Modelos Matemáticos para o Planejamento Estratégico em Logística

(1)

Modelos Matemáticos para o

Planejamento Estratégico

em Logística

Roberto

Diéguez

Galvão

P

Programa de Engenharia de Produção COPPE/UFRJ

(2)

Tópicos Abordados

Introdução

Logística Empresarial

Problemas Estratégicos, Táticos e

Operacionais

Métodos Quantitativos em Logística

Localização de Instalações

(3)

Introdução

Aumentar Eficiência Aumentar Eficiência Agregar Valor Agregar Valor Reduzir Custos Reduzir Custos Focar no Cliente Focar no Cliente Logística Logística Gerenciamento da Cadeia de Gerenciamento da Cadeia de Suprimentos Suprimentos Estratégia Estratégia

(4)

Definições de Logística

É o ramo da ciência militar relacionado à obtenção,

_{É o ramo da ciência militar relacionado à obtenção,}

manutenção e transporte de material, pessoas e

facilidades (Dicionário

Webster

, 1993).

É o processo de planejar, implementar e controlar o

fluxo e a armazenagem,

a custos competitivos

, de

matérias primas, produtos intermediários, produtos

acabados e informação, do ponto de origem ao

ponto de consumo (ponto de utilização),

com o

objetivo de

atender às necessidades do cliente

(

(5)

Missão da Logística

A missão da Logística é colocar as

mercadorias e serviços desejados no

local apropriado, no instante correto e

nas condições desejadas pelo

cliente

,

da forma mais eficiente

possível para a empresa

(6)

Exemplo de um Sistema Logístico

Fontes Fábricas Depósitos C o n s u m i d o r e s Suprimento Distribuição Transferência Entrega

(7)

Logística Empresarial

É uma área de estudos relativamente nova, se

comparada com áreas tradicionais como finanças,

marketing

e produção.

Empresas tradicionalmente se ocupam, há muito

tempo, das atividades de transporte e estocagem

de mercadorias.

A novidade trazida pela

Logística Empresarial

é o

conceito do

Gerenciamento Coordenado

dessas

atividades.

(8)

Modelo de Logística Empresarial

JI T II MR P / DR P B2 B QR CP FR DRP MRP VM I JI T DR P /D R P Cr o ss D o c k in g B2 B/ EC R F O R N E C E D O R E S F O R N E C E D O R E S C L I E N T E S C L I E N T E S Previsão de Demanda Previsão de

Demanda ComprasCompras OperaçõesOperações Gestão de Estoques

Gestão de

Estoques DistribuiçãoDistribuição Serviço ao Cliente

Serviço ao

Cliente _PerformanceMedidas de Medidas de Performance Fluxo do Produto Fluxo do Produto Fluxo de Informação Fluxo de Informação Estratégia

Estratégia LogísticaLogística

JI T II MR P / DR P B2 B QR CP FR DRP MRP VM I JI T DR P /D R P Cr o ss D o c k in g B2 B/ EC R F O R N E C E D O R E S F O R N E C E D O R E S C L I E N T E S C L I E N T E S Previsão de Demanda Previsão de

Demanda ComprasCompras OperaçõesOperações Gestão de Estoques

Gestão de

Estoques DistribuiçãoDistribuição Serviço ao Cliente

Serviço ao

Cliente _PerformanceMedidas de Medidas de Performance Fluxo do Produto Fluxo do Produto Fluxo de Informação Fluxo de Informação Estratégia

(9)

Atividades

-

Chave em Logística:

Problemas Estratégicos

Níveis de serviço para os clientes

Localização de Fábricas e Depósitos

Gerência de Estoques

_{Gerência de Estoques}

Transporte

_Transporte

Seleção do modo e serviço de transporte

Número e tamanho dos veículos

(10)

Atividades de Apoio em Logística:

Problemas Táticos e Operacionais

Armazenamento

Lay

-

out de facilidades

Manuseio de Materiais

_{Manuseio de Materiais}

Compras

_Compras

Empacotamento

(11)

Projeto de um Sistema Log

í

stico

Níveis de Serviço ao Cliente

Níveis de Serviço ao Cliente Decisões sobre Localização

Número, tamanho e localização das instalações.

Posicionamento dos estoques na cadeia de suprimentos.

Alocação de instalações a pontos de suprimentos e demanda.

Armazéns próprios ou de terceiros.

Decisões sobre Estoque

Definição do giro dos itens

Definição dos níveis de estoque de segurança

Estratégia puxada ou empurrada Seleção de métodos de controle

Decisões sobre Transporte

Definição dos modais de transporte. Programação e roteamento de veículos.

Consolidação dos embarques. Tamanho da frota.

Níveis de Serviço ao Cliente

Níveis de Serviço ao Cliente Decisões sobre Localização

Número, tamanho e localização das instalações.

Posicionamento dos estoques na cadeia de suprimentos.

Alocação de instalações a pontos de suprimentos e demanda.

Armazéns próprios ou de terceiros.

Decisões sobre Estoque

Definição do giro dos itens

Definição dos níveis de estoque de segurança

Estratégia puxada ou empurrada Seleção de métodos de controle

Decisões sobre Transporte

Definição dos modais de transporte. Programação e roteamento de veículos.

Consolidação dos embarques. Tamanho da frota.

(12)

Técnicas de Solução

Métodos Exatos (Soluções Ótimas)

Programação Linear (PL)Programação Linear (PL)

Programação Inteira (PI)Programação Inteira (PI)

Outros métodos para a solução de problemas de Outros métodos para a solução de problemas de otimização combinatória

otimização combinatória

Métodos Heurísticos (Soluções Aproximadas)

Métodos apropriados a problemas específicosMétodos apropriados a problemas específicos

Métodos análogos a processos físicos/da natureza; Métodos análogos a processos físicos/da natureza; Metaheurísticas:

Metaheurísticas: 9

9 Simulated AnnealingSimulated Annealing, Algoritmos Genéticos; Busca Tabu; , Algoritmos Genéticos; Busca Tabu; Busca Dispersa

(13)

Ferramentas Utilizadas

“Pacotes” computacionais desenvolvidos para uso

comercial:

CPLEX, LINDO (Programação Linear, Inteira, Quadrática)CPLEX, LINDO (Programação Linear, Inteira, Quadrática)

MINOS (Programação NãoMINOS (Programação Não--Linear)Linear)

Códigos computacionais desenvolvidos para

problemas específicos

Desenvolvidos em universidades e centros de pesquisaDesenvolvidos em universidades e centros de pesquisa

(14)

A Localização em Sistemas Logísticos

Aplicações nos Setores Público e Privado

No Setor Público

Localização de Escolas, HospitaisLocalização de Escolas, Hospitais

Localização de Serviços de EmergênciaLocalização de Serviços de Emergência

No Setor Privado

Localização de Fábricas (quantas, onde?)Localização de Fábricas (quantas, onde?)

Localização de Depósitos de Distribuição (idem)Localização de Depósitos de Distribuição (idem)

Determinação de Áreas de InfluênciaDeterminação de Áreas de Influência

(15)

Localização de Instalações

Decisões de localização envolvem determinar :

Quantas facilidades (fábricas, depósitos, armazéns, Quantas facilidades (fábricas, depósitos, armazéns, centros de serviço) deve a companhia possuir ?

centros de serviço) deve a companhia possuir ?

De que tamanho e onde devem estar elas localizados ?De que tamanho e onde devem estar elas localizados ?

De tal forma a se alcançar o nível de serviço desejado ao De tal forma a se alcançar o nível de serviço desejado ao menor custo de distribuição.

menor custo de distribuição.

Abordagens

Modelado como um problema de programação matemática;Modelado como um problema de programação matemática;

Usando heurísticas e metaUsando heurísticas e meta--heurísticas;heurísticas;

(16)

Perspectiva Histórica

Precursor: A. Weber, 1909

Localização de um centro de distribuição com o Localização de um centro de distribuição com o

objetivo de minimizar as distâncias ponderadas (pelo objetivo de minimizar as distâncias ponderadas (pelo peso/volume transportado) percorridas em relação a peso/volume transportado) percorridas em relação a duas fontes de matéria prima e um mercado

duas fontes de matéria prima e um mercado consumidor.

consumidor.

Custos de transporte lineares com a distância e com o Custos de transporte lineares com a distância e com o peso transportado.

(17)

Fatores que Influenciam a Localização

Proximidade (Custo Logístico);

Oferta de mão

-

de

-

obra (e produtividade);

Disponibilidade de insumos (energia, transporte,

comunicação, água, solo);

Disponibilidade de financiamentos;

Tamanho do mercado local;

(18)

Modelos Matemáticos de Localização

Recebem atenção de economistas, geógrafos,

profissionais da Pesquisa Operacional (PO).

Enfoque varia de acordo com a origem

profissional:

Enfoque macroeconômico: Economistas, Geógrafos;Enfoque macroeconômico: Economistas, Geógrafos;

(19)

Modelos Normativos

EnfoqueEnfoque: Suprimento de dada área geográfica a partir de : Suprimento de dada área geográfica a partir de

centros de distribuição de mercadorias ou serviços. centros de distribuição de mercadorias ou serviços.

ObjetivoObjetivo: Determinar número e localização de centros : Determinar número e localização de centros

supridores de clientes e respectivas áreas de influência, supridores de clientes e respectivas áreas de influência, minimizando custos ou maximizando o lucro, respeitadas minimizando custos ou maximizando o lucro, respeitadas restrições operacionais.

restrições operacionais.

Necessário o uso de técnicas e ferramentas sofisticadas para Necessário o uso de técnicas e ferramentas sofisticadas para a solução dos modelos matemáticos.

a solução dos modelos matemáticos.

Avanço das tecnologias computacionais vem permitindo o Avanço das tecnologias computacionais vem permitindo o desenvolvimento de sistemas de fácil utilização pelo usuário desenvolvimento de sistemas de fácil utilização pelo usuário leigo.

(20)

Exemplos de Modelos Normativos

MODELOS MINISOMA

Minimizam distância total percorrida no sistema de Minimizam distância total percorrida no sistema de distribuição (custo médio de entrega)

distribuição (custo médio de entrega)

MODELOS MINIMAX

Minimizam custo de entrega a clientes de localização Minimizam custo de entrega a clientes de localização menos favorecida

menos favorecida

MODELOS DE COBERTURA (EMERGÊNCIA)MODELOS DE COBERTURA (EMERGÊNCIA)

Maximizam número de usuários que podem ser Maximizam número de usuários que podem ser

alcançados em tempo inferior a um valor crítico pré alcançados em tempo inferior a um valor crítico pré- -determinado

(21)

z

z CentroCentro Â

Â Centros de emergência Centros de emergência --MIN MIN --MAXMAX

Problemas Simples de Localização

z

z AnticentroAnticentro Â

Â Atividades indesejáveis Atividades indesejáveis --MAXMAX--MINMIN

z

z MedianaMediana Â

Â Centros de distribuição Centros de distribuição --MIN MIN --SOMASOMA

1 2 3 4 5 6 7 8 Min + Max + S+ 1 0 18 45 27 81 54 36 90 18 90 351 2 42 0 21 49 35 28 14 56 14 56 245 3 15 35 0 50 20 25 55 30 15 55 230 4 32 64 40 0 16 56 24 48 16 64 280 5 30 42 54 18 0 24 48 36 18 54 252 6 24 44 36 48 32 0 56 28 24 56 268 7 21 36 48 72 42 57 0 24 21 72 300 8 96 48 88 72 40 80 64 0 40 96 488 M in + 15 18 21 18 16 24 14 24 M ax + 96 64 88 72 81 80 64 90 S + 260 287 332 336 266 324 297 312

(22)

Modelos Minisoma: Problema das

p

-

Medianas

Encontrar a localização de

p

facilidades em uma

rede de modo que o custo total seja minimizado.

O custo de servir a demanda do cliente

localizado no nó i é dado pelo produto da

demanda do cliente i pela distância entre o nó i

e a facilidade mais próxima a ele.

Teorema (Hakimi, 1965): Pelo menos uma das

soluções ótimas do problema das

p

_p

-

medianas

consiste em localizar as

p

_p

facilidades sobre os

nós da rede.

(23)

{ }

0,1

i

=

1,

...,

n;

j

=

1,

...

,

m.

,

m

,

...

1,

=

j

n;

...,

1,

=

i

,

0 ,

n

,

...

1,

=

i

,

1 :

1 1 1 1

∈

≤

−

=

∑

∑∑

= = = = j ij j ij m j j m j ij n i m j ij ij i

y

x

y

x

p

y

x

a

sujeito

x

d

h

Z

Minimizar

Problema das

p

-

Medianas:

Formulação Matemática

(24)

Problema das

p

-

medianas

–

Heurística:

Algoritmo Guloso com Melhoria

Localize: primeira facilidade na localização ótima da

1-mediana

Localize: próxima facilidade na localização ótima da 1-mediana

(mantendo a localização das anteriores fixa)

Melhoria: Use um algoritmo de melhoramento (substituição

de vértices, ou busca na vizinhança) Foram localizadas as p

facilidades ?

Sim

(25)

p

(26)

p

(27)

{ }

0,1

i

=

1,

...,

n;

j

=

1,

...

,

m.

,

m

,

...

1,

=

j

n;

...,

1,

=

i

,

0 m

,

...

1,

=

j

,

n

,

...

1,

=

i

,

1 :

1 1 1 1 1

∈

≤

−

≤

=

+

=

∑

∑∑

= = = = = j ij j ij j n i ij i m j ij m j j j n i m j ij ij

y

x

y

x

b

x

a

x

a

sujeito

y

v

x

c

Z

Minimizar

Problema de Localização Capacitado:

Formulação Matemática

(28)

Modelos de Localização

MiniMax

–

Problema dos

p

-

centros

z

z Problema dos Problema dos pp-centros: minimizar a -centros: minimizar a

distância máxima do cliente (mais distância máxima do cliente (mais desfavorecido ) a um dos p

desfavorecido ) a um dos p--centros.centros. z

z Problema inverso (Cobertura): achar Problema inverso (Cobertura): achar

o menor número de centros e sua o menor número de centros e sua localização de tal modo que todos os localização de tal modo que todos os clientes estejam localizados a uma clientes estejam localizados a uma distância menor que uma distância distância menor que uma distância crítica

crítica -- prépré-estabelecida de pelo -estabelecida de pelo menos um dos centros.

menos um dos centros. z

z Aplicações práticas: centros de Aplicações práticas: centros de

atendimento de emergência atendimento de emergência

(

)

{

}

(

S j

)

{

d

( )

i j

}

d p S j S d v

Min

Max

Min

p p S i p p p j J j S , , onde , ∈ ∈ = =       6 6 4 8 2 2

(29)

Problemas de Distribuição

ObjetivoObjetivo

Encontrar o melhor caminho que um veículo deve percorrer atravésEncontrar o melhor caminho que um veículo deve percorrer através de uma de uma

rede de rodovias, ferrovias, hidrovias ou rotas aéreas.

Tipos de problemasTipos de problemas

Uma única origem e um (ou vários) destinos diferentesUma única origem e um (ou vários) destinos diferentes

9

9 Problema do Caminho MínimoProblema do Caminho Mínimo

Várias origens e vários destinos diferentesVárias origens e vários destinos diferentes

9

9 Problema do TransporteProblema do Transporte

Origem e destino final coincidentesOrigem e destino final coincidentes

9

9 Problema do Caixeiro ViajanteProblema do Caixeiro Viajante

9

(30)

O Problema do Caminho Mínimo

-

PCM

z

z Uma distribuidora de jornais está se instalando na cidade 1 e goUma distribuidora de jornais está se instalando na cidade 1 e gostaria de saber qual a staria de saber qual a menor distância até cada uma das cidades bem como os percursos c

menor distância até cada uma das cidades bem como os percursos correspondentes.orrespondentes.

1 2 3 4 5 6 12 4 6 10 2 2 8 6 4 6

(31)

1 2 3 4 5 6 12 4 6 10 2 2 8 6 4 6

Solução do PCM

(32)

Problema do Caixeiro Viajante

-

PCV

Seja um vendedor que tem que visitar

n

cidades.

Ele começa na cidade 1 (cidade

-

base) e deve

visitar cada uma das (

n

-

1

1 ) cidades restantes

) cidades restantes

apenas uma vez, retornando à cidade

-

base.

O custo

cij

da viagem entre qualquer par de

cidades é conhecido (matriz de custos [

cij

]). O

problema consiste em obter uma rota através das

n

(33)

Progresso na Solução do PCV

(Métodos Exatos)

z z Dantzig/Fulkerson/Johnson (1954)Dantzig/Fulkerson/Johnson (1954) 4242 z z Karg/Thompson (1964)Karg/Thompson (1964) 5757 z z Held/Karp (1970)Held/Karp (1970) 6464 z z Miliotis (1975)Miliotis (1975) 9090 z z Smith (1977)Smith (1977) 6060 z z Grötschel (1977)Grötschel (1977) 120120 z z Crowder/Padberg (1977)Crowder/Padberg (1977) 318318 z z Padberg/Rinaldi (1986)Padberg/Rinaldi (1986) 532532 z z Grötschel/Holand (1986)Grötschel/Holand (1986) 666666 z z P/R; G/H (1987)P/R; G/H (1987) 10021002 z z Padberg/Rinaldi (1987)Padberg/Rinaldi (1987) 23922392

(34)

PCV

–

Métodos Heurísticos de Solução

Karp (1972) provou que o PCV é um problema

NP

-

Completo. Nesse contexto torna

-

se

importante o desenvolvimento de métodos

heurísticos eficientes para a solução do

problema.

Métodos heurísticos para o PCV podem ser

classificados em 4 classes:

Métodos de construção de rotas;Métodos de construção de rotas;

Métodos de melhoramento de rotas;Métodos de melhoramento de rotas;

Procedimentos compostos;Procedimentos compostos;

(35)

PCV

-

Heurística do vizinho mais próximo

C i d a d e s 1 2 3 4 5 6 7 1 X X X 4 0 4 2 7 0 4 9 0 4 9 0 3 3 8 2 8 8 2 4 0 4 X X X 6 1 8 8 9 0 8 9 0 4 6 0 3 2 0 3 2 7 0 6 1 8 X X X 3 6 0 3 6 0 2 1 0 2 4 0 4 4 9 0 8 9 0 3 6 0 X X X 7 8 3 9 0 3 3 0 5 4 9 0 8 9 0 3 6 0 7 8 X X X 3 9 0 3 3 0 6 3 3 8 4 6 0 2 1 0 3 9 0 3 9 0 X X X 2 7 0 7 2 8 8 3 2 0 2 4 0 3 3 0 3 3 0 2 7 0 X X X 1 2 3 7 5 4 6 2528 z

z ComeçaComeça--se de um vértice se de um vértice arbitrário e forma arbitrário e forma--se o se o circuito unindo circuito unindo--se se sucessivamente, ao último sucessivamente, ao último

vértice adicionado`a rota,

seu vizinho mais próximo

ainda não pertencente à

mesma. É necessário

evitar a formação de sub

evitar a formação de sub- -rotas a cada passo do

rotas a cada passo do

algoritmo.

(36)

PCV

–

Heurística de Melhoramento

r

-

otimal de Lin

ComeçaComeça-se de uma solução inicial para o PCV, por -se de uma solução inicial para o PCV, por exemplo obtida pela heurística VMP.

exemplo obtida pela heurística VMP.

RemoveRemove-se -se rr arcos dessa solução, o que produz arcos dessa solução, o que produz rr rotas rotas desconectadas. Essas rotas podem ser religadas de desconectadas. Essas rotas podem ser religadas de diferentes maneiras, produzindo nova solução para o diferentes maneiras, produzindo nova solução para o

problema. Chama

problema. Chama-se essa operação de uma -se essa operação de uma rr--troca.troca.

A Solução é dita A Solução é dita rr--ótima se nenhuma ótima se nenhuma rr--troca produz uma troca produz uma solução de custo menor.

solução de custo menor.

Essa heurística é de tempo polinomial em Essa heurística é de tempo polinomial em nn mas mas exponencial em

exponencial em rr. A heurística na prática só é utilizada . A heurística na prática só é utilizada para

(37)

Ilustração da Heurística

r

-

otimal de

Lin

(r = 3)

(38)

O Problema do Roteamento de Veículos

-

PRV

O Problema de Roteamento de Veículos (PRV) é um O Problema de Roteamento de Veículos (PRV) é um nome genérico dado a uma classe de problemas nos nome genérico dado a uma classe de problemas nos

quais “clientes” são visitados por “veículos”. quais “clientes” são visitados por “veículos”.

Em algumas aplicações práticas a operação de entrega Em algumas aplicações práticas a operação de entrega (

(deliverydelivery) pode ser uma coleta, coleta e/ou entrega ou não ) pode ser uma coleta, coleta e/ou entrega ou não

corresponder a nenhuma das duas operações. “Clientes”e corresponder a nenhuma das duas operações. “Clientes”e

“Veículos” tomam diferentes formas, algumas das quais “Veículos” tomam diferentes formas, algumas das quais

não representam transações físicas. não representam transações físicas.

Um grande número de objetivos e restrições podem ser Um grande número de objetivos e restrições podem ser utilizados para definir PRV’s de naturezas diversas.

(39)

Aplicações de Problemas de

Roteamento de Veículos

Distribuição de mercadorias e serviços a partir de

depósitos centrais;

Coleta de correspondência de caixas coletoras dos

correios;

Coleta e entrega de crianças por ônibus escolares;

Roteamento de helicópteros na indústria do petróleo

(exploração

offshore

na Bacia de Campos);

(40)

O Problema de Roteamento de Ve

í

culos

Cl

á

ssico (PRV): Caracter

í

sticas Principais

VeVeíículos iniciam o roteamento a partir de um depculos iniciam o roteamento a partir de um depóósito sito central; h

central; háá restriçõrestrições de capacidade [vees de capacidade [veíículos] e tempo culos] e tempo (dist

(distâância) mncia) mááximo(a) [rotas];ximo(a) [rotas];

Cada cliente tem sua demanda totalmente suprida Cada cliente tem sua demanda totalmente suprida exatamente por um ve

exatamente por um veíículo e tempos de serviculo e tempos de serviçço so sãão o levados em considera

levados em consideração;ção;

O objetivo consiste na definiO objetivo consiste na definiçãção de rotas de entrega o de rotas de entrega (coleta) de custo m

(coleta) de custo míínimo, para uma frota de venimo, para uma frota de veíículos culos homog

(41)

Heurísticas para o PRV Clássico com

Base no Cálculo de Economias

Introduzidàs por Clarke e Wright (1964). Modificações/extensõesIntroduzidàs por Clarke e Wright (1964). Modificações/extensões propostas com base no conceito de economias definido pelos autor

propostas com base no conceito de economias definido pelos autores.es.

Seja um depósito supridor de Seja um depósito supridor de n n clientes. Se cada cliente for suprido clientes. Se cada cliente for suprido de forma exclusiva por 1 veículo, a distância total viajada pela

de forma exclusiva por 1 veículo, a distância total viajada pela frota é frota é

2

2ΣΣ_i=1,n_i=1,ndd_oi_oi, d, d_oi_oi distdistâância entre o depncia entre o depóósito e o cliente sito e o cliente ii..

Se for possSe for possíível interligar os clientes vel interligar os clientes i i e e j j sem violar as restrisem violar as restriçõções do es do problema, isto produz uma economia

problema, isto produz uma economia

S

S_ij_ij=2d=2d_oi_oi+2d+2d_oj_oj--(d(d_oi_oi+d+d_oj_oj+d+d_ij_ij)=d)=d_oi_oi+d+d_oj_oj--dd_ij._ij.

SS_ij_ijé nãoé não--negativa e corresponde à economia obtida ao se alocar os negativa e corresponde à economia obtida ao se alocar os clientes

clientes i i e e jj a uma mesma rota.a uma mesma rota.

(42)

Ilustração da Idéia de Clarke e Wright

Clientes i e j interligados: S_ij=d_io+d_oj-d_ij

Clientes i e j atendidos separadamente

d_oi d_io d_ij d_oj d_jo O i j O i j d_oi d_ij d_jo d_io d_oj

(43)

O Algoritmo de Clarke e Wright

1. Calcule as economias

1. Calcule as economias SS_ij_ij para todos os possíveis pares de clientes para todos os possíveis pares de clientes ((ii,,jj));;

2. Ordene as economias em uma lista, em ordem decrescente de val

2. Ordene as economias em uma lista, em ordem decrescente de valor;or;

3. Começando do topo da lista:

(3i) Utilize o arco correspondente à primeira economia da lista

(3i) Utilize o arco correspondente à primeira economia da lista para expandir para expandir

uma das 2 extremidades das rotas em construção ou para interliga

uma das 2 extremidades das rotas em construção ou para interligar r

rotas;

(3ii) Se o conjunto de rotas estiver vazio, ou se as rotas em co

(3ii) Se o conjunto de rotas estiver vazio, ou se as rotas em construção não nstrução não

puderem ser expandidas ou interligadas através desse arco, se po

puderem ser expandidas ou interligadas através desse arco, se possível ssível

utilize

utilize--o para iniciar uma nova rota. Caso contrário despreze o arco o para iniciar uma nova rota. Caso contrário despreze o arco

corrente e considere o arco correspondente à próxima economia;

(3iii) Repita (3i) e (3ii) até esgotar a lista de economias.

4. As rotas formadas no Passo 3 constituem uma solução viável pa

(44)

Problemas de Roteamento de Veículos

Tipos de restrições

Restrições de frotaRestrições de frota

Restrições de precedênciaRestrições de precedência

Restrições temporaisRestrições temporais

Generalizações

Múltiplos depósitosMúltiplos depósitos

Frota não homogêneaFrota não homogênea

Demanda incerta dos clientesDemanda incerta dos clientes

(45)

O PRV Clássico

–

Formulação Matemática

Min c x_ij _ijk k M j n i n = = =

∑

1 0 0 x_ijk j n k M i n = = ∑ ∑ = = 1 0 1 1 2, ,...,

(

x_ijk xk_ji

)

j n k M i n − = = = =

∑

0 0 0 1 2, , ,..., ; 1 2, ,... xk_j k M j n 0 0 1 1 2 =

∑

≤ = , ,... q_i x_ijk Q k M j n i n = = ∑ ∑ ≤ = 0 1 1 2, ,... c x_ij _ijk L k M i n j n = = ∑ ∑ ≤ = 0 0 1 2, ,...,

{ }

x_ijk ∈ 0 1, i j, = 0 1 2, , ,..., ;n k =1 2, ,... M Min c x_ij _ijk k M j n i n = = =

∑

1 0 0 x_ijk j n k M i n = = ∑ ∑ = = 1 0 1 1 2, ,...,

(

x_ijk xk_ji

)

j n k M i n − = = = =

∑

0 0 0 1 2, , ,..., ; 1 2, ,... xk_j k M j n 0 0 1 1 2 =

∑

≤ = , ,... q_i x_ijk Q k M j n i n = = ∑ ∑ ≤ = 0 1 1 2, ,... c x_ij _ijk L k M i n j n = = ∑ ∑ ≤ = 0 0 1 2, ,...,

{ }

x_ijk ∈ 0 1, i j, = 0 1 2, , ,..., ;n k =1 2, ,... M

(46)

Problemas de Roteamento de Veículos

(PRV’s) com Serviço de Entrega e Coleta

PRV com Cargas de Retorno (“backhaul”)

_{PRV com Cargas de Retorno (“backhaul”)}

[PRV_BH]

PRV com Serviço de Entrega e Coleta (PRV_PDS)

_{PRV com Serviço de Entrega e Coleta (PRV_PDS)}

Problema “Dial

-

a

-

Ride” Múltiplo (m

-

DRP)

Problema de Entrega Expressa (EDP)

PRV com Serviços de Entrega e Coleta

Simultâneos(VRP_SPDS)

(47)

PRV com Cargas de Retorno (VRP_BH)

Delivery Route

Depot

Delivery Client Pick-up Client Pick-up Route

(48)

PRV com Serviço de Entrega e Coleta

(VRP_PDS)

Pick-up & Delivery Route Depot Delivery Client Pick-up Client

(49)

Problema “Multiple Dial

-

a

-

Ride” (m

-

DRP)

1 2 3 4 1 2 3 4 Pick-up & Delivery Route Depot Client 1 Delivery Client 1 Pick-up 1 1

(50)

Problema de Entrega Expressa (EDP)

Pick-up Phase Delivery Phase

Depot

(51)

PRV com Entrega e Coleta Simultâneas

(VRP_SPDS)

Pick-up &

Delivery Route

Depot

(52)

Metaheur

í

sticas para PRV

’

s

Simulated Annealing: Osman (1993);

Busca Tabu: Taillard (1993) e Rochat e

Taillard (1995);

Algoritmos Gen

é

ticos: Baker e Ayechew

(2003) e Prins (2003);

(53)

Formulação Matemática de VRP_SPDS (1)

Notação:

V: conjunto de clientes (Nós de demanda), onde N=|V| é o número total de clientes;

V₀: conjunto de clientes mais depósito (cliente 0): V₀=V∪{0};

V_D (V_P): conjunto de clientes de entrega (coleta), onde N_D=|V_D| e N_P=|V_P| são

respectivamente o número de clientes de entrega e coleta;

c_ij: custo da viagem (distância) entre os clientes i e j;

p_i: demanda de coleta do cliente i∈V, p_i≥0;

d_i: demanda de entrega do cliente i∈V, d_i≥0;

Q: Capacidade do veículo;

NV: Número máximo de veículos.

Variáveis de Decisão

x_ij=1 se o arco (i,j) pertence ao conjunto ótimo de rotas, x_ij=0 caso contrário;

y_ij: demanda coletada em clientes roteados até o nó i (incluindo o nó i) e transportada

utilizando o arco (i,j);

z_ij: demanda a ser entregue a clientes roteados após o nó i e transportada utilizando o

(54)

Formulação Matemática de VRP_SPDS (2)

∑ ∑ = = N i N j i j i jx c M i n 0 0 (1) Subject to : N 1 ,..., j , 1 0 = = ∑ = N i i j x (2) N 1 ,..., i , 1 0 = = ∑ = N j ij x (3) N V 1 0 ≤ ∑ = N j j x , (4) ∑ ∑ = = ≠ ∀ = N 0 j 0 ij j i - y p , j 0 y i N i (5) ∑ ∑ = = ≠ ∀ = N i j N i 0 0 j i i j - z d , j 0 z (6) N 0 , ..., j i , , Q x z y_{i j}+ _{i j} ≤ _{i j} = (7) { }0 ,1, i ,j 0 ,...,N x_{i j}∈ = (8) N 0 ,..., j i , 0 , yi j≥ = (9) N 0 ,..., j i , 0 . zi j≥ = (10)

Modelos Matemáticos para o Planejamento Estratégico em Logística