3.1 - Leis de Snell - 3 Refração e Reflexão

3

REFLEXÃO E REFRAÇÃO

INTRODUÇÃO

Neste capítulo iremos estudar dois importantes fenômenos, reflexão e refração de ondas eletromagnéticas na interface de separação de dois meios opticamente diferentes. A partir deles vamos analisar alguns parâmetros físicos importantes, como pôr exemplo, ângulo crítico, reflectância e transmitância de interfaces, bem como a determinação de ângulos de Brewster para diferentes pares de meios e o deslocamento de Goos-Häenchen.

3.1 - Leis de Snell

Para estudarmos reflexão e refração de ondas eletromagnéticas, tomemos ondas do tipo harmônico, E=Eosen(k•r-ωt) e consideremos que estejam incidindo em uma interface de separação de dois meios 1 e 2. Duas situações são possíveis: o campo elétrico sendo paralelo ou perpendicular ao plano de incidência, como mostra a fig- (3.1-1 ). Para as duas situações a estudar, vamos considerar que: µ1≅µ2 ≅µ0

(

µr1 ≅µr2 ≅1

)

Em ambos os casos, no entanto, teremos no ponto de incidência

três ondas eletromagnéticas dadas pôr:

1 - Onda incidente ⇒ Ei =Eoisen

(

ki •r−ωt

)

(3.1-1) 2 - Onda refletida ⇒ Er =Eorsen

(

kr •r−ωt

)

(3.1-2) 3 - Onda refratada ⇒ Et =Eot sen

(

kt •r−ωt

)

(3.1-3) Se estamos considerando estas ondas no mesmo instante e no mesmo ponto do espaço, teremos

que as suas fases na superfície, e no ponto de incidência, serão iguais. Logo:

c a s o π

E

k

m e io 1

m e io 2 c a s o σ

E

k

m e io 1

m e io 2

k_i •r−ωt=k_r •r−ωt=k_t •r−ωt

resultando em:

kisenθi =kr senθr =ktsenθt

Considerando o par de ondas incidente e refletidas podemos dizer que ki=kr, pois correspondem a ondas no mesmo meio. Desta forma, temos:

senθ_i =senθ_r∴ θ_i =θ_r (1a Lei de Snell)

No caso das ondas incidente e refratada, ou transmitida, temos que k_i ≠k_t, pois correspondem a meios diferentes. Então:

sen sen

θ θ

i

t t

i

o

o k

k

n k n k

n n

= = 2 =

1

2

1

que escreveremos na forma:

n₁senθ_i =n₂senθ_t (2a Lei de Snell)

As eqs. (3.l-4) c (3.l-5) são conhecidas como as leisde Snell para a reflexão c a refração.

3.1.1 - Ângulo Crítico

A igualdade expressa na eq.(3.1-5) nos leva a concluir que: caso N1 seja maior do que N2, senθt será maior do que senθi, donde θt >θi. Com isto, não é difícil de percebermos que haverá um ângulo de incidência crítico (θ_c) para o qual θ_t =π/ 2. Para ângulos θ_i maiores do que θ_c, o valor de θ_t será maior do que π/ 2. Ou seja, a onda refratada retorna ao meio da onda incidente. Este efeito é conhecido como refração total e está ilustrado na fig.(3.l-2).

O valor do ângulo crítico θ_c pode ser calculado na eq . (3.1-1 ) fazendo-se senθ_t =1, quando θi =θc. Com isto:

senθ_c n n

=⎛ ⎝

⎜ ⎞

⎠ ⎟

2

1

(n₂>n₁) (3.1-6)

sen sen sen sen

θ θ θ

θ

t i i

c

n n

= 1 =

2

(3.l-7)

Como

[

]

[

]

cosθ_t = −1 sen2θ_t 1 2 =isen2θ_t −11 2

em face da equação (3.1-7) podemos escrever:

cos sen sen

θ θ

θ

t

i

c i

= ⎛

⎝

⎜ ⎞

⎠ ⎟ − ⎡

⎣ ⎢ ⎢

⎤

⎦ ⎥ ⎥

2 1 2

1 (3.1-8)

Apliquemos esses resultados a uma onda incidindo sobre uma superfície de separação entre dois meios com um ângulo maior que o crítico. Tomemos uma onda plana harmônica do tipo

( )

Et E eo

i t

= − k r• −ω

para a onda transmitida. Considerando-se que o raio de luz está propagando no plano de incidência, o produto escalar k r⋅ , é dado pôr:

(

)

k r• = k x_x +k z_z =k xsenθ_t +zcosθ_t

Supondo que z seja a direção perpendicular à superfície de separação dos meios, como está indicado na fig.(3.l-2), podemos escrever:

E_t =E e_o −ikxsenθt ⋅e−ikzcosθt ⋅e+i tω

Substituindo-se nesta expressão a eq.(3.l-8), temos:

θ

_c

θ

_i

Ângulo Crítico

π

/2

E_t E e_o ikx e e kz i t t i c = − ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ − ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎧ ⎨ ⎪ ⎩⎪ ⎫ ⎬ ⎪ ⎭⎪ + sen sen sen / θ θ θ _ω

2 1 2

1

(3.1-9)

Logo, a onda se propaga ao longo de x, enquanto na direção z ela é atenuada, como no caso de um meio metálico. Assim sendo, no processo da reflexão total, embora haja o retorno da radiação ao meio onde estava se propagando, o campo penetra no outro meio, dando lugar a um campo evanescente. Este evento é análogo ao do tunelamento, verificado no caso de partículas, como os elétrons. Como tal, e possível se pensar em efeitos de tunelamento com luz (ou fótons, se pensarmos nela como partícula).

EXEMPLO (3.1-1)- Calcular a penetração de uma onda eletromagnética, sob a condição de reflexo total com um ângulo de incidência maior que o ângulo crítico, para o caso dos meios GaAs-ar.

Solução

Tomemos os índices de refração dos materiais em questão. Teremos nGaAs=3,5 e nar=1. Consideremos uma onda de comprimento λ=0,85µm. O ângulo critico no caso será:

senθ_c ar ,

GaAs

n n

= =0 29 ou θ_c=16o36’

O valor de cosθt é agora obtido usando-se a eq.(3.l-8), para a qual consideraremos θi=30 o

, sendo, pois, maior que o crítico.

cos , , , = ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ − ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ =

i 0 50

0 29 1 1 44 2

Analisando a eq.(3.l-9) vemos que

δ θ θ = ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ − 1 1 2 k i c sen sen (3.1-10)

mede a penetração da onda no meio menos refringente. Teremos:

δ λ π θ θ µ = ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ − = ⋅ ⋅ = 2 1 0 85

2 3 14 1 44 0 096 2 sen sen , , , , i c m

Em angstrons, temos δ=940Å. Isto indica que tal radiação, ao sofrer reflexão total penetra algumas centenas de camadas atômicas no material sobre o qual está incidindo.

Se tomarmos as condições de contorno para os campos E, D, B e H na interface entre os meios 1 e 2, obteremos a relação entre os módulos dos campos incidente, refletido e refratado. As condições são:

D e B - as componentes normais são continuas E e H - as componentes tangenciais são continuas.

Para z=0 teremos:

(

)

[

ε1 Eoi +Eor −ε2Eot

]

⋅ =n 0

[

k xE_{i oi} +k xE_{r or} −k xE_{t ot}

]

⋅ =n 0

[

Eoi +Eor +E xn

]

=0

(

)

(

)

1 1

0

1 2

µ k xEi oi +k xEr or −µ k xEt ot xn

⎡ ⎣

⎢ ⎤

⎦

⎥ =

onde usamos as seguintes relações:

D= εE

B=µH= εµkxE

k

sendo n um versor normal á superfície de separação dos meios.

3.2.1 - Coeficientes para a Polarização

σ

.

A polarização σ corresponde ao caso em que o campo incidente E é sempre perpendicular a n, como se vê na fig.(3.2-1). Assim sendo, as equações de contorno ficam:

E_oi +E_or −E_ot =0

(

)

ε₁ Eoi −Eor cosθi− ε₂Eotcosθt =0

Estas duas equações nos permitem obter as seguintes relações:

r E

E

n i n

n i n

or

oi

t

t

σ

σ

θ θ

θ θ

=⎛ ⎝

⎜ ⎞

⎠

⎟ = −

+

1 2

1 2

cos cos

cos cos (3.2-1)

θ_i θr

θt

Ei _E

r

E_t

Bi Br

Bt

Fig.(3.2-1) -Representação dos vetores E e B

t E E

n i

n i n

ot

oi t

σ

σ

θ

θ θ

=⎛ ⎝

⎜ ⎞

⎠ ⎟ =

+

2 ₁

1 2

cos

cos cos (3.2-2)

A eq.(3.2-1) nos dá o coeficiente de polarização e a eq.(3.2-2) o coeficiente de transmissão, ambos da polarizaçãoσ. Nestas equações usamos a relação ε1/2=n.

3.2.2 - Coeficientes para a Polarização

π

Neste outro caso, E e n estão no mesmo plano, o de incidência, como se vê na fig.(3.2.2). Para ele as condições de contorno serão:

(

Eoi −Eor

)

cosθi −Eotcosθt =0

(

)

ε₁ Eoi −Eor − ε₂Eot =0

levando aos coeficientes de reflexão e transmissão da polarização π:

r E

E

n n

n n

or

oi

t i

t i

π

π

θ θ

θ θ

=⎛ ⎝

⎜ ⎞

⎠

⎟ = −

+

1 2

1 2

cos cos

cos cos (3.2-3)

t E

E

n

n n

ot

oi

i

t t

π

π

θ

θ θ

=⎛ ⎝

⎜ ⎞

⎠ ⎟ =

+

2 ₁

1 2

cos

cos cos (3.2-4)

Obsevando-se as eqs.(3.2-1) e (3.2-3), percebemos que os coeficientes de reflexão podem ser negativos, enquanto os de transmissão não. Disto se apreende que as ondas refletidas podem sofrer uma inversão no sentido de orientação, enquanto as transmitidas nunca sofrerão tal inversão.

EXEMPLO (3.2-1) - Calcular os coeficientes de reflexão, considerando que a radiação incide, sobre a interface de separação dos dois meios ópticos, sob a condição de reflexão total.

Solução

No caso da reflexão total temos cosθ_t dado pela eq.(3.1-8). Substituindo-a nas eqs. (3.2-1) e (3.2-3) temos:

θ_{i θ}

r

θ_t

B_{i B}

r

Bt

E_{i E}

r

E_t

r i n n i n n i i i i σ θ θ θ θ = − −⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ + −⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ cos sen cos sen 2 2 1 2 2 2 1

2 e r

n n i i n

n

n n i i n

n i i i i π θ θ θ θ = − ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ + ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ 2 2

12 2 2

1 2

2 2

12 2 2

1 2

cos sen

cos sen

Temos, portanto, que rσ e rπ são do tipo (a-ib)/(a+ib). Com isto, não é difícil perceber que

R= r2 = ⋅r r∗ é igual a 1 para ambas as polarizações.

3.2.4 - Reflectância, Transmitância

Refletividade e Transmissividade

O módulo ao quadrado do coeficiente de reflexão (⎪r⎪2) é designado pôr reflectância (R), e o módulo ao quadrado do coeficiente de transmissão (⎪t⎪2) pôr transmitância (T). Caso não haja absorção ou geração de luz na interface entre dois meios, podemos concluir que a quantidade de energia incidente, pôr unidade de área e tempo, deve ser igual à refletida mais a transmitida.

Tomando-se os vetores de Poynting escrevemos:

S_icosθ_i =S_rcosθ_r +S_tcosθ_t

Donde: S S S S r i t i t i

+cos =

cos

θ

θ 1

Como:

Si =c E Bi i =c Ei 2 1 2 1 2 ε ε

Sr =c E Br r =c Er 2 1 2 1 2 ε ε

S_t =c2ε₂E B_{t t} =c2ε₂ E_t 2

segue S S E E r i r i

= = ℜ

2 2 cos cos cos cos cos cos θ θ θ θ ε ε θ θ t i t i t i t i t i t i S S E E n n E E = =⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠

⎟ = ℑ

2 2 1 2 2 1 2 2

Observamos que ℜ é igual à reflectância já calculada enquanto ℑ difere da transmitância em face do fator (n2/n1)

2

(cosθt/θi). Chamaremos ℑ de transmissividade e ℜ de refletividade.

EXEMPLO (3.2-3) - Calcular a refletividade e a transmissividade nas interfaces entre: água, ar-quartzo, ar-GaAs e água-quartzo. Supor um ângulo de incidência de 30o

Solução

A solução do problema requer o conhecimento dos índices de refração dos meios. Eles foram dados no exemplo anterior. Para uma incidência com um ângulo de 30o os ângulos de transmissão, referentes a cada par de substâncias, serão calculados usando-se a já conhecida segunda lei de Snell. Com ela obteremos:

ar-água sen30o=1,33senθt ∴ senθt=0,38 θt=22o5’

ar-quartzo sen30o=1,55senθt ∴ senθt=0,33 θt=19o28’

ar-GaAs sen30o=1,5senθt ∴ senθt=0,14 θt=8o13’

água-quartzo 1,33sen30o=1,55senθt ∴ senθt=0,44 θt=26o19’

De posse dos ângulos de transmissão, calculemos os coeficientes de reflexão, de transmissão, bem como a refletividade e transmissividade para as interfaces em discussão. Para isto, tomemos as eqs.(3.2-1) e (3.2-2) com as quais obtemos, para uma onda de polarização σ, os resultados dados na tab.(3.2-1).

Meios r t R T ℜ ℑ

ar-água -0,17 0,83 0,03 0,68 0,03 0,97

ar-quartzo -0,24 0,76 0,06 0,58 0,06 0,94

ar-GaAs -0,60 0,40 0,36 0,16 0,36 0,64

água-quartzo -0,08 0,92 0,01 0,85 0,01 0,99

Tab.(3.2-1) - Valores de coeficientes de reflexão e transmissão, reflectância e transmitância para interfaces

entre diversos meios e uma onda com polarização σ.

Invertendo a ordem dos meios, teremos:

água-ar 1,33sen30o=senθt ∴ senθt=0,67 θt=41 o

41’

GaAs-ar 3,5sen30o=senθt ∴ senθt=1,75 reflexão total

quartzo-água 1,5sen30o=senθt ∴ senθt=0,56 θt=34 o

19’

Os resultados obtidos estão na tab.(3.2-2) dada abaixo. Como se pode ver, a inversão dos meios levou o coeficiente de reflexão r a ser positivo para todos os casos calculados. Particularmente no caso do par GaAs-ar, vemos que ele corresponde à reflexão total e com isto r=R=ℜ=1. Como já calculamos no ex.(3.1-1), o ângulo critico para GaAs-ar é de 16°36'. Portanto, θ=30°corresponde a uma incidência acima do ângulo crítico e a reflexão será total.

Isso explica, também, porque a intensidade de luz emitida por um led é reduzida. A luz gerada no interior do dispositivo, é emitida em todas as direções, já que a emissão é espontânea e não estimulada. Desta forma, apenas o feixe de luz com abertura numérica determinada pelo ângulo crítico, um ângulo de aproximadamente 33 graus, poderá sair do dispositivo. O restante sofrerá reflexão total, retornando para o interior do led.

r t R T ℜ ℑ

água-ar 0,21 1,21 0,05 1,47 0,05 0,95

quartzo-ar 0,33 1,33 0,11 1,76 0,11 0,89

GaAs-ar 1 0 1 0 1 0

quartzo-água 0,08 1,08 0,01 1,17 0,01 0,99

Tab. (3.2-2) - Valores de coeficientes de reflexão e transmissão, reflectância e transmitância para interfaces

entre diversos meios e uma onda com polarização π.

Na tab.(3.2-3) a seguir são dados os resultados para uma onda de polarização π, estando os meios na mesma ordem usada para os cálculos da Tab.(3.2- 1).

r t R T ℜ ℑ

ar-água -0,11 0,83 0,01 0,69 0,01 0,99

ar-quartzo -0,16 0,77 0,03 0,60 0,03 0,97

ar-GaAs -0,51 0,43 0,26 0,19 0,26 0,74

água-quartzo -0,04 0,92 0,002 0,85 0,002 0,998

Tab.(3.2-3) - Valores de coeficientes de reflexão e transmissão, reflectância e transmitância para interfaces

entre diversos meios e uma onda com polarização π propagando no sentido inverso ao da

Tab.(3.2-2).

r r n n

n n σ = π = 1−₊ 2

1 2

I - rσ =1 00−₊0 22 =

1 00 0 22 0 61

, ,

, , ,

II - r i

(

)

i

i

i

σ =

−

+ =

− −

+ = −

1 00 9 71 1 00 9 71

1 00 9 71 2 9 71

1 00 9 71 0 80 0 20 2

2

, ,

, ,

, , . ,

, , , ,

cujas refletâncias são:

I - ℜ = r2 =0 37,

Portanto, 37% da intensidade da radiação incidente é refletida.

II - ℜ = r2 =1 00,

Logo, 100% da intensidade da radiação incidente é refletida. Isto corresponde a reflexão total.

EXEMPLO (3.2-5) - Calcule os coeficientes de reflexão e transmissão para o conjunto SiO2-ar, em função do ângulo de incidência. Dados nSiO

2=1,5; nar= 1,0.

Solução

Caso σ:

Os coeficientes de reflexão e transmissão são dados pelas equações (3.2- 1) e (3.2-2), e no caso ficam:

r i t

i t

σ =1 5 θ_θ −₊1 0 θ_θ 1 5 1 0

, cos , cos

, cos , cos t

i

i t

σ = 3_{θ +}θ _θ

1 5 3

cos

, cos cos (3.2-8)

Tomando a 2a lei de Snell (eq.(3.1-5)) que nos dá a relação entre o ângulo de incidência e de refração, temos senθi=1,5senθt. Utilizando a identidade trigonométrica cos

2_θ

+sen2θ= 1, temos:

cos , cos

,

θ_t = 1 5 − θ_i ⋅ 1

1 5

2 2

Substituindo esta identidade nos coeficientes de reflexão e transmissão, temos:

r i i

i i

σ

θ θ

θ θ

= − −

+ −

1 5 1 5

1 5 1 5

2 2 2

2 2 2

, cos , sen

, cos , sen

t i

i i

σ θ

θ θ

=

+ −

7 0

1 52 1 52 2 , cos

, cos , sen

(3.2-9)

Caso

π

:

r i i

i i

π

θ θ

θ θ

= − −

− +

1 5

1 5

2 2

2 2

, sen cos

, sen cos

t t

i i

π θ

θ θ

=

− +

7 0

1 52 2 , cos

, sen cos

As eqs.(3.2-8) e (3.2-9) estão graficadas na fig.(3.2-4). Como se vê, a reflectância vai a zero para a polarização π, quando o ângulo de incidência corresponde ao ângulo de Brewster, que no caso é igual a 32,8o. Para valores de ângulos de incidência acima de 42,1o, temos o efeito da reflexão total.

Caso os meios sejam invertidos, passando a luz do meio de menor para maior índice de refração, os resultados passam a ser aqueles apresentados na fig.(3.2-5). Como se vê não há mais o efeito da reflexão total.

0 1 0 2 0 3 0 4 0 5 0

0 ,0 0 ,2 0 ,4 0 ,6 0 ,8 1 ,0

π σ

T R A N S M IT Â N C IA

R E F L E C T Â N C IA

RE

FL

E

X

Ã

O

T

O

T

A

L

θΒ

n1= 1 ,5

n2= 1 ,0

 n g u lo d e in c id ê n c ia θi

Fig.(3.2-4) -Refletância e Transmitância com o ângulo de incidência, para o par SiO2-ar, estando indicada na figura a