O Ensino do Conceito de Proporção Através da Resolução de Problemas
1Teaching the Proportion Concept Through Problem Solving
DOI:10.34117/bjdv6n8-476
Recebimento dos originais: 08/07/2020 Aceitação para publicação: 24/08/2020
Francielle Silva Gardin
Mestranda em Ensino de Ciências e Educação Matemática Universidade Estadual de Londrina (UEL)
Endereço: Rua Izaias Nunes da Silva, 70, Bandeirantes, Londrina – PR E-mail: fran.gardin@hotmail.com
André Lima Rodrigues
Mestrando em Ensino de Ciências e Educação Matemática Universidade Estadual de Londrina (UEL)
Endereço: Rua Delaine Negro, 95, Alto da colina, Londrina, PR E-mail: andrelr1@hotmail.com
Bruno Rodrigo Teixeira
Doutor em Ensino de Ciências e Educação Matemática Universidade Estadual de Londrina (UEL)
Endereço Profissional: Rodovia Celso Garcia Cid, PR 445 Km 380, Campus Universitário, Londrina, PR
E-mail: bruno@uel.br RESUMO
O presente trabalho tem por objetivo relatar a experiência de dois estudantes do curso de licenciatura em Matemática da Universidade Estadual de Londrina (UEL), primeiro e segundo autores, com a introdução do conceito de proporção através da Resolução de Problemas no contexto do Estágio Curricular Supervisionado, apresentando o planejamento da aula e o relato da regência em sala de aula. A experiência ocorreu em 2017, em uma escola pública de Londrina (PR) com a participação de 15 alunos de 7º ano. A abordagem de ensinar através da Resolução de Problemas possibilitou, aos alunos, participação ativa na aula e, aos estagiários, a exploração de estratégias utilizadas pelos discentes e discussões realizadas para desencadear a construção do conceito de proporção.
Palavras-chave: Educação Matemática, Estágio Curricular Supervisionado, Resolução de Problemas, Proporção.
ABSTRACT
The present work aims to report the experience of two students of the Mathematics undergraduate course of the State University of Londrina (UEL), first and second authors, with the introduction of the concept of proportion through the Resolution of Problems in the context of the Supervised Curriculum Internship, presenting the lesson planning and the report of the regency in the classroom.
1 Versão estendida do artigo: Gardin, F. S.; Rodrigues, A. L.; Teixeira, B. R. Uma introdução do conceito de proporção através da
Resolução de Problemas no contexto do Estágio Obrigatório. In: Encontro Nacional de Educação Matemática, 13, 2019, Cuiabá. Anais... Cuiabá, 2019. p. 1-10.
The experience occurred in 2017, in a public school in Londrina (PR) with the participation of 15 7th grade students. The approach of teaching through Problem Solving allowed the students to actively participate in class and, to the trainees, the exploration of strategies used by the students and discussions held to trigger the construction of the proportion concept.
Keywords: Math Education, Supervised Curriculum Internship, Problem Solving, Proportion.
1 INTRODUÇÃO
Nos últimos anos a Resolução de Problemas tem sido utilizada como uma abordagem de ensino alternativa ao ensino tradicional de Matemática na Educação Básica que, segundo estudos, potencializa os processos de ensino e de aprendizagem na aula (ONUCHIC, 1999; ONUCHIC, ALLEVATO, 2004). Sua utilização tem sido frequente no Estágio Curricular Supervisionado do curso de licenciatura em Matemática da Universidade Estadual de Londrina (RODRIGUES; BARBA; TEIXEIRA, 2013; SOUZA; FOGLIE; SANTOS, 2015; BENEDITO; FORNAZIER; TEIXEIRA, 2016; FELIX; CACIOLATO; SANTOS, 2017; RODRIGUES; GARDIN; TEIXEIRA, 2019a; 2019b) em que, pelo regulamento do estágio, é obrigatório o uso de uma das tendências da Educação Matemática, em consonância com as Diretrizes Curriculares de Matemática da Educação Básica do estado do Paraná, segundo as quais:
Os conteúdos propostos devem ser abordados por meio de tendências metodológicas da Educação Matemática que fundamentam a prática docente, das quais destacamos: resolução de problemas; modelagem matemática; mídias tecnológicas; etnomatemática; história da Matemática; investigações matemáticas. (PARANÁ, 2008, p. 63).
Nesse estágio, a escola em que é realizado o Estágio de Regência determina os temas a serem trabalhados com os alunos. Em 2017, um dos conteúdos escolhidos foi Proporção, o qual foi introduzido através da Resolução de Problemas a alunos de uma turma de 7º ano de um colégio público estadual localizado na cidade de Londrina - PR.
O objetivo do presente trabalho é relatar a experiência dos estagiários na introdução do conceito de proporção através da Resolução de Problemas durante a regência em sala de aula. Nas próximas seções são apresentados aspectos teóricos a respeito da Resolução de Problemas e do conteúdo ministrado, o planejamento da aula, o relato da experiência e algumas considerações.
2 RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS
A Resolução de Problemas, enquanto abordagem de ensino, surgiu como uma alternativa ao ensino baseado em memorizações e repetições de conteúdos e exercícios, com o intuito de
Prado e Allevato destacam três concepções de ensino de Matemática baseadas na Resolução de Problemas: “ensinar sobre Resolução de Problemas, ensinar para a Resolução de Problemas e ensinar através da Resolução de Problemas” (PRADO; ALLEVATO, 2010, p. 26, grifo das autoras).
O principal representante da concepção de ensino de Matemática sobre a Resolução de Problemas é George Polya (1994) [...]. Essa concepção corresponde a teorizar sobre Resolução de Problemas, explicitando fundamentos, regras e passos para realizar essa atividade. Segundo Polya (1994), a resolução de um problema exige quatro etapas: a compreensão da tarefa; a concepção de um plano que leve à meta pretendida; a execução desse plano; a análise para determinar se a meta foi atingida [...]. Na concepção de ensinar para a Resolução de Problemas, os professores costumam utilizar os problemas para apresentarem aplicações dos conteúdos matemáticos. Primeiramente, apresentam uma parte teórica dos conteúdos matemáticos, e depois, propõem problemas sobre aquele conteúdo. [...] a concepção do Ensino de Matemática através da Resolução de Problemas, [...] se trata de um trabalho em que um problema é ponto de partida e orientação para a aprendizagem, e a construção do conhecimento se faz através de sua resolução. Professor e alunos, juntos, desenvolvem esse trabalho, e a aprendizagem se realiza de modo colaborativo em sala de aula. (PRADO, ALLEVATO, 2010, p. 26-27).
Para o desenvolvimento do presente trabalho, utilizou-se a concepção de ensinar através da Resolução de Problemas, buscando seguir as nove etapas propostas por Onuchic e Allevato (2011): 1) Preparação do problema; 2) Leitura individual; 3) Leitura em conjunto; 4) Resolução do problema; 5) Observar e incentivar; 6) Registro das resoluções na lousa; 7) Plenária; 8) Busca do consenso; 9) Formalização do conteúdo.
A utilização dessas etapas pode orientar o trabalho de professores e futuros professores em sala de aula nessa perspectiva de ensino, como no caso de Cybulski et al (2019, p. 30581), que apontam que a “organização do trabalho pedagógico segundo as etapas propostas por Onuchic e Allevato (2011) foi de extrema importância para a efetivação da ação, pelos acadêmicos. ”
Entre as potencialidades do uso da Resolução de Problemas em sala de aula, tem-se as seguintes:
• Resolução de problemas coloca o foco da atenção dos alunos sobre as ideias matemáticas e sobre o dar sentido.
• Resolução de problemas desenvolve poder matemático nos alunos, ou seja, capacidade de pensar matematicamente, utilizar diferentes e convenientes estratégias em diferentes problemas, permitindo aumentar a compreensão dos conteúdos e conceitos matemáticos. • Resolução de problemas desenvolve a crença de que os alunos são capazes de fazer matemática e de que a Matemática faz sentido; a confiança e a auto-estima dos estudantes aumentam.
• Resolução de problemas fornece dados de avaliação contínua, que podem ser usados para a tomada de decisões instrucionais e para ajudar os alunos a obter sucesso com a matemática.
• Professores que ensinam dessa maneira se empolgam e não querem voltar a ensinar na forma dita tradicional. Sentem-se gratificados com a constatação de que os alunos desenvolvem a compreensão por seus próprios raciocínios.
• A formalização dos conceitos e teorias matemáticas, feita pelo professor, passa a fazer mais sentido para os alunos. (ONUCHIC, ALLEVATO, 2011, p.82, grifo das autoras)
No tocante a utilização da Resolução de Problemas no contexto do Estágio Curricular Supervisionado, Teixeira e Santos (2017), levando em conta trabalhos desenvolvidos com futuros professores (RODRIGUES; BARBA; TEIXEIRA, 2013; SOUZA; FOGLIE; SANTOS, 2015; BENEDITO; FORNAZIER; TEIXEIRA, 2016; FELIX; CACIOLATO; SANTOS, 2017), destacam que o planejamento de aulas nessa perspectiva, colaborou, entre outros aspectos para que pudessem compreender os conteúdos “não apenas do ponto de vista matemático, mas considerando também aspectos didáticos já que deveriam ser abordados de forma diferente de como seriam em uma aula na perspectiva tradicional de ensino” (TEIXEIRA; SANTOS, 2017, p.1). Além disso, uma visão geral de como poderiam conduzir as aulas, “segurança para executar o que havia sido planejado e para lidar com imprevistos, assim como uma nova visão a respeito do conteúdo matemático e de seu ensino. ” (TEIXEIRA; SANTOS, 2017, p.1).
Com relação ao desenvolvimento das aulas planejadas, os estagiários puderam constatar que a maioria dos alunos “se engajou e participou ativamente, comunicando suas ideias,
discutindo-as, argumentando, socializando-as, valorizando o seu próprio trabalho e se envolvendo nas discussões que colaboraram para a formalização do conteúdo”. (TEIXEIRA; SANTOS, 2017, p.2). Os futuros professores também puderam
[...] reconhecer a importância de, em sua formação inicial, terem a oportunidade de trabalhar com uma abordagem diferenciada em sala de aula para se sentirem encorajados a utilizar em suas futuras aulas, diferentes estratégias de ensino para o trabalho com seus alunos. (TEIXEIRA; SANTOS, 2017, p.2)
Diante disso, destacamos a relevância da possibilidade da utilização da Resolução de Problemas desde a formação inicial de professores de Matemática, em contextos como o do Estágio Curricular Supervisionado.
3 A RESPEITO DO CONCEITO DE PROPORÇÃO
De acordo com os PCN “o fato de que muitas situações da vida cotidiana funcionam de acordo com leis de proporcionalidade evidencia que o desenvolvimento do raciocínio proporcional é útil na interpretação de fenômenos do mundo real” (BRASIL, 1998, p.67). Para isso, é necessário que, entre outros conceitos, os alunos tenham a compreensão de proporção, de modo a identificar situações de proporcionalidade e não proporcionalidade, bem como utilizarem do conhecimento matemático para resolver problemas em que tais situações estejam presentes.
[...] é um conceito que “liga” diversos ramos da matemática escolar, como medida, estatística, aritmética, funções, álgebra e geometria. Da proporcionalidade derivam outros importantes conceitos e conteúdos: regras de três, divisão em partes proporcionais, quantidades intensivas, misturas, porcentagem, taxas, juros, descontos, escalas, estimativas populacionais, variação direta, variação inversa, razões trigonométricas, semelhança de triângulos, probabilidades, etc.
Assim, tal conceito está presente durante todo o percurso escolar dos alunos em diversas áreas do conhecimento (ONUCHIC; ALLEVATO, 2008).
4 O PLANEJAMENTO REALIZADO
No período de preparação para o Estágio de Regência, os estagiários (primeiro e segundo autores) tiveram reuniões de orientação com um professor do Departamento de Matemática da UEL (terceiro autor), em que discutiam aspectos referentes aos conteúdos e suas abordagens. Nessas orientações, foi solicitado que apresentassem no plano de aula as tarefas a serem utilizadas, os objetivos que tinham com as mesmas, possíveis dúvidas dos estudantes e como seriam encaminhadas, bem como uma proposta de formalização do conteúdo.
Apresentamos, a seguir, um excerto do planejamento que contém os aspectos supracitados referente a tarefa para introdução do conceito de proporção.
Quadro 1 – Enunciado da tarefa.
Objetivos: Estabelecer o significado de Proporção. Apresentar a Propriedade Fundamental
da Proporção. Analisar situações de não-proporcionalidade.
Possíveis resoluções
Item a)
• Resolução:
Litros Desconto (em R$)
5 1 10 2 15 3 20 4 25 5 30 6 Item b) • Resolução 1:
A cada 5 litros tem-se R$ 1,00 de desconto.
• Resolução 2:
A razão é 5.
Observação: Faremos uma intervenção no sentido de interpretar o significado dessa razão e entender que da maneira como foi escrita, a razão é 1 . Poderia ser 5 se fosse apresentada como na
5
resolução 3.
No caso dessa resolução, a interpretação é que para cada R$ 1,00 de desconto tem-se 5 litros de combustível.
• Resolução 4:
A razão é a mesma em todos os casos.
• Resolução 5:
As razões são iguais. Item c)
• Resolução 1: As razões são iguais.
• Resolução 2: Quanto maior a quantidade de litros, maior a razão.
Observação: Nesse momento questionaremos se a razão está aumentando, para que percebam que o fato de ser representada por frações equivalentes não altera a razão, o que acontece é que os numeradores e denominadores são números maiores.
Possíveis dúvidas e como seriam encaminhadas
Uma questão que os alunos podem levantar é o porquê de serem 5 litros completos e, o que aconteceria se fossem 6, 7 ou qualquer outra quantidade de litros não representada por um
múltiplo de 5. Nesse caso, justificaremos que poderia ser feito um desconto condizente com cada valor, mas que a promoção do posto só é válida para 5 litros completos de combustível.
Os alunos também podem perguntar, em relação ao item b, quem seria o antecedente e o consequente. Os conduziremos à interpretação do significado de razão no problema e de que maneira podemos representá-la.
No item c, os alunos podem ficar em dúvida a respeito do tipo de conclusão que esperamos. Perguntaremos se conseguem ver alguma regularidade ou relação entre as razões.
Proposta de encaminhamento para a abordagem do conteúdo
A partir da Resolução 1 do item b, conduziremos os alunos a uma comparação entre as razões apresentadas, de forma que percebam a igualdade que há entre elas. Com isso, formalizaremos o conceito de proporção:
“Se duas razões são iguais, elas formam uma proporção. Assim, se a razão entre os números a e b
é igual à razão entre os números c e d, dizemos que é uma proporção.
A leitura da proporção 𝑎
𝑏 =
𝑐
𝑑 é : a está para b assim como c está para d. Os números a, b,
c e d são chamados termos da proporção. O primeiro e o último termos citados na leitura são os extremos da proporção (a e d). Os outros dois termos são os meios da proporção (b e c). ” (DANTE,
2015, p.223, grifo do autor).
Depois de formalizarmos o conceito de Proporção, apresentaremos a Propriedade Fundamental da Proporção com o intuito de mostrar uma outra maneira de verificar a igualdade das razões.
“Propriedade Fundamental da Proporção: Em toda proporção, o produto dos extremos é igual ao produto dos meios.
Simbolicamente, se 𝑎
𝑏 =
𝑐
é uma proporção, então a.d = b.c .” (DANTE, 2015, p.224)
𝑑
Nesse momento discutiremos novamente a interpretação do problema com o conteúdo matemático formalizado e verificaremos a proporcionalidade das razões apresentadas na resolução 1, utilizando a propriedade formalizada.
Por fim, analisaremos uma situação de não-proporcionalidade, utilizando como exemplo a situação de uma sorveteria em que uma bola de sorvete custa R$ 3,00 e duas bolas custam R$ 4,00, e ainda discutindo outros exemplos como a idade e a altura.
5 RELATO DA EXPERIÊNCIA
O presente relato resulta de parte do Estágio de Regência realizado pelos dois primeiros autores do artigo, orientados pelo terceiro autor, no mês de setembro de 2017, em um colégio estadual na cidade de Londrina (PR), com a participação de 15 alunos de uma turma do 7º ano do Ensino Fundamental. O episódio que será relatado teve a duração de aproximadamente 40 minutos. Inicialmente, os estagiários se apresentaram e fizeram a chamada para registrar a presença dos alunos. Em seguida, explicaram como seria desenvolvida a aula. Para que discutissem as estratégias de resolução e chegassem a um consenso, os alunos foram dispostos em grupos de até três pessoas. Informaram que, durante a realização de cada problema, passariam nos grupos questionando-os sobre os procedimentos que haviam adotado e as justificativas dos mesmos, ressaltando que isso não significaria que a resolução estava incorreta, mas que a finalidade era de compreenderem o que estavam produzindo e guiá-los, em caso de dúvidas, sem fornecer respostas imediatas.
Com isso, escolheriam representantes de alguns grupos para apresentarem e explicarem suas resoluções a fim de verificarem com a turma semelhanças e diferenças entre elas e, a partir disso, sistematizariam um novo conteúdo matemático. Ressaltaram que, durante o registro das resoluções no quadro, o restante da turma deveria analisar e identificar semelhanças e diferenças entre as resoluções expostas e a do próprio grupo.
O enunciado do problema, conforme já apresentado no planejamento, que entregaram para os alunos com a intenção de, a partir de suas resoluções, introduzirem o conceito de proporção foi o seguinte:
Fonte: Adaptado de Giovanni; Castrucci; Giovanni Jr (2007).
Cabe destacar que, antes da proposição desse problema, os estagiários já haviam formalizado com os alunos o conceito de razão2. A seguir, são apresentadas algumas resoluções que foram expostas para a turma no momento da plenária.
Figura 1 – Resolução do Grupo A para o item b - Fonte: Autores
Figura 2 – Resolução do Grupo C para o item b - Fonte: Autores
Figura 3 – Resolução do Grupo D para o item b - Fonte: Autores
Figura 4 – Resolução do Grupo E - Fonte: Autores
Nessa tarefa, os estagiários observaram que o desempenho foi variado, pois nos itens b e c, alguns grupos tiveram mais facilidade e outros só conseguiram resolver após intervenções. No item a, em que os alunos precisavam completar o quadro, nenhum grupo apresentou dificuldade e todas as resoluções contemplaram o preenchimento correto do quadro de acordo com a razão estabelecida no problema. A seguir, são descritas as justificativas dos grupos e as intervenções realizadas nos itens b e c.
No grupo A, os alunos estabeleceram razões entre a quantidade de litros e o desconto dado e justificaram que para cada R$ 1,00 de desconto, têm-se cinco litros. A partir das razões que haviam estabelecido o grupo não conseguia resolver o item c. Desse modo, foram questionados sobre quais razões estavam sendo representadas, o que fez com que simplificassem as frações e concluíssem que as razões eram iguais.
No grupo C, os alunos escreveram razões entre o desconto dado e a quantidade de litros, justificando que para cada cinco litros, recebiam R$ 1,00 de desconto, para cada dez litros, recebiam R$ 2,00 de desconto e assim por diante. Desse modo, a intervenção foi semelhante à realizada no grupo A e, assim, os alunos simplificaram as frações e concluíram, no item c, que todas as razões eram iguais.
No grupo D, os alunos não conseguiam desenvolver o item b, visto que pareciam não ter compreendido o conceito de razão formalizado anteriormente. Nesse grupo, foi pedido para que relessem a definição e explicassem o que compreenderam do conceito de razão. Nesse momento, um dos alunos disse que para representar as razões do problema, deveriam escrever “cinco embaixo
de um”, “dez embaixo de dois” e assim por diante. Foi solicitado, então, que fizessem o registro disso no caderno e que, a partir dele, solucionassem o item c.
No grupo E, os alunos também tiveram dificuldade quanto ao conceito de razão. Mesmo relendo a definição, eles não conseguiam entender do que se tratava. Então, a intervenção realizada foi no sentido de questionar qual o significado da razão e nos responderam que numa razão a , para
b
cada b , existe a . Desse modo, foi pedido para que, a partir disso, solucionassem os itens b e c. Foi solicitado que os grupos A, C, D e E fossem ao quadro. As justificativas expostas pelos representantes durante a plenária foram as mesmas apresentadas nos grupos.
No momento da formalização, no item a, os estagiários verificaram a validade das resoluções apresentadas à turma, ressaltando a regularidade que já haviam percebido ao completarem o quadro. No item b, relacionaram o registro do grupo D com o do grupo C, visto que as frações representadas pelo grupo C eram descritas em linguagem corrente pelo grupo D. Ainda, questionaram sobre a diferença nos registros dos grupos A e C e os alunos disseram que se tratava de “frações inversas”. Com isso, perguntaram quais as interpretações das razões representadas pelos dois grupos e, ao dizerem que a da escrita pelo grupo A era que, para cada R$1,00 de desconto tinham cinco litros de combustível, e a da escrita do grupo C era que, para cada cinco litros de combustível tinham R$1,00 de desconto, destacaram que, embora possuíssem interpretações diferentes, as duas resoluções estavam corretas. Analisando esse aspecto, relacionaram a resolução do grupo C com a resolução do grupo E.
No item c, utilizaram a ideia da maioria dos grupos, de que as razões eram iguais, e o registro do grupo C em que igualaram as frações equivalentes, para formalizarem o conceito de proporção, como descrito no planejamento.
Destacaram que havia uma proporção nas razões estabelecidas, pois eram iguais, verificando essa igualdade por meio das simplificações das frações feitas pelos alunos dos grupos A e C. Ainda, apresentaram e utilizaram a propriedade fundamental da proporção3 como outra maneira de verificar essa igualdade.
3 “Propriedade Fundamental da Proporção: Em toda proporção, o produto dos extremos é igual ao produto dos meios. Simbolicamente, se a c é uma proporção, então a d bc ”. (DANTE, 2015, p.224)
Feito isso, discutiram as situações de não proporcionalidade descritas no planejamento. Como ponto positivo da atuação nessa tarefa, os estagiários destacaram o fato de relacionarem as resoluções apresentadas no quadro entre elas e com o conteúdo que formalizaram. Além disso, julgaram positivo o retorno à tarefa para exemplificar o que estava escrito na definição. Consideraram ainda que a preparação foi o que contribuiu para esses pontos positivos, bem como as diferentes resoluções apresentadas pelos alunos.
Como falha, analisando posteriormente, observaram que poderiam ter realizado outras intervenções no grupo D, de modo a verificar se o registro foi intencional ou se não haviam compreendido a representação de uma razão. Ainda assim, consideraram que caso não houvessem entendido, durante a formalização foi possível esclarecer essa questão, visto que relacionaram essa escrita com o registro do grupo C.
6 CONSIDERAÇÕES FINAIS
Introduzir o conceito de proporção através da Resolução de Problemas permitiu que os estagiários realizassem um estudo mais aprofundado do conteúdo e da abordagem de ensino utilizada, o que refletiu positivamente na regência e influenciará em suas aulas futuras.
Para os estagiários, o planejamento realizado para uma aula na perspectiva de ensinar através da Resolução de Problemas oportunizou segurança na atuação em sala de aula e preparo para lidar com possíveis dúvidas e resoluções, assim como já destacado por Teixeira e Santos (2017) mediante outros trabalhos realizados no contexto do Estágio Curricular Supervisionado. Assim, consideraram a tendência metodológica utilizada como fator principal para o desenvolvimento positivo da aula, tendo em vista a exploração das estratégias utilizadas pelos alunos e as discussões realizadas, que possibilitaram a construção do conceito de proporção, além de participação ativa dos alunos na aula.
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