DZMITRY ZHYLTSOU. Dinâmica Estrutural: Implementação Numérica e Análise Computacional por Elementos Finitos

(1)

Universidade de Aveiro 2020

Departamento de Engenharia Mecânica

DZMITRY

ZHYLTSOU

Dinâmica Estrutural: Implementação Numérica e

Análise Computacional por Elementos Finitos

(2)

Universidade de Aveiro 2020

Departamento de Engenharia Mecânica

DZMITRY

ZHYLTSOU

Dinâmica Estrutural: Implementação Numérica e

Análise Computacional por Elementos Finitos

Dissertação apresentada à Universidade de Aveiro para cumprimento dos requisitos necessários à obtenção do grau de Mestre em Engenharia Mecânica, realizada sob a orientação científica do Doutor Joaquim Alexandre Mendes de Pinho da Cruz, Professor Auxiliar do Departamento de Engenharia Mecânica da Universidade de Aveiro

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o júri

Presidente _{Professor Doutor Ricardo José Alves de Sousa}

Professor Auxiliar com Agregação do Departamento de Engenharia Mecânica da Universidade de Aveiro

Vogais _{Doutor Carlos André Soares Couto}

Investigador Auxiliar do Departamento de Engenharia Civil da Universidade de Aveiro (arguente)

Professor Doutor Joaquim Alexandre Mendes de Pinho da Cruz Professor Auxiliar do Departamento de Engenharia Mecânica da Universidade de Aveiro (orientador)

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agradecimentos Ao Professor Joaquim Alexandre Mendes de Pinho da Cruz, pelo seu apoio e orientação prestada no desenvolvimento deste trabalho.

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palavras-chave Vibrações, estruturas, vigas, barras, método de elementos finitos, resposta transitória, análise modal, MATLAB, GiD, SAP2000

resumo Este trabalho visa aplicar o método de elementos finitos para a obtenção da resposta transitória ou permanente da vibração dos sistemas constituídos por vigas ou barras, com implementação numérica em MATLAB e com o apoio do GiD para a definição do problema e a posterior visualização de resultados. O modelo matemático da dinâmica das estruturas é obtido diretamente a partir da Segunda Lei de Newton, sendo assim um sistema de equações diferenciais que neste trabalho é desacoplado, para permitir a sobreposição modal nos sistemas lineares. Para se obter esse sistema de equações, com a aplicação do Princípio dos Trabalhos Virtuais, são instituídas as propriedades dinâmicas que definem um elemento finito: a rigidez, a inércia e o amortecimento, que depois são sobrepostas, de tal modo que satisfaçam o equilíbrio dinâmico e a compatibilidade de deslocamentos em qualquer nó que ligue esses elementos entre si.

Embora sejam elementos unidimensionais, além de permitirem uma compreensão inicial mais fácil da dinâmica das estruturas, a sua utilização também pode ser vantajosa para diminuir o esforço computacional nos sistemas complexos, já com bastantes graus de liberdade, desde que seja empregado em domínios em que a formulação desses elementos seja representativa da mecânica do problema.

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keywords Vibrations, structures, beams, bars, finite element method, transient response, modal analysis, MATLAB, GiD, SAP2000

abstract The present work aims to apply the finite element method to obtain a transient or steady-state vibration response of structures made up of beams or bars, with numerical implementation in MATLAB and with support of GiD in definition of the problem and the following display of results.

The mathematical model of dynamic of structures is directly obtained from Newton’s Second Law of Motion, being a system of differential equations that in this work is decoupled to enable the application of modal superposition in linear systems. In order to obtain that system of equations, using the Principle of Virtual Work, the dynamic properties that define a finite element are established: stiffness, inertia and damping, which are subsequently superposed in a way that satisfy the dynamic equilibrium and compatibility of displacements at each nodal point.

Despite being one-dimensional elements, they allow an easier initial understanding of structural dynamics phenomena and, beyond that, their use can also be advantageous to reduce computational cost in complex systems, already with a great number of degrees of freedom, as long as used in the domains where the formulation of those elements takes into account the mechanics of the problem.

(7)

ÍNDICE

1 INTRODUÇÃO ... 1

2 VIBRAÇÃO DE SISTEMAS COM 1 GRAU DE LIBERDADE ... 2

2.1 Vibração livre não-amortecida ... 3

2.2 Vibração livre amortecida ... 4

2.3 Vibração forçada amortecida ... 6

2.3.1 Carregamento sinusoidal ... 6

2.3.2 Carregamento periódico ... 8

3 VIBRAÇÃO DE SISTEMAS COM 2 OU MAIS GRAUS DE LIBERDADE ... 9

3.1 Edifício de dois andares ... 9

3.1.1 Ortogonalidade dos modos de vibração ... 11

3.2 Estruturas com amortecimento ... 12

3.2.1 Transformação de coordenadas... 13

3.2.2 Resposta do sistema através da sobreposição modal ... 14

3.3 Condensação estática ... 15

4 ELEMENTOS DE VIGA E BARRA EM DINÂMICA ESTRUTURAL ... 17

4.1 Barra sob cargas axiais ... 18

4.2 Viga sob cargas transversais e momentos fletores ... 19

4.3 Viga sob momentos torsores ... 23

4.4 Coeficientes de amortecimento ... 23

4.5 Treliças 3D sob forças concentradas nos nós ... 24

4.5.1 Transformação de coordenadas... 25

4.6. Estruturas 3D constituídas por elementos do tipo viga-barra ... 26

5 MODELAÇÃO DO PROGRAMA PRINCIPAL EM MATLAB ... 29

6 PROGRAMA APLICADO À RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS ... 42

6.1 Cálculo das frequências/períodos naturais de sistemas ... 42

6.1.1 Estrutura 2D (bidimensional) articulada ... 42

6.1.2 Estrutura 1D (unidimensional) reticulada ... 43

6.1.3 Estrutura 3D reticulada ... 45

6.2 Análise transitória de sistemas sujeitos a cargas dinâmicas ... 47

6.2.1 Estruturas articuladas ... 47

6.2.1.1 Estrutura 2D sem amortecimento ... 47

6.2.1.2 Estrutura 2D com amortecimento ... 52

(8)

6.2.2 Estruturas reticuladas ... 58

6.2.2.1 Estrutura 2D sem amortecimento ... 58

6.2.2.2 Estrutura 2D com amortecimento ... 62

6.2.2.3 Estruturas 3D sem amortecimento ... 69

6.2.2.3.1 Exemplo 1 ... 69

6.2.2.3.2 Exemplo 2 ... 73

7 CONCLUSÕES ... 80

APÊNDICE A – Fluxograma do programa principal ... 81

APÊNDICE B – Algoritmos ... 84

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LISTA DE FIGURAS

Figura 1: Sistema de massa m, mola de rigidez k, amortecedor de coeficiente de

amortecimento viscoso c e carga dinâmica F(t), para um deslocamento u(t) ... 2

Figura 2: (a) pórtico sob a ação de uma carga lateral concentrada, (b) reservatório de água sob ação do vento e (c) viga encastrada-livre sob a ação do desbalanceamento de motor na extremidade ... 2

Figura 3: Diagrama de corpo livre do modelo analítico ... 3

Figura 4: Soma e subtração das constantes de integração no Plano Complexo ... 6

Figura 5: Sistema modelado com 2 GL (adaptado (2)) ... 9

Figura 6: Elemento do tipo viga-barra ... 17

Figura 7: Treliça 2D no SAP2000 (adaptado (6)) ... 42

Figura 8: Viga encastrada-livre no SAP2000 (adaptado (8)) ... 43

Figura 9: Estrutura 3D reticulada no SAP2000 (adaptado (8)) ... 46

Figura 10: Estrutura 2D articulada no SAP2000 (adaptado (9)) ... 48

Figura 11: Deslocamento do nó 4 (1 no GiD) em X, SAP2000 vs. MATLAB ... 49

Figura 12: Deslocamento do nó 4 (1 no GiD) em Z, SAP2000 vs. MATLAB ... 49

Figura 13: Deslocamento do nó 2 em X, SAP2000 vs. MATLAB ... 49

Figura 14: Deslocamento do nó 2 em Z, SAP2000 vs. MATLAB ... 50

Figura 15: Tensões axiais nas barras nos instantes 0,009 s e 0,282 s, SAP2000 ... 50

Figura 16: Tensões axiais absolutas nas barras nos instantes 0,009 s e 0,282 s, MATLAB ... .51

Figura 17: Deformada da estrutura no instante 0,282 s, SAP2000 vs. GiD ... 51

Figura 22: Tensões axiais nas barras no instante 1 s, SAP2000 ... 54

Figura 23: Tensões axiais absolutas nas barras no instante 1 s, MATLAB ... 54

Figura 24: Deformada da estrutura no instante 1 s, SAP2000 vs. GiD ... 54

Figura 27: Deslocamento do nó 3 (4 no GiD) em Y, SAP2000 vs. MATLAB ... 56

Figura 29: Tensões axiais nas barras no instante 0,1675 s, SAP2000 ... 57

Figura 30: Tensões axiais absolutas nas barras no instante 0,1675 s, MATLAB ... 57

Figura 32: Estrutura 2D reticulada no SAP2000 (adaptado (9)) ... 58

Figura 34: Rotação do nó 2 (3 no GiD) em Y, SAP2000 vs. MATLAB ... 59

Figura 37: Tensões axiais máximas absolutas no instante 1,916 s, MATLAB ... 61

Figura 38: Tensões axiais nos pontos críticos, no instante 1,916 s, SAP2000 ... 61

Figura 39: Deformada da estrutura no instante 1,916 s, GiD ... 62

Figura 40: Deformada da estrutura no instante 1,916 s, SAP2000... 62

(10)

Figura 42: Deslocamento do nó 3 (2 no GiD) em X, Análise 1, SAP2000 vs. MATLAB . 65 Figura 43: Deslocamento do nó 3 (2 no GiD) em X, Análise 2, SAP2000 vs. MATLAB . 66 Figura 44: Deslocamento do nó 3 (2 no GiD) em X, Análise 3, SAP2000 vs. MATLAB . 66

Figura 45: Tensões axiais máximas absolutas no instante 0,348 s, Análise 1, MATLAB .. 66

Figura 46: Tensões axiais nos pontos críticos no instante 0,348 s, Análise 1, SAP2000 .... 67

Figura 47: Deformada da estrutura no instante 0,348 s, Análise 1, SAP2000 vs. GiD ... 67

Figura 54: Estrutura 3D reticulada (exemplo 1) no SAP2000 (adaptado (2)) ... 70

Figura 58: Tensões axiais máximas absolutas no instante 0,0444 s, MATLAB ... 72

Figura 59: Tensões axiais nos pontos críticos no instante 0,0444 s, SAP2000 ... 72

Figura 61: Estrutura 3D reticulada (exemplo 2) no SAP2000 (adaptado (2)) ... 73

Figura 62: Deslocamento do nó 7 (9 no GiD) em Y, Análise 1, SAP2000 vs. MATLAB . 76 Figura 63: Deslocamento do nó 7 (24 no GiD) em Y, Análise 2, SAP2000 vs. MATLAB… ... 76

Figura 64: Deslocamento do nó 7 (82 no GiD) em Y, Análise 3, SAP2000 vs. MATLAB ... .77

Figura 65: Deslocamento do nó 5 (4 no GiD) em Y, Análise 1, SAP2000 vs. MATLAB . 77 Figura 66: Deslocamento do nó 5 (23 no GiD) em Y, Análise 2, SAP2000 vs. MATLAB ... .77

Figura 67: Deslocamento do nó 5 (83 no GiD) em Y, Análise 3, SAP2000 vs. MATLAB ... .78

Figura 69: Tensões axiais máximas absolutas no instante 0,0551 s, Análise 1, MATLAB ... ..79

Figura 70: Diagrama da tensão axial máxima absoluta ao longo do elemento 7, no instante 0,0551 s, Análise 1, GiD ... 79

Figura 71: Diagramas das tensões axiais nos 4 pontos (vertíces da secção quadrangular) ao longo do elemento 7, no instante 0,0551s, Análise 1, SAP2000 ... 79

(11)

LISTA DE TABELAS

Tabela 1: Frequências naturais do sistema da Figura 7 e 𝑑. 𝑝. (Referência (6) vs. Programa) ... 43 Tabela 2: Períodos naturais do sistema da Figura 8 e 𝑑. 𝑝. (Referência (8) vs. Programa)..44 Tabela 3: Coordenadas e massas concentradas dos nós da estrutura da Figura 9 ... 46 Tabela 4: Coordenadas e massas concentradas dos nós da estrutura da Figura 9 (cont.) .... 46 Tabela 5: Frequências naturais do sistema da Figura 9 e 𝑑. 𝑝. (SAP2000 vs. Programa) ... 47 Tabela 6: Frequências naturais do sistema da Figura 10 e 𝑑. 𝑝. (SAP2000 vs. Programa e Referência (9) vs. Programa) ... 48 Tabela 7: Deslocamentos mínimos e máximos, e os instantes em que ocorrem, nos GL livres do sistema da Figura 10 e 𝑑. 𝑝. (SAP2000 vs. Programa) ... 50 Tabela 8: Deslocamentos mínimos e máximos, e os instantes em que ocorrem, nos GL livres do sistema da Figura 18 e 𝑑. 𝑝. (SAP2000 vs. Programa) ... 53 Tabela 9: Deslocamentos mínimos e máximos, e os instantes em que ocorrem, nos GL livres do sistema da Figura 25 e 𝑑. 𝑝. (SAP2000 vs. Programa) ... 56 Tabela 10: Magnitude da força em vários instantes (histórico de carregamento) ... 59 Tabela 11: Deslocamentos mínimos e máximos, e os instantes em que ocorrem, nos GL livres do sistema da Figura 32 e 𝑑. 𝑝. (SAP2000 vs. Programa) ... 59 Tabela 12: Magnitude da força periódica não-sinusoidal em vários instantes nas 3 análises diferentes ... 63 Tabela 13: Deslocamentos mínimos e máximos, e os instantes em que ocorrem na Análise 1, nos GL livres do sistema da Figura 41 e 𝑑. 𝑝. (SAP2000 vs. Programa) ... 64 Tabela 14: Deslocamentos mínimos e máximos, e os instantes em que ocorrem na Análise 2, nos GL livres do sistema da Figura 41 e 𝑑. 𝑝. (SAP2000 vs. Programa) ... 64 Tabela 15: Deslocamentos mínimos e máximos, e os instantes em que ocorrem na Análise 3, nos GL livres do sistema da Figura 41 e 𝑑. 𝑝. (SAP2000 vs. Programa) ... 65 Tabela 16: Deslocamentos mínimos e máximos, e os instantes em que ocorrem, nos GL livres do sistema da Figura 54 e 𝑑. 𝑝. (SAP2000 vs. Programa) ... 70 Tabela 17: Magnitude da força triangular em vários instantes ... 73 Tabela 18: Deslocamentos mínimos e máximos, e os instantes em que ocorrem na Análise 1, em alguns GL livres do sistema da Figura 61 e 𝑑. 𝑝. (SAP2000 vs. Programa) ... 74 Tabela 19: Deslocamentos mínimos e máximos, e os instantes em que ocorrem na Análise 2, em alguns GL livres do sistema da Figura 61 e 𝑑. 𝑝. (SAP2000 vs. Programa) ... 74 Tabela 20: Deslocamentos mínimos e máximos, e os instantes em que ocorrem na Análise 3, em alguns GL livres do sistema da Figura 61 e 𝑑. 𝑝. (SAP2000 vs. Programa) ... 75

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LISTA DE SÍMBOLOS

𝑚 massa equivalente do modelo

𝑐 coeficiente de amortecimento equivalente do modelo 𝑘 rigidez equivalente do modelo

𝜉 fator de amortecimento

𝑔 magnitude da força gravítica

N força normal

[Me] matriz de massa elementar

[Ce] matriz de amortecimento elementar [Ke_] _{matriz de rigidez elementar}

[M] matriz de massa global

[C] matriz de amortecimento global [K] matriz de rigidez global

{a_𝑖} modo de vibração (vetor próprio) i

{φ_𝑖} modo de vibração (vetor próprio) i normalizado [A] matriz de modos de vibração do sistema

[Φ] matriz de modos de vibração do sistema normalizados 𝜆𝑖 valor próprio i

[Λ] matriz diagonal com valores próprios do sistema 𝜔_n frequência natural não-amortecida

𝜔d frequência natural amortecida

𝜔_𝑖 frequência natural do modo i

[Ω] matriz diagonal com frequências naturais do sistema

ω frequência de excitação

Χ fator de amplificação dinâmica 𝑦_𝑖 fator de participação do modo i 𝜉_𝑖 fator de amortecimento do modo i 𝑁𝑖 função de forma no grau de liberdade i

𝑃𝑖 esforço no grau de liberdade i do elemento no referencial local

𝛿_𝑖 deslocamento no grau de liberdade i do elemento no referencial local 𝑃̅_𝑖 esforço no grau de liberdade i do elemento no referencial global 𝛿̅_𝑖 deslocamento no grau de liberdade i do elemento no referencial global

E módulo de Young

A área de secção

L comprimento longitudinal

ν coeficiente de Poisson

G módulo de corte

𝐼y segundo momento de área em relação ao eixo Y local

𝐼_z segundo momento de área em relação ao eixo Z local 𝐼0 segundo momento polar de área

J constante de torção

(13)

LISTA DE ABREVIATURAS

MEF método de elementos finitos

GL grau de liberdade

MV modo de vibração

1D unidimensional

2D bidimensional

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1

1 INTRODUÇÃO

Em muitas situações do dia a dia, as estruturas estão sujeitas a carregamentos que variam com o tempo ou que são aplicados abruptamente, embora nestes últimos possam ser constantes, pelo que surgem forças dissipativas e de inércia, induzindo as estruturas a vibrar. Estes tipos de carregamento não podem ser desconsiderados na resposta transitória do sistema, tal como na resposta permanente, se a frequência de excitação for superior a cerca de um terço da frequência natural mais baixa da estrutura. Assim, a análise estática das estruturas é válida para componentes de carregamento constantes ou com baixas frequências na resposta permanente (1), sendo possível sobrepô-la nos sistemas lineares com a resposta transitória associada aos efeitos dinâmicos, se estes existirem.

As estruturas em vibração apresentam tensões variáveis no tempo em virtude de movimentos oscilatórios entre as partículas materiais que as constituem. Por conseguinte, o projetista ou o engenheiro de estruturas deverá ter em conta, além dos critérios de falha como o de von Mises, a resistência à fadiga dos elementos envolvidos e, assim, dimensionar o sistema de modo condizente com as solicitações dinâmicas e estáticas características ao fim a que se destina.

Para ser possível analisar o comportamento dinâmico das estruturas através do MEF (método de elementos finitos), foram assumidas algumas idealizações, neste trabalho, para as vigas e barras. Sendo elementos contínuos tridimensionais, estes podem ser descritos apenas pelo seu eixo longitudinal e aproximados a sistemas discretos, contendo dois nós por elemento, cada um com um ou vários GL (graus de liberdade) associados. O material que os constitui foi considerado como homogéneo e isotrópico, respondendo linearmente a cargas no regime elástico. Admitindo que estes elementos sofrem pequenas deformações, aplicou-se a hipótese de sobreposição modal para se encontrar a resposta dinâmica das estruturas. Geralmente este método numérico só se aplica em problemas lineares, em estruturas com baixo amortecimento e é mais eficiente nos problemas com frequências de excitação relativamente baixas. A integração direta é outra alternativa a este método e que será imprescindível quando o primeiro não se adequa ou seja computacionalmente impraticável.

No texto que se segue a esta introdução, em primeiro lugar, serão apresentados alguns conceitos-base para os sistemas modelados com um único GL, mas que serão fundamentais para a compreensão e a implementação do método numérico para o maior número de GL. Posteriormente, será analisado um modelo simplificado de edifícios, com o número de GL igual ao número de pisos, e, assim, apresentar-se-ão algumas propriedades dos sistemas lineares que permitam aplicar a sobreposição modal. Prosseguir-se-á com a formulação de matrizes elementares de rigidez, de amortecimento e de massa, dos elementos finitos de viga e barra, com as devidas transformações de coordenadas, necessárias para se formar as matrizes globais.

Enfim, o principal objetivo deste trabalho será o de obter a resposta dinâmica de algumas estruturas, através do MEF com a sobreposição modal, comparando-a com a solução obtida no programa SAP2000, e, assim, testar e validar o cálculo numérico do código desenvolvido em MATLAB. A aplicação deste código com o pré-processador e pós- -processador GiD facilitará a definição dos problemas e a posterior visualização dos resultados.

(15)

2

2 VIBRAÇÃO DE SISTEMAS COM 1 GRAU DE LIBERDADE

Existem vários sistemas contínuos, e, portanto, com um número infinito de GL, cujo comportamento possa ser definido apenas por um único GL (Figura 1). É o caso dos modelos analíticos simplificados da Figura 2.

Figura 1: Sistema de massa m, mola de rigidez k, amortecedor de coeficiente de amortecimento viscoso c e carga dinâmica F(t), para um deslocamento u(t)

Figura 2: (a) pórtico sob a ação de uma carga lateral concentrada, (b) reservatório de água sob ação do vento e (c) viga encastrada-livre sob a ação do desbalanceamento de motor na

extremidade

Aplicando a 2.ª Lei de Newton ou o Princípio de D’Alembert ao modelo analítico, com recurso ao diagrama de corpo livre (Figura 3), chega-se à equação diferencial completa:

𝑚𝑢̈ + 𝑐𝑢̇ + 𝑘𝑢 = 𝐹(𝑡), (2.1)

em que a única incógnita independente é o deslocamento em relação à posição de equilíbrio 𝑢, multiplicada por termos constantes, pois é assumido que a força elástica

(16)

3 (−𝑘𝑢) resulta da ação de uma mola linear, diretamente proporcional ao seu alongamento. De forma semelhante, a força dissipativa (−𝑐𝑢̇) é diretamente proporcional à sua velocidade de alongamento, visto que é considerado um amortecimento viscoso. Este tipo de amortecimento não descreve o mecanismo real de dissipação ou de transformação de energia mecânica das estruturas noutras formas de energia, tais como o calor, que ocorre devido a fenómenos como o movimento nas juntas e a histerese no material. No entanto, é em muitos casos uma aproximação aceitável para facilitar a abordagem matemática do modelo.

Figura 3: Diagrama de corpo livre do modelo analítico

2.1 Vibração livre não-amortecida

Quando 𝐹(𝑡) e o coeficiente 𝑐 são iguais a zero, e o centro de massa do modelo é afastado da sua posição de equilíbrio, o sistema vibra livremente, entre essa posição inicial extrema e outro extremo do lado oposto ao inicial, se partir com uma velocidade inicial nula, ou, entre os extremos mais afastados que no primeiro caso, se a velocidade inicial não for nula. Nesta situação, a Equação (2.1) fica como:

𝑚𝑢̈ + 𝑘𝑢 = 0. (2.2)

Duas soluções particulares independentes desta equação podem ser, por exemplo:

𝑢1 = 𝐴cos(𝜔n𝑡) e 𝑢2 = 𝐵sin(𝜔n𝑡).

Como a Equação (2.2) é diferencial homogénea linear de segunda ordem, a sua solução geral homogénea é a sobreposição das duas soluções particulares:

𝑢GH(𝑡) = 𝑢1+ 𝑢2= 𝐴cos(𝜔n𝑡) + 𝐵sin(𝜔n𝑡).

As constantes de integração A e B dependem das condições iniciais do sistema, e como se verá, de forma semelhante, na resposta da vibração amortecida. Substituindo 𝑢 na Equação (2.2) pela solução particular 𝑢₁, obtém-se:

𝐴cos(𝜔n𝑡)(−𝑚𝜔n2+ 𝑘) = 0. (2.3)

𝑚𝑢̈ 𝑐𝑢̇

(17)

4 Como a função 𝐴cos(𝜔_n𝑡) não é sempre nula, então a equação

(−𝑚𝜔_n2_{+ 𝑘) = 0} _(2.4)

tem de ser válida em qualquer instante. Logo, 𝜔_n = √𝑘

𝑚 .

2.2 Vibração livre amortecida

Na prática, os sistemas reais têm sempre um amortecimento associado. O sistema vibra com a diminuição da sua amplitude de oscilação até parar ou apenas volta até a sua posição de equilíbrio após atingir a posição extrema. No primeiro caso o sistema está subamortecido e noutro ou está sobreamortecido ou no limite criticamente amortecido. Nesta situação, a Equação (2.1) fica como:

𝑚𝑢̈ + 𝑐𝑢̇ + 𝑘𝑢 = 0. (2.5)

Uma solução que satisfaz a Equação (2.5) poderá ser:

𝑢 = 𝐶𝑒𝑠𝑡. (2.6)

Com a Equação (2.6) substitui-se na Equação (2.5) a incógnita 𝑢 e fica:

𝐶𝑒𝑠𝑡_(𝑚𝑠2_{+ 𝑐𝑠 + 𝑘) = 0.} _(2.7)

Para a Equação (2.7) ser verdadeira, a equação caraterística tem de ser válida:

(𝑚𝑠2_{+ 𝑐𝑠 + 𝑘) = 0.} _(2.8)

É possível encontrar a solução da Equação (2.8), através da fórmula resolvente:

𝑠_1,2 = −𝑐 2𝑚± √( 𝑐 2𝑚) 2 − 𝑘 𝑚. (2.9)

A solução geral homogénea da Equação (2.5) é: 𝑢_GH(𝑡) = 𝐶₁𝑒𝑠1𝑡_{+ 𝐶}

2𝑒𝑠2𝑡, (2.10)

em que 𝐶1 e 𝐶2 são as constantes de integração, determinadas a partir das condições

inicias. Neste caso, as soluções, 𝑠1 e 𝑠2, são distintas. No caso do sistema criticamente

(18)

5 𝑠_1,2 = −𝑐 2𝑚 = 𝑠0, (2.11) pois ( 𝑐 2𝑚) 2 = 𝑘 𝑚. (2.12)

Logo, é preciso encontrar outra solução geral homogénea para este caso, como: 𝑢_GH(𝑡) = 𝐶₁𝑒𝑠0𝑡_{+ 𝐶}

2𝑡𝑒𝑠0𝑡. (2.13)

A partir da Equação (2.12) é obtido o coeficiente de amortecimento crítico:

𝑐cr= 2√𝑚𝑘 = 2𝑚𝜔n. (2.14)

Assim, o fator de amortecimento é definido através de:

𝜉 = 𝑐

𝑐_cr. (2.15)

A maioria das estruturas tem 0,02 < 𝜉 < 0,1, pelo que será usada a Equação (2.10). Assim, o termo dentro do radical da Equação (2.9) será negativo:

𝜔_n2_(𝜉2_{− 1) < 0}

e então

𝑠_1,2 = −𝜉𝜔_n± 𝑗𝜔_n√1 − 𝜉2_. _(2.16)

Sendo

𝜔_d = 𝜔_n√1 − 𝜉2_, _(2.17)

substituindo 𝑠1 e 𝑠2 da Equação (2.9) na Equação (2.10), com a fórmula de Euler obtém-se:

𝑢_GH(𝑡) = 𝑒−𝜉𝜔n𝑡_((𝐶

1+ 𝐶2) cos(𝜔d𝑡) + 𝑗(𝐶1− 𝐶2) sin(𝜔d𝑡)). (2.18)

Logo, 𝐶₁ e 𝐶₂ têm de ser números complexos conjugados, visto que 𝑢_GH é uma grandeza física real. Assim, a Equação (2.18) pode ser reescrita como:

𝑢_GH(𝑡) = 𝑒−𝜉𝜔n𝑡_{(𝐴 cos(𝜔}

(19)

6 Através da Figura 4 sabe-se que:

𝐶₁+ 𝐶₂ = 𝐶cos(𝛼) e 𝑗(𝐶₁− 𝐶₂) = 𝐶sin(𝛼).

Figura 4: Soma e subtração das constantes de integração no Plano Complexo

Assim, a Equação (2.18) pode ser reescrita de forma ainda mais compacta: 𝑢_GH(𝑡) = 𝑒−𝜉𝜔n𝑡_𝐶cos(𝜔

d𝑡 − 𝛼), (2.20)

em que as constantes 𝐶 e 𝛼 são obtidas a partir das condições iniciais, i.e., conhecendo a posição inicial 𝑢₀ e a velocidade inicial 𝑣₀ do centro de massa do modelo:

𝛼 = arctan (𝑣0 + 𝑢0𝜉𝜔n

𝜔_d𝑢₀ ) 𝐶 = √𝑢02 +

(𝑣0+ 𝑢0𝜉𝜔n)2

𝜔d2

.

2.3 Vibração forçada amortecida

A solução geral da resposta do modelo é a sobreposição linear da resposta transitória 𝑢_GH(𝑡) e da resposta permanente u_p(𝑡):

𝑢(𝑡) = 𝑢_GH(𝑡) + 𝑢p(𝑡). (2.21)

A solução da Equação (2.1) é a própria solução particular 𝑢p(𝑡), que coincide com a

solução geral 𝑢(𝑡) no regime permanente.

2.3.1 Carregamento sinusoidal

Se houver um carregamento periódico sinusoidal 𝐹(𝑡), sendo 𝐹₀ a sua amplitude e 𝑤 a sua frequência angular, a Equação (2.1) fica como:

𝑚𝑢̈ + 𝑐𝑢̇ + 𝑘𝑢 = 𝐹₀sin(𝑤𝑡). (2.22)

𝑗(𝐶1− 𝐶2)

𝐶₁+ 𝐶₂ 𝐶

(20)

7 A solução particular da Equação (2.22) deverá ter a mesma natureza que 𝐹(𝑡) e é, por isso, também sinusoidal e com a mesma frequência de excitação, tendo a amplitude 𝑈, mas devido ao amortecimento tem um atraso (−𝜑) de resposta relativamente a esta:

𝑢_p(𝑡) = 𝑈sin(𝑤𝑡 − (−𝜑)). (2.23)

A Equação (2.23) pode ainda ser escrita de outra forma equivalente:

𝑢_p(𝑡) = 𝑈₁sin(𝑤𝑡) + 𝑈₂cos(𝑤𝑡), (2.24)

em que 𝑈1 = 𝑈cos(𝜑) e 𝑈2 = 𝑈sin(𝜑).

Desta forma, as derivadas de primeira e de segunda ordem da solução particular são:

𝑢̇_p(𝑡) = 𝑈₁𝑤cos(𝑤𝑡) − 𝑈₂𝑤sin(𝑤𝑡) (2.25)

e

𝑢̈_p(𝑡) = −𝑈1𝑤2sin(𝑤𝑡) − 𝑈2𝑤2cos(𝑤𝑡). (2.26)

Substituindo na Equação (2.22) o termo 𝑢 e as suas derivadas com as de solução particular, encontram-se as constantes 𝑈₁ e 𝑈₂: 𝑈₁ = (𝑘 − 𝑚𝑤 2_)𝐹 0 (𝑘 − 𝑚𝑤2₎2_{+ (𝑐. 𝑤)}2 𝑈2 = −(𝑐. 𝑤)𝐹₀ (𝑘 − 𝑚𝑤2₎2_{+ (𝑐. 𝑤)}2. Como 𝑈 = √𝑈₁2+ 𝑈₂2, então: 𝑈 = 𝐹0 √(𝑘 − 𝑚𝑤2₎2_{+ (𝑐. 𝑤)}2 ou 𝑈 = 𝐹₀ 𝑘 𝛸, em que 𝛸 é o fator de amplificação dinâmica e 𝑟 a razão de frequências:

𝛸 = 1

√(1 − 𝑟2₎2_{+ (2𝜉𝑟)}2 𝑟 =

𝑤 𝜔_n.

Como se pode verificar, o deslocamento máximo do sistema não é só a razão estática de 𝐹₀ e 𝑘, mas sim esta é “corrigida” pelo fator 𝛸, que a relaciona com o efeito das forças de inércia. É de notar que quando 𝑟 tende para um e 𝜉 para zero este fator tende, no limite, para o infinito. As excessivas amplitudes de vibração podem constituir um problema, mas poderão ser atenuadas elevando-se a frequência natural do sistema.

(21)

8 tan(𝜑) =𝑈2 𝑈₁⇔ (−𝜑) = −arctan ( −𝑐. 𝑤 𝑘 − 𝑚𝑤2) = arctan ( 2𝜉𝑟 1 − 𝑟2) = 𝜃. 2.3.2 Carregamento periódico

Se o carregamento atuante na estrutura não for sinusoidal, embora seja periódico com frequência angular 𝑤, a sua análise pode ser aproximada pela sobreposição de respostas individuais de carregamentos sinusoidais que compõem uma série de Fourier.

Sendo o período deste carregamento periódico 𝑇 =2𝜋

𝑤, então 𝐹(𝑡) =𝑎0 2 + ∑( ∞ 𝑛=1 𝑎_𝑛cos(𝑛𝑤𝑡) + 𝑏_𝑛sin(𝑛𝑤𝑡)) (2.27) e 𝑢p(𝑡) = 𝑎₀ 2𝑘+ 1 𝑘∑{𝑎𝑛cos(𝑛𝑤𝑡 − 𝜃) + 𝑏𝑛sin(𝑛𝑤𝑡 − 𝜃)} ∞ 𝑛=1 𝛸, (2.28) em que 𝑎₀ = 2 𝑇∫ 𝐹(𝑡)𝑑𝑡 𝑇 0 , 𝑎_𝑛 = 2 𝑇∫ 𝐹(𝑡) cos(𝑛𝑤𝑡) 𝑑𝑡 𝑇 0 , 𝑏_𝑛 = 2 𝑇∫ 𝐹(𝑡) sin(𝑛𝑤𝑡) 𝑑𝑡 𝑇 0 𝜃 = arctan ( 2𝜉𝑛𝑟 1 − (𝑛𝑟)2) e 𝛸 = 1 √(1 − (𝑛𝑟)2₎2_{+ (2𝜉𝑛𝑟)}2.

(22)

9

3 VIBRAÇÃO DE SISTEMAS COM 2 OU MAIS GRAUS DE LIBERDADE

Se a resposta do sistema não apresentar apenas uma forma de vibrar, não se pode reduzir o movimento desse sistema a um modelo com apenas um GL. De facto, uma estrutura constituída por um material contínuo terá um número infinito de MV (modos de vibração), enquanto o seu modelo discreto terá tantos MV quantos GL com inércia associada.

Neste capítulo, será analisada a vibração lateral de um edifício através do seu modelo simplificado: o conjunto de colunas de cada andar comporta-se como se fosse uma única viga, a massa em cada andar está concentrada nos pisos, estes só podem ter um movimento horizontal e no início é desprezado o amortecimento. Ao mesmo tempo, serão introduzidos alguns conceitos fundamentais para a análise de estruturas.

3.1 Edifício de dois andares

Como exemplo de ilustração, apresenta-se na Figura 5 um edifício de dois andares sujeito a duas cargas que variam com o tempo (a), que foi reduzido a um sistema de dois GL (b).

Figura 5: Sistema modelado com 2 GL (adaptado (2))

Através do diagrama de corpo livre da Figura 5 (c), são obtidas as equações de movimento: 𝑚₁𝑢̈₁ + 𝑘₁𝑢₁− 𝑘₂(𝑢₂− 𝑢₁) − 𝐹₁(𝑡) = 0 (3.1) e 𝐹₂(𝑡) 𝐹1(𝑡) 𝑢1(𝑡) 𝑢₂(𝑡) 𝐹1(𝑡) 𝐹₂(𝑡) 𝐹₂(𝑡) 𝐹1(𝑡) 𝑢₂(𝑡) 𝑢1(𝑡) 𝑢₁(𝑡) 𝑢2(𝑡) 𝑘2 𝑘₁ 𝑘₁ 𝑘₂ 𝑘₁𝑢₁ 𝑘₂(𝑢₂− 𝑢₁) 𝑚1𝑢̈1 𝑚₂𝑢̈₂ 𝑘2(𝑢1− 𝑢2) 𝑚1 𝑚₂ 𝑚₁ 𝑚₂

(23)

10

𝑚2𝑢̈2− 𝑘2(𝑢1− 𝑢2) − 𝐹2(𝑡) = 0. (3.2)

As Equações (3.1) e (3.2) podem ser representadas na forma matricial como:

[M]{ü} + [K]{u} = {F}, (3.3) em que {u} = {𝑢_𝑢1 2} , {ü} = { 𝑢̈₁ 𝑢̈2} , {F} = { 𝐹1(𝑡) 𝐹₂(𝑡)}.

Se o vetor das cargas {F(t)} for igual a zero e se as condições iniciais não forem nulas, tem-se uma vibração livre. Quando uma estrutura é afastada da sua posição de equilíbrio com a configuração deformada de um dos seus modos naturais de vibração ({a𝑖}), ela vibra

abandonada a si mesma com a configuração daquele modo e com uma frequência característica (𝑤𝑖) daquele MV (3). Assim, para cada MV i:

{u_𝑖} = {a_𝑖}cos(𝑤_𝑖𝑡 − 𝛼_𝑖), (3.4)

em que 𝛼_𝑖 = 0, pois no instante inicial: {u_𝑖} = {a𝑖} e {u̇𝑖} = {0 0}T.

Com a hipótese de sobreposição modal, a deformada da estrutura pode ser obtida pela combinação linear dos modos de vibração, cada um dos quais afetado pelo fator de participação na resposta dinâmica:

{u} = ∑ 𝑦𝑖{a𝑖} 𝑁GL=2

𝑖=1

. (3.5)

Substituindo {u} e {ü} na Equação (3.3) por {u_𝑖} da Equação (3.4) e sua segunda derivada {ü𝑖} = −𝑤𝑖2{a𝑖}cos(𝑤𝑖𝑡),

obtém-se

[[K] − 𝑤𝑖2[M]]{a𝑖}cos(𝑤𝑖𝑡) = 0. (3.6)

A solução trivial é {a_𝑖}={0 0}T_{. De outra forma, para a Equação (3.6) ser válida:}

[[K] − 𝑤_𝑖2_[M]]{a

𝑖} = 0 (3.7)

ou

[[K] − 𝜆_𝑖[M]]{a_𝑖} = 0. (3.8)

A solução da Equação (3.7) requer que o determinante da matriz fator do {a𝑖} seja zero:

(24)

11 No problema dado, da Equação (3.9) resulta um polinómio de 2.º grau, cuja solução são as duas frequências naturais de vibração, 𝑤₁ e 𝑤₂. Com estas pode-se então encontrar os respetivos MV, {a₁} e {a2}, arbitrando para cada vetor {a𝑖} um único valor de

deslocamento para o sistema da Equação (3.7) ser possível e determinado. Deste modo, pode-se concluir que o vetor {a_𝑖} possui valores que são relativos um ao outro, mas que na resposta dinâmica será multiplicado pelo fator 𝑦_𝑖, como já foi visto na Equação (3.5). Este método direto de resolução dos problemas de valores e vetores próprios, como o da Equação (3.8), revela-se adequado para um sistema simples, mas para um sistema com muitos GL torna-se impraticável e é comum usar métodos numéricos mais eficientes. É o caso da função eig da ferramenta computacional do MATLAB. Importa referir também que na presença do amortecimento, sendo este relativamente baixo (𝜉_𝑖 < 0,1) na maior parte das estruturas, através da Equação (2.17) pode-se concluir que 𝑤_d,𝑖(frequência natural amortecida do modo i) ≈ 𝑤_𝑖, e, assim, de forma semelhante, {a_d,𝑖}(modo de vibração amortecido i) ≈ {a_𝑖}.

3.1.1 Ortogonalidade dos modos de vibração

A Equação (3.7) pode ser rescrita de seguinte forma: [K]{a_𝑖} = 𝑤_𝑖2_[M]{a

𝑖}. (3.10)

Esta equação dá uma perceção estática do problema dinâmico, considerando que {a𝑖} é a

deformada estática causada pelas forças do lado direito desta equação. Esta interpretação possibilita o uso do teorema geral de estática em sistemas lineares.

A Equação na forma matricial (3.10) é equivalente a duas equações para o problema dado: (𝑘1+ 𝑘2)𝑎1,𝑖− 𝑘2𝑎2,𝑖= 𝑤𝑖2𝑚1𝑎1,𝑖

−𝑘₂(𝑎_1,𝑖− 𝑎_2,𝑖) = 𝑤_𝑖2_𝑚 2𝑎2,𝑖,

em que os índices do deslocamento modal 𝑎𝑛,𝑖 indicam o seu GL e o MV, respetivamente.

De acordo com o teorema de Betti, numa estrutura sob dois sistemas de forças com os deslocamentos correspondentes, o trabalho realizado pelo primeiro sistema de forças nos deslocamentos provocados pelo segundo sistema de forças é igual ao trabalho realizado pelo segundo sistema de forças nos deslocamentos provocados pelo primeiro sistema de forças. Neste caso, cada MV representa um sistema. Aplicando o teorema de Betti:

𝑤₁2_𝑚

1𝑎1,1𝑎1,2+ 𝑤12𝑚2𝑎2,1𝑎2,2 = 𝑤22𝑚1𝑎1,2𝑎1,1+ 𝑤22𝑚2𝑎2,2𝑎2,1,

que é igual a

(𝑤12− 𝑤22)(𝑚1𝑎1,1𝑎1,2+ 𝑚2𝑎2,1𝑎2,2) = 0.

Se 𝑤₁ for diferente de 𝑤₂, então

(25)

12 que é a relação ortogonal entre os MV para o sistema de 2 GL. Assim, se [M] for diagonal:

∑ 𝑚𝑘𝑎𝑘,𝑖𝑎𝑘,𝑗 𝑁GL 𝑘=1 = 0, 𝑖 ≠ 𝑗. No caso geral: {{a𝑗} T [M]{a𝑖} = 0 {a𝑗} T [K]{a𝑖} = 0 , 𝑖 ≠ 𝑗 e {{a𝑗} T [M]{a𝑖} = 𝑚𝑖 {a_𝑗}T[K]{a_𝑖} = 𝑘_𝑖 , 𝑖 = 𝑗,

em que 𝑚_𝑖 e 𝑘_𝑖 são, respetivamente, a massa e a rigidez generalizada do modo 𝑖 de vibração. Os MV podem ser normalizados pela massa e se [M] for diagonal, então:

𝜑_𝑛,𝑖 = 𝑎𝑛,𝑖 √∑𝑁GL𝑚_𝑘𝑎_𝑘,𝑖2 𝑘=1 . No caso geral: 𝜑𝑛,𝑖 = 𝑎_𝑛,𝑖 √{a_𝑖}T_[M]{a 𝑖} .

De forma semelhante a {a_𝑖}, estes MV normalizados ({φ_𝑖}) têm as seguintes propriedades:

{{φ𝑗} T [M]{φ𝑖} = 0 {φ_𝑗}T[K]{φ_𝑖} = 0, 𝑖 ≠ 𝑗 e { {φ𝑗} T [M]{φi} = 1 {φ_𝑗}T[K]{φ_𝑖} = 𝑤_𝑖2, 𝑖 = 𝑗 ou { [Φ]T[M][Φ] = [I] [Φ]T[K][Φ] = [Ω].

3.2 Estruturas com amortecimento

Se o amortecimento da estrutura não for desprezável, a equação do movimento na forma matricial fica como:

[M]{ü} + [C]{u̇} + [K]{u} = {F}. (3.11)

Para tornar a Equação (3.11) num sistema de equações independentes, é preciso que a matriz de amortecimento também satisfaça a condição de ortogonalidade:

(26)

13

{ {φ𝑗}

T

[C]{φ𝑖} = 0, 𝑖 ≠ 𝑗

{φ_𝑗}T[C]{φ_𝑖} = 𝑐_𝑖 = 2𝜉_𝑖𝑤_𝑖, 𝑖 = 𝑗 ou [Φ]T[C][Φ] = [c],

em que 𝑐_𝑖 é o coeficiente de amortecimento generalizado do modo 𝑖 de vibração e [c] é uma matriz diagonal com esses coeficientes.

Uma forma simples de obter [C] que satisfaça tal condição é pela combinação linear das matrizes de rigidez e de massa, usando constantes de amortecimento 𝛼 e β:

[C] = 𝛼[K] + 𝛽[M], (3.12) sendo {𝛼_{𝛽} = 2 [}1 𝑤1 2 1 𝑤_max2] −1 { 𝜉1 𝜉_max}. (3.13)

O amortecimento 𝜉_𝑖 pode ser determinado experimentalmente durante a vibração livre amortecida para cada MV, provocando essa vibração com a frequência natural desse modo. Neste tipo de vibração, o decaimento de oscilação entre os sucessivos picos é aproximado a uma função exponencial (𝑒−𝜉𝑖ω𝑖𝑡_{), tal como se pode verificar através da Equação (2.20).}

Assim, aplicando a operação logarítmica na relação entre os sucessivos picos de deslocamento ou de aceleração obtidos experimentalmente, tem-se para cada MV:

𝛿_𝑖 = ln ( 𝑒 −𝜉𝑖ω𝑖𝑡1 𝑒−𝜉𝑖ω𝑖(𝑡1+𝑇d,𝑖)) = 𝜉𝑖ω𝑖𝑇d,𝑖 = 2𝜋𝜉_𝑖 √1 − 𝜉𝑖2 , que com 𝜉_𝑖 < 0,1 pode ser aproximada por

𝛿_𝑖 ≈ 2𝜋𝜉_𝑖, donde

𝜉_𝑖 = 𝛿𝑖 2𝜋.

No entanto, o Amortecimento de Rayleigh, definido na Equação (3.12), só tem duas constantes, pelo que só será preciso calcular o amortecimento de dois modos: sendo 𝜉₁ e 𝜉_max o amortecimento presente na estrutura durante a vibração com uma frequência natural mais baixa (𝑤₁) e com uma frequência natural superior a frequências de interesse para a análise (𝑤max), respetivamente.

3.2.1 Transformação de coordenadas

A transformação de coordenadas já foi definida, para o caso particular de 2 GL, na Equação (3.5), correspondendo no caso geral a:

{u} = ∑ 𝑦𝑖(𝑡){a𝑖} 𝑁modos

𝑖=1

(27)

14 ou {u} = ∑ 𝑞𝑖(𝑡){φ𝑖} 𝑁modos 𝑖=1 = [Φ]{q(t)}, 𝑁modos≤ 𝑁GL. (3.15)

Usando a transformação de coordenadas da Equação (3.15) na Equação (3.11), tem-se:

[M][Φ]{q̈(t)} + [C][Φ]{q̇(t)} + [K][Φ]{q(t)} = {F}. (3.16)

Multiplicando à esquerda por [Φ]T_{, tem-se}

[Φ]T_{[M][Φ]{q̈(t)} + [Φ]}T_{[C][Φ]{q̇(t)} + [Φ]}T_{[K][Φ]{q(t)} = [Φ]}T_{F} _(3.17)

e da propriedade de ortogonalidade dos modos de vibração resulta

[I]{q̈(t)} + [c]{q̇(t)} + [Ω]{q(t)} = [Φ]T_{F} _(3.18)

ou

𝑞̈_𝑖(𝑡) + 2𝜉𝑖𝑤𝑖𝑞̇𝑖(𝑡) + 𝑤𝑖2𝑞𝑖(𝑡) = {φ𝑖}T{F} = 𝑃𝑖(𝑡), 𝑖 = 1, 2, . . . , 𝑁modos. (3.19)

A Equação (3.18) é um sistema de equações desacopladas de movimento em função das coordenadas modais, tal como se pode constatar na Equação (3.19).

3.2.2 Resposta do sistema através da sobreposição modal

Para ser possível calcular a resposta global do sistema ({u}) pela Equação (3.15), é necessário calcular o fator de participação de cada modo (𝑞𝑖(𝑡)), ou seja, de cada sistema

generalizado da Equação (3.19). Este fator é igual à própria solução da resposta geral de uma vibração amortecida de um GL (ver a Equação (2.21)). Neste trabalho, foi admitido que o carregamento atuante na estrutura é geral, mas que foi aproximado por um conjunto de 𝑁s carregamentos sinusoidais da série de Fourier, com um período T igual ao intervalo

de tempo da análise. Deste modo, a solução particular foi baseada na Equação (2.28), obtendo-se, assim, a solução geral para cada MV a partir da Equação (2.21):

𝑞𝑖(𝑡) = 𝑒−𝜉𝑖ω𝑖𝑡(𝐴𝑖cos(ωd,𝑖𝑡) + 𝐵𝑖sin(ωd,𝑖𝑡)) + 𝑎_0,𝑖 2𝑘𝑖 + 1 𝑘𝑖 ∑{𝑎𝑛,𝑖cos(𝑛𝑤𝑡 − 𝜃𝑖) + 𝑏𝑛,𝑖sin(𝑛𝑤𝑡 − 𝜃𝑖)} 𝑁s 𝑛=1 𝛸𝑛,𝑖, (3.20) em que 𝜔d,𝑖 = 𝜔𝑖√1 − 𝜉𝑖2 , 𝑘𝑖 = 𝑤𝑖2; , 𝑎0,𝑖= 2 𝑇∫ 𝑃𝑖(𝑡)𝑑𝑡 𝑇 0

(28)

15 𝑎𝑛,𝑖= 2 𝑇∫ 𝑃𝑖(𝑡) cos(𝑛𝑤𝑡) 𝑑𝑡 𝑇 0 , 𝑏𝑛,𝑖 = 2 𝑇∫ 𝑃𝑖(𝑡) sin(𝑛𝑤𝑡) 𝑑𝑡 𝑇 0 , 𝜃_𝑖 = arctan ( 2𝜉𝑖𝑟𝑖 1 − (𝑛𝑟_𝑖)2)

e onde as constantes 𝐴𝑖 e 𝐵𝑖 são obtidas a partir das condições iniciais:

𝐴𝑖 = {φ𝑖}T[M]{u0} − 𝑎_0,𝑖 2𝑘𝑖 − 1 𝑘𝑖 ∑{𝑎𝑛,𝑖cos(−𝜃𝑖) + 𝑏𝑛,𝑖sin(−𝜃𝑖)} 𝑁s 𝑛=1 𝛸𝑛,𝑖 𝐵_𝑖 = 𝜉_𝑖𝜔_𝑖𝐴_𝑖 + {φ_𝑖}T_[M]{u̇ 0} − 𝑤 𝑘𝑖𝜔d,𝑖 ∑{𝑏_𝑛,𝑖cos(−𝜃_𝑖) − 𝑎𝑛,𝑖sin(−𝜃𝑖)}𝑛 𝑁s 𝑛=1 𝛸_𝑛,𝑖.

O código usado para implementar esta solução de resposta no MATLAB é apresentado na sub-rotina “fator_part_v_amort.m”. A solução geral durante a vibração livre amortecida para cada modo pode-se obter de uma forma mais simples, visto que esta é igual à solução geral homogénea. É sugerido usar um valor 𝑁_s tão alto quanto maior forem:

• As frequências naturais do sistema; • A frequência local da excitação;

• A divergência da excitação em relação às sinusoides; • O intervalo de tempo da análise.

É também possível fazer várias análises consecutivas, se T for demasiado alto, diminuindo desta forma o valor 𝑁_s e, assim, o esforço computacional.

3.3 Condensação estática

Geralmente os modelos contêm um grande número de GL, contendo o mesmo número de MV, mas não é praticável obter todos estes últimos para se alcançar uma razoável precisão no cálculo da resposta dinâmica. Deste modo, ao se diminuir o número de MV, diminui-se o cálculo numérico a efetuar, nomeadamente, a resolver-se o problema de valores e vetores próprios, e a determinar-se os fatores de participação para cada modo.

Um dos métodos para atingir esse objetivo consiste em escolher os GL, que além de terem a sua própria massa associada, irão também concentrar a massa pertencente aos GL livres das forças de inércia e estes estarão restritos a movimentar-se apenas com uma relação estática com os primeiros. Desta forma, após a assemblagem das matrizes de massa e de rigidez globais, é preciso reorganizar os termos que as constituem, de forma a isolar na matriz de massa uma submatriz com os termos não-nulos. Nesta condição, a Equação (3.10) fica como: [[K1,1] [K1,2] [K2,1] [K2,2] ] {{a𝑖}1 {a𝑖}2 } = 𝑤_𝑖2_[[M1,1] [0] [0] [0] ] { {a𝑖}1 {a𝑖}2 }, (3.21) 𝑤 = 2𝜋 𝑇 , 𝑟𝑖 = 𝑤 𝑤_𝑖 e 𝛸𝑛,𝑖 = 1 √(1 − (𝑛𝑟_𝑖)2₎2_{+ (2𝜉} 𝑖𝑛𝑟𝑖)2

(29)

16 em que {a𝑖}1 e {a𝑖}2 são deslocamentos dos GL com massa e sem massa, respetivamente.

A Equação (3.21) é equivalente a

{ [K1,1]{a𝑖}1+ [K1,2]{a𝑖}2 = 𝑤𝑖

2_[M

1,1]{a𝑖}1

[K_2,1]{a_𝑖}₁+ [K_2,2]{a_𝑖}₂ = 0 ⇔ {a_𝑖}₂ = −[K_2,2]−1[K_2,1]{a_𝑖}₁.

(3.22) (3.23) Substituindo os termos {a_𝑖}₂ da Equação (3.23) na Equação (3.22), obtém-se {a_𝑖}₁:

{a𝑖}1 = 𝑤𝑖2[Kaux]−1[M1,1]{a𝑖}1,

em que

[Kaux] = [[K1,1] − [K1,2][K2,2] −1

[K2,1]].

O problema de valores e vetores próprios ficará, desta maneira, reduzido a: [[K_aux]−𝜆𝑖[M1,1]] {a𝑖}1 = 0.

(30)

17

4 ELEMENTOS DE VIGA E BARRA EM DINÂMICA ESTRUTURAL

Neste capítulo, são expostos os métodos para determinar as matrizes de rigidez e de massa globais que descrevem o comportamento dinâmico de um sistema composto por elementos unidimensionais de vigas e barras com dois nós. A dissipação de energia mecânica estará relacionada com a matriz de amortecimento global definida no capítulo anterior, pois, seria muito difícil de determinar as características de amortecimento de cada elemento isoladamente.

Enquanto nas estruturas articuladas, como é o caso das treliças, existe apenas a propagação de esforços normais, nas estruturas reticuladas existe também a transmissão dos momentos fletores e torsores, e dos esforços transversos.

Na Figura 6, representa-se o caso geral de um elemento, no referencial local 𝑂𝑥₁𝑦₁𝑧₁ e coincidente com o referencial global 𝑂𝑋𝑌𝑍, com os esforços nodais internos e os deslocamentos nos seus GL. Já o outro elemento, no referencial local 𝑂𝑥₂𝑦₂𝑧₂, está com uma rotação de θ no eixo 𝑍 em relação ao referencial global. Os esforços 𝑃𝑖 ou os deslocamentos 𝛿𝑖 de um elemento no seu referencial local estão organizados por

nó de tal forma a serem considerados primeiro as forças ou os deslocamentos lineares em 𝑥, 𝑦 e 𝑧, e depois os momentos ou as rotações em 𝑥, 𝑦 e 𝑧.

Figura 6: Elemento do tipo viga-barra

𝑃₁, 𝛿₁ 𝑃₄, 𝛿₄ _𝑃 7, 𝛿7 𝑃10, 𝛿10 𝑃3, 𝛿3 𝑋 ≡ 𝑥₁ 𝑃₆, 𝛿₆ 𝑃₂, 𝛿₂ 𝑃₅, 𝛿₅ 𝑃8, 𝛿8 𝑃₉, 𝛿₉ 𝑃₁₁, 𝛿₁₁ 𝑃12, 𝛿12 𝑍 ≡ 𝑧₁ 𝑌 ≡ 𝑦₁ 𝑧2 𝑥₂ 𝑦2 𝜃

(31)

18

4.1 Barra sob cargas axiais

Quando sobre a barra atuam as forças 𝑃1 e 𝑃7, e ocorrem os deslocamentos 𝛿1e 𝛿7, a

solução da equação diferencial que rege este problema para uma barra uniforme é: 𝑢 = 𝑃. 𝑥

𝐴. 𝐸+ 𝑐1= 𝑐2𝑥 + 𝑐1, (4.1)

em que 𝑃 é o esforço axial na barra, 𝑢 é o deslocamento longitudinal em 𝑥, e 𝑐₁ e 𝑐₂ são as constantes de integração. Assim, obtêm-se as seguintes funções de forma para cada GL:

{𝑢(0) = 𝛿1 = 1 𝑢(𝐿) = 𝛿7 = 0 ⇒ 𝑁₁ = 𝑢 = 1 −𝑥 𝐿 (4.2) {𝑢(0) = 𝛿1 = 0 𝑢(𝐿) = 𝛿₇ = 1 ⇒ 𝑁7 = 𝑢 = 𝑥 𝐿. (4.3)

Assumindo que a barra está em equilíbrio estático, com 𝛿₁ = 1 e 𝛿₇ = 0, havendo um deslocamento virtual 𝛿₇ no nó 2, o trabalho externo é igual a

𝑊_E = 𝑃₇ 𝛿₇ = (𝑘_7,1𝛿₁)𝛿₇ = 𝑘_7,1𝛿₇ e o trabalho interno a 𝑊_I= ∫ 𝑑𝑊_I 𝐿 0 = ∫ 𝑃. 𝑑 𝐿 0 (𝑁₇𝛿₇) = ∫ (𝐴. 𝐸. 𝑁₁′_{). (𝑁} 7′𝛿7𝑑𝑥) 𝐿 0 = 𝛿₇∫ 𝐴. 𝐸. 𝑁₁′𝑁₇′𝑑𝑥 𝐿 0 . De acordo com o Princípio dos Trabalhos Virtuais:

𝑊_E = 𝑊_I⇔ 𝑘_7,1𝛿₇ = 𝛿₇∫ 𝐴. 𝐸. 𝑁₁′𝑁₇′𝑑𝑥 𝐿 0 , pelo que 𝑘7,1 = ∫ 𝐴. 𝐸. 𝑁1′𝑁7′𝑑𝑥 𝐿 0 .

Da mesma forma, obtêm-se os coeficientes de rigidez para cada GL:

𝑘𝑖,𝑗 = ∫ 𝐴. 𝐸. 𝑁𝑖′𝑁𝑗′𝑑𝑥 𝐿

0

, 𝑖, 𝑗 = {1,7} e se a barra for uniforme

𝑘_𝑖,𝑗 = 𝐴. 𝐸 ∫ 𝑁_𝑖′𝑁_𝑗′𝑑𝑥

𝐿 0

, 𝑖, 𝑗 = {1,7},

em que 𝑘_𝑖,𝑗 representa o esforço que é exercido no GL 𝑖, para um deslocamento unitário do GL 𝑗, enquanto nos restantes GL o deslocamento é nulo.

(32)

19 A matriz de rigidez para uma barra uniforme fica como:

[Ke_{] = [}𝑘1,1 𝑘1,7 𝑘_7,1 𝑘_7,7] = 𝐴. 𝐸 𝐿 | e [ 1 −1 −1 1 ].

De forma semelhante, assumindo que a barra está em equilíbrio dinâmico, com 𝛿̈1 = 1 e

𝛿̈7 = 0, havendo um deslocamento virtual 𝛿7 no nó 2:

𝑊_E= 𝑃₇ 𝛿₇ = (𝑚_7,1𝛿̈₁)𝛿₇ = 𝑚_7,1𝛿₇. Sendo 𝑓I a força de inércia por unidade de comprimento, sabe-se que

𝑑𝑊I= (𝑓I𝑑𝑥)(𝛿7𝑁7) = (𝑚̅ 𝑁1𝛿̈1𝑑𝑥)(𝛿7𝑁7) = 𝛿7𝑚̅ 𝑁1𝑁7𝑑𝑥, pelo que 𝑊_I = ∫ 𝛿₇𝑚̅ 𝑁₁𝑁₇𝑑𝑥 = 𝛿₇∫ 𝑚̅ 𝑁₁𝑁₇𝑑𝑥 𝐿 0 . 𝐿 0 Sendo 𝑊_E = 𝑊_I⇔ 𝑚_7,1𝛿₇ = 𝛿₇∫ 𝑚̅ 𝑁₁𝑁₇𝑑𝑥, 𝐿 0 então 𝑚_7,1= ∫ 𝑚̅ 𝑁₁𝑁₇𝑑𝑥. 𝐿 0

Se a barra for uniforme, então

𝑚𝑖,𝑗= 𝑚̅ ∫ 𝑁𝑖𝑁𝑗𝑑𝑥, 𝑖, 𝑗 = {1,7} 𝐿 0 e [Me_{] = [}𝑚1,1 𝑚1,7 𝑚7,1 𝑚7,7] = (𝑚̅ . 𝐿)e 6 [ 2 1 1 2],

em que 𝑚_𝑖,𝑗 representa o esforço que é exercido no GL 𝑖, tendo o GL 𝑗 uma aceleração unitária e os restantes GL uma aceleração nula.

4.2 Viga sob cargas transversais e momentos fletores

Quando sobre a viga atuam os esforços 𝑃₂, 𝑃₆, 𝑃₈ e 𝑃₁₂, e ocorrem os deslocamentos 𝛿₂, 𝛿₆, 𝛿₈ e 𝛿₁₂, as seguintes equações diferenciais descrevem o problema:

𝐸. 𝐼z

𝑑2_𝑢

𝑑𝑥2 = 𝑀(𝑥) (4.4)

𝑑(𝑀(𝑥))

(33)

20 𝐸. 𝐼_z𝑑

4_𝑢

𝑑𝑥4 = 𝑝(𝑥), (4.6)

em que 𝑢 é o deslocamento transversal no eixo 𝑦, 𝑀(𝑥) é o momento de flexão no eixo 𝑧, 𝑉(𝑥) é a força transversal de corte no eixo 𝑦 e 𝑝(𝑥) é a carga transversal distribuída no eixo 𝑦. Se 𝑝(𝑥) = 0, então a Equação (4.6) fica como:

𝑑4_𝑢

𝑑𝑥4 = 0. (4.7)

A integração da Equação (4.7) resulta em:

𝑢 =1 6𝑐1𝑥 3₊1 2𝑐2𝑥 2_{+ 𝑐} 3𝑥 + 𝑐4, (4.8)

em que 𝑐₁, 𝑐₂, 𝑐₃ e 𝑐₄ são as constantes de integração, que dependem das condições de fronteira. Assim, as funções de forma obtêm-se como:

{ 𝑑𝑢 𝑑𝑥|_𝑥=0 𝑑𝑢 𝑑𝑥|_𝑥=𝐿 𝑢(𝑥 = 0) 𝑢(𝑥 = 𝐿)} = { 𝑎1 𝑎2 𝑎3 𝑎4 } ⇒ [ 0 0 1 0 𝐿2/2 𝐿 1 0 0 𝐿3/6 0 𝐿2/2 0 𝐿 1 1 ] { 𝑐1 𝑐2 𝑐3 𝑐4 } = { 𝑎1 𝑎2 𝑎3 𝑎4 } (4.9) { 𝑐₁ 𝑐₂ 𝑐₃ 𝑐₄ } = [ 0 0 1 0 𝐿2_/2 _𝐿 _{1 0} 0 𝐿3/6 0 𝐿2/2 0 𝐿 1 1 ] −1 { 𝑎₁ 𝑎₂ 𝑎₃ 𝑎₄ }. (4.10) Se 𝛿2 = 1, 𝛿6 = 0, 𝛿8 = 0 e 𝛿12 = 0, então 𝑢 = 𝑁2 e { 𝑎1 𝑎2 𝑎3 𝑎4 } = { 0 0 1 0 }.

Através da Equação (4.10), encontram-se as constantes de integração e a função de forma para o GL 2: 𝑁₂ = 1 − 3 (𝑥 𝐿) 2 + 2 (𝑥 𝐿) 3 . As restantes funções de forma obtêm-se de forma semelhante:

𝑁₆ = 𝑥 (1 −𝑥 𝐿)

(34)

21 𝑁₈ = 3 (𝑥 𝐿) 2 − 2 (𝑥 𝐿) 3 𝑁₁₂ = (𝑥 𝐿) 2 (𝑥 𝐿− 1).

Assumindo que a viga está em equilíbrio estático, com 𝛿₆ = 1 e restantes GL deslocamentos nulos, havendo um deslocamento virtual 𝛿₂ no nó 1, o trabalho externo é igual a: 𝑊_E = 𝑃₂ 𝛿₂ = (𝑘_2,6𝛿₆)𝛿₂ = 𝑘_2,6𝛿₂ e o trabalho interno 𝑊_I= ∫ 𝑀(𝑥)𝑑𝜃 𝐿 0 . Sabe-se que 𝑀(𝑥) = 𝐸. 𝐼_z𝑑 2_(𝑁 6) 𝑑𝑥2 e 𝑑𝜃 𝑑𝑥 = 𝑑2(𝑁₂𝛿₂) 𝑑𝑥2 = 𝑁2′′𝛿2, pelo que 𝑊I= ∫ 𝐸. 𝐼z. 𝑁6′′𝑁2′′𝛿2𝑑𝑥 = 𝛿2∫ 𝐸. 𝐼z. 𝑁6′′𝑁2′′𝑑𝑥 𝐿 0 𝐿 0 .

De acordo com o Princípio dos Trabalhos Virtuais:

𝑊E = 𝑊I⇔ 𝑘2,6𝛿2 = 𝛿2∫ 𝐸. 𝐼z. 𝑁6′′𝑁2′′𝑑𝑥 𝐿 0 , pelo que 𝑘2,6= ∫ 𝐸. 𝐼z. 𝑁6′′𝑁2′′𝑑𝑥 𝐿 0 . Os coeficientes de rigidez para cada GL são:

𝑘_𝑖,𝑗= ∫ 𝐸. 𝐼_z. 𝑁_𝑖′′𝑁_𝑗′′𝑑𝑥

𝐿 0

, 𝑖, 𝑗 = {2,6,8,12}. Se a barra for uniforme, então

𝑘_𝑖,𝑗 = 𝐸. 𝐼_z∫ 𝑁_𝑖′′𝑁_𝑗′′𝑑𝑥

𝐿 0

, 𝑖, 𝑗 = {2,6,8,12} e a matriz de rigidez fica como:

(35)

22 [Ke_{] =} [ 𝑘_2,2 𝑘_2,6 𝑘2,8 𝑘2,12 𝑘6,2 𝑘6,6 𝑘6,8 𝑘6,12 𝑘_8,2 𝑘_12,2 𝑘_8,6 𝑘_12,6 𝑘_8,8 𝑘_12,8 𝑘_8,12 𝑘_12,12] = 𝐸. 𝐼z 𝐿3 | e [ 12 6𝐿 −12 6𝐿 6𝐿 4𝐿2 _−6𝐿 _2𝐿2 −12 6𝐿 −6𝐿 2𝐿2 12 −6𝐿 −6𝐿 4𝐿2 ].

A matriz de massa consistente é determinada de forma semelhante. Assumindo que a viga está em equilíbrio dinâmico, com 𝛿̈6 = 1 e nos restantes GL acelerações nulas, havendo

um deslocamento virtual 𝛿₂ no nó 1: 𝑊E = 𝑃2 𝛿2 = (𝑚2,6𝛿̈6)𝛿2 = 𝑚2,6𝛿2 𝑑𝑊_I = (𝑓_I𝑑𝑥)(𝛿₂𝑁₂) = (𝑚̅ 𝑁₆𝛿̈₆𝑑𝑥)(𝛿₂𝑁₂) = 𝛿₂𝑚̅ 𝑁₆𝑁₂𝑑𝑥, pelo que 𝑊I= ∫ 𝛿2𝑚̅ 𝑁6𝑁2𝑑𝑥 = 𝛿2∫ 𝑚̅ 𝑁6𝑁2𝑑𝑥. 𝐿 0 𝐿 0 Então 𝑊E = 𝑊I⇔ 𝑚2,6𝛿2 = 𝛿2∫ 𝑚̅ 𝑁6𝑁2𝑑𝑥, 𝐿 0 pelo que 𝑚_2,6 = ∫ 𝑚̅ 𝑁₆𝑁₂𝑑𝑥. 𝐿 0

Se a barra for uniforme, então

𝑚_𝑖,𝑗 = 𝑚̅ ∫ 𝑁_𝑖𝑁_𝑗𝑑𝑥, 𝑖, 𝑗 = {2,6,8,12} 𝐿 0 e [Me_{] = [} 𝑚_2,2 𝑚_2,6 𝑚2,8 𝑚2,12 𝑚_6,2 𝑚_6,6 𝑚6,8 𝑚6,12 𝑚_8,2 𝑚_12,2 𝑚_8,6 𝑚_12,6 𝑚_8,8 𝑚_12,8 𝑚_8,12 𝑚_12,12 ] =𝑚̅ . 𝐿 420| e [ 156 22𝐿 54 −13𝐿 22𝐿 4𝐿2 13𝐿 −3𝐿2 54 −13𝐿 13𝐿 −3𝐿2 _−22𝐿156 −22𝐿 4𝐿2 ].

Se a deformação da viga ocorrer no plano 𝑂𝑥𝑧, e não no plano 𝑂𝑥𝑦 como aconteceu até agora, i.e., quando sobre a viga atuam os esforços 𝑃3, 𝑃5, 𝑃9 e 𝑃11, e ocorrem os

deslocamentos 𝛿3, 𝛿5, 𝛿9 e 𝛿11, a formulação dos coeficientes de rigidez e de massa é

semelhante, havendo a necessidade de efetuar a troca de sinais nestes, porque as funções de forma do 3.º e 11.º GL mudam de sinal face às anteriores, ficando as matrizes definidas como: [Ke_{] =} [ 𝑘_3,3 𝑘_3,5 𝑘3,9 𝑘3,11 𝑘5,3 𝑘5,5 𝑘5,9 𝑘5,11 𝑘_9,3 𝑘_11,3 𝑘_9,5 𝑘_11,5 𝑘_9,9 𝑘_11,9 𝑘_9,11 𝑘_11,11] = 𝐸. 𝐼y 𝐿3 | e [ 12 −6𝐿 −12 −6𝐿 −6𝐿 4𝐿2 _6𝐿 _2𝐿2 −12 −6𝐿 6𝐿 2𝐿2 12 6𝐿 6𝐿 4𝐿2 ] e

(36)

23 [Me_{] = [} 𝑚_3,3 𝑚_3,5 𝑚3,9 𝑚3,11 𝑚_5,3 𝑚_5,5 𝑚5,9 𝑚5,11 𝑚_9,3 𝑚_11,3 𝑚_9,5 𝑚_11,5 𝑚_9,9 𝑚_11,9 𝑚_9,11 𝑚_11,11 ] =𝑚̅ . 𝐿 420| e [ 156 −22𝐿 54 13𝐿 −22𝐿 4𝐿2 −13𝐿 −3𝐿2 54 13𝐿 −13𝐿 −3𝐿2 156 22𝐿 22𝐿 4𝐿2 ].

4.3 Viga sob momentos torsores

Quando sobre a viga atuam os momentos torsores 𝑃₄ e 𝑃₁₀, e ocorrem os deslocamentos angulares 𝛿₄ e 𝛿₁₀, assumindo que o centro de corte da secção transversal coincide com o centróide desta, a solução da equação diferencial que governa este problema para uma viga uniforme é:

𝜃 =𝑇. 𝑥

𝐽. 𝐺 + 𝑐1 = 𝑐2𝑥 + 𝑐1, (4.11)

em que 𝑇 é o momento torsor na viga, 𝜃 é o deslocamento angular sobre o eixo 𝑥, e 𝑐1 e 𝑐2

são as constantes de integração. Como a Equação (4.11) é similar à Equação (4.1), neste caso, as funções de forma serão iguais às que foram determinadas para os efeitos axiais:

𝑁₄ = 1 −𝑥 𝐿 e 𝑁10= 𝑥 𝐿.

Por este motivo, os coeficientes de rigidez e de massa serão também semelhantes:

𝑘_𝑖,𝑗 = ∫ 𝐽. 𝐺. 𝑁_𝑖′𝑁_𝑗′𝑑𝑥 𝐿 0 , 𝑖, 𝑗 = {4,10} e 𝑚𝑖,𝑗 = ∫ 𝐼m̅𝑁𝑖𝑁𝑗𝑑𝑥, 𝑖, 𝑗 = {4,10}, 𝐿 0

em que 𝐼m̅ = 𝑚̅ 𝐼0/𝐴 é o segundo momento polar de massa. Assim, para as vigas uniformes

[Ke_{] = [}𝑘4,4 𝑘4,10 𝑘_10,4 𝑘_10,10] = 𝐽. 𝐺 𝐿 | e [ 1 −1 −1 1 ] e [Me_{] = [}𝑚4,4 𝑚4,10 𝑚_10,4 𝑚_10,10] = 1 6 𝑚̅ 𝐼0𝐿 𝐴 | e [2 1 1 2]. 4.4 Coeficientes de amortecimento

Os coeficientes de amortecimento também seriam obtidos de forma análoga aos coeficientes de massa:

(37)

24 𝑐𝑖,𝑗= ∫ 𝑐. 𝑁𝑖𝑁𝑗𝑑𝑥, 𝑖, 𝑗 = {1,2,3, … ,12},

𝐿 0

em que 𝑐 é o coeficiente de amortecimento por uma unidade de comprimento, que na prática é difícil de obter isoladamente para cada elemento, como já foi referido anteriormente.

4.5 Treliças 3D sob forças concentradas nos nós

As treliças são estruturas articuladas, sujeitas a forças aplicadas apenas nos nós (ou juntas) dos elementos que as constituem, transmitindo, por conseguinte, apenas os esforços normais. Por outro lado, as forças de inércia irão causar a flexão destes elementos, com uma curvatura nula, sendo, por isso, caracterizados pelas mesmas funções de forma determinadas para os efeitos axiais. No caso mais geral, numa treliça no espaço atuam as forças 𝑃₁, 𝑃₂, 𝑃₃, 𝑃₇, 𝑃₈ e 𝑃₉, e ocorrem os deslocamentos 𝛿₁, 𝛿₂, 𝛿₃, 𝛿₇, 𝛿₈ e 𝛿₉. Neste caso, os coeficientes da matriz de massa ficam como:

𝑚_𝑖,𝑗 = ∫ 𝑚̅ 𝑁_𝑖𝑁_𝑖𝑑𝑥, 𝑖, 𝑗 = {1,2,3,7,8,9}.

𝐿 0

Para uma barra uniforme

𝑚_𝑖,𝑗= 𝑚̅ ∫ 𝑁_𝑖𝑁_𝑗𝑑𝑥, 𝑖, 𝑗 = {1,2,3,7,8,9}, 𝐿 0 pelo que [Me_{] =}𝑚̅ . 𝐿 6 | e [ 2 0 0 0 2 0 0 0 2 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 2 0 0 0 2 0 0 0 2] .

Como nestes elementos só existem os esforços normais, considerando que as deformações são pequenas, para se ter os deslocamentos 𝛿2, 𝛿3, 𝛿8 ou 𝛿9, e como os nós dos elementos

deslocam-se livremente nessas direções, não são necessárias as forças 𝑃₂, 𝑃₃, 𝑃₈ ou 𝑃₉, sendo estas independentes das forças 𝑃₁ e 𝑃₇, logo, a matriz de rigidez fica como:

[Ke_{] =} [ 𝑘_1,1 0 0 0 0 0 0 0 0 𝑘_1,7 0 0 0 0 0 0 0 0 𝑘7,1 0 0 0 0 0 0 0 0 𝑘7,7 0 0 0 0 0 0 0 0] =𝐴. 𝐸 𝐿 | e [ 1 0 0 0 0 0 0 0 0 −1 0 0 0 0 0 0 0 0 −1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0] .

(38)

25

4.5.1 Transformação de coordenadas

Os elementos que constituem as treliças podem ter o seu referencial local não-coincidente com o referencial global, tal como se mostra na Figura 6. Por isso, as matrizes elementares têm de ser transformadas em termos de coordenadas globais, para ser coerente assemblá- -las nas matrizes globais. Sabe-se que

{ 𝑃₁ 𝑃2 𝑃₃ } = [T1] { 𝑃̅1 𝑃̅₂ 𝑃̅₃ } { 𝑃₄ 𝑃₅ 𝑃₆ } = [T1] { 𝑃̅4 𝑃̅₅ 𝑃̅₆ } e { 𝛿1 𝛿2 𝛿3 } = [T₁] { 𝛿̅₁ 𝛿̅₂ 𝛿̅₃ } { 𝛿₄ 𝛿5 𝛿6 } = [T₁] { 𝛿̅₄ 𝛿̅₅ 𝛿̅₆ },

em que [T1] é a matriz de transformação das coordenadas:

[T1] = [

𝑐1 𝑐2 𝑐3

𝑐₄ 𝑐₅ 𝑐₆ 𝑐₇ 𝑐₈ 𝑐₉] = [

cos(∡(𝑋̂, 𝑥̂)) cos(∡(𝑌̂, 𝑥̂)) cos(∡(𝑍̂, 𝑥̂)) cos(∡(𝑋̂, 𝑦̂)) cos(∡(𝑌̂, 𝑦̂)) cos(∡(𝑍̂, 𝑦̂)) cos(∡(𝑋̂, 𝑧̂)) cos(∡(𝑌̂, 𝑧̂)) cos(∡(𝑍̂, 𝑧̂))

].

Os termos de [T1] são cossenos de ângulos entre os versores do referencial global e os

versores do referencial local. Sendo

[T] = ⌈[T1], [T1]⌋,

em que o operador ⌈ ⌋ indica que [T] é uma matriz diagonal constituída pelas submatrizes [T₁], as forças e os deslocamentos podem ser representados de forma mais compacta:

{P} = [T]{P̅} (4.12)

e

{δ} = [T]{δ̅}. (4.13)

As forças elásticas que agem sobre um elemento nas coordenadas globais são:

{P̅} = [K̅e_]{δ̅} _(4.14)

e nas coordenadas locais

{P} = [Ke_]{δ}. _(4.15)

(39)

26

[T]{P̅} = [Ke_][T]{δ̅}. _(4.16)

Como [T] é uma matriz ortogonal ([T]−1 = [T]T), multiplicando à esquerda a Equação (4.16) pela transposta de [T]: [T]T_[T]{P_{̅} = [T]}T_[Ke_][T]{δ̅}, _(4.17) tem-se {P̅} = [T]T_[Ke_][T]{δ̅}, _(4.18) pelo que [K̅e_{] = [T]}T_[Ke_][T]. _(4.19)

Da mesma forma, encontra-se a matriz de massa de um elemento nas coordenadas globais:

[M̅e_{] = [T]}T_[Me_][T]. _(4.20)

A sub-rotina “Transf_Cord_3D.m” foi desenvolvida para permitir obter [T1], como

também o comprimento de cada elemento e a matriz de transformação do referencial global para o local, tendo como os argumentos: as coordenadas de cada nó, os nós globais de cada elemento, o tipo de estrutura e os nós auxiliares. No entanto, no caso das treliças 3D, só serão necessários os cossenos da primeira linha de [T₁], ou seja, 𝑐₁, 𝑐₂ e 𝑐₃, para definir a matriz de rigidez elementar:

[Ke_{] =}𝐴. 𝐸 𝐿 | e [ 𝑐12 𝑐1𝑐2 𝑐1𝑐3 𝑐₁𝑐₂ 𝑐₂2 𝑐₂𝑐₃ 𝑐₁𝑐₃ 𝑐₂𝑐₃ 𝑐₃2 −𝑐12 −𝑐1𝑐2 −𝑐1𝑐3 −𝑐₁𝑐₂ −𝑐₂2 −𝑐₂𝑐₃ −𝑐₁𝑐₃ −𝑐₂𝑐₃ −𝑐₃2 −𝑐₁2 _−𝑐 1𝑐2 −𝑐1𝑐3 −𝑐₁𝑐₂ −𝑐₂2 _−𝑐 2𝑐3 −𝑐1𝑐3 −𝑐2𝑐3 −𝑐32 𝑐₁2 _𝑐 1𝑐2 𝑐1𝑐3 𝑐₁𝑐₂ 𝑐₂2 _𝑐 2𝑐3 𝑐1𝑐3 𝑐2𝑐3 𝑐32 ] .

De forma ainda mais simples, a matriz de massa nas coordenas globais fica: [M̅e_{] = [M}e_].

As sub-rotinas “Rigidez_Glob_truss_3D.m” e “Mass_Consist_Glob_truss_3D.m” permitem assemblar essas matrizes elementares nas matrizes de rigidez [K̅] e de massa [M̅ ] do sistema nas coordenas globais, com a possibilidade de nesta última se incluir as massas concentradas nos nós, se estas existirem num dado problema.

4.6. Estruturas 3D constituídas por elementos do tipo viga-barra

Quando sobre os elementos do tipo viga-barra de uma estrutura reticulada 3D atuam todos os esforços e ocorrem todos os deslocamentos representados na Figura 6, os coeficientes de massa e de rigidez elementar, para este caso mais geral, são assemblados a partir dos