Transferência de estado quântico em cadeias de spin

(1)

DEPARTAMENTO DE FÍSICA TE ÓRICA E EXPERIMENTAL BACHARELADO EM FÍSICA

Samihr Valentim Hermes

TRANSFERˆ

ENCIA DE ESTADO QU ˆ

ANTICO

EM CADEIAS DE SPIN

Natal-RN

Outubro de 2017

(2)

Transferˆ

encia de Estado Quˆ

antico

em Cadeias de Spin

Monografia de Gradua¸cão apresentada ao Departamento de F´ısica Teórica e Experimental do Centro de Ciências Exatas e da Terra da Universidade Federal do Rio Grande do Norte como requisito parcial para a obten¸cão do grau de bacharel em F´ısica.

Orientador:

Professor Tommaso Macr`ı

Universidade Federal Do Rio Grande Do Norte — UFRN Departamento De F´ısica Te´orica E Experimental — DFTE

Natal-RN Outubro de 2017

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Hermes, Samihr Valentim.

Transferência de estado quântico em cadeias de spin / Samihr Valentim Hermes. - Natal, 2017.

61f.: il.

Monografia (graduação) - Universidade Federal do Rio Grande do Norte. Centro de Ciências Exatas e da Terra. Departamento de Física Teórica e Experimental.

Orientador: Tommaso Macrì.

1. Física quântica. 2. Transferência de estado quântico. 3. Cadeias de spin. 4. Hamiltoniano de troca de Heisenberg. 5. Informação quântica. 6. Interações de longo alcance. 7. Tecnologia quântica. I. Macrì, Tommaso. II. Título.

RN/UF/CCET CDU 530.145

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Te´orica e Experimental do Centro de Ciˆencias Exatas e da Terra da Universidade Federal do Rio Grande do Norte, sendo aprovada por todos os membros da banca examinadora abaixo especificada:

Prof. Dr. Tommaso Macr`ı

Universidade Federal do Rio Grande do Norte Departamento de F´ısica Te´orica e Experimental

Prof. Dr. Claudionor Gomes Bezerra Universidade Federal do Rio Grande do Norte Departamento de F´ısica Te´orica e Experimental

Prof. Dr. Felipe Bohn

Universidade Federal do Rio Grande do Norte Departamento de F´ısica Te´orica e Experimental

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Agradecimentos

Amor e agradecimento a minha fam´ılia, tanto a que está perto quanto a que está longe, pelo incentivo, carinho e paciência.

Aos professores e colegas do Departamento de F´ısica e, em especial, aos do PET F´ısica, com os quais tive valiosas discuss˜oes que contribu´ıram na minha forma¸c˜ao.

Ao meu orientador Prof. Tommaso Macr`ı, pela confian¸ca no meu trabalho e na apre-senta¸c˜ao dos t´opicos estudados.

Ao Dr. Tony John George Apollaro e Dr. Simone Paganelli, pelas discussões, su-gestões de estudo e referências bibliográficas.

A Onipresen¸ca.

“There are no more deserts. There are no more islands. Yet there is a need for them. In order to understand the world, one has to turn away from it on occasion; in order to serve men better, one has to hold them at a distance for a time. But where can one find the solitude necessary to vigor, the deep breath in which the mind collects itself and courage gauges its strength?”

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Resumo

Comunica¸cão quântica consiste em transferirmos estados quânticos de um lugar para outro. Uma das suas aplica¸cões mais famosas é a distribui¸cão de chave quântica, na qual uma chave secreta aleatória com seguran¸ca garantida pelo teorema da Não-Clonagem pode ser estabelecida entre duas entidades distantes. Outra utilidade que vem se tor-nando mais relevante a área de processamento da informa¸cão quântica, conhecida como computa¸cão quântica, em que a conexão entre dois processadores é necessária fazer com-putadores quânticos.

Para empreender esses dispositivos, precisa-se, além conceber a transferência de es-tados quânticos, mapear como a mesma acontece entre processadores quânticos distintos que enviam e recebem a informa¸cão. Neste trabalho estudaremos a transferência de es-tados quânticos em cadeias de spins permanentemente acopladas, bem como a fidelidade da informa¸cão transferida através da dinâmica natural do sistema.

Palavras-chave: Transferência de Estado Quântico. Cadeias de Spins. Hamiltoniano de Troca de Heisenberg. Informa¸cão Quântica. Intera¸cões de Longo Alcance. Simula¸cão Quântica. Tecnologia Quântica.

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Abstract

Quantum communication consists in transferring quantum states from one place to another. One of its most well known applications is quantum key distribution, in which a random secret key with security guaranteed by the No-Cloning theorem can be esta-blished by distant parties. Another utility that has been increasing in relevance is the area of quantum information processing, namely quantum computation, where the connection between two processors is necessary to make quantum computers.

To realize these devices, it is needed not only to conceive the quantum state transfer, but also to map how this happens between two distinct quantum processors that send and receive information. In this monograph we will study quantum state transfer in perma-nently coupled spin chains as well as the fidelity of the transferred information through the natural dynamics of the system.

Keywords: Quantum State Transfer. Spin Chains. Heisenberg’s Exchange Hamiltonian. Quantum Information. Long Range Interactions. Quantum Simulation. Quantum Tech-nology.

(8)

Lista de Figuras

1.1 O diagrama indica o circuito do protocolo de teletransporte quˆantico. . . . 7 2.1 O esquema ilustra a intera¸c˜ao entre primeiros vizinhos, as setas indicam os

acoplamentos entre os spins na cadeia de transmiss˜ao de estados. . . 14 2.2 A figura ilustra como o transporte do estado quˆantico ocorre no canal, em

que o estado fundamental da cadeia de spins entra em superposi¸c˜ao com o estado que evolui temporalmente. Assim, a informa¸c˜ao do spin virado ´

e transmitida ao longo da cadeia como uma s´erie de pacotes de onda que interferem construtivamente, promovendo um m´aximo na fidelidade em um tempo t?_. _{. . . .} ₁₅

2.3 O histograma mostra a fidelidade máxima do protocolo de comunica¸cão para canais de transmissão de tamanhos diferentes. A quantidade de spins na cadeia {N ∈ N|2 ≤ N ≤ 80} e o intervalo de tempo escolhido foi de [0, 4000/J ]. O tempo t∗ em que a fidelidade máxima é alcan¸cada varia com o tamanho da cadeia. . . 16 3.1 Ilustra¸cão das intera¸cões entre o segundo spin e o restante da cadeia. . . . 18 3.2 Autovalores referentes a cadeia com N = 10 com intera¸cão dipolar. . . 19 3.3 As componentes mij ≡ h ˜m|ji foram calculadas numericamente, com i

deno-tando o ´ındice que assumido pelos bra h ˜m|, isto ´e,˜1e _˜

2, que representam os autoestados associados as duas autoenergias mais baixas. . . 19 3.4 Ilustra¸c˜ao da cadeia double hole com N = 5, as setas indicam as intera¸c˜oes

entre os spins. . . 20 3.5 Autovalores referentes a cadeia com N = 10. . . 21 3.6 As componentes mij ≡ h ˜m|ji foram calculadas numericamente, com i

2, que representam os autoestados associados as duas autoenergias mais baixas. . . 21

(9)

3.7 A configura¸cão energética das cadeias double hole e completa para o caso com 50 spins. Pode-se observar que as excita¸cões nas pontas possuem menor energia e também que a cadeia double hole possui maior separa¸cão energética entre as pontas e os spins do canal. . . 22 3.8 A figura ilustra a fidelidade como uma fun¸cão do tempo para uma cadeia

com 50 spins. A linha vermelha corresponde a cadeia completa, enquanto a linha azul representa a cadeia double hole. . . 23 3.9 A fidelidade máxima em fun¸cão do número de spins no canal. Os c´ırculos

vermelhos indicam a cadeia completa, enquanto os losangos azuis represen-tam os valores da cadeia double hole. . . 24 3.10 A fidelidade máxima em fun¸cão do número de spins no canal. Os c´ırculos

vermelhos indicam a cadeia completa, enquanto os losangos azuis represen-tam os valores da cadeia double hole. . . 25 3.11 Raz˜ao entre o tempo ideal tid e o tempo aproximado t∆ para at´e a cadeia

de 300 spins com intera¸c˜ao dipolar. . . 25 3.12 Autovalores referentes as cadeias completa e double hole com N = 10 com

intera¸c˜ao dipolar. . . 26 3.13 As componentes mij ≡ h ˜m|ji foram calculadas numericamente, com i

2, que representam os autoestados de energia mais baixa. . . 27 3.14 A configura¸c˜ao energ´etica das cadeias double hole e completa para o caso

com 50 spins. . . 28 3.15 A figura ilustra a fidelidade como uma fun¸c˜ao do tempo para uma cadeia

com 50 spins, ou seja, com distância N − 1 entre o par sender -receiver. A linha vermelha corresponde a cadeia completa, enquanto a linha azul representa a cadeia double hole. . . 28 3.16 A fidelidade máxima em fun¸cão do número de spins no canal. Os c´ırculos

vermelhos indicam a cadeia completa, enquanto os losangos azuis represen-tam os valores da cadeia double hole. . . 29 3.17 Raz˜ao entre o tempo ideal e o tempo aproximado para at´e a cadeia de 100

spins com intera¸c˜ao de van der Walls. . . 30 3.18 Autovalores referentes as cadeias completa, double hole e six holes com

(10)

3.19 As componentes mij ≡ h ˜m|ji foram calculadas numericamente, com i

2, que representam os autoestados associados as duas autoenergias mais baixas. Na coluna a esquerda temos os dois primeiros autovalores da cadeia completa, abaixo está a cadeia double hole e, por último, uma nova cadeia com seis fendas. . 32 3.20 A configura¸cão energética das cadeias double hole e completa para o caso

com 50 spins. . . 33 3.21 A figura ilustra a fidelidade como uma fun¸c˜ao do tempo para uma cadeia

com 50 spins. A linha vermelha corresponde a cadeia completa, enquanto a linha azul representa a cadeia double hole e a linha alaranjada a cadeia six holes. . . 34 3.22 Observa-se que a cadeia six holes possui fidelidade unit´aria para um canais

com até 100 spins, superando tanto o perfil do canal double hole quanto o caso da cadeia completa. . . 35 3.23 Razão entre o tempo ideal tid e o tempo aproximado t∆ para até a cadeia

(11)

Conte´

udo

Agradecimentos i Resumo ii Abstract iii Lista de Figuras iv 1 Introdu¸c˜ao 1 1.1 Motiva¸c˜oes . . . 1

1.2 Cadeias de Spins como Canais de Comunica¸c˜ao . . . 2

1.3 Intera¸c˜oes de Troca de Spins e Hamiltoniano de Heisenberg . . . 3

1.4 Teletransporte Quˆantico . . . 4

2 Transferência de Estado Quântico 8 2.1 Introdu¸cão . . . 8

2.2 A fidelidade do Protocolo . . . 10

2.3 Intera¸c˜ao de Primeiros Vizinhos . . . 14

3 Modelos de Longo Alcance 17 3.1 Introdu¸c˜ao . . . 17

3.2 Intera¸c˜ao de Longo Alcance Dipolar . . . 18

3.3 Otimiza¸c˜ao: Cadeia Double Hole . . . 20

3.4 Intera¸c˜ao de Longo Alcance de van der Waals . . . 26

3.5 Intera¸c˜ao de Longo Alcance Coulombiano . . . 31

4 Conclus˜ao 37

A Elementos de Computa¸c˜ao Quˆantica 40

(12)

C Avalia¸c˜ao Num´erica da fidelidade 46

(13)

Cap´ıtulo 1

Introdu¸

c˜

ao

1.1 Motiva¸

c˜

oes

Acredita-se que computadores são dispositivos capazes de resolver qualquer problema numérico com custo de tempo polinomial, ou seja, T ∼ nk. Na computa¸cão clássica, existem tipos de problemas em que o custo do tempo cresce de maneira exponencial e computadores quânticos, quando constru´ıdos, prometem superar essas adversidades, pois conseguem encontrar uma sa´ıda em tempo polinomial. Um exemplo de problema com-plexo em computa¸cão clássica é o da fatoriza¸cão, utilizado pela chave de encripta¸cão RSA, em que dado um número inteiro N , o tempo necessário para encontrá-lo em termos de uma multiplica¸cão de primos cresce com e{O[n1/3(logn)2/3]}, no qual n = logN e n é o tamanho do número em sua representa¸cão binária. Em 1994, P. Shor [1] desenvolveu um algoritmo que consegue resolver esse problema em tempo polinomial, mas sua proposta utiliza proprie-dades da mecânica quântica inexistentes em um computador clássico. Outro exemplo é o algoritmo proposto por L. Grover [2], que consegue realizar buscas em uma base de dados com um número de passos da ordem de O√N, que é um aperfei¸coamento significativo comparado com seu análogo clássico, que encontra uma solu¸cão em um número de passos não menor que O(N ). Portanto, o algoritmo quântico é assintoticamente otimizado.

Comunica¸cão quântica consiste na transferência de estados quânticos para diferentes localiza¸cões espaciais e a aplica¸cão mais famosa deste processo é a distribui¸cão de chave quântica. Neste protocolo de encripta¸cão, duas entidades, o remetente e o destinatário, podem estabelecer uma chave secreta aleatória e ter a seguran¸ca da informa¸cão garantida pelo teorema da Não-Clonagem, que foi provado por W. Wootters e W. Zurek [3], e indepententemente, por D. Dieks [4], em 1982. Para este fim, fótons são bem adequados, visto que podem ser transportados por longas distâncias em cabos de fibra ótica ou até no vácuo, e também são facilmente medidos pelo destinatário com equipamentos adequados. No entanto, cada vez mais a importância fundamental da comunica¸cão quântica vem

(14)

se tornando evidente em outra área do processamento da informa¸cão, conhecida como computa¸cão quântica. Na constru¸cão de um computador quântico eficaz, a conexão entre diferentes processadores é essencial para propósitos mais exigentes, de forma que, para essas aplica¸cões, é necessário transferirmos estados quânticos entre diferentes dispositivos. Portanto, é preciso uma maneira simples de realizarmos a troca de informa¸cão entre os elementos distintos que compõem um computador quântico e também entre as entidades que carregam os dados. Para aplica¸cões de curta distância, onde o mapeamento do estado quântico transferido para os elementos do processador também são importantes, é útil ter alternativas além de fótons.

Um computador quântico t´ıpico consiste em uma cole¸cão de sistemas de dois estados chamados qubits, com os quais podemos realizar opera¸cões unitárias. A capacidade de processamento cresce conforme o aumento da quantidade de qubits. Entretanto, diversos obstáculos são encontrados conforme se amplia a quantidade desses sistemas. Tipicamente é necessário que se aplique opera¸cões em qubits, que podem ser realizadas, por exemplo, por campos localizados. Além disso, pode ser exigido que dois qubits interajam, o que pode ser mediado por um canal de comunica¸cão comum. Dois problemas podem ser ressaltados por esse exemplo:

• Criar campos localizados em um qubit espec´ıfico dentro do material se torna dif´ıcil; • Canais de comunica¸cão que mediem a intera¸cão de dois qubits não podem ser

arbi-trariamente longos.

Uma poss´ıvel alternativa é que os qubits estejam permanentemente acoplados com seus vizinhos e, além disso, para que o computador quântico tenha um funcionamento eficiente, devemos restringir a escala de tempo em que a transferência da informa¸cão deve ser feita. Todos essas sugestões sofrem com o problema de reescala, que consiste, de maneira sucinta, em aumentar a quantidade de qubits presentes no sistema.

1.2 Cadeias de Spins como Canais de Comunica¸

c˜

ao

Uma das maneiras concebidas para se conectar computadores quânticos é primeira-mente mapear o estado a ser transmitido dos qubits do processador para um flying qubit, que atravessará um canal para chegar ao destinatário, onde seu estado será mapeado em um segundo processador. Entretanto, dependendo da natureza f´ısica dos qubits, esta técnica envolve a intera¸cão entre sistemas de diferentes part´ıculas conforme a proposi¸cão em [5], na qual é descrita uma maneira de transferir o estado da polariza¸cão de um fóton para o spin de um elétron. Outra proposta é o mover as unidades de processamento e sub-sequentemente freá-las [6], em que os autores propõem uma arquitetura de computador

(15)

em que os qubits são levados até diferentes regiões, como a de memória e a de opera¸cões lógicas, através do controle do potencial elétrico em que elas operam. Apesar dos avan¸cos nos métodos de controle fino exigidos pelas propostas acima, surge uma maior necessidade de administrar as diversas partes do processamento da informa¸cão, que naturalmente a tornará suscet´ıvel a erros.

A transferência de estados quânticos por cadeias de spin, originalmente proposta por Sougato Bose [7], se destaca das demais por utilizar qubits estacionários e a dinâmica natural do canal para realiza¸cão do transporte da informa¸cão, reduzindo, portanto a necessidade de controle sobre o sistema. Neste trabalho, come¸caremos por estudar o método de S. Bose, em que são investigadas cadeias de spin com intera¸cões de primeiros vizinhos e, em seguida, estudaremos acoplamentos de longo alcance, proposto por Bose et al. [10] e aprimorado por G. Gualdi et al. [11], em que transferência perfeita da informa¸cão é realizada nesses sistemas. Por fim, investigaremos cadeias com intera¸cões de longo alcance diferentes das estudadas por Gualdi e utilizaremos os mesmos métodos de otimiza¸cão para aprimorar o transporte nas mesmas.

1.3 Intera¸

c˜

oes de Troca de Spins e Hamiltoniano de

Heisenberg

O spin é uma caracter´ıstica magnética intr´ınseca de part´ıculas, que corresponde a um grau de liberdade interno das mesmas. O Princ´ıpio da exclusão de Pauli estabelece que dois férmions não podem ter o mesmo conjunto de números quânticos, isto é, não pode ocupar o mesmo estado e, matematicamente, esse princ´ıpio impõe a antisimetriza¸cão da fun¸cão de onda total dos férmions.

O princ´ıpio de Pauli cria correla¸cões no movimento dos elétrons de um sistema, com importantes consequências para suas propriedades magnéticas, como o fenômeno do fer-romagnetismo, essencial para o estudo do transporte de estados quânticos em cadeias de spin. Tal fenômeno ocorre em sólidos, quando os momentos magnéticos se alinham. Suponha um potencial coulombiano entre dois elétrons, considerando e2_/4π

0 = 1,

ˆ U = 1

r. (1.1)

No qual r é o módulo da distância entre os dois componentes do sistema. Buscamos en-contrar a energia médiaD ÛEdas fun¸cões de onda espaciais dos elétrons, levando em consi-dera¸cão tanto os estados simétricos quanto antissimétricos, |χi = √1

2

(16)

temos hχ| Û |χi = Z d3r1d3r2 |r1− r2| _¯ φ↑(r1) ¯φ↓(r2) ± ¯φ↑(r2) ¯φ↓(r1) √ 2 [φ↑(r1)φ↓(r2) ± φ_√ ↑(r2)φ↓(r1)] 2 . (1.2) Na equa¸cão (1.2) os termos cruzados irão se cancelar, pois podemos intercambiar as fun¸cões de onda individuais, fazendo uma integral a negativa da outra. Desta forma, chegamos a um valor esperado com dois termos, em que o primeiro é

E =

Z _d3_r 1d3r2

|r1− r2|

|φ↑(r1)|2|φ↓(r2)|2. (1.3)

Identificamos a equa¸cão acima como o valor esperado do potencial coulombiano e este termo seria o único resultado do cálculo desenvolvido caso não houvéssemos imposto a antissimetria da fun¸cão de onda total do sistema. Devido ao Princ´ıpio da exclusão de Pauli, no entanto, mais um termo emerge da computa¸cão do valor médio da energia

Jtroca = Z d3r1d3r2 |r1− r2| ¯ φ↑(r1) ¯φ↓(r2)φ↑(r2)φ↓(r1). (1.4)

Este elemento, conhecido como energia de troca, tem uma origem puramente quântica, oriunda da indistinguibilidade dos dois elétrons. Assim, verificamos que apesar da in-tera¸cão entre os componentes não depender explicitamente do spin, a energia média de-penderá. É plaus´ıvel, então, pensarmos que a energia do sistema possa ser escrita em termos das variáveis de spin,

D ˆ_UE

= E ± 2Jtroca˜S1· ˜S2, (1.5)

pois aplicando o tripleto ou o singleto a ˜S1· ˜S2, obteremos ±1/4, respectivamente. Assim,

recuperaremos (1.4) com sinal positivo ou negativo.

O termo de troca (1.4) teve sua importância para a ordem magnética dos materiais primeiramente notada por Heisenberg, que escreveu a intera¸cão através de

ˆ

H = ±2JtrocaS˜1· ˜S2. (1.6)

O Hamiltoniano de Heisenberg, como é atualmente conhecido, modela uma classe grande de materiais em que os spins estão alinhados em uma rede cristalina e permanentemente acoplados por intera¸cões que enfraquecem com a distância.

1.4 Teletransporte Quˆ

antico

Um poss´ıvel protocolo para transferir estados é o teletransporte quântico e com as ferramentas desenvolvidas no Apêndice A, podemos discutir as principais caracter´ısticas

(17)

desse fenômeno. A descri¸cão a seguir foi originalmente desenvolvida por D. Mermin [20], supomos que haja um remetente, Alice, que possua um qubit no estado |ψi = α |0i + β |1i com amplitudes α e β desconhecidas. Alice deseja repassar o estado supracitado para o estado de um qubit pertencente destinatário, que chamaremos de Bob. Tanto o remetente da informa¸cão quanto o receptor podem estar em diferentes localiza¸cões espaciais e não possuem acesso um ao qubit do outro. No entanto, Alice pode enviar informa¸cões clássicas para Bob, por meio de um telefone, por exemplo. Além disso, o qubit do destinatário está emaranhado com um segundo qubit do remetente em um estado de Bell |Ψi = |00i+|11i√

2 .

Para realizar o teletransporte quˆantico, primeiramente notemos que o estado do sistema composto ´e dado por

|ψi ⊗ |Ψi = (α |0i_A+ β |1i_A) |0iA|0iB_√+ |1iA|1iB

2

. (1.7)

No lado direito da equa¸cão (1.7) omitimos o s´ımbolo do produto tensorial entre os esta-dos, pois se torna supérfluo nesta análise. Acrescentamos ´ındices A e B nos qubits para especificar a quem eles pertencem, em que A está associado a Alice e B se refere a Bob. O teorema da Não-Clonagem não permite que o estado seja copiado de um lugar para o outro, porém se Alice e Bob cooperarem ”classicamente”, é poss´ıvel que o estado |ψi seja teletransportado para o qubit emaranhado do Bob. Para iniciar o protocolo de tele-transporte quântico, primeiramente Alice aplica uma porta NOT controlada em seus dois qubits, utilizando o estado |ψi como qubit de controle e seu membro do par emaranhado como o qubit alvo

ˆ

C12,A(α |0iA+ β |1iA)

_|0i

A|0iB_√+|1iA|1iB

2

= α |0i_A|0iA|0iB_√+|1iA|1iB

2

+ β |1i_A|1iA|0iB_√+|0iA|1iB

2

. (1.8)

Em seguida, o remetente aplica uma transforma¸cão de Hadamard no seu primeiro qubit, de forma que obteremos superposi¸cões com amplitudes probabilidade idênticas,

ˆ

H1Cˆ12,A|ψi ⊗ |Ψi = α

_|0i

A_√+|1iA

2

_|0i

A|0iB_√+|1iA|1iB

2 + β _|0i A_√−|1iA 2 _|0i

A|0iB_√+|1iA|1iB

2

, (1.9)

portanto, ˆ

H1Cˆ12,A|ψi ⊗ |Ψi =

1

2|0iA|0iA(α |0iB+ β |1iB) + 1

2|1iA|0iA(α |0iB− β |1iB) +1

2|0iA|1iA(α |1iB+ β |0iB) + 1

2|1iA|1iA(α |1iB− β |0iB) .

(1.10)

Após este processo, sabemos que o sistema encontra-se no estado descrito por (1.10). Neste momento, o sender realiza uma medida em ambos os qubits a sua disposi¸cão e haverão quatro resultados poss´ıveis. Se o remetente operar sobre o sistema e obter os

(18)

autovalores associados a |0i_A|0i_A, apesar de não sabermos exatamente o estado que foi transferido, de fato o estado que encontrava-se no primeiro qubit de Alice agora se encontra no qubit do Bob. Além do resultado que acabamos de analisar, há outros três poss´ıveis que exigem discussão. Se a medida dos qubits de Alice for |1i_A|0i_A, então Bob possuirá um qubit no estado

α |0i_B− β |1i_B. (1.11)

Munido do resultado |1i_A|0i_A, Alice realiza uma comunica¸c˜ao cl´assica com Bob e este, sabendo do que foi medido, submete o seu qubit a uma porta de fase para obter o estado a ser teletransportado

ˆ

Z (α |0i_B− β |1i_B) = α |0i_B+ β |1i_B. (1.12) A terceira situa¸cão é a que Alice obtém da medida o autovalor associado a |0i_A|1i_A e, reportanto o resultado a Bob, este aplica em seu qubit uma porta NOT

ˆ

X (α |1i_B+ β |0i_B) = α |0i_B+ β |1i_B, (1.13) de maneira que o estado original de Alice ´e restaurado. Por fim, temos o caso em que a medida coloca o sistema de Alice no estado |1i_A|1i_A e, portanto, o qubit do Bob se encontra no estado

α |1i_B− β |0i_B. (1.14)

Para obter o estado original, Bob submete seu qubit a duas evolu¸cões unitárias seguidas: primeiramente uma porta NOT e em seguida uma de fase, isto é

ˆ

Z ˆX (α |1i_B− β |0i_B) = ˆZ (α |0i_B− β |1i_B) = α |0i_B+ β |1i_B. (1.15) Resumindo, para realizar o protocolo de teletransporte quântico, Alice precisa sub-meter seu estado primeiramente uma porta lógica de NOT controlado, seguido de uma transforma¸cão de Hadamard e, enfim, realizar medidas em seus dois qubits. Além disso, os resultados devem ser reportados através de um meio intermediário clássico a Bob, que submeterá seu sistema a evolu¸cão unitária condizente com o que foi reportado por Alice. Portanto, o estado final presente no qubit do destinatário é o mesmo do remetente, com o custo de que se perde o emaranhamento entre o par pertencente as duas entidades. Cla-ramente nenhuma informa¸cão foi transmitida para o receiver ao final do protocolo, pois tanto ele quanto o sender não sabem exatamente quais os valores de α e β. Entretanto, este protocolo pode ser usado para teletransportar um estado produzido em um determi-nado tempo de evolu¸cão de uma cadeia de spins, por exemplo, do sender para o receiver, que poderia ser uma segunda etapa em um processo de computa¸cão quântica elaborado. O protocolo de teletransporte quântico pode ser representado por um diagrama in-dicando as portas lógicas a serem aplicadas em cada estágio. Abaixo, a figura descreve

(19)

a comunica¸cão entre Alice e Bob. A primeira e a segunda linha indicam os qubit que pertencem a Alice e a terceira indica que está com Bob. Os colchetes indicam que há um emaranhamento entre o estado da segunda e terceira linha. A primeira opera¸cão realizada é o NOT controlado, em que o qubit de controle possui um ponto escuro (•) e o qubit alvo possui sinal de mais embutido em um c´ırculo (⊕). Em seguida, Alice aplica uma porta de Hadamard em seu qubit não emaranhado e realiza, após este processo, a medi¸cão dos seus dois qubits, que são representados pelo contador. As linhas duplas representam opera¸cões controladas, que serão executadas conforme os resultados obtidos nas medi¸cões antecedentes. Por fim, o estado |ψi emerge no final do circuito na terceira linha que, reiterando, é a linha que representa o estado do qubit pertencente a Bob.

Figura 1.1: O diagrama indica o circuito do protocolo de teletransporte quˆantico.

(20)

Cap´ıtulo 2

Transferˆ

encia de Estado Quˆ

antico

2.1 Introdu¸

c˜

ao

Spins são dotados de momento magnético quantizado e muitos materiais nos oferecem uma imensa quantidade deles. Uma caracter´ıstica desses materiais é o alinhamento dos momentos magnéticos paralelamente ou anti-paralelamente, fenômenos conhecidos como ferromagnetismo e anti-ferromagnetismo, respectivamente. Uma cadeia de spins modela uma grande quantidade de materiais, nos quais essas part´ıculas estão permanentemente acopladas e arranjadas em uma estrutura unidimensional. Um canal de comunica¸cão quântico pode ser representado por uma cadeia de spins e o Hamiltoniano que governa esse sistema foi primeiramente proposto por Heisenberg. Em 2003, Sougato Bose [7] propôs um modelo semelhante ao supracitado, que consiste em uma cadeia unidimensional imersa em um campo magnético constante na dire¸cão −z no qual as intera¸cões entre os spins ocorrem apenas entre os primeiros vizinhos. Supondo que tal cadeia possua N spins, o Hamiltoniano do sistema é descrito por

ˆ H = − X <i,j> Jij~σi· ~σj − N X i=1 Biσˆiz. (2.1)

Na equa¸c˜_{ao acima, consideramos ~ = 1, ~σ}i = (ˆσix, ˆσ y i, ˆσ

z

i) as matrizes de Pauli para o

spin na i -ésima posi¸cão, Bi > 0 são o campo magnético estático, Jij > 0 são os termos

de acoplamento e < i, j > representa os spins sendo tomados par a par. A cadeia será iniciada no estado ferromagnético, isto é, todos os spins estão alinhados na dire¸cão −z e os estados referentes a cada spin serão representados na base dos autovetores da matrizes σi_z correspondentes. Assim, o estado fundamental da cadeia é dado pelo produto tensorial entre os kets |0i = ⊗N_n=1|0i_n, em que |0i_n = |↓i_n e |1i_n = |↑i_n. Fixamos a energia do estado ferromagnético como E0 = 0, de forma que o operador de evolu¸cão aplicado a ele

(21)

Primeiramente ´e importante notar que o Hamiltoniano (2.1) comuta com a magne-tiza¸c˜ao total, definida como ˆSz =

PN k=1σˆ z k/2. Assim, h ˆ_H,PN k=1σˆ z k i = −P <i,j>Jij~σi· ~σj − PN i=1Biσˆ z i PN k=1σˆ z k −PN k=1σˆ z k −P <i,j>Jij~σi· ~σj− PN i=1Biσˆzi = 0. (2.2) O segundo e quarto termo da equa¸c˜ao acima se cancelam pois as somas ˆσz

i e ˆσzk podem

ser intercambiadas. Expandindo o produto escalar no primeiro e terceiro termo, todas as rela¸cões em que k 6= i, j devido a atuarem em espa¸cos de Hilbert diferentes e quando k = i, j, podemos usar a rela¸cão de comuta¸cão ˆσα_n, ˆσ_mβ = 2iαβγσˆ

γ

i para eliminar o restante

dos termos. O comutador (2.2) implica que podemos realizar a diagonaliza¸cão simultânea do Hamiltoniano e das matrizes, ou seja, somos capazes de obter os espectros em fun¸cão dos autoestados de ˆSz. Esta verifica¸cão implica que o sistema preserva a magnetiza¸cão

total M, restringindo que a evolu¸cão temporal do estado inicial da cadeia seja apenas para estados com a mesma magnetiza¸cão. Portanto, se inicialmente introduzimos no canal de comunica¸cão o estado |1i = ⊗N_{n=1 ; n6=1}|0i_n|1i₁, decorrido um intervalo de tempo arbitrário, o estado presente na cadeia pode ser representado por uma combina¸cão linear de |ji = ⊗N

n=1 ; n6=j|0in|ji. Portanto, a regra de comuta¸c˜ao acima reduz o tamanho da

base necess´aria para diagonalizar o sistema, de forma que o Hamiltoniano efetivo torna-se N dimensional ao inv´es de 2N.

Vamos inserir dois novos rótulos para a discussão a seguir, s representará o qubit do sender, que é inicialmente virado. Já r denota o qubit do receiver, para o qual queremos transferir o estado. Os outros spins não recebem nenhuma demarca¸cão especial, apenas suas posi¸cões na cadeia e serão referidos como spins do canal. Para iniciarmos o protocolo de comunica¸cão, o estado |1i precisa ser introduzido no sender no tempo t = 0 e essa configura¸cão é denotada por

|ψini_s = cos (θ/2) |0i + eiφsin (θ/2) |1i (2.3)

e o estado da cadeia como um todo ´e representado pelo produto tensorial do estado |ψini

com os estados |0i de cada s´ıtio da cadeia. Desta forma, o estado inicial do canal ´e |Ψ(0)i = cos (θ/2) |0i + eiφ_{sin (θ/2) |si .} _(2.4)

O protocolo de comunica¸c˜ao consiste em esperar um intervalo de tempo espec´ıfico t = t?_,

no qual o estado inicial |Ψ(0)i irá evoluir sob a¸cão do propagador para um estado que seja o mais próximo poss´ıvel de

(22)

2.2 A fidelidade do Protocolo

Para averiguar a qualidade do protocolo de comunica¸cão, precisamos acompanhar o transporte da informa¸cão através da cadeia. Nesta se¸cão estudaremos o conceito da fun¸cão fidelidade1 _{da transferˆ}_{encia do estado quˆ}_{antico, investigaremos algumas de suas}

propriedades e como ela serve como uma maneira de quantificar a qualidade do canal de comunica¸c˜ao. Lembrando que fixamos a energia do estado fundamental E0 = 0, a

aplica¸cão do operador de evolu¸cão temporal da equa¸cão de Schrödinger e−i ˆHt ao estado inicial (2.4) nos fornece

|Ψ(t)i = cos (θ/2) |0i + eiφ_{sin (θ/2) e}−i ˆHt_{|si .} _(2.6)

Para que tenhamos transmiss˜ao perfeita, queremos que o qubit r possua o mesmo estado que inserimos inicialmente no sender

|ψouti_r = cos (θ/2) |0i + eiφsin (θ/2) |1i . (2.7)

A fidelidade média F (t), portanto, consiste em acharmos a média da proje¸cão do estado (2.6) no estado do receiver (2.7) avaliada em todos os estados da esfera de Bloch. Para isso, precisamos de um operador que atue como a identidade em todos os spins do canal, com exce¸cão do pertencente ao receiver. Denotaremos esse operador identidade como 1N −1 e tomaremos o produto tensorial desta com a proje¸cão no estado ideal (2.7).

F (t) = 1 4π

Z

dΩ hΨ(t)| [1N −1⊗ (|ψoutihψout|)_r] |Ψ(t)i . (2.8)

O subscrito r indica que a proje¸c˜ao ´e no spin do receiver e 1N −1 atua como a identidade

nos outros N − 1 qubits da cadeia. A integral angular se refere `a m´edia da fidelidade na esfera de Bloch. Expandindo 1N −1⊗ (|ψoutihψout|)r,

1N −1⊗ cos2θ/2 |0ih0| + e−iφcos2θ/2 sin2θ/2 |0ih1| + eiφcos2θ/2 sin2θ/2 + sin2θ/2 |1ih1|

r.

(2.9) Aplicando (2.9) no estado da cadeia |Ψ(t)i, obtemos

[1N −1⊗ (|ψoutihψout|)r] |Ψ(t)i = cos3θ/2 |0i + eiφcos θ/2 sin θ/2 |Ni

+ eiφ_cos2_{θ/2 sin θ/2(|0ih0|)} re

−i ˆHt_|si

+ cos θ/2 sin2θ/2(|0ih1|)_re−i ˆHt_|si

+ e2iφcos θ/2 sin2θ/2(|1ih0|)_re−i ˆHt|si + eiφsin3θ/2(|1ih1|)_re−i ˆHt|si ,

(2.10)

(23)

e fechando a equa¸c˜ao acima com hΨ(t)|, F (t) = _4π1 R dΩ cos4_{θ/2 +} 1

4πR dΩ e

iφ_cos3_{θ/2 sin θ/2 h0| e}−i ˆHt_|si

+ 1

4πR dΩ cos

2_{θ/2 sin}2_{θ/2 hr| e}−i ˆHt_|si

+ _4π1 R dΩ e−iφcos3θ/2 sin θ/2 hs| ei ˆHt|0i + _4π1 R dΩ cos2θ/2 sin2θ/2 hs| e−i ˆHt|ri + _4π1 R dΩ cos2_{θ/2 sin}2_{θ/2 hs| e}i ˆHt_(|0ih0|)

re

−i ˆHt_|si

+ _4π1 R dΩ e−iφcos θ/2 sin θ/2 hs| ei ˆHt_(|0ih1|) re

−i ˆHt_|si

+ _4π1 R dΩ eiφ_{cos θ/2 sin}3_{θ/2 hs| e}i ˆHt_(|1ih0|) re

−i ˆHt_|si

+ _4π1 R dΩ sin4θ/2 hs| ei ˆHt(|1ih1|)_re−i ˆHt|si .

(2.11)

Antes de progredirmos com o cálculo, vale notar as integrais no ângulo polar φ irão anular todos os termos que contêm e±iφ, pois

Z 2φ 0

dφe±iφ= 0 (2.12)

e, com essa informa¸c˜ao, simplificamos a equa¸c˜ao (2.11), obtendo F (t) = _4π1 R dΩ cos4_{θ/2 +} 1

4πR dΩ cos

2_{θ/2 sin}2_{θ/2 hr| e}−i ˆHt_|si

+ _4π1 R dΩ cos2_{θ/2 sin}2_{θ/2 hs| e}i ˆHt_(|0ih0|) re

−i ˆHt_|si

+ 1

4πR dΩ cos

2_{θ/2 sin}2_{θ/2 hs| e}−i ˆHt_|ri

+ _4π1 R dΩ sin4θ/2 hs| ei ˆHt(|1ih1|)_re−i ˆHt|si .

(2.13)

Note que o segundo e o quarto termo de (2.13) são as amplitudes de transi¸cão entre a excita¸cão no sender e no receiver. Definindo fr,s(t) = hr| e−i ˆHt|si, podemos somar os

termos supracitados,

F (t) = _2π1 R dΩ cos2_{θ/2 sin}2_θ/2|f

r,s(t)| cos γ

+ _4π1 R dΩ cos4_{θ/2 + sin}4_θ/2|f r,s(t)|2

(2.14)

no qual tamb´em definimos γ = arg[fr,s(t)]. Analisando os dois ´ultimos termos, os

simpli-ficamos se inserirmos a rela¸c˜ao de completeza PN

j=1|jihj| entre as proje¸c˜oes nos spins do

receiver e os propagadores, cos2_{θ/2 sin}2_{θ/2 hs| e}i ˆHtPN j=1|jihj| e −i ˆHt_|si − cos2_{θ/2 sin}2_θ/2|f r,s(t)|2+ sin4θ/2|fr,s(t)|2. (2.15) Portanto, F (t) = _4π1 R dΩ cos4θ/2

+ _2π1 R dΩ cos2θ/2 sin2θ/2|fr,s(t)| cos γ + _4π1 R dΩ sin4θ/2|fr,s| 2 + _4π1 R dΩ cos2_{θ/2 sin}2_{θ/2 −} 1 4πR dΩ cos 2_{θ/2 sin}2_θ/2|f r,s(t)| 2 . (2.16)

(24)

Avaliando as integrais, obtemos a fidelidade para grafos arbitr´arios de qubits F (t) = 1 6|fr,s(t)| 2 +1 3|fr,s(t)| cos γ + 1 2. (2.17)

Para maximizar a fidelidade da transferência do estado quântico, o termo com cosseno da expressão acima deve ser 1, ou seja, devemos escolher os campos magnéticos Bi de

forma que gamma seja um múltiplo inteiro de 2π. Buscamos algumas condi¸cões cujas as fun¸cões envolvidas no cálculo da fidelidade devem obedecer de maneira a obtermos seu valor máximo. Por inspe¸cão da equa¸cão (2.17), percebemos que o valor máximo é atingido se, e somente se,

|fr,s(t)|2 = |fr,s(t)| = 1. (2.18)

Queremos investigar quais condi¸cões são necessárias para que o módulo do propagador atinja seu valor máximo. Dado um conjunto de autovetores {| ˜mi} do Hamiltoniano, podemos expandir a amplitude de excita¸cão fr,s(t) = hr| e−i ˆHt|si como

fr,s(t) = N

X

m=1

e−iEmt_{hr| ˜}_{mi h ˜}_{m|si .} _(2.19)

De maneira geral, os números hr| ˜mi e h ˜m|si são complexos, então admitem a decomposi¸cão ρrme−iφm e ρsmeiψm, respectivamente. Portanto, podemos reescrever |fr,s(t)|2 em dois

termos, fr,s(t) ¯fr,s(t) = N X m=1 ρrmρsme−i(Emt+φm−ψm) N X n=1 ρrnρsnei(Ent+φn−ψn) = fm+ ft, (2.20) no qual fm = N X m=1 ρ2_rmρ2_sm. (2.21) Tomando ∆mn= Em− En e ξmn= φm− φn+ ψn− ψm, obtemos ft= 2 N X m=1 N X n=m+1 ρrmρsmρrnρsncos (∆mnt?+ ξmn). (2.22)

Percebemos através da equa¸cão (2.21) que há uma contribui¸cão para amplitude de ex-cita¸cão que independe do tempo, enquanto que (2.22) assiste a fidelidade com um termo oscilatório de frequência ∆mn. Sem perda de generalidade, podemos assumir que as fases

no termo oscilat´orio se cancelam, fazendo que ξmn = 0. Assim, escrevemos o m´odulo

quadrado do propagador como

|fr,s(t)| 2 = N X m=1 ρ2_rmρ2_sm+ 2 N X m=1 N X n=m+1 ρrmρsmρrnρsncos (∆mnt) = fm+ ft. (2.23)

(25)

Nos voltamos agora para o problema de encontrar uma express˜ao anal´ıtica para o m´aximo que a soma fm+ ft pode tomar. Como |fr,s(t)|2 ∈ [0, 1] e fm ≥ 0, pois depende

do quadrado de dois números reais, então o valor m´ınimo de ft é −fm. Além disso, ft

é uma fun¸cão simétrica em rela¸cão ao tempo devido aos termos cossenoidais, então é razoável supor que o valor máximo permitido para a mesma é −fm. Consequentemente,

consideraremos que 2fmé uma boa aproxima¸cão para o valor máximo atingido por |fr,s(t)|2

e, assim, buscamos condi¸c˜oes que maximizem o valor de fm. Devido as condi¸c˜oes de

normaliza¸cão,        N X m=1 ρ2_rm = N X m=1 ρ2_sm= 1 ; ρ2_rm+ ρ2_sm+ γ_jm2 = 1 ∀ m. (2.24a) (2.24b) Na equa¸cão (2.24b), o termo γ_jm2 é a proje¸cão do autovetor m nos qubits com exce¸cão do sender e do receiver, γ_jm2 = N X j=1 j6=s,r | h ˜m|ji |2. (2.25)

Considerando γ_jm2 fixo, podemos reescrever o quadrado da proje¸cão no sender, isto é, ρ2_sm, como uma fun¸cão de ρ2_rm na equa¸cão (2.24b). Substituindo o resultado na equa¸cão para fm, obtemos fm = N X m=1 ρ2_rm 1 − ρ2_rm− γ2 jm. (2.26)

Diferenciando (2.26) com respeito a ρrm e igualando a zero,

∂fm ∂ρrm = N X m=1 2ρrm 1 − 2ρ2rm− γ 2 jm = 0. (2.27)

Eliminando a solu¸cão trivial, encontramos que o valor máximo é obtido quando ρ2_rm = ρ2

sm, demonstrando que, para maximiza¸c˜ao da fidelidade, precisa-se que a proje¸c˜ao dos

autovetores nos estados do sender e do receiver seja igual ρ2_rm = ρ2_sm = 1 − γ

2 jm

2 . (2.28)

Essa condi¸cão se traduz em uma simetria espacial entre o par de qubits em que eles devem estar em posi¸cões espacialmente simétricas ao centro do do eixo que os une. Note que até o momento, nenhuma men¸cão ao Hamiltoniano do sistema foi feita, de forma que as condi¸cões derivadas acima são um requerimento topológico entre o par sender -receiver. Utilizando a equa¸cão (2.24a) e (2.28), podemos obter a condi¸cão de normaliza¸cão para γ2 jm, N X m=1 γ_jm2 = N − 2 −→ γ_jm2 = N − 2 N , (2.29)

(26)

e, portanto,

ρ2_rm = ρ2_sm = 1

N. (2.30)

2.3 Intera¸

c˜

ao de Primeiros Vizinhos

Como planejamos usar uma cadeia de spins para transportar estados quânticos, iremos usar uma geometria natural para um canal de comunica¸cão, que é uma cadeia unidimensi-onal aberta em que o sender e o receiver estejam nas pontas. Para tratarmos um problema analiticamente solúvel, consideremos o caso em que o termo de intera¸cão de troca entre os spins do canal seja de primeiros vizinhos, Assim, o acoplamento entre cada spin tem a

Figura 2.1: O esquema ilustra a intera¸c˜ao entre primeiros vizinhos, as setas indicam os acoplamentos

entre os spins na cadeia de transmiss˜ao de estados.

Fonte: Elaborado pelo autor.

mesma for¸ca e inserimos um campo magn´etico constante B = B0 em todos os elementos

da cadeia. Substituindo a intera¸c˜ao Jij = J₂δi,j+1 no Hamiltoniano dado pela equa¸c˜ao

(2.1), temos como resultado ˆ HN = − J 4 N −1 X j=1 ˆ σ_j+σˆ_j+1− + ˆσ+_j σˆ−_j+1+ 2ˆσ_jzσˆz_j+1 − B0 N X j=1 ˆ σ_jz. (2.31)

A descri¸cão do sistema acima é conhecida como Hamiltoniano de Heisenberg com intera¸cão de troca isotrópica. Os autoestados para o problema em questão são dados por

| ˜mi = am N X j=1 cos π(m − 1) 2N (2j − 1) |ji , (2.32) em que m = 1, ..., N e os termos a1 = √1_N, am6=1 = q 2 N e km = π(m−1) N garantem a

normaliza¸cão do estado. A energia será medida em rela¸cão ao primeiro n´ıvel energético Em = 2B + 2J [1 − cos (km)] . (2.33)

Agora queremos estudar a performance do canal para diferentes tamanhos. Em geral, o receptor localizado na posi¸cão N precisa esperar intervalos de tempo diferentes para cadeias com diferentes tamanhos, para que a fidelidade obtida na transferência seja maior. Para entender a dinâmica que ocorre no canal, na figura 2.2 é mostrado o estado inicial da cadeia e, após virado o primeiro qubit, como ocorre a evolu¸cão temporal do sistema.

(27)

Figura 2.2: A figura ilustra como o transporte do estado quˆantico ocorre no canal, em que o estado

fundamental da cadeia de spins entra em superposi¸c˜ao com o estado que evolui temporalmente. Assim,

a informa¸cão do spin virado é transmitida ao longo da cadeia como uma série de pacotes de onda que

interferem construtivamente, promovendo um m´aximo na fidelidade em um tempo t?_.

A informa¸cão inserida no spin na posi¸cão 1 se espalha (dispersa) e se propaga como uma série de ondas, algumas em dire¸cão à posi¸cão N e outras contrárias.

Um pacote inicial com grande amplitude chega ao estado N em um tempo N/J , mas os picos de amplitude de transferência ocorrem quando há interferência construtiva de diver-sos pacotes de onda. O tempo espec´ıfico t = t? _{no qual essa interferˆ}_{encia acontece n˜}_{ao ´}_e

dado por uma f´ormula fechada, de forma que precisamos avaliar numericamente o m´aximo da fidelidade F (t?_{) e as amplitudes de transmiss˜}_{ao f}

1,N(t?) para diversos tamanhos do

canal de comunica¸c˜ao.

Com esses resultados em mãos, podemos avaliar numericamente os máximos da fide-lidade para cadeias de tamanhos variados, tendo escolhido {N ∈ N|2 ≤ N ≤ 80} e um intervalo longo de tempo tal que Tmáx= 4000/J . Escolher um tempo finito é fisicamente

razoável, pois em aplica¸cões reais não podemos esperar indefinidamente que uma trans-ferência perfeita ocorra e é esperado também que o tempo ótimo para obter a fidelidade máxima seja uma fun¸cão de N .

A figura 2.3 apresenta várias caracter´ısticas interessantes. O gráfico mostra que além do caso trivial em N = 2, N = 4 também provê uma transferência de estado quântico perfeita e N = 8 garante fidelidade F = 0.99. Ademais, os casos N = 7, 10, 11, 13 e 14 excedem 0.9 de fidelidade. Até N = 21 a fidelidade da transmissão do estado através do canal é menor quando N é divis´ıvel por 3. Conforme os dados obtidos para a fidelidade da transferência do estado, vemos que uma cadeia com intera¸cão entre primeiros vizinhos não pode ser arbitrariamente grande, pois não há garantia de que o transporte da informa¸cão seja feito de maneira ´ıntegra. Há a possibilidade de aumentarmos o tempo de espera

(28)

Figura 2.3: O histograma mostra a fidelidade m´axima do protocolo de comunica¸c˜ao para canais de

transmiss˜_{ao de tamanhos diferentes. A quantidade de spins na cadeia {N ∈ N|2 ≤ N ≤ 80} e o intervalo}

de tempo escolhido foi de [0, 4000/J ]. O tempo t∗ em que a fidelidade m´axima ´e alcan¸cada varia com o

tamanho da cadeia.

do receptor, porém, para aplica¸cões cotidianas, queremos que o protocolo seja conclu´ıdo em um tempo finito e não há garantia definitiva de que os pacotes de onda interfiram construtivamente gerando uma fidelidade maior do que a obtida. Com o modelo analisado nas se¸cões antecedentes, não se pode concluir definitivamente que a transferência de estado quântico possui fidelidade para cadeias arbitrariamente longas de spins.

Portanto, é preciso introduzir novos mecanismos para que o protocolo proposto trans-porte informa¸cão com maior integridade entre s´ıtios opostos da cadeia. O estudo de-senvolvido sobre teletransporte quântico 1.4 pode ser usado como uma outra forma de descrever a qualidade do canal, pois algumas proposi¸cões demonstram que pode-se pro-duzir emaranhamento de alta qualidade nessas cadeias [8][9]. No entanto, isso fomenta a necessidade de mais controle sobre a cadeia e sujeita o transporte a erros. No próximo cap´ıtulo estudaremos sistemas semelhantes ao descrito pela equa¸cão (2), porém com o termo de acoplamento de longo alcance. Por fim, investigaremos maneiras de otimizar as cadeias como um todo, aprimorando a fidelidade e o tempo necessário para a transferência.

(29)

Cap´ıtulo 3

Modelos de Longo Alcance

3.1 Introdu¸

c˜

ao

Para encontrar um sistema em que haja melhor fidelidade na transferência de estado quântico entre o sender e o receiver, podemos considerar outros tipos de acoplamento en-tre os componentes do canal. Sistemas com intera¸cões de longo alcance dipolar se tornam imediatamente uma op¸cão de estudo, visto que são pass´ıveis de implementa¸cão experimen-tal conforme diversas propostas, dentre elas [12], [13] e [14]. Todas envolvem diferentes esquemas para cria¸cão de um sistema com intera¸cão de longo alcance que simulem cadeias de Heisenberg 1D em sistemas de estado sólido, com um foco especial em ´ıons. Ademais, já foi demonstrado que sistemas compostos por ´ıons armadilhados são excelentes op¸cões para computa¸cão quântica universal e processamento de informa¸cão quântica, pois estes podem ser facilmente resfriados, armadilhados e fixados em posi¸cões definidas.

Além de modelos com intera¸cões dipolares, recentemente há a proposi¸cão de utili-zar átomos de Rydberg como qubits [15]. Estes sistemas possuem termo de acopla-mento de van der Waals forte, permitindo a constru¸cão de redes fortemente correlaci-onadas [16][17][18]. Também há proposi¸cões de implementa¸cões experimentais desses sis-temas, que incluem modelos para constru¸cão de portas lógicas, essenciais para computa¸cão quântica [19].

Na próxima se¸cão, nos concentraremos em estudar o modelo de longo alcance com modelo dipolar, serão investigadas as técnicas de otimiza¸cão propostas por [11]. Verifi-caremos que pode-se alcan¸car transporte perfeito do estado quântico com um protocolo simples como o proposto no cap´ıtulo anterior. Em seguida, aplicaremos os mesmos pro-cedimentos para cadeias com acoplamento de van der Waals e de Coulomb, nas quais confirmaremos que as técnicas de otimiza¸cão podem ser estendidas.

(30)

3.2 Intera¸

c˜

ao de Longo Alcance Dipolar

Vamos investigar a qualidade e a eficiência do transporte de estado quântico em uma cadeia finita de spins acoplados por intera¸cões de longo alcance. A partir de agora, iremos omitir o campo magnético na dire¸cão −z, visto que seu efeito é apenas deslocar os n´ıveis de energia. Novamente, iniciaremos com uma cadeia linear no estado ferromagnético ⊗N

k=1|0in, onde teremos o termo de acoplamento Jij = C

aν_|i−j|ν, em que ν > 0 especifica o

tipo de intera¸cão entre os spins do canal, a é a distância entre cada elemento da cadeia e C é uma constante que depende do modelo sendo trabalhado.

Figura 3.1: Ilustra¸c˜ao das intera¸c˜oes entre o segundo spin e o restante da cadeia.

Utilizando a intera¸cão proposta, podemos descrever a intera¸cão entre os spins do sistema através do Hamiltoniano,

ˆ H = N X i=1 N X j=1 j6=i C 2aν_{|i − j|}ν ~Si· ~Sj− 3 ˆS z iSˆ z j . (3.1)

Semelhantemente ao caso do acoplamento entre primeiros vizinhos, este Hamiltoniano novamente comuta com a magnetiza¸cão total. Assim, o canal de transmissão possui no máximo uma excita¸cão, nos permitindo caracterizar a dinâmica do sistema somente em termos da base |ji = ⊗N

k=1;k6=j|0ik⊗ |1ij. Tomando ~ = 1,

C

2aν = 1 e escrevendo o sistema

em termos das matrizes de Pauli, ˆ H = N X i=1 N X j=1 j6=i 1 8|i − j|ν σˆ + i σˆ − j + ˆσ − i σˆ + j − 4ˆσ z iσˆ z j (3.2)

Nesta forma, podemos verificar que os termos fora da diagonal s˜ao oriundos dos operadores de spin flip ˆσ+ _{e ˆ}_σ− _{e os termos diagonais recebem contribui¸c˜}_{ao apenas das matrizes ˆ}_σz_.

Os termos da diagonal correspondem a excita¸c˜ao de um spin no s´ıtio j e abaixo est˜ao explicitados os elementos de matriz do Hamiltoniano (3.2)

             hi| ˆH |ji = 1 |i − j|ν ; hj| ˆH |ji = − N X k=1 k6=l 1 2|k − l|ν + N X k=1 k6=j 2 |k − j|ν. (3.3a) (3.3b)

(31)

Assim, come¸caremos por analizar o comportamento dos autovalores do Hamiltoniano para um exemplo espec´ıfico, uma cadeia com N = 10 spins. Ap´os a diagonaliza¸c˜ao do

Figura 3.2: Autovalores referentes a cadeia com N = 10 com intera¸c˜ao dipolar.

Hamiltoniano, o primeiro detalhe que podemos notar com o gr´afico 3.2 ´e que existem duas autoenergias do sistema que possuem valores que claramente as distinguem das restantes.

Figura 3.3: As componentes mij≡ h ˜m|ji foram calculadas numericamente, com i denotando o ´ındice que

assumido pelos bra h ˜m|, isto ´e,˜1e

_˜

2, que representam os autoestados associados as duas autoenergias

mais baixas.

Fonte: Elaborado pelo autor. Associados a esses autovalores, h´a dois autovetores, ˜1 e

˜2, que atuam significa-tivamente na propaga¸c˜ao da perturba¸c˜ao inserida no sender para o restante da cadeia.

(32)

Queremos analisar como esses dois autoestados se projetam sobre os s´ıtios do canal e, es-pecificamente, gostar´ıamos de estudar suas proje¸c˜oes em |1i e |Ni, que juntos formam o par sender -receiver. Na figura 3.3, vemos que os autoestados˜1 e

˜2 possuem proje¸c˜oes significativas nos estados |1i, |2i, |9i e |10i, tornando estes spins os mais afetados na dinˆamica.

3.3 Otimiza¸

c˜

ao: Cadeia Double Hole

Para obtermos fidelidade unitária na transmissão de estados quânticos, precisamos que nosso canal se assemelhe a um cuja transferência da informa¸cão seja realizada diretamente entre o par sender -receiver. Portanto, devemos empreender uma maneira diminuir o acoplamento dos espa¸cos de Hilbert referentes aos spins |1i e |2i do restante do canal. Motivados pelas proje¸cões dos autoestados ˜1

e ˜2

nos spins da base |ji no caso da cadeia completa, vamos inserir dois defeitos no canal, localizados nas posi¸cões simétricas correspondentes aos s´ıtios 2 e 9, que equivale a fixarmos em 0 as constantes de acoplamento J2,j e J9,j no Hamiltoniano da equa¸cão (3.2) para todos os valores de j. Este procedimento

preserva a topologia simétrica do sistema em geral, enquanto aumenta a energia que separa o subespa¸co do par sender -receiver do restante da cadeia. Além disso, elimina as proje¸cões dos autoestados nas posi¸cões desses spins.

Figura 3.4: Ilustra¸c˜ao da cadeia double hole com N = 5, as setas indicam as intera¸c˜oes entre os spins.

Diagonalizando numericamente o Hamiltoniano e organizando seus autovalores e seus autovetores associados em ordem crescente de energia, verificamos que a inclusão dos defeitos no canal de transmissão preserva uma conduta das autoenergias semelhante a da cadeia completa. Essa afirma¸cão pode ser verificada através da figura 3.5, na qual percebe-se novamente que as duas autoenergia mais baixas se distinguem das restantes. Além disso, outro detalhe relevante é que essas energias possuem um gap maior quando comparadas ao observado na cadeia completa. Devido a preserva¸cão deste comporta-mento, iremos investigar a proje¸cão dos autoestados referentes aos dois autovalores de menor energia nos spins da cadeia de transmissão.

(33)

Figura 3.5: Autovalores referentes a cadeia com N = 10.

Figura 3.6: As componentes mij≡ h ˜m|ji foram calculadas numericamente, com i denotando o ´ındice que

assumido pelos bra h ˜m|, isto ´e,˜1e

_˜

2, que representam os autoestados associados as duas autoenergias

mais baixas.

Podemos observar na figura 3.6 que houve um aumento na proje¸c˜ao dos autoestados

˜1 e

˜2 nos estados do par sender -receiver. A energia de liga¸cão entre o remetente e o destinatário na cadeia double hole, como chamaremos daqui por diante, e seus primeiros vizinhos se tornará mais fraca.

Os elementos diagonais do Hamiltoniano (3.2) representam a configura¸cão energética do sistema quando o mesmo é encontrado com uma excita¸cão no s´ıtio j. O gráfico 3.7 mostra que na cadeia double hole há um aumento na separa¸cão entre as excita¸cões no par

(34)

Figura 3.7: A configura¸c˜ao energ´etica das cadeias double hole e completa para o caso com 50 spins.

Pode-se observar que as excita¸c˜oes nas pontas possuem menor energia e tamb´em que a cadeia double hole

possui maior separa¸c˜ao energ´etica entre as pontas e os spins do canal.

sender -receiver e as nos spins do canal, então há maior desacoplamento entre os espa¸cos de Hilbert dos spins nas pontas e nos da cadeia. Percebe-se também que as configura¸cões mais estáveis do sistema são aquelas em que a excita¸cão se encontra nos spins das pontas da cadeia.

Pelos cálculos desenvolvidos na se¸cão 2.2, podemos fazer uma estimativa do máximo da fun¸cão F (t). Percebemos que o caso ideal é aquele em que há apenas dois spins na cadeia, pois não haverá contribui¸cão dos termos γ2

jm. Supondo que haja apenas dois spins

separados por uma distˆancia N − 1, o Hamiltoniano e seus autovalores ser˜ao

ˆ H = − 1 |N −1|ν _{|N −1|}1 ν 1 |N −1|ν −_{|N −1|}1 ν ! ; Eid + = 0 E id − = 2 (N − 1)ν. (3.4)

Substituindo as energias na equa¸cão para a amplitude de transi¸cão, podemos usar a identidade trigonométrica de arco duplo para obtermos |fr,s(t)|2 = sin2 E−idt, que nos

fornece fidelidade perfeita para o tempo

tid=

π

2(N − 1)

ν

. (3.5)

Como esperado, o tempo de transferˆencia ideal tid cresce com uma lei de potˆencia

de-pendente do tipo de intera¸cão e com a distância entre o sender e o receiver. Assim, aproximaremos o máximo da fidelidade utilizando as duas autoenergias mais baixas, em

(35)

analogia ao caso ideal tid, de onde estimamos o tempo para o m´aximo de F (t) como

t ≈ π ∆21

, (3.6)

no qual ∆21= E2− E1 e Ei representam os autovalores dos estados com menor energia.

Assim, podemos fazer o c´alculo da fidelidade m´axima da cadeia completa e da cadeia double hole e comparar os desempenhos.

Observemos agora algumas caracter´ısticas da performance da cadeia double hole como um canal de transmissão de estados em termos da fidelidade e do tempo de transferência. Com este propósito, mapeamos o comportamento da equa¸cão (2.17).

Figura 3.8: A figura ilustra a fidelidade como uma fun¸c˜ao do tempo para uma cadeia com 50 spins. A

linha vermelha corresponde a cadeia completa, enquanto a linha azul representa a cadeia double hole.

Na figura 3.8, em que usamos a cadeia com 50 spins, comparamos as performances da cadeia completa e da cadeia double hole. Vale notar que varremos o comportamento de F (t) da cadeia double hole no mesmo intervalo de tempo estimado (3.6) para o m´aximo da cadeia completa.

Trˆes rela¸c˜oes essenciais entre os canais emergem:

• A cadeia double hole alcan¸ca fidelidade perfeita, enquanto a cadeia completa mal consegue se manter em torno de 0.9;

• A cadeia double hole alcan¸ca seu valor máximo aproximadamente três vezes mais rápido que a cadeia completa;

(36)

• A fidelidade da cadeia double hole ´e uma fun¸c˜ao suave do tempo, podendo ser aproximada por um comportamento senoidal.

Figura 3.9: A fidelidade máxima em fun¸cão do número de spins no canal. Os c´ırculos vermelhos indicam

a cadeia completa, enquanto os losangos azuis representam os valores da cadeia double hole.

Desta forma, podemos concluir que a cadeia double hole supera a cadeia completa como um canal de transmissão de estados. Esse aperfei¸coamento na performance se deve pela redu¸cão da sobreposi¸cão dos espa¸cos de Hilbert do par sender -receiver e o restante da cadeia. Portanto, de fato, a cadeia double hole não somente é vantajosa em rela¸cão a cadeia completa, mas também a fidelidade unitária aparenta ser independente da quantidade de spins entre o par sender -receiver e da distância entre eles. Ademais, dada uma distância de transmissão, a fidelidade aparenta se tornar invariante sob uma reescala do sistema. Para corroborar essas afirma¸cões, simulamos o mesmo sistema para cadeias com até 200 spins e dispomos o resultado no gráfico 3.10. Por fim, dada uma distância de transmissão de estados fixa, queremos encontrar o tempo para que o transporte seja feito do sender para o receiver. Uma forma de investigar esse tempo é calculando a razão entre o tempo ideal de transmissão, que seria o tempo mais rápido, e o tempo aproximado obtido na equa¸cão (3.6). Verificamos que o tempo de transmissão de estados aparenta se tornar invariante sob reescala do sistema no limite em que γ_jm2 → 0 com m = 1, 2. A razão demonstra se aproximar do valor assintótico tid/t = 0.883 para o caso double hole e tid/t = 0.326

para a cadeia completa, os resultados estão ilustrados no gráfico 3.11. Portanto, apesar de estarmos aumentando a distância entre o par sender -receiver e também o tamanho da cadeia, a fidelidade da transmissão da mensagem é maior e mais rápida para o caso

(37)

Figura 3.10: A fidelidade máxima em fun¸cão do número de spins no canal. Os c´ırculos vermelhos indicam a cadeia completa, enquanto os losangos azuis representam os valores da cadeia double hole.

Figura 3.11: Raz˜ao entre o tempo ideal tid e o tempo aproximado t∆para at´e a cadeia de 300 spins com

intera¸c˜ao dipolar.

double hole. Podemos interpretar os spins entre o sender e o receiver como repetidores do sinal, cuja refletância é proporcional a proje¸cão dos autoestados de menor energia na base dos spins do canal. Desta forma, somos levados a interpretar γ2

jm com m = 1, 2 como a

(38)

2.2, de onde confirmamos a afirma¸c˜ao de que o menor tempo de entrega da mensagem ao receiver ´e tid.

3.4 Intera¸

c˜

ao de Longo Alcance de van der Waals

Um segundo poss´ıvel modelo de longo alcance é o do tipo van der Waals, que é uma das mais fracas intera¸cões existentes nas entre átomos e moléculas. Tornemos agora para o problema da transmissão em uma cadeia de Heisenberg cuja intera¸cão entre que os componentes é do tipo van der Waals, isto é, o fator de potência no Hamiltoniano de longo alcance é ν = 6. Tal modelo se torna interessante visto que existem proposi¸cões experimentais para sistemas de dois estados, isto é, qubits com átomos de Rydberg, que interagem entre si por um potencial de van der Waals. O Hamiltoniano do sistema torna-se

ˆ H = N X i=1 N X j=1 j6=i 1 8|i − j|6 σˆ + i σˆ − j + ˆσ − i σˆ + j − 4ˆσ z iσˆ z j . (3.7)

Para esse tipo de cadeia, esperamos que o modelo double hole também promova uma significativa melhora na transferência de estados quânticos, pois as intera¸cões entre os spins do canal são de menor energia. Assim, repetiremos a análise feita por Gualdi [11] para o caso de van der Waals, come¸cando por analisar seus autovalores. Através

Figura 3.12: Autovalores referentes as cadeias completa e double hole com N = 10 com intera¸c˜ao dipolar.

(39)

autoenergias em rela¸c˜ao as demais. Tamb´em vemos que a cadeia double hole, tal como no caso dipolar, aumenta o espa¸camento entre as autoenergias mais baixas e as restantes.

Figura 3.13: As componentes mij ≡ h ˜m|ji foram calculadas numericamente, com i denotando o ´ındice

que assumido pelos bra h ˜m|, isto ´e,_˜

1e

_˜

2, que representam os autoestados de energia mais baixa.

Desta forma, podemos estudar as proje¸cões dos autoestados na base dos spins do ca-nal de transferência, note que não precisamos nos dedicar ao estudo das autoenergias m ≥ 3, visto que confirmamos a preserva¸cão da conduta no gráfico 3.12. Além disso, podemos estudar a configura¸cão energética do sistema conforme as excita¸cões se encon-tram nos diferentes s´ıtios da cadeia. Podemos confirmar pelos gráficos 3.13 e 3.14 que o comportamento continua similar ao caso dipolar:

• A cadeia double hole aumenta a proje¸c˜ao dos dois autoestados de energia mais baixa no par sender -receiver ;

• A configura¸cão energética da cadeia double hole com as excita¸cões nas pontas possui maior diferen¸ca em rela¸cão as excita¸cões no canal em compara¸cão ao caso sem defeitos.

A fun¸cão fidelidade nos dá o comportamento temporal da entrega da informa¸cão para o receiver, isto é, nos dá o tempo necessário para que o estado seja transferido para o ´

(40)

Figura 3.14: A configura¸c˜ao energ´etica das cadeias double hole e completa para o caso com 50 spins.

dois casos e, assim, avaliaremos numericamente as fun¸c˜oes no mesmo intervalo do caso dipolar e compararemos a performance das cadeias como canais de comunica¸c˜ao.

Figura 3.15: A figura ilustra a fidelidade como uma fun¸c˜ao do tempo para uma cadeia com 50 spins, ou

seja, com distˆancia N − 1 entre o par sender -receiver. A linha vermelha corresponde a cadeia completa,

enquanto a linha azul representa a cadeia double hole.

(41)

estado no receiver aproximadamente três vezes mais rápido que a cadeia completa. Assim, verificamos que há uma otimiza¸cão da performance do protocolo de comunica¸cão na cadeia com os defeitos simétricos. Além dos estudos realizados acima, precisamos verificar se os máximos da fidelidade são adequados para um canal para transporte de estados e para esta análise, novamente iremos aproximar o máximo da fun¸cão F (t) como a equa¸cão (3.6).

Figura 3.16: A fidelidade máxima em fun¸cão do número de spins no canal. Os c´ırculos vermelhos indicam

a cadeia completa, enquanto os losangos azuis representam os valores da cadeia double hole.

Nota-se pelo gráfico acima, que a fidelidade da cadeia completa cai em rela¸cão ao seu análogo dipolar, no entanto, a cadeia double hole permanece com performance unitária para até pelo menos 100 spins. Foram investigadas cadeias maiores, mas por limita¸cões de tempo computacional, bem como erros numéricos oriundos da diferen¸ca entre as autoener-gias na aproxima¸cão temporal (3.6), apenas o gráfico acima foi mantido. As dificuldades de precisão, neste caso, acontecem devido a quase degenerescência entre os dois primeiros autoestados, que podem já ser verificadas nos gráficos 3.2, 3.5 e 3.12. Os três gráficos su-pracitados, no entanto, são para o caso com N = 10, então valores estão confortavelmente dentro da precisão numérica dos cálculos e não há divergência na estimativa do tempo. Apesar dessas dificuldades, o programa utilizado consegue calcular a fidelidade máxima para a maioria dos valores acima de 100 spins, e, nestes casos, os resultados obtidos se mantêm unitários, sendo um indicativo de que a cadeia de van der Waals permanece como um bom canal para transmissão. Os resultados numéricos indicam 0.9999, com flutua¸cões na quinta casa decimal, enquanto que no caso dipolar as flutua¸cões ocorrem na quarta casa de precisão, mostrando que o modelo da cadeia com intera¸cão de van der Waals

(42)

aparenta ter uma pequena vantagem na fidelidade do estado entregue ao receiver.

Por fim, buscamos estudar o comportamento do tempo de entrega do canal de van der Waals em rela¸cão ao do canal ideal. Para o canal perfeito, o tempo de entrega do estado é tid e faremos esta investiga¸cão em analogia ao estudo para o caso dipolar. Portanto,

queremos avaliar a raz˜ao entre o tempo ideal da entrega do estado e o tempo aproximado, que obtemos no final da se¸c˜ao 2.2.

Figura 3.17: Raz˜ao entre o tempo ideal e o tempo aproximado para at´e a cadeia de 100 spins com

intera¸c˜ao de van der Walls.

Investigamos o funcionamento da razão até 100 spins, pois o termo da estimativa temporal novamente causa divergência se buscarmos além disso. Os valores da cadeia completa possuem um comportamento igual ao caso dipolar, em que a razão tende a um valor assintótico tid/t = 0.326 e, para casos menores que 30 spins, a aproxima¸cão (3.6)

é muito pequena, fazendo que a razão tenha um valor grande e, por isso, a ausência dos pontos referentes a N ≤ 30 no gráfico. O resultado mais interessante, no entanto, é o caso double hole, em que a razão entre tempo ideal de transferência e o estimado é tid/t = 0.981, isto é, a cadeia de van der Waals possui tempo de entrega aproximadamente

igual ao tempo ideal. Que nos leva a conclus˜ao de que o caso com ν = 6 se comporta praticamente como um canal ideal para transferˆencia de estados.

(43)

3.5 Intera¸

c˜

ao de Longo Alcance Coulombiano

Outro caso do modelo de longo alcance é quando o fator ν = 1, chamado de potencial de Coulomb, que é um tipo de intera¸cão bastante comum na natureza. Investigaremos, a seguir, como uma cadeia com intera¸cão do tipo Coulombiana se comporta como um canal para transferência de estados. O Hamiltoniano que descreverá a dinâmica desse sistema para transporte toma, portanto, a seguinte forma

ˆ H = N X i=1 N X j=1 j6=i 1 8|i − j| σˆ + i σˆ − j + ˆσ − i σˆ + j − 4ˆσ z iσˆ z j (3.8)

Seguiremos a mesma lógica adotada nas se¸cões subsequentes para estudar o funciona-mento das cadeias para a transferência de estados, no entanto, o faremos com maior brevidade. Primeiramente iremos verificar os autovalores das cadeias e já introduziremos um novo canal, que chamaremos de six holes, o qual corresponde a cadeia otimizada para realiza¸cão de transporte de estados quânticos quando a intera¸cão dos constituintes é do tipo Coulomb.

Figura 3.18: Autovalores referentes as cadeias completa, double hole e six holes com N = 15.

A cadeia six holes, introduzida no gráfico 3.18, corresponde a um modelo com três defeitos adjacentes ao sender e outros três próximos ao receiver, isto é, desligamos os termos de intera¸cão J1,j, J2,j, J3,j, J12,j, J13,j e J14,j. O espa¸camento entre as energias dos

autoestados, para uma cadeia coulombiana, ´e menor, indicando que o sistema em estudo ´e mais fortemente ligado, o que indica que para realizar um desacoplamento maior do espa¸co