AN ´ALISE DA ESTABILIDADE DE SISTEMAS FUZZY TAKAGI-SUGENO
UTILIZANDO FUN ¸C ˜OES DE LYAPUNOV FUZZY
Talita T. Esteves∗, Edson I. Mainardi J´unior∗, Manoel R. Moreira∗, Rodrigo Cardim∗,
M´aira P. Alves∗, Marcelo C. M. Teixeira∗, Edvaldo Assun¸c˜ao∗
∗UNESP - Univ Estadual Paulista,
Faculdade de Engenharia de Ilha Solteira
Departamento de Engenharia El´etrica, Lab. de Pesquisa em Controle,
Av. Jos´e Carlos Rossi, 1370, 15385-000, Ilha Solteira, S˜ao Paulo, Brasil
Emails: tataesteves@hotmail.com, edsonitalo@yahoo.com.br, manoel.rodrigo@hotmail.com, rcardim@dee.feis.unesp.br, mairaalves28@yahoo.com.br, marcelo@dee.feis.unesp.br,
edvaldo@dee.feis.unesp.br
Abstract— This paper addresses stability analysis of continuous-time Takagi-Sugeno (TS) fuzzy systems via Fuzzy Lyapunov Functions (FLF). New sufficient and more relaxed stability conditions using FLF, for the asymp-totic stability of these systems in the sense of Lyapunov are proposed. These new procedures are based on LMIs (Linear Matrix Inequalities).
Keywords— Linear matrix inequalities (LMIs), fuzzy Lyapunov function, Lyapunov stability.
Resumo— Este artigo analisa a estabilidade de sistemas fuzzy Takagi-Sugeno (TS) cont´ınuos no tempo, atrav´es de Fun¸c˜oes de Lyapunov Fuzzy (FLF). S˜ao propostas novas condi¸c˜oes suficientes mais relaxadas para sistemas fuzzy TS que asseguram a estabilidade assint´otica no sentido de Lyapunov. Os resultados apresentados s˜ao baseados em desigualdades matriciais lineares (LMIs, do inglˆes Linear Matrix Inequalities).
Keywords— Desigualdades matriciais lineares (LMIs), Fun¸c˜oes de Lyapunov Fuzzy, Estabilidade segundo Lyapunov.
1 Introdu¸c˜ao
Atualmente, h´a um crescente interesse em
pesquisas sobre sistemas fuzzy, devido `a grande
similaridade destes sistemas com o comporta-mento humano na solu¸c˜ao de problemas
com-plexos. Com sua teoria e aplica¸c˜oes, a l´ogica
fuzzy (tamb´em conhecida como l´ogica nebulosa),
teve in´ıcio nos anos 60 quando Lotfi A. Zadeh e outros pesquisadores, ao analisarem o comporta-mento humano diante de problemas, viram que esses conhecimentos poderiam ser utilizados para
completar a descri¸c˜ao e compreens˜ao de sistemas
reais complexos.
Os modelos Fuzzy Takagi-Sugeno (TS)
(Takagi and Sugeno, 1985) ou
Takagi-Sugeno-Kang (TSK) (Sugeno and Takagi-Sugeno-Kang, 1988) s˜ao de
grande importˆancia quando h´a um aumento da complexidade dos sistemas e as t´ecnicas mais tradicionais de projetos de sistemas n˜ao forem su-ficientes para resolverem problemas com crit´erios
cada vez mais restritivos. Os sistemas TS s˜ao
ca-pazes de representar, de forma aproximada ou
exa-ta, certas classes de dinˆamicas n˜ao lineares como
combina¸c˜ao de modelos lineares locais invariantes no tempo, descrevendo aproximadamente o com-portamento destes sistemas em diferentes pontos no seu espa¸co de estados. Desta forma, pode-se in-terpretar a t´ecnica tradicional de lineariza¸c˜ao em apenas um ponto de opera¸c˜ao como um caso par-ticular dos modelos fuzzy TS, consistindo apenas de um modelo local.
A partir dos anos 90, em diversas ´areas da teoria de controle, novas metodologias foram pesquisadas para solucionar problemas de an´alise da estabilidade e projeto de sistemas de
contro-le. Entre v´arias abordagens, foi constatado que
in´umeros problemas podem ser resolvidos atrav´es
da solu¸c˜ao de desigualdades matriciais lineares, tamb´em conhecidas por LMIs (do inglˆes Linear Matrix Inequalities) (Boyd et al., 1994; Wang
et al., 1996). Essas ferramentas s˜ao muito
efi-cientes e poderosas na literatura de programa¸c˜ao matem´atica (Gahinet et al., 1995; Peaucelle et al., 2002) sendo que em muitos casos, uma solu¸c˜ao en-contrada para um conjunto de LMIs ´e equivalente a encontrar uma solu¸c˜ao para o problema origi-nal. Em certas classes de sistemas n˜ao-lineares, os modelos fuzzy TS permitem uma modelagem
exata. Assim os projetos baseados em LMIs s˜ao
rigorosos e ainda est˜ao sendo aprimorados.
Re-sultados pioneiros neste tema foram propostos em (Wang et al., 1996) e condi¸c˜oes mais relaxadas em (Teixeira et al., 2003; Johansson, 2003; Tanaka et al., 2003).
Nos ´ultimos anos, h´a muitas aplica¸c˜oes sobre controle fuzzy, como por exemplo, na an´alise de novos sistemas de controle para autom´oveis (Will et al., 1997) e controle de elevadores de alta ve-locidade (Tanaka, Nishimura and Wang, 1998). Muitos esfor¸cos tem sido feitos na ´area de an´alise da estabilidade (Tanaka and Sugeno, 1992; Tanaka and Sano, 1994; Cao et al., 1997a; Cao et al., 1997b; Tanaka, Ikeda and Wang, 1998; Kim and
Lee, 2000), j´a que esta, ´e o requisito mais impor-tante em sistemas de controle fuzzy.
Neste trabalho s˜ao abordados m´etodos
basea-dos em LMIs que s˜ao constru´ıdos utilizando a
Fun¸c˜ao de Lyapunov Fuzzy (FLF), que garantem
a estabilidade assint´otica do sistema fuzzy TS e
tamb´em uma nova condi¸c˜ao mais relaxada de es-tabilidade.
2 Modelos Fuzzy Takagi-Sugeno
Um modelo fuzzy ´e um procedimento de mode-lagem simples. Sua principal caracter´ıstica ´e a descri¸c˜ao das dinˆamicas locais de cada regra fuzzy por um modelo de sistema linear. Mais
especifica-mente, ´e um conjunto de regras SE-ENT˜AO que
representam localmente rela¸c˜oes lineares entre a entrada e a sa´ıda de um sistema. Considerando o modelo fuzzy Takagi-Sugeno (n˜ao for¸cado, u(t) = 0) abaixo ˙x(t) = r X i=1 αi(x(t))Aix(t), (1)
sendo que i = 1, 2, . . . , r (r ´e o n´umero de modelos lineares), x(t) ∈ Rn´e o vetor de estado, A
i∈ Rnxn
e αi´e o peso normalizado de cada modelo local do
sistema Ai que satisfaz as seguintes propriedades:
αi(x(t)) ≥ 0, r X i=1 αi(x(t)) = 1, r X i=1 ˙αi(x(t)) = 0. (2)
3 An´alise da estabilidade utilizando
Fun¸c˜ao de Lyapunov Quadr´atica
A procura por uma matriz P = PT > 0 afim de
obter uma fun¸c˜ao de Lyapunov V (x) = xTP x,
com V (0) = 0 e ˙V (x) < 0 para x 6= 0, dado o
sistema (1), foi estudada por (Tanaka and Wang, 2001). Defina K o conjunto {1, 2, . . . , r}.
Lema 1. O sistema fuzzy dado em (1) ´e
assin-toticamente est´avel se existir P = PT ≻ 0
satis-fazendo:
ATiP + P Ai≺ 0, i ∈ K (3)
Prova: (Tanaka and Wang, 2001).
4 Condi¸c˜oes para estabilidade utilizando
Fun¸c˜ao de Lyapunov Fuzzy (FLF)
Considere a FLF: V (x(t)) = r X i=1 αi(x(t))xT(t)Pix(t) (4)
sendo que Pi, i = 1, 2, . . . , r s˜ao matrizes definidas positivas.
O lema mostrado a seguir, foi apresentado em (Tanaka et al., 2003), Teorema 2, garantindo a estabilidade do sistema (1), considerando a FLF dada em (4).
Lema 2. Suponha que
| ˙αρ(x(t))| ≤ φρ, ρ = 1, 2, . . . , r − 1. (5)
O ponto de equil´ıbrio x = 0 do sistema
fuzzy (1) ´e assintoticamente est´avel se existirem
φ1, φ2, . . . , φr−1 tais que satisfa¸cam as seguintes LMIs: P1, . . . , Pr≻ 0 Pρ Pr, ρ = 1, 2, . . . , r − 1 r−1 X ρ=1 φρ(Pρ− Pr) + 1 2 A T jPi+ PiAj+ +AT i Pj+ PjAi ≺ 0, i ≤ j, (6) sendo quei, j ∈ K e φρ s˜ao escalares.
Prova: (Tanaka et al., 2003).
O Lema a seguir foi retirado de (Mozelli et al., 2009), Teorema 6, considerando a mesma FLF dada em (4).
Lema 3. Suponha que | ˙αk| ≤ φk, k ∈ K. O
sis-tema (1) ´e est´avel se as seguintes LMIs forem
sa-tisfeitas: Pi = PiT ≻ 0 i ∈ K, Pi+ X 0 i ∈ K, ˜ Pφ+ 1 2 A T jPi+ PiAj+ ATiPj+ +PjAi) ≺ 0, i ≤ j, (7) sendo quei, j ∈ K, ˜Pφ= r X k=1 φk(Pk+ X), φρ s˜ao escalares, eX = XT.
Prova: (Mozelli et al., 2009).
5 Nova condi¸c˜ao de estabilidade
utilizando FLF
Considerando a candidata a fun¸c˜ao de Lyapunov fuzzy (4), o modelo do sistema fuzzy TS (1) com as propriedades dadas em (2).
Teorema 1. Considerando que | ˙αρ(x(t))| ≤
φρ,ρ ∈ K, o ponto de equil´ıbrio x = 0 do
sis-tema fuzzy TS (1) ´e assintoticamente est´avel, se
as seguintes LMIs forem satisfeitas: Pi = PiT ≻ 0 i ∈ K Pk+ Xij 0 k ∈ K, i ≤ j e Pφij+ 1 2 A T jPi+ PiAj+ ATi Pj+ +PjAi) ≺ 0, i ≤ j (8)
sendo quei, j ∈ K e ePφij = r X ρ=1
φρ(Pρ+ Xij), φρ s˜ao escalares positivos conhecidos, eXij = XijT.
Prova: Escolhendo a fun¸c˜ao candidata Lya-punov fuzzy (4) e o modelo fuzzy TS dado em (1), a derivada da fun¸c˜ao de Lyapunov fuzzy ´e a seguinte: ˙ V (x) = r X ρ=1 ˙αρxTPρx+ + r X i=1 αi ˙xTP ix + xTPi˙x . (9)
Para facilitar a nota¸c˜ao, αi(x(t)) e x(t) ser˜ao
representados por αi e x, respectivamente, nesta
prova. Substituindo (1) em ˙x e ˙xT da fun¸c˜ao ˙V (x), ˙ V (x) = r X ρ=1 ˙αρxTPρx+ + r X i=1 r X j=1 αiαjxT ATjPi+ PiAj x. (10) Multiplicando o termo r X ρ=1 ˙αρ xTP ρx por r X i=1 r X j=1 αiαj , que ´e igual a 1 devido a (2), tem-se
˙ V (x) = r X i=1 r X j=1 r X ρ=1 αiαj˙αρxTPρx+ + r X i=1 r X j=1 αiαj 1 2x T ATjPi+ PiAj+ +AT i Pj+ PjAi x. (11)
Com base em (2), tem-se que r
X ρ=1
˙αρ= 0. (12)
Ent˜ao, a equa¸c˜ao (11) ficar´a: ˙ V (x) = r X i=1 r X j=1 r X ρ=1 αiαj˙αρxTPρx+ + r X ρ=1 ˙αρxT r X i=1 r X j=1 αiαjXij x+ + r X i=1 r X j=1 αiαjxT 1 2 A T jPi+ PiAj+ +ATi Pj+ PjAi x, (13)
sendo que Xij = XijT = Xji = XjiT s˜ao matrizes arbitr´arias. Assim, ˙ V (x) = r X i=1 r X j=1 αiαjxT " r X ρ=1 ˙αρ(Pρ+ Xij) + +1 2 A T jPi+ PiAj+ ATi Pj+ PjAi # x. (14) Sup˜oe-se que Pρ+ Xij≥ 0, ρ = 1, . . . , r. (15) Considerando | ˙αρ| ≤ φρ, ρ = 1, 2, . . . , r, ent˜ao de (14), ˙ V (x) ≤ r X i=1 r X j=1 αiαjxT "Xr ρ=1 φρ(Pρ+ Xij) + +1 2 A T jPi+ PiAj+ ATi Pj+ PjAi # x(t). (16)
Assim, conclui-se que V (x) ´e uma fun¸c˜ao de Lyapunov fuzzy se as condi¸c˜oes dadas em (8) forem satisfeitas.
Observa¸c˜ao 1: Note que se as condi¸c˜oes
do Lema 3, dadas em (7), s˜ao fact´ıveis, ent˜ao
as condi¸c˜oes do Teorema 1, dadas em (8), tam-b´em ser˜ao fact´ıveis, pois as condi¸c˜oes (7) e (8) s˜ao
equivalentes para X = Xij, i e j = 1, 2, . . . , r.
O Exemplo 1 mostra que existem situa¸c˜oes nas quais as condi¸c˜oes do Teorema 1 s˜ao fact´ıveis e as condi¸c˜oes do Lema 3 n˜ao s˜ao fact´ıveis.
Neste trabalho, todos os exemplos s˜ao
resolvi-dos utilizando o software Matlab Version 7.4.0.287,
e o solver SeDuMi (self-Dual-Minimization)
(Sturm, n.d.) interfaciado pelo YALMIP (Yet
Another LMI Parser) (Lofberg, 2004). Exemplo 1
Este exemplo foi baseado em (Tanaka et al., 2003). Considere as matrizes locais:
A1= −5 −4 −1 a , A2= −2 −4 b −2 ,
sendo φ1= φ2= 0.85 e os modelos fuzzy TS:
Modelo da regra 1: Se x1(t) ´e α1(x1(t)) ent˜ao ˙x(t) = A1x(t).
Modelo da regra 2: Se x1(t) ´e α2(x1(t)) ent˜ao ˙x(t) = A2x(t), sendo que α1(x1(t)) = 1 + sen(x1(t)) 2 , α2(x1(t)) = 1 − sen(x1(t)) 2 .
A Figura 1, mostra o resultado das ´areas fact´ıveis obtidas com o m´etodo proposto,
satis-fazendo as condi¸c˜oes do Teorema 1 para v´arios
valores do par (a, b), a ∈ [−10, −1], b ∈ [0, 200].
−100 −9 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 50 100 150 200 250 300 a b
Regi˜oes de Factibilidade - Exemplo 1
Figura 1: An´alise da estabilidade para φ1= φ2=
0.85 com Lema 1, (3), Lema 2, (o) e Teorema 1, (x).
Exemplo 2
Baseado em (Mozelli et al., 2009). Este exem-plo mostra, assim como o Exemexem-plo 1, os resultados
obtidos com Teorema 1. As matrizes locais s˜ao:
A1= −5 −4 −1 a , A2= −4 −4 1 5(3b − 2) 1 5(3a − 4) A3= −3 −4 1 5(2b − 3) 1 5(2a − 6) , A4= −2 −4 b −2 , os intervalos dos valores de (a, b) s˜ao a ∈ [−20, −5] e b ∈ [0, 1200] e os modelos fuzzy TS:
α1(x(t)) = σ1(x1)σ2(x2), α2(x(t)) = σ1(x1)β2(x2), α3(x(t)) = β1(x1)σ2(x2), α4(x(t)) = β1(x1)β2(x2),
βi(xi) = 1 − αi(xi),
para σi(xi) e βi(xi) definidos para i ∈ {1, 2}, com
σi(xi) = (1 − sen(xi))/2, para |xi| ≤ π/2, 0, para xi> π/2, 1, para xi< −π/2. −200 −19 −18 −17 −16 −15 −14 −13 −12 −11 −10 200 400 600 800 1000 1200 1400 a b
Regi˜oes de Factibilidade - Exemplo 2
Figura 2: An´alise da estabilidade para φ1= φ2=
φ3= φ4= 0.85 com Lema 1, (3), , Lema 2, (o) e
Teorema 1, (x).
6 Mais Compara¸c˜oes
O Exemplo a seguir mostra a influˆencia da
derivada temporal da fun¸c˜ao de pertinˆencia (φρ)
e os melhores resultados obtidos com o Teorema 1, comparado com os Lemas 1 e 3, j´a que o Lema 2 ´e um caso particular do Lema 3.
Exemplo 3
Considere o sistema fuzzy TS dado em (2), com duas regras fuzzy, sendo as matrizes dos mo-delos locais: A1= 0 1 −2 −1 , A2= −2 −1 −2 − k −1 .
Defina kmaxos m´aximos valores de k para os quais
a estabilidade do sistema ´e garantida. Estes
valo-res foram checados para v´arios valores de φρ. Os
resultados s˜ao mostrados na Figura 3. A figura
apresenta os resultados deste sistema para o Teo-rema 1, Lema 1 e Lema 3.
0.5 1 1.5 2 2.5 0 5 10 15 20 25 30 φρ kma x
Figura 3: An´alise da estabilidade para v´arios valo-res de φρpara Lema 1, (- -); Lema 3, (- .); Teorema 1, (-).
7 Conclus˜oes
Neste trabalho h´a um breve estudo sobre os
mode-los fuzzy Takagi-Sugeno (TS), e ent˜ao, condi¸c˜oes
de estabilidade utilizando Fun¸c˜oes de Lyapunov
Fuzzy. Foram descritos lemas propostos em
(Tanaka et al., 2003; Mozelli et al., 2009), de modo a compar´a-los com os resultados obtidos com a nova condi¸c˜ao apresentada. O Teorema 1 mostra uma nova condi¸c˜ao de estabilidade menos conservadora do que as apresentadas em (Tanaka et al., 2003; Mozelli et al., 2009), sendo que, no Exemplo 1, ´e poss´ıvel concluir que o
resul-tado apresenta uma regi˜ao de factibilidade
signi-ficativamente maior quando comparado ao Lema 1 e Lema 2 (Tanaka et al., 2003), com o sistema fuzzy TS composto por apenas dois modelos lo-cais. Ao se analisar sistemas maiores, por exem-plo com quatro modelos locais, como no
Exem-plo 2, a regi˜ao de factibilidade tamb´em ´e
et al., 2009) em que j´a havia sido generalizado o Lema 2 de (Tanaka et al., 2003). Note que, a nova condi¸c˜ao proposta no Teorema 1 mostra que
se os Lemas 2 e 3 forem fact´ıveis, ent˜ao o
teo-rema proposto tamb´em ser´a, pois os Lemas 2 e
3 s˜ao condi¸c˜oes particulares do Teorema 1, que
apresentou maiores regi˜oes de factibilidade como
pode-se observar nas Figuras 1 e 2. Por fim, o Exemplo 3 mostra a influˆencia da derivada tem-poral da fun¸c˜ao de pertinˆencia (φρ), sendo poss´ıvel
notar que para qualquer valor de (φρ) o Teorema
1 apresentou melhores resultados em rela¸c˜ao aos Lemas 1 e 3.
Agradecimentos
Os autores agradecem a CAPES, ao CNPq e `a
FAPESP pelo apoio financeiro.
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