• Nenhum resultado encontrado

ANÁLISE DA ESTABILIDADE DE SISTEMAS FUZZY TAKAGI-SUGENO UTILIZANDO FUNÇÕES DE LYAPUNOV FUZZY

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

Share "ANÁLISE DA ESTABILIDADE DE SISTEMAS FUZZY TAKAGI-SUGENO UTILIZANDO FUNÇÕES DE LYAPUNOV FUZZY"

Copied!
6
0
0

Texto

(1)

AN ´ALISE DA ESTABILIDADE DE SISTEMAS FUZZY TAKAGI-SUGENO

UTILIZANDO FUN ¸C ˜OES DE LYAPUNOV FUZZY

Talita T. Esteves∗, Edson I. Mainardi J´unior, Manoel R. Moreira, Rodrigo Cardim,

M´aira P. Alves∗, Marcelo C. M. Teixeira, Edvaldo Assun¸ao

UNESP - Univ Estadual Paulista,

Faculdade de Engenharia de Ilha Solteira

Departamento de Engenharia El´etrica, Lab. de Pesquisa em Controle,

Av. Jos´e Carlos Rossi, 1370, 15385-000, Ilha Solteira, S˜ao Paulo, Brasil

Emails: tataesteves@hotmail.com, edsonitalo@yahoo.com.br, manoel.rodrigo@hotmail.com, rcardim@dee.feis.unesp.br, mairaalves28@yahoo.com.br, marcelo@dee.feis.unesp.br,

edvaldo@dee.feis.unesp.br

Abstract— This paper addresses stability analysis of continuous-time Takagi-Sugeno (TS) fuzzy systems via Fuzzy Lyapunov Functions (FLF). New sufficient and more relaxed stability conditions using FLF, for the asymp-totic stability of these systems in the sense of Lyapunov are proposed. These new procedures are based on LMIs (Linear Matrix Inequalities).

Keywords— Linear matrix inequalities (LMIs), fuzzy Lyapunov function, Lyapunov stability.

Resumo— Este artigo analisa a estabilidade de sistemas fuzzy Takagi-Sugeno (TS) cont´ınuos no tempo, atrav´es de Fun¸c˜oes de Lyapunov Fuzzy (FLF). S˜ao propostas novas condi¸c˜oes suficientes mais relaxadas para sistemas fuzzy TS que asseguram a estabilidade assint´otica no sentido de Lyapunov. Os resultados apresentados s˜ao baseados em desigualdades matriciais lineares (LMIs, do inglˆes Linear Matrix Inequalities).

Keywords— Desigualdades matriciais lineares (LMIs), Fun¸c˜oes de Lyapunov Fuzzy, Estabilidade segundo Lyapunov.

1 Introdu¸c˜ao

Atualmente, h´a um crescente interesse em

pesquisas sobre sistemas fuzzy, devido `a grande

similaridade destes sistemas com o comporta-mento humano na solu¸c˜ao de problemas

com-plexos. Com sua teoria e aplica¸c˜oes, a l´ogica

fuzzy (tamb´em conhecida como l´ogica nebulosa),

teve in´ıcio nos anos 60 quando Lotfi A. Zadeh e outros pesquisadores, ao analisarem o comporta-mento humano diante de problemas, viram que esses conhecimentos poderiam ser utilizados para

completar a descri¸c˜ao e compreens˜ao de sistemas

reais complexos.

Os modelos Fuzzy Takagi-Sugeno (TS)

(Takagi and Sugeno, 1985) ou

Takagi-Sugeno-Kang (TSK) (Sugeno and Takagi-Sugeno-Kang, 1988) s˜ao de

grande importˆancia quando h´a um aumento da complexidade dos sistemas e as t´ecnicas mais tradicionais de projetos de sistemas n˜ao forem su-ficientes para resolverem problemas com crit´erios

cada vez mais restritivos. Os sistemas TS s˜ao

ca-pazes de representar, de forma aproximada ou

exa-ta, certas classes de dinˆamicas n˜ao lineares como

combina¸c˜ao de modelos lineares locais invariantes no tempo, descrevendo aproximadamente o com-portamento destes sistemas em diferentes pontos no seu espa¸co de estados. Desta forma, pode-se in-terpretar a t´ecnica tradicional de lineariza¸c˜ao em apenas um ponto de opera¸c˜ao como um caso par-ticular dos modelos fuzzy TS, consistindo apenas de um modelo local.

A partir dos anos 90, em diversas ´areas da teoria de controle, novas metodologias foram pesquisadas para solucionar problemas de an´alise da estabilidade e projeto de sistemas de

contro-le. Entre v´arias abordagens, foi constatado que

in´umeros problemas podem ser resolvidos atrav´es

da solu¸c˜ao de desigualdades matriciais lineares, tamb´em conhecidas por LMIs (do inglˆes Linear Matrix Inequalities) (Boyd et al., 1994; Wang

et al., 1996). Essas ferramentas s˜ao muito

efi-cientes e poderosas na literatura de programa¸c˜ao matem´atica (Gahinet et al., 1995; Peaucelle et al., 2002) sendo que em muitos casos, uma solu¸c˜ao en-contrada para um conjunto de LMIs ´e equivalente a encontrar uma solu¸c˜ao para o problema origi-nal. Em certas classes de sistemas n˜ao-lineares, os modelos fuzzy TS permitem uma modelagem

exata. Assim os projetos baseados em LMIs s˜ao

rigorosos e ainda est˜ao sendo aprimorados.

Re-sultados pioneiros neste tema foram propostos em (Wang et al., 1996) e condi¸c˜oes mais relaxadas em (Teixeira et al., 2003; Johansson, 2003; Tanaka et al., 2003).

Nos ´ultimos anos, h´a muitas aplica¸c˜oes sobre controle fuzzy, como por exemplo, na an´alise de novos sistemas de controle para autom´oveis (Will et al., 1997) e controle de elevadores de alta ve-locidade (Tanaka, Nishimura and Wang, 1998). Muitos esfor¸cos tem sido feitos na ´area de an´alise da estabilidade (Tanaka and Sugeno, 1992; Tanaka and Sano, 1994; Cao et al., 1997a; Cao et al., 1997b; Tanaka, Ikeda and Wang, 1998; Kim and

(2)

Lee, 2000), j´a que esta, ´e o requisito mais impor-tante em sistemas de controle fuzzy.

Neste trabalho s˜ao abordados m´etodos

basea-dos em LMIs que s˜ao constru´ıdos utilizando a

Fun¸c˜ao de Lyapunov Fuzzy (FLF), que garantem

a estabilidade assint´otica do sistema fuzzy TS e

tamb´em uma nova condi¸c˜ao mais relaxada de es-tabilidade.

2 Modelos Fuzzy Takagi-Sugeno

Um modelo fuzzy ´e um procedimento de mode-lagem simples. Sua principal caracter´ıstica ´e a descri¸c˜ao das dinˆamicas locais de cada regra fuzzy por um modelo de sistema linear. Mais

especifica-mente, ´e um conjunto de regras SE-ENT˜AO que

representam localmente rela¸c˜oes lineares entre a entrada e a sa´ıda de um sistema. Considerando o modelo fuzzy Takagi-Sugeno (n˜ao for¸cado, u(t) = 0) abaixo ˙x(t) = r X i=1 αi(x(t))Aix(t), (1)

sendo que i = 1, 2, . . . , r (r ´e o n´umero de modelos lineares), x(t) ∈ Rn´e o vetor de estado, A

i∈ Rnxn

e αi´e o peso normalizado de cada modelo local do

sistema Ai que satisfaz as seguintes propriedades:

αi(x(t)) ≥ 0, r X i=1 αi(x(t)) = 1, r X i=1 ˙αi(x(t)) = 0. (2)

3 An´alise da estabilidade utilizando

Fun¸c˜ao de Lyapunov Quadr´atica

A procura por uma matriz P = PT > 0 afim de

obter uma fun¸c˜ao de Lyapunov V (x) = xTP x,

com V (0) = 0 e ˙V (x) < 0 para x 6= 0, dado o

sistema (1), foi estudada por (Tanaka and Wang, 2001). Defina K o conjunto {1, 2, . . . , r}.

Lema 1. O sistema fuzzy dado em (1) ´e

assin-toticamente est´avel se existir P = PT ≻ 0

satis-fazendo:

ATiP + P Ai≺ 0, i ∈ K (3)

Prova: (Tanaka and Wang, 2001).

4 Condi¸c˜oes para estabilidade utilizando

Fun¸c˜ao de Lyapunov Fuzzy (FLF)

Considere a FLF: V (x(t)) = r X i=1 αi(x(t))xT(t)Pix(t) (4)

sendo que Pi, i = 1, 2, . . . , r s˜ao matrizes definidas positivas.

O lema mostrado a seguir, foi apresentado em (Tanaka et al., 2003), Teorema 2, garantindo a estabilidade do sistema (1), considerando a FLF dada em (4).

Lema 2. Suponha que

| ˙αρ(x(t))| ≤ φρ, ρ = 1, 2, . . . , r − 1. (5)

O ponto de equil´ıbrio x = 0 do sistema

fuzzy (1) ´e assintoticamente est´avel se existirem

φ1, φ2, . . . , φr−1 tais que satisfa¸cam as seguintes LMIs:              P1, . . . , Pr≻ 0 Pρ  Pr, ρ = 1, 2, . . . , r − 1 r−1 X ρ=1 φρ(Pρ− Pr) + 1 2 A T jPi+ PiAj+ +AT i Pj+ PjAi  ≺ 0, i ≤ j, (6) sendo quei, j ∈ K e φρ s˜ao escalares.

Prova: (Tanaka et al., 2003).

O Lema a seguir foi retirado de (Mozelli et al., 2009), Teorema 6, considerando a mesma FLF dada em (4).

Lema 3. Suponha que | ˙αk| ≤ φk, k ∈ K. O

sis-tema (1) ´e est´avel se as seguintes LMIs forem

sa-tisfeitas:        Pi = PiT ≻ 0 i ∈ K, Pi+ X  0 i ∈ K, ˜ Pφ+ 1 2 A T jPi+ PiAj+ ATiPj+ +PjAi) ≺ 0, i ≤ j, (7) sendo quei, j ∈ K, ˜Pφ= r X k=1 φk(Pk+ X), φρ s˜ao escalares, eX = XT.

Prova: (Mozelli et al., 2009).

5 Nova condi¸c˜ao de estabilidade

utilizando FLF

Considerando a candidata a fun¸c˜ao de Lyapunov fuzzy (4), o modelo do sistema fuzzy TS (1) com as propriedades dadas em (2).

Teorema 1. Considerando que | ˙αρ(x(t))| ≤

φρ,ρ ∈ K, o ponto de equil´ıbrio x = 0 do

sis-tema fuzzy TS (1) ´e assintoticamente est´avel, se

as seguintes LMIs forem satisfeitas:        Pi = PiT ≻ 0 i ∈ K Pk+ Xij  0 k ∈ K, i ≤ j e Pφij+ 1 2 A T jPi+ PiAj+ ATi Pj+ +PjAi) ≺ 0, i ≤ j (8)

(3)

sendo quei, j ∈ K e ePφij = r X ρ=1

φρ(Pρ+ Xij), φρ s˜ao escalares positivos conhecidos, eXij = XijT.

Prova: Escolhendo a fun¸c˜ao candidata Lya-punov fuzzy (4) e o modelo fuzzy TS dado em (1), a derivada da fun¸c˜ao de Lyapunov fuzzy ´e a seguinte: ˙ V (x) = r X ρ=1 ˙αρxTPρx+ + r X i=1 αi  ˙xTP ix + xTPi˙x  . (9)

Para facilitar a nota¸c˜ao, αi(x(t)) e x(t) ser˜ao

representados por αi e x, respectivamente, nesta

prova. Substituindo (1) em ˙x e ˙xT da fun¸c˜ao ˙V (x), ˙ V (x) = r X ρ=1 ˙αρxTPρx+ + r X i=1 r X j=1 αiαjxT  ATjPi+ PiAj  x. (10) Multiplicando o termo r X ρ=1 ˙αρ  xTP ρx  por   r X i=1 r X j=1 αiαj   , que ´e igual a 1 devido a (2), tem-se

˙ V (x) = r X i=1 r X j=1 r X ρ=1 αiαj˙αρxTPρx+ + r X i=1 r X j=1 αiαj 1 2x T ATjPi+ PiAj+ +AT i Pj+ PjAi  x. (11)

Com base em (2), tem-se que r

X ρ=1

˙αρ= 0. (12)

Ent˜ao, a equa¸c˜ao (11) ficar´a: ˙ V (x) = r X i=1 r X j=1 r X ρ=1 αiαj˙αρxTPρx+ + r X ρ=1 ˙αρxT   r X i=1 r X j=1 αiαjXij   x+ + r X i=1 r X j=1 αiαjxT 1 2 A T jPi+ PiAj+ +ATi Pj+ PjAi  x, (13)

sendo que Xij = XijT = Xji = XjiT s˜ao matrizes arbitr´arias. Assim, ˙ V (x) = r X i=1 r X j=1 αiαjxT " r X ρ=1 ˙αρ(Pρ+ Xij) + +1 2 A T jPi+ PiAj+ ATi Pj+ PjAi # x. (14) Sup˜oe-se que Pρ+ Xij≥ 0, ρ = 1, . . . , r. (15) Considerando | ˙αρ| ≤ φρ, ρ = 1, 2, . . . , r, ent˜ao de (14), ˙ V (x) ≤ r X i=1 r X j=1 αiαjxT "Xr ρ=1 φρ(Pρ+ Xij) + +1 2 A T jPi+ PiAj+ ATi Pj+ PjAi # x(t). (16)

Assim, conclui-se que V (x) ´e uma fun¸c˜ao de Lyapunov fuzzy se as condi¸c˜oes dadas em (8) forem satisfeitas.

Observa¸c˜ao 1: Note que se as condi¸c˜oes

do Lema 3, dadas em (7), s˜ao fact´ıveis, ent˜ao

as condi¸c˜oes do Teorema 1, dadas em (8), tam-b´em ser˜ao fact´ıveis, pois as condi¸c˜oes (7) e (8) s˜ao

equivalentes para X = Xij, i e j = 1, 2, . . . , r.

O Exemplo 1 mostra que existem situa¸c˜oes nas quais as condi¸c˜oes do Teorema 1 s˜ao fact´ıveis e as condi¸c˜oes do Lema 3 n˜ao s˜ao fact´ıveis.

Neste trabalho, todos os exemplos s˜ao

resolvi-dos utilizando o software Matlab Version 7.4.0.287,

e o solver SeDuMi (self-Dual-Minimization)

(Sturm, n.d.) interfaciado pelo YALMIP (Yet

Another LMI Parser) (Lofberg, 2004). Exemplo 1

Este exemplo foi baseado em (Tanaka et al., 2003). Considere as matrizes locais:

A1=  −5 −4 −1 a  , A2=  −2 −4 b −2  ,

sendo φ1= φ2= 0.85 e os modelos fuzzy TS:

Modelo da regra 1: Se x1(t) ´e α1(x1(t)) ent˜ao ˙x(t) = A1x(t).

Modelo da regra 2: Se x1(t) ´e α2(x1(t)) ent˜ao ˙x(t) = A2x(t), sendo que α1(x1(t)) = 1 + sen(x1(t)) 2 , α2(x1(t)) = 1 − sen(x1(t)) 2 .

(4)

A Figura 1, mostra o resultado das ´areas fact´ıveis obtidas com o m´etodo proposto,

satis-fazendo as condi¸c˜oes do Teorema 1 para v´arios

valores do par (a, b), a ∈ [−10, −1], b ∈ [0, 200].

−100 −9 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 50 100 150 200 250 300 a b

Regi˜oes de Factibilidade - Exemplo 1

Figura 1: An´alise da estabilidade para φ1= φ2=

0.85 com Lema 1, (3), Lema 2, (o) e Teorema 1, (x).

Exemplo 2

Baseado em (Mozelli et al., 2009). Este exem-plo mostra, assim como o Exemexem-plo 1, os resultados

obtidos com Teorema 1. As matrizes locais s˜ao:

A1=  −5 −4 −1 a  , A2=  −4 −4 1 5(3b − 2) 1 5(3a − 4)  A3=  −3 −4 1 5(2b − 3) 1 5(2a − 6)  , A4=  −2 −4 b −2  , os intervalos dos valores de (a, b) s˜ao a ∈ [−20, −5] e b ∈ [0, 1200] e os modelos fuzzy TS:

α1(x(t)) = σ1(x1)σ2(x2), α2(x(t)) = σ1(x1)β2(x2), α3(x(t)) = β1(x1)σ2(x2), α4(x(t)) = β1(x1)β2(x2),

βi(xi) = 1 − αi(xi),

para σi(xi) e βi(xi) definidos para i ∈ {1, 2}, com

σi(xi) =    (1 − sen(xi))/2, para |xi| ≤ π/2, 0, para xi> π/2, 1, para xi< −π/2. −200 −19 −18 −17 −16 −15 −14 −13 −12 −11 −10 200 400 600 800 1000 1200 1400 a b

Regi˜oes de Factibilidade - Exemplo 2

Figura 2: An´alise da estabilidade para φ1= φ2=

φ3= φ4= 0.85 com Lema 1, (3), , Lema 2, (o) e

Teorema 1, (x).

6 Mais Compara¸c˜oes

O Exemplo a seguir mostra a influˆencia da

derivada temporal da fun¸c˜ao de pertinˆencia (φρ)

e os melhores resultados obtidos com o Teorema 1, comparado com os Lemas 1 e 3, j´a que o Lema 2 ´e um caso particular do Lema 3.

Exemplo 3

Considere o sistema fuzzy TS dado em (2), com duas regras fuzzy, sendo as matrizes dos mo-delos locais: A1=  0 1 −2 −1  , A2=  −2 −1 −2 − k −1  .

Defina kmaxos m´aximos valores de k para os quais

a estabilidade do sistema ´e garantida. Estes

valo-res foram checados para v´arios valores de φρ. Os

resultados s˜ao mostrados na Figura 3. A figura

apresenta os resultados deste sistema para o Teo-rema 1, Lema 1 e Lema 3.

0.5 1 1.5 2 2.5 0 5 10 15 20 25 30 φρ kma x

Figura 3: An´alise da estabilidade para v´arios valo-res de φρpara Lema 1, (- -); Lema 3, (- .); Teorema 1, (-).

7 Conclus˜oes

Neste trabalho h´a um breve estudo sobre os

mode-los fuzzy Takagi-Sugeno (TS), e ent˜ao, condi¸c˜oes

de estabilidade utilizando Fun¸c˜oes de Lyapunov

Fuzzy. Foram descritos lemas propostos em

(Tanaka et al., 2003; Mozelli et al., 2009), de modo a compar´a-los com os resultados obtidos com a nova condi¸c˜ao apresentada. O Teorema 1 mostra uma nova condi¸c˜ao de estabilidade menos conservadora do que as apresentadas em (Tanaka et al., 2003; Mozelli et al., 2009), sendo que, no Exemplo 1, ´e poss´ıvel concluir que o

resul-tado apresenta uma regi˜ao de factibilidade

signi-ficativamente maior quando comparado ao Lema 1 e Lema 2 (Tanaka et al., 2003), com o sistema fuzzy TS composto por apenas dois modelos lo-cais. Ao se analisar sistemas maiores, por exem-plo com quatro modelos locais, como no

Exem-plo 2, a regi˜ao de factibilidade tamb´em ´e

(5)

et al., 2009) em que j´a havia sido generalizado o Lema 2 de (Tanaka et al., 2003). Note que, a nova condi¸c˜ao proposta no Teorema 1 mostra que

se os Lemas 2 e 3 forem fact´ıveis, ent˜ao o

teo-rema proposto tamb´em ser´a, pois os Lemas 2 e

3 s˜ao condi¸c˜oes particulares do Teorema 1, que

apresentou maiores regi˜oes de factibilidade como

pode-se observar nas Figuras 1 e 2. Por fim, o Exemplo 3 mostra a influˆencia da derivada tem-poral da fun¸c˜ao de pertinˆencia (φρ), sendo poss´ıvel

notar que para qualquer valor de (φρ) o Teorema

1 apresentou melhores resultados em rela¸c˜ao aos Lemas 1 e 3.

Agradecimentos

Os autores agradecem a CAPES, ao CNPq e `a

FAPESP pelo apoio financeiro.

Referˆencias

Boyd, S., El Ghaoui, L., Feron, E. and Balakr-ishnan, V. (1994). Linear Matrix Inequali-ties in Systems and Control Theory, Studies in Applied Mathematics, 15, 2nd edn, SIAM Studies in Applied Mathematics.

Cao, S. G., Rees, N. W. and Feng, G. (1997a). Further Results About Quadratic Stabil-ity of Continuous-Time Fuzzy Control Sys-tems, International Journal of Systems

Sci-ence 28(4): 397 – 404.

Cao, S. G., Rees, N. W. and Feng, G.

(1997b). Lyapunov-Like Stability

Theo-rems for Discrete- Time Fuzzy Control Sys-tems, International Journal of Systems

Sci-ence 28(3): 297 – 308.

Gahinet, P., Nemirovski, A., Laub, A. and

Chilali, M. (1995). Lmi control toolbox

- for use with matlab. [S.1.]. Dispon´ıvel

em: <http://www.mathworks.com/access>. Acesso em: 22 Set. 2009.

Johansson, M. (2003). Piecewise Linear Control Systems, Springer Verlag, 1st. ed. New York. 205 p.

Kim, E. and Lee, H. (2000). New approaches to relaxed quadratic stability condition of fuzzy control systems, IEEE Transactions on Fuzzy

Systems8(5): 523 – 534.

Lofberg, J. (2004). Yalmip : a toolbox for mod-eling and optimization in matlab, Computer Aided Control Systems Design, 2004 IEEE International Symposium on, pp. 284 –289. Mozelli, L. A., Palhares, R. M., Souza, F. O. and

Mendes, E. M. A. M. (2009). Reducing con-servativeness in recent stability conditions of

ts fuzzy systems, Autom´atica 45(6): 1580 –

1583.

Peaucelle, D., Henrion, D., Labit, Y. and

Taitz, K. (2002). User’s Guide for

Se-DuMi Interface 1.04. 37p, Dispon´ıvel em:

<http://www.laas.fr/ peaucell/software>.

Acesso em: 22 Set. 2009.

Sturm, J. F. (n.d.). Using sedumi 1.02, a mat-lab toolbox for optimization over symmetric cones., Optimization Methods and Software pp. 625–653.

Sugeno, M. and Kang, G. T. (1988). Structure identification of fuzzy model, Fuzzy Sets and

Systems28(1): 15 – 33.

Takagi, T. and Sugeno, M. (1985). Fuzzy iden-tification of systems and its applications to modeling and control, IEEE Transactions on

Systems, Man, and Cybernetics 15(1): 116–

132.

Tanaka, K., Hori, T. and Wang, H. (2003). A mul-tiple lyapunov function approach to stabiliza-tion of fuzzy control systems, Fuzzy Systems,

IEEE Transactions on11(4): 582 – 589.

Tanaka, K., Ikeda, T. and Wang, H. O. (1998). Fuzzy regulators and fuzzy observers: Re-laxed stability conditions and LMI-based de-signs, IEEE Transactions on Fuzzy Systems 6(2): 250 – 265.

Tanaka, K., Nishimura, M. and Wang, H. O.

(1998). Multi-Objective Fuzzy Control of

High Rise/High Speed Elevators Using LMIs, Proceedings of the American Control

Confer-encepp. 3450 – 3454.

Tanaka, K. and Sano, M. (1994). A Robust Sta-bilization Problem of Fuzzy Control Systems and Its Application to Backing up Control of a Truck-Trailer, IEEE Transactions on Fuzzy

Systems2(2): 119 – 134.

Tanaka, K. and Sugeno, M. (1992). Stability

analysis and design of fuzzy control systems,

Fuzzy Sets and Systems45(2): 135 – 156.

Tanaka, K. and Wang, H. O. (2001). Fuzzy control systems design and analysis: A linear matrix inequality approach., New York: Wiley . Teixeira, M. C. M., Assun¸c˜ao, E. and

Avel-lar, R. G. (2003). On relaxed LMI-based

designs for fuzzy regulators and fuzzy ob-servers, Fuzzy Systems, IEEE Transactions

on11(5): 613 – 623.

Wang, H., Tanaka, K. and Griffin, M. (1996). An approach to fuzzy control of nonlinear systems: stability and design issues, IEEE

(6)

Will, A. B., Teixeira, M. C. M. and ˙Zak, S. H. (1997). Four whell steering control systems design using fuzzy models, Sixth IEEE

Referências

Documentos relacionados

Os coeficientes de cinética de remoção de DQO (K), obtidos neste estudo (0,35 – 0,44 d -1 ), contribuem para base de dados que fundamentam o dimensionamento de FHSS,

Os profissionais da escola, incluindo a equipe de apoio, devem estimular a todos os alunos a tomarem suas próprias decisões, de forma que eles possam se tornar cada vez mais

Para caracterização e avaliação da qualidade fisiológica das sementes da espécie Senna cana, com sementes coletadas em áreas do semiárido pernambucano, o presente estudo teve

Bin-Da Liu, Chuen-Yau Chen and Ju-Ying Tsao, Design of adaptive fuzzy logic controller based on Linguistic-Hedge concepts and genetic algorithms, IEEE Transactions on Systems, Man,

Wang, Robust stabilization of a class of uncertain nonlinear systems via fuzzy control: Quadratic stabilizability, H ∞ control theory, and linear matrix. inequalities,

Lin “Direct adaptive fuzzy-neural control with state observer and supervisory controller for unknown nonlinear dynamical systems” IEEE Transactions on Fuzzy

[10] Yansheng Yang, Changjiu Zhou: Design of Fuzzy Adaptive Robust Control Algorithm via Small Gain Approach, Proceedings of the 2002 IEEE International Conference on

An Introduction to Fuzzy Sets: Analysis and Design (Complex Adaptive Systems). Coevolutionary Fuzzy Modeling. Tese de doutorado, Section de’informatique, École Polytechnique