4 Malha em Multi-resolução com Simplificação e Refinamento

Este cap´ıtulo apresenta a descri¸c˜ ao geral do m´ etodo desenvolvido na tese. Trata-se de um m´ etodo de extra¸c˜ ao de malha em multi-resolu¸c˜ ao a partir de volumes, de modo que a malha extra´ıda possui todas as propriedades descritas na se¸c˜ ao 3.1. O m´ etodo ´ e aplicado para reconstruir superf´ıcies regulares, a multi-resolu¸c˜ ao ´ e aplicada ` a malha (e n˜ ao ao volume) e emprega tanto opera¸c˜ oes de simplifica¸c˜ ao quanto opera¸c˜ oes de refinamento da malha. A etapa de simplifica¸c˜ ao tem como objetivo extrair uma malha base a partir de um conjunto super amostrado de pontos obtido do volume original. A etapa do refinamento tem por objetivo obter uma representa¸c˜ ao da malha base em multi-resolu¸c˜ ao.

4.1

Simplifica¸ c˜ ao: Extra¸ c˜ ao da Malha Base

A etapa da simplifica¸c˜ ao aqui desenvolvida aplica basicamente a mesma estrat´ egia do m´ etodo desenvolvido em [54]. Por´ em, ´ e importante ressaltar que, enquanto o objetivo aqui ´ e a obten¸c˜ ao de uma malha simplificada, em [54] ´ e obtida uma malha j´ a em multi-resolu¸c˜ ao. O processo de multi-resolu¸c˜ ao em [54], por´ em, n˜ ao permite estabelecer uma rela¸c˜ ao hier´ arquica entre malhas de diferentes n´ıveis de resolu¸c˜ ao, ou seja, n˜ ao ´ e poss´ıvel obter uma malha de um n´ıvel i + 1 diretamente a partir de uma malha do n´ıvel i. Neste caso, para a obten¸c˜ ao de cada malha em uma determinada resolu¸c˜ ao, ´ e necess´ ario aplicar todo o processo de extra¸c˜ ao de malha a partir do volume, com os devidos parˆ ametros da resolu¸c˜ ao desejada.

No m´ etodo aqui apresentado, como a simplifica¸c˜ ao e o refinamento s˜ ao processos bem definidos, a extra¸c˜ ao da malha (base) ´ e aplicada uma ´ unica vez e, a partir desta, podem ser obtidas malhas com diversas resolu¸c˜ oes devidamente relacionadas em uma estrutura hier´ arquica. O processo de simplifica¸c˜ ao ´ e realizado atrav´ es de aglomera¸c˜ oes de pontos: a partir do

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volume de dados ´ e obtido um conjunto super amostrado de pontos que representa a iso-superf´ıcie; este conjunto vai sendo simplificado at´ e que se obtenham outros conjuntos em baixa resolu¸c˜ ao que retˆ em a topologia correta da iso-superf´ıcie. Os pontos simplificados s˜ ao ent˜ ao triangulados para definir a malha base. Esta etapa ser´ a tratada em detalhes no cap´ıtulo 5. Os conjuntos de pontos intermedi´ arios obtidos s˜ ao: grafo de conectividade, cobertura de discos e cobertura de Voronoi.

Grafo de Conectividade

A topologia do objeto ´ e calculada a partir da extra¸c˜ ao do grafo de conectividade do objeto. O grafo de conectividade G ´ e uma representa¸c˜ ao super amostrada da superf´ıcie, contendo informa¸c˜ oes de como a superf´ıcie est´ a conectada dentro do volume, ou seja, cont´ em informa¸c˜ oes geom´ etricas e topol´ ogicas da superf´ıcie. Os v´ ertices do grafo de conectividade s˜ ao pontos calculados dentro dos voxels que interceptam a iso-superf´ıcie. As arestas do grafo s˜ ao definidas a partir da rela¸c˜ ao de vizinhan¸ca dos seus v´ ertices. A figura 4.1a mostra um objeto volum´ etrico, a figura 4.1b mostra o seu grafo de conectividade e a figura 4.1c mostra, em destaque, a regi˜ ao correspondente ao retˆ angulo cinza da figura 4.1b. A se¸c˜ ao 5.1 discute a implementa¸c˜ ao do grafo de conectividade.

Figura 4.1: (a) Objeto volum´ etrico. (b) Grafo de Conectividade. c)Detalhe do Grafo.

Cobertura de Discos

A cobertura de discos C ´ e um conjunto, conforme definido na se¸c˜ ao 2.2, calculado sobre os v´ ertices do grafo de conectividade. Os centros dos discos ser˜ ao utilizados como v´ ertices da malha base. A figura 4.2 mostra

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a gera¸c˜ ao dos discos sobre o grafo de conectividade. Os centros dos discos est˜ ao em vermelho. A se¸c˜ ao 5.2 discute a implementa¸c˜ ao da cobertura de discos.

Figura 4.2: (a) Um disco gerado. (b) V´ arios discos. c) Cobertura de Discos

Cobertura de Voronoi

A partir do cobertura de discos C ´ e calculada uma cobertura de Voronoi (se¸c˜ ao 5.3), que ´ e uma estrutura onde cada c´ elula de Voronoi corresponde a um disco D

, de centro v, e ´ e formada pelos v´ ertices do grafo que est˜ ao mais pr´ oximos de v do que do centro de qualquer outro disco de C . A figura 4.3a mostra as c´ elulas de Voronoi geradas a partir da cobertura de discos.

Figura 4.3: a)Cobertura de Voronoi. b)Dual de Voronoi. c)Malha base.

Uma vez calculada a cobertura de Voronoi, calcula-se o dual desta estrutura (figura 4.3b), do qual se obt´ em uma triangula¸c˜ ao, que corresponde

`

a malha base (figura 4.3c). Este processo ser´ a visto na se¸c˜ ao 5.4.

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4.2

Refinamento da Malha

Nesta etapa os triˆ angulos da malha base s˜ ao subdividos e v˜ ao se adaptando ` a iso-superf´ıcie. Assim, o refinamento pode ser dividido nas etapas de subdivis˜ ao e adapta¸ c˜ ao dos triˆ angulos. O refinamento da malha base ser´ a tratado em detalhes no cap´ıtulo 6.

Subdivis˜ ao dos Triˆ angulos

Nesta etapa, que ´ e baseada nos trabalhos [47, 48], os triˆ angulos da malha base s˜ ao subdivididos de forma a se ajustarem ` as caracter´ısticas locais da iso-superf´ıcie. A adapta¸c˜ ao ´ e apenas topol´ ogica (n˜ ao ´ e geom´ etrica), ou seja, apenas a conectividade da malha ´ e alterada. O crit´ erio utilizado para decidir se um triˆ angulo T deve ser dividido baseia-se na variˆ ancia das distˆ ancias do triˆ angulo T ` a superf´ıcie.

Figura 4.4: Refinamento da malha.

O modelo de representa¸c˜ ao em multi-resolu¸c˜ ao utilizado baseia-se na estrutura semi-regular 4-8 [48], na qual os v´ ertices da malha tˆ em valˆ encia 4 ou 8. Esta estrutura permite que os triˆ angulos sejam divididos de forma consistente, garantindo assim a propriedade da consistˆ encia da subdivis˜ ao dos triˆ angulos, conforme descrito na se¸c˜ ao 3.1. A figura 4.4 mostra o processo do refinamento da malha. O processo de subdivis˜ ao ser´ a discutido em detalhes na se¸c˜ ao 6.1.

Adapta¸ c˜ ao dos Triˆ angulos

Nesta etapa ´ e aplicada a adapta¸c˜ ao da geometria da malha ` a iso- superf´ıcie. O objetivo desta etapa ´ e a otimiza¸c˜ ao da malha, no sentido

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de torn´ a-la o mais pr´ oximo poss´ıvel da iso-superf´ıcie, al´ em de manter a regularidade dos seus triˆ angulos, sua suavidade e sua boa aparˆ encia.

A adapta¸c˜ ao dos triˆ angulos, que ´ e baseada nos trabalhos [47, 34, 57], ser´ a obtida dinamicamente a partir da aplica¸c˜ ao de deslocamentos aos novos v´ ertices da malha. Estes deslocamentos s˜ ao aproxima¸ c˜ ao ` a superf´ıcie e reparametriza¸ c˜ ao da malha.

Aproxima¸ c˜ ao ` a superf´ıcie Os v´ ertices da malha devem ser deslocados em dire¸c˜ ao ` a iso-superf´ıcie. Este deslocamento ´ e calculado de duas maneiras: atrav´ es do c´ alculo de geod´ esicas sobre o grafo de conectividade e atrav´ es da transformada de distˆ ancia (se¸c˜ ao 6.2.1 e apˆ endice A).

Reparametriza¸ c˜ ao da malha A aplica¸c˜ ao deste deslocamento ao v´ ertices ajuda a manter a regularidade dos triˆ angulos da malha. Os v´ ertices s˜ ao deslocados em dire¸c˜ oes tangentes ` a superf´ıcie [47, 57]

(se¸c˜ ao 6.2.2).

4.3

Descri¸ c˜ ao Geral do M´ etodo

A fun¸c˜ ao ExtrairMalhaMulti abaixo mostra o pseudo c´ odigo do processo de extra¸c˜ ao da malha em multi-resolu¸c˜ ao. Esta fun¸c˜ ao recebe, como entrada, um dado volum´ etrico V , um valor da iso-superf´ıcie d e um erro e para avaliar o processo de refinamento dos triˆ angulos, ou seja, e ser´ a usado para estabelecer a precis˜ ao do refinamento da malha.

As fun¸c˜ oes ExtrairMalhaBase e RefinarMalhaBase est˜ ao descritas respectivamente nos cap´ıtulos 5 e 6.

Algoritmo 1 ExtrairMalhaMulti (volume V , densidade d, erro e) M ← ExtrairMalhaBase (V, d)

RefinarMalhaBase(M, e) Retornar M

A figura 4.5 mostra o esquema geral do m´ etodo e o pipeline com as etapas de gera¸c˜ ao da malha: a partir do volume V e da iso-superf´ıcie F (x, y, z) = d ´ e extra´ıdo o grafo de conectividade G. A cobertura de discos C ´ e ent˜ ao calculada sobre o grafo G. Em seguida ´ e calculada a cobertura de Voronoi V

sobre o grafo G, de modo que cada disco de C define uma c´ elula de V

. A partir do dual da cobertura de Voronoi ´ e calculada a triangula¸c˜ ao

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Figura 4.5: Esquema geral para extra¸c˜ ao de malha adaptativa em multi- resolu¸c˜ ao.

que define a malha base. A esta malha ´ e aplicado o processo de refinamento de modo que o dado de sa´ıda ´ e uma malha em multi-resolu¸c˜ ao.

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