EXPONENCIAL E LOGARITMOS1

LÉ G IO P A R A N A P U Ã R ua J ai m e P er di gã o, 4 38 – M on er ó T el .: 2 46 2- 49 46

MATÉRIA: MATEMÁTICA PROF.(A).: EMANUEL SÉRIE

: 3ª EM

ALUNO(A): TURMA: TURNO:

EXPONENCIAL E LOGARITMOS

1. (Ita 2016) Seja f a função definida por f(x) log  _{x 1}

(x ²  2x 8).  Determine:

a) O domínio D

da função f.

b) O conjunto de todos os valores de x Df  tais que f(x) 2.  c) O conjunto de todos os valores de x Df  tais que ^{f(x) 1. }

2. (Unicamp 2013) A superfície de um reservatório de água para abastecimento público tem 320.000 m

de área, formato retangular e um dos seus lados mede o dobro do outro. Essa superfície é representada pela região hachurada na ilustração abaixo. De acordo com o Código Florestal, é necessário manter ao redor do reservatório uma faixa de terra livre, denominada Área de Proteção Permanente (APP), como ilustra a figura abaixo. Essa faixa deve ter largura constante e igual a 100 m, medidos a partir da borda do reservatório.

a) Calcule a área da faixa de terra denominada APP nesse caso.

b) Suponha que a água do reservatório diminui de acordo com a expressão V t ( )  V ₀ 2 ,

^t em que V

é o volume inicial e t é o tempo decorrido em meses. Qual é o tempo necessário para que o volume se reduza a 10% do volume inicial? Utilize, se necessário, log 2 0,30.



3. (Ufg 2013) A capacidade de produção de uma metalúrgica tem aumentado 10% a cada mês em relação ao mês anterior.

Assim, a produção no mês m, em toneladas, tem sido de 1800 1,1  ^{m 1}

. Se a indústria mantiver este crescimento exponencial, quantos meses, aproximadamente, serão necessários para atingir a meta de produzir, mensalmente, 12,1 vezes a produção do mês um?

Dado: log1,1 0,04. 

4. (Ufpr 2013) Para determinar a rapidez com que se esquece de uma informação, foi efetuado um teste em que listas de palavras eram lidas a um grupo de pessoas e, num momento posterior, verificava-se quantas dessas palavras eram lembradas.

Uma análise mostrou que, de maneira aproximada, o percentual S de palavras lembradas, em função do tempo t, em minutos, após o teste ter sido aplicado, era dado pela expressão

S   18 log(t 1) 86.   

a) Após 9 minutos, que percentual da informação inicial era lembrado?

b) Depois de quanto tempo o percentual S alcançou 50%?

5. (Ufpe 2012) Admita que a população humana na terra seja hoje de 7 bilhões de habitantes e que cresce a uma taxa cumulativa anual de 1,8%. Em quantos anos, a população será de 10 bilhões? Dados: use as aproximações ₁₀ 10

log 0,15

7

  

 

  e

Rio de Janeiro, ________ de _____________________________ de 2016.

APROFUNDAMENTO 11

N A P U Ã R ua J ai m e P er di gã o, 4 38 – M on er ó T el .: 2 46 2- 49 46 log 1,018 0,0075. 10 

6. (Uerj 2011) Considere a equação:

2 3

2 2

(log x)  log x 0,  com x 0. 

Um aluno apresentou o seguinte desenvolvimento para a solução dessa equação:

2 3

2 2

2 2 2

2 3

(log x) log x (log x) 3(log x)

(log x) 3 x 2 x 8 S {8}.













O conjunto-solução encontrado pelo aluno está incompleto. Resolva a equação e determine corretamente o seu conjunto- solução.

7. (Uerj 2010) Suponha que x e y são números reais positivos que apresentam logaritmos com bases diferentes, conforme as igualdades a seguir: log x log y log (x y)





 . Calcule a razão y .

x

8. (Ufg 2010) Observa-se empiricamente, em diversas séries estatísticas quantitativas, que é muito maior a frequência de dados cujo primeiro dígito (à esquerda) é 1 do que a frequência de dados cujo primeiro dígito é 9. Por exemplo, na série de população dos 5.565 municípios brasileiros publicada pelo IBGE em 2009, existem 1.619 municípios cuja população é expressa por um número iniciado por 1 (por exemplo: Goiânia, 1.281.975 habitantes), enquanto em apenas 209 municípios a população é expressa por um número iniciado por 9 (por exemplo: Itumbiara, 92.832 habitantes). Esse fato é conhecido como lei de Benford, e é expresso da seguinte maneira: em um conjunto de observações numéricas satisfazendo essa lei, a probabilidade de que o primeiro dígito seja D, em que D pode assumir os valores inteiros de 1 a 9, é dada por:

D

P log 1 1 D

 

   

  ^.

De acordo com essas informações, para uma série de dados que satisfaz a lei de Benford, extraindo um dado ao acaso, qual é a probabilidade de se ter o primeiro dígito menor do que 5? Use log2 = 0,3

9. (Pucrj 2015) Seja f(x) 4  ^x   6 2 ^x  8.

a) Calcule ^f(0).

b) Encontre todos os valores reais de x para os quais f(x) 168.  c) Encontre todos os valores reais de x para os quais ^{f(x) 0. }

10. (Uerj 2013) Um imóvel perde 36% do valor de venda a cada dois anos. O valor V(t) desse imóvel em t anos pode ser obtido por meio da fórmula a seguir, na qual V

corresponde ao seu valor atual.

 t 0

 

V  V  0,64

Admitindo que o valor de venda atual do imóvel seja igual a 50 mil reais, calcule seu valor de venda daqui a três anos.

11. (Uff 2010) O gráfico da função exponencial f, definida por f (x) = k ^ a

, foi construído utilizando-se o programa de

geometria dinâmica gratuito GeoGebra (http://www.geogebra.org), conforme mostra a figura a seguir:

LÉ G IO P A R A N A P U Ã R ua J ai m e P er di gã o, 4 38 – M on er ó T el .: 2 46 2- 49 46 Sabe-se que os pontos A e B, indicados na figura, pertencem ao gráfico de f. Determine:

a) os valores das constantes a e k;

b) f (0) e f (3).

N A P U Ã R ua J ai m e P er di gã o, 4 38 – M on er ó T el .: 2 46 2- 49 46

Gabarito:

Resposta da questão 1:

a) Condições para a existência do logaritmo:

x 2 2x 8 0 x 2 ou x 4 x 1 0 x -1

x 1 0 x -1

       

    

     



Portanto, o domínio da função será ^{D ] 4,    [.}

b) f(x) 2   log _{x 1}

(x ²  2x 8) 2    x ²  2x 8 (x 1)    ²   4x     9 x 2,25 Como  2,25 4,  o conjunto pedido é o conjunto vazio. Ou seja S = .

c) Teremos:

 

2 2 2

x 1 x 1 x 1

2

log (x 2x 8) 1 log (x 2x 8) log x 1 x 2x 8 x 1

3 3 5 3 3 5

x 3x 9 0 x ou x

2 2



   

  

      

 

     

Como x  4, concluímos que x 3 3 5 , 2

  portanto o conjunto pedido será dado por:

3 3 5

S ,

2

  

   

 

 

Resposta da questão 2:

Determinando as dimensões do retângulo, temos:

2x.x = 320.000.

Resolvendo a equação, temos:

x = 400 e 2x = 800.

a) Considerando A como a área de terra APP.

   

1 2 3

2

2

A 2.A 2.A 4.A

A 2. 800.100 2. 400.100 4. .100 4 A 160.000 80.000 10.000 A 10 0000(24 ) m

π π π

  

  

  

 

b) V t ( )  V ₀ 2

^t  0,1. V = V _{0 0} 2

^t  2

^t  10

¹  log2

^t  log10

¹ 

1 1 1

t.log2 1 t t t 3 meses

log2 0,3 3

         

LÉ G IO P A R A N A P U Ã R ua J ai m e P er di gã o, 4 38 – M on er ó T el .: 2 46 2- 49 46 Seja a função p : 

 

, definida por p(m) 1800 1,1   ^{m 1}

, com p(m) sendo a capacidade de produção, em toneladas, no mês m.

O valor de m para o qual p(m) 12,1 p(1)   é tal que

m 1 m 1

m 1

2

12,1 1800 1800 1,1 1,1 12,1 log1,1 log12,1

(m 1) log1,1 log(1,1) 10 (m 1) log1,1 2 log1,1 log10 (m 1) 0,04 0,08 1

m 27 1 m 28.

 



    

 

    

     

    

  

 

Resposta da questão 4:

a) S = –18.log(t+1) + 86 S = –18.log(9+1) + 86 S = –18.1 + 86

S = 68

Resposta: 68%.

b) 50 = –18.log(t+1) + 86 –36 = –18.log(t+1) log (t+1) = 2 t + 1 = 100

t = 99 minutos = 1hora e 39 minutos

Resposta da questão 5:

20.

A população ^P(t) após t anos contados de hoje, sabendo que a população hoje é de _{7 10}  ⁹ habitantes e que a taxa de crescimento é 0,018, é dada por

9 t 9 t

P(t) 7 10 (1 0,018)       7 10 (1,018) .  Assim a população será de 10 bilhões para um valor de t tal que

9 9 t t

t

10 10 7 10 (1,018) (1,018) 10 7 log(1,018) log 10

7 t 0,0075 0,15 t 20 anos.

     

 

  

 

Resposta da questão 6:

Resolvendo corretamente a equação, vem

N A P U Ã R ua J ai m e P er di gã o, 4 38 – M on er ó T el .: 2 46 2- 49 46

3 1

3

2 2

2 2 2

2

22 2

2 2

2

2

log x log x 0 log x log x 0 log x 3 log x 0 (log x) (log x 3) 0

log x 0 x 1 ou

log x 3 0 x 1

ou . x 8

    

   

   

  



 







Portanto, o conjunto solução da equação é ^{S {1, 8}. }

Resposta da questão 7:

log

x = log

y = log

(x + y) = k log

x = k ^ 9

= x

log

y = k ^ 6

= y

log

(x + y) = k ^ 4

= (x + y)

4

= 9

+ 6

^ 4

− 6

− 9

= 0 ^ (2

)

− 3

(2

) − 3

= 0 Considerando z = 2

:

z

− 3

z − 3

= 0 ^ _z ^{3 k 3 2k 4x3 2k 3 k 3 k 5}

2 2

  

 

Como z é positivo:

k k k

k

3 3 5 2 1 5

z 2 3 2

 

  

Portanto:

k k k

k k

y 6 6 2 1 5

x 9 9 3 2

  

     

 

Resposta da questão 8:

A probabilidade pedida é dada por:

1 2 3 4

1 1 1 1

P P P P log 1 log 1 log 1 log 1

1 2 3 4

3 4 5

log2 log log log

2 3 4

3 4 5 log2 2 3 4 log5

log 10 2 log10 log2 1 0,3 0,7 70%.

       

                          

   

   





 

 

 

Resposta da questão 9:

a) f(0) 4 

  6 2

  8 3

LÉ G IO P A R A N A P U Ã R ua J ai m e P er di gã o, 4 38 – M on er ó T el .: 2 46 2- 49 46 Portanto, x  4

c) f(x) (2 )  ^{x 2}   6 2 ^x  8

Fazendo o estudo do sinal de ^f(x) em 2 , ^x temos:

2 2 

    4 1 x 2

Portanto, x   / 1 x   2.

Resposta da questão 10:

Sabendo que V

 50000, temos que o valor de venda daqui a três anos é igual a

3

2 2

512

V(3) 50000 [(0,8) ] 50000 R$ 25.600,00.

    1000 

Resposta da questão 11:

a) 

 







) ( 2 .

9 3 . ( )

2 1

II a k

I k a

dividindo (II) por (I) temos: a = 3/2 e 3 = k.

2

3  k = 2

b)

x

x

f 



 



  2 . 3 2 ) (

2 2 . 3 2 ) 0 (

0

 



 



  f

4 27 2 . 3 2 ) 3 (

3

 



 



 

f

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