2.(2,0pts) Quais das afirmações a seguir são verdadeiras, justificando sua resposta.

(1)

Fundação Centro de Ciências e Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro

Centro de Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro Primeira Avaliação a Distância de Métodos Determinísticos – 13/03/2008

Resolução

1. (2,0 pts) Em uma escola com 112 alunos verificou-se que:

a) O número de meninas que não usam óculos é o triplo do número de meninos que usam óculos.

b) O número de meninos que não usam óculos é o quádruplo do numero de meninas que usam óculos.

c) Entre os alunos que usam óculos, o número de meninas é o dobro do número de meninos.

Determinar:

i) O número de alunos dessa escola que usam óculos. ii) O número de meninas dessa escola que não usam óculos. iii) O número de meninos dessa escola.

Solução:

O conjunto universo é a escola e possui 112 elementos. Os alunos são meninos e meninas, logo podemos representar este universo com o seguinte diagrama:

Meninas Meninos

x y

O

(2)

Seja O o conjunto dos alunos que usam óculos, então • x é o número de meninas que não usam óculos. • t é o número de meninas que usam óculos. • y é o número de meninos que não usam óculos. • s é o número de meninos que usam óculos.

Com esta notação, das hipóteses a, b e c obtemos as equações: x + y + t + s = 112

x = 3s y = 4t t = 2s

Substituindo a quarta equação na terceira, obtemos y = 4(2s) = 8s. Da primeira igualdade, 3s + 8s + 2s + s = 112 → 14s = 112 → s = 8. Logo, x = 24, y = 64 e t = 16.

Podemos, agora, completar o diagrama identificando a quantidade de elementos em cada subconjunto da escola.

Meninas Meninos

x =24 y = 64 Respostas:i) 24 ii) 24 iii) 72.

O t=16 s=8

2.(2,0pts) Quais das afirmações a seguir são verdadeiras, justificando sua resposta. I. 501 171 51 17 < . II. 9+16= 9+ 16. III. Se y>0, então y2 =y_. IV. 49=±7. V.

(

2+ 3

) (

2+ 2− 3

)

2∈ Z. Solução: I. Verdadeira, pois 0,3413 167 57 501 171 3 1 51 17₌ _< ₌ _≅ .

(3)

III. Verdadeira, pois y2 = y =y

se y>0. IV. Falso. Veja, 49=7.

Observação: É comum ouvirmos a resposta mais ou menos dois ao perguntarmos qual é a

raiz quadrada de quatro? Essa resposta é errada. A raiz quadrada de quatro é dois. Uma

das razões para esse erro é a confusão causada pelo uso da palavra raiz em circunstâncias diferentes. Veja a afirmação as raízes da equação x2 =4 são 2 e -2. Agora sim, a resposta está adequada, pois (2)2 =(−2)2 =4.

V. Verdadeira. Apesar da presença dos radicais, ao efetuarmos as operações obtemos:

(

2+ 3

) (

2 + 2− 3

)

2 =2+2 6+3+2−2 6+3=10∈ Z.

3.(Anpad)(1,0 pt) Comprou – se um lote de arroz de três qualidades: o primeiro veio em sacas de 60kg; o segundo, em sacas de 48Kg; e o terceiro em sacas de 72kg. Desejando embalá-los em sacas, menores, sem misturar qualidades e sem sofrer qualquer perda, então o maior peso possível para essas é ...

Solução:

Para resolver a questão devemos achar o maior divisor comum (m.d.c) entre 48, 60 e 72. Primeiro vamos achar o m.d.c entre 60 e 48,

quociente ₁ ₄

60 48 12

Resto ₁₂ ₀

Então o m.d.c(60, 48) = 12. Como 12 é um divisor de 72, temos que o máximo divisor comum entre 48, 60 e 72 é 12. Portanto o maior peso possível para as sacas de arroz é 12kg.

4.(Anpad)(1,0 pt) Três cavalos correm em uma pista circular e passam ao mesmo tempo sobre uma linha. Os cavalos mantêm uma velocidade constante, sendo que o primeiro realiza uma volta em 30 segundos; o segundo em 36 segundos; e terceiro em 48 segundos. Logo, pode-se afirmar que os três cavalos passarão novamente juntos sobre esta linha em...minutos.

(4)

Solução:

Para resolver a questão devemos achar o mínimo múltiplo comum (m.m.c) entre 30,36 e 48. Calculando o m.m.c: 30 36 48 2 15 18 24 2 15 9 12 2 15 9 6 2 15 9 3 3 5 3 1 3 5 1 1 5 1 1 1

Assim, o m.m.c(30,36,48) = 24x32x5 = 16x9x5 = 720. Como a pergunta quer saber em quantos minutos os cavalos passarão juntos, devemos dividir 720 por 60 e obtemos 12. Logo, pode-se afirmar que os três cavalos passarão novamente juntos sobre esta linha em 12 minutos. 5. (2,0pts) a) Resolva, em ℜ, a equação 3 3 1 2 1 ₋ ₌ ₊ x x . b) Resolva, em ℜ, a inequação 2−2x ≥x+1. Solução:

a) Aqui será utilizada a seguinte propriedade: a = b ⇔ a=±b,válida para quaisquer que sejam os números reais a e b. Então,

. 7 4 , 5 8 . 7 4 4 7 2 2 6 3 1 3 2 1 1 3 3 2 1 : , Re . 5 8 8 5 4 2 6 3 1 3 2 1 1 3 3 2 1 : , Re 1 3 3 2 1 1 3 3 2 1 1 3 3 2 1       − = = ⇒ = ⇒ = + ⇒ + − = + ⇒ − − = − − = ⇒ = − ⇒ = − ⇒ + = − ⇒ + = − − − = − + = − ⇒ + = − S é solução conjunto o Logo x x x x x x x x temos equação segunda a solvendo x x x x x x x x temos equação primeira a solvendo x x ou x x x x

(5)

b) 2−2x ≥x+1

O primeiro passo é estudar o sinal de 2 – 2x, calculando sua raiz,

     > − − ≤ − ≤ + ≥ − > ↔ < − < ↔ > − = ↔ = ↔ = − . 1 , 1 2 2 1 , 1 2 2 : . 1 0 2 2 1 0 2 2 : sin . 1 2 2 0 2 2 x se x x ou x se x x vem módulo de definição Da x x e x x obtemos al o Estudando x x x

Resolvendo a primeira inequação para x ≤ 1:

. 3 1 1 3 2 1 2 1 2 2− x ≥x+ ⇒− x−x≥ − ⇒− x≥− ⇒x≤

Assim, o conjunto solução desta inequação é S 1 = (- ∞, 1] ∩ (- ∞, 0,333] = (- ∞, 0,333].

Resolvendo a segunda inequação para x > 1:

. 3 3 1 2 2− x≤−x− ⇒−x≤− ⇒x≥

Assim, o conjunto solução desta inequação é S 2 = (1, ∞) ∩ [3, ∞) = [3, ∞) .

Logo, o conjunto solução da inequação 2−2x ≥x+1 é dado por S = S 1 ∪ S 2, ou seja

S = 3 . 3 1 /       ≥ ≤ ℜ ∈ x oux x

6. (2,0 pts) Represente graficamente os conjuntos

( )

{

}

( )

{

, ; 1 2

}

1 0 ; , 2 2 ≤ ≤ − ℜ ∈ = ≤ ≤ ℜ ∈ = x y x V e x y x U Solução:

Para representar graficamente U, levamos em conta a variaçãoda abcissa x e o fato que naõ há restrição à variação da ordenada y. Para a representação gráfica de V, levamos em conta a variaçãoda ordenada y e o fato que naõ há restrição à variação da abcissa x.

(6)

Conjunto U y 0 1 x Conjunto V x y -1 2

(7)