Os Números Primos e
Thiago de Paiva Campos
Em geral o conjunto dos números primos é definido como o conjunto de
números que são divisíveis apenas por 1 e por ele mesmo. Os números primos são
denominados os átomos da matemática por serem elementares e indivisíveis, como indica a etimologia da palavra átomo. Os gregos foram os primeiros a perceberem que qualquer número natural ℕ, exceto o número 1, pode ser representado pela multiplicação de números primos. O que formou o que chamamos de blocos de construção.
O conceito de bloco de construção é primordial para a nossa investigação filosófica- matemática. Os blocos de construção são os átomos da matemática, os números primos, divisíveis apenas por um e por ele mesmo, que permite modelar a criação, formação,
existência e morte do universo.
∫ ( ) ∑
A partir da integração podemos criar um teste de primalidade, tal que:
∫ ( ) ( )
( ) Este teorema fornece um teste de primalidade em que, para sabermos se um dado número n é primo ou composto; basta tão somente integrar a ( ) e verificar que o número ( ) não é divisível por nenhum primo ( ).
Outra forma de calcular se um número N é primo é calcular:
Em termos da calculadora-relógio de Gauss estamos calculando em um relógio com N horas. Para um número natural positivo ℕ
ℕ ( )
Onde a diferença deles é dada por
ℕ , que é um número inteiro ℤ múltiplo de n.
Por exemplo:
18 ( )
Pois 18 – 2 = 16, que é múltiplo de 4, pois 4 .
A partir de uma subtração de uma série conhecida com uma série infinita de números primos, temos:
( )
( ) ( )
E a partir do resultado obtido por Euler, temos uma série notável que converge para , tal que:
( ) ( )
Agora vamos formalizar um método específico de calcular o valor aproximado de . E como calcular o valor total de no intervalo [2, ]?
∫ ( ) ∑
O valor real de só pode ser concebido na integração do conjunto de todos os
números primos no intervalo [2, ].
Utilizando o método da série infinita de Viète para o cálculo aproximado de , temos:
√ √ √ √ √
Por outro lado o matemático Jhon Wallis desenvolveu uma série infinita extremamente elegante em 1682.
E por fim, outra série infinita conhecida pela pena do grandioso mestre Leibniz, criada em 1682, utiliza a série de Taylor para função arctang(x), tomando x = 1, e, por sua vez, arctang(1) = .
∑ ( )
No entanto, apresentaremos aqui uma versão integral da brilhante série infinita de Ramanujan, que gera o conjunto de todos os dígitos que formam o valor de .
∫ ( ) ∑
√
Os algarismos de são de fato
aleatórios ou existe algum padrão oculto na distribuição dos dígitos que formam o valor de ?
Suponhamos um jogo de cara ou coroa.
Neste caso, assumimos que qualquer que seja o número de jogadas da moeda, cada resultado é independente dos anteriores. Assim, se executarmos N jogadas, sendo o número de vezes em que a moeda deu cara, então
podemos considerar que, para qualquer N, a razão é igual a:
Onde quando N se torna cada vez maior, é de se esperar que a razão:
Chegará, por sua vez, cada vez mais próximo de . O que nos dá a oportunidade de definir a probabilidade P(H) das caras como o limite do cálculo matemático, com N .
( )
Suponhamos que arremessamos uma moeda infinitas vezes, por esta razão esta fórmula se aplica melhor às condições epistemológicas a priori da probabilidade.
De outro modo, ao dizermos que a probabilidade de caras ser igual a , estamos dizendo que, se jogarmos uma moeda infinitas vezes, eventualmente o número de caras em relação ao número total de jogadas será próximo de , e permanecerá tão próximo de infinitamente. Gerando a PA:
( )
Esta é uma PA com e razão r = 0.
∫ ( ) ∑
A fórmula do termo geral pode ser demonstrada da seguinte forma:
Axioma: Ela é válida para o segundo termo, pois, por definição, cada termo é igual ao anterior mais uma constante fixa r.
Assumindo como hipótese de indução que a fórmula acima é válida para n – 1, isto é, que ( ) , resulta na
demonstração de que o enésimo termo é expresso por:
( ( ) ) (( ) ) ( )
A questão é: existe uma relação funcional entre o conjunto dos números
naturais ℕ e o conjunto dos números racionais ℝ tais como ?
Para demonstrarmos esta relação partiremos da função f : ℕ ℝ bijetora:
...
Isso prova que o conjunto dos números naturais possui o mesmo tamanho que o conjunto dos números reais. Ambos os conjuntos são infinitos.
Mas o nosso interesse maior aqui é entre a possível existência de uma função entre o conjunto dos números primos e o conjunto dos números reais. Existe uma relação funcional entre e o conjunto dos números primos? Como calcular o conjunto dos números primos em relação à ?
O número é uma relação numérica que define o perímetro de uma circunferência e seu diâmetro. Em outras palavras, se uma circunferência tem perímetro p e diâmetro d, então temos a expressão racional ℚ = que é representado por .
Qual a relação funcional entre o conjunto dos números primos e o ? Basta construirmos a bijeção entre os primos e .
...
Todavia, além da função bijetiva, existe um padrão oculto entre o conjunto dos
números primos e ? Qual a relação entre os números primos e uma circunferência?
Para realizarmos uma tentativa rigorosa de relacionar os primos ao partiremos de uma fórmula como jamais elaborei antes; uma fórmula capaz de traduzir a igualdade entre o conjunto dos números primos e .
Suponhamos que o conjunto dos números primos é um conjunto de um plano cuja distância a um ponto dado desse plano é igual a uma distância (não vazia) dada. O ponto dado é o centro e a distância dada é o raio da circunferência.
Isso significa que o conjunto dos números primos pode ser matematicamente formalizado como uma circunferência marcada pelo . O conjunto dos números primos é um conjunto dos pontos de um plano cuja
distância a um ponto dado desse plano é igual a uma distância não vazia dada. O ponto dado é o centro do conjunto dos números primos e a
forma estrutural da distribuição dos números primos.
Desse modo, temos um plano , um ponto O e uma distância r. Temos:
( ) Que representa a circunferência de centro O e o raio r do conjunto dos números primos representados por uma circunferência marcada pelo .
Definindo assim a relação entre o conjunto dos números primos e . Sendo expresso na série infinita:
∑
E o cumprimento da circunferência:
∑
Como sabemos, o círculo é uma figura plana, e com a informação do raio da
circunferência, a área do círculo, ou seja, a área geométrica do conjunto dos números primos; é dado pelo produto de e do quadrado do raio. Sendo a área do circulo geométrico do conjunto dos números primos representado pela letra A, então a área do círculo, temos a fórmula:
A =
Cálculo Integral:
∫ ( ) ( )
Para calcularmos a área de uma circunferência, é necessário partirmos do conceito de circunferências concêntricas, que são regiões circulares que possuem o mesmo centro.
Neste caso, ao esticarmos os fios deste barbante, formar-se-á uma nova figura
equivalente a um triângulo, e ao calcularmos sua área, então determinaremos enfim a área da circunferência do conjunto dos números primos. A base do triângulo corresponde ao cumprimento da circunferência que marca o conjunto dos números primos.
A área da circunferência do conjunto dos números primos é igual ao produto de pelo quadrado do raio. Assim, para calcular a área de uma região limitada por uma
circunferência, deve-se aplicar a formula:
A = ℝ
Onde temos que = 3,14 e o raio r = raio da circunferência.
Exemplo:
Qual é a área da região circular do conjunto dos números primos que tem raio r .
∫ ( )
∑ ℝ
A = ℝ A = 3, 14 A = 3, 14
A = 12,566370614359172
Resposta: a área da região circular que estrutura a geometria circular do conjunto dos números primos é .
