Programa scvolt : simulação numérica de conversores estáticos, método do voltímetro, empregando a técnica do passo de cálculo variável

PROGRAMA DE _{PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA ELETRICA}

_ PROGRAMA SCVOLT - SIMULAÇÃO NUMÉRICA DE CONVERSORES

ESTATICOS,

MTODO

DO VOLTÍMETRO, _{EMPREGANDO A TÉCNICA DO PASSO DE CALCULO} .VÁRIÁVEL ›

DISSERTAÇÃO SUBMETIDA A _{UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA CATARINA PARA} OBTENÇÃO DO GRAU DE _{MESTRE EM ENGENHARIA ELETRICA.}

ANA ROSA DE JESUS SILVA

PROGRAMA scvour-SIMULAÇÃO NUMÉRICA DE coNvERsoREs ESTÁTICOS, MÉTODO Do voLTÍ1v1ETRo, EMPREGANDQ

A

TÉCNICA Do PAsso DE CÁLCULO VARIÁVEL -

ANA

ROSA

DE

JESUS SILVA

ESTA DISSERTAÇÃO

FOI

JULGADA ADEQUADA

PARA OBTENÇÃO DO TÍTULO

DE

MESTRE

EM ENGENHARIA,

ESPECIALIDADE ENGENHARIA ELÉTRICA

E

_APROVA

DA EM

SUA

FORMA

FINAL PELO CURSO DE

POS-GRADUAÇÃO

BANCA

EXAMINADORA:

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Curso

de

Pós-Graduação

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Engenharia

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Prof.

Ivo

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Aguiar,

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Ph. D.

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A G R A D E C I M E N T O S

Muitas pessoas, direta ou indiretamente, colaboraram para o desenvolvimento deste trabalho. Gostaria de deixar registrado o meu agradecimento.

À Deus por ter me dado o dom da vida e saúde para concluir esta pesquisa.

À minha familia por ter me incentivado durante toda essa jornada, em especial a minha querida irmã Rita pelo grande apoio, ainda que distante.

À minha querida amiga Rosângela, pela amizade, carinho, dedicação, paciência, colaboração e eficiência com que sempre me atendeu durante todo o

trabalho. '

Ao meu orientador, Prof. Denizar Cruz Martins, pelo 'acompanhamento constante e pela atenção e _{disposição com que sempre me recebeu.}

Ao prof. Arnaldo José Perin, pela colaboração prestada e atenção dispensada no decorrer do trabalho. `

Ao prof. Ivo Barbi, pela dedicação ao curso de Eletrônica de Potência; Aos membros da banca examinadora pelas sugestões e críticas ao trabalho.

Aos companheiros e ao corpo técnico-administrativo do LAMEP, pela amizade, incentivo, presteza e _{boa vontade com que sempre me atenderam.}

Às esposas dos nossos companheiros de curso pela amizade e carinho com que sempre me receberam em suas casas.

Ao Augusto, pela dedicação, profissionalismo e colaboração com que desenvolveu o trabalho de desenho.

Ao Rogério _{pelo trabalho de digitação.} g

Ao Sérgio _{Ricardo, por ter lançado a semente} e incentivado durante a elaboração da pesquisa.

Aos cidadãos brasileiros que financiaram a bolsa de estudo concedida pela CNPQ.

s u H Á R I 0

SIMBQLOGIA RESUMO ABSTRACT

INTRODUÇÃO GERAL

CAPÍTULO I - MODELAGEM DOS SEMICONDUTORES DE _POTÊNCIA

1.1 - Introdução

1.2 ~ _{Modelo Elétrico} 1.3 - Modelo Lógico

1.3.1 - _{Interruptor Generalizado}

1.3.2 - _{Interesse da Representação por Rede de Petri}

1.4 - _{Interação Entre o Modelo Elétrico e o}

Modelo Lógico Dentro do Programa de Simulação

1.5 - _Conclusão

CAPITULO II - MONTAGEM DAS EQUAÇÕES DO SISTEMA 2.1 - _Introdução

2.2 - _{Equacionamento Automático do Sistema}

2.2.1 - _{Determinação Automática da Matriz C2} 2.2.2 - _{Determinação das Equações de Estado}

2.3 - _{Geração de Resultados} u

2.3.1 - _{_Tratamento das Tensões e Correntes}

Simples

2.3.2 - _{Tratamento das Tensões Compostas} 2.3.3 ~ _{Tratamento no Plano de Fase}

2.3.4 - _{Informações Mínimas a Serem Armazenadas}

2.4 - _Conclusão '

p

CAPÍTULO III - _{RESOLUÇÃO DAS EQUAÇÕES DE ESTADO}

3.1 - Introdução

3.2 - _{Resolução das Equações de Estado pelo Método}

da. a Página 001 003 004 005 006 011 016 017 018 019 027 034 037 037 043 047 048 049 051

Exponencial de Matriz

3.2.1 - _{Posicionamento do Problema}

3.2.2 - _{Integração do Vetor de Entrada ao Vetor de}

Estado

3.2.3 - _{Determinação das matrizes}

Au e Cu

3.3 - _{Resolução das Equações de Estado Através da} Diagonalização da Matriz Dinamica

3.3.1 - _{Pf1n¢1p1° ao Método}

3.3.2 - _{Casos Possíveis}

3.3.3 - _{Método de Resolução}

3.3.4 - _{Redução da Ordem do Sistema}

3.4 - _Conclusão

CAPÍTULO IV - _{TÉCNICA DA ESCOLHA DO PASSO DE CÁLCULO} ' 4.1 - _Introdução

4.2 - _{Passo de Cálculo Variável}

4.2.1 - _{Determinação da Tabela do Passo de Cálculo}

4.2.2 Minimizaçao e _{Maximizaçao da Tabela do}

Passo de Cálculo

4.2.3 - _{Mudança Automática do Passo de Calculo}

4.3 - _Conclusão

CAPÍTULO V -

EXEMLOS

ILUSTRATIVOS 5.1 - _Introdução

5.2 - _{Inversor de Mac-Murray}

5.3 - _{Exemplos Ilustratívos da Geração de}

Resultados 5.3.1 - _{Retificador Trifásico Não Controlado}

5.3.2 - _{Inversor em Ponto Médio a Transistor}

5.3.3 - _{Gradador Trifasico com Circuito de Proteção}

5.3.4 - _{Conversor E} - _{I Quase-Ressonante}

5.3.5 - _{Inversor a Tíristor com Modulação PWM Não} Dissipativa

5.3.6 - _{Chopper a Tiristor}

_

5.4 - _{Exemplo Ilustrativo do Emprego do Sistema}

de Estado Expandido

5.5 Comparaçao Entre os Métodos de Simulaçao' 5.6 Conclusao 052 052 061 067 075 075 076 094 095 099 100 103 103 111 115 118 119 119 126 126 129 131 138 140 143 146 151 153

coNcLusÃo GERAL

ANEXOS

ANEXO O1 - NOÇÕES SOBRE REDE DE PETRI ANEXO 02 - FLUXOGRAMAS

ANEXO O3 - CÁLCULO DOS AUTOVALORES PELO ALGORITMO QR

REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS 155 157 166 176 182

A. B. C. U. y. ×. U, Y» ×› Mt mt 1' ll dim (H) Re (v ) Q Im (v ) q min (L) max (L) 1' À1 Q A A d A e A_U B C Cl C , C 1 2 Cr _, C; 1 2 C . I” C_E C_F cy(t) C_U D C maX f F(T) f P t Ill 2 Letras

Letras minúsculas em negrito denotam vetores, exceto nos S I M B O L 0 G I A

maiúsculas em negrito denotam matrizes;

casos _{ml, ..., mls que} denotam submatrizes de _M1;

Tipos minúsculos denotam _{funçoes escalares ou escalares;} Transpostas da matriz _M1 e das submatrizes _{ml e mz}

Dimensao de H;

Parte real de vq;

Parte imaginária de vq;

Menor valor de indutância; Maior valor de indutància; Conjugado complexo de _Ai;

Igual por definição;

Matriz Matriz Matriz Matriz Matriz Matriz Matriz

dinâmica do sistema de estado não autônomo; dinâmica do sistema de estado diagonal; dinâmica do sistema de estado expandido; dinâmica do sistema de estado autônomo; do sistema de estado não autônomo; do sistema de estado não autônomo; de cortes; Submatrizes de _CF; Submatrizes de C”, Matriz Matriz Matriz

das capacitâncias ramo da árvore; das capacitâncias de elo;

de cortes fundamentais;

Vetor corrente nos elementos resistivos; Matriz

Matriz

do sistema de estado autônomo; do sistema de estado não autônomo; Média dos erros máximos por periodo; Freqüência;

Exponencial da matriz dinâmica - eA'T;

Menor distância entre a origem e o ponto p, sobre o

W ¢ GÍT, u(t)] H H i _r(t). i (t) e ic (tl. ic (Ê) r e iE(t) íJ(t) ÍL (Í), ÍL (Ê) r e i P 1R (t), _1R (t) k l a k , k cc r k _RP Í L_r À Í L_e H M) M_F M , M 1 2 III _1' ITI _2' .. D_C n , n c c F G D_E Il J n , n L L P B D_h fl I' Il , Il R R

Ângulo de defasamento entre a curva teorica e a aproximada;

Ângulo de defasamento; Matriz de comando discreta; Matriz de incidência;

Matriz identidade;

Vetores correntes nos ramos da árvore e ramos de ligação;

Vetores correntes nas capacitàncias ramo da arvore e elo;

Vetor corrente nas fontes de tensão;

Vetor corrente nas fontes de corrente;

Vetores correntes nas indutancias ramo da árvore e elo;

Indicador binário de marcação do ponto p;

Vetores correntes nas resistências ramo da arvore e elo;

Número de constantes de tempo necessárias para que o

amortecimento do sistema de segunda ordem atinja a porcentagem desejada;

Constantes _{ligadas a exatidão do passo de calculo;} Número de repetições do passo de cálculo;

Comprimento associado aos arcos do grafo;

Matriz indutància ramo da árvore; Autovalor i da matriz dinamica;

Matriz indutância elo;

Matriz de mútuas entre as indutâncias ramo da árvore e elo;

Matriz de marcação da rede de Petri;

Matriz de laço fundamental; Submatrizes de _MF;

Submatrizes de

Mg

Número de cortes;

Números de capacitâncias _{ramo da árvore} e elo;

Número de fontes de tensao;

Número de fontes de corrente;

Números de indutâncias ramo da árvore e elo;

Número de nós do grafo;

Número de arcos do grafo;

Q qP R r R _bloq R _cond R e P _int S S S ₁₁ sb s s 0 t T T t F T l'l'laX T _min t O TAB I i u(t) v (t). V Í` 3 vc (t), _vc (t) P E vE(t) vJ(t) vL (t), _VL (t) vR (t), vg (t) w x(t) xe(t) xu(t) y(t) z(t)

Matriz de transformação linear;

Ponto anterior a p, sobre o menor caminho entre a origem e

Pi

Matriz resistência ramo da árvore;

Resistência de _{bloqueio dos interruptores.} Resistência _{de condução dos interruptores,} Matriz resistência de elo;

Vetor resistência dos interruptores; Conjunto dos pontos não marcados; Matriz de transformação linear;

submatriz de s;

`

Vetor de saida no instante precedente; Vetor complementar de s;

Vetor de saida;

Tempo;

Passo de cálculo;

Matriz de transformaçao linear;

Tempo final;

Limite superior da tabela do passo de cálculo, Limite inferior da tabela do passo de calculo, Tempo inicial;

Tabela do passo de cálculo;, Constante de tempo i do circuito;

Vetor de entrada do sistema de estado;

Vetores tensões nos ramos da árvore e _{ramos de ligaçao}

Vetores tensões nas capacitäncias ramo da árvore e elo Vetor tensão nas fontes de tensão;

Vetor tensão nas fontes de corrente;

Vetores tensões nas indutâncias ramo da árvore e elo,

Vetores tensões nas _{resistências ramo da árvore e elo} Freqüência angular; Vetor Vetor Vetor Vetor Vetor

estado do sistema nao autônomo; estado do sistema expandido; estado do sistema autônomo; saída do sistema de estado; estado do sistema diagonal.

RESUMO

Este trabalho apresenta um método de resolução das equações de estado aplicado à simulação numérica de conversores estáticos. O equacionamento do

sistema é feito automaticamente, necessitando unicamente do conhecimento da estrutura do circuito, dos seus parâmetros e das ordens de comando dos semicondutores controlados.

O método implantado utiliza a técnica do passo de cálculo variável e emprega um algoritmo para a resolução da exponencial de matriz através da diagonalização desta. A escolha do.passo de cálculo é realizada pelo próprio programa de simulação, segundo a dinâmica do sistema.

O método proposto dispõe de um algoritmo para determinar tensão e/ou corrente em qualquer componente e a diferença de potencial entre dois nós arbítrários do circuito.

Os estudos analíticos foram comprovados através da simulação de diversas estruturas.

A B S T R A C T

This work presents a resolution method of state equations system applied

to numerical simulation of static converters. The determination of the circuit equations is made automatically, requiring only the knowledge of the circuit structure, its parameters and the control orders of the semiconductors.

This method uses the variable step technique, and applies a new algorithm for solving the matrix exponential by the dynamic matrix diagonalization. The choice of the calculation step is _{made by} the simulation program, in conformity to the system dynamics.

The proposed method has an algorithm that determines the voltage and/or current in any component of the circuit, and the voltage between arbitraries two nodes of the circuit.

The analytical studies were validated by simulation of several structures.

INTRODUÇÃO

GERAL

Os primeiros conversores estáticos eram relativamente simples, a tal

ponto que as seqüências de funcionamento dos semicondutores eram obtidas facilmente e o comportamento transitório e/ou permanente da. estrutura. era

estabelecido por um simples estudo analítico.

À medida que estas estruturas evoluíram, o seu nivel de complexidade aumentou, de tal maneira que a determinação das seqüências de funcionamento passou a ser complexa. O estudo analítico que, antes, caracterizava todo o regime transitório e permanente do circuito, tornou-se dificil de realizar.

Visando solucionar esses problemas, foram propostos métodos de simulação numérica mais elaborados. O emprego de tais métodos permite descrever novas perspectivas no estudo das estruturas de conversores estáticos, particularmente sob dois aspectos:

a - _{No estudo de estruturas muito complexas, cuja analise manual se torna} extremamente trabalhosa;

b - No desenvolvimento e estudo de novas estruturas a semicondutores de

potência.

O programa apresentado neste trabalho consiste em um potente instrumento para o estudo e analise de sistemas a semicondutores. Ele utiliza um método de simulação sem a priori (SAP) [11], onde o conhecimento da estrutura do

conversor, de seus parâmetros e das ordens de comando dos seus interruptores controlados são suficientes para a realização da simulação.

O trabalho todo se concentrou basicamente no melhoramento do método de

resolução das equações de estado e da geração de resultados.

Normalmente, em um programa de simulação, as fontes são consideradas constantes durante o passo de cálculo. Este método de solução do sistema de

equações de estado não é adequado para o caso em que as fontes são variaveis, porque produz uma defasagem nas curvas de valor igual ao passo de calculo. Por outro lado, o passo de cálculo é estabelecido pelo usuário e mantido constante durante toda a simulação. Este procedimento pode ocasionar perdas de pontos,

.principalmente nos casos de regimes transitórios muito rápidos.

Devido a estes problemas, se implantou um método de resolução das equaçoes a passo variável, onde as fontes nao influenciam a soluçao do sistema

(sistema de equações autônomo). A escolha do passo de cálculo está ligada a dinãmica do sistema e é realizada pelo próprio programa de simulação.

Este trabalho é dividido em cinco capítulos, os quais serão descritos suscintamente abaixo:

No primeiro capitulo é salientada a importancia de se escolher o modelo representativo dos semicondutores. São descritos os modelos elétrico e lógico para os semicondutores, bem como a sua interação dentro de um programa de

simulação.

No capítulo II apresentam-se os inconvenientes dos programas que fornecem como resultado da simulação apenas as variáveis de estado e as

tensões nos elementos resistivos. É proposto um algoritmo para calcular tensão e/ou corrente em qualquer componente, bem como a diferença de potencial entre dois nos arbitrários da estrutura.

É salientada, ainda, a importância do equacionamento automatico do sistema dentro de um programa de simulação global.

A seguir, no capítulo III, é abordada. a resolução das equações de

estado, mostrando o inconveniente provocado quando se consideram que as fontes variaveis são constantes durante o passo de cálculo. A solução proposta consiste em integrar o vetor de entrada dentro do vetor de estado,

transformando o sistema original em um sistema linear autônomo.

É definida ainda, a resolução das equações. de estado através da diagonalização da matriz dinamica, a qual visa diminuir o tempo dispendido durante o cálculo da exponencial de matriz.

No quarto capítulo é mostrada. a importância da escolha do passo de

cálculo na resolução das equações de estado. Este método mostra claramente que para obter uma boa exatidão não é necessario manter um passo pequeno durante toda a simulação.

No capítulo V são comentados e analisados diversos exemplos de

aplicação, os quais foram simulados com a finalidade de comprovar a validade e

cAPITuLo

1

MODELAGEM DOS SEMICONDUTORES DE POTÊNCIA

N 1.1 Introdução

O primeiro passo na concepção de um programa de simulação é a escolha de

um modelo para os semicondutores. Este modelo deve traduzir as características físicas, bem como o desempenho dos semicondutores dentro de um circuito elétrico.

O método empregado de simulação numérica seqüencial sem a priori (SAP),

desenvolvido para o estudo de conversores estáticos de potência, não necessita do conhecimento prévio das seqüências de condução dos semicondutores, nem dos

instantes de comutação, mas somente da estrutura, de seus parâmetros e das

ordens de comando dos interruptores controlados. Este método de simulação numérica permite o estudo de novas estruturas de conversores estáticos, de

regimes ntransitórios severos e analise de estruturas submetidas a um funcionamento anormal (por exemplo uma falha no comando, capaz de levar o

semicondutor ã destruição). '

Estruturas a semicondutores funcionando em comutação são na realidade sistemas _{não lineares (linearizados por partes). A principal dificuldade na} análise de tais estruturas está ligada à determinação da existência e do

encadeamento das seqüências elementares definidas pela condução ou bloqueio dos semicondutores.

Um método de simulação SAP deve estar capacitado a determinar automaticamente, para qualquer conversor estático, as diversas configurações provenientes das comutações dos interruptores. Sendo que o encadeamento dessas configurações (seqüências de funcionamento) sera determinado pelas características funcionais do modelo de cada semicondutor. A representação funcional dos interruptores é realizada através da rede de Petri (Anexo 1), a

qual inclui um bom compromisso entre a generalidade e a simplicidade de

implementação [O1].

Dentro da nova concepção de modelagem de interruptores de potência, a cada semicondutor está associado um modelo elétrico, que define a representação do componente a nível de circuito elétrico, e um modelo lógico,

que define o estado do semicondutor (bloqueado ou em condução).

1.2 - Modelo Elétrico

A escolha do modelo elétrico para os semicondutores é um ponto fundamental na concepção de um programa de simulação SAP. Do seu grau de aprimoramento dependerão: a exatidão dos resultados, a complexidade do

programa e <› tempo de cálculo. O grau de aprimoramento para a escolha do

modelo elétrico do semicondutor dependerá do propósito para o qual o programa será_concebido; se o interesse é observar os fenômenos a níveis mícroscópicos do semicondutor, então deverá ser escolhido um modelo sofisticado baseado no

comportamento físico do mesmo.

No presente trabalho o interesse principal é conhecer o funcionamento global dos conversores, e observar os fenômenos a niveis macroscópicos. Desse ponto de vista, um interruptor de potência pode ser perfeitamente caracterizado por uma impedância variavel; onde: interruptor aberto à

impedância de altíssimo valor e _{interruptor fechado â impedância de} baixíssimo valor. A questão que se coloca neste momento é a escolha adequada dessa impedância.

A representação do interruptor conforme enunciado acima nos leva a

classificar o modelo dos semicondutores em duas categorias:

a) Modelo a Topologia Variável - _{Neste modelo, ocorre uma mudança de} topologia a cada comutação. Os interruptores são representados por duas impedâncias (nula ou infinita), de acordo com o estado lógico de

saída, e a cada seqüência tem-se um sistema particular de equações. A

dificuldade _{maior neste modelo reside no fato de se ter que} recalcular as equações do circuito a cada comutação.

b) Modelo a Topologia Constante - _{A topologia, neste modelo, permanece} fixa a cada comutação. Os interruptores sao representados por duas impedâncias finitas (baixa ou alta), de acordo com a saida do sistema

1 Ógico. . Como a topologia . do . . .. . ..

circuito nao muda, o sistema de equaçoes permanece fixo com parâmetros variáveis.

O modelo elétrico mais indicado para um programa de simulação SAP é a topologia _{constante, devido â facilidade em se calcular a tensão nos terminais}

do interruptor, cujo conhecimento é inmrescindível para a análise de cada seqüência de funcionamento e das condições de mudança de configuração. O modelo a topologia variável é mais recomendado em métodos de estudo "manuais",

onde a modelagem de um semicondutor no estado bloqueado ou em condução feita por um circuito aberto ou um curto-circuito, simplifica a analise [09].

Existem inúmeras representações de semicondutor, sendo algumas delas bastante complexas [28] [29] [30], que podem ser utilizadas neste tipo de modelagem. Quanto mais elaborado o modelo, mais realísticos serão os resultados da simulação, entretanto, a simplicidade e a rapidez ficam comprometidas. Portanto, a intenção é escolher um modelo que não sacrifique essas duas condições e cujos resultados sejam suficientemente exatos para traduzir os fenômenos físicos decorrentes do funcionamento do conversor. É

importante lembrar que os fenômenos de ordem microscópica descritos por modelos sofisticados que representam fielmente os diferentes semicondutores, como por exemplo o modelo de Ebers-Moll para o transistor [33], são na sua maioria sem interesse para os especialistas em eletrônica de potência, quando estes estão preocupados em conhecer o funcionamento global dos conversores estáticos.

Sendo assim, os semicondutores foram representados sob a forma de uma resistência binária, que varia de um valor muito alto (bloqueio à _{Rbloq) a um} valor muito baixo (condução à _Rcond). O valor da resistência é determinado a partir de um teste de polaridade da tensão nos terminais do semicondutor. A grande vantagem dessa representação, além da simplicidade de implementação, reside no fato do modelo obtido ser de ordem zero. Evidentemente é sempre possivel melhorar localmente o modelo do semicondutor acrescentando elementos em série ou em paralelo, tais como: indutàncias, capacitáncias, fontes controladas ou não, etc.

1.3 - Modelo Lógico

O modelo lógico de um semicondutor é representado por um sistema mono-saida. A saída é uma variável lógica que caracteriza a sua condução ou não e, portanto, o valor da resistência a ele associada _{(Rcond ou Rbloq).} Essa saida depende não só do vetor de entrada como também do estado do

semicondutor.

A escolha do modelo elétrico sob a forma de uma resistência binária permite considerar como entrada do modelo lógico o vetor u = _{(V, G); onde V} é

uma função lógica que caracteriza a polaridade da tensão v(t) nos terminais do

semicondutor e, portanto, o sentido da corrente (V = 1 e v(t) > O e V = O e

v(t) S O), e G é uma função lógica que representa o sinal de comando.

Um semicondutor não pode ser representado por um sistema combínatórío

[11], uma vez que sua saída depende do valor das entradas a um dado instante, e do seu passado. Por exemplo, num modelo simplificado, a saída de um tiristor

é perfeitamente definida se e somente se as três variáveis lógicas v(t), G e S

(saída no instante precedente) são conhecidas. Isso implica na representação do semicondutor por um sistema seqüencial.

A representação seqüencial conduz ã definição do estado do semicondutor, que sera considerado como a informação mínima num determinado instante capaz de dar continuidade à evolução do sistema de estado do interruptor, a partir do vetor de entrada. No exemplo citado a variavel de estado sera S. O estado

do semicondutor depende da complexidade do modelo escolhido (consideração do

tempo de aplicação da tensão inversa _{=> tlnv,} cargas armazenadas, etc). A

saída lógica. do semicondutor (em condução ou bloqueado), só identifica o estado deste para modelos simplificados; ela é geralmente um componente do

vetor de estado.

A figura (1.1) mostra o modelo lógico simplificado de um semicondutor.

V u E

_____S_›

G U = _Entrada; E = Estado do semicondutor; S = _Saída (0 ou 1); S = O => R _bloq S = 1 => R cond

Fig. 1.1 - Modelo lógico de um semicondutor.

1.3.1 - Interruptor Generalizado

Na maioria dos programas de simulação, os semicondutores (diodo,

separadamente.

A noção de interruptor generalizado surgiu para unificar o modelo dos semicondutores [34]. Tal definição só é _{possível a partir da introdução, no}

modelo lógico, de um componente do vetor de estado. As vantagens obtidas, além da simplicidade, sao:

a) Facilidade de manutenção do programa. de simulação (introdução de novos interruptores â por exemplo: tirístor dual);

b) Possibilidade de composição de semicondutores (tirístor-diodo em antiparalelo, transistor-diodo em série, etc);

c) Estudo de falhas de funcionamento, particularmente aquelas que levam a destruição dos semicondutores.

- _{Representação por Rede de Petri}

Para a representação funcional do interruptor generalizado foi escolhida a rede de Petri, cuja definição depende da natureza do semicondutor considerado (diodo, tirístor, transistor, etc), e da complexidade do modelo escolhido (representada por seu vetor de estado).

Basicamente a rede de Petri é formada por um grafo, contendo lugares e transições , e por uma marcação inicial [35]. Os lugares caracterizam o

estado do semicondutor e _{as transições estão associadas as receptividades que}

são funções das condições de comutação. A receptividade é uma variável lógica,

função das grandezas caracteristicas do interruptor _{(V, G, tlnv,} etc).

Uma transição é _{dita sensibilizada por uma dada marcação se cada um de}

seus lugares precedentes contém ao menos uma ficha (figura (1.2)). Uma transição é dita disparável se simultaneamente ela está sensibilizada e se sua receptividade esta verdadeira (na figura (1.2), _{se vak>} O, então a transição

T1 é dísparável, não ocorrendo o mesmo com T2). Disparar uma transição

significa retirar uma ficha de todos os lugares de entrada e colocar uma ficha em cada lugar de saida (figura (1.3)).

T1 _T2

T1 = transição sensibilizada;

T2 = transição não sensibílizada.

Fig. 1.2 - Exemplo de uma transição sensibilizada.

n

Fig. 1.3 - _{Disparo de uma transição.}

Para representar os interruptores de potência sera considerada uma rede de Petri _lixre (no máximo uma ficha por lugar), e _pura (um lugar não pode ser ao mesmo tempo entrada e saida de _{uma transição). A representação funcional de} um conjunto de interruptores é mostrada na figura (1.4), levando em

T1 T2 T3 Lugares 1: Diodo bloqueado 2: Díodo em _condução 3: Tiristor bloqueado T4 Ts Tô Transições T : v 1 ak T : v 2 ak T : V 3 ak > S > O O (z _íak

50)

O e G = 1 4: Tiristor em _{condução T} : v S O (= i S O) , 4 ak ak 5: Transistor bloqueado _{T5: G} = 1 6: Transistor em _{condução T6: G} = O

(vak = Tensão ànodo-cátodo; G = Sinal de gatilho)

Fig. 1.4 - Representação por rede de Petri.

,.~

Definindo os estados lógicos 1 e O para um interruptor, em condução _e

bloqueado respectivamente (saida do interruptor), associa-se ao grafo da rede de Petri um vetor de saida so, que fornece o valor da saída do interruptor para uma dada posição. O valor lógico da saída do interruptor para uma dada marcaçao M' _{sera determinado a partir do produto matricial:}

s = s .M' _(1.1)

o

A representação funcional de um conjunto de interruptores sera feita pela definição de uma rede de Petri colorida, onde o número de cores

Petri a três cores. 5 T1 . T2 T T T3 4 T5 6 2 4 6 Lugares 1: Diodo bloqueado 2: Diodo em condução 3: Tirístor bloqueado 4: Tirístor _{em condução} 5: Transistor bloqueado 6: Transístor em condução Onde: I1 = Diodo bloqueado I2 = Tíristor bloqueado 13 = Transistor em condução

Fig. 1.5 - _{Representação dos três semicondutores por uma rede de}

Petri colorida.

A matriz de saída da rede de Petri, para o exemplo anterior, se calcula da seguinte maneira: Transições T : v 1 ak T : V 2 ak T': _v 3 ak T : V 4 ak T : G = 5 T : G = 6 > 5 > 5 1 O (= 1 5 O) ak e G = 1 (2 í S 0) ak

Os s _{= so} . M' = [O 1 O 1 O 1] _. O O O O w O

valores das resistências associadas aos interruptores no estado P---¬ O O O H O w O O O O O O s = [O O 1]

bloqueado ou em condução podem ser deduzidos da equação vetorial:

r = s . R + s . R (l.2)

int cond bloq

r = [ 0 O 1 ] . R + _[ 1 1 O _{] .} R

int cond bloq

r _int = [ R _bloq R R 1

bloq cond

1.3.2 - Interesse da Representação por Rede de Petri

a)

bl

Tratamento Sístemátíco - _{Definida. a rede de Petri e a marcação}

inicial, sua evolução é _{gerada por simples cálculo matricial (Anexo}

1). ou seja, _{implantação facil a nivel computacional.}

Extensibilidade - _{As extensões possíveis de uma rede inicial} se

apresentam sob diversas formas [11L

- _{Modificação do modelo de estado do interruptor}

pela extensão da equação que rege a receptividade de uma transição (figura (1.6));

T3

3: Tiristor bloqueado 3: Tíristor bloqueado 4: Tiristor _{em condução} 4: Tírístor em condução

Tzv

>O

(

3 ak 3 ak

T:V

- _{Consideração de novos interruptores pela modificação das equações} e G = 1 T': v > 0 e G = 1 ou

inv

S0

T':v

_SO

4 ak 4 ak

Fig. 1.8 - Modelo modificado do tíristor.

ligadas às transições (figura (1.7));

Ts T4 T7 _Ts

3: Tiristor bloqueado 7: Tírístor _Dual bloqueado 4: Tíristor _{em condução 8: Tírístor Dual em condução}

T:v

_{3 ak} |

T:V

4 ak Fig. 1.7 > S O e G = 1 T : v 5 O 7 ak O T : v > O e G = 1 8 ak

Definição de um novo interruptor - _{tírístor dual}

- _{Consideração de novos interruptores modificando o grafo da rede de}

Petri.

A figura (1.8) apresenta uma extensão da rede inicial (figura (1.4)L levando em consideração o tempo de estocagem dos transistores [19].

T5

T6

Lugares: _Transições

5: Transístor bloqueado _T5: G = 1

8: Transístor em condução _{T6: G = O}

9: Estocagem _{das cargas T9: Tempo de estocagem}

na base esgotado

Fig. 1.8 - Consideração do tempo de estocagem dos transistores.

A figura (1.9) mostra a possibilidade de composição de um novo interruptor: tiristor-diodo em antíparalelo.

T14

‹--

vak

--

a G k T¬|0 T12

ø

Lugares _Transições

10: Tiristor bloqueado, diodo bloqueado _Tio: G = 1

11: Tiristor _{em condução, diodo bloqueado T11:}

vak > O e G = 1

12: Tiristor bloqueado, diodo em condução _{T12: vakfi} O (= _íakí O)

T : v < O

13 ak

T : v 2 O e G = 0 14 ak

(= id 5 0) Fig. 1.9 - Interruptor composto: tíristor-diodo em antíparalelo.

A vantagem _{da rede de Petri' reside no fato que ela atende a dois} compromissos importantes: generalidade e simplicidade de implementação. Além disso, esse tipo de representação, ligada a definição do interruptor generalizado, possibilita uma grande flexibilidade ao programa de símulaçao, permitindo ao usuário definir sua própria rede de Petri.

Q

É

T1

E

A- SC1 ____5_______ 5* _._______.___.___.__¡_ 074 0,-| ________ _____J f`í"í"_"""_`_ _ N-‹ SC2 .___._3_ UI 5*_m -4 _ N

F

|.___._..._.___| SC! ¡__. Lugares 1: Díodo bloqueado 2: Díodo em conduçãol 3: Tírístor bloqueado 4: Tírístor em condução

13: Tírístor em condução com sobrecarga

14: _{Tírístor destruído por}

sobrecarga

15: Tirístor destruído _por

excesso de tensão reversa

5: 6:

7: Tírístor Dual bloqueado Transístor bloqueado Transístor em condução

8: Tírístor Dual em condução

Transíç ões T : v 1 ak T : v 2 ak T : v 3 ak T : V 4 ak T . 15 > O 5 0 (= _{íak s} 0) > O e G = 1 s O (= _{íak s} 0) : 1ak > (1 ) ak max T : í < 1 ₎ 16 ak ( T : W 17 T : v 18 T : G = 5

G:

›-1~›-1 ~1co V _ak T : V 8 ak

Fig. 1.10 - _{Representação por rede de Petri de}

A figura (1.10) representa um exemplo de uma rede de Petri completa,

ak ak max 2 (12 _ak .t) > _(v 1 O < O 2 O e G = IIIEIX ak lnv max 1, falha em um tírístor

levando em consideração o _{tiristor dual e o funcionamento anormal de um} tiristor convencional (estudo de _{falha à destruição por sobrecarga}

iÍk.t ou

por excesso de tensão reversa).

1.4 - _{lnteração entre}

2

Modelo Elétrico e o Modelo Lógico dentro do Programa

av

de Simulaçao

Dentro do programa _{de simulação existe uma ligação recíproca entre o} modelo lógico e o _{modelo elétrico. A partir da determinação do vetor de saída} s no modelo lógico fica perfeitamente definido o valor da resistência que caracteriza o modelo elétrico:

r = s . R + s . R

int _{cond bloq}

A figura (1.11) _{mostra simplificadamente a interação entre os modelos}

lógico e elétrico.

Mooeto 1_o'‹s|co _{MooE1_o EL¡šTR|co}

IU V S

E

G I I O I Rbmq I ¡"%“° Rcond I

Fig. 1.11 - _{Representação simplificada}

da interação entre os modelos lógico e elétrico de um semicondutor. '

1.5 - Conclusão

h

Este capítulo teve como principal finalidade mostrar a importancia de se

escolher o modelo representativo dos semicondutores. A escolha de um modelo complexo nem sempre é a melhor opção. Um modelo simples e bem adaptado oferece resultados bastante satisfatórios, sem complicar demasiadamente o programa de

simulação, principalmente se o interesse está voltado para a análise do funcionamento global do conversor. Em uma grande variedade de exemplos, os

resultadosv oriundos da simulação, empregando a modelagem apresentada, se

mostraram coerentes com aqueles obtidos experimentalmente [O1] [11] [31] [32].

É importante salientar que sempre é possível melhorar localmente o modelo de

um interruptor, acrescentando elementos passivos e/ou ativos [24].

A definição do interruptor generalizado com representação por rede de

Petri ermitiu uma considerável sim lifica ão a nível de "software" P e a possibilidade do estudo de conversores estáticos sob diferentes formas de funcionamento (transitórios severos, falhas de funcionamento, etc).

|

cAPITuLo

11

MONTAGEM AUTOMÁTICA DAS EQUAÇÕES DO SISTEMA

2.1 - _Introdução

Nos últimos _{vinte anos varios laboratórios no mundo inteiro vêm} pesquisando métodos de simulação numérica aplicados a sistemas eletrônicos de

potência. O objetivo principal. a ser atingido consiste em se obter um "software" que exija o minimo de informações de entrada e possa fornecer como saida todas as informações necessárias sobre o sistema em estudo. Um aspecto importante na evolução desta linha de pesquisa diz respeito ao equacionamento automático do sistema. Este itenx é fundamental num programa de simulação global ou simulação seqüencial sem a priori [l1]. Em geral os parâmetros de

entrada em um método de simulação global são: a estrutura do circuito com os

respectivos valores dos componentes a ela associados e os comandos dos semicondutores. As seqüências de funcionamento são determinadas a todo instante a partir da evolução das diferentes variáveis de estado [O1].

A importância de se desenvolver esse método de simulação é justificada por dois motivos:

a) Não necessidade do conhecimento das seqüências de funcionamento do conversor em estudo;

b) Estudo de novas leis de comando e de regimes transitórios nao convencionais.

O modelamento elétrico dos semicondutores sob a forma de uma resistência binária, implica que o sistema elétrico pode ser representado por uma seqüência de sistemas lineares e portanto matematicamente por um sistema de

~

equaçoes de estado da forma:

›'‹(t) = A.x(t) + _B.u(t)

(2.1)

Onde:

x(t) = Vetor de estado; u(t) = Vetor de entrada; y(t) = Vetor de saida.

A maioria dos programas existentes fornece como resultado da simulação apenas as variáveis de estado e quando muito as tensões nos terminais dos componentes resistivos [01] [33] [31] [36] [37] [32]. Um programa de simulação utilizado como ferramenta para estudo e análise em eletrônica de potência deve fornecer uma quantidade de resultados mais completa na saída. Um método é sugerido para calcular a tensão e/ou corrente em qualquer componente do

circuito, pertença ele ou não ao vetor de estado, e mesmo a diferença de

potencial entre dois nós quaisquer da estrutura. A idéia é fornecer ao usuário um "software" que permita medir qualquer dessas grandezas elétricas como se o mesmo estivesse sobre uma bancada experimental e díspusesse de um

osciloscópio. '

2.2 - _{Equacionamento Automático do Sistema}

O equacionamento do sistema elétrico está todo baseado nos resultados clássicos da teoria de grafos. Serão introduzidos nesta seção alguns conceitos básicos sobre essa teoria [O4] [13].

_ Um grafo linear é definido como um conjunto de pontos chamados nós, e segmentos lineares (arcos). Os nós determinam o inicio e o fim dos arcos.

Um circuito elétrico pode ser associado a um grafo linear, onde cada elemento do circuito é representado por um arco que liga dois nós deste grafo.

A figura (2.1) ilustra a correspondência entre um circuito elétrico e um grafo

@

i ~

K

@

í.

@

cz)

]*`NW2'\Í\N\

3

`|®2@

₃ ~

1-%¢-1

*@

_T

@

©

(D

@

. _ 4 _ 4 1

Fig. 2. 1 - Circuito elétrico e seu grafo orientado _associado.

A partir do grafo do circuito, determina-se um subgrafo (árvore) que contém todos os nós do grafo original, sem, no entanto, formar um caminho fechado (laço). Os ramos da árvore são escolhidos na seguinte ordem: fontes de

tensão, capacitores, resistores, indutores e fontes de corrente. Assim, uma árvore contém todas as fontes de tensão, o maior número possíve1_ de

capacitores (todos que não formam um laço), resistores e o menor número de indutores. Normalmente ela não contém qualquer fonte de corrente [12]. Se essa ordem de escolha dos ramos for _seguida de acordo com a numeração dos elementos do circuito, podemos dizer que a árvore associada à estrutura será. única.

A figura (2.2) mostra a árvore associada ao circuito elétrico da figura

(2.1). ' =

-i

Braços da árvore --.- Enlaces

®

@z@

1

--‹---3

e

\Ê”>

@

z ₄

Os arcos que não pertencem a árvore são denominados elos. Na figura

(2.2) os elos são representados por segmentos tracejados. A conexão de um elo

à. árvore permite definir um laço, dentro do qual circulará uma corrente.

Portanto, as correntes de elo são as correntes independentes.

A tensão de elo é imposta pelas tensões nos ramos da arvore. As tensões independentes são portanto as tensões nos ramos da árvore [21].

O estudo da topologia do circuito permite obter o equacíonamento automático do sistema. Esse equacíonamento consiste em relacionar as correntes ramo da árvore _ir com as correntes de elo _ie, e as tensões de elo _ve com as

tensões ramo da árvore vt. Essas_relações possibilitam o equacíonamento na forma de estado.

Na concepção do estudo proposto é fundamental à determinação da matriz de laço fundamental. Esta é obtida por um algoritmo a partir da matriz de

incidência, que exprime a posição dos arcos em relação aos nós [13]. Tais matrizes sao apresentadas a seguir:

- _{Matriz de Incidência}

A partir do grafo do circuito, é possível construir uma matriz que conterá informações sobre a posição dos arcos em relação aos nós [231. A matriz de incidência (H) é uma matriz retangular, cujos elementos assumem os

seguintes valores:

1 , se o arco J sai do nó i;

hi) = -1 , se o arco J entra no nó i;

O , se o arco j não incide no nó i.

1 O O 0 ~1 -1 4 -1 1 1 0 o o 1 H = o -1 o -1 1 o z o o -1 1 o 1 3 NÓS 1 2 3 4 5 6 I I Arcos Onde: dim (H) = _nn × _na nn = Número de nós do grafo; na = Número de arcos do grafo.

- _{Matriz de Laço Fundamental}

A matriz de incidência da informação sobre as incidências de arcos em

nós, mas não informa nada a respeito dos arcos em relação aos laços. Esta informação posterior é dada pela matriz de laço fundamental _(MF). Os elementos desta matriz assumem os seguintes valores:

1 , se o arco j pertence ao laço fundamental i com

a mesma orientação;

mF¡ = -1 , se o arco J pertence ao laço fundamental i com

J

orientação oposta;

O , se o arco J não pertence ao laço fundamental í.

I

®

@

Ê)

aí.- :(49

o

@

5:55 É; .QE \\\ 4

Fig 2.3 - _{Grafo dos laços fundamentais.}

Os laços fundamentais são orientadas de acordo com o senfiido dos elos. A matriz de laço fundamental pode ser dividida em duas submatrízes considerando

inicialmente os ramos da arvore, e em seguida os elos:

o -1 1 1 o o 1 MF

='

1 1 0 o 1 o z Laços 1 o 1 0 o 1 3 1 2 3 4 5 6 I II I Ramos da Elos Árvore _M2 M 1 Onde: dim (M ) = n × n F l a

nl = Número de laços (elos); na = Número de arcos do grafo.

A soma das tensões ao longo de um laço é nula, assim:

V

M.v=o

=›

[M

¶=[o]

_(2.2)

F 1 2 _Ve

Ou seja:

M

.v + _{M .v} = [ O ] à M .v = - _{M .v (2.3)} 1 r 2 e 2 e 1 r M2= Matriz identidade v = - _{M .v (2.4)} e 1 r Sendo que:

v

= _{Vetor tensão no ramo,da arvore;}

I”

ve = Vetor tensao no elo.

- _{Matriz de Corte Fundamental}

Um corte é um conjunto de arcos de um grafo cuja remoção torna o grafo desconectado em exatamente _{dois subgrafos. Como a matriz de incidência} descreve as orientações dos arcos em relação aos nós, a matriz de corte fundamental pode ser definida para descrever a presença de arcos e sua orientação relativa a um corte. Os termos dessa matriz assumem os seguintes valores:

1 , se o arco j pertence ao corte i com

a mesma orientação;

CFIJ = -1 , se o arco J pertence ao corte í com

orientação oposta;

0 , se o arco j não pertence ao corte i.

Ç) I

1®z@

E3

___/3

É

e

\ @_É1 @\

Q4.

» _I/ .

+

Fig. 2.4 - _{Grafo de cortes fundamentais.}

A orientação dos cortes fundamentais é de acordo com o sentido dos ramos da arvore. A matriz de corte fundamental pode ser dividida em duas submatrizes

(C1 e C2), considerando inicialmente os ramos da árvore e em seguida os elos:

1 O O O -1 -1 1 CF = 0 1 O 1 -1 O 2 Cortes O O 1 -1 O -1 3 1 2 3 4 5 s I I I I C C 1 2 Onde: dim (C ) = n × n F c a

nc = Número de cortes (ramos da árvore);

na = Número de arcos do grafo.

A soma algébrica de _{todas as correntes através dos arcos do corte} é zero, logo:

cF.â=.[oI

=›

C.i

_+C.í

_=|:0]

=›

C.i

=-C.i

_(2.6) 1 r 2 e 1 r 2 e C1= Matriz identidade i = - C .í _(2.7) r 2 e Sendo que:

í = Vetor corrente _{no ramo da árvore;}

I”

_.

i = Vetor corrente _{no elo.} ~

8

- _{Relação entre}

E2

É

111:

O termo

_mu

da matriz _M1 corresponde ao laço fundamental

Â

(elo

®)

e ao ramo

@

, o termo

cfl

da matriz C2 corresponde ao corte fundamental

, ou seja, ao ramo

(D

e ao elo

®

.

- _Se

mu

= O, significa que o ramo

@

não pertence ao laço

fundamental 1 . ` _ /' (D

É

/ GD l '.

Fig. 2.5 - _{Caso em que}

mu

= 0.

. O corte fundamental

não pode cortar o elo

@

sem cortar os outros arcos, logo o elo

®

_{não pertence a este corte. Portanto,}

m=0

=›

c=0

- _Se

m1J= t 1, significa que o laço fundamental _¿Í§ contém o ramo

[Í]

6)

l>

_GD

E]

C9

Í>

__®_ = 1 :-1 I OJ¡ -'I _cji: '|

Fig. 2.6 - _{Casos em que: a)}

mij = 1;

b) m = -1.

1]

O corte fundamental _Efl não pode passar pelo laço fundamental ¿Ê§ ,

sem cortar o elo _<:) . Os dois casos acima conduzem a afirmar que:

m - - _c 11 51 Assim: c2= - _M: (2.8) Onde: M: = Transposta de

Mr

2.2.1 - _{Determinação Automática da Matriz} ge

O equacionamento automático está portanto ligado à determinação de uma das duas matrizes _C2 ou _M1. O algoritmo de Welsh permite determinar a matriz C2 a partir da matriz de incidência, que é facilmente obtida numerícamente, definindo cada arco pelo seu nó de partida e de chegada.

28 Algoritmo de Welsh [42]

aiii

- _Seja

_H

_{a matriz de incidência do circuito,}

supostamente conhecida.

- _{Para cada coluna}

J de H, considera-se o primeiro elemento não nulo _{hi] tal} que nenhum elemento da linha tenha sido escolhido nas colunas precedentes. Se tal _{elemento existe, marca-se a coluna J correspondente com o valor da}

linha i, caso contrário marca-se a _{coluna com 0.}

- _{Em seguida substitui-se toda a linha tendo um}

elemento não nulo na coluna j

por sua soma ou diferença com a linha i, de maneira que _hi] seja o único elemento não nulo na coluna J.

- _{A árvore do circuito é obtida tomando as colunas}

marcadas com números nao nulos. Em seguida permutam-se as colunas da matriz de maneira a classifica-las em ordem _{crescente. A matriz de cortes} C”, _{obtida suprimindo} uma das linhas nulas, tem a forma seguinte:

C' =

[ C; C; 1 }

Ramos da arvore

Ramos da árvore

--J

l--

_Elos

Onde:

dim (C') = _(n - _{1) × n}

H Ô

nn= Número de nós do grafo;

na= Número de arcos do grafo;

(nn- 1) = Número de ramos da arvore;

(na- nn+ 1) = Número de elos.

~ _{Os cortes descritos por esta matriz podem diferir}

dos cortes fundamentais com respeito às orientações (que podem ser opostas), e quanto as ordens dos arcos aos quais _{eles estão associados. A matriz C2 é obtida a partir da} expressao:

Com o intuito de colocar com maior clareza o algoritmo apresentado, será mostrado a seguir um exemplo baseado no circuito da figura (2.1). A matriz de

incidência será repetida abaixo por conveniência:

-1 1 1 O O O O -1 O -1 1 O O O -1 1 O 1 1. O O O -1 -1

H:

1 2 3 4 5 õ

Primeiro Passo: Primeira coluna

O primeiro elemento não nulo está na linha 1. O arco _<:) pertence à

árvore. »

Anulam-se os outros elementos da coluna 1:

Linha 4 = linha 4 + _linha 1

C9 -1 1 1 O O O 1 O -1 O -1 1 O 2 O O -1 1 O 1 3 O 1 1 O -1 -1 4

H

= 1 2 3 4 5 6

Segundo Passo: Segunda coluna

O primeiro elemento não nulo, ainda não considerado, se encontra na linha 2. O arco _(:) pertence a árvore.

Anulam-se todos os outros elementos da coluna: Linha 1 = linha 1 +

unha

2 '

Assim:

®®

-1 _O 1 -1 1 O 1 O -1 O -1 1 O 2 O O -1 ~ 1 O 1 3 O O 1 -1 O -1 4

H:

1 2 3 4 5 6

Terceiro Passo: Terceira coluna

O primeiro elemento não nulo esta na linha 3. O arco _{<:)pertence a}

arvore.

Anulam-se _{todos os outros elementos da coluna:} Linha 1 = linha 1 + linha 3

Linha 4 = linha 4 + _linha 3

®®@

-1 o o 0 1 1 1 H = o -1 o -1 1 o _zu o o -1 1 o 1 3 O O O O 0 O 4 1 2 _ 3 4 s 6

Quarto Passo: Quarta coluna

Os únicos elementos não nulos da. coluna. 4 estão nas linhas 2 e 3,

contudo, essas linhas já foram consideradas. Desta forma, não existe elemento não nulo, ainda não considerado, sobre a coluna 4. _Portanto, o arco _{(:> é} um

C) Ç) Ç) o o o -1 O O O 1 1 1 O -1 O -1 1 O 2 O O -1 1 0 1 3 O O O O O O 4

H:

1 2 3 4 5 S

Verifica-se que a matriz H obtida já está ordenada e classificada em ordem crescente, onde de um lado estão os arcos pertencentes à arvore e do outro lado os elos. Assim não ha necessidade de se permutar qualquer coluna.

Suprimindo-se a linha nula número 4, obtém-se:

-1 O O O 1 1 1 C'= O -1 O -1 1 O O O -1 1 O 1 1 2 3 4 5 6 I I I I C1 c› 1 2

A matriz _C2 é obtida a partir do seguinte produto matricial:

0 -1 -1

c

=c'

. c' = 1 -1 o

2 1 2

1 o 1

A matriz _M1 sera portanto:

o-11

M1=-c;=

110

1 o 1

Obs.: Comparando as matrizes _{C2 e M1} obtidas a partir do algoritmo de Welsh com as obtidas a partir da analise das figuras (2.3) e (2.4), verifica-se o bom desempenho deste algoritmo.

- _{Definição dos elementos da matriz} NI

Os elementos da matriz _M1 são definidos da seguinte maneira:

III Ill In III Il

1 2 3 4 C

M =

Ill III m III Il

9 10 11 12 L

Ill III III III II

13 14 15 16 J Il D Il I1 E C R L I . Numero de ramos da Onde: nn = Número F n = _Número R G nc = Número Í' nc = Número G n = L P n = L 8 n = 8 Número Número Número n = _Número J n = _Número 3 n = _Número fl

Cada elemento da. matriz _{M1 é} uma submatríz; por exemplo:

ml é uma submatriz com dimensão _nc × _nE. A dimensão de _M1 será (número de elos)

de de de de de de de de de de arvore ' ms ms mv me nne 1 e Número de elos 6 r r . r

resistências ramo da árvore; resistências de elo;

capacitâncias ramo da arvore; capacitàncias de indutancias ramo elo; da arvore; indutâncias de elo; fontes de tensão; fontes de corrente; arcos do grafo; nós do grafo. G

(número de ramos da árvore).

Onde: v/1 = c 6 v/1 = R 8 v/i_L = 8 v/i = J v/i = E v/i = C l" v/i = R l` v/i = L I” 6 v _R m ₅

m

₆ m ₇ O v _c r - - Tensao/Corrente Tensão/Corrente Tensão/Corrente Tensão/Corrente Tensão/Corrente Tensão/Corrente Tensão/Corrente Tensão/Corrente 1 c i

m

m E 1 5 t Í. 1 III Ill C 2 6 . 1 1 _R O m 7 P 1 _L 0 0 I` nas 113.5 DES I¡aS l'1a.S 113.5 DBS l'13.S ) v _c m

m

0 0 v 1 2 E »

UFSC

°

Í'

' 1 (2.1o)

V Ill Ill Ill HI V

L ₆ 9 10 11 12 R I' mt mt i 9 13 C 6 t t . III III _IR 1°

“

. e (2.11) t t . III III 1 11 15 L 6 t t . III III 1 12 16 J

V III III III lll V

J 13 14 15 18 _Lr capacitãncias de elo; resistências de elo; indutàncias de elo; fontes de corrente; fontes de tensão;

capacitâncias ramo da árvore;

resistências ramo da árvore;

indutancias ramo da arvore.

Partindo da equaçao (2.10), observa se que as submatrizes _m3 e _m4 sao nulas, porque as tensões nos terminais das capacitàncias de elo são funções somente das tensões de alimentação e das tensões das capacitâncias ramo da arvore. Da equação (2.11), tiramos que _m4 e _me são nulas também, porque as

correntes nas indutãncias ramo da árvore são funções unicamente das correntes nas indutancias de elo e das correntes nas fontes de corrente.

2.2.2 - _{Determinação das Equações de Estado}

Para começar a abordagem sobre variável de estado, precisamos definir o

estado de um sistema. Como a palavra indica, o estado de um sistema se refere as condições passadas, presentes e futuras deste [17]. No sentido matemático,

é conveniente definir um conjunto de variáveis de estado e equações de estado para retratar os sistemas.

As variáveis de estado de Inn sistema são definidas como o conjunto

minimo de variáveis, x1(t), ×2(t), ...,xn(t), tais que o conhecimento destas em qualquer instante _to, mais a informação sobre a excitação aplicada subseqüentemente, seja suficiente para determinar o estado do sistema em qualquer instante t > _to.

Um caminho natural é tomar a corrente no indutor L, _iL(t), e a tensão

nos terminais do capacitor, vC(t), como variáveis de estado. A razão para esta

escolha é que as variaveis de estado estão diretamente relacionadas com os elementos armazenadores de energia de um sistema. Em um sistema elétrico, o

indutor armazena energia cinética e o capacitor armazena energia potencial. Apesar dos indutores e capacitores serem elementos armazenadores de

energia, nem todos podem ser considerados variáveis de estado. A figura (2.7)

ilustra esse caso.

VCI

&

it/

Â

L1 Lz C2 VC: H. l Ls vcs ¡\.3 = ¡L.,* ix.: V<=z= V‹=z¬` “cz 0)

U

Fig. 2.7 - _{Exemplo da dependência da tensão ou corrente com}

relação as outras variáveis de estado. '

Q

As variáveis de estado, além de estarem relacionadas com elementos armazenadores de energia, devem ser independentes. Então como foi visto

anteriormente, as correntes e as tensões independentes são respectivamente as

de elo e as de ramo da árvore. Portanto, as variáveis de estado deverão ser as

~

tensoes nas capacitancias ramo da árvore _(vc ) e as correntes nas indutãncias

F

de elo (ÍL ).

e .

A partir da definição das variaveis de estado, podemos montar as

equações de estado [11]: vc (fz) _vc (fz) vE(t) ' ₌ A. ' + B. (2.12) iL (t) _í (t) i¡(t) Denominando: ve (t) x(t) = P' - vetor de estado; iL(t) G vÊ(t)

u(t) = - vetor de entrada.

iJ(t)

'

Encontramos a forma clássica das equaçoes de estado:

k(t) = A.x(t) + _B.u(t) (2.13)

É possível exprimir qualquer tensão ou corrente a partir do vetor de estado através da relação:

y(t) = C.x(t) + _D.u(t) (2.14)

O vetor de saída y(t) deverá conter ao menos as informações relativas às

tensões nos semicondutores, cujo conhecimento é indispensável para gerar.as mudanças de estado destes últimos. Adotando-se uma representação resístíva para os interruptores de potência, o vetor y(t) sera constituido das tensões nos terminais de todos os elementos resistivos na ordem em que eles são

vn (t) vc (t) vE(t)

yu)

= ' =

_c.

' ₊

_D.

_(2.15)

VR (t)

_í

(t) _i¡(t)

8 e

As correntes nos elementos resistivos ficam facilmente determinadas através da equação: vã (t) §_ O íR (t) yuz) = ' = . ' _(2.16) vR (t) 0 _Re iR (tl Ou seja: -1 1R(t) Rr o \¿ (t) 4 ¢y(t) = ' = . ' _(2.17) iR(t) 0 _Re

_¶¡(t)

As matrizes A, B, C e D são calculadas a partir da topologia e do valor

dos componentes do circuíto.As submatrizes R e R representam respectivamente

I` 6

a matriz das resistências ramo da árvore e a matriz das resistências de elo.

Rr(1,1) O Rr = (2.18) O _{Rr(nR .nR} ) P I"

R(1,1)

O e R = (2.19) e 0 _Re(nR ,nR ) 3 6

2.3 - _{Geração de Resultados}

A geração de resultados consiste no tratamento das grandezas elétricas, obtidas a partir da topologia da estrutura e do equacionamento básico da teoria de circuitos, de forma a se obter uma informação completa do sistema elétrico, capaz de gerar por simulação todas as grandezas possíveis de serem medidas sobre uma montagem real (tensão e corrente de um componente qualquer e diferença de potencial entre dois arbitrários nós da montagem).

2.3. 1 - Tratamento das Tensões E Correntes Simples [21][22]

A tensão e a corrente 'em _{um componente qualquer} do circuito, podem. ser obtidas a partir das leis de Kirchhoff e das equações básicas do circuito.

Partindo das equações (2.10) e (2.11) e das relações básicas de

circuito, obtém-se: v m m O O v c 1 2 1 E 8 v m

m

m 0 v R _{_} 5 6 7 C e - _ r . (2.10) v m m

m

m v 1. 9 10 11 12 R 8 P v

m

m

m

m

v J 13 14 15 16 L P . t t t. t . 1 m

m

m

m

1 E 1 5 9 13 C G . r. t 1 t _ lc m ₂ m ₆ m 10 m 14 IR r = e z (2.11) . t f. t . 1 0 m

m

m 1 R 7 11 15 L !` B . t 1 . 1 0 O m m 1 L 12 16 J P v = _R . i (2.20) R r R r r v = _R . i (2.21) R e R e e . _ d 1C - Cr . aí vc (2.22) Í' P

_ d

1C_Ce'(-Í?

v _c (2.23) e à d = . ' .

-

' . 4 L _1Le + M dt ILP (2 2 ) (L L e dt _ à ú _

_1.r.¿¡1Lr

+

M.

_c-E 1Le (2.25) R _I' (1.1) 0 O _{Rr(nR .nn} ) P P

= _{Matriz resistência ramo da árvore;}

R ₈ (1.1) O

O _{Re(nR ,nR} )

G O

= _{Matriz resistência de elo;}

C _l` (1,1) O

O _{Cr(nc ,nc} )

l" P

C(1,1)

₀ O

C =

e

O _{C°(nC ,nc} )

G B

Ce = matriz capacitâncía de elo;

L _e (1,1) O

L =

e

O _{Le(nL ,DL} )

, 0 B

Le = Matriz indutância de elo;

L _P (1,1) O

L_Í' =

O _{Lr(nL .nL} )

P P

L I” = Matriz índutància ramo da árvore;

M(1,1) . . M(1,nL ₎

M = I I

M(nL ,1) ... _{M(nL ,nL} )

P P B

A _{partir destas relações podemos determinar qualquer parâmetro}

elétrico

do circuito: L

- _{Tensão nas capacitâncias de elo}

(vc 1:

G

A partir da equação (2.10), obtém-se:

v

= - _m . v -

m

. v

c 1 E _{2 c}

G _P

- _{Corrente nas índutâncías ramo da arvore}

(íL À:

l"

Partindo da equação (2.11), tem-se:

1

=m“.1 +m“.i

L _I` 12 L 16 J G

- _{Tensão nas indutâncías de elo}

(vL 1: O _ d . L d VL _ Le _df IL + M _dt IL 8 e P Substituindo (2.27) em (2.24), obtém-se: v =

L+M“.m“

ii

+M*m'*Ê-

L B e 12 dt L ₆ 16 dt J

- _{Tensão nas índutâncías ramo da árvore}

(VL

P

l` _ d . d VL _ Lr <sub>df</sub> IL + M df ÍL Í` _{r e} Substituindo (2.27) em (2.25), obtém-se: (2.26) (2.27) (2.24) (2.28) (2.25)