Mecânica. Trabalho e Variação da Energia Cinética

Mecânica Trabalho e Variação da Energia Cinética

Introdução

A partir do final do século XIX, o termo energia passou a se incorporar cada vez mais às preo- cupações dos pensadores e, assim, se tornou um tema relevante no desenvolvimento das teorias físicas, notadamente da teoria cinética dos gases, da mecânica estatística e da termodinâmica.

A partir do início do século XX, esse termo passou a fazer parte dos problemas cotidianos das pessoas. Hoje, a disponibilidade de energia passou a ser um fator de desenvolvimento. Sabemos que a energia é a mola propulsora do desenvolvimento, do progresso. Por isso, a relevância de se buscar formas de energia renováveis e limpas. De grande impacto nos dias de hoje são os programas que visam à geração de energia bem como à sua conservação. A busca por fontes alternativas, ou novas, de energia é uma preocupação nos dias de hoje e, levando-se em conta o aumento constante do seu consumo, essa procura tem um caráter perene.

No cotidiano, associamos energia à capacidade de realização de tarefas. Energia está ligada ao conceito de implementar transformações (e esse é o objetivo de muitas tarefas). Podemos definir a energia de um sistema como sua capacidade de realizar - ou passar ele mesmo por - transformações.

Essas definições refletem o sentido original da palavra grega energeia - ἐνέργεια, que pode ser tradu- zida por atividade ou, ainda, operatividade. Aquilo que tem energia é, nesse sentido da palavra, ativo e operante.

O conceito de energia emergiu, pela primeira vez, a partir da ideia de Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) de pensar na existência de duas categorias de “forças”. A primeira seria constituída pelas forças fundamentais, ou mortas, tais como a força gravitacional, elétrica etc. À segunda categoria deu o nome de “vis viva”, melhor traduzida na linguagem de hoje por “força viva”. Sendo a força viva definida por ele como associada a “uma quantidade infinita de impressões das forças elementares”, poderíamos identificá-la hoje como igual ao trabalho, ou a variação da energia ciné- tica de uma partícula. O fato é que Leibniz introduziu a diferenciação entre força e energia, e fez o que estava ao seu alcance para definir energia.

Thomas Young recebe o crédito por ter usado pela primeira vez, em 1808, o termo “energia” em vez de força viva, dando a essa palavra o sentido empregado ainda nos dias de hoje. De qualquer forma, a ideia de associar a um sistema físico uma grandeza tal que ela represente uma medida da sua capacidade de realizar atividades, ou transformações, parece estar contida na proposta original de Leibniz de associá-la a um novo tipo de “força”, ou vis.

À medida que esse conceito físico ganhava importância, passamos a discuti-lo mais e mais na lite- ratura científica. Em particular, nos primórdios questionava-se se a energia seria uma substância, a qual seria identificada com o calórico, ou uma nova grandeza física (como, por exemplo, a quanti- dade de movimento). Esta última noção, a de grandezas física, afinal, acabou prevalecendo.

O fato é que o conceito de energia evoluiu paulatinamente com o tempo. Einstein, em 1905, deu uma grande contribuição ao tema ao chamar a atenção para a equivalência entre massa e energia.

Aprendemos assim que a massa se constitui ela mesma em energia. É uma forma de energia intrín- seca à matéria.

Existem muitas formas de energia. No próximo capítulo, apresentaremos o conceito mais geral das formas de energia e analisaremos algumas delas.

A Energia Cinética

Essa foi a primeira forma de energia identificada, graças à perspicácia de Leibnitz, que associava ao simples movimento algo capaz de realizar tarefas. Como sabemos, um objeto em movimento é dotado de capacidade de realizar tarefas, impor transformações a outros objetos. E essa capacidade é proporcional ao quadrado da velocidade do objeto.

Figura 1: Leibnitz, Thomas Young – o primeiro a utilizar o termo “energia” no sentido que empregamos hoje – e Einstein.

Gotfried Wilhelm Leibniz Existência de duas categorias de

“forças”: a primeira constituída pelas forças fundamentais, e a se- gunda denominada de “força viva“.

1646-1716

Thomas Young

Recebeu o crédito por ter usado pela primeira vez, em 1808, o termo

“energia“ ao invés de força viva, dando a essa palavra o sentido em-

pregado ainda nos dias de hoje.

1808

Einstein

Deu uma grande contribuição ao tema ao chamar a atenção para a equivalência entre massa e energia.

1905

Pelo simples fato de um objeto estar em movimento, ele tem energia. A energia de movimento é denominada energia cinética. A força viva de Leibnitz pode ser identificada como associada a essa forma de energia (na realidade, duas vezes essa grandeza). Em 1740, Emilie, marquise du Châtelet, mostrou que a força viva proposta por Leibnitz seria proporcional à massa do corpo e ao quadrado da sua velocidade. Gustave-Gaspard Coriolis introduziu, em 1829, o termo “energia cinética” dando a ele a conotação moderna de energia associada ao estado de movimento de um corpo.

Assim, existe uma forma de energia que está associada inteiramente ao movimento, isto é, está associada ao estado de movimento (à velocidade, mais precisamente). Tal energia é denominada Energia Cinética (cinético, em grego, significa movimento).

Para uma partícula de massa m e velocidade v, a sua energia cinética é dada pela expressão:

( 1 )

onde

( 2 )

é a grandeza física denominada “momento linear” ou “quantidade de movimento linear” de uma partícula de massa m e velocidade v_.

Observe que, quanto maior for a velocidade e massa de um objeto, tanto maior será a sua energia cinética. Essa expressão acima está de acordo com a nossa experiência cotidiana. Sabemos que um carro em movimento pode realizar tarefas, algumas delas absolutamente desnecessárias, como derrubar postes, derrubar muros ou deformar laterais de outros carros. O estrago provocado em acidentes é tanto maior quanto maior a velocidade do veículo. Uma jamanta, por outro lado, por ter uma massa maior do que um automóvel, é capaz de fazer mais estragos do que este (até mesmo a uma velocidade menor).

E m v p

c= = m

2 ² 2

 2

 

p mv=

Figura 2: Estando ambos à mesma velocidade, compare suas capacidades de executar tarefas.

exercícios resolvidos^

Trabalho Realizado por uma Força

O conceito vulgar de trabalho incorpora a ideia de esforço despendido para a realização de tarefas.

Intuitivamente, relacionamos esse esforço a dispêndio de energia. O trabalho, como definido pelos físicos, é um conceito abstrato (nada intuitivo, de fato), mas, por outro lado, introduz um rigor matemá- tico na definição de uma das múltiplas formas de energia, conhecida como energia potencial. Devido a esse aspecto formal da definição de trabalho realizado por uma força, muitas vezes não percebemos a relevância desse conceito. Em particular, ele é essencial para entendermos outros conceitos já arrai- gados, por meio do seu uso cotidiano, como energia potencial e conservação da energia.

Neste capítulo, mostraremos que o trabalho definido adequadamente associa essa grandeza física à variação de uma, ou em alguns casos, duas formas de energia. Em particular, ele se constitui numa medida de quanto uma forma de energia (a energia cinética) varia quando um móvel se desloca de um ponto A para um ponto B. Dessa forma, fica evidente que o conceito de trabalho na Física está relacionado à variação ou dispêndio de energia.

Diferentemente da ideia mais difundida, e popular, de que o trabalho está associado à realização de tarefas e, portanto, envolve todas as formas de energia, o trabalho definido a seguir mede um tipo de dispêndio (ou ganho) de energia: o da energia cinética. No caso de forças conservativas, o trabalho mede também a variação da energia potencial. Trabalho está, portanto, ligado a variações de duas formas de energia.

Trabalho Realizado por uma Força Constante

No cotidiano, dizemos que um indivíduo realizou um trabalho ou uma máquina realizou um certo trabalho. Na física, dizemos que forças realizam trabalho. O trabalho é, assim, definido a partir do conceito de força.

A definição de trabalho realizado por uma força genérica (F

) exige que iniciemos a discussão pelo caso mais simples, o de uma força constante. Para essa situação, definimos o trabalho rea- lizado pela força ao atuar sobre uma partícula, quando esta se desloca de A até B (W_A→B), como o produto escalar do vetor deslocamento (Δr) pela força (F

). Ou seja:

( 3 )

W_{A B}→ = ⋅ ∆F r ,

onde Δr é o vetor deslocamento de A até B:

( 4 )

Para uma força constante, pode-se mostrar que o trabalho assim definido não dependerá do caminho percorrido pela partícula quando ela se movimenta entre os pontos A e B. Ou seja, o trabalho só depende da força e desses dois pontos extremos do deslocamento da partícula.

Portanto, trabalho é uma grandeza escalar e seu valor para forças constantes é dado pela expressão (3), a qual é equivalente, de acordo com a definição de produto escalar, à expressão:

( 5 )

onde α é o ângulo entre a força F

e o deslocamento Δr. Note, analisando a expressão (5), que o trabalho realizado por uma força pode ser nulo:

( 6 )

E isso ocorre, nesse caso, se a força aplicada for perpendicular ao deslocamento do móvel ou se os dois pontos coincidirem. A coincidência pode resultar, nesse caso, de várias voltas dadas pela partícula no espaço, retornando depois à posição inicial.

Trabalho Realizado por uma Força Não Constante

Determinaremos agora o trabalho realizado por uma força quando a par- tícula percorre um caminho arbitrário do ponto A até o ponto B e quando a força não é constante. Essa extensão deverá levar em conta, no entanto, a definição de trabalho realizado por uma força constante.

Podemos sempre dividir o percurso entre A e B numa sucessão de N deslo- camentos Δr(i) (i= 1,2,...N), como mostra a figura (000).

Se tomarmos um número muito grande de divisões, os deslocamentos Δr(i)

serão muito pequenos e, consequentemente, a força praticamente não varia ao longo de cada um deles. A força poderá, em cada um dos intervalos, ser

Figura 3: O trabalho realizado por uma força constante depende do ângulo entre o vetor deslocamento e a força.

∆ = −r r r  _{B A}.

Figura 4: Para uma força constante, o trabalho depende do vetor deslocamento entre os pontos A e B.

W_{A B→} = F r ∆ cos ,α

W_A→B = 0.

Figura 5.a: Caminho interligando os

pontos A e B. Figura 5.b: Subdivisão do caminho gerando N deslocamentos.

admitida como constante ao longo do deslocamento e será denotada como a força F_(i)

. O trabalho realizado pela i-ésima força ao longo do i-ésimo deslocamento é, então, aquele dado pela expressão (000) que se aplica para uma força que não varia:

( 7 )

onde F_(i)

é o valor da força ao logo do i-ésimo deslocamento Δr(i) admitida agora como se fosse constante.

Assim, podemos definir o trabalho no percurso Γ como a soma dos trabalhos ao longo de cada um dos deslocamentos parciais. Isto é:

( 8 )

Na verdade, essa somatória para pequenos valores de N é apenas um valor aproximado para o trabalho realizado pela força. Para obtermos o valor exato, devemos fazer o número de divisões tender a infinito de tal forma que os deslocamentos de todos os intervalos tendem a zero. Por esse

∆W F_i = ^{( )i} ⋅ ∆r^{( )i} ,

( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

1 2

1 1 2 2

1 .

→

=

= ∆ + ∆ + ∆

= ∆ + ∆ +

=∑ ∆

    

 

n

A B n

n i i

i

W W W W

F r F r

F r

Figura 6: Subdividimos o trabalho em N contribuições dos trabalhos associados a cada subdivisão.

processo, a somatória do segundo membro de (000) tende para um valor bem definido, indicado como igual à integral de caminho:

( 9 )

O termo do lado direito da equação acima é denominado integral de linha de um vetor ao longo de uma curva Γ (ou circulação do vetor ao longo da curva).

Integral de Linha do Vetor Força

Já vimos que o trabalho é a integral de linha da força agindo sobre uma partícula. A seguir, procuraremos dar uma definição mais operacional para tal conceito.

Lembramos que um caminho, interligando dois pontos A e B, nada mais é do que uma curva que pode ser descrita utilizando um parâmetro, designado por λ. Assim, define-se uma curva como o lugar geométrico dos pontos do espaço descritos pelas funções a um parâmetro – o parâmetro λ – dadas por:

( 10 )

A cada ponto do espaço corresponde um e apenas um valor do parâmetro λ e, ao variá-lo, obtemos os diferentes pontos ao longo da curva. Em particular, aos pontos A e B correspondem os valores λ_A e λ_B tais que suas coordenadas são dadas por:

( 11 )

Consideremos uma linha ou curva qualquer. Ela pode ser subdivida em n pedaços infinitesimais.

Um ponto ao longo da curva é caracterizado pelo vetor de posição:

( 12 )

W_{A B}→ =∫F dr^{ }⋅

Γ

.

x x y y z z

= ( )

= ( )

= ( )

λ λ λ

x x y y z z

x x y y z z

A A

A A

A A

B B

B B

B B

= ( )

= ( )

= ( )

= ( )

= ( )

= ( )

λ λ λ

λ λ λ

   

r( )λ ⁼x( )λ i y⁺ ( )λ i z⁺ ( )λ i

Assim, dois pontos sucessivos ao longo de uma curva definem um vetor deslocamento (veja figura 000) dado por:

( 13 )

Definimos a distância entre esses dois pontos (veja figura 000) como igual ao módulo do vetor acima. Isto é:

( 14 )

O produto escalar do vetor força F

(r), dependente do ponto identificado pelo vetor posição r, pelo vetor deslocamento Δr, é dado, portanto, pela expressão:

( 15 )

onde θ é o ângulo entre os dois vetores e F_t é a projeção do vetor força F

(r) na direção estabelecida pelo vetor Δr.

Consideremos uma curva arbitrária, na qual introduzimos uma partição contendo n pequenos segmentos de comprimento Δl (veja figura 7).

Para qualquer elemento da linha, ou seja, um particular segmento da curva – digamos, o trecho associado ao i-ésimo ponto da partição considerada –, introduzimos o vetor Δr

i que é o vetor deslo- camento associado aos extremos dessa divisão da curva. Ou seja, esse vetor é o vetor deslocamento entre os extremos do segmento.

Considerando agora o campo vetorial F

(r), podemos definir o trabalho da força associado a esse segmento com o produto escalar:

( 16 )

Definimos, finalmente, o trabalho associado à partição n, W⁽ⁿ⁾ como aquele que resulta da soma sobre todas as contribuições associadas às n partições da curva:

( 17 )

∆r( )λ ⁼r(λ⁺∆λ)⁺r( )λ

∆l = ∆r^( )^λ

Figura 7: O vetor deslocamento entre dois pontos ao longo de uma curva e sua partição em segmentos.

      

F r( )^⋅∆r F r⁼ ( ) ^∆r cosθ⁼F r_t ^∆

∆W F r_i = ^{ }( )_i ^⋅∆r^_i

W_{A B}ⁿ W_i F r r

i n

i i

i n

→ ( )

= =

=∑^∆ =∑ ( )^⋅∆

1 1

  

No limite em que o número de elementos das partições tende a infinito, tal soma define a integral de caminho da força, ou seja, o trabalho realizado pela força:

( 18 )

onde fica implícito que, no limite acima, o (máximo |Δr

i|)→0 quando n→∞. Na expressão (000), o vetor dr é o vetor deslocamento infinitesimal

( 19 )

o qual é tangente à curva pelo ponto caracterizado pelo vetor posição r e o seu módulo é dado por

( 20 )

onde dl é o elemento de comprimento infinitesimal da curva. A direção desse vetor é a mesma direção da reta tangente à curva pelo ponto considerado e o seu sentido indica a direção crescente do deslo- camento (veja figura). Escrevemos assim:

( 21 )

onde t

é o versor tangente à curva pelo ponto caracterizado pelo vetor posição r.

Quando a curva é fechada, a integral de caminho é conhecida como circulação do vetor ao longo dela, e é representada assim:

( 22 )

Se definirmos a componente do vetor F dl F dl⋅ = ⋅_t

, então, a integral de linha entre os pontos A e B pode ser escrita, formalmente, sob a forma:

( 23 )

ou seja, a circulação de um vetor, ou sua integral de linha acaba se reduzindo a uma integral de uma função de uma variável.

W_{A B} F r F r dr

n i

n i

→ →∞ =

=^lim∑ ^{ }⋅ =∫ ^{  }( )^⋅

1

∆

Γ

Figura 8: O vetor deslocamento infinitesimal e a projeção do campo V

, no caso, o campo de forças F

, em cada ponto ao longo do caminho.

dr dxi dyj dzk   

= + +

dr dl =

dr dlt= 

Figura 9: Integral de caminho e Circulação de uma grandeza vetorial.

W =∫_Γ F r dr ( )^⋅

W F dl

d d

A B→ =  t

 



∫ _λ ^λ

λ λ

1 2

A circulação de um vetor, ou a integral de linha do vetor, é uma grandeza escalar que depende do caminho escolhido e do sentido em que se percorre esse caminho. Invertendo-se o sentido em que se percorre o caminho, inverte-se o seu sinal.

A circulação de um campo vetorial é uma medida de quão próximas (ou afastadas) estão as linhas de força do campo de se fecharem sobre si mesmas. Na figura 9, apresentamos um campo sem circulação e outro com circulação. O campo magnético da Terra é um campo com circulação.

Unidades de Trabalho

A unidade de trabalho depende das unidades empregadas tanto na unidade de intensidade de força como da unidade de comprimento. No sistema internacional (S.I.), a unidade de trabalho é o joule, definido como o produto de um newton vezes o metro. O joule, símbolo J, é então definido como o produto:

( 24 )

No sistema CGS, a unidade de trabalho é o erg.

Forças Dependentes Apenas de uma Variável

Consideremos agora o caso de um deslocamento ao longo de uma linha reta. Tomaremos essa linha como o eixo x. Agora admitiremos que a força dependa apenas da coordenada x. Ou seja, a força depende apenas de uma das coordenadas.

Dada uma força dependente apenas de x, podemos dividir o deslocamento entre as posições x_A e x_B em pequenos intervalos Δx. Para cada um desses intervalos, aplicamos a fórmula para força constante, pois essa divisão procura justamente intervalos tão pequenos que, para cada um deles,

J = 1N.1 m.

exercícios resolvidos^

possamos utilizar a expressão para força constante. Daí obtemos, para o i-ésimo intervalo, o trabalho que, por definição, é dado pela expressão:

( 25 )

De (25) segue-se que a energia potencial é dada por:

( 26 )

Potência de uma Força

Consideremos uma força F

que, durante um intervalo de tempo Δt, realiza um trabalho ΔW. Definimos a potência média (P_m) dessa força, nesse intervalo de tempo, por:

( 27 )

ΔW_i = F(x_i)Δx_i.

W_{A B} F x dx

x x

A B

→ = ∫ ( ) ^.

Figura 10: Para forças dependentes de apenas uma coordenada, o trabalho é dado pela área entre a curva, determinada pelo gráfico da função, e o eixo x. Ou seja, o trabalho é dado pela integral definida entre os pontos da extremidade.

exercícios resolvidos^

P W

m= ∆ t

∆

A potência instantânea, ou apenas potência representada por P, é definida por:

( 28 )

A potência de uma força é a derivada do trabalho desta em relação ao tempo.

Lembrando a equação (000), obtemos que, para deslocamentos infinitesimais dr causados pela aplicação da força F

, o trabalho infinitesimal realizado pela força é:

( 29 )

portanto, de (000), segue-se que a potência é dada pelo produto escalar:

( 30 )

onde v é a velocidade instantânea da partícula.

Unidades de Energia e Potência

No SI a unidade de energia é o Joule (símbolo J).

A unidade de potência é o watt, cujo símbolo é W. A unidade de potência watt é a potência de um trabalho unitário joule (J) dividido pelo intervalo de tempo unitário de um segundo (s):

( 31 )

No entanto, por razões históricas, às vezes são usadas outras unidades:

( 32 )

P W

t

= t ∆

∆

∆ →lim .

0

dW F dr= ⋅ ,

P dWdt F dr

dt F v

= = ⋅  = ⋅ ,

1W = 1J/1s

1 HP = 1 horse-power = 746W 1 cv = 1 cavalo-vapor = 365W

Trabalho e Variação de Energia Cinética

Vamos agora demonstrar, primeiramente sem muito rigor, um resultado muito importante; ou seja, o trabalho realizado por uma força (ou a resultante das forças que agem sobre o corpo) no deslocamento de A até B dá a diferença de energia cinética da partícula entre os pontos B e A:

( 33 )

Portanto, o trabalho dá uma medida muito precisa de quanto a energia cinética varia quando um corpo se desloca do ponto A até o ponto B. Esta variação de energia cinética pode, por exemplo, ter ocorrido como resultado da variação de outras formas de energia.

Para demonstrar esse resultado, basta retomarmos a definição de trabalho e, ao mesmo tempo, usarmos a lei de Newton. Assim, integrando os dois termos da lei de Newton, obtemos:

( 34 )

Uma manipulação simples leva a escrever o lado direito dessa equação sob a forma:

( 35 )

O integrando pode ser escrito como uma diferencial exata se lembrarmos que:

( 36 )

Assim, utilizando a equação anterior em (000), obtemos:

( 37 )

demonstrando-se, portanto, o resultado expresso pela equação (000).

Figura 11: Energia potencial elástica pode, igual- mente, ser transformada em energia cinética.

W mv mv

A B B A

→ = ² − ²

2 2

W F dr m dv dt dr

A B A B

A B

→ =∫ ^{ }⋅ = ∫ ^{ }⋅

W m dv dr

dt m dv v

A B A B

A B

→ = ∫ ^{ }⋅ = ∫ ^{ }⋅ ^.

dv v d v v    d v

⋅ =  ⋅

 

 = 

 



2 2

2 .

W d mv mv mv

A B A B

B A

→ = 

 

 = −

∫ ₂^2 ₂^{ 2} ₂^{ 2,}

Exercícios Resolvidos: A Energia Cinética

Exercício

Uma bala de massa m = 8 × 10⁻³ kg é ejetado de um fuzil com velocidade v = 720 m/s.

a. Qual a energia cinética da bala?

b. Compare essa energia com outras necessárias para realizar atividades corriqueiras.

Resolução

a. Energia cinética da bala

Conforme a definição, a energia cinética da bala é:

( 38 )

onde J = kg(m²/s²) = joule , unidade de energia no Sistema Internacional (SI) de Unidade.

b. Comparação

Vamos comparar com um evento no cotidiano. A tarefa de erguer um litro de água mineral (de 1 kg) na direção vertical, e ao longo de uma distância de 1 m, exige uma quantidade de energia igual a E = 10 J.

O que pode fazer uma energia igual a 2.074 J? Ela corresponde à tarefa de erguer a massa de 207 litros de água de uma só vez ao longo de 1 m de altura!

Exercício

Por ocasião do saque, uma bola de tênis de massa m = 60 × 10⁻³ kg (60 g) pode ser arremessada horizontalmente com momento linear p = 4,5 kg.m/s.

a. Qual a energia cinética da bola nessas circunstâncias?

b. Qual é a velocidade escalar da bola ao ser arremessada?

E_c = (1/2)mv² = (1/2)(8 × 10⁻³ kg)(720 m/s)² = (1/2)(8 × 10⁻³)(720)²[ kg·m²/s²]

E_c = (1/2)(8 × 10⁻³)(720)²[ kg.m²/s²] = 2.074 J

Resolução

A energia cinética pode ser expressa em função do momento linear e da massa da partícula, ou seja,

( 39 )

onde p = m.v (produto da massa pela velocidade escalar). Assim Energia cinética é, portanto, dada por:

( 40 )

Fazendo uso da relação entre momento linear e velocidade: p = mv, a velocidade, que no caso é a única incógnita, pode ser determinada. Nesse caso, temos:

( 41 )

E p

c= m² 2

E_c =



 



( × ⁻ ) ^≅

4 5 2 60 10 ³

, kg. m s

kg 168,8 joules

4,5 kg.m/s = (60 × 10⁻³ kg).v ⇒ v = 75 m/s (270 km/h).

Exercícios Resolvidos: Unidades de Trabalho

Exercício

Determine o Trabalho realizado pela força normal.

Resolução

A força normal é sempre perpendicular à direção do deslocamento (e do movimento). Isso significa que a projeção da força na direção de deslocamento é nula. Matematicamente, escrevemos, para qualquer deslocamento:

( 42 )

E, portanto, o trabalho realizado pela força normal é nulo. Por isso, dizemos que a força normal não realiza trabalho.

Exercício

Determine o trabalho realizado pela força gravitacional.

Resolução

Como a força da gravidade na proximidade da Terra é uma força constante, o trabalho realizado por ela será dado pela expressão:

( 43 )

De acordo com a expressão (43), o trabalho realizado pela força gravitacional, admitida constante, é dado pela expressão:

( 44 )

N dr ⋅ =0

Figura 1: O trabalho da força gravitacional depende só das coordenadas dos pontos A e B.

W_{A B}→ =∫mg dr^{ }⋅

Γ

.

W_{A B}→ =mg r r^{  }⋅( _B− _A).

Escolhendo o eixo y ao longo da aceleração de gravidade e orientando o eixo y no sentido con- trário (veja figura 000), verifica-se que o trabalho pode ser determinado como função apenas das coordenadas y dos pontos A e B. Ou seja:

( 45 )

Observe que o trabalho depende apenas da variação da altura (dada pela coordenada y). Isso ocorre porque deslocamentos na direção horizontal dão contribuição nula para o trabalho, pois a força de gravidade é perpendicular a esses deslocamentos.

W_A→B = mg(y_B − y_A).

Exercícios Resolvidos: Forças Dependentes Apenas de uma Variável

Exercício

Determine o trabalho realizado pela força elástica quando o móvel se movimenta entre os pontos denominados x₁ e x₂.

Resolução

No caso da força elástica, F(x) = − kx, a curva F(x) é a reta interligando os dois pontos. O trabalho realizado pela força elástica é dado, basicamente, pela área do triângulo tracejado na figura (1).

Dependendo de realizar o trabalho numa ou noutra direção, o trabalho será dado ou pela área ou pela área precedida pelo sinal menos.

De acordo com a definição, o trabalho realizado pela força quando do deslocamento da partícula entre os pontos denominados x₁ e x₂, é dado pela integral:

( 46 )

A última integral pode ser realizada de duas formas equivalentes. Na primeira, integramos a função linear, cuja função primitiva é uma função quadrática. Obtemos, assim,

( 47 )

Na segunda forma, basta observar que a integral envolve áreas de triângulos. Deve-se tomar cuidado, no entanto, em relação aos sinais. Por isso, é sempre preferível efetuar a integração direta.

Como resultado temos que o trabalho realizado pelas forças elásticas é dado pela expressão:

( 48 )

Figura 1: Gráfico da força elástica.

W_{x x} F x dx kxdx k xdx

x x

x x

x x

1 2

1 2

1 2

1 2

→ = ∫ ( ) ^{= −}∫ ^{= −} ∫ ^.

− = − = −  −

 



∫

k xdx k x k x x

x

x x

1 x

2 2

1

2 22

12

2 2 .

W_{x1 x2} k x x 2 ^{22 12}

→ = − ( − )^.

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Créditos de produção deste ebook.

Bons estudos!

Créditos

Este ebook foi produzido pelo Centro de Ensino e Pesquisa Aplicada (CEPA), Instituto de Física da Universidade de São Paulo (USP).

Autoria: Gil da Costa Marques.

Revisão Técnica e Exercícios Resolvidos: Paulo Yamamura.

Coordenação de Produção: Beatriz Borges Casaro.

Revisão de Texto: Marina Keiko Tokumaru.

Design Instrucional: Juliana Moraes Marques Giordano e Vani Kenski.

Projeto Gráfico e Editoração Eletrônica: Daniella de Romero Pecora, Leandro de Oliveira e Priscila Pesce Lopes de Oliveira.

Ilustração: Alexandre Rocha, Aline Antunes, Benson Chin, Camila Torrano, Celso Roberto Lourenço, João Costa, Lidia Yoshino, Maurício Rheinlander Klein e Thiago A. M. S.

Animações: Celso Roberto Lourenço e Maurício Rheinlander Klein.