Universidade Nove de Julho - UNINOVE
Campus Memorial
Alanderson dos Reis Silva, RA: 909210126
Ezequias M Silva, RA: 909207013
Hellen Tamirys de Freitas
ESTUDO DIRIGIDO SOBRE RAÍZES RACIONAIS
Trabalho apresentado ao Curso
de Matemática da Universidade
Nove de Julho.
Orientador: Prof. Edilson Luis dos
Santos Pinaco
DEZEMBRO
Raízes Racionais
Um pouco de história
As Equações de Grau maior que 5.
A partir do final da primeira metade do século XVI uma questão, principalmente, mereceu a atenção dos algebristas de todo o mundo. Tal como na milenar fórmula de resolução das equações do segundo grau (em notação atual): ax2 + bx + c = 0, a # 0 𝑥= −𝑏± 𝑏2−4𝑎𝑐
2𝑎 ,
Matemáticos italianos tinham acabado de mostrar que também as raízes das equações cúbicas e quárticas se expressam em função dos coeficientes por meio das quatro operações aritméticas e radiciações convenientes. Não valeria o mesmo para equações de grau >= 5?
Durante dois séculos e meio, aproximadamente, foram infrutíferos os esforços dos especialistas em face dessa questão. Diante de tanto esforço inútil, a partir de certo momento começou-se a duvidar de que, como se diz hoje, as equações de grau >= 5 fossem resolúveis por radicais, como o são as de grau dois, três e quatro. E Paolo Ruffini (1765 ~ 1822), um médico e matemático italiano, professor da universidade de Módema, efetivamente confirmou essa impossibilidade, quanto às equações de grau 5, num livro de 1799. Mas os argumentos de Ruffini foram considerados muito vagos, do ponto de vista matemático.
Não demoraria, porém para que essa questão fosse definitivamente encerrada. O autor desse feito foi o maior matemático norueguês de todos os tempos, Niels Henrik Abel (1802 ~ 1829).
Niels Henrik Abel (1802 ~ 1829).
Este, além de matemático competente, sabia motivar seus alunos. E, com relação a Abel, esta tarefa foi facilitada pela sua genialidade latente.
Cerca de um ano após conhecê-lo, Holmboe vaticinou que Abel seria o maior matemático do mundo.
Quando tinha cerca de 19 anos e era aluno da Universidade de Cristiania (Oslo), Abel passou a estudar as equações de grau maior que quatro. Inicialmente achou ter encontrado uma solução para as quínticas por meio de radicais, mas depois percebeu que havia errado. Mas persistiu e num artigo de 1824 provou a impossibilidade da resolução geral, por meio de radicais, das equações de grau >= 5 (resultado hoje conhecido como teorema de Ruffini-Abel).
Quando publicou seu trabalho sua repercussão foi praticamente nula. Gauss (1777 ~ 1855), o maior matemático de seu tempo, recebeu uma cópia, mas não lhe deu a mínima atenção. Afinal era difícil acreditar que uma questão aberta há dois séculos e meio pudesse ser resolvida por um ilustre desconhecido.
Abel ao ganhar uma bolsa viajou para França, Itália e Alemanha a fim de mostrar sua já vasta produção matemática e tentar um posto acadêmico numa universidade que lhe permitisse sair da situação de penúria em que vivia (desde os 18 anos era órfão de pai e arrimo de família). O que de mais prático conseguiu resultou da amizade que travou com August L. Crelle, um engenheiro alemão, entusiasta da matemática, que pela época lançou o primeiro periódico dedicado exclusivamente à matemática. Assim é que nos três primeiros números desse jornal, cujo lançamento foi em 1826, figuram 22 artigos de Abel (5 só no primeiro - inclusive o teorema de Ruffini-Abel). Mesmo tendo retornado à sua terra natal, tangido por problemas financeiros, esses artigos começaram a revelar o talento de Abel à comunidade matemática da Europa.
Mas Abel morreu cedo, antes de completar 27 anos, vítima de tuberculose, e o reconhecimento de sua genialidade, como um convite para ser professor da Universidade de Berlim, chegou tarde.
A seu respeito assim se pronunciou Charles Hermite (1822 ~ 1901):
“Abel deixou aos matemáticos com o que trabalhar durante 150
Números Racionais
Antes de iniciarmos nosso estudo de Raízes Racionais cabe relembrar um
pouco sobre os números racionais.
Denominamos número racional o quociente de dois números inteiros 𝑝
𝑞 com
q ≠0.
Qualquer número que pode ser colocado na forma fracionária em que o numerador e o denominador seja números inteiros é um número racional.
O conjunto numérico dos racionais é designado pela letra Q, para lembrar
“quociente”.
Podemos escrevê-los de algumas formas diferentes:
Por exemplo:
♦ Em forma de fração ordinária: ; ; e todos os seus opostos.
Esses números têm a forma 𝑝
𝑞 com p , q Z e q ≠ 0.
♦ Números decimais com finitas ordens decimais ou extensão finita.
Esses números têm a forma 𝑝
𝑞 com p , q Z e q ≠ 0.
As dízimas periódicas de expansão infinita podem ser escritas na forma 𝑝
𝑞 com p , q Z e q ≠ 0.
Assim sendo o conjunto dos números racionais é composto pelos números inteiros relativos, dízimas finitas e dízimas infinitas periódicas.
Representação em forma de Conjunto:
Raízes Racionais
Teorema das raízes racionais:
Olhando para o teorema das raízes racionais acima surge algumas perguntas:
O que é este teorema? Como o resolves?
Como explicar de uma maneira fácil?
Basicamente, diz o seguinte:
Se um número racional p/q, simplificado ao máximo, é raiz de uma equação polinomial de qualquer grau, então p é divisor do termo livre (sem incógnita) e q é divisor do coeficiente do termo de maior grau.
O Teorema das Raízes Racionais nos permite fazer uma lista de todos os possíveis zeros racionais de uma dada função polinomial com coeficientes inteiros. Daí, podemos testá-los e verificar quais dos possíveis candidatos são realmente zeros da função.
Isto é útil para tentar descobrir algumas raízes de equações de 2º grau ou maior. Por exemplo, considere:
4x³ - 32x² + 67x - 35 = 0
Pelo Teorema de Raízes Racionais é provável que um dos divisores de 35 sobre um dos divisores de 4 seja uma raiz. Se for, basta dividir o polinômio por este número e resolver uma equação do segundo grau.
Os divisores de 35 são: 35, 7, 5 e 1 (não esqueça o 1); os divisores de 4 são: 4, 2 e 1. Os testes devem ser feitos com raízes positivas e negativas, que podem ser:
35 7 5 1 35/2 7/2 5/2 1/2 35/4 7/4 5/4 ¼ E seus negativos.
Vamos começar com 1 (inteiros primeiros, depois frações):
4×1³ - 32×1² + 67×1 - 35 = 4
Quem sabe o negativo?
4×(-1)³ - 32×(-1)² + 67×(-1) - 35 = -4 - 32 -67 - 35 = -138
Nem precisamos tentar mais números negativos, é óbvio, pela alternância de sinais, que as raízes reais são todas positivas: os coeficientes dos termos de potência par tem sinal negativo, os dos de potência ímpar tem sinal positivo.
Vamos tentar com 5: 5³ = 125; 4×125 = 500 32×25 = 800
67×5 = 335
500 - 800 + 335 - 35 = 0 (Ótimo)
Agora podemos dividir o polinômio por (x - 5) para ter uma equação mais simples:
(4x³ - 32x² + 67x - 35)/(x - 5) =
(4x³ - 20x² - 12x²+ 60x + 7x - 35)/(x - 5) = (4x²(x - 5) - 12x (x - 5) + 7(x - 5)) / (x - 5) = 4x² - 12x + 7
x = (12 ±√ (14² - 4×4×7) )/( 2×4) = ( 12 ±√ (144 - 112))/8 = (12 ± √32)/8 = (12 ± 4√2)/8 = (3 ± √2)/2
Se fosse de um grau maior, você poderia usar o método novamente para tentar reduzir ainda mais.
Algumas Observações
1° - O Teorema anterior só se aplica a equações polinomiais de
coeficientes inteiros (todos). Não é suficiente que o coeficiente dominante
(an) e o termo independente (a0) sejam inteiros.
Assim, por exemplo, a equação x2 – 5
2x + 1 = 0 apresenta as raízes racionais 2 e ½ enquanto o teorema anterior (aplicado erradamente) preveria apenas como possíveis raízes 1 e -1.
2° - Se a equação P(x) = 0. Com coeficientes inteiros e a0 ≠ 0, admite
uma raiz inteira r = 𝒓
𝟏, então r é divisor de a0 (termo independente de P).
Assim, as possíveis raízes inteiras de 7x5 + x4– x3– x2– x + 6 = 0 são -1, 1, -2, 2, -3, 3, -6, 6.
3° Se a equação P(x) = 0, com coeficientes inteiros e coeficiente
dominante unitário (an = 1), admite uma raiz racional 𝒑𝒒, então essa raiz é
necessariamente inteira, por q = 1.
Assim, por exemplo, qualquer raiz racional da equação
x4 + 11x3– 7x2 + 4x – 8 = 0
Exemplos:
1) Prove que a equação 2x³ + x² + 2 não admite raízes racionais.
2) Determine a única raiz natural da equação x5 - 3x4 + 5x³ -15x² + 4x - 12=0
3) Sabe-se que a equação 2x³ + x² - 6x - 3=0 admite uma única raiz racional e não inteira. As demais raízes dessa equação são:
A) Inteiras e Positivas B) Não Reais
