COLEÇÃO DE PROVAS RESOLVIDAS MAGISTÉRIO SUPERIOR

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(3)

Agradecemos primeiramente ao Eterno Elohim(D’us), por nos ajudar nesta tão grande e honrosa missão em ajudar nossos amigos e companheiros de estudos. Aos meus professores: Alzir Fourny, Lúcio Correa, Gabriela, Cleber Amaral das Faculdades integradas campo-grandense-FIC Campo Grande-RJ, por me ajudar a ser quem sou mesmo em todas as minhas dificuldades de aprendizagem. A minha esposa Célia Machado por sempre me apoiar em tudo que faço, meu muito obrigado.

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“Não nasci um gênio da matemática, Mas a confiança em D’us, a persistência e a perseverança. Fizeram-me ser quem sou e o que Serei no futuro.” (T. Machado)

(4)

Introdução

Esta apostila tem por objetivo ajudar a você querido leitor a poder ter um material completo e de qualidade para estudos para estas provas. É dificil encontrar nos dias de hoje um material com exercícios de matemática resolvidos. A maioria das apostilas possuem provas anteriores com somente seus gabaritos e nada mais. Nossa intenção que você tenha além das provas com seus exercícios, também as resoluções para dar uma idéia de como resolve-las.

Faço saber que muitas das questões antigas que propomos nestas provas, por experiencia propria vimos cair em provas dos anos anteriores. A maioria das questões aqui comentadas, já foram repetidas diversas vezes em provas posteriores as anteriores.

Espero que possamos lhe ajudar e que possamos ter a alegria de ajudá-lo a passar neste concurso.

Desde já muito obrigado pela preferência e bons estudos!

(5)

Índice:

Prova Resolvida - aplicada 09/12/2007 ---pág.6

Prova Resolvida - 2007/2008---pág.33

Prova Resolvida – aplicada 23/11/2008---pág.55

Prova Resolvida - 2009/2010---pág.80

Prova Resolvida – Aplicada 27/03/2011---pág.100

Sobre o Autor---pág.127

(6)

Prova Magistério Estadual do Estado do Rio de Janeiro-RJ

(7)

26)

Se

2

1

3 x

x

+

=

, o valor

x3 1₃ x

+ é:

27) Uma loja de materiais de construção vende cada saco de cimento por R$15,00 e, para compra de mais de 3 sacos, oferece um desconto de 20% nos sacos que excederem a 3. O desconto total em uma compra de 10 sacos é:

28) Em uma experiência de Física envolvendo as grandezas X, Y e Z, descobriu-se que Z é diretamente proporcional a X e inversamente proporcional a Y. Verificou-se ainda que quando X é igual a 40 e Y é igual a 32, o valor de Z é 50. Então, quando X e Y forem respectivamente iguais a 42 e 25, o valor de Z será:

29) O segmento AB é uma corda de uma circunferência de centro O. Prolongando AB de um comprimento BC igual ao raio da circunferência, verifica-se que o ângulo BCO mede 24o. Então, o ângulo AOC mede:

30) Na escola de João são realizadas 4 provas por ano de cada matéria. As notas de Matemática de João foram: 8,0 na primeira prova, 7,0 na segunda, 5,0 na terceira e 4,0 na quarta. Ele calculou a média aritmética de suas notas. Depois, descobriu que seu cálculo não correspondia à realidade. Lendo as regras da escola, verificou que a primeira prova tem peso 1; a segunda, peso 2; a terceira, peso 3, e a quarta, peso 4.

Após fazer novamente os cálculos, ele constatou que a nova média é inferior à anterior em:

31) Há 5 senadores designados para uma Comissão Parlamentar de Inquérito. Eles devem escolher entre si um presidente para a Comissão, sendo que cada senador pode votar em até três nomes. Realizada a votação, quando cada um recebeu um número de 1 a 5, os votos foram tabulados na matriz,

A

=

( )

a

_ij a seguir indicada. Na matriz A, cada elemento

( )

a

_ij é igual a 1 (um), se i votou em j; e é igual a 0 (zero), caso contrário:

1 0 0 0 1

1 1 0 0 0

1 1 0 1 0

0 1 1 0 0

1 0 1 0 1

=

A

(8)

Pelo professor Tiago Machado – todos os direitos reservados. Página 8 32) João, Maria e Pedro observaram o seguinte: João e Maria possuem juntos R$ 8,00; João e Pedro possuem juntos R$ 12,00; Maria e Pedro possuem juntos R$ 14,00. Quem tem mais dinheiro possui:

33) No intervalo [0° , 360° ] , a soma das soluções da equação sen(2x + 30° ) = cosx é:

34) Uma loja de eletrodomésticos vende uma televisão por R$540,00 à vista ou em duas parcelas de R$290,00, sendo uma no ato da compra e outra um mês depois. A taxa de juros cobrada pela loja é de

35) A solução da equação 0 1

3

5 4 1

1 3 2

= −

x

é:

36) Em um tabuleiro com 6 linhas e 9 colunas, 32 casas estão ocupadas. Pode-se afirmar que: A) todas as colunas têm pelo menos 3 casas ocupadas;

B) nenhuma coluna tem mais de 3 casas ocupadas; C) alguma coluna não tem casas ocupadas;

D) alguma linha tem pelo menos 6 casas ocupadas; E) todas as linhas têm pelo menos 4 casas ocupadas.

37) Três números positivos formam uma progressão aritmética crescente. A soma desses três números é 18. Mantendo-se os dois menores e acrescentando-se 8 unidades ao maior, fica formada uma progressão geométrica. O produto dos três números dados inicialmente é:

38) Uma nova calculadora tem as teclas A e B. Apertando a tecla A, a calculadora dobra o número que está no visor e soma 1. Apertando a tecla B, a calculadora triplica o número que está no visor e subtrai 8. Um número está no visor e, em seqüência, são apertadas as teclas A, B, A. Se o resultado é 147, o número que estava inicialmente no visor era:

39) A soma de todos os números ímpares entre 20 e 80 é igual a:

40) Sendo i a unidade imaginária, o valor da soma

i

3

+

i

6

+

i

9 é:

(9)

Pelo professor Tiago Machado – todos os direitos reservados. Página 9 42) Um engenheiro, desenhando a planta de um terreno, estabeleceu um sistema de coordenadas. O terreno então ficou definido pelas desigualdades: Entre as opções abaixo, assinale o único ponto que está fora do terreno.

<

+

−

<

100 100 5

3

50 0

y

x

Entre as opções abaixo, assinale o único ponto que está fora do terreno.

43) O retângulo ABCD da figura abaixo tem dimensões AB= 16 e BC=2. Uma circunferência passa pelos pontos C e D, e é tangente ao lado AB.

O raio da circunferência é igual a:

44) O valor de x na equação, log3x=log(x-10)+3.log2 é:

45) A equação 2x -2 = x + 6 possui duas soluções. A soma dessas soluções é:

46) No triângulo ABC, AB = 3 , AC = x e BC = x +1. Se o ângulo Bˆ mede 60o o valor de x é:

47) As raízes da equação 2

7

5

0 =

−

x

são m e n. Uma equação do segundo grau cujas são

1 1

+

m

e 1

1

+

n

é:

48) O raio da circunferência que tem centro no ponto (3,4) e tangencia a reta de equação x + 2y = 1 é:

(10)

=

−

+

y

x

y

. O maior valor possível de y é:

51) Seja f uma função definida nos números naturais com f (0) = 2 e com a propriedade f (n +1) = f (n) + 2n , para todo n natural. O valor de f (4) é:

52) O valor mínimo da função y

=

(

x

-

a

)

2

+

(

x

-

b

)

2é:

53) Um copo cilíndrico com 8cm de diâmetro possui uma certa quantidade de água. Uma pedra foi colocada no seu interior e ficou totalmente submersa. Sabendo que o nível da água no copo se elevou de 3cm, um valor aproximado para o volume da pedra é:

54) Considere o complexo

2 2

3 i

z= + então

z

10 é:

55) A altura de um tetraedro regular cuja aresta mede 12 é igual a:

56) O resto da divisão de 5

3

4

6

2

5 −

+

−

x

por x-2 é:

57) As peças de um jogo de dominó são retângulos cada um contendo dois números,

e cada número é um elemento qualquer do conjunto {0, 1, 2, 3, 4, 5,6}. Exemplo de peças de dominó:

58) O ponto P pertence à curva de equação

1

9

45

2 2

=

+

y

x

,cujos focos são F e F’ . A maior área possível do triângulo PFF’ é:

(11)

Se o lado do quadrado é igual a 30cm, a área do quadrilátero BPEC é:

60) A produção de uma fábrica tem crescido a uma taxa de 20% ao ano. Se esta tendência for mantida, a produção dessa fábrica será três vezes maior que a de hoje daqui a aproximadamente:

(12)

Resolução e respostas:

26)

Se

2

1

3 x

x

+

=

, o valor 3 3 1 x

x

+ é:

Resolução:

3

1

2

=

+

x

3 1 = + x x

x

1

3

1

1 +

=

x x2 +1= 3

0 1 3 2 = + − x x

ac

b

2

−

4 =

∆

(

− 3

)

2 −4.1.1

= ∆

4

3 −

=

∆

1 − = ∆ a b x 2 ∆ ± − =

(

)

1 . 2 1 3 ± − − − = x 2 3 2 1 3 2 i

x = − − = −

Assim temos: + ⋅ + ⋅ + = 2 3 2 3 2 3

3 i i i

x Logo: 0 0 1 1 1 1 1 2 3 3 = = + − = + = + = + i i i i i i x x 2 1 3± − =

x

2 1 3± − = x 2 3 2 1 3 1 i

x = + − = +

i i

x = =

(13)

Pelo professor Tiago Machado – todos os direitos reservados. _{Página 13} 27) Uma loja de materiais de construção vende cada saco de cimento por R$15,00 e, para compra de mais de 3 sacos, oferece um desconto de 20% nos sacos que excederem a 3. O desconto total em uma compra de 10 sacos é:

Resolução:

3 sacos de cimento custa: 3x15=45, R$45,00;

Assim:

O que resta são 10-3=7 7 sacos de cimento fica: 7x15=105

Com desconto de 20% temos:

21 100 2100 100

20 .

105 = =

Desconto de R$21,00

Assim temos: 105-21=84

O valor total com desconto: 84+45=129

Mas se fosse a vista seria: 15x10=R$150,00

Logo temos: 150-129=21

Logo o desconto real:

% 14 14 , 0 50

7 150

21

= = =

28) Em uma experiência de Física envolvendo as grandezas X, Y e Z, descobriu-se que Z é diretamente proporcional a X e inversamente proporcional a Y. Verificou-se ainda que quando X é igual a 40 e Y é igual a 32, o valor de Z é 50. Então, quando X e Y forem respectivamente iguais a 42 e 25, o valor de Z será:

Resolução:

Temos K sendo a constante: x=20 y=32 z=50

y x c z= .

32 40 . 50=c

50.32=40c 40c=50.32 40c=1600

40 1600

=

c

c=40 logo:

25 32 . 40

=

z

25 1680

=

z

(14)

Pelo professor Tiago Machado

29) O segmento AB é uma cor comprimento BC igual ao rai Então, o ângulo AOC mede:

Resolução:

30) Na escola de João são Matemática de João foram: 8 quarta. Ele calculou a média a correspondia à realidade. Lend 1; a segunda, peso 2; a terceira Após fazer novamente os cálcu

Resolução:

Considerando que cada prova Primeira prova:

8 10 1

x

nota peso

8

10 x

=

corda de uma circunferência de centro O. Prolong raio da circunferência, verifica-se que o ângulo

48°+x+48°=180° x+96°=180° x=180°-96° x=84 logo temos: 84 °+24°=108°

ão realizadas 4 provas por ano de cada matéri : 8,0 na primeira prova, 7,0 na segunda, 5,0 na t ia aritmética de suas notas. Depois, descobriu que Lendo as regras da escola, verificou que a primeira ceira, peso 3, e a quarta, peso 4.

álculos, ele constatou que a nova média é inferior à

va tenha a nota valendo 10 pontos assim:

10 8

=

x

8 ,

0 =

x

Segunda prova:

Página 14

longando AB de um ulo BCO mede 24o.

atéria. As notas de na terceira e 4,0 na que seu cálculo não eira prova tem peso

(15)

10 2

y

nota peso

7 .

2

10 y

=

14

10 y

=

10 14

=

y

4 ,

1 =

y

Terceira prova:

5 10 3

z

nota peso

5 .

3

10 z

=

15

10 z

=

10 15

=

z

5 ,

1 =

z

Quarta prova:

4 10 4

w

nota peso

4 .

4

10 z

=

16

10 z

=

10 16

=

z

4 ,

1 =

z

Calculando o valor real: 0,8+1,4+1,5+1,6=5,3

Média das notas que o aluno achou ter tido:

6 4 24 4

4 5 7 8

= = + + +

Logo:

5,3-6=0,7

31) Há 5 senadores designados para uma Comissão Parlamentar de Inquérito. Eles devem escolher entre si um presidente para a Comissão, sendo que cada senador pode votar em até três nomes. Realizada a votação, quando cada um recebeu um número de 1 a 5, os votos foram tabulados na matriz,

A

=

( )

a

_ij a seguir indicada. Na matriz A, cada elemento

( )

a

_ij é igual a 1 (um), se i votou em j; e é igual a 0 (zero), caso contrário:

1 0 0 0 1

1 1 0 0 0

1 1 0 1 0

0 1 1 0 0

1 0 1 0 1

=

(16)

Resolução:

C1=2 L1=3 C2=1 L2=1 C3=2 L3=3 C4=3 L4=2 C5=4 L2=2

Assim temos que o senador de numero 5 foi o mais votado.

32) João, Maria e Pedro observaram o seguinte: João e Maria possuem juntos R$ 8,00; João e Pedro possuem juntos R$ 12,00; Maria e Pedro possuem juntos R$ 14,00. Quem tem mais dinheiro possui:

Resolução: J+M=8 J+P=12

M+P=14 => M=14-P J+M=8

J+14-P=8 J-P=8-14 J-P=-6

J+P=12 J-P=-6

2J=12-6 2J=6

2 6

=

J

J=3

(17)

Resolução:

Considerando: Cosx=sem(90-x)

− = 2 −₂

∙ +₂

Assim:

Sen(2x+30º)=cosx Sen(2x+30º)-cosx=0 Sen(2x+30º)-sen(90-x)=0

2 2 + 30º − 90 −₂

∙ 2 + 30º + 90º −₂ = 0

2 3 − 60₂ ∙ + 120º₂ = 0

3 − 60

2 ∙ + 120º2 =02

3 − 60

2 ∙ + 1202 = 0

Conjunto determinado intervalo [0° , 360° ]

1ª solução:

3 − 60

2 = 180

3 − 60 = 180 . 2 3 − 60 = 360 3 = 360 + 60

=360 + 60₃

= 120 + 20

Se temos k=0

= 120 + 20 = 120.0 + 20 = 20

Se temos k=1

= 120 + 20 = 120.1 + 20 = 120 + 20 = 140

Se temos k=2

= 120 + 20 = 120.2 + 20 = 140 + 20 = 160

Se temos k=3

= 120 + 20 = 120.3 + 20 = 360 + 20 = 380 <=

(18)

+ 120

2 = 90 + 180

+ 120 = 180 + 180 . 2 + 120 = 180 + 360 = 360 + 180 − 120 = 360 + 60

Se temos k=0

= 360 + 60

= 360.0 + 60 = 60

Se temos k=1

= 360 + 60 = 360.1 + 60 = 360 + 60 = 420 <

= á # $% & '( & $)* %& .

Assim:

S={60,160,120,240} Logo:

20+60+160+240=480

Resp: 480.

34) Uma loja de eletrodomésticos vende uma televisão por R$540,00 à vista ou em duas parcelas de R$290,00, sendo uma no ato da compra e outra um mês depois. A taxa de juros cobrada pela loja é de:

Resolução: Temos: 540-290=250

Se fosse em duas parcelas a próxima parcela seria R$290,00, assim:

290-250=40

% 16 16 , 0 250

40

= =

35) A solução da equação 0 1

3

5 4 1

1 3 2

= −

x

é:

Resolução:

0 1 3

4 1

3 2

1 3

5 4 1

1 3 2

= − −

x

8x-45+1+3x-10-12=0 11x-66=0

66

11 x

=

6 11 66

= =

(19)

Pelo professor Tiago Machado – todos os direitos reservados. _{Página 19} 36) Em um tabuleiro com 6 linhas e 9 colunas, 32 casas estão ocupadas. Pode-se afirmar que: A) todas as colunas têm pelo menos 3 casas ocupadas;

B) nenhuma coluna tem mais de 3 casas ocupadas; C) alguma coluna não tem casas ocupadas;

D) alguma linha tem pelo menos 6 casas ocupadas; E) todas as linhas têm pelo menos 4 casas ocupadas.

Resolução:

Analise das respostas: Temos:

6 linhas x 9 colunas =54 casas no total, assim:

54 -32 casas ocupadas=22 casas vazias. a)Pela implicação lógica isto não é possível, se não, podemos fazer da seguinte forma:

32 casas ocupadas;

3

6

32 ÷

=

colunas cheias, com 5 linhas ocupadas, restando 1 coluna com 2 peças nelas, e assim mais 4 casas vazias.

b) Não é possível. Demonstado anteriormente.

c) Até poderia, mas pela implicação lógica, ou por simples lógica comum, pode haver uma arrumação diferente.

d) Verdadeiro. Com demonstração anteriormente.

e) Não é possível, como demonstrado anteriormente.

37) Três números positivos formam uma progressão aritmética crescente. A soma desses três números é 18. Mantendo-se os dois menores e acrescentando-se 8 unidades ao maior, fica formada uma progressão geométrica. O produto dos três números dados inicialmente é:

Resolução:

Temos uma PA (a-r,a,a+r)

a-r+a+a+r=18

3a=18

% =18_{3 = 6}

Logo a PA fica (6-r,6,a+6)

Temos uma PG de mesma seqüência (6-r,6,6+r) adicionando 8 ao maior temos:

(6-r,6,6+r) (6-r,6,a+6+8) (6-r,6,14+r) Sabemos que:

%+ = %,∙ -+., Sendo:

- =_%%+

+.,

(20)

%/= 14 + $

%0= 6

%,= 6 − $

Logo:

- =_%%/

/.,=

%/

%0=

14 + $ 6

Resolução:

%/= %,∙ -/.,

%/= %,∙ -0

14 + $

= 6 − $ ∙ 14 + $₆ 0

14 + $

= 6 − $ ∙ 14 + $₃₆ 0

1.36= _{6 − $ 14 + $}

1.36 = 6 − $ 14 + $

36 = 84 + 6$ − 14$ − $0

$0_{+ 8$ − 48 = 0}

$ =−1 ± 31_2%0− 4%

$

=−8 ± 480_2.1− 4.1. −48

$ =−8 ± 364 + 192₂

$ =−8 ± 3256₂

$ =−8 ± 16₂

$,=−8 + 16₂ =8_{2 = 4}

−$0_{+ 6$ − 14$ + 36}

− 84 = $0=−8 − 16₂

=−24_{2 = −12}

≤ % *& $%)

% $%*7 8 $ $ 9% *:%. 0

Assim:

a PA (6-r,6,6+r) fica;

(6-r,6,a+6) (6-4,6,6+4)

(2,6,10)

O produto é: 2.6.10=120 Resposta: 120

38) Uma nova calculadora tem as teclas A e B. Apertando a tecla A, a calculadora dobra o número que está no visor e soma 1. Apertando a tecla B, a calculadora triplica o número que está no visor e subtrai 8. Um número está no visor e, em seqüência, são apertadas as teclas A, B, A. Se o resultado é 147, o número que estava inicialmente no visor era:

Resolução: A=2x+1 B=3x-8 Assim:

A,B,A=147

2[3.(2x+1)-8]+1=147 12x-9=147

12x=147+9

12x=156

13 12 156

= =

(21)

Resolução:

21+23+25+27+29=125 31+33+35+37+39=175 41+43+45+47+49=225 51+53+55+57+59=275 61+63+65+67+69=325 71+73+75+77+79=375

125+175+225+275+325+375=1500

40) Sendo i a unidade imaginária, o valor da soma

i

3

+

i

6

+

i

9 é:

Resolução:

i

3

=

−

1

2 6

−

=

i

9

=

Assim:

1

9 6 3

−

=

+

−

=

+

i

Obs: pegamos a potência, dividimos por 4 e o resto devolvemos ao valor i.

41) Seja N = {0, 1, 2, … } o conjunto dos números naturais. O número de elementos do conjunto NxN que satisfazem à condição y < x= 6 é:

Resolução:

(0,0) ; (0,1) ; (0,2) ; (0,3) ; (0,4) ; (0,5) ; (0,6)

(1,0) ; (1,1) ; (1,2) ; (1,3) ; (1,4) ; (1,5) ; (1,6)

(2,0) ; (2,1) ; (2,2) ; (2,3) ; (2,4) ; (2,5) ; (2,6)

(3,0) ; (3,1) ; (3,2) ; (3,3) ; (3,4) ; (3,5) ; (3,6)

(4,0) ; (4,1) ; (4,2) ; (4,3) ; (4,4) ; (4,5) ; (4,6)

(5,0) ; (5,1) ; (5,2) ; (5,3) ; (5,4) ; (5,5) ; (5,6)

(6,0) ; (6,1) ; (0,2) ; (6,3) ; (6,4) ; (6,5) ; (6,6) Logo:

(1,0); 2,0) ; (2,1) ; (3,0) ; (3,1) ; (3,2) ; (4,0) ; (4,1) ; (4,2) ; (4,3) ; (5,0) ; (5,1) ; (5,2) ; (5,3) ; (5,4) ; (6,0) ; (6,1) ; (0,2) ; (6,3) ; (6,4) ; (6,5)

Temos no total 21 elementos.

42) Um engenheiro, desenhando a planta de um terreno, estabeleceu um sistema de coordenadas. O terreno então ficou definido pelas desigualdades: Entre as opções abaixo, assinale o único ponto que está fora do terreno.

< + −

< <

100 100 5

3

50 0

y x

(22)

Entre as opções abaixo, assinale o único ponto que está fora do terreno.

Resolução:

Analisando as respostas: a) Considerando x=17 temos:

3x-5y+100>0 3.17-5y+100>0 51-5y+100>0 -5y+151>0 -5y>-151 .(-1) 5y<151

y< 5 151

y<30,2 <=verdadeiro em relação a resposta. b) Considerando x=23 temos:

3x-5y+100>0 3.23-5y+100>0 69-5y+100>0 -5y+169>0 -5y>-169 .(-1)

5y<169

y< 5 169

y<33,8 <=verdadeiro em relação a resposta.

c) Considerando x=31 temos:

3x-5y+100>0 3.31-5y+100>0 93-5y+100>0 -5y+193>0 -5y>-193 .(-1) 5y<193

y< 5 193

y<38,6 <=falso em relação a resposta. d) Considerando x=38 temos:

3x-5y+100>0

3.38-5y+100>0 114-5y+100>0 -5y+214>0 -5y>-214 .(-1) 5y<214

y< 5 214

y<42,8 <=verdadeiro em relação a resposta. a) Considerando x=49 temos:

3x-5y+100>0 3.49-5y+100>0 147-5y+100>0 -5y+247>0 -5y>-247 .(-1) 5y<247

y< 5 247

y<49,4 <=verdadeiro em relação a resposta.

(23)

Resolução:

Assim:

(

)

2 2

2

8 +

−

=

r

4

64

2 2

+

−

+

=

r

4

64

2 2

+

−

=

−

r

68

4

0 =

−

r

+

68

4 r

=

4 68

=

r

r=17

44) O valor de x na equação, log3x=log(x-10)+3.log2 é:

Resolução:

2 log

3 )

10 log(

3 log

x

=

x

−

+

3 2 log ) 10 log( 3

log x= x− +

8 log

)

10 log(

3 log

x

=

x

−

+

)]

10 .(

8 log[

3 log

x

=

x

−

]

80

8 log[

3 log

x

=

x

−

3x=8x-80 3x-8x=-80 -5x=-80 .(-1) 5x=80

5 80

=

x

x=16

45) A equação 2x -2 = x + 6 possui duas soluções. A soma dessas soluções é:

(24)

2x-2=+(x+6) 2x-2=x+6 2x-x=6+2 X=8 Solução 2: 2x-2=-(x+6) 2x-2=-x-6

2x+x=2-6 3x=-4

3 4

− =

x x

Então:

Solução 1+solução 2

3 20 3

4 24 3 4 8 3 4

8+ − = − = − =

46) No triângulo ABC, AB = 3 , AC = x e BC = x +1. Se o ângulo B mede 60° o valor de x é:

Resolução:

(

+

)

−

(

+

)

°

+

=

3

2

1

2

2 .

3 .

1 .

cos

60

2

x

(

)

2 1 . 1 6 1 2 9 2

2 ₌ ₊ ₊ ₊ ₋ ₊

x x

(

1

)

.1 3

1 2 9 2

2 ₌ ₊ ₊ ₊ ₋ ₊

x x

(

1

)

. 1 . 3 2 1 9 2

2 ₋ ₌ ₊ ₊ ₋ ₊

x x

3

2

10

0 =

+

x

−

x

−

x

−

=

10

3

0 x

−

=

7

0

7 −

x

=

7 −

=

(25)

7

5

0 =

−

x

são m e n. Uma equação do segundo grau cujas são

1 1

+

m e 1

1

+

n é: Resolução:

0

5

7

2

=

−

x

ac

b

2

−

4 =

∆

(

−

7 )

2

−

4 .

1 .(

−

5 )

=

∆

20

49 +

=

∆

69 =

∆

a b x 2 ∆ ± − = 1 . 2 69 ) 7 (− ± − = x 2 69 7 1 + = x 2 69 7 2 − = x Assim: 2 69 7+ = m 2 69 7− = n Assim: 1 1 + m 1 2 69 7 1 + +

1

69

7

2 +

+

69 7 69 7 2 + + + 69 7 69 9 + + E: 1 1 + m 1 2 69 7 1 + −

1

69

7

2 +

−

69 7 69 7 2 − − + 69 7 69 9 − − Calculando: S=m+n 69 7 69 7 69 9 69 7 69 7 69 9 + − − + − + + = S

(

)(

) (

)(

)

(

7

69 )(

7

69 )

(26)

n

m

P

=

.

69 7 69 9 . 69 7 69 9 − − + + = P 69 69 7 69 7 49 69 69 9 69 9 81 − + − − + − = P 5 3 20 12 69 49 69 81 − = − = − − = P Se temos:

0

2

=

+

−

Sx

P

x

então:

0 5 3 5

3

2 ₋ ₊ ₋ ₌

x x 0 5 3 5 3 2 = − − x x

Efetuando o mmc:

0

3

5

2

=

−

x

48) O raio da circunferência que tem centro no ponto (3,4) e tangencia a reta de equação x + 2y = 1 é:

Resolução: 3 0 = x 4 0 = y

Sendo x + 2y = 1 temos: x+2y=1 x+2y-1=0 A=1 B=2 C=-1 Como d=r: 2 2 0 0 B A C By Ax d + + + = 2 2 ₂ 1 1 4 . 2 3 . + − + =1 d

4

1

8

3 +

−

+

=

d

5

10 =

d

5 5 5 10 ⋅ = d 5 2 5 5 10 = = d 5 2 = d

49) Em uma prova de múltipla escolha com cinco opções em cada questão, um aluno “chutou” as duas últimas questões (quer dizer, escolheu uma opção ao acaso em cada uma delas). A probabilidade de que ele acerte pelo menos uma delas é de:

Resolução:

Temos 2 provas com 5 respostas: Assim:

(27)

10-1=9 Logo: % 36 36 , 0 25 9 = =

50) Considere todos os valores reais de x e y que satisfazem a equação x2 2 6 4 68

= − −

+y x y

. O maior valor possível de y é:

Resolução:

Desenvolvendo a equação:

x2 2 6 4 68

= − −

+y x y

x2₊ 2 ₋6 ₋4 ₋68₌0 y x y logo temos:

(

)

3 2 6 2 6 2

0 = =

− − = − = D x

(

)

2 2 4 2 4 2

0 = =

− − = − = E y F y x

R = ₀2 + ₀2 −

(

68

)

2

32 2

− − + = R 68 4 9+ + = R 81 = R

9 ±

=

R

Assim para poder termos o maior valor possivel em y:

R+y=9+2=11

51) Seja f uma função definida nos números naturais com f (0) = 2 e com a propriedade f (n +1) = f (n) + 2n , para todo n natural. O valor de f (4) é:

Resolução:

(

n

)

f n n f +1 = ( )+2

(

0+1

)

= f(0)+2.0 f

( )

1 =2+2.0 f

( )

1 =2 f

(

n

)

f n n f +1 = ( )+2

(

1+1

)

= f(1)+2.1 f

( )

2 =2+2.1 f

( )

2 =2+2 f

( )

2 =4 f

(

n

)

f n n f +1 = ( )+2

(

2+1

)

= f(2)+2.2 f

( )

3 =4+2.2 f

( )

3 =4+4 f

( )

3 =8 f

(

n

)

f n n f +1 = ( )+2

(

3+1

)

= f(3)+2.3 f

( )

4 =8+2.3 f

( )

4 =8+6 f

( )

2 =14 f

(28)

2 2

-y =(x a) +(x b)

2 2

2

2 ₂ ₂

b bx x a ax x

y= − + + − +

2 2 2

2 ₂ ₂

b a bx ax x x

y= + − − + +

2 2

2 ₂ ₂

2x ax bx a b

y= − − + +

(

)

2 2

2 ₂ ₂

2x a b x a b

y= + − − + +

ac

b

2

−

4 =

∆

(

)

2

(

2 2

)

.

2 .

4

2

2 a

−

b

−

a

+

b

−

=

∆

2

₈

₄

4 a

+

ab

−

b

−

=

∆

a y_v 2 ∆ − =

(

)

a

b

ab

a

y

_v

2

4

8

4

2 2

−

+

−

=

(

)

4 .

2

4

2 2

b

ab

a

y

_v

=

−

+

(

)

4 .

2

4

2 2

b

ab

a

y

_v

=

−

+

2

2 2

b

ab

a

y

_v

=

−

+

(

)

2 2 b a y_v = −

53) Um copo cilíndrico com 8cm de diâmetro possui uma certa quantidade de água. Uma pedra foi colocada no seu interior e ficou totalmente submersa. Sabendo que o nível da água no copo se elevou de 3cm, um valor aproximado para o volume da pedra é:

Resolução:

h

r

V

_c

=

π

.

2

.

( )

4 .3 . 2

π

= c V

π

3 . 16 = c V

π

48 = c V

Considerando:

π

≅

3 ,

14 π

48 = c V 14 , 3 . 48 = c V . . 72 , 150 uv Vc ≅

54) Considere o complexo

2 2

3 i

z= + então

z

10 é:

Resolução:

2

2 _b

a

z = +

2 2

2

1

2

3 +

=

z

1 4 4 4 1 4 3 = = + = z Assim:

2

3

1

2

3 cos

=

z

a

α

2

1

2

1 =

=

z

b

sen

α

°

=

30 α

[

n isen n

]

z

z= n cos.

α

. +

α

[

cos.30 .10 30 .10

]

110 _° ₊ _°

= isen

z

[

°+ °

]

= cos.300 isen300

z i z 2 3 2 1 − =

55) A altura de um tetraedro regular cuja aresta mede 12 é igual a:

(29)

2 2 ₆ 12 = +g

2 36 144= +g

2 36 144− =g

2 108=g

108 2 ₌ g

3

6 =

g

Então:

2 2

2

3

1 +

=

h

g

2

₆

₃

3

1

108 =

h

+

⋅

(

)

2 2 ₂ ₃ 108=h +

3 .

4

108

2

+

=

h

12

108

2

+

=

h

2

12

108 −

=

h

12

108

2

−

=

h

96

2

=

h

6 4

=

h

56) O resto da divisão de 5

3

4

6

2

5 −

+

−

x

por x-2 é:

(30)

Pelo professor Tiago Machado – todos os direitos reservados. _{Página 30} 57) As peças de um jogo de dominó são retângulos cada um contendo dois números, e cada número é um elemento qualquer do conjunto {0, 1, 2, 3, 4, 5,6}.

Exemplo de peças de dominó:

Se as peças de um jogo completo de dominó estão em um saco e uma delas é retirada ao acaso, a probabilidade de que os dois números dessa peça sejam iguais é:

Resolução:

Temos neste jogo 28 peças da seguinte forma: N(u)={(0,0); (0,1); (0,2); (0,3); (0,4); (0,5); (0,6) (1,1); (1,2); (1,3); (1,4); (1,5); (1,6) (2,2); (2,3); (2,4); (2,5); (2,6) (3,3); (3,4); (3,5); (3,6) (4,4); (4,5); (4,6) (5,5); (5,6) (6,6)} P(A)=7

N(u)=28

% 25 25 , 0 4 1 28

7 ) (

) (

= = = =

u N

(31)

1

9

45

2 2

=

+

y

x

,cujos focos são F e F’ . A maior área possível do triângulo PFF’ é:

Resolução: Sendo:

0_{= %}0_{− 1}0

%0_{= 45}

10_{= 9} 0_{= 45 − 9}

0_{= 36}

= ±6

Onde F(6,0) e F’(-6,0).

Sendo estes a base do triangulo calculemos a distância:

;<=< = 4 6 − −6 0+ 0 − 0 0

;<=< = 4 6 + 6 0+ 00

;<=< = 4120+ 00

;<=< = 4120= 12

Assim:

10_{= 9}_{<= base deste triangulo}

1 = ±3 Logo:

>?=1ℎ_{2 =}3.12_{2 =}36_{2 = 18}

Resp: 18 u.a.

59) No quadrado ABCD da figura abaixo, o ponto E do lado CD é tal que DE = 2× EC . O segmento AE corta a diagonal BD em P.

Se o lado do quadrado é igual a 30cm, a área do quadrilátero BPEC é:

Resolução:

os triângulos APB e DPE são semelhantes 30 / 20 = a / b

3/2 = a / b 2a = 3b b = 2a / 3 a + b = L = 30

(32)

área de DEA

20 . 30 / 2 = 300 área de BPEC 900 - 300 - 270 = 330.

60) A produção de uma fábrica tem crescido a uma taxa de 20% ao ano. Se esta tendência for mantida, a produção dessa fábrica será três vezes maior que a de hoje daqui a aproximadamente:

(Use se necessário, log 2 = 0,301 e log 3 = 0,477 ).

Resolução:

Considerando um capital R$1,00 ou seja C=1, então:

(

)

t

i

C

M

=

.

1 +

(

)

t

2 ,

0

1 .

1

3 =

+

( )

t

2 ,

1

3 =

t

=

10

12

3

t

=

5

6

3

Log3=t.(log2+lo3-log5)

Log3=t.{log2+log3-(log10-log2)}

0,477=t.{0,301+0,477-(1-0,301)}

0,477=t.{0,301+0,477-0,699}

0,477=0,079t

0,079t=0,477

079 ,

0

477 ,

0 =

t

6 ≅

(33)

Prova Magistério Estadual do Estado do Rio de Janeiro-RJ

(34)

b a

x= é solução da equação

x 5 4

3 2

1

− −

=6, o valor de a+b é:

27) Sejam x e y números reais, tais que x+y=3 e 2 ₊ 2 ₌19 y

x . O valor de x3 +y3 é:

28) Sejam a e b números reais, tais que 2 2 6 . ab b

a + = Um valor possível para a razão b a

é:

29) A velocidade da luz no vácuo é de 300 mil quilômetros por segundo, e a distância média do planeta Júpiter ao Sol é de 780 milhões de quilômetros. Nesta situação, o tempo que a luz emitida do Sol demora para chegar a Júpiter é de:

30) Um saco contém 30 bolinhas brancas, 22 bolinhas vermelhas e 16 bolinhas pretas, todas iguais em tamanho e peso. No escuro, você deve retirar do saco certo número de bolinhas de forma que tenha a certeza de ter, pelo menos, uma bolinha branca. O número mínimo de bolinhas que você deve retirar do saco para ter esta certeza é:

31) Em uma semana, as ações de certa companhia valorizaram 20% e, na semana seguinte, desvalorizaram 20%. O valor das ações é:

32) A figura a seguir mostra duas circunferências tangentes em A. Uma reta corta a circunferência maior em B e C e é tangente à circunferência menor em T. A reta TA encontra novamente a circunferência maior em D.

No sentido anti-horário, sobre a circunferência maior, o arco BD mede 150° , e o arco DA mede 110°. Então, o arco AC mede:

33) No intervalo [0°;360°] a soma das soluções da equação

4 1 cos .

cos 2 ₊ 2 ₌ x+ x

sen x sen x

é:

(35)

Pelo professor Tiago Machado – todos os direitos reservados. Página 35 35) O resto da divisão de P(x)=x3+ax+b por (x+1) é 4, e o resto da divisão de P(x) por (x-1) é 8. Então, o resto da divisão de P(x) por (x-2) é:

36) O raio da circunferência 2 ₊ 2 ₋14 ₋2 ₊10₌0 y

x y

x é igual à distância do ponto (1,1) à

reta 3x+y+c=0. Um valor possível para C é:

37) Uma loja oferece um artigo por R$170,00 à vista ou em duas parcelas de R$90,00, sendo uma no ato da compra e outra um mês depois. A taxa de juros cobrada pela loja é

38) Em um bosque há 180 árvores. Sabe-se que cada árvore tem pelo menos 30 folhas e que nenhuma árvore tem mais de 200 folhas. Pode-se concluir que:

A) existe pelo menos uma árvore com 200 folhas;

B) o número médio de folhas por árvore é 115;

C) existe alguma árvore com 115 folhas;

D) o número total de folhas é certamente maior que 6000;

E) existem pelo menos duas árvores com o mesmo número de folhas.

39) A equação 2 9 7 0

= +

− x

x possui raízes x₁ e. A equação 2 0

= +

+ax b

x possui raízes 2

1

x -1 e 2x₂-1. O valor de a+b é:

40) A condição necessária e suficiente para que a equação

x

k

x

=

5

4

3

0

2

1

tenha raízes reais é:

41) Em uma adição de 15 números, as parcelas foram colocadas em ordem crescente e ocorreu que a primeira parcela era igual a 23, a última era igual a 117, e cada uma das outras era igual à média aritmética das duas parcelas vizinhas. O resultado desta operação foi:

42) Em uma sala há quatro casais marido-mulher. Escolhendo ao acaso três dessas pessoas, a probabilidade que esse grupo contenha um casal marido-mulher é:

43) A figura abaixo mostra duas semicircunferências de diâmetros AB e AC.

Se AB = 2 e BC = 1, a razão

S R

(36)

a

a área de uma seção que contém a diagonal de uma face e faz 30° com essa face é:

45) O muro n de uma barragem tem a forma da figura a seguir. De um lado, uma rampa de 100m de comprimento fazendo ângulo de 20° com o plano horizontal. Do outro lado, uma rampa de comprimento x fazendo ângulo de 40° com o plano horizontal.

Dados sen20°=0,342, cos20°=0,940 e tg20°=0,364, o valor de x é, aproximadamente:

46) Na seqüência aritmética: 2, 9, 16, 23, 29, ... , o primeiro termo que ultrapassa 2007 é:

47) Pedro investiu certa quantia comprando ações de uma indústria. No final do primeiro ano, ele verificou que as ações tinham valorizado 25%, mas no final do ano seguinte ele disse: “Puxa, eu tenho hoje o dobro do dinheiro que investi”. A valorização dessas ações no segundo ano foi de:

48) Carlos tem muitas bolas de gude (feitas de vidro) com 2cm de diâmetro, e seu pai tem na sala um belo cone de vidro com 10cm de diâmetro e 12cm de altura. O número de bolas de gude que Carlos deve reunir para que o peso das bolas seja igual ao do cone é:

49) Os números x, y e z são inteiros e cumprem as seguintes condições:

− > >

= + +

23 10

4 7 5 3

1 3 2

y x

z y x

O número de ternos (x, y, z) que satisfazem a todas as condições é:

(37)

O tamanho dos catetos dos triângulos que serão retirados é de, aproximadamente:

51) Sejam A o conjunto dos números naturais de 3 algarismos e N o conjunto dos números naturais. A função f :A→ Né definida por f(n)=soma dos algarismos de n. O conjunto B é formado pelos valores de n, tais que f(n)=4. O número de elementos de B é:

52) Considere a função f :IR→ IR definido por

≥

<

=

0

2 )

(

2

x

se

x

se

x

f

considere as

afirmações:

(I) f é crescente.

(II) f é sobrejetora.

(III) Para qualquer número c, a equação f(x)=c tem solução.

Pode-se afirmar que:

53) A figura a seguir mostra três circunferências de raio 1cm tangentes entre si duas a duas.

A área do triângulo que circunscreve essas circunferências é aproximadamente igual a:

(38)

Considerando que não é necessário usar sempre todas as cores, e que duas regiões vizinhas não podem ter a mesma cor, o número de maneiras diferentes com que Marcelo pode pintar essa bandeira é:

56) Sendo

i i z

2 1

2

− +

= , então,

z

z+1 é igual a:

57) Os pontos (-4,3); (2,6) e (k,k) então sobre uma mesma reta. O valor de k é:

58) A tabela abaixo fornece os valores dos logaritmos naturais (na base e) dos números inteiros de 1 a 10.

x ln(x) 1 0,00 2 0,69 3 1,10 4 1,39 5 1,61 6 1,79 7 1,95 8 2,08 9 2,20 10 2,30

59) O valor mínimo da função

f

(

x

)

=

x

+

2 +

3 .

x

−

3 +

2 x

é:

60) Uma função quadrática tem zeros x₁ =−1e x₂ =4. Sabendo-se que f (1) = -12, o valor de

(39)

Resolução e Respostas:

26) A fração irredutível b a

x= é solução da equação

x 5 4 3 2 1 − −

=6, o valor de a+b é:

Solução: 1 5 1 4 3 2 1 x x − −

6 =

6 5 4 3 2 1 = − − x x

6

5

4

3

1

2

1 =

−

x

6 1 5 4 3 5 4 1 2 1 = − − − x x x

6

5

4

3

10

8

1 =

−

x

6 10 5 5 4 = − − x x ) 10 5 .( 6 5

4x− = x−

26 55 = x Sendo b a

x= então temos a=55 e b=26

logo, 55+26=81.

60

30

5

4 x

−

=

x

−

4x-30x=5-60 -26x= -55 27) Sejam x e y números reais, tais que x+y=3 e 2 2 19

= +y

x . O valor de x3 +y3 é:

Solução:

=

+

=

+

19

3

2 2

y

x

y

x

x=3-y 19 2 2 ₊ ₌

y x

(

3 )

2 2

19 =

+

−

y

19 6

9 2 2

= + +

− y y y

19 6 2 6

9₋ ₊ 2 ₋ ₌ y y y

2

2y -6y-10=0 ÷(2)

2 y -3y-5=0

( )

2

29

3

1 .

2

29 )

3 (

.

2

29

20

9 )

5 .(

1 .

4

3 .

.

4

2

±

=

±

−

=

∆

±

−

=

∆

+

=

∆

−

=

∆

−

=

∆

a

b

y

c

a

b

2 29 3 1 + = y 2 29 3 2 − = y

(40)

3 y

x + 3 3

2

29

3

2

29

3 −

+

Calculando, logo temos:

36+7 29+36-7 29= 36+36=72

28) Sejam a e b números reais, tais que 2 2 6 . ab b

a + = Um valor possível para a razão b a é: Solução: ab b

a2 + 2 =6

(

÷b2

)

2 2 2 2 2

6 b

ab

b

a

=

+

b

a

b

a

6

1

2 2

=

+

0

1

6

2 2

=

+

b

a

b

a

2 4 32 4 36 = ∆ = ∆ − = ∆ 2 2 4 6± = b a

2

3

2

4

3

1

+

=

+

=

b

a

2

3

2

4

3

1

−

=

−

=

b

a

Logo: 2 2 3+

29) A velocidade da luz no vácuo é de 300 mil quilômetros por segundo, e a distância média do planeta Júpiter ao Sol é de 780 milhões de quilômetros. Nesta situação, o tempo que a luz emitida do Sol demora para chegar a Júpiter é de:

Solução: x seg km 780000000 1 300000 . Logo: 3x=7800 x=2600 seg.

1 minuto tem 60 segundo:

2600÷60=43min20seg.

30) Um saco contém 30 bolinhas brancas, 22 bolinhas vermelhas e 16 bolinhas pretas, todas iguais em tamanho e peso. No escuro, você deve retirar do saco certo número de bolinhas de forma que tenha a certeza de ter, pelo menos, uma bolinha branca. O número mínimo de bolinhas que você deve retirar do saco para ter esta certeza é:

Solução:

30 bolinhas brancas;

22 bolinhas vermelhas;

16 bolinhas pretas;

Obs: Ele quer o número mínimo de bolinhas que você deve retirar do saco para ter certeza...

(41)

Retiramos o numero total das bolinhas vermelha que são 22;

Retiramos o numero total das bolinhas pretas que são16;

Então logo saberemos que é possível que a próxima retirada será branca, se não, vejamos:

22+16+1 = 39

39 bolinhas é o número mínimo.

31) Em uma semana, as ações de certa companhia valorizaram 20% e, na semana seguinte, desvalorizaram 20%. O valor das ações é:

Solução:

Considerando uma ação custando

R$100,00 vamos calcular:

(100.0,2)+100=120

Valorizou R$20,00 então passou a custar R$120,00.

120-(120.0,2)=96

Desvalorizou R$24,00 então passou a custar R$96,00.

Mas o valor inicial da ação era de R$100,00 então:

100-96=4

Para saber a porcentagem de

valorização/desvalorização basta:

4

÷

100 = 4%

Desvalorizou, pois custava R$100,00 e agora custa R$96,00.

Desvalorizou 4%.

32) A figura a seguir mostra duas circunferências tangentes em A. Uma reta corta a circunferência maior em B e C e é tangente à circunferência menor em T. A reta TA encontra novamente a circunferência maior em D.

(42)

Solução:

Temos:

Considerando O o centro da circunferência maior, e E o centro da circunferência menor, então:

DÔB=150°

DBO=15°

BDO=15°

DÔA=110°

ADO=35°

DAO=35°

TÂE=35°

ATE=35°

CTA=55°

Então, considerando o arco formado pelos pontos CA como sendo y, então teremos:

55°=

2 150°− y

110°=150°-y

y=40°

33) No intervalo [0°;360°] a soma das soluções da equação

4 1 cos .

cos 2 ₊ 2 ₌ x+ x

sen x sen x

é:

Solução:

4 1 cos .

cos 2 ₊ 2 ₌ x+ x

sen x sen x

4 1 cos ) 1 (cos

2 ₊ ₌ x+

x x sen

1 cos ) 1 (cos 4 2

+ =

+ x

x x sen

0 ) 1 (cos ) 1 (cos

4 2 ₊ ₋ ₊ ₌

x x

x sen

0 ) 1 )(cos 1 4

( 2

= +

− x

x sen

1 4 2 ₋

x sen =0

0

1 cos

x

+

=

4 1 2 ₌

x sen

2 1

± =

x sen

x=30°;150°;210°;330°.

0

1 cos

x

+

=

1 cos

x

=

−

x=180°

então a soma é:

(43)

Solução:

Definição de injetora: Cada elemento da imagem (da saída) está associado a apenas um elemento do domínio (da entrada), isto é uma relação um para um entre os elementos do domínio e da

imagem.

A = {1, 2, 3}, 3 elementos.

B = {4, 5, 6, 7, 8}, 5 elementos.

5 . 4 . 3 = 60 possibilidades

35) O resto da divisão de P(x)=x3+ax+b por (x+1) é 4, e o resto da divisão de P(x) por (x-1) é 8. Então, o resto da divisão de P(x) por (x-2) é:

Solução:

1°) P(x)=x3+ax+b por (x+1) é 4 Pela definição do teorema do resto temos (x-a) onde a é -1

(x-a)=[x-(-1)]

(-1)3+a(-1)+b=4

-a+b=5

2°) P(x)=x3+ax+b por (x-1) é 8 (1)3+a(1)+b=8

a+b=7

Juntando tudo:

=

+

=

+

−

7

5 b

a

b

a

2b=12

b=6

a+b=7

a=-1

Logo teremos de P(x)=x3 +ax+b

P(x)= 3 ₊ ₊6

x

x que dividido por (x-2)

Teremos resto igual a 16.

36) O raio da circunferência 2 ₊ 2 ₋14 ₋2 ₊10₌0 y

x y

x é igual à distância do ponto (1,1) à

reta 3x+y+c=0. Um valor possível para C é:

Solução:

0 10 2 14 2

2 ₊ ₋ ₋ ₊ ₌

y x y

x 7 0 = x

1 0 = y

R=

7

2

1

2

10

40 =

−

+

Considerando agora que os pontos (1,1) são respectivamente (x₀,y₀), pois a distância é a mesma.

Sendo:

3x+y+c=0

A=3

B=1

C=c

E como a distância é a mesma, então temos:

d=R

d=

2 2

0 0

B A

C By Ax

(44)

40= ₂ ₂

1

3

1 .

1

1 .

3 +

+

c

40. 10 =

4 +

c

+ =4

400

20=4+c

c=16

37) Uma loja oferece um artigo por R$170,00 à vista ou em duas parcelas de R$90,00, sendo uma no ato da compra e outra um mês depois. A taxa de juros cobrada pela loja é de:

Solução:

170-90=80

90-80=10

10=80.i.1

i= 0,125 12,5%

8 1 80 10

= =

=

38) Em um bosque há 180 árvores. Sabe-se que cada árvore tem pelo menos 30 folhas e que nenhuma árvore tem mais de 200 folhas. Pode-se concluir que:

Solução:

Se todas têm no mínimo 30 folhas logo teremos 5400 folhas;

Se todas têm no máximo 200 folhas logo teremos 3600 folhas.

Se 1 tem 30 folhas logo 179 terão 35800;

Então teremos 30+35800=35830

Total: 180;

1 arvore: no mínimo 30 e no máximo 200.

A) existe pelo menos uma árvore com 200 folhas;

115x180=20700 abaixo das 36000 folhas.

B) o número médio de folhas por árvore é 115;

Se fizermos 50

180 3600 5400

= +

é possível que não.

C) existe alguma árvore com 115 folhas;

Se 1 tem 115 logo 179=35800 somando com 115+35800=35915 logo abaixo da 36000 folhas.

(45)

Se fizermos 180x30=5400.

E) existem pelo menos duas árvores com o mesmo número de folhas.

Logo o mais provável seria esta afirmativa ser a correta.

39) A equação 2 ₋9 ₊7₌0 x

x possui raízes x₁ e. A equação 2 ₊ ₊ ₌0 b ax

x possui raízes 2

1

x -1 e 2x₂-1. O valor de a+b é: Solução: 0 7 9 2 = + − x x 2 53 9 53 ) 7 .( 1 . 4 ) 9 ( 1 2 + = = ∆ − − − = ∆ x 2 53 9 2 − = x 2 + 2 53 9

-1=8+ 53

2 −

2 53 9

-1=8− 53

Pela soma e produto temos: 0

2

= +

−Sx P

x

S=x₁ +x₂ = 8+ 53+8− 53=16 P=x₁.x₂=

(

8 +

53 )

.

(

8 −

53 )

=11

0 2

= +

+ax b

x sendo 2 0

= +

−Sx P

x S=a e P=b

A+b=-16+11=-5

40) A condição necessária e suficiente para que a equação

x

k

x

=

5

4

3

0

2

1

tenha raízes reais é:

Solução:

Tenha raízes reais, então vejamos:

K=0 e K>0 então teremos: K

≥

0: Calculando:

k

x

=

4

3

0

2

1

5

4

3

0

2

1

3 2

x +8x-10x-4x

=

k

3 2

x -6x-k

=

0 (

)

(

)

k k 12 36 . 3 . 4 6 2 − = ∆ − − − = ∆

Considerando

∆

≥

0

então:

k

12

36 −

≥

0