LABORATÓRIO
DE
INSTALAÇÕES ELÉTRICAS
Título da Experiência:
Números Complexos
Prof. Oswaldo Tadami Arimura
OBJETIVOS:
- Rever as teorias básicas de Números Complexos;
- Exemplificar a utilização de Números Complexos em cálculos de Corrente Alternada;
- Introduzir o uso da calculadora nas transformações das representações.
INTRODUÇÃO TEÓRICA:
O sistema de numeração impôs-se desde o momento em que o homem primitivo precisou de contar as peças que apanhava da caça e os filhos que tinha., fazendo nascer assim o conceito de número natural (1, 2,...). Neste conjunto podem definir-se duas operações, soma e produto , mas não divisão ou subtracção, que só teria solução nos casos em que o diminuendo fosse menor que o diminuidor (não existe nenhum número natural que seja igual a 2 menos 4). Desta forma, foi preciso criar outra classe de números que resolvesse este problema: os números inteiros (0, 1, -1, 2, -2, ...). Observe que no conjunto dos números inteiros ficam incluídos os naturais; entretanto, só é possível a divisão quando o dividendo é múltiplo do divisor. Daí a necessidade de introduzir os números fraccionários.
A reunião de inteiros e fraccionários forma o conjunto dos números racionais. Neste conjunto só não é possível a radiciação: √3 e 3√2 são exemplos de raízes que não têm sentido nos números racionais. Aos números deste tipo chamamos-lhes irracionais. Fica assim completo o campo dos números reais (a união dos racionais com os irracionais). Só fica por resolver o caso das raízes de índice par dos números negativos. Por isso há que introduzir a noção de números complexos.
O conjunto dos números complexos formam um corpo algebricamente fechado. Isso significa que toda equação algébrica de grau não nulo pode possuir como solução um número complexo. Esta definição é conhecida como teorema fundamental da álgebra e foi demonstrado primeiramente pelo matemático alemão Carl Friedrich Gauss.
Os números complexos são utilizados em várias áreas do conhecimento, tais como engenharia, eletromagnetismo, física quântica, teoria do caos, além da própria matemática, em que são estudadas análise complexa, álgebra linear complexa, álgebra de Lie complexa, com aplicações em resolução de equações algébricas e equações diferenciais.
Neste experimento, procuraremos estudar a aplicação da teoria dos Números Complexos em problemas relacionados aos circuitos elétricos.
O fato de um número negativo não ter raiz quadrada parece ter sido sempre claro para os matemáticos que se depararam com esta questão, até a concepção do modelo dos números complexos. Assim, definiremos a unidade imaginaria j como sendo um numero não real:
Propriedades básicas
j
0= 1 j
1= j
j
2= -1
(por definição) j
3= -j
j
4= 1 j
5= j
j
6= -1 j
7= -j
2. Definição básica – O Numero Complexo - Ż
Seja o numero complexo como sendo qualquer número que possa ser escrito da seguinte forma:
Ż =
a + jb
Onde a e b são números reais, denominados de Coeficiente Real e j denota a unidade imaginária, denominada de Coeficiente Imaginário. Verifica-se assim, que um número complexo é definido por um par de valores, enquanto que um numero real é definido por um único valor; ou seja, um numero complexo é um ponto num plano cartesiano, enquanto que um numero real é um ponto numa reta.
2.1. Notação Complexa
Os números complexos podem ser determinados utilizando as coordenadas cartesianas (retangulares) ou as coordenadas polares. Nas coordenadas cartesianas, necessitamos o par de valores de a e b para localizarmos o complexo. Já em coordenadas polares, precisamos do ângulo Φ de posicionamento e do comprimento
l
que determina a distância do numero complexo até a origem do sistema de coordenadas, conforme mostra a figura abaixo.Verifica-se através do gráfico das coordenadas Polares que o comprimento
l
, é um valor essencialmente positivo, portanto será considerado sempre o módulo do numero complexo e representado pela letra Z e, sua expressão será definida da seguinte maneira através da notação de Kennelly:Ż = |Ż| Φ
O numero complexo não é um Vetor, mas sim um Fasor, desta maneira eles possuem algumas propriedades vetoriais, razão pela qual é usual usarmos seu módulo como sendo vetor orientado da origem até o ponto onde se encontra. Em resumo, para representar
um numero complexo, temos duas forma a forma Cartesiana ou Retangular (Ż = a + jb)
e a forma Polar (Ż = |Ż| Φ ), seguimos sempre a referencia do sentido anti-horário no plano cartesiano.
Observe as variações dos sinais (a e b) da representação cartesiana nos quatros quadrantes. Por outro lado, na representação polar o ângulo nos quadrantes pode ser tanto positivo quanto negativo; ou seja, podendo usar sempre o complementar do numero.
2.2 Transformação da representação Cartesiana para representação Polar
Para a transformação de um numero complexo da forma Cartesiana ou Retangular
Os valores de a e b nos quatros quadrantes mostram claramente o posicionamento do numero complexo, entretanto os sinais não influencerão no calculo do módulo, conforme citado no procedimento.
2.3 Transformação da representação Polar para representação Cartesiana
Também recomenda-se elaborar um esboço grafico para realizar a transformaçao da forma Polar (Ż = |Ż| Φ ) na forma Cartesiana ou Retangular (Ż = a + jb). Siga o procedimnto ao lado do gráfico para a transformação.
2.4 Notação de Euler
Em nossos estudos não utilizaremos a notação de Euler; entretanto, sua apresentação é importante na demonstração das propriedades fundamentais dos números complexos. Desta forma, pela teoria das series temos:
e jΦ = cos
Φ + j sen Φ
Por outro lado, temos a representação do numero complexo através do gráfico:
1. Determine Ż = a2 +b2 , para qualquer quadrante. Perceba que os sinais de a e b, não influenciam na determinação deste módulo.
2. Determine o ângulo Φ, através da
equação Φ = arctg |
a b
|, podendo usar
também as funções seno e cosseno.
3. Finalize reescrevendo a expressão na forma Polar: Ż = | Ż | Φ
1. Determine o valor de a através da equação a = cosΦ . | Ż |. 2. Determine o valor de b através da
equação: b = senΦ . | Ż |. 3. Os sinais de a e b podem ser
observados em cada quadrante do gráfico ao lado.
Podemos então escrever:
Ż = a + jb = | Ż | cos Φ + j | Ż | sen Φ
Ż = | Ż |.( cos Φ + j sen Φ )
Ż = | Ż | e jΦ
2.5 Propriedades Fundamentais
2.5.1 Negativo de um Numero Complexo
Como já falamos anteriormente, os Números Complexos são fasores, dessa forma,
possuem algumas propriedades vetoriais, especialmente para soma e subtração.Podemos
2.5.2 Numero Complexo Conjugado (Ż*)
Seja o numero complexo na forma cartesiana: Ż1 = a1 + jb1 , seu conjugado é definido pelo numero Ż2 = a2 - jb2; .na forma polar Ż1 = |Ż1| Φ1 e seu conjugado é
Ż2 = |Ż2| - Φ2. Graficamente podemos representar da seguinte maneira:
Conjugado em coordenadas cartesianas Conjugado em coordenadas Polares
3. Operações com Números Complexos
3.1 Adição e Subtração
Para facilitar as simplificações é interessante realizar essas operações na forma Cartesiana (Retangular); entretanto, esse procedimento não descarta a possibilidade de utilizarmos a forma Polar.
Seja: Ż1 = a1 + jb1 e Ż2 = a2 + jb2 Teremos:
Adiçao
Żt = Ż1 + Ż2 = (a1 + jb1 ) + (a2 + jb2)
Żt = (a1 + a2) + j (b1 + b2)
Subtração
Żt = Ż1 - Ż2 = (a1 + jb1 ) - (a2 + jb2)
Żt = (a1 + a2) + j (b1 + b2)
Observe que em ambos os casos são realizadas simplificações matemáticas básicas. Por outro lado, caso os números estivessem na forma Polar, teremos duas opções para realizar as operações:
1ª opção: converte-se cada um dos números complexos da forma Polar para a forma Cartesiana e executa-se a adição ou a subtração e, posteriormente transforma-se o resultado novamente em coordenadas Polares;
2ª opção: considerando-se que os números complexos possuem algumas
propriedades vetoriais, podemos obter a soma e a diferença pela aplicação das propriedades da analise vetorial.
3.2 Multiplicação e Divisão
Nessas operações devemos utilizar a representação Polar para facilitar os cálculos e as simplificações. Também nesses casos não é descartado a utilização da forma cartesiana.
Seja : Ż1 = |Ż1| Φ1 e Ż2 = |Ż2| Φ2
Multiplicação
Żt = Ż1 . Ż2 = |Ż1| Φ1 . |Ż2| Φ2 Żt = |Ż1| |Ż2| Φ1 + Φ2
Divisão
Żt =
2 2 1 1 2 1 . | | . | | Φ Φ = Z Z Z Z & &
Żt = 1 2 2
1 . .
| | | | Φ − Φ Z Z & &
Observe que nesses casos também são realizadas simplificações matemáticas básicas. Por outro lado, caso os números estivessem na forma Cartesiana, teremos duas opções para realizar as operações:
Żt = Ż1 . Ż2 = (a1 + jb1 ) . (a2 + jb2)
1ª opção: converte-se cada um dos números complexos da forma Cartesiana para a forma Polar e executa-se a operação e, posteriormente transforma-se o resultado novamente em coordenadas Cartesianas;
2ª opção: poderíamos aplicar a propriedade distributiva e aplicar a propriedade básica, mostrada no item 1, pois a incógnita “j” ficará ao quadrado.
3.3 Potenciação e Radiciação
Potenciação
Sendo : Ż = | Ż| Φ
Ż = | Ż| Φ
Temos; n (Z&) =n|Z&|..Φ =n|Z&|
Φ/n
MATERIAL UTILIZADO:
- Calculadora científica ou programável.
PROCEDIMENTO EXPERIMENTAL:
Utilizar a calculadora para realizar a transformação de Retangular (Cartesiana) para Polar e Polar para Retangular. No exemplo abaixo será descrito o procedimento para a calculadora Ref. Casio fx-82ms.
1. Retangular para Polar
2. Polar para Retangular
1.pressione a tecla Pol(;
2. Digite o valor de a. 3. pressione Virgula; 4.Digite o valor de b.
5.Pressione a tecla Igual para obter o valor do Módulo.
1.pressione a tecla Shift
e a tecla Pol(;
2. Digite o valor do
Módulo;
3. pressione Virgula; 4.Digite o valor do
Angulo.
5.Pressione a tecla Igual para obter o valor de a.
