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Academic year: 2022

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(1)

LISTA GERAL DE MATRIZES – OPERAÇÕES E DETERMINANTES - GABARITO 1 – Dadas as matrizes A  [ a

ij

]

2x2

tal que a

ij

i

j

e B  [ b

ij

]

2x2

tal que b

ij

j

i

, determine:

a) a

11

b

11

b) a

22

.( b

11

b

22

) c) a

21

.b

21

Solução. Não é necessário construir todas as matrizes. Basta identificar os elementos indicados.

a) 11 2

1 1

1 1

11 1 11

11 1

11    



 

a b

b a

b) .( ) 4 1.( )4 4 )5( 20

4 2

1 1

4 2

22 11 22 2

22 1 11

2 22

 

 

b b a b

b a

c) . 2( )1).( 2

1 1

2 2

21 2 21

21 1

21   



 

a b

b a

2 - (FGV-2005) As meninas 1 = Adriana; 2 = Bruna e 3 = Carla falam muito ao telefone entre si. A matriz M mostra cada elemento a

ij

representando o número de telefonemas que “i” deu para “j” no mês de setembro:

0 12 9

6 0 18

10 13 0

M . Quem mais telefonou e quem mais recebeu ligações?

Solução. Observe que a diagonal nula informa que ninguém ligou para si mesmo e, obviamente, não recebeu ligação de si mesmo. Decodificando os valores das posições:

a) Adriana fez 23 ligações: 13 para Bruna e 10 para Carla.

b) Bruna fez 24 ligações: 18 para Adriana e 6 para Carla.

c) Carla fez 21 ligações: 9 para Adriana e 12 para Bruna.

d) Bruna foi quem mais telefonou. E recebeu 13 + 12 = 25 ligações.

e) Adriana foi a 2ª menina que mais ligou. E recebeu 18 + 9 = 27 ligações.

f) Carla foi quem menos ligou. E recebeu 10 + 6 = 16 ligações.

A resposta pedida é: Mais telefonou foi Bruna e recebeu mais ligações foi Adriana.

3 – Uma matriz A é do tipo 3 x 5, outra matriz B é do tipo 5 x 2 e a matriz C é do tipo m x 4. Qual o valor de m para que exista o produto (A.B).C?

Solução. Para que exista o produto (A.B) é necessário que o número de colunas de A seja o mesmo de linhas de B. Isso já acontece e o produto é do tipo 3 x 2. Isto é (A.B) possui 3 linhas e 2 colunas. Para que seja possível o produto por C

mx4

o número de linhas de C deve ser o mesmo de colunas de (A.B). Logo, m = 2.

4 - Dadas as matrizes

 

 

3 1

5

A 3 e B   4 0  obtenha X tal que X.A = B.

Solução. A é do tipo 2 x 2 e B é do tipo 1 x 2. Logo X é do tipo 1 x 2. Seja X a b. Temos:

COLÉGIO PEDRO II - UNIDADE SÃO CRISTÓVÃO III

2ª SÉRIE – MATEMÁTICA I – PROFº WALTER TADEU

www.professorwaltertadeu.mat.br

(2)

a b   a b a b

A

X 3 5 3

3 1

5

. 3    

 

  . Igualando a B, vem:

7 10 3

7 .5 6

7 6 14 12 12 03 14 5

123 9 03 5

)3(

4

3    

 



 

 





a a b

ba ba ba

x

ba . Logo, X  7 6 10 7  .

5 - (FGV-2004) Uma matriz X possui elementos cuja soma vale 1. Se . [ 1 ] 1

1 1

. 1  

 

T

X

X onde X

T

é a

transposta de X , calcule o produto dos elementos de X.

Solução. Se matriz X deve ser do tipo p x 2, onde “p” vale o número de linhas. O produto R =

 

 

 1 1

1 . 1

X é da forma p x 2. Como X

T

é da forma 2 x p e o produto R.X

T

é 1 x 1, conclui-se que:

i) X

T

possui 1 coluna. Logo p = 1. Logo X

T

é da forma 2 x 1.

ii) X é da forma 1 x 2. Seja X   a b, com a + b = 1.

iii) Xa b a b a b

 

 

 

 

1 1

1 . 1

1 1

1 . 1

iv) .   .

2 2

 

2

2

2

1 1

1

. 1 a ab ab b a ab b

b b a a b a X

X

T

       

 

 

 

 

Igualando o produto ao resultado indicado no enunciado, temos:

  1  2    1 ( ) 1 1 .

1 1

. 1   

2

 

2

  

2

 

X a ab b a b

X

T

. Lembrando que a + b = 1, temos:

 

 

 





0 22 1 1 ) 1

b a a ba

i ba ou

 

 

 





1 02 0 1 ) 1

b a a ba ii ba

Em ambos os casos, o produto (a.b) = 0.

6 – Determine x e y na igualdade

 

 

 

 

 

 

 

6 12

8 4 8

5 1 4

3

y y

x

Solução. Somando as matrizes e igualando ao resultado, temos:

 





 

 

 

 

  

 

 

 

 

 

3 6

2

5 4 1 6

12 8 4 2 12

8 1 6

12 8 4 8

5 1 4

3

y y

x x

y x y

y

x

(3)

7 – Dadas as matrizes

 

 

 4 5 6

3 2

A 1 e

 

 

3 4

0 3

2 1

B , determine A + 2.B

T

.

Solução. Exibindo a transposta de B, temos:

 

 

3 0 2

4 3

T

1

B . Efetuando a expressão, vem:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 0 5 0

5 8 3 6 0 4

8 6 2 6

5 4

3 2 1 3 0 2

4 3 2 1

6 5 4

3 2 . 1

2 B

T

A

8 – Justifique em cada caso o motivo do determinante ser nulo.

a) 0

7 3 4

2 10 8

1 5 4

b) 0

0 13 4

0 1 5

0 12 7

c)

0 2 4 1

4 0 2

5 3 1

Solução. Identificando as propriedades dos determinantes que se anulam, vem:

a) O determinante é nulo, pois a 2ª linha é dobro da 1ª linha.

b) O determinante é nulo, pois a 3ª coluna inteira é formada por zeros.

c) A 3ª coluna é a soma do dobro da 1ª linha com a 2ª linha: 5 = 1 x 2 + 3; 4 = 2 x 2 + 0 e 2 = - 1 x 2 + 4.

9 – Encontre o determinante de cada matriz.

a)

0 1 4 0

3 1 2 1

5 3 4 0

2 1 3 2

b)

1 4 0 2

1 6 4 3

4 1 2 1

3 0 0 0

 c)

1 0 0 0

1 0 0 0

4 1 2 0

3 1 9 8

Solução. Aplicando Laplace é interessante escolher a linha ou coluna que possui mais zeros. Assim elimina- se alguns cofatores.

a) A 1ª coluna ou a 4ª linha apresentam dois elementos nulos. Escolhendo a 1ª coluna, vem:

119 3

116 ]

35 32 )[

1 ( ] 48 10 )[

2 ( )]

7 )(

5 ( ) 16 )(

2 )[(

1 ( )]

16 )(

3 ( ) 2 )(

5 )[(

2 (

1 4

1 ). 3

5 1 (

4 3 ) 4

2 ( ) 1 1 (

4 3 ). 4

3 1 ( 4

1 ). 2 5 ( ) 2 (

0 1 4

5 3 4

2 1 3 ).

1 ( 0 1 4

3 1 2

5 3 4 ).

2 ( 0 1 4 0

3 1 2 1

5 3 4 0

2 1 3 2

 

 

 

 

 

 

 

 

OBS: Repare que no determinante 3 x 3 foram escolhidos nas 2ª colunas os elementos a

13

e a

23

. b) A 3ª linha possui somente um elemento não nulo.

72 ] 24 ).[

3 ( )]

6 ).(

4 ( ) 0 ).(

2 )[(

3 (

4 2

1 ). 1

4 4 ( 2

6 ). 3 2 ( ).

3 ( 4 0 2

6 4 3

1 2 1 ).

3 ( 1 4 0 2

1 6 4 3

4 1 2 1

3 0 0 0

 

 

 

 

OBS: Repare que no determinante 3 x 3 foram escolhidos na 2ª coluna os elementos a

12

e a

22

.

c) O determinante de uma matriz triangular é o produto dos elementos da diagonal. Como um desses

elementos é zero, o determinante é nulo.

(4)

0 ) 1 ).(

0 ).(

2 ).(

8 ( 1 0 0 0

1 0 0 0

4 1 2 0

3 1 9 8

 

10 – Determine o conjunto verdade das equações.

Solução.

a) Aplicando Laplace na linha 1, temos:

6 1 6

2 3 3

2 6 6 ] 2 14 20 ).[

2 ( 6 )]

2 ).(

1 ( ) 14 ).(

( ) 20 ).(

).[(

2 (

6 6 4

2 ). 1 1 2 ( 4

4 ). 1 2 ( 6

4 ). 2

( ).

2 ( 6 2 6 4 2

4 2 1

1 1

0 0 0 2

 

 

 

  

 

 

x x

x x x

x

x x x

x x

b) Aplicando Laplace na coluna 1, temos:

11 39 39

11 39

12 39

)]

6 ).(

2 ( ) ).(

1 ).[(

1 (

4 39 ). 2 2 1 (

). 0 1 ( ).

1 ( 39 1

4 0 2

0 2 1 ).

1 ( 39 1

0 4

2 1

3

0 0 2

0 2 0 1

 

 

 

 

 

x x

x x x

x

x x x

x x

x x

x x

11 – Sabendo que 1470

4 3 2 7

8 5 5 2

2 1 6 7

11 4 3 2

, calcule os determinantes das seguintes matrizes.

Solução. Observando que os elementos se assemelham à matriz original, é possível aplicar as propriedades dos determinantes.

a)

11 4 3 2

8 5 5 2

2 1 6 7

4 3 2 7

1470 b)

4 14 2 7

8 4 5 2

2 14 6 7

11 4 3 2

0 c)

4 6 2

7

8 10 5 2

2 2 6 7

11 8 3 2

– 2940

a) A 4ª linha foi trocada com a 1ª linha. Logo o determinante fica com o sinal trocado. Isto é, vale 1470.

b) A 3ª coluna é o dobro da 1ª coluna. Logo, o determinante se anula. Vale zero.

c) A 3ª coluna é o dobro da 3ª coluna da matriz original. Logo o determinante dobra. Vale (-1470 x 2)

12 – (ITA) Se det 1

 

 

z y x

r q p

c b a

, calcule o valor do

 

 

z y

x

z r y q x p

c b

a

3 3

3

2 2

2

2 2

2

det = 12.

Solução. Um determinante não se altera se uma linha for substituída pela soma de seus elementos com outra previamente multiplicada por um número. O determinante fica multiplicado pelo número que for multiplicado a uma linha ou coluna. Observando o segundo determinante, temos:

a) A 1ª linha foi multiplicada por (- 2).

b) A 2ª linha foi multiplicada por (2). A soma com a 3ª linha não há interfere.

c) A 3ª linha foi multiplicada por (3).

Conclusão. O determinante da matriz é o produto do determinante original por (-2).(2).(3) resultando no valor: (-1).(-2).(2).(3) = 12.

13 – Resolva as equações:

(5)

a) 2 0

1 0

1

1 0 0

0 1 1

1 0 0

2

x x x

x x x

 b) x 3 3 2 x 2 1 0 c) 12

2 1 3

1 2 1 2

x x

Solução. O procedimento será encontrar determinantes por qualquer método e igualar ao valor do 2º membro. Nos casos acima de 2 x 2, será utilizado o método de Laplace.

a) Laplace na 1ª linha b) Det 2 x 2 natural.

c) Laplace na 1ª linha.

a)

   



 

2 1 0 0

) 1 2 ( 0

2

] ).[

1 ( ] ).[

( )

).(

1 ( ) ).(

1 ( ).

1 ( ) ).(

1 ( ) ).(

( ).

(

) ).(

( ) 0 ).(

2 ( 0

1

0 0

1 1

).

1 ( 1 0

1 0

0 1 ).

0 ( 2 1 0

1

1 0 0

0 1 1

1 0 0

2 3

2 2 3

3 2

2 3

2

2 2

x x x

x x

x x

x x x x

x x x x

x x x

x x

x x

x x

x x x

x x x

x x x x

x x

x x x

b) x 3 3 2 x 2 1 0 2 ( x 3 ) 3 ( 2 x 1 ) 0 2 x 6 6 x 3 0 4 x 9 x 9 4

c) 12 ( 2 ).( 3 ) ( )( 1 ) ( ).( 5 ) 12 6 5 12 4 6 4 6 2 3

2 1 3

1 2 1 2

x x x x x x

x x

14 - (ITA-2006) Sejam as matrizes

 

 

 

 

0 2 / 3 1 5

1 2 1 1

3 2

5 2

1 2 / 1 0 1

A e

 

 

 

 

5 2 / 1 1 5

1 1 1 1

3 2 2 1

1 2 / 1 3 1

B . Determine o

elemento c

34

da matriz C  ( AB ) .

Solução. Repare que não é preciso resolver toda a soma dos elementos. A informação que interessa é somente relativo ao elemento c

34

. Como a soma relaciona elemento a elemento correspondente a sua posição, temos que: c

34

= a

34

+ b

34

= 1 + 1 = 2.

15 - (Unicamp-2006) Sejam dados: a matriz

 

 

2 1

1

2 1

1

1 1

1

x x

x x

x

A , encontre o conjunto solução da

equação det( A )  0 .

Solução. Aplicando Laplace na 1ª coluna, temos:

].

8 4 ).[

1 ( ] 1 3

3 4 )[

1 (

] 1 )[

1 ( ] 3 3 )[

1 ( ] 4 ).[

1 ( ] 1 2

2 )[

1 ( ] 1 2

2 )[

1 ( ] 4 ).[

1 (

)]

1 ( 1 ) 1 .(

2 ).[

1 ( )]

1 ( 1 ) 1 .(

2 )[

1 ( ] 4 ).[

1 ( 2 1

1

2 1

1

1 1

1

x x

x x

x

x x x

x x

x x

x x

x x

x

x x

x x

x x

x x

x

x x

x

(6)

Como essa expressão deve ser nula, temos:

 

 

2 8 4 0 1 ]8 4 ).[

1 ( 0 2 1 1

2 1 1

1 1 1

x x x x

x x

x

x x x

OBS. Repare que para x = 1, a 1ª coluna seria toda nula, logo anularia o determinante. Se x = 2, a 2ª coluna seria igual à primeira, anulando também o determinante.

16 – (UEL-PR) Uma matriz quadrada A é simétrica se A = A

T

. Assim se a matriz

 

 

2 3 4

1 0

2 1 2

z x

y

A é

simétrica, calcule x + y + z.

Solução. A matriz

 

 

2 1 2

3 0 1

4 2

z y

x

A

T

é a simétrica. Igualando as matrizes A e A

T

, temos:

74 21 4

31 2 4 2

1 1 21 2

3 0 1

4 2 2 34

1 0

21 2







 

 











 

 

 

 

 

 

x zy

z z

y y

xx zy

x z

x

y

AA T

Referências

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