MATEMÁTICA II. Ana Paula Figueiredo

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MATEMÁTICA

II

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MATEMÁTICA

DEFINIÇÃO DE FUNÇÃO

Dados dois conjuntos A e B, chama-se função de A em B a toda a correspondência unívoca definida de A em B, isto é, que a cada elemento de A associa um e um só elemento de B.

Ao conjunto A chama-se domínio da função e aos seus elementos chamam-se objectos. O conjunto B é o conjunto de chegada da função.

A cada elemento de A pertencente ao domínio da função f corresponde um único elemento que se diz a sua imagem e que se representa por f(x). f

f: A B x y = f(x)

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Exemplo:

Este diagrama representa uma função de A em B, onde cada elemento do conjunto A está associado apenas com um elemento do conjunto B. Podemos dizer então que o domínio, a imagem, o contradomínio e o

conjunto de chegada dessa função é:

D_f = {-1, 0, 1, 2} ou seja o próprio conjunto A . Im_f = D´_f = {-6, 9, 4, -1}

Conjunto de chegada = {-6, -1, 4, 9, 10}

Ana Paula Figueiredo

Exemplo:

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Exemplo:

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Resumindo:

Para definir uma função, é necessário indicar: - O domínio;;

- O conjunto de chegada;;

- Um processo que permita associar a cada elemento do domínio um único valor do conjunto de chegada (tabela, gráfico, expressão analítica).

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MATEMÁTICA

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Exemplo:

MATEMÁTICA

Exemplo:

Na figura acima está definida uma função onde ao conjunto D={1,2,3,4}

(conjunto de todos os valores para os quais a relação tem significado)

chamaremos domínio da função.

O conjunto E, conjunto de chegada, tem um subconjunto C_d={2,4,6,8} (os

valores assumidos pela função) esses elementos constituem o contradomínio.

A mesma função poderia ter sido dada por outras formas :

2- Expressão analítica e o domínio 1- Tabela

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Exemplo:

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4- Conjunto de pares 3- Gráfico

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MATEMÁTICA

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Exemplo:

MATEMÁTICA

GRÁFICO E REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DE UMA FUNÇÃO

Chama-se função real de variável real (f.r.v.r.) a toda a função cujo domínio é um subconjunto de IR e cujo conjunto de chegada é IR .

Se f é uma função com domínio A, o gráfico de f é o conjunto dos pares ordenados: { (x , f (x) ) , x A }

(a , f(a)) é um ponto do gráfico de f

• Sempre que o domínio ou o contradomínio é um conjunto ilimitado, é impossível representar o gráfico de uma função

• No caso de não ser possível representar o gráfico de uma função diz-se que se faz a representação gráfica da função.

y

(a, f(a)) f(a)

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Exemplo:

De um modo geral, usam-se “bolas” abertas ou fechadas ou ausência de bolas para identificar o domínio e o contradomínio de uma função.

Exemplos: 0 1 2 3 x D_f = IR D_g = ] -1 , 1 [ D_h = ] 0 , + [ D ‘_f = { 3 } D’ _g = { 2 } D’_h = { 1 }

MATEMÁTICA

f 0 1 2 3 g x -2 -1 0 1 2 x h

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MATEMÁTICA

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Resumindo:

Para definir uma função, é necessário indicar: - O domínio;;

- O conjunto de chegada;;

- Um processo que permita associar a cada elemento do domínio um único valor do conjunto de chegada (tabela, gráfico, expressão analítica).

MATEMÁTICA

GENERALIDADES SOBRE FUNÇÕES ZERO DE UMA FUNÇÃO

Designa-se por zero de uma função f todo o valor da variável independente x que tem por imagem o valor zero.

Por outras palavras, zero de uma função f é todo o valor de x, pertencente ao domínio dessa função, tal que f(x) = 0.

Graficamente, o zero de uma função é todo o valor das abcissas dos pontos

de intersecção do gráfico de f com o eixo Ox.

Exemplo:

Os zeros da função f são: x = 0, x = 3 e x = 6

x = 11 não é zero da função f em virtude de esse valor não pertencer ao

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MATEMÁTICA

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Exemplo:

Na figura acima está definida uma função onde ao conjunto D={1,2,3,4}

(conjunto de todos os valores para os quais a relação tem significado)

chamaremos domínio da função.

O conjunto E, conjunto de chegada, tem um subconjunto C_d={2,4,6,8} (os

valores assumidos pela função) esses elementos constituem o contradomínio.

A mesma função poderia ter sido dada por outras formas :

1- Tabela _{2- Expressão analítica e o domínio}

MATEMÁTICA

SINAL DE UMA FUNÇÃO

Dada uma função real de variável real f , em que o seu domínio é Df , diz-se que:

A função f é positiva num intervalo I , com I ⊂ D_f , se e só se f(x) > 0 para todo o

x ∈ I;;

A função f é negativa num intervalo Y, com Y ⊂ Df , se e só se f(x) < 0 para todo o

x ∈ Y.

Em termos gráficos, a função f é positiva num intervalo I , com I ⊂ D_f , se e só se todos os pontos do seu gráfico, pertencentes a esse intervalo I estiverem acima do eixo Ox.

Do mesmo modo, a função f é negativa num intervalo Y , com Y ⊂ Df , se e só se

todos os pontos do seu gráfico, pertencentes a esse intervalo Y estiverem abaixo do eixo Ox.

Por vezes, utiliza-se um quadro de sinal da função para sintetizar o seu comportamento, no seu domínio, explicitando neste, os intervalos onde é positiva, os intervalos onde é negativa, através de, respetivamente, sinais "+" e sinais "-", bem como os valores de x para os quais f é nula.

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3- Gráfico

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4- Conjunto de pares

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SINAL DE UMA FUNÇÃO

Exemplo:

Dado o gráfico de f , em que D_f = [-2, +∞[.

Efetuemos o seu quadro de sinal:

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MATEMÁTICA

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Chama-se função real de variável real (f.r.v.r.) a toda a função cujo domínio é um subconjunto de IR e cujo conjunto de chegada é IR .

Se f é uma função com domínio A, o gráfico de f é o conjunto dos pares ordenados: { (x , f (x) ) , x A }

(a , f(a)) é um ponto do gráfico de f

• Sempre que o domínio ou o contradomínio é um conjunto ilimitado, é impossível representar o gráfico de uma função

• No caso de não ser possível representar o gráfico de uma função diz-se que se faz a representação gráfica da função.

f(a) y

x a

(a, f(a))

MATEMÁTICA

FUNÇÃO INJETIVA

Uma função real de variável real f diz-se injetiva se e só se a quaisquer dois objetos diferentes corresponderem imagens diferentes. Simbolicamente, se todo o

x₁ ≠ x₂ sendo que x₁, x₂ pertencem ao domínio de f, então f(x₁) ≠ f(x₂).

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MATEMÁTICA

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Exemplos: D_f = IR D_g = ] -1 , 1 [ D_h = ] 0 , + [ D ‘_f = { 3 } D’ _g = { 2 } D’_h = { 1 } x -2 -1 0 1 2 x 0 1 2 3 x f 0 1 2 3 g h

MATEMÁTICA

FUNÇÃO MONÓTONA

Uma função diz-se monótona num determinado intervalo contido no seu

domínio, se é sempre crescente ou sempre decrescente ( em sentido lato ou

estrito) nesse intervalo.

Exemplo função crescente em sentido estrito:

Uma função f é crescente (em sentido estrito) num intervalo do seu

domínio quando, quaisquer que sejam os elementos a e b desse intervalo, se a > b então f(a) > f(b).

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MATEMÁTICA

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Exemplo função crescente em sentido lato:

Uma função f é crescente (em sentido lato) num intervalo do seu domínio quando, quaisquer que sejam os elementos a e b desse intervalo, se a > b então

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MATEMÁTICA

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Exemplo função decrescente em sentido estrito:

Uma função f é decrescente (em sentido estrito) num intervalo do seu domínio quando, quaisquer que sejam os elementos a e b desse intervalo , se a > b então

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Exemplo função decrescente em sentido lato:

Uma função f é decrescente (em sentido lato) num intervalo do seu domínio quando, quaisquer que sejam os elementos a e b desse intervalo, se a > b então

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MATEMÁTICA

Uma função f é constante num intervalo do seu domínio quando, qualquer que seja o elemento a desse intervalo se tem f(a) = c em que c é um número real.

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INTERVALOS DE MONOTONIA

Intervalos de monotonia são os maiores intervalos em que é possível dividir o

domínio de modo que, em cada um deles, a função seja crescente, seja decrescente ou seja constante.

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MATEMÁTICA

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MATEMÁTICA

• Diz-se que uma função f tem um mínimo relativo para x=a, se f(a) é o menor valor que a função toma numa vizinhança de a.

f(a) – mínimo relativo. a – minimizante.

• Diz-se que uma funçao f tem um máximo relativo para x=b, se f(b) é o maior valor que que a função toma numa vizinhança de b.

f(b) – máximo relativo. b – maximizante.

Aos máximos e mínimos relativos de uma função chamam-se extremos

relativos da função. Extremos

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O máximo absoluto de uma função, se existir, é o maior dos máximos relativos da função, e consequentemente, é o maior valor do contradomínio.

O mínimo absoluto de uma função, se existir, é o menor dos mínimos relativos da função, e consequentemente, é o menor valor do contradomínio.

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Paridade de uma função

Uma função f diz-se par se e só se f(-x) = f(x), ∀ x ∈ Df .

(Dois quaisquer objectos simétricos têm a mesma imagem).

Graficamente, vê-se que uma função é par se o seu gráfico for simétrico em relação ao eixo das ordenadas.

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MATEMÁTICA

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Paridade de uma função

Uma função f diz-se ímpar se e só se f(-x) = -f(x), ∀ x ∈ Df .

(Dois quaisquer objectos simétricos têm imagens simétricas).

Graficamente, vê-se que uma função é ímpar se o seu gráfico for simétrico em relação à origem do referencial.

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MATEMÁTICA

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MATEMÁTICA

FUNÇÃO AFIM

Chama-se função polinomial do 1º grau, ou função afim, a qualquer função

f de IR em IR dada por uma lei da forma f(x) = ax + b, onde a e b são números

reais dados e a 0.

Na função f(x) = ax + b, o número a é chamado de coeficiente de x e o número

b é chamado termo constante. Exemplos :

f(x) = 5x - 3, onde a = 5 e b = - 3 f(x) = -2x - 7, onde a = -2 e b = - 7 f(x) = 11x, onde a = 11 e b = 0

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Gráfico

O gráfico de uma função polinomial do 1º grau, y = ax + b, com a 0, é uma

reta oblíqua aos eixos Ox e Oy.

Exemplo:

Vamos construir o gráfico da função y = 3x - 1:

Como o gráfico é uma reta, basta obter dois dos seus pontos e ligá-los com o auxílio de uma régua:

a) Para x = 0, temos y = 3 x 0 - 1 = -1;; portanto, um ponto é (0, -1).

b) Para y = 0, temos 0 = 3x - 1;; portanto, e outro ponto é

.

Marcamos os pontos (0, -1) e no plano cartesiano e ligamos os dois com uma

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Se a > 0, a função é crescente Se a < 0 , a função é decrescente Se a = 0 , a função é constante

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FUNÇÃO MÓDULO

O conceito de módulo de um número real está associado à ideia de distância de um ponto da reta à origem.

Como existe uma correspondência biunívoca entre os pontos da reta e os números reais, pensar na distância de um ponto à origem ou pensar no módulo

de um número é exatamente a mesma coisa.

Assim,

pois o número 5 está a uma distância de 5 unidades da origem, e -5 também está a 5 unidades da origem.

De modo geral podemos dizer que: •Se a>0,

•Se a<0, •Se a=0,

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Definimos então uma função que, a cada número real x associa o módulo de

x, ou seja, a distância de x à origem. Temos assim:

O gráfico dessa função tem o seguinte aspeto:

pois, para os valores positivos ou zero da variável independente x, o valor da variável dependente y é o mesmo que x, pois y=x;; para valores negativos de x o valor de y é -x , pois y=−x. Dessa forma, o gráfico é constituído de duas

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FUNÇÃO QUADRÁTICA

Chama-se função quadrática, ou função polinomial do 2º grau, qualquer função f de IR em IR dada por uma lei da forma f(x) = ax2_{+ bx + c, onde a, b e c são}

números reais e a 0.

Exemplos de função quadráticas:

1. f(x) = 3x2 _{- 4x + 1, onde a = 3, b = - 4 e c = 1}

2. f(x) = x2 _{-1, onde a = 1, b = 0 e c = -1}

3. f(x) = 2x2 _{+ 3x + 5, onde a = 2, b = 3 e c = 5}

4. f(x) = - x2 _{+ 8x, onde a = -1, b = 8 e c = 0}

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MATEMÁTICA

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Gráfico

O gráfico de uma função polinomial do 2º grau, y = ax2 _{+ bx + c, com a} _{0, é}

uma curva chamada parábola.

Exemplo:

Vamos construir o gráfico da função y = x2 _{+ x:}

Primeiro atribuímos a x alguns valores, depois calculamos o valor correspondente de y e, em seguida, ligamos os pontos assim obtidos.

x y -3 6 -2 2 -1 0 0 0 1 2 2 6

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Nota:

Ao construir o gráfico de uma função quadrática y = ax2 _{+ bx + c, notaremos}

sempre que:

se a > 0, a parábola tem a concavidade voltada para cima;; se a < 0, a parábola tem a concavidade voltada para baixo;;

Zero e Equação do 2º Grau:

Chama-se zeros ou raízes da função polinomial do 2º grau f(x) = ax2 _{+ bx + c ,}

a 0, os números reais x tais que f(x) = 0.

Então as raízes da função f(x) = ax2 _{+ bx + c são as soluções da equação do}

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Temos:

Nota:

A quantidade de raízes reais de uma função quadrática depende do valor obtido para o radicando, chamado binómio discriminante, a saber:

•Quando > 0, há duas raízes reais e distintas-(a equação tem duas

soluções).

•Quando = 0, há só uma raiz real- (a equação tem uma única solução). •Quando < 0, não há raiz real- (equação impossível)

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Δ A parábola no plano _cartesiano

a>0 concavidade

para cima

a<0 concavidade (boca) para baixo

Δ > 0 _{abcissas em 2 pontos}Corta o eixo das

Δ = 0 Toca em 1 ponto do _{eixo abcissas}

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MATEMÁTICA

Recordar: Radiciação Potenciação Logaritmação Dados

Pedido – base (raiz) Dados

Pedido – potência

Dados

Pedido- expoente (logaritmo)

Expoente (índice) Potência (radicando) Base Expoente Base Potência (número)

n

b

a =

n = log

_b

a

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MATEMÁTICA

FUNÇÃO EXPONENCIAL

Uma função f definida por f(x) = bx _, _b _{> 0 e b ≠ 1 é uma função}

exponencial.

São exemplos de funções exponenciais:

f(x) = 2x _{f(x) = 3}x _{f(x) = 5}x

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• Gráfico de função exponencial

A construção de gráficos de função exponencial segue dois modelos, quando o valor da base é maior que 1 e quando o valor da base está entre 0 e 1. Veja esses modelos esboçados:

Dada a função f(x) = ax_{, veja como ficarão os gráficos dependendo do valor de a}

(base).

Esse gráfico representa uma função

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• Imagem e domínio: x1 e x2 são os valores do domínio dessa função e os valores de y1 e y2 são os valores da imagem dessa função, sendo que a imagem será sempre (quando o valor da base é maior que 1) um valor real positivo diferente de zero.

• Esse gráfico representa uma função

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• Imagem e domínio: x₁ e x₂ são os valores do domínio dessa função e os valores de y₁ e y₂ são os valores da imagem dessa função, sendo que a imagem será sempre (quando o valor da base é maior que 1) um valor real positivo diferente de zero.

Os dois tipos de gráficos possuem características semelhantes, essas são características para qualquer gráfico de função exponencial. • O gráfico (curva) nunca irá intercetar o eixo x, pois a função exponencial não possui raiz.

• O gráfico (curva) irá cortar apenas o eixo y e sempre será no ponto 1, sendo que os valores de y sempre serão positivos.

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FUNÇÃO EXPONENCIAL DE BASE e

Considere a função f definida por f(n) = (1 + 1/n)n _{com n ∈ IN .}

Verificamos que, à medida que n aumenta indefinidamente, as suas imagens vão estabilizando num certo valor : 2,718 28...

Este valor que se representa pela letra e, é uma das constantes mais importantesda matemática. n _f(n) 1 f(1) = ( 1 + 1/1)1 = 2 10 f(10) = ( 1 + 1/10)10_{= 2,593 743} 102 f(102_{) = ( 1 + 1/10}2₎100_{= 2,704 814} 104 f(104_{) = 2,718 145 927} 106 f(106_{) = 2,718 280 469} 108 f(108_{) = 2,718 281 815}

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MATEMÁTICA

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MATEMÁTICA

Diz-se que o limite da função f, quando n tende para mais infinito, é o número e e escreve-se:

lim ( 1 + 1/n)n _{= e}

n→+∞

O número e que se designa por constante de Euler ou por número de Neper, é um número irracional (corresponde a uma dízima infinita não periódica.

e = 2,728 281 828 459 045 ...

Tem particular importância na modelação matemática a função exponencial de

base e. Esta função, definida por f(x) = ex _{, tem as propriedades já indicadas}

para as funções do tipo y = ax _{, com a} _{> 1.}

f : IR e x

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MATEMÁTICA

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MATEMÁTICA

LOGARITMOS

Logaritmo de um número x numa base b é o expoente y a que é necessário

elevar b para obter x ( b > 0 e b ≠ 1).

b

y

_{= x ⇔ y = log}

b

x

Exemplo:

Resolver a equação:

2x _{= 3}

• x é o número a que é necessário elevar 2 para obter 3 e designa-se por

logaritmo de 3 na base 2.

2

x

_{= 3 ⇔ x = log}

2

3

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Assim, temos:

log₁₀100 = 2 , porque 102_{= 100} _ou _log

10100 = log10102 = 2

log₂32 = 5 , porque 25 _{= 32} _ou _log

232 = log225= 5

log₁₇17 = 1 , porque 171_{= 17} _ou _log

1717 = log17171 = 1

log₅1 = 0 , porque 50 _{= 1} _ou _log

51 =log550 = 0

log₉3 = ½ , porque 91/2_{= 3} _ou _log

93 = log9 = log991/2 = ½

Donde, tendo em conta a definição, temos que:

log_bbx _{= x} _blog

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LOGARITMO DE BASE 10 E LOGARITMO DE BASE e

•No cálculo de logaritmos de base 10 (logaritmo decimal) a base pode ser suprimida.

•No cálculo de logaritmos de base e (logaritmo neperiano ou logaritmo

natural) a escrita a usar pode ser lnx em vez de log_ex.

Para calcular o logaritmo de um número na base 10 ou na base e, é possível usar directamente a calculadora.

Exemplos:

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MATEMÁTICA

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MATEMÁTICA

MUDANÇA DE BASE :

log

_a

x

₌

log

_b

x

₌

lnx_

₌

logx

log

_b

a lna loga

(x ∈ IR

+

_{;; a , b ∈ IR}

+

_{\ {1})}

Exemplo :

Determine log₃ 7 com aprox. de 6 decimais.

Resolução:

Sabemos antecipadamente que a resposta será um número entre 1 e 2,

pois 31_{= 3 e 3}2_{= 9 , e o 7 está entre 3 e 9.}

Vamos, então, mudar a base dos logaritmos para 10.

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PROPRIEDADES DOS LOGARITMOS log_b (x _{x y ) = log}_bx + log_by log_b(x/y) = log_bx – log_by

log_bxp _{= p log} bx

Caso particular:

log_{b =} 1 log_bx n

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MATEMÁTICA

BIBLIOGRAFIA

-Matemática – Módulos A2 e A9 – Autores: Maria Augusta Neves, Albino

Pereira,António Leite, Luís Guerreiro, M. Carlos Silva – Editora : Porto Editora. -Matemática 1 – Módulos A – 1 2 3 – Autores: Dolores Silva Ferreira, António Mota Ferreira, Paula Cristina David Carvalho, José Carlos Carvalho – Editora: Areal Editores.