O livro didático e o manual do professor: implicações para a melhoria do ensino e aprendizagem de Matemática
José Roberto Costa1
jrc@unicentro.br
Doroteya Gavanski2
doroteyagavanski@yahoo.com.br
Resumo: Este artigo destaca os resultados iniciais de um projeto de extensão desenvolvido na
Universidade Estadual do Centro-Oeste, oriundos de um trabalho final de dissertação de mestrado. O projeto, com objetivo de contribuir com a formação continuada de professores de Matemática, embora ainda em fase inicial, propõe a abordagem aprofundada de conteúdos de Matemática, particularmente os trabalhados nos anos finais do ensino fundamental. Para o minicurso do X EPREM é aprofundado o mesmo conteúdo estudado no primeiro dos oito minicursos previsto no projeto: o Teorema de Pitágoras. Os principais resultados da dissertação de mestrado são apresentados, bem como as ideias centrais abordadas com o Teorema de Pitágoras, como as sugestões metodológicas do manual do professor e de outras fontes para o trato dos conteúdos matemáticos, em particular deste, enfatizando demonstrações, particularidades e detalhes históricos, como a história do último Teorema de Fermat.
Palavras-chave: Educação Matemática. Livro Didático. Manual do Professor.
Introdução
Os resultados finais da dissertação de mestrado A importância do manual do professor na transposição didática da Matemática, do Programa de Pós-Graduação em Educação para a Ciência e o Ensino de Matemática, da Universidade Estadual de Maringá, culminaram com o surgimento do projeto de extensão Matemática sem segredos: contribuições para a formação continuada de professores de Matemática dos anos finais do ensino fundamental. O projeto ainda está em fase inicial, porém, de sua proposta de abordagem aprofundada de alguns conteúdos de Matemática trabalhados nos anos finais do ensino fundamental, um conteúdo já foi trabalhado, em encontro realizado com professores de Matemática da região de Guarapuava.
1 Professor do Departamento de Matemática da Universidade Estadual do Centro-Oeste (UNICENTRO). 2 Professora do Departamento de Matemática da Universidade Estadual do Centro-Oeste (UNICENTRO).
O objetivo geral do projeto é contribuir com a formação continuada de professores de Matemática do ensino fundamental, possibilitando um maior contato entre estes professores e as sugestões metodológicas inovadoras decorrentes dos estudos em Educação Matemática, muitas delas presentes nos atuais manuais pedagógicos. Quanto aos objetivos específicos, pretende-se: i) abordar e aprofundar o estudo de diversos conteúdos de Matemática dos anos finais do ensino fundamental, com os professores de Matemática, mediados pela utilização das muitas sugestões metodológicas inovadoras contidas no manual do professor; ii) debater com os professores de Matemática da educação básica, particularmente os do ensino fundamental, acerca das diversas particularidades que envolvem os vários conteúdos trabalhados em sala de aula, visando o aprofundamento das questões relativas a estes mesmos conteúdos.
O projeto prevê um total de oito encontros com professores de Matemática, tendo ocorrido o primeiro encontro em junho de 2009, com a abordagem aprofundada do Teorema de Pitágoras e suas muitas particularidades, curiosidades e demonstrações.
O minicurso preparado para o X EPREM tem o intuito de expor algumas das ideias relacionadas com o surgimento do projeto de extensão e do primeiro encontro com os professores de Matemática.
Os principais resultados da dissertação de mestrado
O estudo emergiu frente à preocupação, compartilhada por muitos outros estudiosos, com as inúmeras questões que envolvem a problemática do ensino e aprendizagem de Matemática nas escolas de todo o mundo, particularmente no Brasil.
Atualmente, pelo menos em nível teórico, devido ao grande número de estudos da Educação Matemática e aos avanços da Didática da Matemática como área do saber, várias melhorias ocorreram, porém, muito ainda se tem por fazer.
A ação do professor em sala de aula permeia diversos aspectos que extrapolam a questão dos conhecimentos específicos, aspectos estes que somente as disciplinas de caráter didático-pedagógico possibilitam as ações de enfrentamento necessárias.
O principal apoio que o professor possui é o livro didático e o manual do professor, posto à sua disposição pelo autor do livro, com a intenção de não apenas explicitar a proposta
pedagógica contida no livro do aluno, mas, também, colaborar com a preparação de uma boa aula.
Ao se abordar a problemática do manual do professor, faz-se também o tratamento do livro didático e, por sua vez, é impossível falar deste material de maneira desvinculada da questão do ensino e da Educação Matemática (COSTA, 2008). Ao estudar a evolução do manual do professor, se fez necessário o levantamento de alguns aspectos históricos acerca do ensino de Matemática e do livro didático, relacionados a seguir.
Nenhum livro didático de Matemática havia sido escrito no Brasil até 1744. Os primeiros livros didáticos escritos no Brasil foram os de José Fernandes Pinto Alpoim (1700-1765), um militar português e professor de Matemática. Somente em 1830, aproximadamente, é que surgiriam os primeiros livros didáticos nacionais, escritos para as escolas. Dentre os precursores, destacou-se Cristiano Benedito Ottoni (1811-1896).
Com o grande aumento de edições de livros didáticos de Matemática e o crescimento acelerado nas vendas, e seguindo o exemplo dos livros de Ottoni, diversos professores se tornariam os autores de novos livros didáticos: Timotheo Pereira, João Antonio Coqueiro, José Adelino Serrasqueiro, João José Luiz Vianna, Aarão e Lucano Reis, Antonio Trajano, Jacomo Stávale, dentre outros.
Ao fim do século XIX surgiu no Brasil os livros identificados pela sigla FIC (Frères de l'Instruction Chrétienne), introduzidos pelo professor Eugênio de Barros Raja Gabaglia. Os livros da Editora FTD (Frère Théophane Durand) surgiram em 1902, no Rio de Janeiro, com o intuito de suprir a demanda de livros europeus para os recém-criados colégios católicos no Brasil. A grande coleção de didáticos da FTD incluía todas as disciplinas escolares, com destaque para os de Matemática, com diversas inovações: abundância de exercícios; graduação dos exercícios; e o principal, um guia para o professor. A introdução do manual do professor no ensino de Matemática no Brasil, no entanto, foi devida a Antonio Trajano. Nas coleções da FTD, a introdução sistemática do manual só ocorreu a partir de 1909 (VALENTE, 1999).
Graças ao momento oportuno que propiciava a renovação do ensino, o professor Euclides de Medeiros Guimarães Roxo (1890-1950) introduziu no ensino secundário do Colégio Pedro II ideias de modernização dos processos educativos em Matemática, propondo uma mudança radical para o ensino da Matemática, com a reunião de seus vários ramos. A implantação oficial só ocorreu com o decreto de 15 de janeiro de 1929 (VALENTE, 2004).
Com a Reforma Campos, consolidada por decreto, em 4 de abril de 1932, ocorreu a primeira tentativa de estruturação de todo o curso secundário nacional. Na parte relativa ao ensino de Matemática, todas as ideias modernizadoras do Colégio Pedro II foram acatadas. A implantação definitiva da nova disciplina encontraria muitas dificuldades para ser estabelecida. Dentre os professores que a rejeitaram, tem-se: Manuel Ávila Goulart, Miguel Ramalho Novo, Sebastião Fontes, Arlindo Vieira e Joaquim Ignácio de Almeida Lisboa (MIORIM, 1998).
Em função da dificuldade dos professores em ministrarem a nova Matemática, houve um grande aumento na produção de livros didáticos, razão pela qual passou a receber atenção especial por parte do governo brasileiro (VALENTE, 2004).
Como a qualidade dos livros didáticos está aquém do desejável, o Governo Federal, desde 1990, periodicamente realiza programas nacionais de avaliação das coleções didáticas para o ensino fundamental. A preocupação com a melhoria da qualidade do livro didático, em termos mais amplos, foi iniciada a partir de 1994 (LEÃO E MEGID NETO, 2006).
A primeira avaliação de livros didáticos foi feita em 1996, com a análise dos livros de Português, Matemática, Ciências e Estudos Sociais, de 1ª a 4ª séries do ensino fundamental. As avaliações de coleções didáticas para o ensino fundamental pelo PNLD foram ampliadas também para livros de 5ª a 8ª séries, a partir de 1999. Os resultados dessas avaliações constituem os Guias de Livros Didáticos, publicados pelo Ministério da Educação e disponibilizados para as escolas públicas de todo país.
As orientações metodológicas constantes nestes manuais, não estão, todavia, isentas de equívocos e, da mesma forma que o livro do aluno, o manual do professor também merece análise apurada.
Para a comprovação da evolução ocorrida com o manual do professor, foram estudados alguns manuais da década de 1970 até os dias atuais. Esta evolução foi constatada com uma simples exemplificação dos manuais estudados, particularmente em relação ao seu conteúdo. De simples livros com respostas a textos com farto material didático-metodológico, os manuais percorreram uma longa trajetória, que pode ser observada, de maneira ampla, nos critérios de avaliação estabelecidos pelo PNLD.
Para melhor visualização da exemplificação construída para observar a trajetória do manual do professor, as informações coletadas foram reunidas em uma tabela:
Obras analisadas Década Critérios 1 2 3 4 5 6 7 1 Sem data X X X 2 Sem data X 3 Sem data X X 4 e 5 Setenta X 6 Setenta X X X 7 Oitenta X X X 8 Oitenta X 9 e 10 Oitenta X X 11, 13 e 15 Noventa X X 12 Noventa X X X 14 e 17 Noventa X X X 16, 18 e 19 Noventa X X X X X 20 Noventa X X X X 21, 24 e 28 2000 a 2007 X X X X 22, 25, 26 e 27 2000 a 2007 X X X X X 23 2000 a 2007 X
Pode-se observar no quadro, que as obras 1 a 15 e 17 atendem, no máximo, a três critérios, com destaque para os critérios 1 (objetivos norteadores) e 5 (chave de respostas). As obras 16 e 18 a 27, com exceção da obra 23, atendem, no mínimo, a quatro critérios, a saber: 4 (informações para aprofundamento no assunto), 5 (chave de respostas), 6 (informações para avaliação) e 7 (bibliografia complementar). A obra 23 é exceção dentre as obras atuais, atendendo apenas ao critério 5 (chave de respostas), mostrando-se um livro totalmente desatualizado em relação às novas propostas. É importante ressaltar que nenhuma das obras contemplou os critérios 2 (tipo de clientela) e 3 (orientação para diagnóstico dos alunos).
Verificou-se que os atuais manuais estão bem mais completos, o que evidencia um avanço em relação aos de décadas passadas, que só traziam de diferente do livro do aluno as
respostas dos exercícios. Porém, será que esses avanços contribuíram efetivamente com o fazer pedagógico do professor e se traduziram em melhorias também no que se refere à aprendizagem dos alunos? As recentes avaliações institucionais acerca do ensino de Matemática indicam que isto não aconteceu, razão pela qual, se investigou também se o professor realmente faz uso desse recurso que vem se aprimorando ao longo dos tempos e que está ao seu alcance. Esta investigação ocorreu com entrevistas feitas com dez professores de Matemática, cinco deles com pouco tempo de sala de aula, e outros cinco com mais de quinze anos de atividade, todos vinculados ao Núcleo Regional de Educação de Maringá.
A análise das respostas das entrevistas dos professores de Matemática evidenciou um uso extremamente limitado do manual do professor. As inovações metodológicas parecem não ter chegado até o cotidiano escolar, o que pode ser explicado, de certo modo, pelas aulas tradicionais, que enfatizam o quadro e giz, com pouca participação dos alunos, ainda arraigados na prática de copiar da lousa tudo o que o professor escreve.
Enquanto os professores mais experientes não fazem uso do manual, por não considerá-lo assim tão necessário, os que possuem menor tempo de sala de aula não o utilizam porque desconhecem seu conteúdo rico de inovações metodológicas. Para os mais experientes, o manual é importante para auxiliar os docentes que estão iniciando na carreira. Se utilizado, normalmente isto é feito em função da elaboração de listas de exercícios, obtenção de respostas de exercícios ou dos objetivos para o planejamento.
O primeiro encontro com os professores de Matemática
O assunto abordado no primeiro encontro com os professores de Matemática foi o Teorema de Pitágoras, em que se procurou aprofundar seu estudo com questões intrigantes, curiosidades, demonstrações algébricas e geométricas, problemas interessantes e detalhes históricos.
Iniciou-se o encontro com uma citação de D`Ambrósio (2001): “O grande desafio que nós, educadores matemáticos, encontramos, é tornar a matemática interessante, isto é, atrativa; relevante, isto é, útil; e atual, isto é, integrada no mundo de hoje”. O objetivo foi chamar a atenção dos professores para este grande desafio que é imposto a cada um de nós todos os dias. A atividade seguinte estava relacionada com paródia matemática, e todos os professores
foram convidados a cantar junto. Um clipe matemático sobre o Teorema de Pitágoras foi apresentado também.
As ideias centrais para o trabalho com o Teorema de Pitágoras foram retiradas do manual do professor Matemática hoje é feita assim (BIGODE, 2006) e Matemática: fazendo a diferença (BONJORNO e AIRTON, 2006), da monografia de especialização Estudo do ensino e aprendizagem do Teorema de Pitágoras: histórico, demonstrações e particularidades (COSTA, 2001) e também de diversos livros que tratam de questões lúdicas sobre a Matemática, como Souza (2006), Niederauer e Aguiar (2007) e Sá (2007).
O que os manuais sugerem para o trato do Teorema de Pitágoras?
Dos manuais estudados, pode-se constatar que estes abordam: História da matemática; atividades diversas; resolução de problemas; demonstrações; exercícios interessantes; questões de aprofundamento e aplicações diversas.
Dentre as questões de aprofundamento sobre o Teorema de Pitágoras, tem-se: ternas pitagóricas; generalização do Teorema de Pitágoras para o caso das figuras construídas sobre os lados do triângulo retângulo, mantendo a relação pitagórica.
Dentre as aplicações do Teorema de Pitágoras, tem-se: cálculo da diagonal do quadrado; cálculo da altura do triângulo equilátero; cálculo do apótema; cálculo de diagonais de retângulos; cálculo da distância entre dois pontos; construção da espiral pitagórica.
Abordou-se várias questões relativas à figura de Pitágoras, figura esta permeada de lendas e mistérios, o que em parte é devido à perda de documentos daquela época. Outra dificuldade provém do fato da comunidade formada por ele ser secreta. Conhecimento e propriedade eram comuns, portanto, ao invés de se falar em obras de Pitágoras, é comum atribuí-las aos pitagóricos, embora na antiguidade fosse comum dar todo o crédito ao mestre.
Acredita-se que Pitágoras tenha nascido em Samos, ilha do Mar Egeu, ao sul da Itália, no século VI a.C.. Aos 16 anos teria ido estudar em Mileto com o maior sábio da época, Tales, pois seu professor não conseguia responder às suas inquietações.
Pitágoras viajou por diversos lugares, como Egito, Babilônia, Índia, absorvendo diversos conhecimentos matemáticos e astronômicos. Após 20 anos, retornou a Samos, e encontrou seu lar transformado numa sociedade intolerante e conservadora, sob o governo do tirano Polícrates.
Pitágoras deixou a cidade e se estabeleceu em Crotona, ao sul da Itália. Neste novo lar, fundou a Escola Pitagórica, uma comunidade politicamente conservadora e com código de conduta muito rígido, a ponto de impor aos seguidores o vegetarianismo. Dentre os tabus da escola pitagórica havia o de comer feijões ou lentilhas.
A escola pitagórica ensinava aritmética, geometria, música, astronomia, religião e moral. Todos os membros da escola eram forçados a jurar que jamais revelariam suas descobertas matemáticas ao mundo. Para Pitágoras, a beleza da Matemática estava implícita na ideia dos números racionais explicarem todos os fenômenos naturais. Esta filosofia cegou Pitágoras para a existência dos números irracionais. Há uma história que narra a trajetória de Hipaso, um membro da escola pitagórica, e este, brincando com o número cujo quadrado é dois, na tentativa de encontrar fração equivalente, percebeu que tal fração não existia. Hipaso deve ter ficado muito entusiasmado com sua descoberta, porém, seu mestre não gostou nem um pouco disso, pois a existência de números irracionais ameaçava o ideal de Pitágoras. O mestre não admitiu estar errado e sentenciou Hipaso à morte por afogamento.
Os pitagóricos levaram a extremo sua adoração pelos números, baseando neles sua filosofia e modo de vida. Cada número tinha seus atributos peculiares. Uma regra para tríadas pitagóricas foi atribuída a eles, bem como a definição de números perfeitos e amigáveis.
Segundo Singh (1997), as definições de números perfeitos têm sido atribuídas aos pitagóricos. Dentre estes números estão o número 6 e o número 28, pois a soma de seus divisores é exatamente igual a ele mesmo. À medida que os números inteiros se tornam maiores, a tarefa de encontrá-los se torna também maior. O terceiro número perfeito é 496, o quarto é 8.128, o quinto é 33.550.336 e o sexto é 8.589.869.056. Pitágoras percebeu ainda outra propriedade elegante dos números perfeitos, a de que cada um deles é a soma de uma série de números inteiros. Assim temos:
6 = 1 + 2 + 3
28 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7
496 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + ... + 30 + 31 8.128 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + ...+ 126 + 127
Pitágoras também descobriu que a perfeição de um número estava intimamente ligada ao número 2. Dois séculos depois, Euclides aperfeiçoaria a ligação encontrada por Pitágoras,
descobrindo que os números perfeitos são sempre múltiplos de dois números, um dos quais é uma potência de 2 e o outro é a potência seguinte de dois menos um. Ou seja:
6 = 21 x (22 – 1) 28 = 22 x (23 – 1)
496 = 24 x (25 – 1)
8.128 = 26 x (27 – 1)
Hoje em dia os computadores permitem continuar a busca pelos números perfeitos e
encontraram exemplos gigantescos como 2216 090 x (2216 091 – 1), um número de mais de
130.000 algarismos.
Quanto aos números amigáveis, a definição é a seguinte: Dois números inteiros m e n se dizem amigáveis se m é a soma dos divisores próprios de n e n é a soma dos divisores próprios de m. Exemplos: 220 e 284; 1184 e 1210; e 17296 e 18416.
O Teorema de Pitágoras era usado muitos séculos antes por babilônios, egípcios e chineses. Talvez a justificativa para assim chamá-lo tenha relação com o fato de terem sido os pitagóricos os primeiros a darem uma demonstração formal dele.
O Teorema de Pitágoras diz que em qualquer triângulo retângulo o quadrado da medida da hipotenusa é igual à soma dos quadrados das medidas dos catetos, ou seja, se a
hipotenusa tem medida a, e os catetos possuem medidas b e c, então a2 = b2 + c2.
Várias demonstrações foram trabalhadas com os professores, algumas delas com maior ênfase na geometria, possibilitando a visualização da relação pitagórica por meio da construção dos quadrados justapostos aos lados do triângulo retângulo.
Demonstração 2:
Nesta demonstração visual é possível perceber que os quadrados construídos sobre os catetos são divididos em cinco figuras que recobrem com perfeição o quadrado construído sobre a hipotenusa.
Demonstração 2 Demonstração 3
Demonstração 3:
Também é uma demonstração visual. O cateto maior é dividido em quatro partes exatamente iguais, que juntamente com o cateto menor recobrem o quadrado maior construído sobre a hipotenusa. É uma demonstração, que do mesmo modo como a anterior, funciona como um quebra-cabeça.
Demonstração 4:
AT = AT1 + AT2 + AT3 2 2 2 2 ) ).( (b+c b+c =bc+ aa+bc 2 2 2 2 2 bc cb c bc a bc b + + + = + + ++ Portanto: a2 =b2 +c2
Particularidades do Teorema de Pitágoras
1) A relação geométrica do Teorema de Pitágoras com os quadrados construídos sobre a hipotenusa e sobre os catetos de um triângulo retângulo.
Será que outras figuras podem ser construídas sobre os lados do triângulo retângulo de forma que a figura construída sobre a hipotenusa tem mesma área que a soma das áreas das figuras construídas sobre os catetos?
A resposta é afirmativa para diversos casos. Vejamos alguns deles:
Caso 1: A figura construída sobre os lados do triângulo retângulo é um hexágono regular.
Caso 2: A figura construída sobre os lados do triângulo retângulo é um polígono regular de n lados.
Caso 3: A figura construída sobre os lados do triângulo retângulo é uma semicircunferência.
Caso 4: A figura construída sobre os lados do triângulo retângulo é qualquer, desde que sejam semelhantes.
Segundo Kaleff (1997), há poucos anos foi demonstrada pelo matemático húngaro George Polya, a generalização do teorema de Pitágoras sobre as figuras que podem ser justapostas aos lados de um triângulo retângulo, sob forma de um teorema, enunciado a seguir:
Se F, F1 e F2 são figuras semelhantes, construídas respectivamente sobre a hipotenusa
e sobre os catetos de um triângulo retângulo, então a área de F é igual à soma das áreas de F1 e
F2.
Caso 4
Caso 4 2) As tríadas pitagóricas
Existem infinitas ternas de números que satisfazem o Teorema de Pitágoras, e infinitas destas infinitas ternas são exclusivamente ternas inteiras, ou seja, os três números são naturais. A tríada pitagórica mais conhecida é aquela formada pelos números (3, 4, 5). Outros exemplos são: (5, 12, 13), (8, 15, 17) e (24, 143, 145). Para a geração das ternas existem regras conhecidas. Vejamos abaixo uma dessas regras:
a = m² + n²; b = m² – n²; c = 2mn com m, n Є N; m > n ≥ 1
Qual a relação do último teorema de Fermat com o teorema de Pitágoras?
Este questionamento foi feito aos participantes do primeiro encontro com os professores de Matemática, e foi elucidado com um breve histórico acerca da história que envolve Fermat e seu enigmático desafio que assombrou gerações de matemáticos por séculos.
Pierre de Fermat nasceu no dia 20 de agosto de 1601, em Beaumont-de-Lomagne, no sudoeste da França. Fermat foi um estudioso amador da Matemática e, juntamente com Descartes, um dos criadores da Geometria Analítica.
Fermat encontrou no livro Aritmética inspiração para aprofundar ainda mais seu conhecimento sobre números. Este livro continha mais de cem problemas com suas respectivas soluções, porém, não era por isso que Fermat mais se interessava, mas sim, pela
elaboração de novos problemas, verdadeiros desafios para o resto do mundo.
Fermat era encantado com os trios pitagóricos e com a quantidade e variedade deles. Brincando com a equação pitagórica, Fermat vislumbrou algo inédito, que escapara à atenção dos gregos. Num instante de genialidade criou a equação que o imortalizaria mais tarde como o príncipe dos amadores (SINGH, 1997).
Sua criação é muito semelhante com o Teorema de Pitágoras, mas esta, por sua vez, não apresenta solução inteira. A contemplação de Fermat estava voltada para uma variante da equação de Pitágoras:
xn + yn= zn
Fermat afirmou categoricamente que para nenhum valor de n inteiro e maior que dois existe solução inteira para esta equação.
A afirmação de Fermat se somou a outra ainda mais extraordinária, que iria assombrar gerações de matemáticos por séculos: “Eu tenho uma demonstração realmente maravilhosa para esta proposição, mas esta margem é demasiado estreita para contê-la”.
Pierre de Fermat
Fermat não fazia questão de publicar seus resultados. Com sua morte, em 9 de janeiro de 1665, suas descobertas correram o risco de se perderem para sempre. Felizmente, seu filho mais velho, percebendo a importância do hobby do pai, juntou cartas e anotações, durante 5 anos, para publicar, em 1670, em Toulouse, a obra Aritmética de Diofante contendo observações de P. de Fermat.
Na obra havia vislumbres torturantes de lógica que deixaram os matemáticos na certeza de que Fermat tivera as demonstrações. A tarefa de recriá-las fora deixada como um desafio para eles. Enquanto não fossem provadas, seriam apenas conjecturas. À medida que os séculos passavam, as observações eram demonstradas.
Uma, porém, resistiria bravamente. Se ele é conhecido como o último teorema de Fermat, isto se deve ao fato de ter sido realmente o último a ser provado.
Dentre os grandes matemáticos que tentaram demonstrar a conjectura de Fermat, tem-se: Euler (provou o caso para n = 3); Sophie Germain; Legendre e Dirichlet (provaram o caso para n = 5); Gabriel Lamé (provou o caso para n = 7) e Augustin Louis Cauchy.
Na década de 1980, Samuel Wagstaff, da Universidade de Ilinois, com o uso de computadores modernos (para a época), provou que o Teorema de Fermat é verdadeiro para todos os valores de n até 4.000.000. Este aparente sucesso de nada serve aos matemáticos, pois mesmo que supercomputadores provassem, durante décadas, um valor de n após outro, eles nunca poderiam provar todos os valores de n até o infinito.
Um bom exemplo que enfatiza o porquê dos matemáticos não se deixarem convencer por exemplos, mesmo que sejam muitos, é o caso da conjectura de Euler, que afirma não
existir solução inteira para a equação x4 + y4 + z4 = w4.
Durante 200 anos ninguém pôde provar esta conjectura, ou negá-la, com um contra-exemplo. Esta ausência de exemplo negativo era apontada como forte evidência a favor da conjectura. Porém, em 1988, Noam Elkies, da Universidade de Harvard, com o uso de computadores modernos (para sua época), conseguiu uma solução:
x = 2.682.440; y = 15.365.639; z = 18.796.760 e w = 20.615.673
Apesar de todas as evidências, a conjectura de Euler revelou-se falsa diante de um contra-exemplo impossível de ser descoberto sem o uso de um computador.
O matemático que decifraria o maior enigma matemático dos últimos três séculos e meio tinha a idade de 10 anos quando se deparou com ele pela primeira vez. Era 1963 e o inglês Andrew Wiles já era fascinado pela Matemática.
Andrew Wiles, nascido em 1954, na Inglaterra, estudou Matemática em Cambridge com um grande especialista em teoria de números, John Coates. Em 1975, Wiles começou sua carreira como estudante de pós-graduação. Estudou uma área da Matemática conhecida por Curvas Elípticas, que lhe daria mais tarde as técnicas necessárias para atacar a conjectura de Fermat.
Andrew Wiles
Foram necessários aproximadamente sete anos de incansável dedicação, isolamento, e muitos estudos, embasados nas contribuições de outros matemáticos, para que Andrew Wiles finalmente conseguisse apresentar, em 1993, uma demonstração para o problema de Fermat.
Em junho de 1993 foi realizada a mais importante conferência sobre Matemática do século XX. Cerca de 200 matemáticos estavam extasiados. Apenas um quarto da plateia compreendia a densa mistura de símbolos gregos e álgebra que cobria o quadro-negro. O restante apenas estava lá, pois sabia ser aquele um momento histórico.
Andrew Wiles proferiu três palestras, e na última, feita em 23 de junho, contou com a presença das pessoas que contribuíram com as ideias que embasaram a demonstração. Ao final, encerrou dizendo: “Acho que vou parar por aqui”. Depois disso houve um aplauso
contínuo.
Um pequeno erro numa parte crucial do trabalho fez com que Wiles revisasse sua demonstração. Com a ajuda do matemático Richard Taylor, em 25 de outubro de 1994, Andrew Wiles finalmente provou o Último Teorema de Fermat, em dois manuscritos, num total de 130 páginas.
Considerações finais
Ensinar Matemática é algo extremamente gratificante, e melhor ainda quando feito de modo a chamar a atenção dos alunos com recursos diversos e interessantes. É exatamente isto que este trabalho propõe. Embora ainda se encontre na fase inicial, já rendeu seus primeiros frutos. O primeiro minicurso realizado com professores, de um total de oito previstos, foi considerado positivo, pois propiciou um aprofundamento de questões importantes acerca do primeiro assunto estudado, no caso, o Teorema de Pitágoras. Mais importante que isso, foi chamar a atenção dos professores para a busca incessante de ideias e recursos para o trato dos conteúdos, seja ele qual for. Nos próximos minicursos do projeto, a ideia é continuar fazendo isto, o que não impede que o próprio professor aprofunde outros conteúdos de Matemática.
Neste minicurso para o X EPREM, em particular, procurou-se dar uma ideia geral do projeto, bem como das atividades realizadas com o Teorema de Pitágoras, enfatizando a busca por recursos didáticos e atividades a serem realizadas com os conteúdos matemáticos, sejam em livros, artigos, sites da internet ou no manual do professor, inovador e inteiramente ao alcance do professor, como ressaltado no trabalho dissertativo.
Referências
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FTD, 2006).
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histórico, demonstrações e particularidades. 2001. Monografia (Especialização em Educação Matemática) – Faculdade Estadual de Ciências e Letras de Campo Mourão, Campo Mourão, 2001.
COSTA, J. R. A importância do Manual do Professor na transposição didática
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Matemática) – Universidade Estadual de Maringá, Maringá, 2008.
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