UNIVERSIDADE FEDERAL DO AMAZONAS

(1)

UNIVERSIDADE FEDERAL DO AMAZONAS - UFAM

INSTITUTO DE CIÊNCIAS EXATAS - ICE

PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM MATEMÁTICA

FUNÇÃO CURVATURA MÉDIA EM SUPERFÍCIES

COMPACTAS

GERALDINE SILVEIRA LIMA

MANAUS

2006

(2)

Livros Grátis

http://www.livrosgratis.com.br

(3)

UNIVERSIDADE FEDERAL DO AMAZONAS - UFAM INSTITUTO DE CIÊNCIAS EXATAS - ICE

PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM MATEMÁTICA

GERALDINE SILVEIRA LIMA

FUNÇÃO CURVATURA MÉDIA EM SUPERFÍCIES

COMPACTAS

Dissertação apresentada ao Programa de

Pós-Graduação em Matemática da Universidade

Fe-deral do Amazonas, como requisito parcial para

obtenção do título de Mestre em Matemática,

área de concentração em Geometria Diferencial.

Orientador: Prof

o

. Dr. Renato de Azevedo Tribuzy

MANAUS

2006

(4)

GERALDINE SILVEIRA LIMA

FUNÇÕES CURVATURA MÉDIA EM SUPERFÍCIES

COMPACTAS

Dissertação apresentada ao Programa de

Pós-Graduação em Matemática da Universidade

Fe-deral do Amazonas, como requisito parcial para

obtenção do título de Mestre em Matemática,

área de concentração em Geometria Diferencial.

Aprovado em 27 novembro de 2006.

BANCA EXAMINADORA

...

Prof

o

Dr. Renato de Azevedo Tribuzy

...

Prof

o

Dr. Ivan de Azevedo Tribuzy

Universidade Federal do Amazonas

...

Prof

o

Dr. Antonio Gervasio Colares

Universidade Federal do Ceará.

(5)

AGRADECIMENTOS

Agradeço a Deus, o grande autor e consumador da vida, por me guiar e proteger todos os dias.

Agradeço ao meu orientador Renato de Azevedo Tribuzy, por sua atenção sempre que necessária, também por sua paciência.

Aos professores da Pós-Graduação e Graduação em Matemática da UFAM. Agradeço a todos os meus amigos e colegas de aula, em particular Kelly Karina, Inês e Juliana pela força e incentivo.

A todos que me deram força e lembraram de rezar por mim.

Finalmente agradeço minha família que sempre esteve do meu lado e sempre estará.

(6)

RESUMO

FUNÇÃO CURVATURA MÉDIA EM SUPERFÍCIES

COMPACTAS

Orientador: Renato de Azevedo Tribuzy

Programa de Pós-Graduação em Matemática

Seja M

3

(c) uma variedade completa de dimensão 3,

simples-mente conexa e de curvatura seccional constante c. O objetivo

deste trabalho é caracterizar as superfícies compactas com função

curvatura média H constante, imersas em M

3

(c), como aquelas

que admitem deformações preservando a primeira forma e a

fun-ção curvatura média H. Além disso se H não é constante então

existem no máximo duas imersões isométricas não congruentes

de uma superfície S em M

3

(c) com curvatura média H. O

te-orema principal é devido a H. Blaine Lawson, Jr. e Renato de

Azevedo Tribuzy no artigo que foi dedicado ao professor Buchin

Su pelos seus 80 anos e publicado no J. Differential Geometry

16(1981)179 − 183.

(7)

ABSTRACT

ON THE MEAN CURVATURE FUNCTION FOR

COMPACT SURFACES

Let M3(c) be a complete simply-connected 3-manifold of constant

sec-tional curvature c. The purpose of this work is characterize the compact surfaces of M3(c) with constant mean curvature function H as those that

admit deformations preserving the first fundamental form and the mean cur-vature function H. Moreover if H not is constant, then there exist at most two geometrically distinct isometric immersions of S into M3(c) with mean

curvature H. This teorem is due to H. Blaine Lawson Junior and Renato de Azevedo Tribuzy in the paper that was dedicated to Professor Buchin Su on his 80th birthday in the Journal Differential Geometry 16(1981)179-183.

(8)

Sumário

1 Generalidades 1 1.1 Variedade Diferenciável . . . 1 1.2 Campo de Vetores . . . 2 1.3 Variedades Riemannianas . . . 3 1.4 Conexão Riemanniana . . . 3 1.5 Curvatura Seccional . . . 4 1.6 Variedades Completas . . . 5 1.7 Imersões Isométricas . . . 6 1.8 H-deformação . . . 8

2 Teoria local das superfícies 10 2.1 Forma Quadrática . . . 10

2.2 Primeira Forma Fundamental . . . 11

2.3 Segunda Forma de uma Superfície Imersa em M3(c) . . . 12

2.4 Aplicações conformes . . . 13

2.5 Equações de Codazzi . . . 14

3 Funções Holomorfas 20 3.1 Funções Complexas . . . 20

3.2 Funções Harmônicas . . . 21

3.3 Zeros de uma função holomorfa . . . 26 4 Função Curvatura Média em Superfícies Compactas 27

(9)

INTRODUÇÃO

O estudo de imersões isométricas de superfícies no R3 _{preservando a}

curvatura média iniciou com O. Bonnet [1]. Ele demonstrou que uma superfície de curvatura média constante pode ser isometricamente deformada, preservando tal curvatura.

Denotaremos por M3(c) uma variedade completa de dimensão 3, sim-plesmente conexa e de curvatura seccional constante c. Lembrando que o teorema de Cartan mostra que, essencialmente, as únicas variedades com essas características são R3, S3 e H3.

As superfícies cujos subconjuntos abertos suficientemente pequenos ad-mitem uma deformação preservando a métrica e a função curvatura média são chamadas localmente H-deformável. Se essa deformação local pode ser estendida globalmente, então é chamada de H-deformável. Em 1970, Renato de A. Tribuzy [19] em sua tese de doutorado, mostrou que se S é uma su-perfície homeomorfa ao toro T2 e x é uma imersão isométrica localmente H-deformável de uma superfície S em M3_{(c) então H(x) é constante.}

Segue da prova de [19] que, se a superfície S é homeomorfa a T2 _{e H :}

S → R é uma função não constante, então existe no máximo duas imersões isométricas de S em M3_{(c) com curvatura média H.}

Também segue da prova de [19] que se S é homeomorfa à esfera S2_{, o}

teorema pode ser mais forte. Nesse caso existe no máximo uma imersão isométrica com uma dada função curvatura média.

Logo em seguida, H. Blane Lawson Jr. e Renato Tribuzy [11] obtiveram uma generalização de [19]. Eles demostraram que se S é uma superfície com-pacta orientada munida de uma métrica riemanniana, e H : S → R é uma função C∞ não constante, então existem no máximo duas imersões isomé-tricas não congruentes a S em M3(c) com curvatura média H. O objetivo deste trabalho é apresentar uma demonstração detalhada desse resultado.

Outro artigo importante a ser citado é o de S.S. Chern [7] que fala de deformações de superfícies preservando as curvaturas principais.

Posteriormente, A. Gervásio Colares e Katsuei Kenmotsu [6] classificaram superfícies no espaço euclidiano R3 _{com curvatura Gaussiana}

(10)

constante que admite famílias não triviais a 1-parâmetro de imersões isométricas preservando a função curvatura média.

Em 1990, Masaaki Umehara, em [20], obteve uma outra generalização de [19]; ele mostrou que uma superfície compacta S imersa em M3(c), com gênero maior que zero, admitem uma H-deformação local não trivial se e somente se S tem curvatura média constante.

A estrutura do trabalho encontra-se organizada da seguinte forma: O capítulo 1 contém várias definições e resultados fundamentais da Geometria Riemanniana, entre os quais, temos a definição de Imersões isométricas, um dos principais conceitos que utilizamos no presente trabalho.

O capítulo 2 trata da geometria local das superfícies e de algumas definições necessárias na demonstração, entre as quais, temos a noção de isometria, a definição da primeira e segunda formas fundamentais e a demonstração das equações de Codazzi.

O capítulo 3 fala sobre alguns resultados de análise complexa, também utilizados na demonstração do teorema.

Finalmente, no capítulo 4 mostraremos o teorema principal e alguns resultados utilizados na demonstração do mesmo.

(11)

Capítulo 1

Generalidades

Neste Capítulo disponibilizamos algumas definições e resultados gerais de Variedades Riemannianas cujas demonstrações serão omitidas. Para maiores detalhes destes tópicos recomendamos [3] e [4].

1.1 Variedade Diferenciável

Definição 1.1.1. Uma Variedade Diferenciável de dimensão n é um conjunto M e uma família de aplicações injetivas:

xα : Uα⊂ Rn −→ M

de abertos Uα de Rn em M tal que

1. M = ∪αxα(Uα);

2. Para todo par α, β com xα(Uα) ∩ xβ(Uβ) = W 6= ∅, os conjuntos

x−1_α (W ) e x−1_β _{(W ) são abertos em R}ne as aplicações x−1_β ◦ xα e x−1α ◦ xβ

são diferenciáveis.

O par (Uα, xα) é chamado uma parametrização ou sistema de coordenadas

de M em p; xα(Uα) é chamada vizinhança coordenada em p. Uma família

{xα, Uα}, satisfazendo 1 e 2 é chamada uma estrutura diferenciável em M .

Uma variedade diferenciável M de dimenão 2 é chamada superfície.

Exemplo 1. O espaço euclidiano Rn_{, com a estrutura diferenciável dada}

pela identidade é um exemplo trivial de variedade diferenciável.

Definição 1.1.2. Sejam Nn _{e M}m _{variedades diferenciáveis. Uma}

aplica-ção β : N −→ M é diferenciável em p ∈ N se dada uma parametrizaaplica-ção y : V ⊂ Rm −→ M em β(p) existe uma parametrização x : U ⊂ Rn _{−→ N}

(12)

y−1◦ β ◦ x : U ⊂ Rn_{−→ R}m

é diferenciável em x−1(p). β é diferenciável num aberto de N se é diferenciável em todos os pontos deste aberto. Se, além disso, β é bijetiva e sua inversa β−1 é diferenciável então β diz-se um difeomorfismo.

Definição 1.1.3. Seja M uma variedade diferenciável. M diz-se orientável se admite uma estrutura diferenciável {xα, Uα} tal que para todo par α, β

com xα(Uα) ∩ xβ(Uβ) = W 6= ∅ a diferencial da mudança de coordenadas

xβ ◦ x−1α tem determinante positivo. Caso contrário M diz-se não orientável.

Se M é orientável, a escolha de uma estrutura diferencável satisfazendo a condição da definição acima é chamada uma orientação de M e M é dita orientada. Exemplo 2. A esfera Sn = {(x1, ..., xn+1) ∈ Rn+1; Pn+1 i=1 x 2 i = 1} ⊂ Rn+1 é orientável

Definição 1.1.4. Uma variedade M é chamada simplesmente conexa se M é conexa e se toda aplicação diferenciável f : S1 → M é diferenciavelmente contrátil a um ponto.

Definição 1.1.5. Sejam M1 e M2 variedades diferenciáveis. Uma

aplica-ção φ : M1 → M2 é um difeomorfismo se ela é bijetiva, diferenciável e sua

inversa φ−1 é diferenciável. φ é um difeomorfismo local em p ∈ M se existem vizinhanças U de p e V de φ(p) tais que φ(U ) → V é um difeomorfismo.

1.2 Campo de Vetores

Definição 1.2.1. O espaço tangente a uma Variedade M em um ponto p, representado por TpM é o conjunto de todos os vetores tangentes às curvas

suaves pertencentes a M passando por p. Mostra-se que TpM é um espaço

vetorial de dimensão m.

Definição 1.2.2. (O Fibrado Tangente) Seja M uma variedade diferenciável e seja T M = (p, v); p ∈ M, v ∈ TpM . Este espaço munido com a estrutura

diferenciável {Uα× Rn, γα} onde γα : UαxRn → T M definida por:

γα(xα1, ..., x α n, u1, ..., un) = (xα(xα1, ..., x α n), n X i=1 uj)

(13)

Definição 1.2.3. Um campo de vetores X em uma variedade diferenciá-vel M é uma correspondência que a cada ponto p ∈ M associa um vetor X(p) ∈ TpM.Em termos de aplicações, X é uma aplicação de M no fibrado

tangente T M . O campo é diferenciável se a aplicação X : M → T M é diferenciável.

1.3 Variedades Riemannianas

Definição 1.3.1. Uma métrica Riemanniana (ou estrutura Riemanniana) em uma variedade diferenciável M é uma correspondência que associa a cada ponto p ∈ M um produto interno h ip (isto é uma forma bilinear simétrica,

positiva definida) no espaço tangente TpM, que varia diferenciavelmente no

seguinte sentido: Se x : U ⊂ Rn _{→ M é um sistema de coordenadas locais}

em torno de p, com x(x1, . . . , xn) = q ∈ x(U ) e _∂x∂

i(q) = dxq(0, . . . , 1, . . . , 0),

então h_∂x∂

i(q),

∂

∂xj(q)i = gij(x1, . . . , xn) é uma função diferenciável em U.

Outra maneira de exprimir a diferenciabilidade da métrica Riemanniana é dizer que para todo par X e Y de campos de vetores diferenciáveis em uma vizinhança V de M, a função h i é diferenciável em V. As funções gij

são chamadas expressão da métrica Riemanniana no sistema de coordenadas x : U ⊂ Rn→ M .

Definição 1.3.2. Uma variedade diferenciável com uma dada métrica Rie-manniana chama-se uma Variedade RieRie-manniana.

Definição 1.3.3. Sejam M e N variedades Riemannianas. Um difeomor-fismo f : M → N é chamado uma isometria se:

hu vip = hdfp(u) dfp(v)if (p) ∀ p ∈ M, u, v ∈ TpM

Se existe uma isometria entre M e N, diz-se que tais variedades são iso-métricas.

Seja U ⊂ M aberto. Um difeomorfismo f : U → f (U ) ⊂ N , satisfazendo a condição da definição acima, diz-se uma isometria local.

É usual dizer que a variedade Riemanniana M é localmente isométrica à variedade Riemanniana N se para todo p em M existe uma vizinhança U de p em M e uma isometria local f : U → f (U ) ⊂ N

1.4 Conexão Riemanniana

Indicaremos por X(M ) o conjunto dos campos de vetores de classe C∞ defi-nidos em M.

(14)

Definição 1.4.1. Uma conexão afim ∇ em uma variedade diferenciável M é uma aplicação

∇ : X(M ) × X(M ) → X(M )

que se indica por (X, Y ) → ∇∇ XY, que satisfaz as seguintes propriedades:

i) ∇f X+gYZ = f ∇XZ + g∇YZ.

ii) ∇X(Y + Z) = ∇XY + ∇XZ.

iii) ∇X(f Y ) = f ∇XY + X(f )Y, ondeX, Y, Z ∈ X(M ) e f, g ∈ D(M ).

Definição 1.4.2. Seja M uma variedade Riemanniana. Dizemos que uma conexão afim ∇ em M é uma conexão de Levi-Civita (ou Riemanniana) quando satisfaz as condições:

a) ∇ é simétrica, isto é, ∇XY − ∇YX = [X, Y ];

b) ∇ é compatível com a métrica Riemanniana, ou seja

XhY, Zi = h∇XY, Zi + hY, ∇XZi, onde X, Y, Z ∈ X(M ) (1.1)

Teorema 1.4.1. (Levi-Civita) Dada uma variedade Riemanniana M , existe uma única conexão afim ∇ em M satisfazendo as condições:

a)∇ é simétrica

b)∇ é compatível com a métrica Riemanniana.

1.5 Curvatura Seccional

Definição 1.5.1. A curvatura R de uma variedade Riemanniana M é uma correspondência que associa a cada par X, Y ∈ X(M ) uma aplicação R(X, Y ) : X(M ) −→ X(M ), dada por:

R(X, Y )Z = ∇X∇YZ − ∇Y∇XZ − ∇[X,Y ]Z, (1.2)

Z ∈ X(M ).

Definição 1.5.2. A curvatura seccional (ou Riemanniana) K(x, y) segundo σ ⊂ TpM (subespaço bidimensional do espaço tangente TpM ), onde x, y ∈ σ

(15)

K(x, y) = hR(x, y)y, xi

|x ∧ y|2 , (1.3)

onde |x ∧ y| =p|x|2_|y|2_{− hx, yi}2_.

Quando M é uma superfície, a curvatura seccional coincide com a curva-tura Gaussiana.

1.6 Variedades Completas

Definição 1.6.1. Uma curva parametrizada λ : I → M , onde M é uma va-riedade Riemanniana munida de sua conexão Riemanniana, é uma geodésica em t0 se D_dt(dλ_dt) = 0 no ponto t0; se λ é geodésica em t, para todo t ∈ I, λ

diz-se uma geodésica. Se [a, b] ⊂ I e λ : I → M é uma geodésica, a restrição de λ a [a, b] é chamada geodésica ligando λ(a) a λ(b).

Dado p ∈ M , seja V ⊂ M uma vizinhança de p e > 0. Tomando U = {(q, w) ∈ T M ; q ∈ V, w ∈ TqM, |w| < } e λ : (−2, 2) × U → M a única

geodésica de M que no instante t = 0 passa por q com velocidade w, para cada q ∈ V e cada w ∈ TqM , com |w| < , então define-se:

Definição 1.6.2. Seja p ∈ M e U ⊂ T M um aberto. Então a aplicação exp : U → M dada por

exp(q, v) = λ(1, q, v) = λ(|v|, q, v

|v|), (q, v) ∈ U é chamado aplicação exponencial em U .

Definição 1.6.3. Uma variedade Riemanniana M é completa se para todo p ∈ M , a aplicação exponencial, expp, está definida para todo v ∈ TpM , isto

é, se as geodésicas λ(t) que partem de p estão definidas para todos os valores do parâmetro t ∈ R. Intuitivamente, isto significa que a variedade não possui buracos ou fronteiras.

Teorema 1.6.1. (Hopt e Rinow) Seja M uma variedade Riemanniana e seja p ∈ M . As seguintes afirmações são equivalentes:

a) expp está definida em todo o TpM ;

b) Os limitados e fechados de M são compactos; c) M é completa como espaço métrico;

d) M é geodesicamente completa;

e) Existe uma sucessão de compactos Kn ⊂ M, Kn ⊂ Kn+1e S_nKn= M,

(16)

Corolário 1.6.1. Se M é compacta então M é completa. O seguinte resultado é mostrado em [3]

Teorema 1.6.2. (Teorema de Cartan) Seja Mn _{uma variedade}

Riema-nniana completa e de curvatura seccional constante K. Então o recobri-mento universal fM de M , com a métrica do recobrimento, é isométrico a:

Hn_{, se K = −1}

Rn_{, se K = 0}

Sn, se K = 1.

Estas são essencialmente as únicas variedades Riemannianas completas, siplesmente conexas, com curvatura constante.

1.7 Imersões Isométricas

Definição 1.7.1. Sejam Mn e M n+m=k variedades diferenciáveis. Uma aplicação diferenciável f : M → M é uma imersão se dfp : TpM → Tf (p)M

é injetiva para todo p ∈ M. O número m é chamado codimensão de f. Se, além disso, f é um homeomorfismo sobre f (M ) ⊂ M , onde f (M ) tem a topologia induzida por M , diz-se que f é um mergulho. Se M ⊂ M e a inclusão i : M ⊂ M é um mergulho, diz-se que M é uma subvariedade de M . Definição 1.7.2. Seja f : Mn _{→ M}n+k _{uma imersão. Se M tem uma}

estrutura Riemanniana, f induz uma estrutura Riemanniana em M por hu, vip = hdfp(u), dfp(v)if (p), u, v ∈ TpM. A métrica de M é chamada

então a métrica induzida por f e f é uma imersão isométrica.

Seja f : Mn → M n+m _{uma imersão isométrica. Para cada p ∈ M}

existe uma vizinhança U ⊂ M tal que a restrição de f a U é um mergulho sobre f (U ). Assim podemos identificar U com sua imagem sobre f. Portanto, podemos considerar o espaço tangente de M em p como um subespaço do espaço tangente a M em p e escrever

TpM = TpM ⊕ TpM⊥ (1.4)

onde TpM⊥é o complemento ortogonal de TpM em TpM . Desta decomposição

obtemos um fibrado vetorial T M⊥= ∪p∈MTpM⊥, chamado o fibrado normal

(17)

Deste modo, o fibrado vetorial

T M |f (M )= {X ∈ T M : π(X) ∈ f (M ), onde π : T M → M é a projeção}

é a soma do fibrado tangente T M com T M⊥, que é T M |f (M )= T M ⊕ T M⊥

Com respeito a esta decomposição temos as projeções ( )T : T M |f (M ) → T M

( )⊥: T M | f (M )→ T M⊥.

que são chamadas tangencial e normal, respectivamente.

Seja M n+m uma variedade Riemanniana com conexão Riemanniana ∇, e seja f : Mn _{→ M} n+m _{uma imersão isométrica. Dados campos de vetores}

X, Y ∈ T M, temos que

∇XY = (∇XY )T + (∇XY )⊥.

Segue da unicidade da conexão Riemanniana que (∇XY )T é a conexão

Ri-emanniana de M, que será denotada por ∇.

Definição 1.7.3. Seja B : T M × T M → T M⊥ definida por

B(X, Y ) = ∇XY − ∇XY (Fórmula de Gauss) . (1.5)

A aplicação definida acima é chamada a segunda forma fundamental de f.

Das propriedades das conexões Riemannianas ∇ e ∇ temos que B é bilinear e simétrica sobre o anel D de funções diferenciáveis sobre M.

Considere campos de vetores X de T M e η de T M⊥, denotaremos por SηX a componente tangencial de −∇Xη, isto é,

SηX = −(∇Xη)T.

Desde que para todo Y ∈ T M temos 0 = Xhη, Y i = h∇Xη, Y i + hη, ∇XY i

0 = h−SηX, Y i + hη, B(X, Y ) + ∇XY i

concluimos que

(18)

Exemplo 3. Consideremos o caso particular em que a codimensão da imer-são é 1; f (M ) ⊂ M é então denominada uma hipersuperfície. Seja p ∈ M e η ∈ Tp(M )⊥, |η| = 1. Como Sη : TpM → TpM é simétrica, existe uma base

ortonormal de vetores próprios {e1, ..., en} de TpM com valores próprios reais

λ1, ..., λn, i.e., Sη(ei) = λiei, 1 ≤ i ≤ n. Se M e M estão orientadas então

o vetor η fica univocamente determinado se exigirmos que sendo {e1, ..., en}

uma base na orientação de M , {e1, ..., en, η} seja uma base na orientação de

M . Neste caso, denominamos os ei direções principais e os λi = ki curvaturas

principais de f . H = 1_n(λ1+ ... + λn) é denominada a curvatura média de f .

Se x, y ∈ TpM ⊂ TpM , são linearmente independentes, indicaremos por

K(x, y) e K(x, y) as curvaturas seccionais de M e M , respectivamente, no plano gerado por x e y.

O teorema abaixo é demonstrado em [4]

Teorema 1.7.1. (Gauss). Sejam p ∈ M e x, y vetores ortogonais de TpM .

Então

K(x, y) − K(x, y) = hB(x, x), B(y, y)i− | B(x, y) |2 (1.7) No caso de hipersuperfície f : Mn _{→ M}n+1_{, a fórmula de Gauss 1.7}

admite uma expressão mais simples. Sejam p ∈ M e η ∈ (TpM )⊥. Seja

{e1, ..., en} uma base ortonormal de TpM para a qual Sη = S é diagonal, isto

é, S(ei) = λiei, i = 1, ..., n, onde λ1, ..., λn são os valores próprios de S. Então

H(ei, ei) = λi e H(ej, ej) = 0, se i = j. Portanto 1.7 se escreve

K(ei, ej) − K(ei, ej) = λiλj

1.8 H-deformação

Definição 1.8.1. Uma H-deformação da imersão x é uma aplicação contínua F : (−, ) × Σ → M3 _{( > 0) tal que:}

1. Para cada t ∈ (−, ), fazendo xt(p) = F (t, p), xt é uma imersão

isométrica; 2. x0 = x

3. A função curvatura média Ht de xt satisfaz Ht = H.

Uma H-deformação é dita trivial se para cada parâmetro t ∈ (−, ), existe uma isometria Lt de R3 tal que xt= Ltox.

(19)

Desta definição temos que uma H-deformação preserva os coeficientes da primeira forma quadrática e consequentemente, pelo teorema de Gauss, preserva também a curvatura Gaussiana.

Uma H-deformação preserva também as curvaturas principais da super-fície.

Definição 1.8.2. Uma imersão isométrica é chamada H-deformável se ad-mite uma H-deformação não trivial.

Uma imersão isométrica x : P _{→ M}3_{(c) é chamada localmente}

H-deformável se cada ponto de P

tem uma vizinhança tal que x restrita a esta vizinhança é H-deformável.

(20)

Capítulo 2

Teoria local das superfícies

2.1 Forma Quadrática

Definição 2.1.1. Uma função b : TpS → R chama-se uma forma quadrática

quando existe uma forma bilinear Q : TpS × TpS → R tal que b(v) = Q(v, v)

para todo v ∈ TpS.

Se, em vez da forma bilinear Q tomarmos a forma bilinear simétrica Q2(u, v) = 1₂[Q(u, v) + Q(v, u)], teremos ainda

b(v) = Q(v, v) = 1

2[Q(v, v) + Q(v, v)] = Q2(v, v)

Portanto, não há perda de generalidade em se exigir que a forma quadrática b(v) = Q(v, v) provenha de uma forma bilinear simétrica Q. Todos os valores de Q(u, v) podem ser determinados a partir dos valores Q(v, v) = b(v) da forma quadrática b.

Se Q = [Qij] é e matriz da forma bilinear Q na base u1, u2 ⊂ TpS então,

para v =P xiui, tem-se b(v) = 2 X i,j=1 Qijxixj

A matriz da forma quadrática b na base U é, por definição, a matriz Q, nesta mesma base, da forma bilinear Q tal que b(v) = Q(v, v). Se a matriz de passagem p levar a base U na base U0, a matriz Q2 da forma quadrática

b na base U0 será dada por Q2 = pTQp. Se E possuir produto interno e as

(21)

2.2 Primeira Forma Fundamental

Seja F : S → M3_{(c) uma imersão, ou seja, F é diferenciável e dF}

p : TpS →

TF (p)M é injetiva para todo p ∈ S. Como M tem uma estrutura

Riemanni-ana, F induz uma estrutura Riemanniana em S por hu, vip = hdFpu, dFpviF (p), u, v ∈ TpM

Como dFp é injetiva h , ip é positivo definido. A esse produto interno que

é uma forma bilinear e simétrica corresponde uma forma quadrática Ip : TpS → R

u 7→ hdFpu, dFpuiF (p)

Definição 2.2.1. A forma quadrática Ip em TpS, definida acima, é chamada

a primeira forma fundamental da superfície regular S ⊂ M3(c) em p ∈ S. Considere uma parametrização isotérmica com respeito à coordenada z = u + iv, onde z é chamado parâmetro complexo da parametrizaão corres-pondente.

Agora vamos expressar a primeira forma fundamental na base {xu, xv}

associada a uma parametrização x(u, v) em p. Como um vetor tangente w ∈ TpS é o vetor tangente a uma curva parametrizada α(t) = x(u(t), v(t)), t ∈

(−, ), com p = α(0) = x(u0, v0), obtemos

Ip(α0(0)) = hα0(0), α0(0)i = hxuu0+ xvv0, xuu0+ xvv0ip =

= hxu, xuip(u0)2+ 2hxu, xvipu0v0+ hxv, xvip(v0)2 =

= E(u0)2+ 2F u0v0 + G(v0)2

onde os valores das funções envolvidas são calculados em t = 0, e E(u0, v0) = hxu, xuip

F (u0, v0) = hxu, xvip

G(u0, v0) = hxv, xvip

são os coeficientes da primeira forma fundamental da base {xu, xv} de TpS.

Fazendo p variar na vizinhança coordenada correspondente a x(u, v), obtemos funções E(u, v), F (u, v), G(u, v), que são diferenciáveis nessa vizinhança.

Se α(t) = x(u(t), v(t)) está contida em uma vizinhança coordenada cor-respondente à parametrização x(u, v), podemos calcular o comprimento de arco de α entre, digamos 0 e t por

s(t) = Z t

0

p

(22)

Definição 2.2.2. Uma superfície regular S é orientável se for possível cobri-la com uma família de vizinhanças coordenadas, de tal modo que se um ponto p ∈ S pertence a duas vizinhanças dessa família, então a mudança de coordenadas tem Jacobiano positivo em p. A escolha de uma tal família é chamada uma orientação de S, e S, neste caso, diz-se orientada. Se tal escolha não é possível, a superfície é não-orientável. Se S é orientada, uma parametrização (local) x é compatível com a orientação de S se, juntando x á família de parametrizações dada pela orientação, obtem-se ainda uma (logo, a mesma) orientação de S.

Definição 2.2.3. Uma cobertura de um conjunto S ⊂ R3 é uma família (Cλ)λ∈L de subconjuntos Cλ ⊂ R3 tal que S ⊂ S_λ∈LCλ. Isso significa que,

para cada x ∈ S, existe um λ ∈ L tal que x ∈ Cλ. Uma subcobertura é uma

subfamília (Cλ)λ∈L0, L0 ⊂ L, tal que ainda se tem S ⊂ S

λ∈L0Cλ. Diz-se que

uma cobertura é aberta quando os Cλ forem todos abertos.

Definição 2.2.4. Uma superfície S é dita compacta se toda cobertura aberta S ⊂ ∪Aλ admite uma subcobertura finita S ⊂ Sλ1∪ ... ∪ Sλi.

Teorema 2.2.1. Se S é um conjunto compacto então S é limitado e fechado. Exemplo 4. A esfera e o toro são superfícies compactas. A faixa de Möbius é uma superfície não-orientada, limitada mais não é fechada.

2.3 Segunda Forma de uma Superfície Imersa

em M

3

(c)

Seja F : S → M3(c) uma imersão, onde S é uma superfície compacta,

orien-tada munida de uma métrica Riemanniana e M3(c) uma variedade completa

de dimensão 3 simplemente conexa de curvatura seccional constante c. Seja ∇ a conexão Riemanniana de M3(c). Como S é orientada podemos

escolher um campo de vetores normais unitário v definido em toda a superfí-cie. Dado −→a = u_∂x∂

1 + w

∂

∂x2 ∈ TpS a segunda forma fundamental II é escrita

como II(−→a ) = −u2h∇ ∂ ∂x1v, ∂ ∂x1 i − 2uwh∇ ∂ ∂x1v, ∂ ∂x2 i − w2_h∇ ∂ ∂x2v, ∂ ∂x2 i Denotaremos bij = −h∇ ∂ ∂xiv, ∂ ∂xji

Definimos a curvatura média H por H = 1

(23)

O teorema (1.7.1) de Gauss nos diz que a curvatura K de S é escrita como K − c = det(bij)

ou seja, K = b11b22− b212+ c

Em termos de curvaturas principais k1 e k2, podemos escrever

K = k1k2 + c, H =

1

2(k1 + k2)

2.4 Aplicações conformes

Definição 2.4.1. Um difeomorfismo ϕ : S → S diz-se uma aplicação con-forme se para todo p ∈ S e para todo u, v ∈ TpS tem-se

hdϕp(u) dϕp(v)i = λ2(p)hu vip

onde λ é uma função diferenciável não nula sobre S. As variedades S e S são então chamadas conformes. Uma aplicação ϕ : V → S de uma vizi-nhança V de p ∈ S em S é uma aplicação conforme local em p se existe uma vizinhança V de ϕ(p) tal que ϕ : V → V é uma aplicação conforme local em p, a Variedade é localmente conforme a S. O significado geométrico de uma aplicação conforme é que ela preserva os ângulos formados por duas curvas que se interceptam. Um fato importante no estudo das superfícies é que é possível obter em uma vizinhança de cada ponto uma parametrização conforme, ou seja, um sistema de coordenadas locais no qual

E = G > 0 e F = 0,

onde E, F e G são os coeficientes da primeira forma fundamental. Tais sistemas são chamados isotérmicos. Admitindo a existência de um sistema isotérmico de coordenadas para uma superfície regular S, S é evidentemente localmente conforme a um plano e, por composição, localmente conforme a qualquer outra superfície.

Em um sistema isotérmico a primeira forma se escreve como Ip(α0(0)) = E{(u0)2+ (v0)2}

Muitos matemáticos utilizam o termo "elemento"de comprimento de arco ds de S e escrevem a expressão acima como

ds2 = E{du2+ dv2} (2.1) significando o seguinte: se α(t) = x(u(t), v(t)) é uma curva em S e s = s(t) o seu comprimento de arco, então (ds_dt)2 _{= E(}du

dt)

2_{+ E(}dv dt)

(24)

2.5 Equações de Codazzi

Seja x : U ⊂ R2 _{→ S uma parametrização em torno de um ponto p ∈ S e}

seja {_∂u∂ ,_∂v∂, N } um referencial ao longo da imersão F , onde N é uma campo de vetores normais unitários.

Fazendo _∂u∂ = xu e _∂v∂ = xv. Se α(t) = x(u(t), v(t)) é uma curva

parame-trizada em S, com α(0) = p então o vetor tangente é dado por α0 = xuu0+ xvv0 dN (α) = N0(u(t), v(t)) = Nuu0+ Nvv0 onde Nu = ∇∂ ∂uN e Nv = ∇ ∂ ∂vN

Como Nu e Nv pertencem a TpS, podemos escrever

Nu = a11xu+ a21xv Nv = a12xu+ a22xv logo dN (α0) = (a11xu+ a21xv)xu+ (a12xu+ a22xv)xv Logo (aij) = a11 a12 a21 a22 é a matriz de dN relativa à base {xu, xv}.

Usando os coeficientes da primeira e segunda formas fundamentais, obte-mos −e = hNu, xui = a11E + a21F −f = hNu, xvi = a11F + a21G −f = hNv, xui = a12E + a22F −g = hNv, xvi = a12E + a22G Matricialmente temos − e f f g = a11 a12 a21 a22 E F F G a11 a12 a21 a22 = − e f f g E F F G −1 = − e f f g 1 EG − F2 G −F −F E

(25)

Isto é a11 = f F − eG EG − F2, a12 = gF − f G EG − F2, a21 = eF − f E EG − F2, a22 = f F − gE EG − F2.

Das igualdedes acima, segue que as expressões para as curvaturas gaus-siana e média são, respectivamente:

K = det(aij) = eg − f2 EG − F2 H = 1 2(a11+ a22) = 1 2[ eG − 2f F + gE EG − F2 ]

Uma curva regular conexa C em uma vizinhança coordenada de x é uma linha de curvatura se e somente se para uma parametrização qualquer α(t) = x(u(t), v(t)), t ∈ I, de C temos

dN (α0(t)) = λ(t)α0(t)

Segue-se que as funções u0(t), v0(t) satisfazem o sistema de equações f F − eG EG − F2u 0 + gF − f G EG − F2v 0 = λu0 eF − f E EG − F2u 0 + f F − gE EG − F2v 0 = λv0

Eliminando λ no sistema acima, obtemos a equação diferencial das linhas de curvartura

(f E − eF )(u0)2+ (gE − eG)u0v0+ (gF − f G)(v0)2 = 0 Fazendo ∇∂ ∂u ∂ ∂u = xuu, ∇_∂u∂ ∂ ∂v = xuv e ∇_∂v∂ ∂ ∂v = xvv e expressando as

de-rivadas do triedro natural dado pelos vetores xu, xv e N na base {xu, xv, N },

(26)

xuu = Γ111xu+ Γ211xv+ L1N, xuv = Γ112xu+ Γ212xv+ L2N, xvu = Γ121xu+ Γ221xv+ L2N, xvv = Γ122xu+ Γ222xv+ L3N, Nu = a11xu+ a21xv, Nv = a12xu+ a22xv. (2.2)

Os coeficientes são chamados simbolos de Christoffel de S na parametri-zação x. Como xuv = xvu, concluimos que Γ112= Γ121, e Γ212= Γ221.

Tomando o produto interno nas quatro primeiras relações acima com N obtemos L1 = e, L2 = L2 = f e L3 = g, onde e, f, g são os coeficientes da

segunda forma fundamental de S.

Para determinar os símbolos de Chistoffel, tomamos o produto interno das quatro relações com xu e xv, obtemos os sistemas

Γ1₁₁E + Γ2₁₁F = hxuu, xui = 1₂Eu Γ1₁₁F + Γ2₁₁G = hxuu, xvi = Fu− 1₂Eu Γ1 12E + Γ212F = hxuv, xui = 1₂Ev Γ1 12F + Γ212G = hxuv, xvi = 1₂Gu Γ1₂₂E + Γ2₂₂F = hxvv, xui = Fv − 1₂Gu Γ1 22F + Γ222G = hxvv, xvi = 1₂Gv

Resolvendo os sistemas acima obtemos os simbolos de Christoffel em ter-mos dos coeficientes da primeira forma fundamental, E, F, G, e de suas derivadas Γ1₁₁ = GEu−2F Fu+F Ev 2(EG−F2₎ Γ2 11 = 2EFu −EEv+F Eu 2(EG−F2₎ Γ1 12 = GEv−F Gu 2(EG−F2₎ Γ2₁₂ = EGu−F Ev 2(EG−F2₎ Γ1 22 = 2GFv−GGu−F Gv 2(EG−F2₎ Γ2₂₂ = EGv−2F Fv+F Gu 2(EG−F2₎ considere as expressões (xuu)v− (xuv)u = 0 (2.3) (xvv)u− (xvu)v = 0

(27)

Nuv− Nvu = 0

Introduzindo os valores de 2.2, podemos escrever as relações acima na forma

A1+ B1xv + C1N = 0

A2+ B2xv + C2N = 0

A3+ B3xv + C3N = 0

onde Ai, Bi, Ci, i = 1, 2, 3 são funções de E, F, G, e, f, g e de suas derivadas.

Como os vetores xu, xv, N são linearmente independentes então Ai = 0, Bi =

0, Ci = 0.

Determinaremos as relações A1 = 0, B1 = 0 e C1 = 0. Utilizando os

valores de 2.2, a primeira das relações 2.3 pode ser escrita

Γ1₁₁xuv+ Γ211xvv+ eNv + (Γ111)vxu+ (Γ211)vxv+ evN = (2.4)

= Γ1₁₂xuu+ Γ212xvu+ f Nu+ (Γ121 )uxu+ (Γ212)uxv+ fuN

Utilizando 2.2 novamente e igualando os coeficientes de xv obtemos

Γ1₁₁Γ2₁₂+ Γ2₁₁Γ₂₂2 + ea22+ (Γ211)v = Γ112Γ 2 11+ Γ 2 12Γ 2 12+ f a21+ (Γ212)u.

Introduzindo os valores de aij ja calculados segue que

(Γ2

12)u− (Γ211)v+ Γ112Γ211+ Γ212Γ212− Γ211Γ222− Γ111Γ212 = (2.5)

= −E_EG−Feg−f22

= −EK

A equação acima prova o seguinte teorema:

Teorema 2.5.1. (Egregium de Gauss) A curvatura Gaussiana K de uma superfície é invariante por isometrias locais.

Igualando os coeficientes de xu em 2.4, vemos que a relação A1 = 0 pode

ser escrita na forma

(Γ1₁₂)u− (Γ111)v+ Γ212Γ 1 12− Γ 2 11Γ 1 22= F K

(28)

Igualando os coeficientes de N em 2.4, C1 = 0 na forma ev − fu = eΓ112+ f (Γ 2 12− Γ 1 11) − gΓ 2 11.

Aplicando o mesmo processo a segunda expressão de 2.3, obtemos que ambas as equações A2 = 0 e B2 = 0 nos dão novamente a fórmula de Gauss

3.5. Além disso, C2 = 0 é dada por

fv− gu = eΓ122+ f (Γ222− Γ112) − gΓ212.

As equações abaixo são chamadas de Equações de Mainard - Codazzi ev − fu = eΓ112+ f (Γ212− Γ111) − gΓ211 (2.6) fv− gu = eΓ122+ f (Γ 2 22− Γ 1 12) − gΓ 2 12 (2.7)

O mesmo processo pode ser aplicado à ùltima expressão de 2.2, resultando que C3 = 0 é uma identidade e que A3 = 0 e B3 = 0 são novamente as

equações 2.6 e 2.7. A fórmula de Gauss e as equações de Mainard-Codazzi são conhecidas como as equações de compatibilidade da teoria das superfícies.

Tomemos a base e1, e2 ortonormal, onde

e1 = xu |xu| , e2 = xv |xv| e |xu| = |xv| = √ E

Num sistema isotérmico, E = G e F = 0, os simbolos de Christoffel ficam Γ1₁₁ = Eu 2E Γ2 11 = −Ev 2E Γ1 12 = Ev 2E Γ2 12 = E2Eu Γ1₂₂ = −Eu 2E Γ2 22 = Ev 2E

Substituindo os valores acima nas equações de Codazzi, obtemos ev− fu = e 1 2 Ev E + f ( Eu 2E − Eu 2E) + g Ev 2E fv− gu = −e Eu 2E + f ( Ev 2E − Ev 2E) − g Eu 2E

(29)

Logo ev − fu = Ev 2E(e + g) (2.8) fv− gu = −Eu 2E (e + g) Segue da equação da curvatura média que

e + g = 2EH Logo, as equações 2.8 ficam

ev− fu = EvH (2.9)

fv− gu = −EuH

Temos que EH = e+g₂

Derivando em relação a v, obtemos EvH + EHv =

ev+ gv

2 Derivando em relação a u, obtemos

EuH + EHu = eu+ gu 2 Então −(e + g 2 )v + EvH = −EHv (e + g 2 )u− EuH = EHu Usando 2.9 −(e + g 2 )v+ (ev− fu) = −EHv (e + g 2 )u+ (fv− gu) = EHu

Então, as equações de Codazzi podem ser escritas do seguinte modo: (e−g₂ )v− fu = −EHv

(e−g₂ )u+ fv = EHu

(30)

Capítulo 3

Funções Holomorfas

3.1 Funções Complexas

A noção de função complexa envolve naturalmente a consideração de duas variáveis reais. De fato, uma função complexa da variável complexa z é uma correspondência f que associa ao número z um único número complexo w, chamado a imagem de z por f , w = f (z). Por outro lado, como z = x + iy = (x, y), também podemos dizer que uma tal função associa ao par (x, y) ∈ R2 o par w = (u(x, y), v(x, y)) = u(x, y) + iv(x, y) = f (x, y) ∈ R2_{. Um exemplo}

é f (z) = z + c onde c = a + bi. A expressão dessa função em termos de x e y é f (x, y) = (x + a, y + b).

Definição 3.1.1. Seja A ⊂ C um aberto, z0 um ponto de A e f : A → C

uma função complexa. Se existir o limite lim

z→zo

f (z) − f (z0)

z − z0

esse é chamado a derivada de f (z) no ponto z0 e denotamos por f0(z0).

Proposição 3.1.1. Se a função f (z) = u(x, y) + iv(x, y) tem derivada no ponto z0 = x0+ iy0 então ∂u ∂x(x0, y0) = ∂v ∂y(x0, y0) e ∂v ∂x(x0, y0) = − ∂u ∂y(x0, y0). (3.1) As equações (3.1) são chamadas de condições de Cauchy-Riemann.

A seguinte proposição é provada em [14].

Proposição 3.1.2. Seja f : A → C, A ⊂ C aberto, f (z) = u(x, y) + v(x, y)i, uma função complexa tal que as derivadas parciais ∂u_∂x,∂u_∂y,∂v_∂x,∂v_∂y existem em A e são contínuas no ponto z0 = x0 + iy0 ∈ A. Se as condições de

(31)

Definição 3.1.2. Seja f : A → C, A ⊂ C um aberto, uma função complexa. Dizemos que f é holomorfa em A se f0(z) existe para todo ponto z ∈ A.

Uma condição necessária para que w = f (z) = u(x, y) + iv(x, y) seja holomorfa numa região R é que u e v satisfaçam as equações de Cauchy-Riemann 3.1 ∂u ∂x = ∂v ∂y, ∂u ∂y = − ∂v ∂x.

Se as derivadas parciais de f (z) são contínuas em R, então as equações de Cauchy-Riemann são também condições suficientes para que f (z) seja holomorfa em R.

Definição 3.1.3. Uma forma quadrática Q definida em uma superfície S é holomorfa se a expressão no sistema de coordenadas isotérmico é dado por

Q = bdz2, onde z = x + yi e b é uma função holomorfa em U .

3.2 Funções Harmônicas

Seja F = F (z, z), onde z = u + iv e z = u − iv. Derivando F em relação a u e v, obtemos: ∂F ∂u = ∂F ∂z ∂z ∂u + ∂F ∂z ∂z ∂u = ∂F ∂z + ∂F ∂z ∂F ∂v = ∂F ∂z ∂z ∂v + ∂F ∂z ∂z ∂v = i( ∂F ∂z − ∂F ∂z) . Portanto, ∂ ∂u = ∂ ∂z + ∂ ∂z ∂ ∂v = i( ∂ ∂z − ∂ ∂z).

Para uma função real f , definimos o gradiente como ∇f = ( ∂

∂u + i ∂ ∂v)f.

(32)

Assim ∇f = ∂f ∂u + i ∂f ∂v = ∂f ∂z + ∂f ∂z + i 2 (∂f ∂z − ∂f ∂z) = 2 ∂f ∂z.

Geometricamente, isto representa um vetor normal à curva f (x, y) = c, onde c é uma constante.

Portanto,

∇f = 2∂f

∂z. (3.2)

Podemos obter também ∂f ∂u − i ∂f ∂v = 2 ∂f ∂z. (3.3) Concluimos também que

∂f ∂z = (

∂f

∂z.) (3.4) Para uma função complexa F = P + iQ o gradiente ∇F é definido como

∇F = ( ∂ ∂u + i ∂ ∂v)(P + iQ) Portanto ∇F = ∂P ∂u + i ∂Q ∂u + i ∂P ∂v − ∂Q ∂v = ∂P ∂u − ∂Q ∂v + i( ∂Q ∂u + ∂P ∂v) Segue da equação 3.2 que

∇F = 2∂F

∂z . (3.5) Definição 3.2.1. Uma função F em duas variáveis, u e v, com derivadas parciais de segunda ordem contínuas, que satisfaz

∇0_{F =} ∂2F

∂u2 +

∂2_F

∂v2 = 0 (Equação de Laplace)

é chamada função harmônica. O operador ∇0 _{= 4}∂ ∂z

∂

∂z é chamado laplaciano

(33)

Proposição 3.2.1. Toda função holomorfa é hamônica.

Prova: Se F = P + iQ é holomorfa então satisfaz as equações 3.1, ou seja,

∂P ∂u = ∂Q ∂v e ∂Q ∂u = − ∂P ∂v. Então calculando 2∂F ∂z = ( ∂ ∂u + i ∂ ∂v)(P + iQ) = ∂P ∂u − ∂Q ∂v + i( ∂Q ∂u + ∂P ∂v) = 0. Logo 4 ∂ ∂z ∂F ∂z = ∂2F ∂u2 + ∂2F ∂v2 = 0.

Definição 3.2.2. Dizemos que uma função real contínua f, é sub-harmômica em um subconjunto aberto U ⊂ C se satisfaz a seguinte desigualdade:

F (a) ≤ 1 2π

Z 2π

0

F (a + reiθ)dθ (3.6) sempre que a bola fechada D(a, r) = {z ∈ C; | z − a |≤ r} esteja contida em U .

Dizemos que uma função F é super-harmônica se −F é sub-harmônica. Os resultados abaixo são encontrados em [2]

Teorema 3.2.1. (Princípio do máximo) Sejam Ω uma região e F uma função sub-harmônica em Ω. Se F atinge um máximo em Ω, então F é constante.

Demonstração: Suponha que F atinge um máximo em a ∈ Ω. Conside-remos uma bola aberta D(a, R) ⊂ Ω. Temos, a partir de (3.6), que

0 ≤ Z 2π

0

[F (a + reiθ) − F (a)]dθ, 0 ≤ r < R.

Por outro lado, pela definição de a, F (z) − F (a) ≤ 0, ∀z ∈ Ω, isto é, o integrando acima é não positivo. Isso implica, por continuidade, que F (a + reiθ) − F (a) = 0 para todo θ ∈ [0, 2π]. Isso vale para todo r ∈ [0, R), ou seja,

F (z) = F (a), ∀z ∈ D(a, R)

Então, se definirmos Ω0 como sendo o conjunto onde F atinge seu valor

(34)

Por continuidade Ω0 é fechado. Como Ω0 é não vazio e conexo então é

igual a Ω, como queríamos demonstrar.

Vamos assumir o seguinte lema encontrado em [2] para que possamos demonstrar o próximo teorema.

Lema 3.2.1. Sejam c ∈ C, 0 < a < b < ∞ e g uma função holomorfa no anel

A = {z ∈ C; a < |z − c| < b}. Então

(i)R₀1g(c + re2πit_{)dt é uma função independente de r ∈ (a, b).}

(ii) Se g é contínua na bola D(c, b) e holomorfa no conjunto D(c, b)−c, então

g(c) = Z 1

0

g(c + re2πit)dt, ∀ 0 < r < b. (3.7) Teorema 3.2.2. Toda função harmônica é sub-harmônica e super-harmônica.

Demonstração: Sejam f : U → R uma função harmônica e D = D(a, r) ⊂ U uma bola aberta. Seja F uma função holomorfa tal que f = ReF em D. Pelo Lema anterior, temos por uma mudança de variáveis, que

F (a) = 1 2π Z 2π 0 F (a + reiθ)dθ Como F é da forma F = f + iQ então f (a) + iQ(a) = 1 2π[ Z 2π 0 f (a + reiθ)dθ + i Z 2π 0 Q(a + reiθ)dθ] f (a) = 1 2π Z 2π 0 f (a + reiθ)dθ em D. Isso conclui a prova.

Teorema 3.2.3. Sejam Ω uma região e F : Ω → R uma função harmônica. Se F ou | F | atinge um máximo, então F é constante.

Demonstração: Se |F | atinge um máximo em Ω então esse é o máximo de F ou −F . Portanto basta provarmos para o caso em que F atinge um máximo em Ω. Assim, o resultado segue diretamente dos Teoremas 3.2.1 e 3.2.2

(35)

Definição 3.2.3. Um ponto no qual f (z) não é holomorfa é dito um ponto singular ou uma singularidade de f (z).

Definição 3.2.4. O ponto z = z0 é chamado uma singularidade isolada

ou um ponto singular isolado de f (z) se existe δ > 0, tal que o círculo |z − z0| = δ não contém (na região limitada por ele) nenhum ponto sigular

diferente de z0(i.é, existe uma δ- vizinhança perfurada de z0, que não contém

nenhum ponto singular). Se nenhum δ puder ser encontrado, dizemos que z0

é uma singularidade não isolada.

Definição 3.2.5. O ponto z = z0 é chamado uma singularidade removível

de f (z) se limz→z0f (z) existe. Por exemplo o ponto singular z = 0 é uma

singularidade removível de f (z) = senz_z , pois limz→0 senz_z = 1.

O seguinte resultado é provado em [2]

Teorema 3.2.4. Sejam b > 0 e h : A(0, b) → R uma função harmônica limitada, onde A(0, b) é o conjunto dos pontos z ∈ C tais que 0 <| z |< b. Então as singularidades de h podem ser removidas e h tem extensão harmônica em D(0, b).

Definição 3.2.6. Seja U ⊂ C um aberto. Dizemos que uma função f : U → C é analítica, se para todo z0 ∈ U , existe uma série de potências

∞

X

n≥0

an(z0)wn,

com raio de convergência ρ > 0, tal que f (z) =

∞

X

n=0

an(z0)(z − z0)n (3.8)

para todo z ∈ U tal que |z − z0| < ρ. A série de potências (3.8) representará

f em z0.

Como as funções definidas por séries de potências são holomorfas segue que as funções analíticas são holomorfas.

Temos também um resultado encontrado em [12] onde fala que toda fun-ção holomorfa em um aberto é analítica nesse aberto. Logo uma funfun-ção f : U → C é holomorfa em U se, e somente se, ela é analílica em U .

Outro fato importante é que os coeficientes an da série que representa f

em z0, podem ser calculados por an = _n!1f(n)z0. Como consequência existe

uma única série que representa f em z0 e esta depende apenas dos valores de

(36)

3.3 Zeros de uma função holomorfa

Seja f : U → C uma função analítica onde U ⊂ C é um aberto. Dado z0 ∈ U , a representação de f em z0 é da forma f (z) =X n≥0 an(z0)(z − z0)n (3.9) Observe que a0 = f (z0), a1 = f0(z0) e an= f (n)_(z 0) n! .

Suponhamos que f (z0) = 0 e que f não seja identicamente nula numa

vizinhança de z0. Neste caso alguma derivada de f em z0 não é nula, pois

caso contrário f seria identicamente nula no disco de convergência da série (3.9).

Definição 3.3.1. Sejam f : U → C uma função analítica e z0 ∈ U tal que a

série que representa f em z0, P_n≥0an(z − z0)n, não seja identicamente nula.

A ordem de f em z0 é por definição o inteiro

O(f, z0) = min{k ≥ 0; ak 6= 0}.

Seja k a ordem de f em z0. Vemos então que ak 6= 0 e que an = 0 se

n < k. Portanto f (z) =X n≥k an(z − z0)n = (z − z0)k X n≥k an(z − z0)n−k = (z − z0)kh(z) onde h(z) = X n≥0 an+k(z − z0)n. Observe que h(z0) = ak6= 0.

Decorre daí que existe r > 0 tal que, se |z − z0| < r, então z ∈ U e

h(z) 6= 0, ou seja a função h(z) não se anula no disco Dr(z0) = D. Como a

função z 7→ (z − z0)k se anula apenas no ponto z = z0, podemos concluir que

z0 é a única solução de f (z) = 0 em D. Em particular não pode existir uma

sequência (zn)n≥0 tal que limn→∞zn= z0, f (zn) = f (z0) e zn6= z0 para todo

n ≥ 0.

Podemos resumir tudo isso no resultado abaixo.

Teorema 3.3.1. Seja f : U → C uma função holomorfa. Seja z0 ∈ U tal

que f (z0) = 0 e f não é identicamente nula numa vizinhança de z0. Então

(37)

Capítulo 4

Função Curvatura Média em

Superfícies Compactas

Teorema 4.0.2. Seja S uma superfície compacta orientada munida de uma métrica riemanniana, e seja H : S → R uma função C∞. Se H não é cons-tante, então existem no máximo duas imersões isométricas não congruentes de S em M3_{(c) com curvatura média H.}

Prova do teorema:

A métrica dada determina uma estrutura conforme em S, e nos trabalha-remos sempre na correspondente coordenada local conforme ou "isotérmica"

z = x1+ ix2

onde z ∈ C é chamado parâmetro complexo da parametrização correspon-dente. Temos portanto, os coeficientes da primeira forma fundamental,

E = G = λ2(x1, x2), F = 0.

Vimos de (2.1) que a métrica pode ser escrita como I = ds2 = λ2[(dx1)2 + (dx2)2] = λ2|dz|2.

Suponha agora que F : S → M3_{(c) é uma imersão isométrica com um}

campo de vetores normais unitário v. Seja ∇ a conexão Riemanniana de M e seja bij = −h∇ ∂ ∂xiv, ∂ ∂xj i

para 1 ≤ i, j ≤ 2, as componentes da Segunda Forma Fundamental dessa imersão. Dado −→a = u ∂

∂x1 + w

∂

(38)

II(−→a ) = u2b11+ 2uwb12+ w2b22. (4.1) Temos que _∂z∂ = 1₂{ ∂ ∂x1 − i ∂ ∂x2} então II( ∂ ∂z) = 1 4b11− i 2b12− 1 4b22. Segue que 4II( ∂ ∂z) = b11− 2ib12− b22.

A importância fundamental desse estudo é a forma quadrática diferencial associada. Q ≡ {b11− b22− 2ib12}dz2 (4.2) Q ≡ bdz2. Observe que dz(_∂z∂) = (dx1+ idx2)(1₂_∂x∂₁ − ₂i_∂x∂₂) = 1₂dx1_∂x∂₁ −₂idx1_∂x∂₂ +₂idx2_∂x∂₁ + 1₂dx2(_∂x∂₂) = 1; então Q( ∂ ∂z, ∂ ∂z) = b = 4II( ∂ ∂z).

Continuaremos a prova do Teorema após a apresentação dos fatos que necessitamos. Vamos mostrar agora, que Q está definida globalmente em S. De fato, vamos obter de que maneira Q se expressa em outro sistema de coordenadas, isto é, na interseção de dois sistemas isotérmicos. Veremos que estas duas formas definidas através de tais parâmetros coincidem.

Dizemos que uma função complexa f é holomorfa em um aberto A se f0(z) existe para todo ponto z ∈ A.

Seja w = u + iv, um sistema de coordenadas isotérmico e consideremos um outro sistema regular de coordenadas x, y. Esse novo sistema z = x + yi é isotérmico se, e somente se, z for uma função analítica da variável w = u + iv com derivada não nula, isto é,

(39)

Denotemos e = b11, f = b12 e g = b22 os coeficientes da Segunda Forma.

Sendo ϕ(u, v) uma parametrização de S, como hϕu, N i = 0 e hϕv, N i = 0,

onde N é um campo de vetores normais a S, isto implica que hϕu− iϕv, N i =

0. Como

2ϕw = ϕu− iϕv e 2ϕw = ϕu+ iϕv

então

h2ϕw, N i = hϕu− iϕv, N i = 0 .

Derivando com relação à w, obtemos h ∂ ∂w(2ϕw), N i + h2ϕw, Nwi = 0 h2ϕw, Nwi = −h_∂w∂ (2ϕw), N i 2hϕw, Nwi = −h(1₂ϕu− ₂iϕv)(ϕu− iϕv), N i = −h1₂ϕ2_u− ϕuϕvi − 1₂ϕ2v, N i = −1₂{hϕuu, N i − 2ihϕuv, N i − hϕvv, N i} = −1₂{e − g − 2if } = −1₂Q. logo Q = −4hϕw, Nwi

Do mesmo modo, se ψ(z) é uma função análoga a função Q(w), temos que

ψ = −4hϕz, Nzi.

Mas z = z(w), então ϕw = ϕz_dwdz e Nw = Nz_dwdz; deste modo obteremos

que Q = −4hϕw, Nwi = −4hϕz dz dw, Nz dz dwi = −4hϕz, Nzi( dz dw) 2_.

Assim temos que

Q = ψ(dz dw)

2

(40)

Temos que

H = λ−2(b11+ b22 2 ) K = λ−4(b11b22− b212) + c

onde H é a curvatura média da imersão e K é a curvatura Gaussiana da superfície.

Vamos mostrar que

|Q|2 _{= 4H}2_{− 4(K − c).} _(4.3) Sabendo que |_∂z∂| = |∂ ∂z| = λ calculemos |Q| = |Q( ∂ ∂z λ , ∂ ∂z λ )|. Como ∂ ∂z λ = 1 2λ ∂ ∂x1 − i 2λ ∂ ∂x2 usando 4.1, obtemos |Q|2 _{= |4 II(}∂z∂ λ )| 2 _{= |4{} 1 4λ2(b11− b22− 2ib12)}|2 = = 1 λ4{b2₁₁− 2b11b22+ b222+ 4b212}.

Somando e subtraindo 2b11b22 obtemos

|Q|2 _{= λ}−4_{b2 11+ 2b11b22+ b222− 4(b11b22− b212)} = 4{λ−2(b11+b22 2 )} 2_{− 4{λ}−4_(b 11b22− b212) + c − c}. Então |Q|2 = 4H2− 4(K − c).

Em termos de curvatura principal k1 e k2 de S temos que

|Q|2 = 4(k1+ k2 2 ) 2_{− 4(k} 1k2+ c − c) |Q|2 _{= k}2 1+ k 2 2 − 2k1k2 = (k1 − k2)2

e deste modo Q é zero precisamente nos pontos umbílicos da imersão. Vamos precisar dos resultados apresentados a seguir.

(41)

Lema 4.0.1. A forma quadrática Q é holomorfa se, e somente se, a imersão F tem curvatura média constante.

Prova: Suponha que H é constante; logo Hx = Hy = 0. Segue de 2.10

que

(e − g)y = 2fx

(e − g)x = −2fy

e assim verifica-se que as partes real e imaginária de Q satisfazem as equações de Cauchy Riemann. Logo Q é uma função holomorfa de z = x + yi.

Por outro lado se Q é holomorfa então as partes real e imaginária de Q satisfazem as equações de Cauchy Riemann temos por 2.10

Hx= Hy = 0.

Como S é conexa H é constante.

Agora supomos, por absurdo, que nos são dados três imersões isométricas Fk: S → M3(c), k = 1, 2, 3, não congruentes, com a mesma função curvatura

média H. Chamaremos

Qk= bk(z)dz2

as correspondentes formas quadráticas diferenciais associadas em S.

Proposição 4.0.1. Nas mesmas condições acima, cada uma das diferenças Qij = Qi−Qj para 1 ≤ i, j ≤ 3 é uma forma quadrática diferencial holomorfa

sobre S.

Prova: Temos que

Qi = bi(z)dz2 = (ei− gi− 2ifi)dz2

Qj = bj(z)dz2 = (ej − gj − 2ifj)dz2

Qij = Qi− Qj = {[(ei− ej) − (gi− gj)] − 2(fi− fj)i}dz2.

Desde que as imersões têm a mesma função curvatura média as equações de Codazzi de Qi e Qj são escritas, respectivamente, como

(ei− gi)y− 2fix = −2EHy e (ej− gj)y − 2fjx = −2EHy

(42)

Calculando a diferença temos (ei − gi− ej + gj)y− 2(fi− fj)x = 0 (ei− gi− ej+ gj)x+ 2(fi − fj)y = 0. Segue que (ei− gi− ej+ gj)y = −[−2(fi− fj)]x (ei− gi− ej + gj)x = [−2(fi− fj)]y

e assim verifica-se que as partes real e imaginária de Qij satisfazem as

equa-ções de Cauchy Riemann; logo Qij é holomorfa.

Lema 4.0.2. O conjunto das formas bilineares simétricas de S que satisfazem as equações de Codazzi é um subespaço do espaço vetorial formado pelas formas bilineares simétricas em S.

Prova: Sejam Fi, Fj imersões isométricas de S em M3(c). Denotando por

Qk = Q(hk) a forma quadrática associada a segunda forma hk. Sejam Qi, Qj

duas formas bilineares simétricas que satisfazem as equações de Codazzi 2.10 e seja c ∈ R.

Temos que

Qi = (ei− gi − 2ifi)dz2

Qj = (ej − gj − 2ifj)dz2.

onde ei, fj e gj são as componentes da imersão Fj.

Calculemos Q = Qi + cQj

= {[(ei+ cej) − (gi+ cgj)] − 2(fi+ cfj)i}dz2.

Desde que as imersões têm a mesma função curvatura média, o traço de hi+ chj é dado por

H = (ei+ cej) + (gi+ cej)

= ei+ gi+ c(ej + gj)

= H + cH = H(c + 1).

Logo Hy = (c + 1)Hy e Hx = (c + 1)Hx.

As equações de Codazzi 2.10 de Qi e Qj são escritas, respectivamente,

como

(ei− gi)y− 2fix = −2EHy e (ej− gj)y − 2fjx = −2EHy

(43)

Então

(ei− gi+ cej − cgj)y − 2(fi+ cfj)x = −2E(1 + c)Hy = −2EHy

(ei− gi+ cej − cgj)x+ 2(fi+ cfj)y = E(1 + c)Hx = 2EHx.

Portanto Q satisfaz as equações de Codazzi.

Proposição 4.0.2. Se as três imersões isométricas Fk, k = 1, 2, 3, possuem

a mesma função curvatura média e são mutualmente não congruentes, isto é, não existe uma isometria Li,j tal que Fi = Li,joFj, i, j = 1, 2, 3, i 6= j, então

∆0log(Qk) = 4|

∂(logQk)

∂z |

2

(4.4) para cada k, onde ∆0 = 4(_∂z∂)(_∂z∂) é o Laplaciano em coordenadas locais z.

Prova da Proposição: A princípio vamos supor que F1 e F2 são não

con-gruentes.

Para cada função real θ, seja U (θ(p)) a rotação de θ(p) em Tp(S) na

direção positiva da orientação dada. Seja hk, k = 1, 2 a segunda forma fun-damental da imersão Fk.

Como as imersões são isométricas e possuem a mesma função curvatura média então o traço das matrizes de h1 e h2 são iguais e além disso, K é a curvatura Gaussiana de S, logo as matrizes tem o mesmo determinante; em outras palavras, as matrizes de h1 _{e h}2 _{são semelhantes. Então existe uma}

função θ2 tal que

[h2] = [U (θ2)][h1][U (θ2)]−1

onde [h2], [U (θ2)] e [h1] são as matrizes de h2, U (θ2) e h1, respectivamente.

Segue que b2 11 b212 b2 12 b222 = cosθ2 senθ2 −senθ2 cosθ2 b1 11 b112 b1 12 b122 cosθ2 −senθ2 senθ2 cosθ2 . Fazendo o produto acima obtemos uma matriz cujos elementos são:

b2₁₁ = cos2θ2b111+ 2senθ2cos θ2b112+ sen2θ2b122

b2

12 = −senθ2cos θ2b111+ (cos2θ2− sen2θ2)b112+ senθ2cos θ2b122

b2

(44)

b2₂₂ = sen2θ2b111− 2senθ2cos θ2b112+ cos2θ2b122

Como b2 = b211− b222− 2ib212, então

b2 = cos2θ2b111+2senθ2cos θ2b112+sen2θ2b122−sen2θ2b111 +2senθ2cos θ2b112−

cos2_θ

2b122−2i[−senθ2cos θ2b111+(cos2θ2−sen2θ2)b112+senθ2cos θ2b122]

b2 = [cos2θ2−sen2θ2+2isenθ2cosθ2]b111 −[cos2θ2−sen2θ2+2isenθ2cosθ2]b122+

[4senθ2cosθ2− 2i(cos2θ2− sen2θ2)]b112

b2 = e2iθ2b111− e2iθ2b122− 2i[cos2θ2− sen2θ2+ 2isenθ2cosθ2]b112

b2 = e2iθ2(b111− b122− 2ib112) = e2iθ2b1

Logo b2 = e2iθ2b1.

Assim Q2 ≡ b2dz2 ≡ e2iθ2b1dz2.

Q2 = e2iθ2Q1.

Pelo lema 4.0.2

Q12= Q1− Q2.

satisfaz as equações de codazzi.

Temos que Q1 = b(z)dz2 em U ; então

Q12= Q1− e2iθ2Q1 = (1 − e2iθ2)Q1.

Como Q12 é holomorfa, segue que (1 − e2iθ2)Q1 é holomorfa.

Considere as seguintes funções

ηk= 2θk e gk = eiηk onde k = 1, 2, 3.

Para simplificar a notação, escreveremos η = ηk e g = gk.

Denotando por g = 1_g e Q = _Q1 temos ∂ ∂z(g) = ∂ ∂z(e iη ) = i∂η ∂ze iη = ig∂η ∂z. (4.5) Analogamente, ∂ ∂z(g) = ig ∂η ∂z, (4.6) ∂ ∂z(g) = −ig ∂η ∂z e (4.7)

(45)

∂

∂z(g) = −ig ∂η

∂z. (4.8) Desde que (1 − g)Q é holomorfa, então

0 = ∂ ∂z[(1 − g)Q] = ∂Q ∂z(1 − g) + Q ∂ ∂z(1 − g) = ∂Q ∂z (1 − g) − Q ∂ ∂zg. Substituindo 4.5 temos 0 = ∂Q ∂z (1 − g) − big ∂η ∂z.

Usando o fato que ∂Q_∂z _Q1 = _∂z∂ (logQ) e isolando ∂η_∂z obtemos ∂η

∂z = −i(g − 1) ∂

∂z(logQ). (4.9) Da mesma forma, desde que (1 − g)Q é holomorfa, então 0 = _∂z∂ [(1 − g)Q]. Substituindo 4.6 e isolando ∂η_∂z obtemos

∂η

∂z = i(g − 1) ∂

∂z(logQ). (4.10) Derivando 4.9 em relação à z, obtemos

∂2_η ∂z∂z = ∂ ∂z(−i(g − 1) ∂ ∂z(logQ)) = = ∂ ∂z[−i(g − 1)] ∂ ∂z(logQ) − i(g − 1) ∂ ∂z ∂ ∂z(logQ). Sabemos que ∆0 = 4∂z ∂z ∂z ∂z ∂2η ∂z∂z = −i ∂ ∂zg ∂ ∂z(logQ) − i(g − 1) 1 44 0_(logQ). Substituindo 4.7 ∂2η ∂z∂z = −i(−ig ∂η ∂z) ∂ ∂z(logQ) − i(g − 1) 1 44 0_(logQ). Substituindo 4.10 obtemos ∂2_η ∂z∂z = −i{−igi(g − 1) ∂ ∂z(logQ) ∂ ∂z(logQ) + (g − 1) 1 4∆ 0_{(logQ)} =}

(46)

= −i{(1 − g) ∂ ∂z(logQ) ∂ ∂zlogQ + (g − 1) 1 4∆ 0_(logQ)}. Logo ∂2_η ∂z∂z = −i(g − 1){ 1 44 0_{(logQ) − |}∂ ∂z(logQ)| 2_}. _(4.11)

Do mesmo modo derivando 4.10 em relação a z e usando as equações 4.6 e 4.9 obtemos. ∂2_η ∂z∂z = i(g − 1)( 1 44 0_{(logQ) − |} ∂ ∂z(logQ)| 2₎ _(4.12)

Pelo teorema de Schwarz _∂z∂z∂2η − _∂z∂z∂2η = 0. Substituindo 4.11 e 4.12 (g − 1)(1 44 0_{(logQ) − |} ∂ ∂z(logQ)| 2_{) + (g − 1)(}1 44 0_{(logQ) − |} ∂ ∂z(logQ)| 2_{) = 0.}

Multiplicando tudo por g (1 − g)(1 44 0 (logQ) − | ∂ ∂z(logQ)| 2 ) + (g2− g)(1 44 0 (logQ) − | ∂ ∂z(logQ)| 2 ) = 0. g2[1 44 0_(logQ)−| ∂ ∂z(logQ)| 2_{] − g[}1 44 0_(logQ)−2| ∂ ∂z(logQ)| 2₊1 44 0_(logQ)]+ +1 44 0 (logQ) − |∂ ∂z(logQ)| 2 = 0

A equação acima é uma equação polinomial complexa P de grau 2 com valores em g. Portanto se para um ponto em U a família de funções g assume mais de dois valores então os coeficientes de P são nulos nesses pontos. Se isso acontece em um subconjunto denso de U , então P ≡ 0; de fato, seja A ⊂ U, A denso em U e P (a) = 0 para todo a ∈ A. Tome u ∈ U ; então existe uma sequência (xn) ∈ A tal que limxn = u; como P (xn) = 0 então

0 = limP (xn) = P limxn= P (u). Portanto P (u) = 0 para todo u ∈ U .

(47)

então

40logQ = 4| ∂

∂z(logQ)|

2

e a Proposição 4.0.2 estaria provada.

Assim, temos que mostrar apenas que existe um subconjunto A denso em U . Se para cada isometria L de M3_{(c), F}

1 6= LoF2, então existe um

subcon-junto denso e aberto U12 em U , onde g1 6= g2. Isso pode ser feito usando o

Lema (4.0.1) para h1− h2 e o fato que os zeros das funções holomorfas são

isolados.

Seja k, k = 1, 2, 3 satisfazendo as condições acima e tome V = ∩(Uij). Então V é denso em U e g assume mais de dois valores,

con-cluindo a prova da proposição.

Voltando à prova do teorema, vamos assumir que F1, F2, F3 são

mutualmente não congruentes. Usaremos a equação (4.4) para as imersões F1 e F2.

Logo b2 = e2iθb1.

Assim Q2 ≡ b2dz2 ≡ e2iθb1dz2 e

Q2 ≡ e2iθQ1, (4.13)

onde θ é definida fora dos zeros de |Qk|2 = 4H2− 4(K − c).

Considere a forma quadrática

Q12 ≡ Q1 − Q2 ≡ Q1− e2iθQ1

Q12 ≡ (1 − e2iθ)b1dz2. (4.14)

Observe que os zeros de Qk (os pontos umbílicos de Fk) estão contidos

nos zeros de Q12. Denotaremos tais zeros por Z = {pj}nj=1. Pelo teorema

(3.2.5), {pj}nj=1 são isolados. Observe que Z é finito, pois, S é uma superfície

(48)

Consideremos o quociente ψ ≡ Q12

Q1

= 1 − e2iθ (4.15) que está definido em S − {Z}.

Pela proposição (4.0.1) Q12 é holomorfa. Obtemos, então

logψ = logQ12− logQ1.

Segue da proposição (4.0.2) que

∆logψ = ∆logQ12− ∆logQ1 = −∆logQ1 = −4 |

∂

∂z(logQ1) |≤ 0. Então

∆logψ = ∆log|ψ| + i∆argψ ≤ 0 (4.16) onde ∆ = λ−2∆0 _{é o operador Laplace-Beltrami em S.}

A equação 4.16 pode ser reescrita dizendo que

∆log|ψ| ≤ 0, ∆argψ = 0 sobre S − {Z}. (4.17) Observe que ψ não tem zero no conjunto conexo S − {Z}, logo a função 2θ não pode ser zero (módulo 2π) neste conjunto.

Daí podemos escolher uma ramificação continua 2θ : S − {z} → (0, 2π) ⊂ R. Como |ψ − 1| ≡ 1 e ψ 6= 0 em S − {Z} segue que

arg(ψ(z)) ∈ (−π 2,

π

2) (4.18) para z ∈ S − {Z}. Em particular, de 4.17 e 4.18 segue argψ é uma função hamônica limitada sobre S − {Z}, onde Z consiste de um conjunto finito de pontos.

Pelo teorema (3.2.4), argψ se estende para uma função harmônica regular sobre toda S, e daí pelo teorema (3.2.1) argψ é constante. Isso implica que ψ é constante. Conseguentemente, Q1 é holomorfa, e então pelo lema (4.0.1),

a função curvatura média H é constante. Isso completa a prova.

(49)

Comentários finais:

1. Se S é homeomorfa a esfera S2 então existe no máximo uma imersão isométrica de S em M3_{(c). Esse fato é devido a um teorema demonstrado}

em [8] que fala que a única forma quadrática holomorfa Q ≡ bdz2, numa superfície compacta S de gênero zero, tem b ≡ 0. Pela Proposição 4.0.1 a diferença Qij = Qi− Qj é holomorfa, logo, Qi− Qj ≡ 0. Segue que Fi = Fj.

2. No caso particular de S ser homeomorfa ao toro T2 _{e a função H não}

constante, então temos no máximo duas imersões isométricas não congruentes de T2 em M3(c) com a mesma função curvatura média. Essa afirmação é equivalente ao teorema mostrado em [1], o qual afirma que se a imersão isométrica de um toro em M3_{(c) tem curvatura média não constante, então}

a imersão não é H-deformável.

3. Tribuzy mostra em [1] que uma H-deformação local caracteriza o toro com curvatura média constante em M3(c). O teorema apresentado em [18] é a generalização desse resultado para gênero maior que zero e é enunciado da seguinte forma:

Teorema 4.0.3. Seja S uma superfície compacta orientada imersa em M3_(c)

com gênero g > 0. Então S é localmente H-deformavel se e somente se S tem curvatura média constante.

(50)

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