Aula 8_Pesquisa Operacional.pdf

PESQUISA OPERACIONAL

PROF. AMADO LEITE

Problemas de Transporte

Problemas de Transporte

Problemas de Transporte

Do ponto de vista do mercado, de nada adianta o fornecedor dispor de um bom produto que não é encontrado pelo cliente no momento em que deseja.

Problemas de Transporte

Formulação do Problema:

Imagine que existam m fontes de um produto; cada fonte pode fornecer a quantidade a_i, com índice i = 1, 2, …, m.

Por outro lado, existem n mercados, cada qual podendo absorver uma quantidade b_j, com j = 1, 2, …, n.

Problemas de Transporte

O objetivo do problema é determinar o número de unidades que devem ser transportadas de cada fonte para cada destino de modo a minimizar o custo total de transporte.

Problemas de Transporte

MODELAGEM DO PROBLEMA Considerações:

• Variável x_ij: número de unidades transportadas da fonte i para o destino j;

• O número total de unidades transportadas, a partir da fonte i deve ser igual à capacidade a_i

Problemas de Transporte

 Se a demanda for maior que o fornecimento, deve-se acrescentar uma fonte auxiliar (estoque, importação, etc).

Problema de Transporte

Caso LCL Bicicletas

A LCL Bicicletas possui 3 fábricas localizadas no Rio, São Paulo e Belo Horizonte. A produção deve ser entregue em Recife, Salvador e Manaus. Considerando os custos de transporte unitários, as capacidades de produção das fábricas e as demandas dos centros consumidores que estão especificados na tabela a seguir, determine quanto deve ser produzido e entregue por cada fábrica em cada centro consumidor de forma a minimizar os custos de transporte.

Centro Consumidor

Fábrica Recife Salvador Manaus Capacidade

Rio 25 20 30 2000

São Paulo 30 25 25 1500

B.Horizonte 20 15 23 1500

Problema de Transporte:

Modelo Tradicional

Existem 9 variáveis para expressar a quantidade transportada em cada uma das possíveis vias.

– x_ij = Quantidade transportada da fábrica i para o

centro consumidor j.

Problema de Transporte:

Variáveis de Decisão

Centro Consumidor

Fábrica REC SSA MAN

Rio x₁₁ x₁₂ x₁₃

SP x₂₁ x₂₂ x₂₃

BH x₃₁ x₃₂ x₃₃

RIO

SP

BHZ

REC

SSA

MAN x₁₁

x₁₂ x₁₃ x₂₁

x₂₂ x₂₃ x₃₁

x₃₂

Problemas de Transporte:

Propriedades

Soluções Inteiras:

Para problemas de transporte onde os valores das

ofertas, o_i e demandas d_j , sejam números inteiros, todos

os valores das variáveis das soluções básicas viáveis,

Problemas de Transporte:

Propriedades

A condição necessária e suficiente para um problema de transporte com n fábricas e m centros consumidores

tenha solução é dada por:

Total da Capacidade = Total da demanda





= =

=

m

j

j n

i

i d

f

Problema de Transporte

Oferta

≠

Demanda

 A regra das variáveis “fantasma” (Dummy):

– No caso de Oferta ≥ Demanda devemos introduzir um destino “fantasma”;

– No caso de Demanda ≥ Oferta devemos introduzir uma oferta “fantasma”;

 Todos os custos relacionados às variáveis “fantasma” serão nulos;

Problema de Transporte

Caso LCL Bicicletas

 Modificando a oferta de São Paulo de 1500 para 3000

Demanda total menor que a Oferta total!

Centro Consumidor Capacidade

Fábrica Recife Salvador Manaus (oferta)

Rio 25 20 30 2000

São Paulo 30 25 25 3000

B.Horizonte 20 15 23 1500

Problema de Transporte

Caso LCL Bicicletas



Cria-se um consumidor

Dummy

:

Centro Consumidor

Fábrica Recife Salvador Manaus Dummy Capacidade

Rio 25 20 30 0 2000

São Paulo 30 25 25 0 3000

B.Horizonte 20 15 23 0 1500

Caso LCL Bicicletas

Problemas de Transporte

Solução Alternativa

As Variáveis Dummy não são obrigatórias, apenas facilitam a interpretação do resultado da otimização.

 Capacidade > Demanda:  Criação de consumidor

dummy

 Interpretação: capacidade ociosa

 Alternativa: restrições de

oferta com sinal 

 Demanda > Capacidade:

 Criação de fábrica dummy  Interpretação: demanda

não atendida;

 Alternativa: restrições de

Caso LCL Bicicletas

Modelo sem

Dummy

no Excel

As restrições de oferta estão

com sinal 

Caso LCL Bicicletas

Caso LCL Bicicletas

Exercício 1

Os dados são:

• Capacidades das fontes a₁ = 15 e a₂ = 25

• Demanda dos destinos b₁ = 20, b₂ = 10 e b₃ = 10

• Custo do transporte das rotas c₁₁ = 10, c₁₂ = 3 e c₁₃ = 5

c₂₁ = 12, c₂₂ = 7 e c₂₃ = 9

Minimizar

Z = 10.x₁₁ + 3.x₁₂ + 5.x₁₃ + 12.x₂₁ + 7.x₂₂+ 9.x₂₃

Sujeito a

• Capacidade das fontes x₁₁ + x₁₂ +x₁₃ = 15

x₂₁ + x₂₂ +x₂₃ = 25

• Absorção pelos destinos x₁₁ + x₂₁ = 20

x₁₂ + x₂₂ = 10 x₁₃ + x₂₃ = 10

Exercício 2

Caso Miss Daisy Ltda.

Ipanema

Copac

aba

na

Cen

tr

o

Ba

rr

a

Leblon Tij

uc

a

Capacidade

Filial Centro

7 9 1 12 7 4 2500

Filial Barra

4 5 12 1 3 8 2000

Demanda _{1400 1560 400 150 870 620}

Exercício 2

Exercício 3

Caso das 5 fábricas

Produto 1 Produto 2 Produto 3 Capacidade

Fábrica 1 90 62 76 2000

Fábrica 2 82 58 70 3000

Fábrica 3 92 64 80 2000

Fábrica 4 84 56 Não produz 3000

Fábrica 5 86 58 Não produz 5000

Demanda 5000 3000 4000

Exercício 3

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Menor Caminho

Exemplo

Menor Caminho:

Mapa

Lambari

1

São Lourenço

3

Cachambú

5

Baependi

6 Três

Corações

2

S. Thomé das Letras

4 45Km

41Km

27Km

4Km 37Km

44Km

X12 - Trecho Lambari (1) – Três Corações (2)

X13 - Trecho Lambari (1) – São Lourenço (3)

X15 - Trecho Lambari (1) – Caxambu (5)

X24 – Trecho Três Corações (2) – São Thomé das Letras (4)

X35 – Trecho São Lourenço (3) – Caxambu (5)

X46 – Trecho São Thomé das Letras (4) – Baependi (6)

X56 – Trecho Caxambu (5) – Baependi (6)

Caso LCL Adornos & Tecidos

De Para Distância (Km)

Rota

Selecionada Nó

Fluxo Líquido

Oferta Demanada

1 2 41 0 1 0 -1

1 3 44 0 2 0 0

1 5 50 0 3 0 0

2 4 37 0 4 0 0

3 5 27 0 5 0 0

4 6 45 0 6 0 1

5 6 4 0

Distância

Total 0

Menor Caminho:

Fórmulas utilizadas nas restrições do caso LCL Adornos & tecidos

Função-objetivo Célula Fórmula referente à função-objetivo

Min 41x₁₂ + 44x₁₃ + 50x₁₅ + 37x₂₄ + 27x₃₅ + 45x₄₆ + 4x₅₆

E12 =SOMARPRODUTO(D4:D10;E4:E10)

Restrição Célula Fórmula referente ao LHS da restrição

-x₁₂– x₁₃– x₁₃ = -1 H4 =SOMASE($C$4:$C$10;G4;$E$4:$E$10)-SOMASE($B$4:$B$10;G4;$E$4:$E$10) X₁₂– x₂₄ = 0 H5 =SOMASE($C$4:$C$10;G5;$E$4:$E$10)-SOMASE($B$4:$B$10;G5;$E$4:$E$10) X₁₅– x₃₅ = 0 H6 =SOMASE($C$4:$C$10;G6;$E$4:$E$10)-SOMASE($B$4:$B$10;G6;$E$4:$E$10) X₂₄– x₄₆ = 0 H7 =SOMASE($C$4:$C$10;G7;$E$4:$E$10)-SOMASE($B$4:$B$10;G7;$E$4:$E$10) X₁₅ + x₃₅– x₅₆ = 0 H8 =SOMASE($C$4:$C$10;G8;$E$4:$E$10)-SOMASE($B$4:$B$10;G8;$E$4:$E$10) X₄₆ + x₅₆ = +1 H9 =SOMASE($C$4:$C$10;G9;$E$4:$E$10)-SOMASE($B$4:$B$10;G9;$E$4:$E$10)

Menor Caminho:

Caso LCL Adornos & Tecidos

De Para Distância (Km)

Rota

Selecionada Nó

Fluxo Líquido

Oferta Demanada

1 2 41 0 1 -1 -1

1 3 44 0 2 0 0

1 5 50 1 3 0 0

2 4 37 0 4 0 0

3 5 27 0 5 0 0

4 6 45 0 6 1 1

5 6 4 1

Distância

Total 54

Microsoft Excel 12.0 Relatório de resposta Planilha: [04.11.13_PO.xlsx]Plan1

Relatório criado: 4/11/2013 16:00:39

Célula de destino (Mín)

Célula Nome Valor original Valor final

$E$12 Distância Total Rota Selecionada 0 54

Células ajustáveis

Célula Nome Valor original Valor final

$E$4 Rota Selecionada 0 0

$E$5 Rota Selecionada 0 0

$E$6 Rota Selecionada 0 1

$E$7 Rota Selecionada 0 0

$E$8 Rota Selecionada 0 0

$E$9 Rota Selecionada 0 0

$E$10 Rota Selecionada 0 1

Restrições

Célula Nome Valor da célula Fórmula Status Transigência

$H$4 Fluxo Líquido -1 $H$4=$I$4 Sem agrupar 0

$H$5 Fluxo Líquido 0 $H$5=$I$5 Sem agrupar 0

$H$6 Fluxo Líquido 0 $H$6=$I$6 Sem agrupar 0

$H$7 Fluxo Líquido 0 $H$7=$I$7 Sem agrupar 0

$H$8 Fluxo Líquido 0 $H$8=$I$8 Sem agrupar 0

$H$9 Fluxo Líquido 1 $H$9=$I$9 Sem agrupar 0

Problemas de Transporte

 A escolha da melhor rota

Um problema muito comum na gerência de transportes é a seleção da melhor rota em uma rede de transportes, de modo a minimizar o custo total do transporte.

Vamos considerar que a rede de transporte liga uma origem, onde a carga é embarcada, a um destino final, passando por nós intermediários que representam

Problemas de Transporte

 A escolha da melhor rota

O objetivo do problema é atender a todas as demandas, final e intermediárias, minimizando o custo total do

transporte.

Como as tarifas de transporte são proporcionais à

quantidade de carga e à distância percorrida, podemos minimizar o “momento de transporte”, que é definido

Problemas de Transporte

 Formulação do Problema

Seja uma empresa que tem um depósito na localidade A e deve embarcar 200 toneladas de carga para um conjunto de localidades que apresentam necessidades variadas, tal

como a tabela abaixo:

LOCALIDADE NECESSIDADE DE CARGA (ton)

B 20

C 30

D 10

E 20

F 20

Problemas de Transporte

A localidade G, que receberá a maior quantidade, será considerada nosso destino final.

Problemas de Transporte

 Construção do Modelo:

Observado o grafo construído, podemos definir as seguintes variáveis:

• x_AB: quantidade transportada da localidade A para a localidade B

• x_AC: quantidade transportada da localidade A para a localidade C

Problemas de Transporte

• x_AE: quantidade transportada da localidade A para a localidade E

• x_BE: quantidade transportada da localidade B para a localidade E

• x_CE: quantidade transportada da localidade C para a localidade E

• x_CF: quantidade transportada da localidade C para a localidade F

Problemas de Transporte

• x_DG: quantidade transportada da localidade D para a localidade G

• x_EG: quantidade transportada da localidade E para a localidade G

Problemas de Transporte

Problemas de Transporte

As Restrições devem representar o equilíbrio de carga em cada localidade da rede:

Localidade A: x_AB + x_AC + x_AD + x_AE = 200 Localidade B: x_AB - x_BE = 20

Localidade C: x_AC - x_CE - x_CF = 30 Localidade D: x_AD - x_DF - x_DG = 10

Localidade E: x_AE + x_BE + x_CE - x_EG = 20 Localidade F: x_CF + x_DF - x_FG = 20

Problemas de Transporte

Função Objetivo:

Minimizar

Problemas de Transporte

ROTAS _CARGA

DISPONIVEL

CARGA TRANSPORTADA

LOCALIDADE AB AC AD AE BE CE CF DF DG EG FG

A 1 1 1 1 200 4 B 1 -1 20 0 C 1 -1 -1 30 -1 D 1 -1 -1 10 -1 E 1 1 1 -1 20 2 F 1 1 -1 20 1 G 1 1 1 100 3

VARIAVEIS

AB AC AD AE BE CE CF DF DG EG FG

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

DISTANCIAS ENTRE AS LOCALIDADES

AB AC AD AE BE CE CF DF DG EG FG _{CUSTO TOTAL}