Universidade Federal Rural da Amazˆ
onia.
Campus de Paragominas.
Prof. MSc. Drielson D.S.Gouvˆea.
Paragominas (PA), 9 de setembro de 2017.
Aluno (a): Matricula.:
2a
Lista de Exerc´ıcios de Introdu¸c˜ao a ´Algebra Linear.
1. Aplicar a Matriz de Leslie a uma popula¸c˜ao de insetos de trˆes grupos de idades
de tamanhos n00 = 500, n10 = 300, n20 = 200 (somente fˆemeas). Suponhamos que o
n´umero m´edio de ”filhas”nascida de cada fˆemeaF0 = 0 (grupo et´ario 0),F1 = 80 (grupo
et´ario 1), F2 = 50 (grupo et´ario 2), durante uma determinada esta¸c˜ao de dura¸c˜ao ∆t.
As probabilidades de sobrevivˆencia s˜ao admitidas como sendo P0 = 0,6 e P1 = 0,8,
respectivamente. Calcular o tamanho da pr´oxima popula¸c˜ao feminina.
2. Suponhamos que um determinada popula¸c˜ao est´a estruturada segundo trˆes classes de idade equitemporais correspondentes a intervalos de 5 anos. Suponhamos tamb´em que a distˆancia entre 2 tempos sucessivos de observa¸c˜ao ´e de 5 anos. As taxas (ordenadas) de fecundidade associadas a cada classe s˜ao dadas pela seguinte lista(1
2,8,10 )
e as taxas de sobrevivˆencia associadas `a transi¸c˜ao de um setor seguinte s˜ao dadas por ( 1
48,101 )
. Finalmente, o tamanho inicial da popula¸c˜ao por classe et´aria ´e
P(0)=
144 60 20
.
Estudar a evolu¸c˜ao temporal de uma popula¸c˜ao com essas caracter´ısticas, encontrando o polinˆomio caracter´ıstico, seu autovalor e autovetor.
3. Um sinal operado por um rato de laborat´orio tem somente duas faces: R=vermelho, G=verde. A cada tentativa, o rato pode ou n˜ao variar o sinal. Suponhamos que as seguintes probabilidades de transi¸c˜ao sejam dadas:
Suponhamos ainda que cada tentativa ´e independente de experiˆencia passada; ent˜ao, os resultados de cada tentativa formam umacadeia de Markov, com dois estados (R
e G). Estabelecer a matriz de transi¸c˜ao e calcular as probabilidades de duas etapas.
4. Em um problema de dinˆamica de popula¸c˜oes, suponhamos que a Matriz de Leslie
seja dada por:
L=
0 80 50 0 0,6 0 0 0 0 0,4 0 0 0 0 0,3 0
Desenvolver:
(a) a equa¸c˜ao p(λ) = det(L −λ.I), a qual ´e pertinente para a existˆencia de uma distribui¸c˜ao et´aria est´avel.
(b) o autovalor e o autovetor associado `a matriz L.
5. Dada uma popula¸c˜ao (de fˆemeas), dividida em duas classes et´arias, chamadasE1 eE2, respectivamente, e cuja matriz de Leslie ´e dada por
L=
(
2 4 0.75 0
)
(a) Calcular o autovalor dominante (principal) e um autovetor associado. (b) Discutir o comportamento futuro da popula¸c˜ao em fun¸c˜ao de λ.
(c) calcular as propor¸c˜oes de longo prazo de classes de idade, dadas por
Ei k Tk
=k→ ∞=x%.
6. Dada uma popula¸c˜ao dividida em duas classes de idade, chamado E1 e E2,
respecti-vamente. Sabe-se que a quantidade de novos indiv´ıduos em cada gera¸c˜ao ´e obtido a partir de uma m´edia de 0,2 vezes o n´umero de indiv´ıduos do tipo E1 e 0,6 vezes o n´umero de indiv´ıduos de tipoE2. Por outro lado, na etapa de uma gera¸c˜ao para outra,
a probabilidade de sobrevivˆencia do passo E1 para o passo E2 ´e de 25%. (a) Calcular o autovalor dominante (principal) e um autovetor associado. (b) Discutir o comportamento futuro da popula¸c˜ao em fun¸c˜ao de λ.
(c) calcular as propor¸c˜oes de longo prazo de classes de idade, dadas por
Ei k Tk
=k→ ∞=x%.
7. (MODELOS N ˜AO-MARKOVIANOS) Numa ilha maravilhosa verificou-se que a cor azul ocorre em borboletas de genotipo aa , e n˜ao ocorre em Aa e AA. Suponha que
a propor¸c˜ao de borboletas azuis seja 1/4. Depois de algumas gera¸c˜oes, qual ser´a a porcentagem das borboletas n˜ao azuis, mas capazes de ter filhotes azuis?
8. Encontre o vetor de estado estacion´ario de cada matriz de transi¸c˜ao abaixo:
(a) T =
(
0,5 0,6 0,5 0,4
)
(b) T =
(
0,8 0,5 )
(c) T =
(
1/4 2/3 3/4 1/3
)
(d) T =
(
9. Uma abelha se localiza em um ponto P e deseja chegar em um ponto Q, localizado 12 metros ao norte de P, em 4 seg. No local existe um vento para oeste cuja rapidez (m´odulo da velocidade) ´e de√27m/s. Em que dire¸c˜ao e com que rapidez a abelha deve voar para atingir Q no tempo desejado?
10. Dados os vetores w⃗ = (2,−1) e⃗u= (1,3), determinar um vetor⃗x, tal que:
(a) 2 3⃗x+
1
2[2(⃗x+w⃗)−⃗u] =
⃗ w+⃗x
2
(b) 4w⃗−2⃗x= 1 3⃗u−
⃗x+w⃗
2
(c) 2
3⃗x−[2(⃗x+w⃗)−⃗u] =
⃗ w−⃗x
2
(d) 2
3⃗x−[2(⃗x−w⃗) +⃗u] =
⃗u
4 −
⃗x−w⃗
2
11. Sejam os vetores ⃗u= (2, a,−1), ⃗v= (3,1,−2) e w⃗ = (2a−1,−2,4). Determinar ade modo que ⃗u.⃗v= (⃗u+⃗v).(⃗v+w⃗).
12. Dados os vetores ⃗a = (2,−3,6) e⃗b = (−1,2,−2), calcule as coordenadas do vetor ⃗c
bissetriz do ˆangulo formado pelos vetores⃗ae⃗b, sabendo-se que |c|= 3√42.
13. Sejam A(4,0,0), B(0, 4, 1),C(2, 2, 5) e D(3, 5, 2) v´ertices de um tetraedro.
Figura 1: Tetraedro.
Calcule:
(a) o volume deste tetraedro;
(b) a altura do tetraedro relativa ao v´ertice D.
14. Sendo |⃗u|= 3,|⃗v|= 4 e 120o
o ˆangulo entre os vetores⃗ue⃗v, calcule: (a) |⃗u+⃗v|;
(b) |⃗u×(⃗v−⃗u)|;
(c) o volume do paralelep´ıpedo determinado por ⃗u×⃗v,⃗ue⃗v.
15. Encontre o volume do paralelep´ıpedo determinado pelos vetores ⃗u,⃗ve w⃗ nos seguintes casos:
(a) Dados os pontos A= (1,3,4),B= (3,5,3),C= (2,1,6) e D=(2,2,5) tome ⃗u= AB⃗ ,
⃗v=AC⃗ e w⃗ =AD.⃗
16. Resolva o sistema de equa¸c˜oes vetoriais:
{
⃗v×(−⃗i+ 2⃗j+⃗k) = 8⃗i+ 8⃗k
⃗v·(2⃗i+⃗k) = 2
17. O trabalho feito por uma for¸ca constante F sobre um objeto, quando se desloca sobre um segmento de reta de um ponto P a um ponto Q, ´e τ =F ·P Q⃗ . Use essa f´ormula para determinar o trabalho feito pela for¸ca contante F(newtons) sobre um objeto que percorre um segmento de reta de P a Q para:
(a) F =⃗i+⃗j, P(1,1) e Q(4,0); (b) F =−3⃗j, P(0,0) e Q(-3,4);
(c) F =−⃗i−2⃗j, P(4,1) e Q(8,-1);
(As escalas sobre os eixos s˜ao medidas em metros.)
18. Sejam ⃗u= (1,3,−2,1) e⃗v= (2,0,−1,4) vetores doR4. Determine os escalares c1 ec2
tais que:
(a) c1⃗u+c2⃗v= (8,6,−7,14).
(b) c1⃗u+c2⃗v= (−3,3,4,−7).
19. Dados os vetores ⃗u= (1,2),⃗v= (4,−2) e w⃗ = (6,0), determine:
(a) ⃗u·(7⃗v+w⃗). (b) |(⃗u·w⃗)·w⃗|.
(c) |⃗u|(⃗v·w⃗). (d) (|⃗u|⃗v)·w⃗.
20. Determine:
(a) a proje¸c˜ao ortogonal do vetor⃗u= (1,1,1) na dire¸c˜ao do vetor⃗u= (2,2,0). (b) dado o triˆangulo de v´ertices O(0,0), A(1,2) e B(3,1), determine a medida da altura
relativa ao lado OB.
21. Determinar a ´area do paralelogramo formado pelos vetores ⃗ue⃗v nos seguintes casos: (a) ˆangulo entre⃗ue ⃗vde π
3,|⃗u|= 3 e |⃗v|= 4.
(b) ⃗u·⃗v= 3√2,|⃗u|= 2 e |⃗v|= 3.
22. Estabele¸ca as equa¸c˜oes param´etricas das retas nos seguintes casos:
(a) passa pelo ponto (2,3,1) e ´e simultaneamente ortogonal `as retas
r :
x= 3
y= 1
z= t
e r :
x= s
y= 1−2s z= −3−s
(b) passa pela origem e ´e simultaneamente ortogonal `as retas
r :
x= 2t y= −t z= 3−2t
er :
x= s
y= −1 + 3s z= 4−s
(c) passa pelo ponto (-1,4,5) e ´e perpendicular `a retar :
x= −2 +t y= 1−t z= 1 + 2t
23. Determine o valor do parˆametro a de modo que as retas r es dadas pelas equa¸c˜oes
r:X= (1,0,2) +λ(2,1,3), λ∈R s:X = (0,1,1) +α(1, a,2a), α∈R
sejam coplanares.
24. A reta r passa pelo pontoA(4, -3, -2) e ´e paralela `a reta
r :
x= 1 + 3t y= 2−4t z= 3−t
Se P(m, n,−5)∈r, determinar m e n.
25. Determine as equa¸c˜oes param´etricas da reta r que passa pelo ponto dado e ´e paralela `a reta de interse¸c˜ao dos planos π1 eπ2.
(a) (1,2,0), π1 : 2x−y−z+ 1 = 0 e π2 :x+ 3y+ 2z−4 = 0;
(b) (4,-1,3), π1: 2x−y−z+ 3 = 0 e π2: 17x+ 9y+ 3z+ 3 = 0.
26. Determine a posi¸c˜ao relativa dos pares de retas:
(a) r :
x= 2−t y= 3 + 2t z= 1 +t
er :
x= 5−2s y= 2 + 4s z= 1 + 2s
(b) r :
x= 1 + 2t y= −3−t
z= t
e 2x−1
