Universidade Federal do Rio Grande do Norte
Centro de Ensino Superior do Seridó
Departamento de Ciências Exatas e Aplicadas
Um estudo sobre Espaços de Sequências
Luiz Fernando de Oliveira Silva
Universidade Federal do Rio Grande do Norte
Centro de Ensino Superior do Seridó
Departamento de Ciências Exatas e Aplicadas
Um estudo sobre Espaços de Sequências
por
Luiz Fernando de Oliveira Silva
sob orientação do
Prof. Dr. Adriano Thiago Lopes Bernardino
Caicó-RN
Dezembro de 2018
Silva, Luiz Fernando de Oliveira.
Um estudo sobre espaços de sequências / Luiz Fernando de Oliveira Silva. - Caicó: UFRN, 2018.
70f.: il.
Trabalho de Conclusão de Curso (Graduação) - Universidade Federal do Rio Grande do Norte. - Campus Caicó. Departamento de Ciências Exatas e Aplicadas. Curso de Licenciatura em
Matemática.
Orientador: Dr. Adriano Thiago Lopes Bernardino.
1. Sequências. 2. Espaço Vetorial. 3. Espaço Vetorial Normado. 4. Espaço de Banach. 5. Espaços de Sequências. I. Bernardino, Adriano Thiago Lopes. II. Título.
RN/UF/BS-CAICÓ CDU 51
Universidade Federal do Rio Grande do Norte - UFRN Sistema de Bibliotecas - SISBI
Catalogação de Publicação na Fonte. UFRN - Biblioteca Setorial Profª. Maria Lúcia da Costa Bezerra - - CERES--Caicó
"Nada acontece que Deus não tenha previsto desde toda a eternidade."
Agradecimentos
Não há outra forma de começar que não seja agradecendo a Deus que permitiu e me escolheu para vivenciar todos estes momentos. De forma muito particular, agradeço ao Deus Pai por todo amor e con…ança depositado em mim desde o início do curso, sem Ele eu sequer teria chegado até aqui; ao Deus Filho pelo companheirismo nas horas difíceis, por sempre estar ao meu lado até o …m e sendo o meu melhor amigo de todas as horas. Ao Espírito Santo porque em todas as provas, trabalhos, em todas as aulas... esteve comigo, sem Ele eu não teria conseguido.
Agradeço imensamente aos meus familiares, principalmente aos meus pais Joca e Lena que sempre acreditaram em mim e não mediram esforços para que eu concluísse a graduação. Foram várias semanas acordando as 3h40min da manhã para que eu pudesse chegar a tempo de assistir a aula na segunda-feira, aliás esse é o principal motivo pelo qual eu odeio aula na segunda-feira de manhã.
Aos meus colegas de faculdade, não só do curso de Matemática, citar todos não será possível, mas mencionarei aqui os que mais me "humilharam" durante o período em que estive em Caicó. Bora lá... Se não for para agradecer ao grande mestre Iritan não precisaria nem escrever isso, você é o cara! Valeu por todas as vezes que tirou minhas dúvidas e pela velha ajuda nas listas de exercícios. Agradeço ainda à galera do curso em especial Bruno, Marcos Vinícius, Francicarlos, Marcos Gabriel, Emanuel, Gilvan (Zinho), Pablo, Ana Lúcia, Francisco Lúcio, Gabriela Karine, Gabriela Lariça, Mikarla, Rodrigo Medeiros, Valdefran, Gilvan Souza, Jordana, en…m, a todos que estiveram comigo nessa caminhada.
Ao pessoal da Residência Universitária principalmente à Ialessy e Gerson os caras mais vida boa que conheci (eu ainda não descobri se o Palmeiras tem ou não mundial) e à todos que um dia me procuraram para tirar dúvidas, vocês contribuíram e muito para o meu processo de formação. Claro que eu devo ter esquecido de alguém, mas externo minha gratidão a todos.
"Por pena", agradeço à Danyélica,Wesla, Emmylie, Flávia e Jaíne por toda a resenhas ao vivo e no grupo Luluzinhas e Luizinho (não dá pra colocar os emojis), trabalhos em grupo e agradeço imensamente a mim por que tive paciência su…ciente para aturar esse "bando de hipócritas", por ter descoberto todos os esqueminhas que todo mundo sabia menos eu... vi agora que não criei vínculos nessa faculdade (tem até perigo). Vocês são muito especiais e obrigado porque vocês me …zeram rir bastante falando da vida do povo, vou levar para sempre em meu coração, é como diz aquela música: “amigo é coisa para se guardar no lado esquerdo do peito...” não é Danyélica?!.
Agradeço também à dois grandes professores de matemática que tive no ensino médio: Emanuel Vieira e Francisco De Assis. Vocês também foram responsáveis pela minha
escolha do curso de Matemática e por essa conquista, espero um dia ser um pouquinho daquilo que vocês são.
Agradeço ainda à todos os professores que …zeram parte dessa trajetória, destaco aqui: Ivanildo Freire, Patrícia Santos, Gabriel Ramalho, Jucimeire Santos, Désio Ramirez, Luís Gonzaga, Alex de Moura, Flávio Fernandes, Halley Gomes, Maria da Conceição, José Neto, Bandeira... E de modo especial, agradeço ao professor Adriano Thiago Lopes Bernardino pelo aceite da orientação deste trabalho e por toda a contribuição, eu sei que eu dei mais trabalho a ele do que o TCC me deu trabalho (ah! e eu ainda não esqueci que na segunda unidade de Análise a minha prova não tinha as sugestões como na dos outros).
Para …nalizar, aquela velha frase: agradeço a todos que contribuíram direta ou indiretamente para a elaboração deste trabalho e para a conclusão deste curso, vocês são demais!
Resumo
Este trabalho tem como objetivo uma introdução aos espaços de sequências. Constitui-se de uma pesquisa bibliográ…ca, tendo como principais aportes teóricos Lima (2013), Kreyszig (1978) e Machado (2012). Neste estudo é feita uma breve abordagem sobre os espaços de sequências c0, c00 e `1. Tomando-os inicialmente apenas como conjuntos,
veri…camos que de fato são espaços vetoriais normados. Concluímos que os espaços c0 e `1
das sequências nulas e das sequências limitadas, respectivamente, são espaços de Banach e que o espaço c00, das sequências eventualmente nulas é um espaço vetorial normado
que não é de Banach. Apresentamos também alguns resultados importantes de Análise Real com enfoque em sequências de números reais, de modo que o leitor possa obter base teórica para a compreensão dos resultados apresentados.
Palavras-chave: Sequências, Espaço Vetorial, Espaço Vetorial Normado, Espaço de Banach, Espaços de Sequências.
Abstract
This work has as objetctive an introduction to sequence spaces. It is a bibliographical research, having as main theoretical bases Lima (2013), Kreyszig (1978) and Machado (2012). In this work is made a brief approach about sequence spaces c0, c00 and `1.
Taking them initially only as sets, we …nd that in fact they are normed vector spaces. We have conclude that the spaces c0 and `1 of null and limited sequences, respectively, are
Banach spaces and that the space c00of eventually zero sequences is a normed vector space
that is not a Banach space. We also present some important results from Real Analysis with a focus on real number sequences, so that the reader can obtain a theoretical basis for understanding the presented results.
Key-words: Sequences, Vector Space, Normed Vector Space, Banach Space, Sequence Spaces.
Sumário
Introdução 1 1 Noções Básicas 2 1.1 Conjuntos . . . 2 1.2 Funções . . . 6 1.3 O Corpo R . . . 11 1.4 R é um corpo ordenado . . . 14 1.4.1 Valor Absoluto . . . 152 Alguns resultados de Análise Real 18 2.1 Conjuntos Limitados . . . 18
2.2 Ín…mo e Supremo . . . 20
2.3 Sequências . . . 24
2.4 Sequências de Funções . . . 32
3 Espaços Vetoriais Normados 36 3.1 Espaços Vetoriais . . . 36
3.2 Espaços Vetoriais Normados . . . 40
3.3 Espaços de Banach . . . 43
4 Espaços de Sequências 46 4.1 Espaço c0 . . . 46
4.2 Espaço c00 . . . 52
4.3 Espaço `1 . . . 54
Introdução
Em Análise Funcional, os Espaços de Banach têm um papel fundamental. Seu conceito foi introduzido pelo polaco Stefan Banach (1892-1945) em sua tese defendida em 1920, na qual são de…nidos de forma axiomática os espaços do tipo (B) que conhecemos atualmente como espaços vetoriais com uma norma e completos em relação à essa norma. A denominação Espaços de Banach para os espaços do tipo (B) foi proposta por M. Fréchet.
O elemento norteador deste estudo é o desa…o de trabalhar conjuntamente conceitos de Álgebra Linear e Análise Real, bases da Análise Funcional. Dessa forma, este trabalho constitui-se de uma pesquisa com base em referências bibliográ…cas que tem por objetivo introduzir o conceito de Espaço de Sequências e Espaço de Banach. Para tanto abordaremos três notáveis espaços de sequências: c0, c00 e `1: Além disso, provaremos
que o espaço das funções f : X ! R limitadas é de Banach bem como os espaços c0 e `1.
Veremos ainda que o espaço c00 é um espaço vetorial normado que não é de Banach.
Inicialmente faremos um estudo preliminar no Capítulo 1, no qual apresentaremos alguns conceitos básicos relativos à conjuntos, funções e corpos, a…m de relembrarmos ideias, de…nições e propriedades que serão úteis para a compreensão das demonstrações dos resultados que serão apresentados no decorrer deste trabalho.
No Capítulo 2 tratamos de alguns resultados de Análise Real, mais especi…camente, sobre Conjuntos Limitados, Ín…mo e Supremo, fazendo um estudo mais detalhado sobre Sequências de Números Reais, estendendo até as Sequências de Funções.
O Capítulo 3 aborda os conceitos de Espaços Vetoriais, em particular Espaços Vetoriais Normados e os Espaços de Banach e, por …m, no Capítulo 4 estudamos os espaços de sequências citados anteriormente, provando, inicialmente, que são espaços vetoriais normados e veri…cando sua completude.
Capítulo 1
Noções Básicas
Neste capítulo será feita uma breve introdução aos conceitos de conjuntos, funções e corpos. Tais conceitos são a base de toda a matemática que se conhece até o momento. Espera-se que ao …m deste capítulo o leitor tenha o conhecimento prévio necessário para a compreensão dos capítulos posteriores. Para a construção deste, tomamos como base [4] e [8].
1.1
Conjuntos
A ideia de conjunto é bastante intuitiva e abstrata. Não existe uma de…nição exata do que seja, porém, entenderemos por conjunto uma coleção ou grupo de objetos que gozam de uma mesma propriedade ou que satisfazem uma determinada condição e, aos objetos, daremos o nome de elementos do conjunto.
É comum que se utilize letras maiúsculas para denotar conjuntos e letras minúsculas para representar os elementos do conjunto. Ao conjunto que possui apenas um único elemento, dá-se o nome de conjunto unitário. Caso um conjunto não possua elemento algum, dizemos que o conjunto é vazio e em geral denotamos por ?.
Observe que ? 6= f?g. O conceito que adotamos de conjunto, permite que construamos conjuntos cujos elementos são conjuntos, sendo assim, f?g é um conjunto unitário, formado apenas pelo conjunto ?, enquanto que ? é um conjunto que não possui nenhum elemento.
Em muitos casos, se faz necessário a descrição do conjunto com o qual se está trabalhando, ou até mesmo a de…nição de novos conjuntos, para isso, podemos fazer a listagem ou a caracterização dos elementos do conjunto e uma outra forma, menos usual, a forma recursiva.
1.1. CONJUNTOS
das seguintes maneiras:
A =f1; 3; 5; 7; : : :g , A =fx ; x é ímparg , A = ( 12 A se x 2 A; x + 2 2 A .
Dentro de um contexto especí…co é possível estabelecer um conjunto que contenha todos os conjuntos que estão relacionados, neste contexto, denominado Conjunto Universo que comumente denotamos por U . Para entender melhor, tomemos como exemplo o conjunto das funções reais F = ff : R ! R; f é funçãog. Considere ainda o conjunto C das funções contínuas de…nidas de R em R, simbolicamente, C = ff : R ! R ; f é contínuag. De certo, podemos ver que C é subconjunto de F, uma vez que F é o conjunto de todas as funções de…nidas de R em R independente de serem ou não contínuas. Neste caso, F seria nosso conjunto universo.
Seja A um conjunto não-vazio e x um objeto qualquer. Podemos estabelecer uma relação entre x e A, que damos o nome de relação de pertinência, isto é, se x goza da mesma propriedade e/ou sastifaz a mesma condição que os elementos de A, então dizemos que x pertence a A e escrevemos x 2 A. Caso contrário, diz-se que x não pertence a A e escreve-se x =2 A. É fácil ver que se A = ?, então x =2 A. Não há possibilidade de obter x2 A e x =2 A simultâneamente.
Exemplo 1.1.2 Se A = fa ; a é múltiplo de 5g, então 625 2 A, mas 12 =2 A.
Podemos ainda, estabelecer uma relação entre dois conjuntos, a relação de inclusão, indicada pelo símbolo (lê-se contido). Assim, dados dois conjuntos A e B, se todo elemento de B é também elemento de A, então dizemos que B é subconjunto de A, ou ainda, B está contido em A e denotamos por B A; também podemos dizer que A contém B e escrever A B (lê-se A contém B). Se existir y 2 B, tal que y =2 A, diz-se que B não está contido em A e escreve-se B 6 A, ou, A não contém B (A 6 B).
Para que dois conjuntos A e B sejam iguais, é necessário e su…ciente que todo elemento de A seja elemento de B e todo elemento de B seja elemento de A, isto é, que A esteja contido em B e B esteja contido em A. Com efeito, se a 2 A = B então teríamos que a 2 B. Como a é um elemento qualquer de A, temos que todo elemento de A é um elemento de B e, portanto, A B. De maneira análoga, veri…ca-se a inclusão B A. Reciprocamente se A B e B A, então segue que todo elemento de A é também elemento de B e, mutuamente, todo elemento de B é elemento de A, isto é, A = B.
A relação de inclusão entre conjuntos tem, quaisquer que sejam os conjuntos A; B e C, as seguintes propriedades:
1.1. CONJUNTOS
2. Antissimetria: Se A B e B A, então A = B. 3. Transitividade: Se A B e B C, então A C.
Se A B, temos dois casos a serem considerados, A = B ou A 6= B. Quando A 6= B então, A é dito subconjunto próprio de B e escrevemos A B.
Os conjuntos cujos elementos são números, são chamados de conjuntos numéricos. Serão denotados por N, Z, Q, R e C os conjuntos numéricos clássicos, mais explicitamente:
O conjunto dos números naturais:
N = f1; 2; 3; : : : ; n; : : :g: O conjunto dos números inteiros:
Z = f: : : ; m; : : : 1; 0; 1; : : : ; n; : : :g: O conjunto dos números racionais:
Q =na
b; a; b2 Z; b 6= 0 o
:
O conjunto dos números reais, R, é o conjunto de todos os pontos de uma reta. Os pontos da reta que não são números racionais, são chamados irracionais. O conjunto dos números irracionais, será denotado por R r Q.
Por …m, temos o conjunto dos números complexos:
C = fa + bi; a; b 2 Rg , onde i2 = 1:
Retomando o exemplo do conjunto F = ff : R ! R ; f é funçãog, podemos perceber que nem todas as funções estão de…nidas de R em R. Tal fato nos põe diante do conceito de Complementar de um conjunto. Se tomarmos um subconjunto A de um conjunto universo U , os elementos do conjunto universo que não são elementos do conjunto em questão, fazem parte do que chamamos de complementar de A e indicamos por Ac.
Proposição 1.1.1 Quaisquer que sejam A; B U, tem-se que (i) (Ac)c = A;
(ii) A B se, e somente se, Bc Ac.
Demonstração: (i) De fato, x pertencer a (Ac)c, signi…ca dizer que x não pertence a Ac e assim, temos que x 2 A, logo (Ac)c A. Ainda, se x 2 A então x =2 Ac, isto é, x 2 (Ac)c, daí segue que A (Ac)c e, portanto, (Ac)c = A.
1.1. CONJUNTOS
(ii) Suponha que Bc
6 Ac
então existe b 2 Bc tal que b =
2 Ac, assim, teríamos
b 2 A B, que é uma contradição, pois b 2 Bc, logo, tem-se que, se A B então Bc Ac. De maneira análoga, supondo que, A 6 B, temos que, se a 2 A de modo que a =2 B, então a 2 Bc Ac. Novamente temos uma contradição, dessa forma, conclui-se que se Bc Ac então A B e, portanto, A B se, e somente se, Bc Ac.
O complementar de um conjunto pode ser interpretado como a diferença entre conjuntos, que neste caso, está expressa na diferença entre o conjunto universo e um conjunto dado. Em notação de conjuntos, temos:
Ac = U r A
=fx; x 2 U, x =2 Ag .
Observação 1.1.1 A notação R r Q para o conjunto dos números irracionais agora está bem clara.
Podemos ainda determinar a diferença de dois conjuntos que sejam subconjuntos (ou não) de um mesmo conjunto universo. A seguir, apresentamos as de…nições de união, interseção e diferença entre conjuntos.
De…nição 1.1.1 Sejam A e B conjuntos. A união, a interseção e a diferença dos conjuntos A e B, denotadas respectivamente por A [ B, A \ B e A r B, são os conjuntos:
A[ B = fx; x 2 A ou x 2 Bg ; A\ B = fx; x 2 A e x 2 Bg ; A r B = fx; x 2 A e x =2 Bg :
Quando B A, veri…ca-se facilmente que A [ B = A e A \ B = B. A diferença A r B é dita o complementar de B em A e denotada por {B
A. Ainda, a união e a interseção de
conjuntos podem ser feita para uma quantidade …nita ou in…nita de conjuntos.
Exemplo 1.1.3 Considere os conjuntos A = fm 2 N; 20 m 50g e B = fn 2 N; n 30g. Então, temos que:
A[ B = fx 2 N; x 50g ; A\ B = fx 2 N; 20 x 30g ; e A r B = fx 2 N; 31 x 50g : Exemplo 1.1.4 Seja In= 1n;1n , com n 2 N. Então
1.2. FUNÇÕES
Com efeito, suponha que I 6= f0g. Então existe x 2 R, diferente de zero, digamos x > 0, tal que x 2 I. Como N é ilimitado superiormente, podemos obter n0 2 N, de modo que
tenhamos: 1 x < n0: (1.1) Disto, temos 1 n0 < x: (1.2) Logo x =2 n1 0; 1 n0 = In0 e, consequentemente, x =2 I. Portanto I = \ n2N In=f0g.
As operações de união e interseção de conjuntos têm as seguintes propriedades, quaisquer que sejam os conjuntos A; B e C:
(1) A [ A = A \ A;
(2) A [ B = B [ A e A \ B = B \ A;
(3) (A [ B) [ C = A [ (B [ C) e (A \ B) \ C = A \ (B \ C) ;
(4) A [ (B \ C) = (A [ B) \ (A [ C) e A \ (B [ C) = (A \ B) [ (A \ C) ; (5) A [ (A \ B) = A \ (A [ B) :
Deixamos a cargo do leitor as demonstrações destas propriedades. As mesmas são simples e podem ser encontradas em [8].
1.2
Funções
Trataremos nesta seção, de um outro conceito que está presente em todas as áreas de estudo da matemática: as funções.
De…nição 1.2.1 (Função) Sejam A e B conjuntos não-vazios. Uma função, ou aplicação, f de A em B, é uma regra que associa cada elemento de A à um único elemento em B.
Usualmente indicamos uma função de…nida de A em B por f : A ! B. A notação x 7! f(x), é utilizada para dizer que a função f faz corresponder a x o valor f (x). Os conjuntos A e B são ditos, respectivamente, domínio e contradomínio de f e o elemento f (x)é chamado de imagem de x pela f . O conjunto que contém as imagens dos elementos de A pela função f é chamado de imagem de f e denotado por Im f , em símbolos:
1.2. FUNÇÕES
Sejam A; B; C, D conjuntos não-vazios e considere as funções f : A ! B e g : C ! D. Dizemos que f e g são iguais se A = C, B = D e f (x) = g(x), para todo x em A.
Observação 1.2.1 Uma função f : A ! B está bem de…nida se todo elemento de A possui um único representante em B. Em outras palavras, dizemos que f está bem de…nida se para todo x 2 A tem-se f (x) 2 B e, se x; y 2 A são tais que x = y, então f (x) = f (y) :
Observação 1.2.2 Seja f : A ! B uma função e X um subconjunto de A. O conjunto f (X) =ff(x); x 2 Xg :
chama-se imagem de X por f . Quando X = A escreveremos Im f ao invés de f (A). Observação 1.2.3 Seja f : A ! B uma função. Dado Y B, o conjunto
f 1(Y ) = fx 2 A; f (x) 2 Y g é chamado de imagem inversa de Y por f .
Proposição 1.2.1 Sejam f : A ! B uma função e X; Y subconjuntos de A. 1. Se X Y, então f (X) f (Y ) ;
2. f (X [ Y ) = f (X) [ f (Y ) ; 3. f (X \ Y ) f (X)\ f (Y ) :
Demonstração: 1. Seja b 2 f (X). Então existe a 2 X, tal que f (a) = b, como X Y, então a 2 Y e assim, temos que b = f (a) 2 f (Y ). Sendo assim, f (X) f (Y ).
2. Note que, se b 2 f (X [ Y ), então, existe a 2 X [ Y tal que f (a) = b. Como a 2 X [ Y , tem-se a 2 X ou a 2 Y . Se a 2 X então b = f (a) 2 f (X). De maneira análoga, a 2 Y implica em b = f (a) 2 f (Y ). Logo, em qualquer caso, temos b = f (a) 2 f (X) [ f (Y ) e assim, f (X [ Y ) f (X) [ f (Y ). Reciprocamente, se b 2 f (X) [ f (Y ), então, b 2 f (X), ou b 2 f (Y ). Se b 2 f (X), então existe a1 2 X
tal que f (a1) = b, do mesmo modo, se b 2 f (Y ), existe a2 2 Y de maneira que
f (a2) = b, portanto, existe a 2 X [ Y tal que f (a) = b e, consequentemente, temos
f (X)[ f (Y ) f (X[ Y ). Portanto f (X [ Y ) = f (X) [ f (Y ).
3. Sendo b 2 f(X \ Y ), existe a 2 X \ Y , de modo que f (a) = b. Como a 2 X\ Y , segue que a 2 X e a 2 Y , e ainda b = f (a) 2 f (X) e b = f (a) 2 f (Y ), isto é, b = f (a)2 f (X) \ f (Y ). Logo, f (X \ Y ) f (X)\ f (Y ).
1.2. FUNÇÕES
Observação 1.2.4 A inclusão f (X \ Y ) f (X) \ f (Y ) é estrita, pois, se considerarmos a função f : R ! R, dada por f(x) = x2, e os subconjuntos X = f 2; 1; 0g e Y = f0; 1; 2g de R, temos que f (X) \ f (Y ) = f0; 1; 4g e f (X \ Y ) = f0g. Veja que 4 2 f (X) \ f (Y ), mas 4 =2 f (X \ Y ), isto é, f (X \ Y ) f (X) \ f (Y ) : De…nição 1.2.2 (Função Composta) Sejam f : A ! B e g : B ! C funções. A função h : A ! C, dada por
h (x) = g (f (x))
para todo x 2 A é dita função composta ou composição de g e f.
Geralmente, utliza-se o símbolo para denotar a composição de duas funções. Assim (g f ) (x) = g (f (x)).
Exemplo 1.2.1 Sejam f : N ! Z e g : Z ! C dadas por f (x) = 4x e g (x) = xi. Então, a função h : N ! C, dada por h = (g f) é
h (x) = (g f ) (x) = g (f (x)) = g (4x) =
4xi .
Chamamos de injetiva, toda função f : A ! B que para todo elemento y 2 Im f, existe único x 2 A tal que f (x) = y. Para provar tal unicidade basta veri…car que dados x; x0 2 A quaisquer, tais que x 6= x0, obtem-se f (x) 6= f (x0) ou, equivalentemente, se
f (x) = f (x0) então x = x0.
Exemplo 1.2.2 A função
f : N ! N n 7! n + 1
é injetiva. Com efeito, sejam n1; n2 2 N, tais que f (n1) = f (n2). Assim, temos que
n1+ 1 = n2+ 1, donde vem n1 = n2.
É fácil ver que dada f : A ! B, Im f B. Quando ocorrer B_ Im f, isto é, B = Im f, dizemos que f é sobrejetiva.
Exemplo 1.2.3 Considere a função do Exemplo 1.2.2. Veja que f não é sobrejetiva, pois 12 N, mas não existe x 2 N tal que f (x) = 1, isto é, N 6 Im f.
Quando uma função é injetiva e sobrejetiva simultâneamente, dizemos que é uma função bijetiva, ou apenas, uma bijeção.
1.2. FUNÇÕES
Exemplo 1.2.4 A função
id : X ! X x 7! x
é chamada de função identidade. Note que, se x; x0 2 X são tais que id (x) = id (x0) então tem-se x = x0 e, portanto, id é injetiva.
Veja também que id é sobrejetiva, uma vez que, dado y 2 X (contradomínio), temos y2 X (domínio) e y = id (y) 2 Im id. Portanto id é um bijeção de X em X.
Observação 1.2.5 Usamos a notação idX para indicar a função id : X ! X.
Observação 1.2.6 Se tomarmos A X não-vazio, então a função f : A ! X, dada por f (x) = x, é denominada inclusão de A em X.
Proposição 1.2.2 Se existir uma bijeção f : X ! Y , então dados a 2 X e b 2 Y , existe também uma bijeção g : X ! Y tal que g (a) = b.
Demonstração: Se f (a) = b, basta tomar g : X ! Y , tal que g (x) = f (x), para todo x 2 X. Caso contrário, seja b0 = f (a). Da sobrejetividade de f , segue que, existe
a0 2 X tal que f (a0) = b. Assim, de…namos g : X ! Y , pondo g (a) = b, g (a0) = b0 e
g (x) = f (x) para todo x 2 X se x não for igual a a nem a a0.
Exemplo 1.2.5 Se f : A ! B é uma função injetiva, podemos de…nir g : B ! A sobrejetiva com a qual obtemos g f = idA. Para cada y 2 Im f B escolha x 2 A de
modo que g (y) = x, onde y = f (x) e, para todo y 2 B r Im f, ponha g (y) = x0 2 A …xo,
isto conclui a de…nição de g e garante sua sobrejetividade. De fato g está bem de…nida, uma vez que, dados y1; y2 2 B, tais que y1 = y2 tem-se y1; y2 2 Im f ou y1; y2 2 Im f.=
Se y1; y2 2 Im f, então, existem x1; x2 2 A, tais que f (x1) = y1 = y2 = f (x2) e pela
injetividade de f , segue que x1 = x2, onde x1 = g (y1) e x2 = g (y2), daí g (y1) = g (y2).
Se y1; y2 2 Im f então g (y= 1) = x0 = g (y2).
Veja que,
(g f ) (x) = g (f (x)) = g (y) = x:
Daí, como g f está de…nida de A em A temos g f = idA.
Exemplo 1.2.6 Se f : A ! B é uma função sobrejetiva, então podemos de…nir uma função g : B ! A injetiva tal que f g = idB. Basta que, para cada y 2 B escolhamos
1.2. FUNÇÕES
x = g (y)2 A, onde f (x) = y. Se y1; y2 2 B são tais que y1 = y2, então, da de…nição de
g, segue que g (y1) = g (y2). Assim g está bem de…nida. Note que:
(f g) (y) = f (g (y)) = f (x) = y
e como f g está de…nida de B em B, temos f g = idB. Veja que g é injetiva. Se não
o fosse, teríamos que, dados y1; y2 2 B, y1 6= y2 com g (y1) = g (y2) e, consequentemente,
ocorreria f (x1)6= f (x2), com x1 = x2, isto é, f não seria função.
Exemplo 1.2.7 Se tomarmos uma função f : A ! B bijetiva, é possível de…nir uma função g : B ! A também bijetiva, de maneira que se obtenha.
f g = idB e g f = idA.
De fato, se f é uma bijeção de A em B, então f é injetiva e sobrejetiva simultâneamente, assim de…namos g : B ! A, pondo g (y) = x com y = f (x). Note que, g está bem de…nida, pois, se y1 = f (x1) ; y2 = f (x2) 2 B, são tais que y1 = y2, temos, pela
injetividade de f que x1 = x2, daí g (y1) = g (y2). A bijetividade de g segue dos exemplos
1.2.5 e 1.2.6.
Observe ainda que,
(f g) (y) = f (g (y)) = f (x) = y e
(g f ) (x) = g (f (x)) = g (y) = x:
Nesse caso, dizemos que g é a função inversa de f (ou somente inversa de f ) e vice-versa. Em geral, denotamos a inversa de f por f 1.
Proposição 1.2.3 Uma função f : A ! B é invertível se, e somente se, for bijetiva. Demonstração: Suponha que f seja invertível e que f 1 seja sua inversa. Sejam x1; x2 2 A, tais que f (x1) = f (x2), daí, como f 1 é função vem que, f 1(f (x1)) =
f 1(f (x
2)), o que equivale à idA(x1) = idA(x2). Então tem-se x1 = x2, donde segue que
f é injetiva.
Veja ainda que se tomarmos y 2 B arbitrário, temos que y = idB(y)
= f f 1 (y) = f f 1(y) ;
1.3. O CORPO R isto é, y é imagem de f 1(y)
2 A. Logo f é sobrejetiva. Portanto f é bijetiva. A recíproca deste resultado segue do Exemplo 1.2.7
1.3
O Corpo
R
Nesta seção faremos um breve estudo sobre o corpo ordenado e completo dos números reais R e de…niremos o valor absoluto de um número real. Para isso devemos entender, inicialmente, o que é um corpo.
De…nição 1.3.1 (Corpo) Seja K um conjunto não-vazio munido das operações: + : K K ! K
(x; y) 7! x + y e
: K K ! K (x; y) 7! x y
que chamamos de soma e produto, respectivamente. Dizemos que (K; +; ) é um corpo se são sastisfeitos, para todos x; y; z 2 K :
i) (x + y) + z = x + (y + z) ; ii) x + y = y + x;
iii) Existe 0K 2 K, tal que x + 0K = x;
iv) Para cada x 2 K, existe x0 2 K, tal que x + x0 = 0 K;
v) (x y) z = x (y z) ; vi) x y = y x;
vii) Existe 1K 2 K, tal que x 1K = x;
viii) Para cada x 2 K, x 6= 0K, existe x00 2 K, tal que x x00 = 1K;
ix) (x + y) z = x z + y z e z (x + y) = z x + z y:
Dizemos que 0K (lê-se zero) e 1K (lê-se um) são, respectivamente, os elementos neutro
aditivo e neutro multiplicativo de K: Além disso, os elementos x0e x00 são chamados, nessa ordem, de inverso aditivo e inverso multiplicativo. Denotaremos o inverso aditivo de x por x, e seu inverso multiplicativo por x 1, também, denotaremos o produto x y por
1.3. O CORPO R Exemplo 1.3.1 O conjunto: Q pp = a + bpp; a; b2 Q , onde p é um número real primo, munido das operações usuais de soma e produto dadas por:
(a + bpp) + (c + dpp) = (a + c) + (b + d)pp e
(a + bpp) (c + dpp) = (ac + bdp) + (ad + bc)pp
é um corpo. Com efeito, sejam x; y; z 2 Q pp , tais que x = a + bpp, y = c + dpp e z = e + f pp, com a; b; c; d; e; f 2 Q: i) Observe que: x + (y + z) = (a + bpp) + [(c + dpp) + (e + fpp)] = (a + bpp) + [(c + e) + (d + f )pp] = [a + (c + e)] + [b + (d + f )]pp = [(a + c) + e] + [(b + d) + f ]pp = [(a + c) + (b + d)pp] + (e + fpp) = [(a + bpp) + (c + dpp)] + (e + fpp) = (x + y) + z. ii) E ainda, x + y = (a + bpp) + (c + dpp) = (a + c) + (b + d)pp = (c + a) + (d + b)pp = (c + dpp) + (a + bpp) = y + x.
iii) O elemento 0 = 0 + 0pp 2 Q pp é o neutro aditivo, pois x + 0 = (a + bpp) + (0 + 0pp)
= (a + 0) + (b + 0)pp = a + bpp
= x.
1.3. O CORPO R é dado por x = a + ( b) pp, pois:
x + ( x) = (a + bpp) + ( a + ( b)pp) = [a + ( a)] + (b + ( b))pp = 0 + 0pp
= 0.
v) A associatividade do produto também é satisfeita, visto que: x (y z) = (a + bpp) [(c + dpp) (e + fpp)]
= (a + bpp) [(ce + df p) + (de + cf )pp]
= [a (ce + df p) + b (de + cf ) p] + [b (ce + df p) + a (de + cf )]pp = (ace + adf p + bdep + bcf p) + (bce + bdf p + ade + acf )pp = (ace + bdep + adf p + bcf p) + (bce + ade + bdf p + acf )pp = [(ac + bdp) e + (ad + bc) f p] + [(bdp + ac) f + (ad + bc) e]pp = [(ac + bdp) + (ad + bc)pp] (e + fpp)
= [(a + bpp) (c + dpp)] (e + fpp) = (x y) z.
vi) Note que o produto é comutativo em Q pp
x y = (a + bpp) (c + dpp) = (ac + bdp) + (ad + bc)pp = (ca + dbp) + (da + cb)pp = (c + dpp) (a + bpp) = y x.
vii) O elemento 1 = 1 + 0pp 2 Q pp , é o neutro multiplicativo, pois x 1 = (a + bpp) (1 + 0pp)
= (a 1 + b 0 p) + (a 0 + b 1)pp = a + bpp
= x.
1.4. R É UM CORPO ORDENADO pois x 6= 0K, é dado por x 1 = a2ab2p
b
a2 b2ppp, uma vez que:
x x 1 = (a + bpp) a a2 b2p b a2 b2p pp = a 2 a2 b2p b2p a2 b2p + ab a2 b2p ab a2 b2p pp = 1 + 0pp = 1.
ix) Por …m, observe que:
(x + y) z = [(a + bpp) + (c + dpp)] (e + fpp) = [(a + c) + (b + d)pp] (e + fpp)
= [(a + c) e + (b + d) f p] + [(a + c) f + (b + d) e]pp = (ae + ce + bf p + df p) + (af + cf + be + de)pp
= (ae + bf p) + (ce + df p) + (af + be)pp + (cf + de)pp = [(ae + bf p) + (af + be)pp] + [(ce + df p) + (cf + de)pp] = (a + bpp) (e + fpp) + (c + dpp) (e + fpp)
= x z + y z.
Portanto Q pp ; +; é um corpo.
A partir dessa noção inicial, admitiremos que R é um corpo, uma vez que todas as propriedades de corpo são satisfeitas. A soma x + ( y) será denotada por x y e o produto xy 1 será denotado por xy sempre que y for diferente de zero. Esses tipos de soma e produto serão chamados de diferença e quociente. Alguns resultados serão ocultos, pois este não é o foco deste trabalho. Para mais detalhes consultar [6]:
1.4
R é um corpo ordenado
Tudo que for desenvolvido nesta seção segue do fato de que (R; +; ), ou apenas R, é um corpo ordenado. R ser ordenado, signi…ca que existe um subconjunto P de R, chamado de parte positiva de R, quaisquer que sejam x; y 2 P , tem-se x + y, x y 2 P e para todo x 2 R ou x 2 P , ou x 2 P , ou x = 0, sendo possível ocorrer apenas uma das alternativas. Denotamos a parte positiva de R por R+ (lê-se conjunto dos números reais
positivos).
Dados x; y 2 R, podemos de…nir uma relação entre x e y. Diremos que x é menor do que y e escreveremos x < y, sempre que y x2 R+. Equivalentemente, diremos que x é
1.4. R É UM CORPO ORDENADO maior do que y (escreve-se x > y) sempre que existir um número real positivo z tal que x = y + z. Denotamos por x y quando x é menor do que ou igual a y e x y, quando xé maior do que ou igual a y. Sempre que x 2 R+ então escreveremos x > 0.
Proposição 1.4.1 A relação de ordem x < y em R goza das seguintes propriedades, quaisquer que sejam x; y; z reais:
i) Transitividade: Se x < y e y < z então x < z;
ii) Tricotomia: Ocorre somente uma das alternativas: ou x = y ou x < y ou y < x; iii) Monotonicidade: Se x < y, então x + z < y + z e se z > 0 então xz < yz
Demonstração: Sejam x; y; z 2 R, dados arbitrariamente.
i) Se x < y então y x 2 R+. Do mesmo modo, se y < z então z y 2 R+. Disto
tem-se (z y) + (y x)2 R+. Note ainda que:
(z y) + (y x) = z + ( y + y) x = z x, pois R é um corpo. Assim, z x2 R+, isto é, x < z.
ii) Como R é ordenado, temos que, ou y x2 R+ ou x y =2 R+ ou x y = 0. Daí,
se y x2 R+ então x < y; se x y =2 R+ tem-se y < x; se x y = 0 segue que x = y.
iii) Veja que, se x < y, então y x2 R+. Do fato de R ser um corpo, vem que:
y x = y + 0 x = y + z z x = (y + z) (x + z). Daí, tem-se (y + z) (x + z) 2 R+, ou seja, x + z < y + z.
Sendo z > 0, temos que (y x) z 2 R+, o que equivale a yz xz 2 R+. Logo xz < yz.
1.4.1
Valor Absoluto
De…nição 1.4.1 (Valor Absoluto) O valor absoluto (ou módulo) de um número real x, é o número jxj 2 R dado por:
jxj = (
x, se x 0 x, se x < 0 .
Podemos enteder o valor absoluto como sendo o maior dos números reais x e x, isto é, jxj = max fx; xg. Seja qual for x 2 R tem-se jxj 0, pois se x 0temos jxj = x 0
1.4. R É UM CORPO ORDENADO e se x < 0, então jxj = x > 0. Ainda da de…nição temos que jxj x e jxj x. Desta ultima desigualdade obtemos -jxj x. Assim -jxj x jxj.
Proposição 1.4.2 Sejam x; a 2 R, então jxj a se, e somente se, a x a.
Demonstração: Se jxj a então, segue da de…nição que x a ou x a, ou ainda, a x. Assim, tem-se a x a. Reciprocamente se a x a, então x a ou a x, o que implica em jxj a.
Observação 1.4.1 Os casos jxj < a, jxj > a e jxj a, têm resultados análogos ao da Propoição 1.4.2:
Corolário 1.4.1 Se a; x; " 2 R, então jx aj < " se, e somente se, a " < x < a + ". Demonstração: Sendo jx aj < " segue da Proposição 1.4.2 que:
" < x a < ": (1.3) Adicionando a à ambos os membros de (1.3), obtemos
a " < x < a + ": (1.4) A reciproca deste resultado é feita adicionando a à ambos os membros da desigualdade (1.4), obtendo-se assim
" < x a < ":
Daí, pela Proposição 1.4.2, segue que jx aj < ". Teorema 1.4.1 Se x; y 2 R, então valem:
i) jx + yj jxj + jyj; ii) jxyj = jxj jyj.
Demonstração: i) Da de…nição de módulo, temos que, se x; y 2 R, então
jxj x jxj (1.5)
e
jyj y jyj : (1.6)
Somando as desigualdades (1.5) e (1.6), membro a membro, obtemos (jxj + jyj) x + y jxj + jyj
1.4. R É UM CORPO ORDENADO o que pela Proposição 1.4.2, implica em jx + yj jxj + jyj.
ii) Note que, x2 = ( x)2, assim jxj2 = x2, pois jxj = max fx; xg. Daí, jxyj2 = (xy)2 = (xy)2 = x2y2 = x2 y2 =jxj2jyj2 = (jxj jyj)2
Daí, como jxyj e jxj jyj são números reais não-negativos, segue que jxyj = jxj jyj. Observação 1.4.2 A desigualdade do item 1. do teorema anterior é chamada de Desigualdade Triangular.
Corolário 1.4.2 Se x; y; z 2 R, então: i) jjxj jyjj jx yj;
ii) jx zj jx yj + jy zj.
Demonstração: i) Da desigualdade triangular, tem-se
jxj = j(x y) + yj jx yj + jyj (1.7) que implica em jxj jyj jx yj. De maneira análoga,
jyj = j(y x) + xj jy xj + jxj . (1.8) Assim jyj jxj jy xj. Observe que, jy xj = max fy x; x yg = jx yj e ainda jyj jxj = (jxj jyj). Assim por (1.7) e (1.8), segue que jx yj maxf(jxj jyj) ; (jxj jyj)g, isto é, jjxj jyjj jx yj.
ii) Por …m, veja que
jx zj = jx (y y) zj = j(x y) + (y z)j Pela desigualdade triangular, segue que jx zj j(x y)j + j(y z)j.
Capítulo 2
Alguns resultados de Análise Real
Neste capítulo são apresentados alguns resultados que serão úteis na compreensão de algumas demonstrações apresentadas em capítulos posteriores. Tomamos [6] e [9] como base para a construção deste capítulo.
2.1
Conjuntos Limitados
De…nição 2.1.1 (Elemento Mínimo) Seja X um subconjunto de R e x1 2 R. Se x1 é
tal que: i) x1 2 X;
ii) x1 x, para todo x 2 X.
Dizemos x1 é o elemento mínimo de X e denotamos x1 = min X.
Teorema 2.1.1 (Princípio da Boa Ordenação) Todo subconjunto A N não-vazio, possui um menor elemento.
Demonstração: A demonstração pode ser encontrada em [6], página 3.
De…nição 2.1.2 (Elemento Máximo) Seja X um subconjunto de R e x2 2 R. Se x2
é tal que: i) x2 2 X;
ii) x x2, para todo x 2 X.
Dizemos x2 é o elemento máximo de X e denotamos x2 = max X.
Exemplo 2.1.1 Sejam A; B R. Se A B e A e B possuem elemento máximo, então max A max B. Com efeito, se A B então max A 2 B e assim, temos que max A max B.
2.1. CONJUNTOS LIMITADOS
De…nição 2.1.3 Seja X R. Dizemos que X é limitado inferiormente se existir a 2 R tal que, para todo x 2 X, tem-se a x.
Neste caso dizemos que a é uma cota inferior de X. Vale ressaltar que uma cota inferior de um conjunto não necessariamente é um elemento do conjunto.
Exemplo 2.1.2 O conjunto dos números naturais é limitado inferiormente por 1, mas veja que, todo número real menor do que 1 é limite inferior do conjunto N. Assim, todo elemento de ( 1; 1] é cota inferior de N.
De…nição 2.1.4 Dizemos que X R é limitado superiormente se existir b 2 R de modo que, para todo x 2 X, tem-se x b.
Neste caso, b é dito cota superior de X e, de maneira análoga à cota inferior, uma cota superior de um conjunto pode não ser elemento do conjunto.
Exemplo 2.1.3 O conjunto A = fx 2 Z; x < 0g é limitado superiormente por 0 e por todo número real positivo.
Observação 2.1.1 Podemos perceber que se um conjunto tem um elemento máximo, então esse conjunto é limitado superiormente, porém a recíproca não é verdadeira, isto é, nem todo conjunto limitado superiormente possui um elemento máximo. Do mesmo modo, se um conjunto tem elemento mínimo, então o mesmo é limitado inferiormente, mas um conjunto ser limitado inferiormente não garante a existência de um elemento mínimo. Um exemplo simples é que (0; 1) R não possui elemento máximo e nem elemento mínimo pois, qualquer que seja " > 0 real, o ponto x0 = 1 1+"2 = "2 é tal que
1 " < x0 < 1, ou seja x0 2 (0; 1).
De…nição 2.1.5 (Conjunto Limitado) Seja X R. Dizemos que X é limitado se X for limitado inferiormente e superiormente.
Exemplo 2.1.4 Considere o conjunto A = n1; n 2 N . Veja que A é limitado, pois é limitado superiormente por 1 e inferiormente por 0.
Teorema 2.1.2 Seja X R. Então X é limitado se, e somente se, existe k > 0 tal que jxj < k
para todo x 2 X.
2.2. ÍNFIMO E SUPREMO
para todo x 2 X. Tomando k = max fjaj ; jbjg temos k x k
para todo x 2 X, isto é, jxj k. Reciprocamente, se k 2 R é tal que jxj k, para todo x em X, então k x k. Logo X é limitado inferiormente por k e limitado superiormente por k. Potanto X é limitado.
2.2
Ín…mo e Supremo
Em geral todo conjunto que possui um elemento máximo é limitado superiormente. Raciocínio análogo obtemos em relação ao elemento mínimo. Entretanto, um conjunto ser limitado superiormente não garante a existência de um elemento máximo, como vimos na seção anterior. Nesta seção, de…niremos dois elementos importantíssimos na área da Análise Matemática: o ín…mo e o supremo. Ambos os elementos são semelhantes aos elementos mínimo e máximo, respectivamente e, mais re…nados do que as cotas inferior e superior.
De…nição 2.2.1 (Supremo) Seja X R limitado superiormente. Diz-se que b 2 R é supremo de X se b é a menor das cotas superiores de X. Neste caso denotamos b por sup X.
Veja que a de…nição de supremo é equivalente a: 1. Para todo x 2 X, tem-se x b;
2. Para todo " > 0, existe x 2 X tal que b " x < b.
Isto é, b é uma cota superior e além disso é a menor das cotas superiores de X. Proposição 2.2.1 Uma função f : X ! R é limitada superiormente quando o conjunto f (X) = ff (x) ; x 2 Xg é limitado superiormente. Então põe-se sup f = sup f (X). Se f; g : X ! R são funções limitadas superiormente, então a soma f + g : X ! R, cuja imagem é o conjunto (f + g) (X) = ff (x) + g (x) ; x 2 Xg, é limitada superiormente e tem-se sup (f + g) sup f + sup g.
Demonstração: De fato, se f; g são limitadas superiormente, então, existem a; b 2 R tais que, para todo x 2 X:
f (x) a (2.1)
e
2.2. ÍNFIMO E SUPREMO
Segue de (2.1) e (2.2) que:
f (x) + g (x) a + b,
qualquer que seja x 2 X, isto é, f + g é limitada superiormente. Note ainda que, para todo x em X temos f (x) sup f e g (x) sup g. Disto, temos
f (x) + g (x) sup f + sup g,
para todo x 2 X. Logo, sup f + sup g é uma cota superior de (f + g) (X) e, da de…nição de supremo, segue que
sup (f + g) sup f + sup g.
Proposição 2.2.2 O conjunto dos números naturais não é limitado superiormente. Demonstração: Suponhamos que N seja limitado superiormente. Então, existe c 2 R tal que c = sup N. Daí, temos que c 1 não é cota superior de N, isto é, existe um número natural n0 tal que
c 1 < n0.
Daí, tem-se c < n0 + 1 2 N, o que contradiz o fato de c ser supremo de N. Portanto
N não é limitado superiormente.
Teorema 2.2.1 (Unicidade do Supremo) Seja X R limitado superiormente: O supremo de X é único.
Demonstração: Sejam a; b 2 R tais que a e b são supremos de X. Assim a e b são cotas superiores de X. Se a < b temos uma contradição, pois como b é supremo de X; b é a menor das cotas superiores. De maneira análoga obtemos uma contradição ao supor b < a. Portanto a = b e disto segue que o supremo de X é único.
De…nição 2.2.2 (Ín…mo) Seja X R limitado inferiormente. Um elemento a 2 R é dito ín…mo de X se a é a maior das cotas inferiores de X. Neste caso denotamos a por inf X.
Veja que a de…nição de de ín…mo é equivalente a: 1. Para todo x 2 X, tem-se a x;
2. Para todo " > 0, existe x 2 X tal que a x < a + ".
2.2. ÍNFIMO E SUPREMO
Exemplo 2.2.1 O ín…mo do conjunto X = n1; n2 N é 0. De fato, temos que 0 é uma cota inferior de X e ainda, dado c 2 R, com c > 0, pela Proposição 2.2.1 temos que, existe n 2 N tal que n > 1c. Disto, segue que c >
1
n, isto é, c não é cota inferior de X.
Portanto, inf X = 0.
Teorema 2.2.2 (Unicidade do Ín…mo) Seja X R limitado inferiormente. O ín…mo de X é único.
Demonstração: Sejam a; b 2 R tais que a e b são ín…mos de X. Logo a e b são cotas inferiores de X. Se a < b temos uma contradição, pois como a é ín…mo de X; segue que a é a maior das cotas inferiores de X. Do mesmo modo se b < a temos uma contradição, pois sendo b ín…mo de X, temos que b é a maior das cotas inferiores. Portanto a = b e disto segue que o ín…mo de X é único.
Teorema 2.2.3 (Intervalos Encaixados)
Dada uma sequência decrescente de intervalos I1 I2 : : : In : : : de intervalos
fechados In = [an; bn], existe pelo menos um número real c tal que c 2 In, para todo
n2 N.
Demonstração: Das inclusões I1 I2 : : : In : : :, segue que
a1 a2 : : : an : : : bn : : : b2 b1.
Considere o conjunto A = fa1; a2; : : : ; an; : : :g. Note que A é limitado superiormente
por qualquer bn, com n 2 N e, dessa forma, existe c 2 R tal que c = sup A, disto tem-se
an c. Como cada bné cota superior de A, temos que c bn, para todo n em N. Portanto
c2 In, qualquer que seja n 2 N.
Pode-se perceber que, se existir, o elemento máximo de um conjunto é igual ao supremo deste e do mesmo modo, se eu conjunto possui elemento mínimo este será igual ao ín…mo. Vale destacar que nem sempre o supremo será elemento máximo, pois não necessariamente o supremo é um elemento do conjunto em questão. Analogamente o ín…mo de um conjunto não é obrigatoriamente o elemento mínimo do mesmo.
Proposição 2.2.3 Seja X R. Se existirem, inf X sup X. Demonstração: Segue da de…nição de ín…mo e supremo que
inf X x
e
x sup X
2.2. ÍNFIMO E SUPREMO
Sejam X; Y R e c 2 R. Usaremos os seguintes conjuntos para os próximos resultados.
X + Y =fx + y; x 2 X e y 2 Y g ; cX =fcx; x 2 Xg :
Proposição 2.2.4 Sejam X; Y R limitados. Então: i) sup (X + Y ) sup X + sup Y ;
ii) inf X + inf Y inf (X + Y ). Demonstração: i) Temos que
x sup X (2.3)
para todo x 2 X e
y sup Y (2.4)
para todo y 2 Y . Assim, de (2.3) e (2.4) tem-se
x + y sup X + sup Y,
para todo x 2 X e y 2 Y . Disto, temos que sup X + sup Y é uma cota superior de X + Y . Como sup(X + Y ) é a menor das cotas superiores segue que
sup(X + Y ) sup X + sup Y:
ii) Veja que para todo x 2 X e y 2 Y tem-se
inf X x, (2.5)
e
inf Y y. (2.6)
De (2.5) e (2.6) obtemos
inf X + inf Y x + y.
Logo inf X + inf Y é uma cota inferior de X + Y e, como inf(X + Y ) é a maior das cotas inferiores temos que inf X + inf Y inf (X + Y ).
Proposição 2.2.5 Seja X R limitado e c 2 R. Então: i) sup (cX) = c sup X, se c > 0;
2.3. SEQUÊNCIAS
Demonstração: i) Dado " > 0 arbitrário, temos que sup X "
c x < sup X, (2.7) para todo x 2 X. Assim, multiplicando (2.7) por c > 0 obtemos
c sup X " cx < c sup X,
para todo x 2 X. Como o supremo é unico, temos sup (cX) = c sup X. ii) Sendo sup X o supremo de X, temos que
sup X "
c x < sup X, (2.8) para todo x 2 X. Multiplicando a desigualdade (2.8) por c < 0, tem-se
c sup X < cx c sup X + "
para todo x em X. Da unicidade do ín…mo segue que c sup X = inf (cX).
Proposição 2.2.6 Sejam X; Y R. Se x y para todo x 2 X e y 2 Y , então sup X inf Y .
Demonstração: Note que todo elemento de Y é cota superior de X. Como sup X é a menor das cotas superiores de X, segue que
sup X y
para todo y 2 Y . Dessa forma sup X é uma cota inferior de Y e como inf Y é a maior das cotas inferiores, tem-se
sup X inf Y, como queríamos.
2.3
Sequências
As sequências (ou sucessões) númericas são funções que estão presentes também em diversas áreas de estudo da matemática e são importantes objetos de estudo da Análise Real. Exemplos simples de sequências são as progressões (aritmética e geométrica). Nesta seção, reunimos alguns resultados relativos à sequências de números reais, por isso, todas as sequências utilizadas nessa são sequências de números reais.
2.3. SEQUÊNCIAS
x de…nida de N em R que a cada número natural n, associa um número real x (n), denotado por xn e chamado de n-ésimo termo da sequência.
Observação 2.3.1 A sequência x : N ! R será denotada por (xn), (xn)n2N ou
(x1; x2; : : : ; xn; : : :).
Exemplo 2.3.1 São exemplos de sequências: (xn) = (1; 2; : : : ; n; : : :), (xn) =
1;12; : : : 1n; : : : ; (xn) = 1; 1;2!1; : : : ;n!1; : : :
De…nição 2.3.2 Dizemos que uma sequência (xn) é limitada inferiormente se existir
k2 R de modo que, para todo n 2 N, tenha-se k xn.
Exemplo 2.3.2 A sequência (xn) = (1; 2; : : : ; n; : : :) é limitada inferiormente por todo
elemento de ( 1; 1].
De…nição 2.3.3 A sequência (xn) é dita limitada superiormente se existir k 2 R de
modo que, para todo n 2 N, tenha-se
xn k.
Exemplo 2.3.3 A sequência (xn) = ( 1; 3; : : : ; 2n + 1; : : :) é limitada superiormente
por todo elemento de [ 1; +1).
De…nição 2.3.4 (Sequência Limitada) A sequência (xn) é dita limitada se for
limitada inferiormente e superiormente.
Exemplo 2.3.4 Se 0 a 1, então a sequência (xn) = (a; a2; : : : ; an; : : :) é limitada.
De fato, se multiplicarmos por an 1 cada membro da desigualdade 0 a 1, obtemos
0 an an 1. Disto temos que 0 an a 1 para todo n 2 N e, portanto, (xn) é
limitada inferiormente por 0 e superiormente por 1.
Observação 2.3.2 Dizer que uma sequência é limitada equivale a dizer que existe k 2 R tal que jxnj k, para todo n 2 N.
De…nição 2.3.5 (Subsequência) Dada uma sequência (xn), uma subsequência de (xn)
é a restrição da função x : N ! R à um subconjunto ilimitado N0 N, onde N0 = fn
1; n2; : : : ; nk; : : :g, com n1 < n2 < : : : < nk < : : :. Escreve-se (xn)n2N0,
(xn1; xn2; : : : ; xnk; : : :) ou (xnk)k2N para indicar uma subsequência de (xn).
Exemplo 2.3.5 Considere a sequência (xn) = (1; 2; : : : ; n; : : :). Seja N0 o conjunto
dos números naturais pares, isto é, N0 = f2k; k 2 Ng. A sequência (x
2.3. SEQUÊNCIAS
De…nição 2.3.6 (Limite de Sequência) Dada uma sequência (xn) e um número real
a, dizemos que a é limite de (xn) se, para qualquer número real " > 0, existir n0 2 N tal
que
jxn aj < ".
para todo n > n0.
Se a é limite da sequência (xn), escrevemos lim xn= a, lim
n!+1xn= a ou xn ! a.
De…nição 2.3.7 (Sequência Convergente) Dizemos que uma sequência (xn) é
convergente, se existe a 2 R tal que lim xn = a. Neste caso, dizemos que (xn) converge
para a.
Observação 2.3.3 Quando uma sequência (xn) não converge, isto é, lim xn não existe,
dizemos então que (xn) diverge ou ainda, (xn) é divergente.
Exemplo 2.3.6 Sejam 2 R e (xn) = n1 +j j uma sequência. Temos que lim xn =
j j. De fato, seja " > 0 dado. Como N é ilimitado superiormente, existe n0 2 N tal que
1 " < n0. (2.9) Assim, n > n0, implica em n1 < n1 0, e, por (2.9) temos 1 n < ". Note que 1 n = 1 n +j j j j = 1 n +j j j j = jxn j jj . Daí, para n > n0, tem-se que:
jxn j jj < ",
isto é, lim xn =j j.
Proposição 2.3.1 Seja (xn) uma sequência e k 2 R. Se lim xn= a, então lim kxn = ka.
Demonstração: Sendo lim xn = a, então para todo " > 0 existe n0 2 N tal que
jxn aj <
"
jkj (2.10)
para todo n > n0.
Multiplicando (2.10) por jkj vem que
jkxn kaj = jkj jxn aj
<jkj " jkj = "
2.3. SEQUÊNCIAS
para todo n > n0. Portanto lim kxn= ka:
Teorema 2.3.1 (Unicidade do Limite) Toda sequência convergente possui um único limite.
Demonstração: Sejam (xn)um sequência, a = lim xn e b 2 R tal que b 6= a. Suponha
que b > a e tome " = b a2 . Existe n0 2 N tal que
jxn aj < "
para todo n > n0, isto é, xn 2 (a "; a + "), para todo n > n0.
Veja que, a + " = a +b a 2 = a + b 2 = b b a 2 = b ". Assim, (a "; a + ")\ (b "; b + ") = ?. Logo xn 2 (b= "; b + ")
para todo n > n0 e, portanto, b não é limite da sequência xn.
Teorema 2.3.2 Toda sequência convergente é limitada:
Demonstração: Sejam (xn) uma sequência convegente e a = lim xn. Tomando
" = k > 0temos que existe n0 2 N tal que
xn 2 (a k; a + k) :
para todo n > n0.
Seja c = max fjx1j ; jx2j ; : : : ; jxnj ; ja kj ; ja + kjg. Logo, para todo n > n0, tem-se
xn 2 [ c; c] ,
isto é,
jxnj c.
2.3. SEQUÊNCIAS
Teorema 2.3.3 Se (xn) é uma sequência tal que lim xn= a, então toda subsequência de
(xn) converge para a.
Demonstração: Como lim xn = a, para todo " > 0 existe n0 2 N tal que,
xn 2 I" = (a "; a + "), para n > n0. Se (xnk)n2N é uma subsequência de (xn) então,
para nk > n0, os termos xnk pertencem a I", isto é, lim xnk = a.
De…nição 2.3.8 Seja (xn) uma sequência. Dizemos que (xn) é monótona não-crescente,
se para todo n 2 N, tem-se xn+1 xn.
De…nição 2.3.9 Seja (xn) uma sequência. (xn) é dita monótona não-decrescente, se
xn xn+1, para todo n 2 N.
Quando para todo n 2 N acontecer xn+1 < xn ou xn< xn+1 diremos que a sequência
(xn) é descrescente ou crescente, respectivamente.
Proposição 2.3.2 Seja (xn) uma sequência monótona. Se (xn) possui uma subsequência
(xn)n2N0 limitada, então (xn) é limitada.
Demonstração: Sejam (xn) uma sequência monótona, digamos não-crescente, e
(xn)n2N0 uma subsequência limitada de (xn). Como (xn) é monótona não-crescente,
temos que (xn) é limitada superiormente por x1. Assim, basta provar que (xn)é limitada
inferiormente. Sendo (xn)n2N0 limitada, existe c 2 R tal que
c xn; (2.11)
para todo n em N0.
Seja n 2 N. Como N0 é in…nito, existe n0 2 N0, com n0 > n. Assim, de (x n) ser
não-crescente, temos que
xn0 xn: (2.12)
Assim, de (2.11) e (2.12), segue que
c < xn:
Como n foi arbitrário, temos que (xn) é limitada inferiormente por c e,
consequentemente, (xn)é limitada.
Teorema 2.3.4 Toda sequência monótona e limitada é convergente.
Demonstração: Seja (xn) uma sequência não-crescente e limitada. Considere o
conjunto X = fx1; x2; : : : ; xn; : : :g. Como (xn)é limitada, temos que X é limitado, assim,
2.3. SEQUÊNCIAS
Dado " > 0 qualquer, o número a + " não é cota inferior de X, isto é, existe n0 2 N,
tal que
xn0 < a + ": (2.13)
Como (xn) é não crescente, para todo n > n0 temos que
xn xn0: (2.14)
Assim, de (2.13) e (2.14), segue que
xn< a + ": (2.15)
Sendo a = inf X, temos que, para todo n 2 N
a < xn: (2.16)
Como a " < a, segue de (2.15) e (2.16) que a " < xn< a + "
para todo n > n0, isto é, lim xn= a e, portanto, (xn)é convergente.
Corolário 2.3.1 (Bolzano-Weierstrass) Toda sequência de números reais limitada possui uma subsequência convergente.
Demonstração: Ver [6].
Teorema 2.3.5 (Teorema do Confronto) Sejam (xn), (yn), (zn) sequências de
números reais. Se lim xn= lim yn= a e xn zn yn, para todo n 2 N, então lim zn = a.
Demonstração: Dado " > 0 arbitrário, existem n1; n2 2 N tais que
a " < xn < a + ",
para todo n > n1 e
a " < yn < a + ".
para todo n > n2. Tomando n0 = maxfn1; n2g, para todo n > n0 tem-se
a " < xn yn< a + ":
2.3. SEQUÊNCIAS
para todo n > n0, isto é, lim zn = a.
Teorema 2.3.6 Se lim xn = 0 e (yn) é uma sequência limitada (não necessariamente
convergente), então lim (xn yn) = 0.
Demonstração: Sendo (yn)limitada, existe c 2 R tal que jynj c. Como (xn)converge
para 0, então dado " > 0 qualquer, existe n0 2 N, tal que
jxnj <
" c
para todo n > n0. Assim,
jxn ynj = jxnj jynj <
"
c c = "
para todo n > n0:Portanto lim(xn yn) = 0.
Teorema 2.3.7 Sejam (xn) e (yn) sequências de números reais. Se lim xn = a e
lim yn = b, então:
1. lim(xn yn) = lim xn lim yn;
2. lim(xn yn) = lim xn lim yn;
3. lim(xn
yn) =
a
b se b 6= 0.
Demonstração: Ver [6].
De…nição 2.3.10 Uma sequência (xn) diverge para +1, quando dado A > 0 arbitrário,
pode-se obter n0 2 N, tal que, para todo n > n0
xn > A.
Escrevemos lim xn= +1.
De…nição 2.3.11 Uma sequência (xn) diverge para 1, quando dado A > 0 arbitrário,
pode-se obter n0 2 N, tal que, para todo n > n0
xn < A.
Escrevemos lim xn= 1.
Teorema 2.3.8 Sejam (xn) ; (yn) sequências de números reais.
2.3. SEQUÊNCIAS
2. Se lim xn = +1 e existe c > 0 tal que yn > c para todo n 2 N, então
lim(xn yn) = +1;
3. Se xn> c > 0, yn> 0 para todo n2 N e lim yn= 0 então limxyn
n = +1;
4. Se (xn) é limitada e lim yn = +1 então limxynn = 0.
Demonstração: Ver [6].
De…nição 2.3.12 (Sequência de Cauchy) Seja (xn) uma sequência. Diz-se que (xn)
é uma sequência de Cauchy quando, para qualquer " > 0, existir n0 2 N, tal que
jxm xnj < "
para todo m; n > n0.
Lema 2.3.1 Toda sequência de Cauchy é limitada.
Demonstração: Seja (xn)uma sequência de Cauchy. Tomando " = 1, temos que existe
n0 2 N tal que
jxm xnj < 1,
para todo m; n > n0. Em particular, se n > n0
xn0+1 1 < xn < xn0+1+ 1,
isto é, n > n0 implica em xn2 (xn0+1 1; xn0+1+ 1).
Note que fx1; x2; : : : ; xn0g é …nito e, consequentemente, limitado. Sejam a; b 2 R, tais
que
a xn b,
para todo n 2 f1; : : : ; n0g.
Tomando = minfa; xn0 1g e = maxfb; xn0 + 1g segue que
xn ,
para todo n 2 N. Portanto (xn)é limitada.
Teorema 2.3.9 Seja (xn) uma sequência. Se (xn) é de Cauchy e possui uma subsequência
(xnk)k2N que converge para a, então lim xn = a.
Demonstração: Se (xn) é de Cauchy, então dado " > 0, existe p1 2 N tal que
2.4. SEQUÊNCIAS DE FUNÇÕES
para todo m; n > p1. Como (xnk) converge para a, dado "1 =
"
2 > 0 existe p2 2 N tal que
jxnk aj <
" 2.
para nk > p2. Assim, tomando n0 = maxfp1; p2g, para n > n0, temos
jxn aj = jxn xnk + xnk aj jxn xnkj + jxnk aj < " 2 + " 2 = ". Portanto, lim xn= a.
Teorema 2.3.10 Uma sequência (xn) é convergente se, e somente se, é de Cauchy.
Demonstração: Seja (xn) uma sequência de números reais tal que lim xn = a. Assim,
dado " > 0 arbitrário, existe n0 2 N tal que
jxm aj < " 2 para todo m > n0 e jxn aj < " 2 para todo n > n0. Note que
jxm xnj = j(xm a) + ( xn+ a)j jxm aj + j xn+ aj = jxm aj + jxn aj
logo, temos que
jxm xnj <
" 2+
" 2 = ", para todo m; n > n0, isto é, (xn)é de Cauchy.
Reciprocamente, se (xn) é uma sequência de Cauchy, pelo Teorema 2.3.9 temos
que (xn) é limitada. Do Teorema de Bolzano-Weierstrass segue que (xn) possui uma
subsequência (xnk)k2N convergente. Assim, pelo Lema 2.3.1 temos que (xn)é convergente.
2.4
Sequências de Funções
Nem todas as sequências são formadas apenas por números reais. Por se tratarem de funções, podemos construir sequências que façam corresponder a cada número natural uma função. Nesta seção, faremos uma breve abordagem sobre um tipo particular de
2.4. SEQUÊNCIAS DE FUNÇÕES
sequência, as sequências de funções. No que se segue, (fn)n2N é uma sequência de termos
em F (X; R) :
De…nição 2.4.1 (Sequência de Funções) Seja F (X; R) uma família de funções de…nidas de X R em R.Uma sequência de funções, é uma aplicação f : N ! F (X; R), que associa a cada natural n, uma função f (n) = fn: X ! R.
Observação 2.4.1 Dada uma sequência (fn)n2N: de funções, podemos obter, …xando
x0 2 X, uma sequência numérica (fn(x0))n2N não necessaramente convergente.
De…nição 2.4.2 (Convergência Pontual) Diz-se que uma sequência fn: X R ! R
de funções converge pontualmente quando dado " > 0 arbitrário, existir n0 2 N tal que
jfn(x) f (x)j < ",
para todo n > n0 e para cada x 2 X.
Exemplo 2.4.1 Considere a sequência (fn)n2N com fn: [0; 1]! R dada por fn(x) = xn.
Veja que se x = 1 temos que fn(x) = 1, qualquer que seja n 2 N. Note também que
para 0 x < 1 temos a sequência de números reais (x; x2; : : : xn; : : :) que converge para 0.
Assim, fn(x) ! 0 se x 2 [0; 1), portanto, (fn)n2N converge pontualmente para a função
f : [0; 1]! R dada por
f (x) = (
0; se x 6= 0 1; se x = 1 :
De…nição 2.4.3 (Convergência Uniforme) Seja (fn)n2N uma sequência de funções.
Dizemos que (fn)n2N converge uniformemente para a função f : X ! R em X, se para
todo " > 0, existir m0 2 N tal que
jfn(x) f (x)j < "
para todo n > m0, seja qual for x 2 X.
Exemplo 2.4.2 A sequência fn : R ! R dada por fn(x) = xn converge pontualmente,
mas não converge uniformente. De fato, para qualquer " > 0, se tomarmos n0 2 N de
modo que n0 > jxj" , temos que n > n0 implica que n > jxj" e disto, temos que
x
n 0 = jxj
n < "
para todo n > n0, isto é, (fn)n2N converge pontualmente para a função f : R ! R dada
por f (x) = 0.
2.4. SEQUÊNCIAS DE FUNÇÕES
em particular mx
0+1 < 1 ou, equivalentemente, jxj < m0+ 1, para todo x em R, o que é
um absurdo. Portanto (fn)n2N não converge uniformemente.
De…nição 2.4.4 (Sequência de funções de Cauchy) Uma sequência de funções (fn)n2N é dita de Cauchy, se para todo " > 0, existir n0 2 N tal que
jfn(x) fm(x)j < "
para todo m; n > n0 e para todo x 2 X.
Teorema 2.4.1 (Critério de convergência uniforme de Cauchy) Seja (fn)n2N
uma sequência de funções onde fn está de…nida de X R em R, para todo n 2 N.
A sequência (fn)n2N converge uniformemente em X se, e somente se, for de Cauchy.
Demonstração: Se (fn)n2N converge uniformemente, então, para todo " > 0, existe
m0 2 N tal que, para n > m0
jfn(x) f (x)j <
" 2, para todo x 2 X. Daí, se n; m > m0 temos que
jfn(x) fm(x)j = jfn(x) f (x) + f (x) fm(x)j jfn(x) f (x)j + jf (x) fm(x)j =jfn(x) f (x)j + jfm(x) f (x)j < " 2 + " 2 = ": Logo (fn)n2N é de Cauchy.
Reciprocamente, se (fn)n2Né de Cauchy, então, para cada x 2 X, a sequência numérica
(fn(x))n2N também é de Cauchy e portanto converge. Seja f : X ! R tal que, para cada
x2 X, tenha-se f (x) = lim (fn(x)). Como o limite se funções é único, segue que f está
bem de…nida. Assim, temos então que (fn)n2N converge pontualmente para f .
Como (fn(x))n2N é de Cauchy, temos que para todo " > 0 existe n0 2 N, tal que
jfn(x) fm(x)j < "; (2.17)
para todo m; n > n0 e para todo x 2 X
Assim, …xando x em X e n em N, e fazendo m ! +1 em (2.17) temos que fm(x)
converge para f (x) e disto segue que
2.4. SEQUÊNCIAS DE FUNÇÕES
para todo n > n0 e para todo x 2 X. Portanto (fn)n2N converge uniformemente para f .
Observação 2.4.2 A convergência pontual se difere da convergência uniforme pelo fato de que, na convergência pontual pode-se obter um n0 2 N para cada x 2 X tal que
jfn(x) f (x)j < ",
para todo n > n0: Na convergência uniforme, o n0 obtido satisfaz a desiguldade anterior
Capítulo 3
Espaços Vetoriais Normados
Neste capítulo, faremos um breve estudo acerca de espaços vetoriais, principal objeto de estudo da Álgebra Linear. Veremos também o que são espaços vetoriais normados e de…niremos Espaços de Banach. Os resultados deste capítulo foram retirados de [3] e [5].
3.1
Espaços Vetoriais
De…nição 3.1.1 Seja K um corpo e E um conjunto não-vazio munido das operações de soma e produto que são de…nidas, respectivamente, por:
+ : E E ! E (u; v) 7 ! u + v e
: K E ! E (a; v) 7 ! a v :
Diz-se que E é um Espaço Vetorial sobre K se, para quaisquer u; v; w 2 E e ; 2 K, são satisfeitas as seguintes propriedades:
(A1) u+(v + w) = (u + v) + w; (A2) u + v = v + u;
(A3) Existe 0E 2 E, tal que, u + 0E = u;
(A4) Existe u2 E, tal que u + ( u) = 0E;
(M1) ( ) u = ( u); (M2) 1K u = u;
(D1) (u + v) = u + v; (D2) ( + ) u = u + u.
Observação 3.1.1 Se K = R, dizemos que E é um espaço vetorial real. De maneira análoga, dizemos que E é um espaço vetorial complexo se K = C.
3.1. ESPAÇOS VETORIAIS
Exemplo 3.1.1 O conjunto F (X; R) das funções de…nidas de X em R munido das operaçõs de soma (+) e produto ( ) de…nidas, respectivamente, por
(f + g)(x) = f (x) + g(x) , ( f )(x) = f (x),
para todo x 2 X, é um espaço vetorial. Com efeito, sejam f; g; h 2 F (X; R) e a; b 2 R: Temos que
(A1) Associatividade da soma:
(f + (g + h))(x) = f (x) + (g + h)(x) = f (x) + [g(x) + h(x)] = [f (x) + g(x)] + h(x) = (f + g)(x) + h(x) = ((f + g) + h)(x):
(A2) Comutatividade da soma:
(f + g)(x) = f (x) + g(x) = g(x) + f (x) = (g + f )(x):
(A3) Elementro neutro da soma: Seja z 2 F (X; R), tal que z(x) = 0, para todo x 2 X. Assim
(f + z)(x) = f (x) + z(x) = f (x) + 0 = f (x):
(A4) Inverso aditivo: Seja w 2 F (X; R), tal que w(x) = f(x), para todo x 2 X: Logo, (f + w)(x) = f (x) + w(x)
= f (x) + ( f (x)) = f (x) f (x) = 0
3.1. ESPAÇOS VETORIAIS (M1) Associatividade do produto: ((a b) f ) (x) = (a b) f (x) = a (b f (x)) = a (b f )(x) = (a (b f )) (x):
(M2) Elemento neutro do produto: Veja que 1 2 R é o elemento neutro de F (X; R), pois (1 f ) (x) = 1 f (x) = f (x) : (D1) Distributividade à esquerda: (a (f + g)) (x) = a (f + g)(x) = a (f (x) + g(x)) = a f (x) + a g(x) = (a f ) (x) + (a g) (x) = (a f + a g) (x): (D2) Distributividade à direita: ((a + b) f )(x) = (a + b) f (x) = a f (x) + b f (x) = (a f ) (x) + (b f ) (x) = (a f + b f ) (x):
Exemplo 3.1.2 O conjunto Rn das n-uplas x = (x
1; x2; : : : ; xn), com x1; : : : xn2 R, cuja
igualdade, soma e produto por escalar são dadas por xi = yi, i = 1; 2; : : : ; n
x + y = (x1+ y1; : : : ; xn+ yn)
(x1; : : : ; xn) = ( x1; : : : ; xn)
é um exemplo de espaço vetorial, sendo 0 = (0; : : : ; 0) o elemento neutro da adição e 1 2 R o elemento neutro do produto. As propriedades são facilmente veri…cadas, deixamos a cargo do leitor.
3.1. ESPAÇOS VETORIAIS
Proposição 3.1.1 Seja E um espaço vetorial. O elemento neutro aditivo de E é único. Demonstração: Seja v 2 E. Suponha que existe n 2 E, tal que v + n = v. Assim, temos que
0E = 0E + n = n + 0E = n;
isto é, 0 = n.
Portanto o elemento neutro aditivo é único.
Proposição 3.1.2 Sejam E um espaço vetorial e K um corpo. Quaisquer que sejam 2 K e v 2 E, são válidas:
(i) ( v) = v; (ii) 0 = 0E
(iii) Se v = 0E, então = 0 ou v = 0E
Demonstração: (i) Veja que:
( v) = ( 1v) = ( ( 1)) v = v. (ii) Temos que, 0E = 0E + 0E, daí:
0E = (0E+ 0E) = 0E + 0E;
isto é, 0E = 0E+ 0E. Adicionando 0E à ambos os lados da igualdade obtemos:
0E = 0E.
(iii) Se = 0 o resultado é trivial. Caso contrário, existe 1
2 K, tal que 1 = 1. De v = 0E, temos que 1( v) = 10 E = 0E; isto é, 0E = 1( v) = 1 v = 1v = v.
De…nição 3.1.2 (Subespaço Vetorial) Seja E um espaço vetorial e F um subconjunto não vazio de E. Dizemos que F é um subespaço vetorial de E se: