Lista de Exercícios. a) f(x) = x 2-3x 10 b) f(x) = x 2 x + 12 c) f(x) = x 2 + 4x 4 d) f(x) = 36x x + 1

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Texto

(1)

Lista de Exercícios

1. Calcular os zeros das seguintes funções: a) f(x) = x2 - 3x – 10

b) f(x) = – x2 – x + 12

c) f(x) = – x2 + 4x – 4

d) f(x) = 36x2 + 12x + 1 2. Calcular m para que:

a) a função f(x) = (m – 3)x2 + 4x – 7 seja côncava para cima. b) a função f(x) = (2m + 8)x2 – 2x + 1 seja côncava para baixo. c) a função f(x) = (m2 – 4)x2 – 4x + 3 seja quadrática.

3. (UFMG) Sendo f : R → R uma função definida por f(x) = x2 –1, calcule: a) ⎟⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ 2 1 f b) f −

(

1 2

)

4. (PUC) A função quadrática y = (m2 – 4).x2 – (m + 2).x – 1 está definida quando: a) m ≠ 4 b) m ≠ 2 c) m ≠ –2 d) m = –2 ou +2 e) m ≠ ± 2

5. (MACK) O ponto (k, 3k) pertence à curva dada por f(x) = x2 – 2x + k; então, k pode ser: a) –2 b) –1 c) 2 d) 3 e) 4

(2)

6. (FUVEST) O gráfico de f(x) = x2 + bx + c, onde b e c são constantes, passa pelos pontos (0,0) e (1,2). Então f(-2/3) vale:

a) 9 2 − b) 9 2 c) 4 1 − d) 4 1 e) 4

7. (UCMG) O valor máximo da função f(x) = -x2 + 2x + 2 é: a) 2

b) 3 c) 4 d) 5 e) 6

8. (UFRRJ) O custo de produção de um determinado artigo é dado por C(x) = 3x2 – 15x + 21. Se a venda de x unidades é dada por V(x) = 2x2 + x, para que o lucro L(x) = V(x) – C(x) seja máximo, devem ser vendidas:

a) 20 unidades b) 16 unidades c) 12 unidades d) 8 unidades e) 4 unidades

9. Nas funções abaixo, calcule as coordenadas do vértice, dizendo se este é ponto de máximo ou mínimo.

a) f(x) = x2 – 4x + 3

b) f(x) = – x2 – x + 2

(3)

10. (F.C.CHAGAS) A função real f, de variável real, dada por f(x) = -x2 + 12x + 20, tem um valor:

a) mínimo igual a –16, para x = 6 b) mínimo igual a 16, para x = -12

c) máximo igual a 56, para x = 6 d) máximo igual a 72, para x = 12

e) máximo igual a 240, para x = 20.

11. (F.C.CHAGAS) Seja a função f, de R em R, definida por f(x) = 2x2 24x +1. O valor mínimo de f é: a) 73 b) 71 c) –71 d) –73 e) –79 f)

12. (PUC) Considere um terreno retangular que pode ser cercado com 50m de corda. A área desse terreno expressa como função do comprimento x de um dos lados é:

a) A(x) = -x2 + 25x para x ≥ 0 b) A(x) = -x2 + 25x para 0 < x < 25

c) A(x) = -3x2 + 50x para x ≥ 0 d) A(x) = -3x2 + 50x para 0 < x < 50/3

13. (FGV) Uma parede de tijolos será usada como um dos lados de um muro retangular. Para os outros lados iremos usar 400 m de tela de arame, de modo a produzir uma área máxima. Qual o quociente do lado menor pelo maior?

(4)

14. (UFSCAR) Uma bola ao ser chutada num tiro de meta por um goleiro, numa partida de futebol, teve sua trajetória descrita pela equação h(t) = – 2t² + 8t (t ≥ 0), onde t é o tempo medido em segundos e h(t) é a altura em metros da bola no instante t. Determine, após o chute:

a) o instante em que a bola retornará ao solo. b) a altura máxima atingida pela bola.

(5)

Solução da Lista de Exercícios

1. Calcular os zeros das seguintes funções: e) f(x) = x2 - 3x – 10 f) f(x) = – x2 – x + 12 g) f(x) = – x2 + 4x – 4 h) f(x) = 36x2 + 12x + 1 Solução: a) } 5 , 2 { S 2 2 7 3 x 5 2 7 3 x 2 7 3 2 49 3 2 40 9 3 ) 1 ( 2 ) 10 )( 1 ( 4 ) 3 ( ) 3 ( x 0 10 x 3 x 0 ) x ( f 2 1 2 2 − = ⇒ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎨ ⎧ − = − = = + = ⇒ ⇒ ± = ± = + ± = − − − ± − − = ⇒ = − − ⇒ = . b) } 3 , 4 { S 3 2 7 1 x 4 2 7 1 x 2 7 1 2 49 1 2 48 1 1 ) 1 ( 2 ) 12 )( 1 ( 4 ) 1 ( ) 1 ( x 0 12 x x 0 ) x ( f 2 1 2 2 − = ⇒ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎨ ⎧ = − − = − = − + = ⇒ ⇒ − ± = − ± = − + ± = − − − − ± − − = ⇒ = + − − ⇒ = . c) S { }2.NestecasoaparábolatangenciaoeixoXnoponto(2,0)

2 2 0 4 2 16 16 4 ) 1 ( 2 ) 4 )( 1 ( 4 ) 4 ( ) 4 ( x 0 4 x 4 x 0 ) x ( f 2 2 = = − ± − = − − ± − = − − − − ± − = ⇒ = − + − ⇒ = . d) ⎟⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ − = − = ± − = − ± − = − ± − = ⇒ = + + ⇒ = 0 , 6 1 ponto no X eixo o gencia tan parábola a caso Neste . 6 1 S 6 1 72 0 12 72 144 144 12 ) 36 ( 2 ) 1 )( 36 ( 4 ) 12 ( ) 12 ( x 0 1 x 12 x 36 0 ) x ( f 2 2 .

2. Calcular m para que:

d) a função f(x) = (m – 3)x2 + 4x – 7 seja côncava para cima. e) a função f(x) = (2m + 8)x2 – 2x + 1 seja côncava para baixo. f) a função f(x) = (m2 – 4)x2 – 4x + 3 seja quadrática.

Solução:

a) m – 3 > 0 ⇒ m > 3.

b) 2m + 8 < 0 ⇒ 2m < -8 ⇒ m < - 4.

(6)

3. (UFMG) Sendo f : R → R uma função definida por f(x) = x2 –1, calcule: c) ⎟⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ 2 1 f d) f −

(

1 2

)

Solução: a) 4 3 1 4 1 1 2 1 2 1 f 2 − = − = − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ . b) f

(

1− 2

) (

= 1− 2

)

2 −1=1−2 2+2−1=2−2 2.

4. (PUC) A função quadrática y = (m2 – 4).x2 – (m + 2).x – 1 está definida quando: f) m ≠ 4 g) m ≠ 2 h) m ≠ -2 i) m = -2 ou +2 j) m ≠ ± 2 Solução: m2 – 4 ≠ 0 => m2 ≠ 4 => m ≠ ±2.

5. (MACK) O ponto (k, 3k) pertence à curva dada por f(x) = x2 – 2x + k; então, k pode ser: f) -2 g) -1 h) 2 i) 3 j) 4 Solução: f(k) = k2 – 2k + k => 3k = k2 – k => k2 – 4k = 0 => k(k – 4) = 0 => k = 0 ou k = 4.

(7)

6. (FUVEST) O gráfico de f(x) = x2 + bx + c, onde b e c são constantes, passa pelos pontos (0,0) e (1,2). Então f(-2/3) vale:

f) 9 2 − g) 9 2 h) 4 1 − i) 4 1 j) 4 Solução:

( ) ( )

( ) ( )

9 2 3 2 9 4 3 2 3 2 3 2 f x x ) x ( f 1 b b 1 2 0 ) 1 ( b 1 1 f c 0 c ) 0 ( b 0 0 f 2 2 2 2 − = − = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − ⇒ + = ⇒ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = ⇒ + = ⇒ + + = = ⇒ + + = . 7. (UCMG) O valor máximo da função f(x) = -x2 + 2x + 2 é:

f) 2 g) 3 h) 4 i) 5 j) 6 Solução: 3 4 12 4 8 4 ) 1 .( 4 ) 2 ).( 1 .( 4 ) 2 ( a 4 y 2 V = − − = − + − = − − − − = Δ − = .

8. (UFRRJ) O custo de produção de um determinado artigo é dado por C(x) = 3x2 – 15x + 21. Se a venda de x unidades é dada por V(x) = 2x2 + x, para que o lucro L(x) = V(x) – C(x) seja máximo, devem ser vendidas:

f) 20 unidades g) 16 unidades h) 12 unidades i) 8 unidades j) 4 unidades Solução: Letra (d) L(x) = 2x2 + x – (3x2 – 15x + 21) = 2x2 + x – 3x2 + 15x – 21 = – x2 + 16x – 21. 8 2 16 ) 1 ( 2 16 a 2 b xV = − − = − − = − = .

(8)

9. Nas funções abaixo, calcule as coordenadas do vértice, dizendo se este é ponto de máximo ou mínimo.

d) f(x) = x2 – 4x + 3 e) f(x) = – x2 – x + 2 f) f(x) = 4x2 + 4x + 1 Solução: a) (2, 1) mínimo 4 12 16 , 2 4 ) 1 ( 4 ) 3 )( 1 ( 4 ) 4 ( , ) 1 ( 2 ) 4 ( a 4 ac 4 b , a 2 b V 3 c 4 b 0 1 a 3 x 4 x ) x ( f 2 2 2 → − = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − − = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − − − − − = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − − − = ⇒ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = − = > = ⇒ + − = . b) máximo 4 9 , 2 1 4 8 1 , 2 1 ) 1 ( 4 ) 2 )( 1 ( 4 ) 1 ( , ) 1 ( 2 ) 1 ( V 2 c 1 b 0 1 a 2 x x ) x ( f 2 2 → ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − + − − = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − − − − − − − − = ⇒ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = − = < − = ⇒ + − − = . c) mínimo 0 , 2 1 ) 4 ( 4 16 16 , 2 1 ) 4 ( 4 ) 1 )( 4 ( 4 ) 4 ( , ) 4 ( 2 ) 4 ( a 4 ac 4 b , a 2 b V 1 c 4 b 0 4 a 1 x 4 x 4 ) x ( f 2 2 2 → ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − − − = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − − − = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − − − = ⇒ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = = > = ⇒ + + = .

10. (F.C.CHAGAS) A função real f, de variável real, dada por f(x) = -x2 + 12x + 20, tem um valor:

f) mínimo igual a –16, para x = 6 g) mínimo igual a 16, para x = -12

h) máximo igual a 56, para x = 6 i) máximo igual a 72, para x = 12

j) máximo igual a 240, para x = 20.

Solução:

(

6,56

)

4 224 , 6 4 80 144 , 6 ) 1 .( 4 ) 20 ).( 1 .( 4 ) 12 ( , ) 1 ( 2 ) 12 ( a 4 , a 2 b V 2 = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − − = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − + − = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − − − − − − = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ Δ − − = .

(9)

11. (F.C.CHAGAS) Seja a função f, de R em R, definida por f(x) = 2x2 – 24x +1. O valor mínimo de f é: g) 73 h) 71 i) –71 j) –73 k) –79 Solução: Letra (c) 71 8 568 8 8 576 ) 2 .( 4 ) 1 ).( 2 .( 4 ) 24 ( a 4 y 2 V =− =− − − = − − − = Δ − = .

12. (PUC) Considere um terreno retangular que pode ser cercado com 50m de corda. A área desse terreno expressa como função do comprimento x de um dos lados é: e) A(x) = -x2 + 25x para x ≥ 0 f) A(x) = -x2 + 25x para 0 < x < 25 g) A(x) = -3x2 + 50x para x ≥ 0 h) A(x) = -3x2 + 50x para 0 < x < 50/3 Solução:

• Área do terreno: A = x.y

• Perímetro utilizando a fórmula 2P = 2x + 2y.

• A corda de comprimento 50m corresponde a esse perímetro. 2x + 2y = 50 => x + y = 25.

A(x) = x.y e y = 25 – x.

A(x) = x.(25 – x) = – x2 + 25x.

O valor de y não pode ser 25, pois nesse caso x = 0, nem negativo, pois é dimensão. Logo, 25 – x > 0 => 25 > x ou x < 25. E x > 0.

(10)

13. (FGV) Uma parede de tijolos será usada como um dos lados de um muro retangular. Para os outros lados iremos usar 400 m de tela de arame, de modo a produzir uma área máxima. Qual o quociente do lado menor pelo maior?

Solução:

Temos três dimensões restantes, duas de mesma medida. A tela cercará a medida da soma (x + x + y).

A área será A = xy.

( ) 2 1 200 100 , Logo . 200 ) 100 ( 2 400 y 100 ) 2 ( 2 ) 400 ( a 2 b x A x 400 x 2 A x 2 400 . x A y . x A x 2 400 y 400 y x 2 Máximao Máxima 2 = = − = ⇒ = − − = − = ⇒ + − = ⇒ − = ⇒ ⎩ ⎨ ⎧ = − = ⇒ = + .

14. (UFSCAR) Uma bola ao ser chutada num tiro de meta por um goleiro, numa partida de futebol, teve sua trajetória descrita pela equação h(t) = – 2t² + 8t (t ≥ 0), onde t é o tempo medido em segundos e h(t) é a altura em metros da bola no instante t. Determine, após o chute:

c) o instante em que a bola retornará ao solo. d) a altura máxima atingida pela bola.

Solução:

a) o instante em que a bola retornará ao solo.

O instante em que a bola retorna é o tempo em que ficou no ar.

O tempo será o ponto onde o gráfico intersecta o eixo das abscissas (t):

⎩ ⎨ ⎧ = → = ⇒ = − − ⇒ = + − ⇒ ⎩ ⎨ ⎧ = + − = s 4 t el incompatív 0 t 0 ) 4 t ( t 2 0 t 8 t 2 0 ) t ( h t 8 t 2 ) t ( h 2 2 . b) a altura máxima atingida pela bola.

m 8 8 64 ) 2 ( 4 ) 0 )( 2 ( 4 ) 8 ( ) t ( h a 4 ) t ( h t 8 t 2 ) t ( h 2 Máxima Máxima 2 = − − = − − − − = ⇒ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ Δ − = + − = . ||| FIM |||

Imagem

Referências

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