UNIVERSIDADE FEDERAL .DO PARANA

ROBERTO ANDRADE FERNANDES

CARTOGRAFIA NAÜTICA: AEROTRIANGULAÇÃO ANALlTIGA EM CONFIGURAÇÃO ANALÖGICA

Dissertação apresentada ao Curso de Pós-Graduação em Ciincias Geodêsias para obtenção do Grau de Mestre em Ciincias pela Universidade Federal do Paraná.

UNIVERSIDADE FEDERAL .DO PARANA

1984

CARTOGRAFIA NÄUTICA: AEROTRIANGULAÇAO ANALTTICA EM CONFIGURAÇÃO ANALÖGICA

DISSERTACAO

Apresentada ao Curso de Põs-Graduação em Ciências Geodésicas para obtenção do Grau de Mestre- em Ciências pela Universidade Federal do Paraná.

por

ROBERTO ANDRADE FERNANDES, Capitão-de-Fragata, hidrogrãfo

UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANA 1984

BANCA IXAMINADORA

Dr. dt) SE^ IT ^t Í ⁿ COURTÍ ^d E ANDRADE

RANÇOTS" ALBERT ROSIER

Para Martha, Renato e Beatriz

com amor.

A todos que tornaram possível este trabalho, minha dTvida e expresso minha gratidão. Seus nomes não estão

aqui e sim onde não podem ser apagados.

iv

reconheço

impressos

"The fo u n ta in s a re d u sty in the Graveyard o f Dreams; the hinges are r u s t y and swing w ith t in y scream s.

We s i t in the t w ilig h t 3 the shadows among 3 ^{and we t a lk}

o f the happy days when we were brave and young".

GRAVEYARD OF DREAMS

v

SINOPSE

Este trabalho esta dividido em uma introdução e quatro ca­

pítulos. A introdução pretende situ ar o le ito r no ambiente da Cartogra­

fia Naútica, abordando alguns de seus problemas específicos; no Capítulo 1 é apresentada uma visão geral da aerotriangulação, sendo introduzidos os conceitos que permitirão o tratamento analítico do problema; no Capí­

tulo 2 é obtido o modelo matemático que descreve, aproximadamente, a rea^

1 idade fís ic a e, no Capítulo 3 são abordados e apresentada a forma de tratar os erros sistemáticos presentes no processo, de forma a que a re_a lidade de aproxime do modelo matemático. Finalmente, no Capítulo 4, ê descrito o desenvolvimento teõrico do que seria a solução simultânea, pe^

lo método dos mínimos quadrados, dos problemas da aerotriangulação e a- justamento. Ainda no Capítulo 4, são apresentados o fluxo lógico dos da­

dos ao longo do sistema e a seqliincia de passos a seguir na implantação do processo, bem como seu fluxograma. Em apêndice são apresentadas as.,ins_

truções e o programa de processamento relativos ao processo descrito.

SYNOPSIS

Th is paper is divided into an introduction and four chapters . The introduction a ims to provide the readers with a picture of Naut ica l Cartography , discussing some of its specific difficulties.

Chapter 1 introduces a genera l scope of triangulation as wel l as the concepts by w ich those difficulties may be analytically dealt with;

Chapter 2 provides the mathemat ica l mode l that approximate ly descr ibes the physical reality and Chapter 3 inc ludes the means by w ich the systemat ic erros inherent to the process can be solved for in order to enab le the comp l iance of the physical reality with the mathemat ica l mode l provided . Final ly, in Chapter 4 the theoretical deve lopment of a s imu ltaneous solution by means of least squares ad justment is descr ibed , for the aerotriangulation prob lem . Moreover , Chapter 4 , inc ludes the

logical f low of . data a long the sys tem and the steps to be fol lowed for

the implantat ion of the process as wel l as its f lowchart . In the append ix

the instructions and the compu ter program related with the process

previously descr ibed are presented .

SUMARIO

Pag.

TITULO ... ï i DEDICATÓRIA ... ^

AGRADECIMENTO ... iv

SINOPSE ... vi

SYNOPSIS ... SUMARIO ... INTRODUÇÃO... ... x

CAPITULO 1 - VISAO GERAL DA AEROTRIANGULAÇAO ... 1.1 - N oticia sobre os métodos de aerotriangulação ... 8

1.2 - N oticia sobre os equipamentos utilizados em aerotriangula­ ção ... TO 1.3 - Sistemas de Coordenadas ... 15

1.3.1 - Apresentação do problema ... T5 1.3.2 - Definição dos sistemas de coordenadas ... 15

1.3.3 - Transformação de coordenadas ... 24

1.4 - Transformações geométricas ... 30

1.4.1 - Apresentação do problema ... 30

1.4.2 - Transformações ortogonais ... 31

1.4.3 - Transformações de sim ilaridade ... 33

1.4.4 - Transformações a fim ... 36

1.4.5 - Transformações projetivas ... 37

1.4.6 - Transformações polinomiais ... 37

CAPITULO 2 - OBTENÇÃO DO MODELO MATEMÁTICO DA AEROTRIANGULAÇAO A- NALlTICA ... 40

2.1 - Apresentação do problema ... 4-1 2.2 -- Obtenção do modelo matemático da aerotriangulação a n a líti­ ca ... 42

CAPITULO 3 - OS -ERROS'SISTEMÁTICOS-E SUA CORREÇÃO --- 3.1 - Apresentação .do-.problema ... ... ... ... 49

3.2 - O "trabalho" do f ilm e -- --- --- ...50

3.2.1 - Transformação das coordenadas instrumentais para-coordena das fid u cia is ... 53

viii

Pág.

3.3 - Distorções das lentes ... 72

3.4 - Refração f otogramétrica ... 77

CAPTTULO 4 - AEROTRIANGULAÇAO E AJUSTAMENTO: SOLUÇÃO PELO MÉTODO DOS MlNIMOS QUADRADOS (MMQ) ... 4. 1 - Apresentação do problema ... 86

4.2 - Descrição do processo: ajustamento dos feixes perspecti^- vos do bloco de fotografias usando o MMQ (método paramé­ tric o ) 89

4.3 - Obtenção dos valores aproximados dos parâmetros ... 101

4.4 - Derivadas envolvidas ... 104

4.5 - Macro-f luxograma do processo ... 106

4.6 - Conclusões e recomendações ... 118

NOTAS DE REFERENCIAS ... 114'

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS . : ... 116

APÊNDICES ... 119

- ix -

INTRODUÇÃO:

A Carta Naútica:

o que é;

para que serve;

que informações contém;

como se divide;

recomendações da Organização Hidrográfica In te r­

nacional (OHI);

noticia sobre o levantamento hidrográfico.

U tilização da Fotogrametria no processo de construção ou atualização da carta naútica.

Definições dos lim ites do presente trabalho.

x

A CARTA NAOTICA

A carta naútica é a representação cartográfica de uma por­

ção da superfície terrestre e se destina a perm itir que a navegação ma­

rítim a se faça com segurança no trecho representado. Além de sua desti- nação básica - a navegação marítima - a carta naútica pode se constituir em importante subsidio para estudos de engenharia costeira, de oceano­

g rafia, de problemas de pesca e de circulação oceânica ã superfície, de questões sõcio-econõmicas na área litorânea e outros. Por se referir, mui­

tas vezes, a uma zona em estado de rápida evolução - evolução essa gera­

da por causas naturais ou provocada pelo homem - a carta naútica exige constante atualização para que sua finalidade possa ser atingida. Ine- xistindo um intenso esforço de manutenção, todo o trabalho desenvolvido no levantamento hidrográfico, visando perm itir a construção da carta, perde boa parte de sua razão de ser.

As principais informações que uma carta naútica deve con­

ter são j 0 1 | :

- profundidades em relação a um nível de referência;

- posição, tipo e cota dos perigos ã navegação;

- morfologia do fundo, traduzida pela batimetria e curvas isobati- m êtricas;

- linha^de contorno da costa;

- fundeadouros e natureza da superfície do fundo em suas proximi­

dades ;

- correntes marTtimas ã sup erfície;

- representação topográfica da costa, com relevância para as ca- ra c te ris tic a s , naturais ou não, susceptíveis de serem utilizadas como a- judas ã navegação;

- toponímia dos acidentes litorâneos;

- auxílios ã návégação (luzes, bóias, fa ro is , rãdio-farois, e tc );

- obras portuárias, áreas de atracação e edificações de interesse para as atividades marTtimas;

- lim ites marítimos diversos-(ãreasde fundeio, de fundeio- proi­

bido, de quarentena, de exercícios de tiro , e t c . . . ) ; - declinação magnética e sua variação;

- elementos de-marés;

- informações-complementares (datas do levantamento e^das a tu a li­

zações, "data" utilizados, escalas, sistema :de projeção empregado, ta ­ belas para conversão de unidades, precauções a serem observadas pelos navegantes, e t c .. . ) .

As cartas naúticas podem se apresentar sob a forma de ]02]:

- planos hidrográficos, de escala igual ou superior a 1/50 000, representando portos, barras, fundeadouros ou zonas de perigo;

- cartas de aproximação, de escala entre 1/50 000 e 1/150 000, destinadas a perm itir a demanda de portos ou outras áreas de convergên­

cia da navegação marítima;

- cartas de cabotagem, de escala entre 1/50 000 e 1/250 000, destinadas a navegação de cabotagem,

- cartas gerais, de escala entre 1/250 000 e 1/1000 000, repre­

sentando trechos longos, destinados ã navegação ao largo e a perm itir planejamentos;

- cartas de praticagem, destinadas ã navegação em rios ou ou­

tros locais em que a navegação pelos métodos convencionais ê su b stitu í­

da por uma navegação de praticagem; nessas cartas, normalmente, o a- poio te rrestre ê deficiente;

- cartas de escala muito pequersa (1/1000 000 ou menores), des­

tinadas a perm itir o acompanhamento da navegação oceânica, planejamen­

tos muito gerais e controle do tráfego marítimo;

- cartas especiais, como as cartas Loran, Decca, 0mega(destina- das a perm itir a plotagem da posição obtida por meio desses equipamen­

to s), cartas gnomônicas (destinadas a a u x ilia r o planejamento de derro­

tas ortodrõmicas), folhas de plotagem de posição (contendo apenas a re­

de de meridianos e paralelos e destinadas ao controle da navegação em águas oceânicas, utilizando-se escalas compatíveis com o controle dese­

jado), cartas de pesca (além das informações necessárias â navegação, contém informações especificamente destinadas a esse tipo de atividade, tais como: espécies encontradiças na área abrangida pela carta, "habi­

tat" dessas espécies, temperatura da água do mar a vários níveis de profundidade, sua salinidade, condições meteorológicas predominantes na área, e t c . . . ) e cartas para fins m ilitares ( cartas sonar, cartas de bom bardeio, cartas de desembarque, e t c .. . ) .

- 2 -

0 "Repertório de Resoluções Técnicas", da Organ ização Hi­

drográfica Internacional, constitui uma minuc iosa coleção de recomenda ­ ções sobre as cartas naúticas e outras publ icações de uso do navegante.

No que tange ã carta naútica, trata de s istemas de projeção a serem usa­

dos, escalas, "data", un idades, legendas a serem incluídas no espaçamen ­ to entre transformadas de mer id ianos e paralelos, s ímbo los e abreviatu­

ras adotados e ma is uma extensa lista de itens que importam ã construção da carta naútica e ã sua atualização, em um esforço para assegurar que requisitos m ín imos se jam cumpr idos , bem como um m ín imo de padronização seja alcançado, visando tornar a leitura de cartas, produz idas por dife­

rentes Serviços, ma is fácil para o utilizador. Por apresentarem interes­

se ã aerotriangulação (ou ã restituição fotogramétrica) cita-se que e- x istem recomendações no sentido de que :

- as altitudes devem ser referidas ao nível méd io (NM ) do mar , o qua l constitui o da tum para informações sobre cotas; o da tum para bati- metria (isto é, o p lano ao qua l são referidas as sondagens ) deverá ser o

nível de redução (NR), um nível aba ixo do qua l raramente (ou nunca) a maré desça; este da tum (chamado de datum da carta naútica) deverá ser l igado com o da tum utilizado como referência para os serviços terrestres (nível méd io do mar - NM )(recomendação A2.5);

- o elipsõide internacional de referência1 deve ser utilizado para propósitos hidrogrãficos (recomendação Bl.l);

- as cartas naúticas devem ser produz idas na Projeção de Mercator, como principio geral (recomendação B1.3);

- tanto quanto possível, escalas naturais múltiplas de dez devem ser utilizadas para as cartas naúticas (recomendação B1.4);

- os Serviços Hidrográficos devem adotar as providências cabíveis para obter os dados necessários a f im de que suas cartas naúticas possam mostrar as características do litoral utilizáveis na navegação radar2 (re-

comendação B2.25);

1 Refere-se ao el ipsóide de Hay forã (1909) , ado tado em Mad r i (1924) pela Assoc iação Internacional de Geodés ia .

2 A general izaçao do uso . do radar na .navegaçao mar í t ima tornou a repre­

sentação do relevo na carta naútica de grande -interesse; . .um determina­

do trecho do litoral, pode ser reconhecido nao . apenas , pe lo seu aspecto visual , mas , também , por sua imagem fornecida pe lo radar ; .-o hor izonte dc navegante foi-ampl iado de_ "visua l" para "radar" ; -como resultado, d e_

talhes ma is para _ o interior passaram a ter importânc ia e passaram a ser represen tados .~ .Em -suma : ~a representação- -topográf ica da zonacostef ra na-carta naút ica. é cons iderada essencial-â segurança da-navegação . . Ou tros , argumentos podem-ser invocados , ainda , no sent ido de que 'uma a- tual izada representação- topográf ica da zona -costeira esteja -presente nas cartas naúticas .

- 3 -

- nas cartas naúticas, a l inha da costa deve ser representada pe la marca da maré alta; em áreas costeiras cobertas por pântanos ou mangues a l inha da costa deve ser representada pe lo limite externo da vegetação que permanece ac ima da maré alta (recomendação B3.7).

Ex istem, também , várias recomendações relativas ã inser­

ção, nas cartas, de marcas consp ícuas de terra, visíveis do mar , bem co­

mo recomendações relativas a s ímbo los a serem adotados.

0 arcabouço da carta naútica é constituído por uma rede geodésica; deverá também a carta naútica dispor de informações topogrãfj_

cas compat íveis com a finalidade que pretende atingir3; a batimetria . é obt ida por me io de sondagens e são realizadas, ainda, operações destina­

das a obter os parâmetros do campo magnét ico terrestre, os e lementos de marés dest inados a permitir a análise e o estabelecimento dos p lanos de

referência para contagem de altitudes e profundidades, observações visan do a obtenção de parâmetros meteorológicos e oceanográficos e a inda ou­

tras operações dest inadas ã coleta das dema is informações que compõem uma carta naútica. A topografia necessária a carta naútica pode ser obt j_

da de forma eficiente e econôm ica a partir de um levantamento aerofoto- gramétrico, eventua lmente comp lementado onde e como necessário por opera_

ções clássicas de topografia. Mesmo utilizando um único võo sobre a área a levantar, consistindo apenas de fotografias verticais obt idas de pelí­

culas preto-e-branco e técnicas bastante convencionais, a fotografia aé­

rea perm ite a obtenção da base topográfica e do detalhe topográfico ne­

cessários, a lém de, pe la r iqueza de informações que fornece, constituir uma valiosa indicação sobre a topografia submar ina e um amp lo campo de aplicação das técnicas de fotointerpretação.

3 Com o visto, a representação da topografia terrestre na carta naútica e essencial ; por outro lado , essa representação não deve ser levada a um ponto tal que obscureça a clareza da carta naút ica e a torne de difí- cil leitura para seu principal usuário, o navegante . Deve existir um pon to de equi líbrio que dependerá de cada caso . Ass im , em cartas de es_

cala mu i to-pequena , nao ex istem mot ivos para representar a - topografia terrestre; fã os planos-hidrográficos e cartas -de-aprox imaçao tendem~a apresentar um a relativa riqueza de detalhes.

- 4 -

UT ILIZAÇÃO DA FOTOGRAMETR IA NO PROCESSO DE CONSTRUÇÃO OU ATUAL IZAÇÃO DA CARTA NAOT ICA .

DEF IN IÇÃO DOS LIMITES DO PRESENTE TRABALHO

Para a carta naútica a aerofotogrametria permite a obten­

ção da topografia do litoral e a densificação de pontos geodés icos de or dem inferior, v isando trabalhos de marés, apo io i sondagem e outros. No r_

ma lmente , o vôo fotogramétrico é executado antes do levantamento hidro­

gráfico propr iamente dito; assim, a contribuição da Fotogrametr ia irá desde as fases de reconhec imento do terreno e p lane jamento do levantamen i to hidrográfico até a fase de construção da carta, passando pela deternrÇ nação da linha da costa, pela densificação de pontos de apo io e pela ob ­ tenção do detalhe topográfico; o serviço de campo a ser executado antes das operações de aerotriangulação e restituição fotogramétrica consisti­

rá na identificação de pontos de apoio, na seleção e identificação de pontos conspícuos, passíveis de serem utilizados como auxílio a navega­

ção e na identificação de características que devam ser incluídas nas cartas naúticas1 * . Convém considerar, ainda, que , para um país de extenso litoral, o levantamento fotogramétrico se torna de mu ita utilidade para trabalhos de revisão e atualização de levantamentos já executados, um a vez que os levantamentos fotogramétricos são, via de regra, ma is ráp idos e econôm icos que os correspondentes serviços terrestres.

Em anos recentes a aplicação das técnicas de Fotointerpre- tação a fotografia obt ida para fins de construção de cartas naúticas tem crescido muito, pela utilização de emu lsão colorida e infra-vermelha; o trabalho das equ ipes de campo fica bastante reduz ido nesse caso, e é po£

sível localizar canais navegáveis, banco de areia, pedras ã flor d‘água ou levemente submersas , a lém de ser possível obter uma indicação mu ito boa do comportamento da batimetria da região, antes de iniciar os traba­

lhos de sondagem , já que a película colorida fornece a lguma penetração na água5 ; a fotografia infra-vermelha, obt ida-em estágios- pré-determ inados

1 1 Observa-se :que se. admit iu que .a. fotografia -aérea utilizada-é--preto-e- branco ; caso seja possível usar fotografia colorida o traba lho de cam ­ po f ica . , simpl ificado.

5 Ex is tem traba lhos v isando a determinação .de profund idade , em águas ra­

sas , usando fotografias coloridas-e-aerotrianguladores-cenvencior iais-ou

"ana lyt ica l\ plotter". O s resultados in formados garantem boa qua l idade , nessa determ inação

-

5

da maré6(e não de ixada a situação da maré ao acaso, por ocasião do vôo) perm ite delinear a l inha da costa correspondente ã situação que se tem em vista. No caso em que não se dispõe desse auxilio, um proced imento que poder ia ser adotado na delimitação da l inha da costa para propósitos de cartografia naútica seria o de identificar a preamar méd ia na fotogra fia, no campo , exam inando marcas e outras caracteristTcas da l inha da costa e, com o conhec imento da altura da preamar méd ia em relação ao ní­

vel méd io , obt ido da analise da maré, seria possível, após a aerotr iangu^

lação, delimitar a l inha da costa na restituição fotogramêtrica, com ri­

gor satisfatório; de forma anã Ioga, mesmo quando não se d ispõe de foto­

grafias coloridas, a emu lsão preto-e-branco fornece uma boa indicação quanto a contornos de bancos de areia, arrebentação, canais navegáveis, presença de per igos ã navegação, caracteristicas da região, etc..., d < 2 vendo ser cu idadosamente exam inada antes do inicio dos trabalhos de d e^

terminação da batimetria, uma vez que esses e lementos importam tanto p a^

ra a construção da carta como para o p lane jamento do levantamento hidro­

gráfico.

Por exceder as limitações impostas ao presente trabalho, a _ qu i não serão abordados , senão quando indispensáveis ã compreensão e, mesmo assim, de passagem , proced imentos e técnicas relativos ao planeja­

men to do võo fotogramêtrico7, reambu lação, restituição e outras opera­

ções; limitar-se-ã este trabalho a enfocar o prob lema da imp lantação da aerotriangulação analítica em uma configuração t ipicamente imag inada pa ­ ra realizar fotogrametr ia analógica e, aparentemente, alcançada pe lo rá­

p ido desenvolv imento exper imentado pe la técnica. Embora a conf iguração e^

xistente na Diretoria de Hidrografia e Navegação (DHN )8 tenha s ido toma ­ da como mode lo, o fato não deve ser encarado como uma limitação: qua lquer organ ização que d isponha de um aerotriangulador pode adotar as modernas técnicas que caracterizam a aerotriangulação analítica.

6 "Tiâe-control led aerial photography” ; observadores postados em estações maregráf icas local izadas na área a ser . levantada estabe lecem comun ica ­

ção .via rádio;com o avião , fotogramétr ico . e perm i tem que o voo se faça em um . -pe r íodo . , de tempo correspondente-r a um a certa-altura da maré .

7 Convém lembrar . apenas que , por se -tratar de -Cartograf ia Naãt ica , será desejável planejar o uso da meno r escala de fotografia compat ive l - com o trabalhoalém de -usar - fo . tos obt idas -com câmaras~grandr- .angu lar .es , . a . dequadas para aer .otr iangu laã :ores de pr ime ira-ordem ; -tais proced imentos permitirão realizar "sa ltos" sobre extensões de agua onde a ob tenção de pontos de . apo io_ seria difícil.

8 Órgão 'do-Min istér io , da . Mar inha responsável , no Brasi l , pe lo levantamen­

to e ediçao de- .cartas lnaúticas ;

- 6 -

Imag ina-se ter de ixado claro, ao longo dessa introdução, o valor que possu i a fotografia aérea para a construção ou revisão de cartas ou mapas . Mais: pensa-se ser possível promover a atualização de técnicas em um amb iente que realiza fotogrametria analõgica sem efetuar pesados invest imentos em equ ipamentos de difícil manutenção , em um nível compat íve l com as necess idades do mapeamento sistemático, desde que se possua (ou seja possível obter) a lguma capac idade de processamento.

- 7 -

CAPITULO 1 - VISÃO GERAL DA AEROTRIANGULAÇAO

1.1 - N otícia sobre os métodos de aerotriangulaçao

1.2 - Notícia sobre os equipamentos utilizados em aerotri- angulação

1.3 - Sistemas de Coordenadas 1.3.1 - Apresentação do problema

1.3.2 - Definição dos sistemas de coordenadas 1.3.3.- Transformação de coordenadas

1.4 - Transformações geométricas 1.4.1 - Apresentação do problema 1.4.2 - Transformações ortogonais

1.4.3 - Transformações de sim ilaridade 1 .4 .4 - Transformações afim

1.4.5 - Transformações projetivas

1.4.6 - Transformações polinomiais

1.1- NOT IC IA SOBRE OS MÉTODOS DE AEROTR IANGULAÇAO

A aerotriangulaçao é um conjunto de operações de fotogra- metria que permite determinar as coordenadas de pontos do terreno que

tenham s ido imageados em fotografias aéreas1, a partir de um reduz ido nú mero de pontos de apoio, de coordenadas determ inadas no terreno e que

possam ser identificados na fotografia. A aerotriangu1 ação pode ser utilj_

zada para sup lementar o apo io de campo necessário ã restituição fotogra métrica, com vista ao mapeamento , e pode ser usada visando a densifica

ção de pontos para propósitos geodésicos, cadastrais ou de levantamento si stemãtico2.

A aerotriangulação, fundamenta lmente, se vale das rela­

ções geométr icas que ex istem entre fotografias aéreas adjacentes e pode ser realizada por métodos analógicos - a situação existente no momen to da obtenção das fotografias é reproduzida, em escala, utilizando instru­

mentos aerotrianguladores de projeção ótica ou mecân ica - ou por métodos analíticos - quando a situação é mode lada matemãt icamente (e não reprodu^

zida) - ou a inda por uma comb inação dos métodos analógico e analítico: o método semi-analítico.

No método analógico (ou instrumental) - o primeiro a su r^

gir após a triangulação radial3 - é formado o par estereoscópico inicial e , através de um processo de orientação progressiva, monta-se toda a faixa, referida ao s istema de coordenadas instrumentais do mode lo inicial; a faixa pode ser montada cont inuamente, como nos instrumentos tipo Multi­

p lex e Balplex, os qua is d ispõem de vários projetores, ou par a par, c _o mo nos instrumentos universais, de base inversível, que possuem apenas dois projetores; em qua lquer caso, ocorre a formação analógica do mode lo estereoscópico e a concatenação entre os mode los consecut ivos é realiza­

da analogicamente.

1 Em todo este traba lho admite-se que . a fotografia aérea-é . vertical, is_

to é , a incl inaçao do eixo ótico da cama ra em -relaçao-ã vertical ■ ■ -nao excede 3 0.

2 No contexto deste trabalho pretende-se-que' o erro inerente- ãs deteimf nações sefa compat íve l :com as '-redes geodés icas , d u e . terceira o rdem ;

3 A triangulação radial apareceu em - 1905 e pode ser cons iderada como um a . aer o tr iangulação-no p lano .

- - .8 -

No método semi-analitico de aerotriangulação cada mode lo estereoscópico ê formado independentemente e possu i seu próprio s istema de coordenadas; a concatenação entre os mode los é feita analiticamente, assum indo-se um s istema arbitrário como referência; este pode ser o sis­

tema de coordenadas de um dos mode los .

0 grande desenvo lv imento da aerotriangulação veio com a facilidade de acesso aos computadores ; esses equ ipamentos permit iram que as relações geométr icas entre as fotos adjacentes, antes estabelecidas por me ios óticos ou mecân icos, fossem definidas utilizando-se métodos nu i mêr icos14 ; a lém disso, permit iram que vários erros sistemáticos - trata­

dos de forma sumár ia na aerotriangulação analógica ou s imp lesmente igno­

rados - fossem mode lados matemat icamente . Deve-se acrescentar, a inda, que as man ipu lações instrumentais foram reduzidas ao mTn imo e que ê possível um ajustamento ma is r igoroso dos valores obtidos. Ass im, percebe-se que a . diferença de precisão entre os dois métodos de aerotriangulação - ana­

lógico e analítico - ê mu ito grande. Nesse sentido, é possTve l entender o mé todo semi-analítico como um a tentativa de aproveitar me lhor os equi­

pamentos analógicos existentes, aliando suas características â d ispon ib i^

l idade de um computador . 0 presente trabalho pretende prosseguir nessa mesma lógica: respeitando o invest imento já realizado em equ ipamentos ae^

rotrianguladores/restituidores, aplicar-se-ã aos dados obt idos por me io desses equ ipamentos as modernas técnicas que caracterizam a aerotriangu­

lação analítica, dentro do contexto da cartografia naútica. Se, por um lado, é possível argumentar que este trabalho não pode ambicionar om ­ brear-se em exat idão de resultados com sofisticados s istemas dotados de comparadores e restituidores analíticos, por outro lado tratar-se-ã de demonstrar que a exat idão obt ida é suficiente para projetos de mapeamen to sistemático, a custo zero de invest imento e med iante o uso de uma tecnologia domada .

1 4 Um a descrição ma is deta lhada do mé todo analítico de aerotriangulaçao é apresentada no capítulo seguinte .

- 9 -

1 .2 - NOT lC IA SOBRE OS EQU IPAMENTOS UT IL IZADOS EM AEROTR IANGULAÇÃO A aerotriangu1 ação analógica é realizada usando-se equ ipa^

mentos aerotrianguladores. Esses instrumentos comb inam três s istemas di£

tintos:

a) um s istema de projeção, o qua l cria um mode lo estereoscópico do terreno, a partir das fotografias aéreas;

b) um s istema ótico que permite ao operador do instrumento exam _ i_

nar o mode lo estereoscópico do terreno;

c) um s istema de med ição, o qua l torna possível efetuar (e regis­

trar) med idas no mode lo estereoscópico..

0 s istema de projeção é formado por dois projetores1 onde se s ituam os porta-placas; a projeção pode ser inteiramente ótica, mecã nica ou õt ica-mecânica. Norma lmente , cada projetor é dotado de mov imen^

tos de rotação e translação em torno de eixos cartesianos2, mov imentos esses dest inados a tornar possível a recompos ição, em escala, do terreno fotografado. Os mov imentos estão esquemat izados na Figura 1 .2 .1- ,

Fig. 1 .2 .1 - Nessa figura: b=base ãerea; bx, b , bz=componentes da base ãerea; são as translações ao longo.dos e ixos ,X, Y, Z, respect ivame£

te; P, 4> , k-rotações em torno dos eixos X, Y , Z, respect ivamente.

Cada projetor, portanto,possui seis mov imentos , no rma lmen^

te3 .

1 O s apare lhos ma is antigos , formadores de faixas cont inuas , como o Mu l- tiplex e Ba lp lex , - possuem -um núme ro ma ior de projetores.

2 O s s istemas de . coordenadas uti lizados es tão ^descr i tos-no item 1.3.

3 Podem existir diferenças de projeto.

- 10 -

O s instrumentos restituidores podem ser classificados de acordo com o "fator C1 “4 :

1— ordem : fator C > 1000 2— ordem : 1000 ? fator C > 800 3^- ordem : 800 > fator C > 500 4^- ordem : 500 > fator C > 200

Um exemp lo de conf iguração projetada t ipicamente para rea^

lizar fotogrametria analógica é a instalada na Diretoria de : IHidrografia e Navegação (DHN ) , composta de um autógrafo W ILD A9 , dois aviógrafos W ILD B8, um transferidor de pontos W ILD PUG3 , um redutor W ILD U3-A , estereos­

cópios de espelhos com barra de paralaxe, a lém de outros apare lhos aux i_

liares. 0 autógrafo W ILD A9 é um estereoplotador universal (aerotriangu- lador e restituidor) que permite a utilização de fotografias tomadas com câmaras norma is, grande angulares e super-grande-angulares; baseia-se no principio de projeção mecân ica, no qua l os raios lum inosos são materiali_

zados por hastes metálicas; é um instrumento utilizado extens ivamente em trabalhos de aerotriangulação analógica de faixas ou b loco de fotogra­

fias. E cons iderado um instrumento de 1— ordem (fator C=1100 ) ; como ou^

tros aparelhos de 1— ordem , possu i a capac idade de formar sucess ivamente os mode los estereoscópicos, pe lo processo de orientação progressiva, ape^

sar de possuir apenas dois projetores, ja que dispõe de pr isma inversor (pr isma de Dove ) e capac idade de inversão de base (base interna x base extema). Ass im, os sucessivos mode los são formados sempre referidos ao 4 meno O r - interva lo entre curvas de nivel que podem ser traçadas em um e _

■ qu ipamen to restituidor depende de uma constante do equ ipamen to denom i­

nada "fator C" (ou fator de contorno) ; o "fator C" ê definido pela re_

laçao :

C= H1

onde : W x -altura de Ah vôo ;

àh=meno r desnível que o instrumento pode detetar;

H1 e Ah sao expressos na mesma un idade . O

progresso da Aerofotogrametr ia e a utilização de lentes cu jo poder de resolução permite amp l iar a imagem fotográfica tem conduz ido ao àbando_

no do conceito "fator C" . No entanto . , neste contexto , como - . .e lemento que permite comparação entre-equ ipamentos restituidores ana lóg icos - ,~ táL conceito permanece sendo util.

- 1 1 -

s istema de coordenadas do primeiro mode lo . 0 autógrafo W ILD A9 perm ite percorrer a projeção do diapositivo em X e Y por me io de dois volantes, enquanto o mov imento em Z ó introduzido por um disco de pedal; acop lado ao instrumento existe um coordenatógrafo, no qua l é realizada a restitui_

ção fotogramétrica; os mov imentos X e Y são transmitidos mecan icamente a um lãpis, no coordenatógrafo. Med iante mudança de relação de engrenagens é possível alterar a escala da folha de restituição em relação ã escala do mode lo. As coordenadas instrumentais X e Y dos pontos do mode lo este­

reoscópico podem ser lidas em escalas graduadas em milímetros5, enquanto a coordenada Z pode ser lida em metros (ou pós) de uma escala graduada . Ex istem ainda escalas graduadas para indicar os mov imentos em rotação e translação de cada projetor.

0 aviogrãfo W ILD B8 ó um instrumento de 2— ordem (fator C=900 ) que adota o mesmo princípio de projeção mecân ica usado no A9 ;

suas duas câmaras de restituição possuem todos os mov imentos (transla­

ções e rotações) necessários ã orientação dos fotogramas6. 0 diapositivo empregado ó de tamanho 23 x 23cm7, não exigindo redução; a imagem este reoscõpica ó vista pe lo operador através de um binóculo com amp l iação de seis vezes; o aumen to da escala do mode lo , em relação ã escala da fote grafia original, é de 1 ,6 a 2,4 vezes; as marcas-índices, dest inadas a permitir med ições e a restituição, são pequenos pontos pretos com um d iã_

metro de 0 ,07mm . 0 mode lo estereoscópico é percorrido em X e Y des locan^

do-se norma lmente a mesa traçadora; um pantógrafo transmite os mov imen^

tos da mesa traçadora para uma mesa de desenho .

Os apare lhos de 2— ordem - o que inclui o W ILD B8 - são bas icamente restituidores: não possu indo capac idade de inversão de base, não são capazes de realizar orientação progressiva.

5 El imina-se , ass im , a necess idade da p lo tagem gráfica (e também os er­

ros dai decorrentes) usada nos instrumentos tipo Mu lt ip lex .

6 A rotaçao ^{< j>} é comum aos dois projetores.

7 diapositivo ut O i l izado.no. W ILD . .A -9_ :ê . reduz ido , de tamanho -1 -1 , 5 x

11,5cm .

- 12 -

Pelo descrito desses instrumentos - que denom inamos "con vencionais" - percebe-se que o W ILD A9 é um equ ipamento tipicamente pro jetado para realizar aerotriangulação analógica8, podendo ser utilizado também para aerotriangulação semi-analitica, quando então a concatenação entre os mode los estereoscópicos sucessivos, antes realizada pe lo instru mento fotogramétrico, passa a ser realizada numer icamente . 0 W ILD B8 , m es^

mo quando equ ipado com s istema de med ição9, não pode realizar aerotrian- gu lação analógica: a ausênc ia da capac idade de inversão de base torna im possível a orientação progressiva dos mode los estereoscópicos: cada mode lo só pode ser formado independentemente, com seu próprio s istema de coordenadas; ass im, a concatenação entre os mode los não pode ser realiza da no instrumento e a alternativa para utilizar esse aparelho em aerotri angu lação é o mé todo semi-anal itico-(ou dos mode los independentes). Na verdade - e é esta a grande vantagem da aerotriangulação semi-anaIitica- qua lquer estereoplotador pode ser empregado , desde que seja possível a

leitura de coordenadas . No entanto, a opção aqu i realizada é pela aero­

triangu lação analítica, por permitir compor o projeto com a desejada mo ­ dularidade, entend ida aqu i como independênc ia do equ ipamento e possibili dade de modif icação de módu los individuais sem necess idade de alterar to do o sistema.

A aerotriangufação analítica não necessita das coordena das dos pontos do mode lo estereoscópico; necessita, s im, das coordenadas dos pontos imageados em fotografias individuais, já que a l igação entre essas fotografias será realizada por mode los matemát icos que relac ionam as fotocoordenadas (coordenadas med idas nas fotografias) com as coordena das dos pontos correspondentes do terreno. Na obtenção das fotocoordena das norma lmente são empregados comparadores (mono ou estereoccmparadores ) : , que são aparelhos de alta resolução; a vantagem do estereocomparador ê a identificação estereoscópica do ponto- imagem , o que não é possível no monocomparador . Esses instrumentos d ispõem de:

8 a O justamento-das -fa ixas -e-do-b loco-pode ser- levada-a.-efeito grafica cu numer icamen te .

9 projeto inicial, que O dest inou- o apare lho^especif icamente para resti­

tuição, aparentemen te nao previu .registrador . de coordenadas ; é possí­

vel, no entanto, dotar os .B8 . com a capac idade de med ir coordenadas , e- qu ipando-os com um s istema-de méd içao-r fomeç ido pela Casa W i ld .

- 13 -

a) um s istema ótico, dest inado a apresentar a foto ao operador e permitir a coincidência da marca-Tnd ice com a imagem do ponto que parti - ciparã da aerotriangulação;

b ) um s istema de med ida de fotocoordenadas;

c) um s istema de leitura e registro de coordenadas, o qua l poderá ou não ser automát ico.

Quando se utiliza um monocomparador para obtenção das ;coo r^

nadas de foto (X, Y), os pontos- imagem a serem med idos deverão sofrer u- m a marcação permanente10 , v isando prevenir identificação equ ivocada na

operação de med ição das fotocoordenadas; a rotina de operação deve, a lém desse cuidado, prever a realização de a lgumas séries de leituras, com a finalidade de permitir a detecção de erros grosseiros e a adoção do va lor méd io das leituras. Quando se utiliza um estereocomparador, ê possí­

vel med ir s imu ltaneamente as fotocoordenadas dos pontos- imagem correspon^

dentes em um par estereoscópico; assim, o prob lema da identificação equ j_

vocada de pontos- imagem correspondentes em duas fotos consecutivas desa­

parece, dev ido a possibilidade de identificação estereoscópica.

No presente trabalho usar-se-ã um equ ipamento aerotr iangu_

lador - o autógrafo W ILD A9 - para obtenção das fotocoordenadas dos pon ­ tos que participarão da aerotriangulação analítica; na verdade, qua lquer aerotriangulador de precisão poder ia ser utilizado para esse fim. A rot i_

na de operação específica para o W ILD A9 pode ser adaptada sem ma ior d j_

ficuldade a outro aerotriangulador.

A precisão de um comparador varia t ipicamente de um a dez micrõmetros; a precisão que ê possível esperar do equ ipamento aqu i adòta do ê algo menor ; no A9 real izam-se leituras diretamente até o centés imo de mi l ímetro (dez micrõmetros), sendo possível estimar, sem dificuldade, cinco micrõmetros; o desvio padrão apresentado em um a série de leituras, realizadas com f im de teste, foi de dezessete m icrõmetros.

10 Para tal será utilizado um transferidor de pontos . Esse - equ ipamen to- . não efetua-medidas sobre as fotografias; em- lugar disso, permiteum xame estereoscópico da área de superposição de duas fotografias ccnse_

out ivas de uma faixa e fomecermeiosxde^identif icar e -marcar fisica­

men te o pon to - imagem dese jado .

- 14 -

Modernamente, vão sendo colocados no mercado aparelhos de crescente sofisticação, automatizando mais e mais cada operação, elim i­

nando mão-de-obra, reduzindo tempo de resposta e aumentando a exatidão dos resultados. 0 preço a pagar ê o elevado investimento em capital ne^

cessirio para ter e manter um ta 1 sistema, a incerteza da manutenção, a inexistência de alternativas para a hipótese de avarias e o lafiastamBnto cada vez maior, por parte dos usuãrios, dos conceitos envolvidos no pro cessamento, limitando-se, estes, a aceitarem os resultados gerados pela

"caixa-preta".

1.3 - SISTEMAS DE COORDENADAS 1.3.1 - Apresentação do problema

A determinação das coordenadas de pontos do terreno - es­

paço objeto - a p artir de pontos imageados em fotografias aéreas - espa­

ço imagem - torna necessãrio estabelecer sistemas de coordenadas em re U ção aos quais seja possível d e fin ir os pontos que participam da aerotri-*.

angulação. A seguir são apresentados os sistemas de coordenadas envolvi­

das no problema da aerotriangulação, tal como aqui é abordado, em ambos os espaços, e as relações entre eles que poderão ser utilizados na imple_

mentação do processo.

1.3.2 - Definição dos sistemas

a) Si.stema de coordenadas fid u cia is (figura 1.3.2.1)

- sistema cartesiano bidimensional para determinação de foto^

coordenadas;

- origem: centro fid u cial (CF) da fotografia, definido pela

interseção dos eixos fid u cia is;

- eixo x : definido pe lo centro fiducial e por uma das mar­

cas fiduciais, segundo a direção que ma is se aprox ima da l inha de v .õo ; - eixo y: perpendicular ao eixo x e a esquerda do sentido positivo deste; o s istema é dextrõgiro, portanto.

b ) S istema de coordenadas fotográficas

- s istema cartesiano bidimensional1 para determinação de fo tocoordenadas (figura 1.3.2.2);

- or igem : ponto principal (PP) da fotografia;

- eixo x : paralelo ao eixo x do s istema fiducial e positivo na direção do voo ;

- eixo y: perpendicular ao e ixo x e ã esquerda do sent ido po^

sitivo deste.

I 1 1

PP

■ ---"c? !~ lo 1 1 i k / ,T o r ,

I t 1 1 1 k_

Fig. 1.3.2.2.

Ass im , conhecendo-se as coordenadas do ponto principal no s istema fiducial2, uma s imp les translação permite passar do s istema f idu^

ciai para o s istema fotográfico, uma vez que os dois s istemas são para le^

los:

1 s O istema poder ia ter sido definido como tridimensional-- na real idade o e3 e ass im é definido3 logo a seguir . Essa divisão ~do . -s is tema de coordenadas-fotográf icas 'foi • ado tada--para ma ior fe l ic idade '~de éxpòs i_

çao ao longo 'do traba lho.

2 X q e yQ3 fornecidas no certificado- de calibraçao da cámara i

- 16 -

(1.3.2.I) abcissa no s istema fotográfico

abcissa no s istema fiducial

abcissa dó ponto principal no s istema fiducial

Ident icamente para a ordenada:

y '=y - y0 (1.3.2. 2 )

0 s istema de coordenadas fotográficas pode ser def inido co mo um s istema cartesiano tri-dimensional2^ (Figura 1.3.2.3); nesse caso a or igem do s istema estará situada no centro perspectivo (CP), os e ixos x e y estarão definidos como anteriormente e o eixo z será coincidente com o eixo ótico e orientado de modo a que o s istema de coordenadas seja dextrógiro.

! i

~í i i 1 p f*

Figura 1.3.2.3

2A Nesse caso , pode ser chamado também de s istema fotogramétrico.

X '=X - Xg

1 (

- 17 -

Assoc iadas aos eixos x, y e z, do s istema de coordenadas fotográficas estão as rotações w , < f> e k , em torno de cada um desses e^

xos (Figura 1.3.2.4).

Figura 1.3.2.4

Em relação ao s istema de coordenadas fotográficas tridi mensionais, a pos ição de um ponto genérico p, situado na fotografia, é definida pelo vetor r=rx‘

y' (1.3.2.3) - f-1

Na (1.3.2.3) f é a distância focal calibrada da câmara aé rea empregada e x‘ e y1 as coordenadas em relação ao ponto principal (vi de Figura 1.3.2.5); se x e y forem as coordenadas fiduciais do ponto p, então r pode ser escrito:

r=

y - yc -f

(1.3.2.4)

- 1 8 -

c) S istema de coordenadas instrumentais

- s istema cartesiano bidimensional3 para determinação de fotocoordenadas (Figura 1.3.2.6);

- or igem: interseção dos e ixos do instrumento fotogra^

métrico, co locado em uma pos ição arbitraria.

Os eixos X e Y são ortogonais4 e compõem um s istema de_x trõgiro; quando isto não ocorrer, antes de iniciar as computações , deve- se aplicar analiticamente as reflexões (inversão no sentido do eixo) ne^

cessarias a fazer com que o e ixo X se desenvolva em uma direção próx ima ã da l inha de võo e a tornar o s istema dextrõgiro.

Observe-se que o s istema de coordenadas instrumentais, com o qua l efetivamente sèrão real izadas med idas sobre a fotografia destina das ã aerotriangulaçao analítica, norma lmente se refere a um comparador . No caso presente, no entanto, pretende-se utilizar um equ ipamento analõ gico convencional, dotado de registrador de coordenadas, para efetuar m e^

3 Ve ja-se observação C l) de pé de pág ina? neste item . Aqu i? no entanto?

não se expandirá o s istema instrumenta l para o espaço a tres d imensões . A razão se tomará clara ao longo do trabalho: é possível adiantar no momen to que? ao realizar med idas sobre -um a fotografia usando equ ipamen_

to fotogramétrico convenc iona l? dest inado -a efetuar med idas sobre um mode lo estereoscópico? optou-se por abrir mao da estereoscopia. O equ i_

pamen t -o? então? estará senão usãdo como um monocomparaão r .

4 Na tura lmen te? a ortdaona l idade perfeita material izada em um equ ipamen_

to corresponde , a ' situaçao ideal e? pe lo menos no momen to? não se én _ contra disponível . Existe? entretanto? me io ma temá t ico de tratar o pro b lema .

- 19 -

dições sobre a fotografia. Ass im, devem ser tomadas a lgumas providências que ser iam desnecessárias se estivesse sendo empregado um comparador . Pa^

ra o caso especTf ico do autografo W ILD A-9 a rotina de operação para a obtenção de fotocoordenadas, bas icamente, utiliza apenas um dos projeto­

res5, o p lano XV ê nivelado, o eixo X ê tornado paralelo ao corresponder^

te e ixo fiducial e a marca índice do s istema õtico ê des locada para o canto inferior esquerdo da projeção do diapositivo; esta última prov idêj i cia destina-se a evitar o surg imento de coordenadas negativas, as qua is faci lmente induzem ao erro de leitura, no caso do W ILD A-9 . A situação estã esquemat izada na figura 1.3.2.7. Observe-se também , que a manuten ­ ção da or igem na mesma situação durante todo o processo de leitura, fac i_

li ta a deteção de erros grosseiros.

Outros equ ipamentos aerotrianguladores podem ser emprega ­ dos para a obtenção de fotocoordenadas; deve-se ter em mente a necessi­

dade de coerência entre a precisão exigida pe lo trabalho, a precisão que pode ser fornecida pe lo instrumento e o nível de precisão envolvido nas diversas fases do método . No caso do W ILD A-9 pode-se efetuar leituras de coordenadas X e Y diretamente até 0 ,01mm e estimar a metade desse valor

|03|. Em uma série de 132 leituras realizadas como teste obteve-se um desvio padrão de 0,017mm (17 micrõmetros), valor esse adotado no presen­

te trabalho como primeira aprox imação do desvio padrão.

Figura 1.3.2.7

5 Preferencia lmente o -mesmo projetor,■ v isando evitar variaçao de parâme­

tros durante a -aerotr iangu lagao.

- 20 -

A transformação das coordenadas instrumentais para coorde^

nadas fid u cia is e destas para coordenadas fotogrãficas é abordada no i_

tem 3.2.1 deste trabalho.

d) Sistema de coordenadas do modelo

Trata-se de um sistema de coordenadas destinado a per^

m itir medições sobre modelos estereoscópicos, situando-se no espaço a três dimensões, em consequência. 0 sistema descrito a seguir (Figura 1.

3.2.8) ê o recomendado pela Sociedade Internacional de Fotogrametria:

- Terno cartesiano ortogonal;

- origem: centro perspectivo da fotografia da esquer­

da ;

- eixo X: paralelo ao eixo fid u cial correspondente e positivo na direção de võo (ou na direção da base da câmara);

- eixo Z: coincidente com o eixo õtico da câmara;

- eixo Y: de modo a tornar o sistema dextrõgiro.

Eventualmente as coordenadas poderão ser definidas co_

mo X, Y e H (a ltu ra ).

Os componentes da base, bx, b e b^, coincidem com as diireções dos eixos X, Y e Z, respectivamente; as rotações n, $, e k se fazem em torno dos eixos X, Y e Z |04j. Observe-se que o segundo centro perspectivo não se situa necessariamente sobre o eixo X.

- 21 -

e) S istema de coordenadas geodés icas elipsõidicas

Ê um s istema dest inado a localizar pontos no terreno, calcado em um elipsõide de referência e tendo por coordenadas a latitude geodés ica (ou elipsóidica)-^, a longitude geodés ica (ou elipsõidica)-* e a altitude geométr ica H . A figura 1.3.2.9. ilustra o sistema. Oângu loque a norma l ao elipsõide ba ixada do ponto genérico P _ forma com sua projeção equatorial é a latitude geodésica; o ângu lo d iedro formado pe los mer j_

d ianos geodés icos de Greenw ich (Gw-or igem ) e do ponto P mede a long itude geodés ica de P ; a altitude geométr ica é a distância de P ao el ipsõide con tada sobre a respectiva norma l |05|.

f) S istema de coordenadas cartesianas geodés icas

Tem-se , nesse caso, um terno cartesiano ortogona l com or igem no centro do elipsõide tomado como referência. Os eixos são d is^

postos como se segue (Figura 1.3.2.10):

Figura 1.3.2.10

- 22 -

eixo X: orientado para o ponto de interseção do Equador com o meridiano de Greenwich;

eixo Z: orientado para o polo norte;

eixo Y: orientado de tal forma que o sistema seja dextrõ giro.

Quando usado em Fotogrametria esse sistema será considera do como um sistema médio (is to é, referido ao polo norte médio), com a finalidade de não perm itir que suas coordenadas variem com o tempo, como ocorre com os sistemas geodésicos instantâneos, referidos ao polo norte instantâneo.

g) Sistema de coordenadas geodésicas locais

No modelo matemático da aerotriangulação analTtica-tal como obtido no capTtulo dois - as coordenadas dos pontos do terreno es_

tão expressas em coordenadas geodésicas locais; ta l tratamento permite a redução do número de dígitos necessários ã definição das coordenadas, p£

dendo v ir a economizar memória nas computações, enquanto retém a vanta­

gem de não necessitar considerar a questão da curvatura da Terra. 0 sis^

tema local é definido abaixo (Figura 1.3.2.11):

- origem: no ponto de interseção da normal ao elipsóide em P com o elipsóide (ou em súas proximidades), sendo P o ponto de inte resse; arbitrariamente escolhido;

- 23 -

- eixo Y : tangente ao mer idiano r ia or igem e orientado p£

ra o norte;

- eixo X : a 90 ° do eixo Y, para leste;

- eixo Z: norma l ao elipsõide, na or igem, e orientado de tal forma que o terno cartesiano seja dextrõgiro2a.

1.3.3 - Transformações de coordenadas

As coordenadas dos pontos de apo io â aerotriangulação nor ma lmente são expressas no s istema geodés ico elipsoidal1; como o mode lo matemát ico de aerotriangulação analítica2 usa os pontos de apo io expres^

sos em um s istema geodés ico local, haverá necess idade de passar deums i js tema de coordenadas para o outro, o que é feito via coordenadas cartesia^

nas geodésicas; ao final da aerotriangulação o cam inho inverso ê percor­

rido, já que se ob tem os pontos aerotriangulados expressos em um s istema geodés ico local e se deseja as coordenadas geodés icas elipsõidicas des^

ses pontos. Quanto ás fotocoordenadas, a passagem do sistemainstrumental para o s istema fotográfico será tratada no capítulo relativo a erros si£

temáticos, de vez que essa transformação mode lará a deformação do pape l fotográfico e a falta de ortogona l idade entre os e ixos do instrumento em pregado para leitura das fotocoordenadas.

1 Caso nao o se jam , semp re será possível ass im expressa- las.

2 Equações de col ineariãade, obt idas no capítulo dois .

2a Even tua lmen te poderá ser def inido como levógiro.

- 24 -

a) Transformaçao do sistema geodésico e 1ipsoida 1 para o cartesiano

X =(N + H) cos 4> sen X Y =(N + H) cos 4 > sen X

Z =(N1 + H)sen <|>= jN (1 - e2) + Hj sen $

Sendo:

N = a___________ _ e (1 - e2 sen2 ) 1 /2 N1 = N(1 - e2)

Onde:

N =grande normal;

N'=pequena normal;

a=semi-eixo maior do elipsóide.adotado;

e=excentricidade do elipsóide adotado;

(<j>, x, H)= coordenadas geodésicas elipsóidicas do ponto genérico P;

(X, Y, Z)= coordenadas cartesianas geodésicas relativas ao mesmo ponto.

- 25 -

b ) Transformaçao do s istema cartesiano geodés ico para geodés ico lo ca 1

Figura 1.3.3.2

As coordenadas locais são obt idas a partir das cartesia nas geodésicas por um a transformação tri-dimensional, a qua l consta de um a translação e duas rotações. Um ponto P sobre a superfície do elipsõi de (ou prox imidades) é escolhido arbitrariamente3 como or igem do s istema geodés ico local; súas coordenadas cartesianas geodés icas são (XQ , Y , ZQ ) - veja-se a figura 1.3.3.2 - e suas coordenadas elipsoidais são (<p , x).

3 Para fins de cartografia Naãt ica , quando-a extensão das faixas norma l men te e „pequena , nao existe qua lquer inconven iente „em ^arbitrar .como o r igem um pontò de apò io no início da faixa. .N a . hipótese de faixas ' lon­

gas pode-se. escolher como or igem um ponto a .me io da faixa, v isando~man ter pequeno o mume ro de - dígitos necessários - para expressar- as coo rduena das . Em : -qua lque r caso , tenta-se permanecer , nos l imites da prec isão , s im ­ ples, procurando ‘ evitar ocupação .extensiva de memó r ia de compu tador .

- 26 -

Para que ocorra a coincidência entre os dois referenciais devera ser efetuada uma rotação em torno do eixo Z do angulo (90° + A) e uma rotação em torno do eixo X do ângulo (90° - 4 >), além de uma transia ção. Em 1inguagem m a tric ia l:

(1 .3 .3 . 2 ₎ Sendo:

'X 1'

R1 (90° - 4 ,) R3 (90°

A)

Y 1 _{Y - Yo}

V z - z

1 oj

siderado;

considerado;

(X 1, Y ', Z')= coordenadas geodésicas locais do ponto con

(X, Y, Z) = coordenadas cartesianas geodésicas do ponto

(X ^q J Yo, Z )= coordenadas cartesianas geodésicas do ponto arbitrado cano origem para o sistema lo cal;

(<j>, A) = coordenadas elipsoidais do ponto arbitrado como origem para o sistema lo cal.

0 desenvolvimento da (1 .3.3 . 2 ) perm itirá chegar ãs expres sões que efetuam a transformação de coordenadas em estudo:

X ’= - sen a (X - XQ) + cos A (Y - YQ)

(1.3.3.3) Y'= - sen <j> cos A (X - XQ) -*..sen<j)SenA(Y-Yq)+ cos<j) '(Z-Z ) Z'= cos (}> cos A (X - XQ) + costj)Sen ( Y-Y ) + sencf> (Z-Z ) c) Transformação do sistema geodésico local para o carte- si ano geodési co

A expressão (1 .3.3 .2 ), abaixo tran scrita, permite pas^

sar de coordenadas geodésicas para coordenadas locais:

(1.3.3.2)

(X p =R-] (90° - 4>) R 3 (90° + a) (x - X0

Y' Y

Y0

V Z - Z

o)

- 27 -

Escrevendo a mesma expressão de maneira mais concisa..

'x* = R X 1

O Y1 Y i X o

... M Z 1

o

sendo R= R-j (90° - <j>) (90° + x) a matriz de transformação re la tiva a mudança de coordenadas em jogo. Pré-multiplicando.ambos os membros da ex^

pressão por R 1 (inversa de R) e trocando suas posições, vem:

X -i Y - Y

X 1= R' o 0 Z - Z

ÍX ^ R Y

o -l

f r Y 1 V

rX' Y' V

Como as matrizes de rotaçao sao sempre ortogonais segue-se que sua inversa é igual ã transposta:

061 ,

0T = ^r T (x 1 + fx0

Y Y1 Yo

z V

1 Z

1 o)

0 desenvolvimento da expressão m atricial acima virá fome cer as relações que permitirão passar do sistema local para o sistema geci désico; o significado das variáveis é o mesmo visto anteriormente.

X= - X 1 sen X - Y 1 sen4> cosX + Z 1 cos<j> cosx + X^

Y=

Z= Y 1 cos x + Z 1 sencf) + Z

X' cos x - Y' sen<j) senX + Z 1 cos<(> senx + YQ (1.3.3.4)

d) Transformação do sistema cartesiano geodésico para geodésico e- lipsoidal

A passaqem do sistema geodésico elipsoidal para o carte si ano geodésico se faz por meio das expressões (1 .3 .3 .1 ), abaixo trans

- 28 -

cri tas :

X= (N + H ) cos < j ) cos A

Y= (N + H ) cos < j> sen X (1.3.3.1) Z= |N( 1 - e2) + H | sen4>

Dividindo a segunda pela primeira das expressões...

tg X=Y . X=arc tg Y (4)

I ' • I

E levando ao quadrado as duas primeiras expressões e soman do-as...

X + Y2= (N + H)2 cos2 ( j> (sen2 X + cos2 x) .'.

(N + H ) cos < f> (X2 = + Y2)1/2 (1.3.3.5)

Desenvo lvendo a terceira das (1.3.3.1) e co locando-a em forma adequada...

(N + H ) sen < j>= Z + Ne2 sen < j> - (1.3.3.6) Dividindo a (1.3.3.6) pela (1.3.3.5), vem :

tg < j>= Z + Ne2 sen $ . < j>= a rc tg Z + Ne2 sen 4>

(X2 + Y2)l/2 ’ (X2 + Y2)1/2

A expressão ac ima terá de ser resolvida iterativamente, ma vez que a incógnita está, também , presente no segundo membro5 . Una vez

obt idos < f> e X, pode-se obter H a partir da primeira ou segunda das (1.3.

3.1); por exemp lo :

X= (N + H ) co s< f ) cosx. '.

N + H= x ________ .’. H=X sec « )> sec X- N

COS j ) cos < x

^ Para X nas prox im idades de 90° , usa-se a expressão : X=arc sen Y

(X2+

2)I/2

5 Para a pr imeira iteração pode-se usar N= .a -e < j>=0 ° j 071 . A -convergênc ia o corre c .om pequeno -número de iterações, emp regando -se - a mé - todo de itera çao 'd e New ton— Raphson .

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As expressões (1.3.3.7), portanto, perm item passar do s istema cartesiano geodés ico para o s istema geodés ico elipsoidal.

< p .= arc tg Z + Ne2 sen t j>

(X2 + Y2) 1/2

A= arc tg _Y (1.3.3.7) 'X

H= X sec < f> sec A- N

1 .4 - TRANSFORMAÇÕES GEOMÉTR ICAS

1.4.1 - Apresentação do Prob lema

As transformações geométr icas permn tem que se faça a m i_

gração de objetos de um espaço para outro espaço. Seja a Figura 1.4.1: a transposição do quadrado representado no espaço 2 para o espaço 1 envo_ I_

ve, no m ín imo , uma translação: pode requerer um número maior; pode envo ]_

ver uma ou ma is rotações, em torno de e ixos convenc ionados; a forma e/ou as d imensões da figura podem se manter ou não, apõs a transformação.

Por me io das transformações geométr icas serã possível es­

tabelecer as relações entre s istemas de coordenadas . , com a finalidade de transferir pontos de um s istema para outro. Convém observar que j08 j .:

- . 30 -

a) o estudo geométr ico de um objeto em dois espaços requer um conjunto de pontos (pontos de controle) cujas coordenadas estão disponí veis nos do is espaços;

b ) um certo número de pontos relativos a um objeto pode gerar in_

formações insuficientes, suficientes ou superabundantes para a definição da geometr ia do objeto estudado;

c) diferentes mode los matemãt icos serão necessãrios para definir geometr icamente um certo objeto, em diferentes circunstãncias.

1.4.2 - Transformações ortogonais

São transformações em que a forma e d imensões do objeto são mant idas, após a transformação; essas transformações, portanto, im p l icam apenas em translações, rotações e/ou reflexões de eixos (inversão no sentido de orientação de um eixo). São, por vezes, chamadas de trans_

formações de corpo rTg ido |09|, jã que se trata de un tipo de transforma ção linear em que não ocorre variação na forma ou na escala do objeto transformado. Essa transformação, como resultado, é incapaz de mode lar distorções.

Gener icamente, a transformação ortogonal envolve rotações e translações; seu modç lo matemát ico serã escrito:

X=Rx (1.4.2.1)

sendo: X=X - Xo

R=matr iz de rotação x=x - xo

Cons iderando a Figura 1.4.2.1 - no plano - tem-se :

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