CAPÍTULO III – RELAÇÕES TENSÕES- DEFORMAÇÕES 3.1. Introdução. Noção de Corpo Elástico
Quando sobre um corpo elástico são aplicadas forças de intensidades gradualmente crescentes, verifica-se experimentalmente que, até se atingir um determinado valor limite, o corpo comporta-se como perfeitamente elástico, na medida em que recuperará totalmente as deformações produzidas, re-assumindo a forma e dimensões originais:
Configuração (III) = Configuração (I)
3.2. Lei de Hooke Generalizada
Todo o corpo material sujeito à acção de forças exteriores se deforma. A primeira formulação de uma ligação entre a deformação e as forças aplicadas ao corpo foi proposta por R. Hooke, estabelecendo uma relação de proporcionalidade directa entre aquelas duas grandezas para uma barra linear à tracção:
σ
= Eε
A F / =σ
E
ε
6ª AULA
I
I
I
I
I
I
F r F r (A, σ, ε)Uma generalização natural da lei de Hooke, consiste em considerar que, em todos os pontos, cada uma das seis componentes da tensão se pode exprimir como uma combinação linear das seis componentes da deformação, e inversamente. É a chamada lei de Hooke generalizada:
xy xz yz zz yy xx xy xy xz yz zz yy xx xz xy xz yz zz yy xx yz xy xz yz zz yy xx zz xy xz yz zz yy xx yy xy xz yz zz yy xx xx
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
γ
γ
γ
ε
ε
ε
τ
γ
γ
γ
ε
ε
ε
τ
γ
γ
γ
ε
ε
ε
τ
γ
γ
γ
ε
ε
ε
σ
γ
γ
γ
ε
ε
ε
σ
γ
γ
γ
ε
ε
ε
σ
66 65 64 63 62 61 56 55 54 53 52 51 46 45 44 43 42 41 36 35 34 33 32 31 26 25 24 23 22 21 16 15 14 13 12 11+
+
+
+
+
=
+
+
+
+
+
=
+
+
+
+
+
=
+
+
+
+
+
=
+
+
+
+
+
=
+
+
+
+
+
=
ou, inversamente: xy xz yz zz yy xx xy xy xz yz zz yy xx xz xy xz yz zz yy xx yz xy xz yz zz yy xx zz xy xz yz zz yy xx yy xy xz yz zz yy xx xxS
S
S
S
S
S
S
S
S
S
S
S
S
S
S
S
S
S
S
S
S
S
S
S
S
S
S
S
S
S
S
S
S
S
S
S
τ
τ
τ
σ
σ
σ
γ
τ
τ
τ
σ
σ
σ
γ
τ
τ
τ
σ
σ
σ
γ
τ
τ
τ
σ
σ
σ
ε
τ
τ
τ
σ
σ
σ
ε
τ
τ
τ
σ
σ
σ
ε
66 65 64 63 62 61 56 55 54 53 52 51 46 45 44 43 42 41 36 35 34 33 32 31 26 25 24 23 22 21 16 15 14 13 12 11+
+
+
+
+
=
+
+
+
+
+
=
+
+
+
+
+
=
+
+
+
+
+
=
+
+
+
+
+
=
+
+
+
+
+
=
Sob a forma matricial:
=
xy xz yz zz yy xx xy xz yz zz yy xxC
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
γ
γ
γ
ε
ε
ε
τ
τ
τ
σ
σ
σ
66 65 64 63 62 61 56 55 54 53 52 51 46 45 44 43 42 41 36 35 34 33 32 31 26 25 24 23 22 21 16 15 14 13 12 11
onde C11, C12,..., C66, são os coeficientes elásticos do material e a matriz [C] do segundo membro é a matriz dos
coeficientes elásticos do material. Ou, inversamente:
=
xy xz yz zz yy xx xy xz yz zz yy xxS
S
S
S
S
S
S
S
S
S
S
S
S
S
S
S
S
S
S
S
S
S
S
S
S
S
S
S
S
S
S
S
S
S
S
S
τ
τ
τ
σ
σ
σ
γ
γ
γ
ε
ε
ε
66 65 64 63 62 61 56 55 54 53 52 51 46 45 44 43 42 41 36 35 34 33 32 31 26 25 24 23 22 21 16 15 14 13 12 11
Onde a matriz do segundo membro [S] = [C]-1é denominada matriz dos coeficientes de flexibilidade. Em qualquer das formas que se represente a lei de Hooke generalizada, aparentemente estão envolvidos 36 parâmetros elásticos (C , C , …, C , ou S , S , …, S )!...
3.3. Lei de Hooke Generalizada para Materiais Isotrópicos
Considere-se, num ponto P dum corpo elástico isotrópico, as equações da lei de Hooke generalizada referidas ao triedro das direcções principais em P, (n1,n1,n1
r r r ): 3 33 2 32 1 31 3 3 23 2 22 1 22 2 3 13 2 12 1 11 1
ε
ε
ε
σ
ε
ε
ε
σ
ε
ε
ε
σ
C
C
C
C
C
C
C
C
C
+
+
=
+
+
=
+
+
=
A condição de isotropia implica que o efeito de uma deformação
ε
1 sobre a tensãoσ
1 deve ser o mesmo que o efeito deε
2 sobreσ
2 e o efeito deε
3 sobreσ
3. Isto quer dizer que C11= C22= C33. Do mesmo modo, pelacondição de isotropia, os efeitos das deformações
ε
2 eε
3 sobre a tensãoσ
1 devem ser iguais. Portanto, C12=C13. Pela mesma razão, deverá ser C21= C23 e C31= C32. Além disso, os efeitos de
ε
2 eε
3 sobreσ
1 devem seriguais aos efeitos de
ε
1 eε
3 sobreσ
2 e deε
1 eε
2 sobreσ
3. Então, deverá ser:C11= C22= C33 = a C12 = C21 = C13 = C31 = C23 = C32 = b Donde: ) ( ) ( ) ( 2 1 3 3 1 3 2 2 3 2 1 1
ε
ε
ε
σ
ε
ε
ε
σ
ε
ε
ε
σ
+ + = + + = + + = b a b a b a ou 3 3 2 2 1 1 2 2 2µε
λθ
σ
λθ
µε
σ
λθ
µε
σ
+ = + = + =Em relação a um triedro de referência genérico Oxyz tem-se: zx zx yz yz xy xy zz zz yy yy xx xx
µγ
τ
µγ
τ
µγ
τ
µε
λθ
σ
µε
λθ
σ
µε
λθ
σ
= = = + = + = + = 2 2 2 ou, inversamente zx zx yz yz xy xy yy xx zz zz xx zz yy yy zz yy xx xxτ
µ
γ
τ
µ
γ
τ
µ
γ
σ
σ
µ
λ
µ
λ
σ
µ
λ
µ
µ
λ
ε
σ
σ
µ
λ
µ
λ
σ
µ
λ
µ
µ
λ
ε
σ
σ
µ
λ
µ
λ
σ
µ
λ
µ
µ
λ
ε
1 1 1 ) ( ) 2 3 ( 2 ) 2 3 ( ) ( ) 2 3 ( 2 ) 2 3 ( ) ( ) 2 3 ( 2 ) 2 3 ( = = = + + − + + = + + − + + = + + − + + =Estas equações traduzem a lei de Hooke generalizada para um material isotrópico. Nelas intervêm apenas dois coeficientes elásticos,
λ
e µ , que são chamados parâmetros de Lamé.
+
+
+
=
xy xz yz zz yy xx xy xz yz zz yy xxγ
γ
γ
ε
ε
ε
µ
µ
µ
µ
λ
λ
λ
λ
µ
λ
λ
λ
λ
µ
λ
τ
τ
τ
σ
σ
σ
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
2
0
0
0
2
0
0
0
2
(3.3b)onde a matriz dos coeficientes elásticos do material assume aqui a forma simplificada seguinte:
[C] =
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
2
0
0
0
2
0
0
0
2
+
+
+
µ
µ
µ
µ
λ
λ
λ
λ
µ
λ
λ
λ
λ
µ
λ
(3.14.c) ou, inversamente:
=
+
+
+
−
+
−
+
−
+
+
+
−
+
−
+
−
+
+
=
xy xz yz zz yy xx xy xz yz zz yy xxτ
τ
τ
σ
σ
σ
µ
µ
µ
µ
λ
µ
µ
λ
µ
λ
µ
λ
µ
λ
µ
λ
µ
λ
µ
λ
µ
λ
µ
µ
λ
µ
λ
µ
λ
µ
λ
µ
λ
µ
λ
µ
λ
µ
λ
µ
µ
λ
γ
γ
γ
ε
ε
ε
1
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
)
2
3
(
)
2
3
(
2
)
2
3
(
2
0
0
0
)
2
3
(
2
)
2
3
(
)
2
3
(
2
0
0
0
)
2
3
(
2
)
2
3
(
2
)
2
3
(
Onde a matriz que figura no segundo membro é a matriz dos coeficientes de flexibilidade [S] do material isotrópico.
3.4. Módulo de Rigidez
Considere-se o caso bi-dimensional de corte puro representado na Figura ao lado. A relação entre a tensão de corte
τ
e a correspondente deformação de corteγ
é, por definição, o módulo de elasticidade ao corte, ou módulo de rigidez do material, habitualmente representado pela letra maiúscula G:τ
= G γPor outro lado, o estado de corte pura representado na figura é caracterizado pelas seguintes componentes:
σxx = σyy = σzz = τyz = τzx = 0
τxy = τ
De acordo com a lei de Hooke, tem-se, então:
γxy
=
γ
=
τ
/
µ
Donde, µ = G, isto é, o parâmetro de Lamé µ é numericamente igual ao módulo de rigidez G do material. γ
τ
y
x
3.5. Módulo de Compressibilidade
Outra constante elástica frequentemente utilizada nas aplicações em engenharia é o chamado módulo de Bulk, ou módulo de compressibilidade, K, que se define pela relação entre a pressão p e o coeficiente de dilatação volumétrica θ, num estado de tensão hidrostático:
θ
K V V K p = − ∆ = −O estado de tensão hidrostático é traduzido pelas seguintes componentes: σxx = σyy = σzz = -p
τxy = τyz = τzx = 0
Substituindo nas três primeiras equações da lei de Hooke e adicionando membro a membro:
-3p = (3
λ
+ 2µ
)θ
θ
θ
µ
λ
K p = − + ) = − 3 2 3 (Donde, o Módulo de Compressibilidade
3 2 3
λ
+µ
= K z y x -p -p -p -p -p3.6. Módulo de Young e Coeficiente de Poisson
No ensaio de tracção convencional, habitualmente utilizado para a determinação das propriedades mecânicas dos materiais, o processo consiste em submeter uma barra do material a estudar à acção de duas forças iguais e opostas, aplicadas segundo o eixo do provete. O Módulo de Young (E) e o Coeficiente de Poisson (
ν)
são duas constantes elásticas do material, definidas por:) ( e E E
ε
lε
tνε
lνσ
σ
= = − = − ,onde εl e εt são as extensões lineares nas direcções longitudinal e transversal, respectivamente.
Tomando o eixo dos xx segundo a direcção axial da peça, os estados de tensão e de deformação correspondentes à situação representada na figura são:
σ
σ
= = A F xxε
xx =ε
l ,ε
yy =ε
zz =ε
t σyy = σzz = τxy = τyz = τzx = 0 γxy = γyz = γzx = 0Por outro lado, decorre directamente da lei de Hooke:
xx zz yy xx xx
σ
µ
λ
µ
λ
ε
ε
σ
µ
λ
µ
µ
λ
ε
) 2 3 ( 2 ) 2 3 ( + − = = + + =(Coeficiente de Poisson)
Young) (Módulo de E ) ( 2 ) 2 3 (
µ
λ
λ
ν
µ
λ
µ
λ
µ
+ = + + = F (A, σ, εl, εt) FO Módulo de Young e o Coeficiente de Poisson são, sem dúvida, as constantes elásticas mais frequentemente utilizadas nas aplicações. Em termos destas duas costantes, as equações da Lei de Hooke para um material isotrópico escrevem-se:
(
)
(
)
[
]
(
)
(
)
[
]
(
)
(
)
[
1
]
;
)
2
1
)(
1
(
;
1
)
2
1
)(
1
(
;
1
)
2
1
)(
1
(
yy xx zz zz xx zz yy yy zz yy xx xxE
E
E
ε
ε
ν
ε
ν
ν
ν
σ
ε
ε
ν
ε
ν
ν
ν
σ
ε
ε
ν
ε
ν
ν
ν
σ
+
+
−
−
+
=
+
+
−
−
+
=
+
+
−
−
+
=
xy xy xz xz yz yzE
E
E
γ
ν
τ
γ
ν
τ
γ
ν
τ
)
1
(
2
)
1
(
2
)
1
(
2
+
=
+
=
+
=
ou, sob a forma vectorial:
=
xy xz yz zz yy xxτ
τ
τ
σ
σ
σ
[C]
xy xz yz zz yy xxγ
γ
γ
ε
ε
ε
onde [C], expressa em termos de E e
ν
, assume a forma seguinte:[C]
=)
2
1
)(
1
(
+
ν
−
ν
E
−
−
−
−
−
−
2
)
2
1
(
0
0
0
0
0
0
2
)
2
1
(
0
0
0
0
0
0
2
)
2
1
(
0
0
0
0
0
0
)
1
(
0
0
0
)
1
(
0
0
0
)
1
(
ν
ν
ν
ν
ν
ν
ν
ν
ν
ν
ν
ν
Inversamente, explicitando em termos das deformações:
(
)
[
]
(
)
[
]
(
)
[
zz xx yy]
xy xy zz xz xz xx zz yy yy yz yz zz yy xx xxE
E
E
E
E
E
τ
ν
γ
σ
σ
ν
σ
ε
τ
ν
γ
σ
σ
ν
σ
ε
τ
ν
γ
σ
σ
ν
σ
ε
)
1
(
2
;
1
)
1
(
2
;
1
)
1
(
2
;
1
+
=
+
−
=
+
=
+
−
=
+
=
+
−
=
ou, sob a forma vectorial:
+
+
+
−
−
−
−
−
−
=
xy xz yz zz yy xx xy xz yz zz yy xxE
E
E
E
E
E
E
E
E
E
E
E
τ
τ
τ
σ
σ
σ
ν
ν
ν
ν
ν
ν
ν
ν
ν
γ
γ
γ
ε
ε
ε
)
1
(
2
0
0
0
0
0
0
)
1
(
2
0
0
0
0
0
0
)
1
(
2
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
1
0
0
0
1
onde a matriz que figura no segundo membro é a matriz dos coeficientes de flexibilidade [S] do material isotrópico expressa em termos do módulo de Young e do coeficiente de Poisson.
3.7. Relações entre as Diferentes Constantes Elásticas
λ
µ
E ν Kµ
λ
, --- ---µ
λ
µ
λ
µ
+ +2 ) 3 ( ) ( 2λ
µ
λ
+ 3 2 3λ
+µ
E ,λ
--- 4 ) 3 ( −λ
+ E A ---λ
λ
4 ) ( + − E A 6 ) 3 ( E A+λ
+ν
λ
, ---ν
ν
λ
2 ) 2 1 ( −ν
ν
ν
λ
(1+ )(1−2 ) ---ν
ν
λ
3 ) 1 ( + K ,λ
--- 2 ) ( 3 K −λ
λ
λ
− − K K K 3 ) ( 9λ
λ
− K 3 --- E ,µ
µ
µ
3 2 − − E E --- ---µ
µ
2 2 − E ) 3 ( 3 E E −µ
ν
µ
,ν
µν
2 1 2 − --- 2µ
(1+ν
) --- 3(1 2 ) ) 1 ( 2ν
ν
µ
− + K ,µ
3 2 3K −µ
---µ
µ
+ K K 3 9 ) 3 ( 2 2 3µ
µ
+ − K K ---ν
, E ) 2 1 )( 1 (ν
ν
ν
− + E ) 1 ( 2 +ν
E --- --- ) 2 1 ( 3 −ν
E E K, E K E K K − − 9 ) 3 ( 3 E K EK − 9 3 --- K E K − 3 --- K ,ν
ν
ν
+ 1 3K ) 1 ( 2 ) 2 1 ( 3ν
ν
+ − K ) 2 1 ( 3K −ν
--- --- 2 9 2 2 +λ
+λ
= E E A3.1.8. Estado Plano de Tensão
0
=
=
=
yz xz zzτ
τ
σ
:(
)
(
)
+
=
+
−
=
+
−
=
xy xy yy xx yy yy xx xxE
E
E
γ
ν
τ
ε
νε
ν
σ
νε
ε
ν
σ
)
1
(
2
1
1
2 2 ou=
xy xz yz zz yy xxτ
τ
τ
σ
σ
σ
[C]
xy xz yz zz yy xxγ
γ
γ
ε
ε
ε
onde:
[C
]=)
1
(
−
ν
2E
−
2
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
ν
ν
ν
7ª AULA
ou, inversamente:
(
)
(
)
(
)
+
=
+
−
=
−
=
−
=
)
)
1
(
2
1
1
xy xy yy xx zz xx yy yy yy xx xxE
E
E
E
τ
ν
γ
σ
σ
ν
ε
νσ
σ
ε
νσ
σ
ε
3.1.9. Estado Plano de Deformação
No caso particular dum Estado Plano de Deformação, caracterizado pela condição de ser:
0
=
=
=
yz xz zzγ
γ
ε
[
]
[
]
(
)
+
=
+
−
+
=
+
−
−
+
=
+
−
−
+
=
xy xy yy xx zz xx yy yy yy xx xxE
E
E
E
γ
ν
τ
ε
ε
ν
ν
ν
σ
νε
ε
ν
ν
ν
σ
νε
ε
ν
ν
ν
σ
)
1
(
2
)
2
1
)(
1
(
)
1
(
)
2
1
)(
1
(
)
1
(
)
2
1
)(
1
(
ou, inversamente:
+
=
−
−
−
=
−
−
−
=
)
)
1
(
2
1
2
1
1
2
1
xy xy xx yy yy yy xx xxE
E
E
τ
ν
γ
σ
ν
ν
σ
ν
ε
σ
ν
ν
σ
ν
ε
(3.8.b)3.8. Energia Elástica de Deformação
Quando um corpo elástico se deforma sob a acção de forças externas, estas realizam trabalho que fica armazenado no interior do corpo sob a forma de energia elástica de deformação, que poderá ser totalmente recuperada quando removidas as forças que provocam a deformação.σxx
• Estado de tracção uniaxial:
dx
x
u
dydz
dU
dW
xx∂
∂
=
=
(
)
2
1
σ
dV
dU
σ
xxε
xx2
1
=
• Densidade de energia elástica:
E
E
dV
dU
U
xx xx xx xx 2 2 02
1
2
1
2
1
σ
ε
=
ε
=
σ
=
=
• Quando sobre o elemento actuam 18imultaneamente as três componentes normais da tensão:
)
(
2
1
0 xx xx xx xx xx xxU
=
σ
ε
+
σ
ε
+
σ
ε
σxx εxx Uo dx x u u ∂ ∂ + u y x σxx σxx dx dyIII
I
II
• Estado de corte puro (plano xy)
dy
dxdz
dU
dW
(
τ
xy)
γ
xy2
1
=
=
dU
dV
xy xyγ
τ
2
1
=
Densidade de energia elástica:
G
G
dV
dU
U
xx xy xy xy 2 2 02
1
2
1
2
1
τ
γ
γ
τ
=
=
=
=
• Quando sobre o elemento actuam 19imultaneamente as três componentes de corte:
)
(
2
1
0 xy xy yz yz zx zxU
=
τ
γ
+
τ
γ
+
τ
γ
• No caso geral, em que são incluídas 19imultaneamente as componentes normais e de corte:
)
(
2
1
0 xx xx xx xx xx xx xy xy yz yz zx zxU
=
σ
ε
+
σ
ε
+
σ
ε
+
τ
γ
+
τ
γ
+
τ
γ
Tendo em conta a lei de Hooke:
) ( 2 1 ) ( ) ( 2 1 2 2 2 2 2 2 0 xx yy zz xx yy yy zz xx zz xy yz zx G E E U = σ +σ +σ −ν σ σ +σ σ +σ σ + τ +τ +τ
Ou ainda, em termos das deformações:
γxy τxy y x τxy dy γxydy dx τxy γxy Uo
+ + + + + + − + = ( ) 2 1 ) ( 2 1 ) 1 ( 2 2 2 2 2 2 2 2 0 xx yy zz xy yz zx E U θ ε ε ε γ γ γ ν ν ν
A energia elástica total U acumulada no corpo é:
dxdydz
U
dV
U
U
V V∫
∫
=
=
0 03.9. Componentes da Energia de Deformação
• Qualquer estado de tensão pode decompor-se num estado de tensão hidrostático e num estado de tensão de desvio ou distorsional (sem variação de volume):
zz yz xz yz yy xy xz xy xx
σ
τ
τ
τ
σ
τ
τ
τ
σ
= m m mσ
σ
σ
0 0 0 0 0 0 + − − − m zz yz xz zy m yy xy zx yx m xxσ
σ
γ
τ
τ
σ
σ
τ
τ
τ
σ
σ
2 1• Donde as duas componentes da energia de deformação U0V e U0D:
(
)
(
)
2 2 0 18 1 2 3 2 3 2 3 zz yy xx m m m m m V K K K Uσ
ε
σ
σ
=σ
=σ
+σ
+σ
= = e(
) (
)
(
)
(
)
[
2 2 2 2 2 2]
2 0 4 3 6 9 1 4 3 oct zx yz xy xx zz zz yy yy xx D G G U =σ
−σ
+σ
−σ
+σ
−σ
+τ
+τ
+τ
=τ
De tal modo que:
D V
U
U
3.10. Formulação Geral dos Problemas da Elasticidade • QUINZE 21unções a determinar:
SEIS componentes do campo das tensão: σxx, σyy, σzz,
τ
xy,τ
yz,τ
xz SEIS componentes do campo das Deformação:ε
xx,ε
yy,ε
zz,γ
xy,γ
yz,γ
xzTRÊS componentes do campo dos deslocamentos: u, v, w • QUINZE equações de ligação entre aquelas funções:
SEIS equações de compatibilidade:
x w z u y w z v x v y u z w y v x u zx xz zy yz yx xy zz yy xx ∂ ∂ + ∂ ∂ = = ∂ ∂ + ∂ ∂ = = ∂ ∂ + ∂ ∂ = = ∂ ∂ = ∂ ∂ = ∂ ∂ =
γ
γ
γ
γ
γ
γ
ε
ε
ε
ou ∂ ∂ − ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ − ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ − ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ = ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ = ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ = ∂ ∂ ∂ z x y x z y y z x y x z x y z x z y z x y x y z z y x y y x xy zy zx xx zx yx yz yy yz xz xy xx xx zz xz zz yy yz yy xx xyγ
γ
γ
ε
γ
γ
γ
ε
γ
γ
γ
ε
ε
ε
γ
ε
ε
γ
ε
ε
γ
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2SEIS equações da lei de Hooke:
(
) (
) (
[
)
(
)
]
(
) (
) (
[
)
(
)
]
(
) (
) (
[
)
(
)
]
(
)
(
)
(
)
zx zx yz yz xy xy yy xx zz zz xx zz yy yy zz yy xx xx E E E E E Eγ
ν
τ
γ
ν
τ
γ
ν
τ
ε
ε
ν
ε
ν
ν
ν
σ
ε
ε
ν
ε
ν
ν
ν
σ
ε
ε
ν
ε
ν
ν
ν
σ
+ = + = + = + + − − + + = + + − − + + = + + − − + + = 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 1 2 1 1 1 2 1 1 ou(
)
[
]
(
)
[
]
(
)
[
]
(
)
(
)
(
)
zx zx yz yz xy xy yy xx zz zz xx zz yy yy zz yy xx xx E E E E E Eτ
ν
γ
τ
ν
γ
τ
ν
γ
σ
σ
ν
σ
ε
σ
σ
ν
σ
ε
σ
σ
ν
σ
ε
+ = + = + = + − = + − = + − = 1 2 1 2 1 2 1 1 1TRÊS equações de equilíbrio: e ainda:
0 0 0 = + + + = + + + = + + + ∂ z zz yz xz y zy yy xy x zx yx xx F z y x F z y x F z y x
∂
∂σ
∂
∂τ
∂
∂τ
∂
∂τ
∂
∂σ
∂
∂τ
∂
∂τ
∂
∂τ
∂
σ
erial cas do mat tes elásti As constan iv de volume das forças campo O iii fronteira condições As ii corpo do geometria A i − − − − ) ( ) ( ) ( ) (3.11. Princípio de Saint-Venant
•
