 •109 kg. Letra c.

(ENEM – 2015) Uma análise criteriosa do desempenho de Usain Bolt na quebra do recorde mundial dos 100 metros rasos mostrou que, apesar de ser o último dos corredores a reagir ao tiro e iniciar a corrida, seus primeiros 30 metros foram os mais velozes já feitos em um recorde mundial, cruzando essa marca em 3,78 segundos. Até se colocar com o corpo reto, foram 13 passadas, mostrando sua potência durante a aceleração, o momento mais importante da corrida. Ao final desse percurso, Bolt havia atingido a velocidade máxima de 12 m/s.

Disponível em: http://esporte.uol.com.br. Acesso em: 5 ago. 2012 (adaptado).

Supondo que a massa desse corredor seja igual a 90 kg, o trabalho total realizado nas 13 primeiras passadas é mais próximo de:

a) 5,4×102J. b) 6,5×103J. c) 8,6×103J. d) 1,3×104J. e) 3,2×104J. Resolução:

O trabalho (τ) total realizado pelo corredor corresponde à variação da energia cinética Ec, logo:

18 τ = Δ•Ec, como Ec = , temos: τ = , como m = 90 kg, Vi = 0 m/s e Vf = 12 m/s teremos: τ = = 45•144 = 6480 j 6,5•103 j. Letra b.

(ENEM – 2012) Aspartame é um edulcorante artificial (adoçante dietético) que apresenta potencial adoçante 200 vezes maior que o açúcar comum, permitindo seu uso em pequenas quantidades. Muito usado pela indústria alimentícia, principalmente nos refrigerantes diet, tem valor energético que corresponde a 4 calorias/grama. É contraindicado a portadores de fenilcetonúria, uma doença genética rara que provoca o acúmulo da fenilalanina no organismo, causando retardo mental. O IDA (índice diário aceitável) desse adoçante é 40 mg/kg de massa corpórea.

Disponível em: http://boaspraticasfarmaceuticas.blogspot.com. Acesso em: 27 fev. 2012.

Com base nas informações do texto, a quantidade máxima recomendada de aspartame, em mol, que uma pessoa de 70 kg de massa corporal pode ingerir por dia é mais próxima de

Dado: massa molar do aspartame = 294 g/mol a) 1,3 •10-4. b) 9,5 •10-3. c) 4 •10-2. d) 2,6. e) 823. Resolução:

Pela situação da questão uma pessoa de70 kg terá uma tolerância ao adoçante da ordem de 70 • 40 = 2800 mg ou 2,8 g. Como um mol de aspartame equivale a 294, então esta quantidade em mol será de 2,8 ÷ 294 mol ou 9,5 •10-3

mol. Letra b. As questões anteriores exemplificam a necessidade dos estudantes brasileiros em aprender o uso da notação científica, haja vista, que estas foram retiradas do principal

19

exame do nosso país – o ENEM – aparecendo nas disciplinas de matemática, física e química, respectivamente.

2.5. Escalas

A escala é a razão entre as medidas do desenho e as medidas reais [11]. Em geografia, principalmente no estudo de mapas esta ferramenta pode aparecer de duas maneiras diferentes:

1. Escala numérica, que indica a relação entre os comprimentos de uma linha na carta e o correspondente comprimento no terreno, em forma de fração com a unidade para numerador12. Os valores para escala numérica são sempre em centímetro.

Exemplos: 1: 4 000 000 1/4 000 000

2. Escala gráfica, é a representação gráfica de várias distâncias do terreno sobre uma linha reta graduada13. Os valores da escala gráfica aparecem quase sempre em metro ou quilômetro. Exemplos: 0 40 80 km 0 30 60 m 0 50 100 km 12_{http://www.ibge.gov.br/home/geociencias/cartografia/manual_nocoes/representacao.html, acesso em 10} de maio 2016. 13_{http://www.ibge.gov.br/home/geociencias/cartografia/manual_nocoes/representacao.html, acesso em 10} de maio 2016.

20

Este conteúdo é estudado no Ensino Fundamental, porém ele oferece suporte para interpretar dados cartográficos e realizar trabalhos de construções em áreas como a engenharia, ao longo da vida dos nossos estudantes. Aqui ele oferece oportunidade de colocar medidas grandes dentro de um mapa o que deixa nosso trabalho ainda mais interdisciplinar.

Abaixo encontramos uma abordagem deste conhecimento, no Exame Nacional do Ensino Médio – ENEM veja:

(ENEM – 2015) Na imagem, a personagem Mafalda mede a circunferência do globo que representa o planeta Terra.

Em uma aula de matemática, o professor considera que a medida encontrada por Mafalda, referente à maior circunferência do globo, foi de 80 cm. Além disso, informa que a medida real da maior circunferência da Terra, a linha do Equador, é de aproximadamente 40 000 km.

QUINO. Toda Mafalda. São Paulo: Martins Fontes, 2008 (adaptado).

A circunferência da linha do Equador é quantas vezes maior do que a medida encontrada por Mafalda?

a) 500 b) 5 000 c) 500 000

21

d) 5 000 0000 e) 50 000 000

Resolução:

Trazendo os dados para uma escala numérica, onde devemos ter o numerado um, e os valores em centímetro, fazemos:

Ou seja, a circunferência da linha do Equador é 50 000 000 vezes maior do que a medida de Mafalda. Letra e.

A questão citada envolve conhecimentos da matemática e geografia, marca registrada do exame, que em sua maioria exibe questões com conhecimentos diversos.

Uma utilização moderna de escalas aparece na computação, pois toda sua estrutura de unidades, baseada no bit, consegue guarda num espaço reduzido uma enorme quantidade de informações. Um byte [12], frequentemente confundido com bit, é um dos tipos de dados integrais em computação. É usado com frequência para especificar o tamanho ou quantidade da memória ou da capacidade de armazenamento de um computador, independentemente do tipo de dados armazenados. A codificação padronizada de byte foi definida como sendo de 8 bits. O byte de 8 bits é, por vezes, também chamado de octeto, nomeadamente no contexto de redes de computadores e telecomunicações.

Segundo norma da IEC [12], lançada em 2000, foi definida uma nova nomenclatura para dados de base dois em substituição a nomenclatura usada erroneamente de base dez separando a confusão causada entre proporção 1:1 000 ou 1:1 024, da relação um byte vale 8 bits, criou-se os múltiplos dessa unidade padrão para melhor representar valores maiores. Na tabela que segue temos as principais

22

relações existentes entre essas unidades, tanto no sistema binário14, quanto no sistema decimal:

Múltiplos do byte

Prefixo binário (IEC) Prefixo do SI

Nome Símbolo Múltiplo Nome Símbolo Múltiplo

byte B 20 byte B 100

kibibyte(quilobyte) KiB 210 quilobyte KB 103 mebibyte(megabyte) MiB 220 megabyte MB 106 gibibyte(gigabyte) GiB 230 gigabyte GB 109 tebibyte(terabyte) TiB 240 terabyte TB 1012 pebibyte(petabyte) PiB 250 petabyte PB 1015 exbibyte(exabyte) EiB 260 exabyte EB 1018 zebibyte(zettabyte) ZiB 270 zettabyte ZB 1021 yobibyte(yottabyte) YiB 280 yottabyte YB 1024

Tabela 3: Disponível em http://www.adassoft.com/unidade-de-medida-em-informatica-byte-quilobyte-megabyte-gigabyte/, acesso 14 de maio 2016.

Temos então uma oportunidade de relacionar um conteúdo estudado com uma área tão conhecida do cotidiano dos educandos, que é a informática.

2.6. Aula por aula

A abordagem de conteúdos deve priorizar articulações apropriadas. Neste contexto iremos desenvolver nossas aulas, onde teremos os números grandes para serem

14_{O sistema binário ou de base 2 é um sistema de numeraçãoposicional em que todas as quantidades se}

representam com base em doisnúmeros, ou seja, zero e um (0 e 1). Disponível em

https://pt.wikipedia.org/wiki/Sistema_de_numera%C3%A7%C3%A3o_bin%C3%A1rio, acesso 14 de maio 2016.

23

interpretados usando funções adequadas. Iremos precisar de três aulas para realização do nosso trabalho, conforme descrição:

Aula 1: nesse momento iremos apresentar o presente documento para a turma

escolhida, com o objetivo de tornar pública nossas intenções. Em seguida dividiremos a turma em seis grupos, onde cada grupo irá pesquisar informações dos números grandes citados na seção 2.2.; os grupos irão buscar informações do tipo: o que representa este número? Esse número é grande? Como posso saber? História da sua determinação ou descoberta.

Aula 2: propor desafio da seção 2.3. onde a turma irá descobrir que uma função

que chega mais rápido em resultados grandes é a exponencial. Em seguida discutiremos os resultados da pesquisa dos grupos, respondendo a cada pergunta do parágrafo anterior. Por fim será proposto um desafio: encontrar um valor para x, cujas funções dadas cheguem a seu número grande, ver tabela:

Tabela 4

Grupo Número grande Funções

Constante de Avogadro [6] 6 ∙ 1023 mol-1 y = 100x2 e y = 6 ∙ 10x População mundial [5] 5 ∙ 109 habitantes y = 100x2 e y = 5 ∙ 10x Distância da Terra ao Sol [5] 1,5 ∙ 108 km y = 100x2 e y = 1,5 ∙ 10x Volume de água no planeta [7] 1,4 ∙ 109 km3 y = 100x2 e y = 1,4 ∙ 10x Volume de água Açude Castanhão [8] 6,7 ∙ 109 m3 y = 100x2 e y = 6,7 ∙ 10x Casas decimais para o número π [9] 5 ∙ 1012

casas y = 100x2 e y = 5 ∙ 10x

A busca pelo número grande deve ser feita também graficamente, portanto cada grupo terá o desafio também de traçar os gráficos das citadas funções. Fica a critério deles qual ferramenta utilizar para realização desta tarefa.

Aula 3: momento em que serão socializados os principais resultados: discutir

24

Figura 4: função da distância Terra – Sol em X = 8.

de cada grupo. Usaremos o software GeoGebra15 para construção dos gráficos em sala, fazendo com isso uma correção da produção dos grupos. Segue algumas construções gráficas feitas pelo citado software:

15

GeoGebra é um software livre de matemática dinâmica para todos os níveis de educação que reúne geometria, álgebra, planilhas, gráficos, estatísticas, e cálculo em pacote de fácil uso. Disponível em

www.geogebra.org, acesso 17 de março de 2016.

25

3. Conclusões

A presente monografia oferece um estudo sobre o fascínio que os números causaram e ainda causam na sociedade. Contando desde a invenção de antigos sistemas de numeração, até destacar o atual, sistema de numeração decimal, tido como uma grande invenção da humanidade.

Os números grandes passaram a ter então um destaque, haja vista que o moderno sistema de numeração citado, possibilitou a escrita dos mesmos, fato que era tido como um desafio para as civilizações antigas. Com o advento das representações de potências e a invenção das notações científicas, resolveu-se definitivamente o problema de representar números grandes.

Abordamos também um estudo das principais funções matemáticas vista no Ensino Médio, dentre elas as funções polinomiais e as funções exponenciais, onde leva aos estudantes concluir que a segunda é a mais ideal para fazer comparações e análises de quantidades grandes.

No nosso trabalho usamos o software GeoGebra para representar graficamente as citadas funções. Tal técnica contribuiu na comparação dessas quantidades. Curioso é que um dos maiores números estudados, a constante de Avogadro [6], cabe em um copo de 200 ml, pois este representa a quantidade de partícula em um mol de substância16 [13]; se pegarmos um mol de água, por exemplo, teremos apenas 18 gramas. No entanto o menor deles ―não cabe na Terra‖, que é à distância Terra – Sol.

16

Química / Martha Reis Marques da Fonseca. 1. Ed. – São Paulo: Ática, 2013 vol. 2 – página 57. Um mol é a unidade dos químicos que expressa à quantidade de matéria para uma determinada substância. Qualquer substância uma quantidade em gramas, chamada de massa molar, que representa o mol.

26

4. Referências bibliográficas

[1] OLIVEIRA, José Fernandes de. Canção Oração pela família. Disponível em:

https://www.letras.mus.br/padre-zezinho/205789/oracao-pela-familia-print.html, acesso 07 de abril de 2016. (Citado na página 4.)

[2] MIYASCHITA, Wagner Yuwamamoto. Sistemas de numeração – Como funciona e como são estruturados os números. Bauru – SP: UNESP, p. 4-5, 2002. (Citado nas páginas 9 e 10.)

[3] Noções de Sistemas de Numeração. Disponível em:

http://producao.virtual.ufpb.br/books/camyle/introducao-a-computacao-livro/, acesso 15 de março de 2016. (Citado na página 10.)

[4] Diretrizes Curriculares Nacionais para o Ensino Médio, parecer do Conselho Nacional de Educação (Nº 5/2011). Brasília – DF, p. 2, aprovado em 4/11/2011. (Citado na página 11.)

[5] ÁVILA, Geraldo. Números Muito Grandes – artigo 25. Revista do Professor de Matemática. Campinas – SP: IMECC – UNICAMP. Disponível em:

http://www.rpm.org.br/cdrpm/25/1.htm, acesso 17 de fevereiro de 2016. (Citado nas páginas 12, 14 e 23.)

[6] Química / Martha Reis Marques da Fonseca. 1. Ed. – São Paulo: Ática, 2013 vol. 1 – página 129. (Citado nas páginas 14, 23 e 25.)

[7] Química / Martha Reis Marques da Fonseca. 1. Ed. – São Paulo: Ática, 2013 vol. 1 – página 36. (Citado nas páginas 14 e 23.)

[8] Departamento Nacional de Obras Contra as secas – DNOCS. Açude Castanhão, rio Jaguaribe, Alto Santo – CE. Disponível em:

http://www.dnocs.gov.br/barragens/castanhao/castanhao.html, acesso em 16 de março de 2016. (Citado nas páginas 14 e 23.)

[9] YEE, Alexandre J.; KONDO, Shigeru. Cinco trilhões de dígitos de Pi – novo recorde mundial. Disponível em:

http://obaricentrodamente.blogspot.com.br/2010/12/5-27

trilhoes-de-digitos-de-pi-novo.html, acesso em 27 de abril de 2016. (Citado nas páginas 14 e 23.)

[10] Projeto Araribá: matemática/obra coletiva, concebida, desenvolvida e produzida pela Editora Moderna; editora responsável Juliane Matsubara Barroso. – 1. Ed. – São Paulo: Moderna 2006. Página 15. (Citado na página 16.)

[11] Andrini, Álvaro. Novo Praticando Matemática/Álvaro Andrini, Maria José C. de V. zampirolo. Obra em 4v. para alunos de 5ª a 8ª séries. – São Paulo: Editora do Brasil, 2002. Página 40. (citado na página 19.)

[12] Unidade de medida em informática – Byte, Quilobayte, Megabyte, Gigabyte ... Disponível em http://www.adassoft.com/unidade-de-medida-em-informatica-byte-quilobyte-megabyte-gigabyte/, acesso 14 de maio de 2016. (Citado na página 21.) [13] Química / Martha Reis Marques da Fonseca. 1. Ed. – São Paulo: Ática, 2013 vol. 2 – página 57. (Citado na página 25.)