LISTA GERAL DE MATRIZES – OPERAÇÕES E DETERMINANTES - GABARITO 1 – Dadas as matrizes A [ a
ij]
2x2tal que a
ij i
je B [ b
ij]
2x2tal que b
ij j
i, determine:
a) a
11 b
11b) a
22.( b
11 b
22) c) a
21.b
21Solução. Não é necessário construir todas as matrizes. Basta identificar os elementos indicados.
a) 11 2
1 1
1 1
11 1 11
11 1
11
a b
b a
b) .( ) 4 1.( )4 4 )5( 20
4 2
1 1
4 2
22 11 22 2
22 1 11
2 22
b b a b
b a
c) . 2( )1).( 2
1 1
2 2
21 2 21
21 1
21
a b
b a
2 - (FGV-2005) As meninas 1 = Adriana; 2 = Bruna e 3 = Carla falam muito ao telefone entre si. A matriz M mostra cada elemento a
ijrepresentando o número de telefonemas que “i” deu para “j” no mês de setembro:
0 12 9
6 0 18
10 13 0
M . Quem mais telefonou e quem mais recebeu ligações?
Solução. Observe que a diagonal nula informa que ninguém ligou para si mesmo e, obviamente, não recebeu ligação de si mesmo. Decodificando os valores das posições:
a) Adriana fez 23 ligações: 13 para Bruna e 10 para Carla.
b) Bruna fez 24 ligações: 18 para Adriana e 6 para Carla.
c) Carla fez 21 ligações: 9 para Adriana e 12 para Bruna.
d) Bruna foi quem mais telefonou. E recebeu 13 + 12 = 25 ligações.
e) Adriana foi a 2ª menina que mais ligou. E recebeu 18 + 9 = 27 ligações.
f) Carla foi quem menos ligou. E recebeu 10 + 6 = 16 ligações.
A resposta pedida é: Mais telefonou foi Bruna e recebeu mais ligações foi Adriana.
3 – Uma matriz A é do tipo 3 x 5, outra matriz B é do tipo 5 x 2 e a matriz C é do tipo m x 4. Qual o valor de m para que exista o produto (A.B).C?
Solução. Para que exista o produto (A.B) é necessário que o número de colunas de A seja o mesmo de linhas de B. Isso já acontece e o produto é do tipo 3 x 2. Isto é (A.B) possui 3 linhas e 2 colunas. Para que seja possível o produto por C
mx4o número de linhas de C deve ser o mesmo de colunas de (A.B). Logo, m = 2.
4 - Dadas as matrizes
3 1
5
A 3 e B 4 0 obtenha X tal que X.A = B.
Solução. A é do tipo 2 x 2 e B é do tipo 1 x 2. Logo X é do tipo 1 x 2. Seja X a b . Temos:
COLÉGIO PEDRO II - UNIDADE SÃO CRISTÓVÃO III
2ª SÉRIE – MATEMÁTICA I – PROFº WALTER TADEU
www.professorwaltertadeu.mat.br
a b a b a b
A
X 3 5 3
3 1
5
. 3
. Igualando a B, vem:
7 10 3
7 .5 6
7 6 14 12 12 03 14 5
123 9 03 5
)3(
4
3
a a b
ba ba ba
x
ba . Logo, X 7 6 10 7 .
5 - (FGV-2004) Uma matriz X possui elementos cuja soma vale 1. Se . [ 1 ] 1
1 1
. 1
TX
X onde X
Té a
transposta de X , calcule o produto dos elementos de X.
Solução. Se matriz X deve ser do tipo p x 2, onde “p” vale o número de linhas. O produto R =
1 1
1 . 1
X é da forma p x 2. Como X
Té da forma 2 x p e o produto R.X
Té 1 x 1, conclui-se que:
i) X
Tpossui 1 coluna. Logo p = 1. Logo X
Té da forma 2 x 1.
ii) X é da forma 1 x 2. Seja X a b , com a + b = 1.
iii) X a b a b a b
1 1
1 . 1
1 1
1 . 1
iv) . .
2 2
22
2
1 1
1
. 1 a ab ab b a ab b
b b a a b a X
X
T
Igualando o produto ao resultado indicado no enunciado, temos:
1 2 1 ( ) 1 1 .
1 1
. 1
2
2
2
X a ab b a b
X
T. Lembrando que a + b = 1, temos:
0 22 1 1 ) 1
b a a ba
i ba ou
1 02 0 1 ) 1
b a a ba ii ba
Em ambos os casos, o produto (a.b) = 0.
6 – Determine x e y na igualdade
6 12
8 4 8
5 1 4
3
y y
x
Solução. Somando as matrizes e igualando ao resultado, temos:
3 6
2
5 4 1 6
12 8 4 2 12
8 1 6
12 8 4 8
5 1 4
3
y y
x x
y x y
y
x
7 – Dadas as matrizes
4 5 6
3 2
A 1 e
3 4
0 3
2 1
B , determine A + 2.B
T.
Solução. Exibindo a transposta de B, temos:
3 0 2
4 3
T
1
B . Efetuando a expressão, vem:
0 5 0
5 8 3 6 0 4
8 6 2 6
5 4
3 2 1 3 0 2
4 3 2 1
6 5 4
3 2 . 1
2 B
TA
8 – Justifique em cada caso o motivo do determinante ser nulo.
a) 0
7 3 4
2 10 8
1 5 4
b) 0
0 13 4
0 1 5
0 12 7
c)
0 2 4 1
4 0 2
5 3 1
Solução. Identificando as propriedades dos determinantes que se anulam, vem:
a) O determinante é nulo, pois a 2ª linha é dobro da 1ª linha.
b) O determinante é nulo, pois a 3ª coluna inteira é formada por zeros.
c) A 3ª coluna é a soma do dobro da 1ª linha com a 2ª linha: 5 = 1 x 2 + 3; 4 = 2 x 2 + 0 e 2 = - 1 x 2 + 4.
9 – Encontre o determinante de cada matriz.
a)
0 1 4 0
3 1 2 1
5 3 4 0
2 1 3 2
b)
1 4 0 2
1 6 4 3
4 1 2 1
3 0 0 0
c)
1 0 0 0
1 0 0 0
4 1 2 0
3 1 9 8
Solução. Aplicando Laplace é interessante escolher a linha ou coluna que possui mais zeros. Assim elimina- se alguns cofatores.
a) A 1ª coluna ou a 4ª linha apresentam dois elementos nulos. Escolhendo a 1ª coluna, vem:
119 3
116 ]
35 32 )[
1 ( ] 48 10 )[
2 ( )]
7 )(
5 ( ) 16 )(
2 )[(
1 ( )]
16 )(
3 ( ) 2 )(
5 )[(
2 (
1 4
1 ). 3
5 1 (
4 3 ) 4
2 ( ) 1 1 (
4 3 ). 4
3 1 ( 4
1 ). 2 5 ( ) 2 (
0 1 4
5 3 4
2 1 3 ).
1 ( 0 1 4
3 1 2
5 3 4 ).
2 ( 0 1 4 0
3 1 2 1
5 3 4 0
2 1 3 2
OBS: Repare que no determinante 3 x 3 foram escolhidos nas 2ª colunas os elementos a
13e a
23. b) A 3ª linha possui somente um elemento não nulo.
72 ] 24 ).[
3 ( )]
6 ).(
4 ( ) 0 ).(
2 )[(
3 (
4 2
1 ). 1
4 4 ( 2
6 ). 3 2 ( ).
3 ( 4 0 2
6 4 3
1 2 1 ).
3 ( 1 4 0 2
1 6 4 3
4 1 2 1
3 0 0 0
OBS: Repare que no determinante 3 x 3 foram escolhidos na 2ª coluna os elementos a
12e a
22.
c) O determinante de uma matriz triangular é o produto dos elementos da diagonal. Como um desses
elementos é zero, o determinante é nulo.
0 ) 1 ).(
0 ).(
2 ).(
8 ( 1 0 0 0
1 0 0 0
4 1 2 0
3 1 9 8
10 – Determine o conjunto verdade das equações.
Solução.
a) Aplicando Laplace na linha 1, temos:
6 1 6
2 3 3
2 6 6 ] 2 14 20 ).[
2 ( 6 )]
2 ).(
1 ( ) 14 ).(
( ) 20 ).(
).[(
2 (
6 6 4
2 ). 1 1 2 ( 4
4 ). 1 2 ( 6
4 ). 2
( ).
2 ( 6 2 6 4 2
4 2 1
1 1
0 0 0 2
x x
x x x
x
x x x
x x
b) Aplicando Laplace na coluna 1, temos:
11 39 39
11 39
12 39
)]
6 ).(
2 ( ) ).(
1 ).[(
1 (
4 39 ). 2 2 1 (
). 0 1 ( ).
1 ( 39 1
4 0 2
0 2 1 ).
1 ( 39 1
0 4
2 1
3
0 0 2
0 2 0 1
x x
x x x
x
x x x
x x
x x
x x
11 – Sabendo que 1470
4 3 2 7
8 5 5 2
2 1 6 7
11 4 3 2
, calcule os determinantes das seguintes matrizes.
Solução. Observando que os elementos se assemelham à matriz original, é possível aplicar as propriedades dos determinantes.
a)
11 4 3 2
8 5 5 2
2 1 6 7
4 3 2 7
1470 b)
4 14 2 7
8 4 5 2
2 14 6 7
11 4 3 2
0 c)
4 6 2
7
8 10 5 2
2 2 6 7
11 8 3 2
– 2940
a) A 4ª linha foi trocada com a 1ª linha. Logo o determinante fica com o sinal trocado. Isto é, vale 1470.
b) A 3ª coluna é o dobro da 1ª coluna. Logo, o determinante se anula. Vale zero.
c) A 3ª coluna é o dobro da 3ª coluna da matriz original. Logo o determinante dobra. Vale (-1470 x 2)
12 – (ITA) Se det 1
z y x
r q p
c b a
, calcule o valor do
z y
x
z r y q x p
c b
a
3 3
3
2 2
2
2 2
2
det = 12.
Solução. Um determinante não se altera se uma linha for substituída pela soma de seus elementos com outra previamente multiplicada por um número. O determinante fica multiplicado pelo número que for multiplicado a uma linha ou coluna. Observando o segundo determinante, temos:
a) A 1ª linha foi multiplicada por (- 2).
b) A 2ª linha foi multiplicada por (2). A soma com a 3ª linha não há interfere.
c) A 3ª linha foi multiplicada por (3).
Conclusão. O determinante da matriz é o produto do determinante original por (-2).(2).(3) resultando no valor: (-1).(-2).(2).(3) = 12.
13 – Resolva as equações:
a) 2 0
1 0
1
1 0 0
0 1 1
1 0 0
2