IMECC/Unicamp
MA141 – Geometria Anal´ıtica e Vetores (turma P, 2s2018) Professor: Dr. Ricardo Miranda Martins
Lista 5: Gabaritinho (solu¸c˜ao de Q8 e Q9)
8. Considere as retas r, l dadas por r : x = 0, y = 2 + t, z = 1 + t e l : x − 2 = z + 1, y = 3. (a) Mostre que r, l s˜ao reversas.
(b) Encontre planos π, α tais que r ⊂ π, l ⊂ α e π, α s˜ao paralelos. (c) Encontre a distˆancia entre os planos π e α do item anterior.
(d) Encontre P ∈ r e Q ∈ l tais que a reta que passa por P e Q ´e perpendicular `as retas r e l.
Solution:
(a) Primeiro note que como as equa¸c˜oes param´etricas de r e l s˜ao r(t) = (0, 2, 1) + t(0, 1, 1) e l(t) = (2, 3, −1) + t(1, 0, 1), as retas n˜ao s˜ao paralelas. Vamos verificar se elas se interceptam.
A reta r est´a contida no plano x = 0, bem como a reta l est´a contida no plano y = 3. Desta forma, elas s´o podem se interceptar num ponto da forma (0, 3, k), com k ∈ R. O ´unico ponto desta forma que est´a na reta r ´e o ponto (0, 3, 2), obtido fazendo t = 1. J´a na reta l, o ´unico ponto desta forma ´e o (0, 3, −3), obtido fazendo t = −2 na equa¸c˜ao de l. Como os pontos s˜ao distintos, as retas n˜ao se interceptam, sendo portanto reversas.
(b) Procuramos dois planos π : ax + by + cd = d e α : ax + by + cz = ˜d (como eles s˜ao paralelos, os coeficientes de x, y, z podem ser tomados iguais, com distintos termos independentes d e ˜d).
Note que de fato d 6= ˜d, pois sabemos que as retas r, l n˜ao se interceptam (se d = ˜d, como as retas n˜ao s˜ao paralelas, elas deveriam se interceptar, pois ambas estariam no mesmo plano).
O vetor n = (a, b, c), normal aos planos π e α, ´e ortogonal aos vetores diretores das retas r e l, pois estas retas est˜ao contidas nos planos. Deste modo, uma possibilidade para n ´e tomar n = (0, 1, 1) × (1, 0, 1) = (1, 1, −1) = (a, b, c).
Para determinar os valores de d e ˜d, substitu´ımos um ponto que est´a em cada um dos planos, por exemplo (0, 2, 1) ∈ π e (2, 3, −1) ∈ α:
plano π: 0 · 1 + 2 · 1 + 1 · (−1) = d ⇒ d = 1 plano α: 2 · 1 + 3 · 1 + (−1) · (−1) = ˜d ⇒ ˜d = 6
Portanto os planos procurados s˜ao π : x + y − z = 1 e α : x + y − z = 6.
(c) Para calcular a distˆancia ∆ entre os planos, vamos tomar um ponto M qualquer no plano π e calcular a distˆancia de M at´e o plano α. Para fazer isto, escolhemos outro ponto N no plano α e calculamos o tamanho da proje¸c˜ao do vetor −−→N M no vetor n, ou seja,
∆ = ||projn−−→N M || = |h −−→ N M , ni| ||n|| . Tomando M = (5, 0, 4) e N = (9, 1, 4) obtemos ∆ = projn−−→N M = |h(−4, −1, 0), (1, 1, −1)i|√ 3 = 5 √ 3.
(d) Devemos determinar uma reta s, passando por pontos P ∈ r, Q ∈ l de modo que s seja perpendicular `as retas r e l. Isto significa que o vetor diretor da reta s precisar´a ser ortogonal aos vetores diretores das retas r, l, ou seja, o vetor diretor de s dever´a ser paralelo ao vetor n.
Uma forma de fazer isto ´e “subir” a reta l at´e o plano π, deslocando-a na dire¸c˜ao de n, at´e criar uma nova reta l0 ∈ π e encontrar o ponto O na interse¸c˜ao r ∩ l0. A reta que passa por O ∈ r ∩ l0 e tem vetor diretor n certamente encontrar´a a reta l ∈ α e ser´a a reta procurada. Vamos ent˜ao criar a reta l0.
Considere uma reta auxiliar l00 passando por (2, 3, −1) e com vetor diretor (1, 1, −1), ou seja,
l00(t) = (2, 3, −1) + t(1, 1, −1).
Esta reta intercepta o plano π no ponto tal que (2 +t)+ (3+t)−(−1−t) = 1 ⇒ t = −5/3, ou seja, l00(−5/3) = (1/3, 4/3, 2/3).
Considere ent˜ao a reta l0(t) = (1/3, 4/3, 2/3) + t(1, 0, 1). Esta reta intercepta a reta r no ponto l0(−1/3) = (1/3, 4/3, 2/3) − (1/3)(1, 0, 1), ou seja,
A reta que passa por O e tem vetor diretor igual a n ´e a reta s(t) = (0, 4/3, 1/3) + t(1, 1, −1),
que ´e a reta procurada. Os pontos s˜ao P = O = (0, 4/3, 1/3) e Q = s∩l = (5/3, 9/3, −4/3).
9. Considere os planos α : x − y + z = 3 e β : 2m2x − (m + 1)y + 2z = 0.
(a) Determine m para que os planos α e β sejam: i) paralelos, ii) concorrentes e iii) concorrentes e ortogonais.
(b) Para m = −1 encontre a equa¸c˜ao da reta de interse¸c˜ao entre α e β.
Solution:
(a) (i) Para que os planos sejam paralelos, basta que seus vetores normais sejam paralelos (ou seja, m´ultiplos). O vetor normal do plano α ´e nα = (1, −1, 1) e o vetor normal do
plano β ´e nβ = (2m2, −m − 1, 2).
Comparando a 3a coordenada de nα e nβ percebemos que a ´unica possibilidade para que
nβ seja m´ultiplo de nα ´e se nβ = 2nα, ou seja,
(2m2, −m − 1, 2) = 2(1, −1, 1) ⇔ 2m2= 2, −m − 1 = −2 ⇔ m = 1.
(ii) Para que os planos sejam concorrentes, basta que seus vetores normais n˜ao sejam paralelos, ou seja, basta que m 6= 1.
(iii) Para que os planos sejam concorrentes e ortogonais, devemos ter hnα, nβi = 0, ou
seja, 2m2 + m + 1 + 2 = 0 ⇒ 2m2 + m + 3 = 0. Como este polinˆomio n˜ao tem ra´ızes reais, n˜ao existe valor de m para estes planos sejam ortogonais.
(b) Se m = −1 ent˜ao os planos s˜ao α : x − y + z = 3 e β : 2x + 2z = 0. Da equa¸c˜ao do plano β obtemos x = −z; substituindo na primeira equa¸c˜ao, teremos −z − y + z = 3 ⇒ y = −3. Portanto a equa¸c˜ao param´etrica da reta ´e γ(t) = (−t, −3, t).
