UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA JÚLIO DE MESQUITA FILHO FACULDADE DE ENGENHARIA CAMPUS DE BAURU. Programa de Pós-Graduação em Engenharia Elétrica

i UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA “JÚLIO DE MESQUITA FILHO”

FACULDADE DE ENGENHARIA CAMPUS DE BAURU

Programa de Pós-Graduação em Engenharia Elétrica

“ Método Previsor-Corretor Primal-Dual de Pontos Interiores em Problemas Multiobjetivo de Despacho Econômico e Ambiental ”

Aluno: Amélia de Lorena Stanzani Orientador: Prof. Dr. Antonio Roberto Balbo

Dissertação de Mestrado apresentado ao Programa de Pós Graduação em Engenharia Elétrica, FEB, UNESP, Campus de Bauru, como parte dos requisitos para a obtenção do título de mestre em Engenharia Elétrica

Bauru - SP

2012

i

Stanzani, Amélia de Lorena.

Método previsor-corretor primal-dual de pontos interiores em problemas multiobjetivo de despacho econômico e ambiental / Amélia de Lorena Stanzani, 2012

95 f.

Orientador: Antonio Roberto Balbo

Dissertação (Mestrado)–Universidade Estadual Paulista. Faculdade de Engenharia, Bauru, 2012

1. Métodos de Pontos Interiores. 2. Métodos Prima- Dual Previsor-Corretor. 3. Problemas Multiobjetivo de Despacho Econômico e Ambiental. Montagem. I.

Universidade Estadual Paulista. Faculdade de Engenharia e Bauru. II. Título.

Stanzani, Amélia de Lorena.

Método previsor-corretor primal-dual de pontos interiores em problemas multiobjetivo de despacho econômico e ambiental / Amélia de Lorena Stanzani, 2012

95 f.

Orientador: Antonio Roberto Balbo

Dissertação (Mestrado)–Universidade Estadual Paulista. Faculdade de Engenharia, Bauru, 2012

1.

ii

iii

“A mente que se abre a uma nova ideia jamais voltará ao seu tamanho original.”

Albert Einstein

“Há escolhas que, se fossem exequíveis, tirariam-nos do aperto. Poderiam até ser ótimas, mas não são escolhas possíveis. Otimizar é selecionar algo melhor. Mas, quase sempre, ficamos restritos a escolhê-lo dentre um conjunto limitado de alternativas.”

Jocelyn Freitas Bennaton

iv

A meu pai, pelo exemplo, amor e incentivo incondicional. Sempre estará presente.

v

Agradecimentos

Ao meu orientador, Prof. Dr. Antonio Roberto Balbo pela amizade, orientação e participação efetiva no desenvolvimento do trabalho, cujo êxito foi consequência de sua experiência e de sua dedicação.

As professoras Helenice de Oliveira Florentino Silva, Edméa Cássia Baptista e Edilaine Martins Soler, pelas contribuições pertinentes e imprecindíveis, que enriqueceram, e muito, este trabalho.

Aos amigos e companheiros de trabalho do “Labore”, Ricardo, Camila e Larissa, que tiveram participação ativa na realização deste trabalho, obrigada pela parceria e força.

Aos discentes e docentes do programa de mestrado em engenharia elétrica, que de alguma forma contribuiram durante esse período de crescimento.

Aos amigos, pelos momentos de descontração, sem os quais não venceria essa etapa, em especial as grandes amigas Daniele e Denise, que desde sempre estão ao meu lado e nessa fase não seria diferente, a amizade de vocês significa muito pra mim.

A minha família pelo incentivo e crédito na concretização do mestrado.

As pessoas que mais amo e que confiam em mim, meus irmãos, Enio e Bruno, pelo total apoio e minha mãe, por todo amor, dedicação e paciência nos momentos de ansiedade, por toda minha vida.

A Deus pelas oportunidades que se apresentaram e se apresentam em minha vida e pela coragem concedida a mim para aproveitá-las.

Muito Obrigada!

vi

RESUMO

O presente trabalho apresenta o método primal-dual previsor-corretor de pontos interiores para programação quadrática, com restrições lineares e quadráticas e variáveis canalizadas, e a aplicação deste método na resolução de problemas multiobjetivo de despacho econômico e ambiental, encontrados na engenharia elétrica. Pretende-se determinar soluções que sejam eficientes em relação ao custo dos combustíveis empregados na geração termoelétrica de energia e ao controle da emissão de poluentes, investigando-se duas estratégias: a primeira estratégia considera na função objetivo a soma ponderada entre as funções objetivo econômica e objetivo ambiental; a segunda estratégia considera o problema de despacho econômico condicionado à restrição ambiental, limitada superiormente para níveis permissíveis de emissão. Para a resolução destes, uma implementação computacional do método primal-dual foi realizada em linguagem de programação C++, considerando o procedimento previsor-corretor com uma estratégia de barreira modificada para as restrições quadráticas de desigualdade, quando consideramos a segunda estratégia. Os resultados obtidos demonstram a eficiência do método em destaque em comparação a outros métodos como algoritmos genéticos co-evolutivo, atávico híbrido e cultural, bem como ao método primal-dual de pontos interiores, com procedimento de busca unidimensional, que estão divulgados na literatura.

Palavras-chave: Método Primal-Dual de Pontos Interiores, Procedimento Previsor-Corretor,

Problemas de Despacho Econômico, Problema de Despacho Ambiental, Aplicações a

Engenharia.

vii

ABSTRACT

This paper presents the primal-dual predictor-corrector interior point method for quadratic programming with linear and quadratic constraints and bounded variables, and its application in multiobjective problems of economic and environmental dispatch, found in electrical engineering. It is intended to determine effective solutions to the fuel cost used in thermal power generation and emissions control, by investigating two strategy: the first strategy considers the objective function as weighted sum of economic and environmental objective functions; the second strategy considers the economic dispatch problem subject to environmental constraint, upper bounded for allowable emission levels. To solve them, a computational implementation of primal-dual methods was performed in C++ programming language, considering the predictor-corrector procedure with a strategy of modified barrier for the quadratic inequality constraints, when we consider the second strategy. The results obtained demonstrate the efficiency of the method highlighted in comparison with the co- evolutive genetic algorithms, hybrid and atavistic cultural, as well the primal-dual interior point method with one-dimensional search procedure, which are found in the literature.

Keywords: Primal-Dual Interior Point Methods, Predictor-Corrector Procedure, Economic

Dispatch Problems, Environmental Dispatch Problems, Electric Engineering and

Applications.

viii

SUMÁRIO

RESUMO ... vi

ABSTRACT ... vii

LISTA DE TABELAS E FIGURAS ... x

LISTA DE ABREVIATURAS E UNIDADES ... xii

Capítulo 1 – INTRODUÇÃO, HISTÓRICO E ORGANIZAÇÃO DO TRABALHO ... 1

1.1 Introdução ... 1

1.2 Histórico ... 3

1.3 Organização do trabalho ... 6

Capítulo 2 – OTIMIZAÇÃO ... 9

2.1 Multiplicadores de Lagrange ... 10

2.2 Problemas de Otimização com Restrições de Desigualdade ... 11

2.3 Métodos Determinísticos de Otimização ... 12

2.3.1 Método dos Gradientes ... 13

2.3.2 Métodos de Newton ... 13

2.4 O Método de Barreira ... 13

2.4.1 Método de Barreira Clássica... 14

2.4.2 Método de Barreira Logarítmica ... 15

2.4.3 Método de Barreira Modificada ... 15

2.4.4 Dificuldades Computacionais ... 17

Capítulo 3 – MÉTODO PRIMAL-DUAL PONTOS INTERIORES ... 18

3.1 Considerações para o Algoritmo PDPCBL Geral ... 18

3.1.1 Direções de Busca – Procedimento Previsor-Corretor ... 21

3.1.2 Comprimento do Passo ... 26

3.1.3 Atualização do Parâmetro de Barreira ... 27

3.1.4 Critério de Parada ... 27

3.1.5 Algoritmo PDPCBL ... 28

3.2 Considerações para o Algoritmo PDPCBL Simplificado... 31

3.3 Considerações para o Algoritmo PDPCBLM ... 35

3.3.1 Atualização do Parâmetro de Barreira ... 38

Capítulo 4 – PROBLEMAS DE DESPACHO ... 39

4.1 Geração Termoelétrica ... 39

ix

4.2 Problemas de Despacho ... 43

4.2.1 Problema de Despacho Econômico ... 44

4.2.2 Problema de Despacho Ambiental ... 46

4.3 Modelo Multiobjetivo de Despacho Econômico e Ambiental e Métodos de Resolução 48 4.3.1 Método da Soma Ponderada – Problema I ... 48

4.3.2 Método ε-restrito ... 50

4.3.2.1 Problema II – Restrição de Emissão Máxima Total do Sistema ... 50

4.3.2.2 Problema III – Restrição de Emissão Máxima por Unidade Geradora ... 51

4.3.2.3 Problemas IV e V – PDA com restrição econômica ... 51

Capítulo 5 – APLICAÇÃO E RESULTADOS NUMÉRICOS ... 53

5.1 Adaptações do Método aos Problemas I, II e III ... 53

5.2 Problema teste com 6 unidades geradoras ... 54

5.2.1 Dados Numéricos ... 54

5.2.2 Problema I – 6 Unidades Geradoras ... 56

5.2.3 Problema II e III – 6 Unidades Geradoras ... 58

5.2.3.1 Problema II - Emissão Máxima Total do Sistema ... 58

5.2.3.2 Problema III - Emissão Máxima por Unidade Geradora ... 59

5.2.4 Análise dos resultados ... 61

5.3 Problema teste com 40 unidades geradoras ... 64

5.3.1 Dados Numéricos ... 64

5.3.2 Problema I – 40 Unidades Geradoras ... 69

5.3.3 Problema II e III – 40 Unidades Geradoras ... 71

5.3.3.1 Problema II - Emissão Máxima Total do Sistema ... 71

5.3.3.2 Problema III - Emissão Máxima por Unidade Geradora ... 72

5.3.4 Análise dos resultados ... 75

Capítulo 6 – CONCLUSÕES ... 78

Capítulo 7 – TRABALHOS PUBLICADOS ... 80

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ... 81

x ___________________________________________________________________________

LISTA DE TABELAS E FIGURAS

Tabela 4.1 – Geração de Energia Elétrica no Brasil ... 39

Tabela 4.2 – Dez maiores termoelétricas atualmente em operação no Brasil ... 40

Figura 4.1 – Curva de Entrada-Saída Típica de uma Unidade Térmica ... 42

Figura 4.2 – Curva de Pareto Ótima ... 49

Tabela 5.1 – Coeficientes das funções econômica e ambiental, 6 unidades geradoras ... 54

Tabela 5.2 – Limites operacionais para cada uma das 6 unidades geradoras ... 54

Tabela 5.3 – Método da Soma Ponderada – Problema I (4.10) – Valores das funções econômica e ambiental para diferentes valores de β, 6 unidades geradoras ... 56

Figura 5.1 – Curva de Pareto do Problema I (4.10), 6 unidades geradoras ... 57

Tabela 5.4 – Método ε-restrito – Problema II (4.11) – Potência gerada por unidade considerando um limitante superior para a emissão total do sistema de geração, 6 unidades geradoras ... 58

Figura 5.2 – Curva de Pareto do Problema II (4.11), 6 unidades geradoras ... 59

Tabela 5.5 – Solução Inicial X Limitantes Ambientais ... 59

Tabela 5.6 – Método ε-restrito – Problema III (4.12) – Potência gerada por unidade considerando limites superiores para cada uma das 6 unidades geradoras ... 60

Tabela 5.7 – Comparação dos resultados do AGHCOE, AC, PDPCBU e PDPCBL para as funções F e e F a ... 62

Tabela 5.8 – Resultados para a função objetivo ponderada ... 62

Tabela 5.9 – Comparação dos Resultados para os Problemas “I”, “II” e “III” ... 63

Tabela 5.10 – Coeficientes da função econômica e limitantes operacionais, 40 unidades geradoras ... 64

Tabela 5.11 – Valores pré-definidos pelos procedimento i. a v. para determinar os coeficientes da função ambiental no caso de 40 unidades geradoras ... 66

Tabela 5.12 – Coeficientes da função ambiental, 40 unidades geradoras ... 67

Tabela 5.13 – Método da Soma Ponderada – Problema I (4.10) – Valores das funções econômica e ambiental para diferentes valores de β, 40 unidades geradoras ... 69

Figura 5.3 – Curva de Pareto do Problema I (4.10), 40 unidades geradoras ... 70

xi

Tabela 5.14 – Método ε-restrito – Problema II (4.11) – Potência gerada por unidade

considerando um limitante superior para a emissão total do sistema de geração, 40 unidades

geradoras ... 71

Figura 5.4 – Curva de pareto do Problema II (4.11), 40 unidades geradoras ... 71

Tabela 5.15.1 – Restrições Ambientais Violadas. Caso I, parâmetro de barreira modificada

inicial μ ⁰ = 1000 ... 72

Tabela 5.15.2 – Restrições Ambientais Violadas. Caso II, parâmetro de barreira modificada

inicial μ ⁰ =550 ... 73

Tabela 5.16 – Método ε-restrito – Problema III (4.12) – Potência gerada por unidade

considerando limites superiores para cada uma das 40 unidades geradoras ... 73

Tabela 5.17 – Comparação dos resultados, 40 unidades geradoras ... 75

xii ___________________________________________________________________________

LISTA DE ABREVIATURAS E UNIDADES

AC - Algoritmo Cultural AG - Algoritmo Genético

AGHCOE - Algoritmo Genético Hibrido Co-Evolutivo ANEEL - Agência Nacional de Energia Elétrica BL - Barreira Logarítmica

BM - Barreira Modificada

Btu/h - Unidade Térmica Britânica por Hora CO ₂ - Gás Carbônico

ED - Evolução Diferencial

EEQN - Estratégia Evolutiva e Método Quase-Newton FPO - Fluxo de Potência Ótimo

KKT - Karush Kuhn Tucker

MW - Megawatts

NO _x - Óxido de Nitrogênio

PC - Previsor-Corretor

PDA - Problema de Despacho Ambiental PDE - Problema de Despacho Econômico

PDEA - Problema Multiobjetivo de Despacho Econômico e Ambiental PDPCBL - Primal-Dual Previsor-Corretor Barreira Logarítmica

PDPCBLM - Primal-Dual Previsor-Corretor Barreira Logarítmica Modificada PDPCBU - Primal-Dual Previsor-Corretor Busca Unidimensional

PDPI - Primal-Dual de Pontos Interiores

PPNL - Problema de Programação Não Linear

SO 2 - Dióxido de Enxofre

1 ___________________________________________________________________________

Capítulo 1 – INTRODUÇÃO, HISTÓRICO E ORGANIZAÇÃO DO TRABALHO

1.1 Introdução

Problemas de otimização não-linear ocorrem em muitas áreas do conhecimento tais como, matemática, engenharia, agronomia, entre outras. Devido à sua não-linearidade e quantidade de variáveis, estes problemas apresentam dificuldades quanto à sua resolução, assim é de interesse utilizar métodos numéricos eficientes para a determinação de soluções destes, definindo critérios de convergência para tais determinações.

Dentre os problemas de otimização restritos não-lineares destacam-se os problemas de despacho econômico (PDE) e ambiental (PDA), que são encontrados na área de sistemas de geração de energia, em engenharia elétrica. Estes analisam a geração termoelétrica baseando- se não somente em seus aspectos econômicos, mas também preocupando-se com a redução da emissão de poluentes, pela energia produzida ou pelo combustível consumido. Desta forma o PDE e o PDA são problemas de otimização não-linear, sendo que o primeiro busca otimizar o processo de alocação ótima da demanda de energia elétrica entre as unidades geradoras disponíveis minimizando o custo de combustíveis empregados na geração termoelétrica, e o segundo busca minimizar a emissão de poluentes resultantes da geração termoelétrica, de tal forma que, em ambos os problemas, as restrições operacionais e de demanda sejam satisfeitas.

No presente trabalho o PDE e o PDA serão tratados ao mesmo tempo, ou seja, será

apresentado um problema de otimização multiobjetivo, em que deseja-se otimizar os custos de

geração de energia e concomitantemente reduzir a emissão de poluentes, os quais são

objetivos conflitantes. Uma vez que não é possível solucionar este problema diretamente,

devido ao conflito entre as funções objetivo, algumas estratégias encontradas na literatura

permitem determinar problemas mono-objetivo, das quais destacamos o método da soma

ponderada e o método ε-restrito, encontrados em Miettinen (1999). Esses métodos

possibilitam a determinação de soluções eficientes para o problema multiobjetivo a partir de

dois problemas mono-objetivo: o primeiro problema, obtido através do método da soma

ponderada, considera na função objetivo a soma balanceada entre as funções objetivo do PDE

e do PDA; o segundo problema, obtido através do método ε-restrito, considera o PDE

2 condicionado a uma restrição ambiental, que corresponde a função objetivo do PDA, limitada superiormente para níveis permissíveis de emissão de poluentes.

Os problemas de despacho econômico e ambiental, assim como as abordagens multiobjetivo envolvendo as estratégias da soma ponderada e do ε-restrito, serão tratados mais detalhadamente no capítulo 4, onde serão apresentados cada um dos problemas e suas características.

A análise de técnicas de solução dos PDE e PDA possibilita a investigação de métodos utilizados na resolução de problemas de programação quadrática.

Dentre estes métodos, podemos citar o método primal-dual de pontos interiores, que utiliza a estratégia de barreira logarítmica e que na prática, tem se mostrado eficiente para a resolução de problemas de programação não-linear. Este método é variante do algoritmo de transformação projetiva de Karmarkar (1984) e foi analisado e apresentado em Monteiro et al.

(1990) e Kojima et al. (1989). A demonstração teórica da complexidade de tempo polinomial foi feita com sucesso por esses autores. O algoritmo relativo a este método explora uma função primal-dual variante da função barreira logarítmica, denominada de função potencial.

Os métodos inseridos na metodologia primal-dual de pontos interiores, foram amplamente investigados em Fang e Puthenpura (1993).

O algoritmo primal-dual de pontos interiores foi desenvolvido utilizando-se de procedimentos baseados na função barreira logarítmica, que foi definida em Frisch (1955) e computacionalmente explorada e divulgada por Fiacco (1968).

Neste trabalho propõe-se uma extensão e aplicação do método primal-dual de pontos interiores para problemas de programação quadrática, o qual baseou-se nos trabalhos de Wright (1997) e Wu e Debs (1994), utilizando-se do procedimento previsor-corretor, apresentado por Mehrotra e Sun (1992), que procura atenuar o esforço computacional requerido pelo método primal-dual de pontos interiores na determinação de direções de busca.

O procedimento previsor-corretor, uma vez inserido no método de resolução, a cada iteração, na fase previsor determina uma direção de busca baseada em uma aproximação de primeira ordem do sistema. Em seguida, na fase corretor, considerando aproximações de segunda ordem a partir das direções obtida pelo procedimento previsor, determinando novas direções de busca numa mesma iteração. Tal método assim como seu algoritmo serão apresentados detalhadamente no capítulo 3.

Em Pereira (2007) é relatado que os métodos de pontos interiores que exploram a

função barreira logarítmica geralmente apresentam bom desempenho computacional em

3 problemas de grande porte de otimização linear. Em contrapartida, de acordo com Murray (1971) e Wright (1997), tais métodos podem apresentar dificuldades computacionais em problemas de otimização não-linear de grande porte devido ao mal condicionamento das matrizes hessianas da função barreira quando o método se aproxima da solução ótima do problema. A introdução da teoria do método de barreira modificada, desenvolvido por Polyak (1992), auxilia o desempenho do método nesse aspecto. Em contraste com a função barreira logarítmica, a função barreira modificada é convexa na vizinhança do ponto ótimo, uma vez que aumenta a região factível tratando esse ponto como um ponto interior dessa região. O problema dual é sempre côncavo, independentemente do problema primal ser ou não ser convexo, e tem importantes propriedades locais próximas à solução.

O procedimento de barreira modificada será acrescentado ao método de resolução dos problemas multiobjetivo modelados através da estratégia ε-restrito, para vários níveis de limites superiores da função ambiental, devido a dificuldade de encontrar uma solução inicial que satisfaça a restrição ambiental, a qual é uma função quadrática, para todos os limites de emissão considerados. Dessa forma as soluções iniciais impostas ao problema poderão ser infactíveis ou muito próximas da fronteira da região factível e mesmo assim o procedimento iterativo do método busca suavemente a solução ótima.

Encontramos na literatura, diversos trabalhos que basearam seus estudos na metodologia de pontos interiores com estratégia de barreira logarítmica e barreira modificada, dentre os quais alguns são relatados a seguir.

1.2 Histórico

Através do método de barreira modificada, Breitfeld e Shanno (1996), desenvolveram métodos para tratar um possível mau condicionamento da matriz hessiana, e introduziram uma nova estratégia, na qual os termos logarítmicos eram extrapolados por aproximações quadráticas. Esse método trouxe avanços significativos na resolução de problemas de otimização linear e não-linear irrestrita.

Yan e Quintana (1997), apresentaram um eficiente método de pontos interiores previsor-corretor aplicado a problemas de despacho econômico com restrição de segurança.

Esses autores melhoraram o desempenho do método previsor-corretor primal-dual barreira

logarítmica, abordando questões como o efeito do parâmetro de barreira, escolha do ponto

inicial e tolerância de convergência, fundamentais para o desempenho do algoritmo.

4 Shanno e Vanderbei (1999) intensificaram esses estudos desenvolvendo um algoritmo variante do algoritmo previsor-corretor para problemas de otimização não-linear e não- convexa, fazendo uma perturbação na matriz hessiana da função lagrangiana, caso esta não seja definida positiva.

Devido ao fato de que os problemas tratados neste trabalho são baseados sempre em funções convexas que operam em regiões convexas, a estratégia de extrapolação, assim como a perturbação na matriz hessiana, que neste caso é sempre definida positiva, não serão explorados.

Utilizando métodos de barreira modificada e função lagrangiana aumentada, Sousa et al. (2006) e Baptista et al. (2006) apresentaram um método de pontos interiores para resolução de problemas não-lineares aplicado a problemas de fluxo de potência ótimo (FPO), no qual obtiveram conclusões a respeito do número de iterações e sobre os parâmetros de barreira.

Coelho e Mariani (2006) propuseram um algoritmo hibrido entre a estratégia evolutiva e o método quase-Newton (EEQN) do tipo BFGS (Broyden-Fletcher-Goldfarb-Shanno) para busca local. Esta proposta de metodologia foi validada em três problemas de despacho econômico de energia elétrica considerando os pontos de válvula. Os sistemas testados consistem de 3, 13 e 40 unidades geradoras.

Arantes et al. (2006) resolveram o mesmo sistema de 40 unidades geradoras para um problema de despacho econômico com pontos de válvula considerado em Coelho e Mariani (2006) através da evolução diferencial (ED), que é uma estratégia evolutiva que tem a vantagem de trabalhar com um número pequeno de indivíduos, reduzindo assim o tempo computacional.

Pereira (2007) abordou um método de barreira modificada/penalidade para a resolução de problemas restritos de otimização gerais, onde as restrições de desigualdade canalizadas são tratadas pela função barreira modificada ou por extrapolação quadrática e as restrições de igualdade através da função lagrangiana, também aplicado a problemas de FPO.

Silva (2007) propôs um esquema para a tomada de decisões na operação de sistemas

de potência, baseado em um despacho econômico ambiental nebuloso, utilizando um modelo

de “FPO nebuloso DC” e este consiste de dois cenários, o ambiental versus o econômico e o

econômico versus a incerteza. Os problemas de sobrecarga em rede e o corte de carga são

também levados em conta. As simulações foram realizadas em sistemas teste e real para

avaliar o esquema proposto.

5 Souza (2010) desenvolveu um método primal-dual previsor-corretor de pontos interiores para tratar o problema clássico de despacho econômico (sem ponto de válvula), baseado no trabalho de Wu e Debs (1994) e Mehrotra e Sun (1992).

Bishe et al. (2011) propuseram um método primal-dual de pontos interiores para resolução de problemas de despacho econômico e ambiental, utilizando a teoria de conjuntos fuzzy para obter um conjunto de soluções não dominantes.

Uma vez que no trabalho proposto iremos comparar os resultados obtidos pelo método PDPI, com procedimento previsor corretor, com a metodologia meta-heurística e bio- inspirada (algoritmos genéticos, genético híbrido co-evolutivo e cultural) encontrados em Samed (2004) e Rodrigues (2007), no que segue apresentaremos alguns trabalhos recentes, inseridos nessa metodologia, que foram utilizados para resolver problemas de despacho econômico e ambiental.

Samed (2004) utilizou um algoritmo Genético Híbrido Co-Evolutivo (AGHCOE) para resolver um problema multiobjetivo de despacho econômico e ambiental. O AGHCOE consiste em duas sub-rotinas distintas: a principal, o algoritmo genético híbrido, que gera indivíduos aleatoriamente e a de controle, o algoritmo co-evolutivo, que fornece parâmetros iniciais para serem utilizados pelo AGH. Tal algoritmo foi testado em um sistema teste de seis geradores.

Chiang e Chai (2007) utilizaram o algoritmo genético (AG) integrado a uma técnica de multiplicador de atualização, introduzido para evitar a deformação da função lagrangiana aumentada. O método foi aplicado a problemas de despacho econômico considerando a emissão e obteve-se bons resultados e tempo computacional reduzido.

Bharathi et al. (2007), fizeram uma combinação do AG com a heuristica “ant colony”, inspirada pela observação dos comportamentos de colônias de formigas, este método foi desenvolvido para fornecer um meio de comparação com o AG. Os métodos propostos foram testados e aplicados em uma rede de sistema de energia de um problema de despacho econômico e ambiental e os resultados experimentais de ambos os métodos são comparados com as soluções encontradas na literatura.

Rodrigues (2007) implementou um algoritmo híbrido utilizando o algoritmo cultural,

baseados no processo de evolução cultural da humanidade, e o algoritmo genético para

resolver problemas de despacho econômico e ambiental, utilizando problemas testes de seis e

treze unidades geradoras.

6 Alsumait et al. (2009) apresentaram um algoritmo híbrido para a resolução de problemas de despacho econômico com ponto de válvula, composto pelo algoritmo genético como otimizador principal, enquanto utiliza a busca padrão e a programação sequencial quadrática para refinar os resultados, mostrando a eficiência de tal abordagem através de sistemas testes.

Sonmez (2011) apresentou um algoritmo denominado “artificial bee colony”, inspirado pelos processos de vida e comportamentos de abelhas em uma colônia. O problema de otimização multiobjetivo de despacho econômico e ambiental foi tratado neste trabalho usando o fator de penalidade de custo.

1.3 Organização do trabalho

Neste trabalho apresentamos um método primal-dual de pontos interiores com procedimento previsor corretor para resolver problemas de programação quadrática, com restrições lineares, e variáveis canalizadas, baseado nos trabalhos de Souza (2010), Kojima et al. (1989), Mehrotra e Sun (1992), Wright (1997) e Wu e Debs (1994), para aplicação ao problema resolvido através do método da soma ponderada, a ser detalhado na seção 4.3.1.

Desenvolvemos uma extensão do método primal-dual de pontos interiores para resolver problemas de programação quadrática, com restrições lineares e restrições quadráticas, com variáveis canalizadas, para aplicação ao problema ε-restrito com uma única restrição ambiental, a ser visto na seção 4.3.2.1, bem como explorar a função barreira logarítmica modificada baseando-se em Polyak (1992), Pereira (2007), Baptista et al.(2006) e Sousa et al.(2006), para a resolução do problema ε-restrito com uma restrição ambiental para cada unidade geradora, a ser visto na seção 4.3.2.2.

Utilizamos o método previsor-corretor, apresentado por Mehrotra e Sun (1992) e Wu e Debs (1994), procurando diminuir o esforço computacional na determinação de direções de busca e realizando apenas a busca unidimensional relativa à não-negatividade das variáveis, com o objetivo de garantir a convergência do método de pontos interiores, determinando o comprimento do passo na direção obtida a cada iteração.

Esses métodos, com todas as suas particularidades, foram testados e implementados

em linguagem computacional utilizando o software Borland C++ Builder 6.0 e aplicados ao

problema da soma ponderada e problema ε-restrito, relacionados ao problema multiobjetivo

de despacho econômico e ambiental, desconsiderando os pontos de válvula do sistema,

7 determinando resultados eficientes para o custo dos combustíveis empregados na geração termoelétrica de energia, e para a emissão de poluentes.

Os métodos foram aplicados em um problema teste de seis unidades geradores, cujos dados podem ser encontrados em Samed (2004), Rodrigues (2007) e Souza (2010), bem como para o problema de despacho econômico e ambiental, relativo ao caso de 40 geradores, encontrado em Arantes et al. (2006) e Coelho e Mariani (2006). Ressalta-se que, para este problema os dados utilizados para a função de emissão foram obtidos randomicamente, já que, estes não são apresentados na ampla bibliografia sobre problemas de despacho econômico e ambiental.

O trabalho desenvolvido é apresentado de acordo com o que segue. No capítulo 1, é apresentada uma introdução a respeito dos métodos e dos problemas, a serem investigados, através de uma análise do estado da arte desses temas e a apresentação da metodologia de trabalho, através dos objetivos que motivaram essa pesquisa, além da presente organização do trabalho.

No capítulo 2, a formulação dos problemas de minimização restritos e as teorias de otimização necessárias para o desenvolvimento de métodos de pontos interiores são apresentadas.

No capítulo 3, apresentamos o método primal-dual de pontos interiores assim como seu algoritmo, os procedimentos previsor-corretor utilizados na determinação de direções de busca e comprimento de passo nessa direção, respectivamente. Um algoritmo geral é desenvolvido na seção 3.1 para aplicação ao problema gerado através do método ε-restrito com uma única restrição ambiental para todo o sistema de geração, e na seção 3.2, um algoritmo simplificado é desenvolvido para a aplicação ao problema gerado através do método da soma ponderada, que não apresenta restrições quadráticas. Uma estratégia de barreira modificada é apresentada na seção 3.3 para aplicação do método primal-dual previsor-corretor barreira logarítmica modificada (PDPCBLM) ao problema gerado através do método ε-restrito com uma restrição ambiental para cada unidade geradora do sistema de geração.

No capitulo 4 introduzimos os modelos de despacho econômico e ambiental,

definimos o modelo multiobjetivo de despacho econômico e ambiental e apresentamos as

estratégias utilizadas para a determinação de soluções eficientes deste, baseadas em

problemas mono-objetivos variantes dos métodos da soma ponderada e ε-restrito.

8 No capítulo 5 apresentamos os resultados da aplicação do método primal-dual de pontos interiores nos problemas estudados no capítulo anterior para um problema teste de 6 unidades geradoras e para um outro problema teste, de maior dimensão, com 40 unidades geradoras. A análise dos resultados obtidos é feita comparando-os com outros algoritmos encontrados na literatura.

No capítulo 6 fazemos a conclusão do trabalho desenvolvido apontando as possibilidades de continuidade em trabalhos futuros.

As referências bibliográficas nas quais nos baseamos para a realização deste trabalho

encontram-se no capítulo 7.

9 ___________________________________________________________________________

Capítulo 2 – OTIMIZAÇÃO

Equation Chapter 2 Section 2 Os problemas de otimização são problemas de programação matemática que buscam a melhor solução possível para uma determinada função, denominada de ‘função objetivo’, através da escolha sistemática dos valores de variáveis dentro de um conjunto de soluções factíveis. Tais problemas são encontrados em diversas áreas do conhecimento, muitos deles podem ser modelados como problemas de maximização ou minimização de uma função cujas variáveis devem obedecer a certas restrições de igualdade ou desigualdade, representadas abaixo pelo conjunto X de soluções factíveis formado através destas restrições:

( ) ( )

Minimizar Maximizar f x

x X ^(2.1)

Os modelos matemáticos deste tipo são denominados problemas de otimização restritos. De acordo com as características da função objetivo e das restrições, os problemas de otimização podem ser classificados como problemas de programação linear, quando a função objetivo assim como as restrições são funções lineares, ou problemas de programação não-linear, quando pelo menos uma das funções envolvidas no problema (função objetivo ou restrições) é uma função não linear.

Conseguir soluções para estes problemas, sejam elas ótimas ou aproximadas, muitas vezes exige grande esforço computacional que pode ser amenizado com a utilização de bons métodos de resolução, sobretudo os que possam resolver problemas de grande porte, independente da quantidade de restrições ou de variáveis e demais características das funções.

A maioria dos métodos determinísticos clássicos baseiam-se em regiões factíveis convexas. Caso a região delimitada pelas restrições do problema seja não-convexa tais métodos podem convergir para uma solução ótima local ou um ponto de sela, e dessa forma a solução ótima global do problema não é assegurada.

Os estudos relacionados aos métodos para otimização numérica de muitas variáveis

iniciaram-se na década de 40, após a segunda grande guerra mundial, devido à dificuldade

encontrada na ocasião em alocar recursos escassos. Desenvolveu-se o método simplex para

problemas de programação linear. O método simplex se mostrou eficiente e passou a ser

aplicado em empresas que pela necessidade de crescimento econômico deparavam-se com

10 problemas de decisão bastante complexos. A partir de então, os métodos de programação não linear foram desenvolvidos, a principio, limitado a pequenas dimensões. Apenas no final da década de 50 surgiram métodos de maior eficiência capazes de resolver problemas não lineares de muitas variáveis.

Uma das classes de métodos de otimização é denominada de métodos de pontos interiores. Estes métodos determinam a solução ótima global do problema, através de pontos interiores à região factível. Os métodos de pontos interiores têm sido amplamente investigados e utilizados na resolução de problemas de programação linear, quadrática e não- linear, com bom desempenho em problemas de grande dimensão.

A estratégia de pontos interiores, introduzida por Frisch (1955) e por Carrol (1961), foi intensificada por Karmarkar (1984) quando este publicou o método projetivo para programação linear. A partir do desenvolvimento do método de Karmarkar, foram apresentados diversos métodos variantes, entre os quais podemos citar o método primal-afim, utilizado em programação linear com restrições de igualdade, proposto por Barnes (1984) e por Vanderbei et al. (1984); o algoritmo dual-afim proposto por Adler et al. (1989) para programação linear com restrições de desigualdade.

O aperfeiçoamento do método com a incorporação da função barreira logarítmica ao problema de programação linear, originaram os métodos de trajetória central, bem como ao algoritmo primal-dual de pontos interiores proposto por Monteiro et al.(1990) e também por Kojima et al. (1989), os quais exploram uma função potencial primal-dual variante da função barreira logarítmica e o método da barreira logarítmica primal-dual previsor-corretor.

Destaca-se ainda a teoria de métodos da função barreira modificada desenvolvida por Polyak (1992). Estes métodos combinam as melhores propriedades da função lagrangiana clássica e da função barreira clássica, evitando os problemas que ambas enfrentam.

2.1 Multiplicadores de Lagrange

Considere o seguinte problema geral de minimização com m restrições de igualdade:

( )

( ) _i 0, 1, 2,..., Minimizar f x

Sujeito a h x i m (2.2)

em que: x ^{n n} e m < n

O objetivo do problema é encontrar o ponto ótimo x* que minimize a função ( ) f x

11 condicionada às restrições de igualdade do problema.

A estratégia dos multiplicadores de Lagrange consiste em determinar um problema equivalente ao problema (2.2), associando a cada uma das restrições um multiplicador de lagrange que irá penalizar a restrição na função objetivo, obtendo-se um novo problema, irrestrito e dependente desses multiplicadores. Cada restrição h x _i ( ) será associada, portanto, a um multiplicador _i ^{, i 1, 2,..., m} . O problema agora está em minimizar essa nova função objetivo ( , ) L x denominada de função Lagrangiana e definida por:

1

( , ) ( ) ^m _{i i} ( )

i

Minimizar L x f x h x

(2.3)

A solução do problema (2.3), agora irrestrito, pode ser obtida aplicando as condições necessárias de otimalidade.

1

0

m

x x i x

i

L f h

^(2.4)

( ) 0, 1, 2,...,

L h x i i m

(2.5)

O sistema gerado através dessas equações nos permitirá encontrar o ponto ótimo

* *

( x , ) . Uma vez que trata-se de um sistema quadrado de m+n equações e m+n incógnitas o método de Newton pode ser utilizado para a resolução, o qual será apresentado no próximo capítulo. A segunda condição corresponde as restrições de igualdade do problema original, que uma vez satisfeitas tornam o problema (2.3) equivalente ao problema (2.2), ou seja, o ponto x ^* que minimiza a função ( , ) L x também minimiza a função ( ) f x .

2.2 Problemas de Otimização com Restrições de Desigualdade

O teorema de Karush-Kuhn-Tucker (KKT) fornece um conjunto de condições necessárias para tratar as restrições de desigualdade.

Considere o seguinte problema de minimização com m restrições de desigualdade:

( )

( ) _i 0, 1, 2,..., Minimizar f x

Sujeito a g x i m (2.6)

em que: x ^{n n} e m < n.

Analogamente a seção 2.1, associaremos às restrições g x _i ( ) os multiplicadores de

Lagrange _i , i 1, 2,..., m , obtendo assim a função objetivo ( , ) L x . As condições

12 necessárias de otimalidade de KKT são as que seguem:

* *

* *

* *

*

( , ) 0

( , ) 0

( ) ( ) 0

0

x

T

L x L x

g x

(2.7)

em que: ^{m m} .

Considere o seguinte problema de minimização com m restrições de igualdade e r restrições de desigualdade:

( )

( ) 0, j 1, 2,..., ( ) 0, 1, 2,...,

j i

Minimizar f x

Sujeito a h x r

g x i m

(2.8)

em que: x ^{n n} e m+r< n.

Temos o seguinte problema irrestrito equivalente:

1 1

( , , ) ( ) ^r _{j j} ( ) ^m _{i i} ( )

j i

Minimizar L x f x h x g x

^(2.9)

As condições de otimalidade para um ponto x ^* são dadas por:

* * *

( , , ) 0

x L x

^(2.10)

* * *

( , , ) 0

L x

^(2.11)

* * *

( , , ) 0

L x

^(2.12)

*

*

( ) 0 0

j j j

g x

^(2.13)

em que: ^{r r e m m} .

2.3 Métodos Determinísticos de Otimização

Um método de resolução de problemas de otimização é denominado determinístico

quando é possível prever todos os passos deste a partir de um ponto de inicial conhecido,

através das derivadas parciais (gradiente) da função objetivo, quando considera-se que esta é

contínua e diferenciável para x ϵ X.

13

2.3.1 Método dos Gradientes

O método dos gradientes é baseado na derivada de primeira ordem da função objetivo.

O procedimento iterativo caminha na direção contrária do vetor gradiente da função objetivo de um problema de minimização.

O novo ponto é calculado pela expressão:

1 ( )

k k K k

x x f x (2.14)

Este método é simples e constantemente explorado na literatura, apesar da apresentar problemas computacionais, como o efeito zigue-zague, que faz aumentar demasiadamente o tempo computacional para obtenção da solução ótima (Bazzaraa et al. (1993)). Na prática, um método mais eficaz do que o método dos gradientes, para a resolução de problemas de programação não linear, é o método de Newton, que é apresentado a seguir, bem como métodos variantes deste, denominados de Quasi-Newton, que não serão explorados neste trabalho.

2.3.2 Métodos de Newton

O método de Newton busca os pontos extremos de funções contínuas com as duas primeiras derivadas contínuas.

O novo ponto é calculado pela expressão:

1 2 ( ) 1 ( ), 1, 2,

k k k k

x x f x f x k ^(2.15)

A equação (2.15) pode ser reescrita utilizando a notação da matriz hessiana H x ( ) :

1 1

( ) ( ), 1, 2,

k k k k

x x H x f x k ^(2.16)

em que H x ( ) armazena os valores das derivadas parciais de segunda ordem de ( ) f x .

Este método será explorado no capítulo 3, quando apresentaremos o método primal- dual de pontos interiores, mas não em sua forma clássica, ou seja, ele é utilizado explorando- se a esparsidade da matriz hessiana obtida pelo sistema Newton gerado para a busca de direções do método abordado no capítulo 3.

2.4 O Método de Barreira

Dado um problema de otimização com r restrições de desigualdade:

i

Minimizar f ( x )

Sujeito a g ( x ) 0;i 1,2,...,r (2.17)

14 Os métodos de barreira nos levam a um problema equivalente ao problema (2.17), porém irrestrito, onde as restrições de desigualdade são incorporadas a função objetivo através de uma função de barreira B(x ) , penalizadas por um fator de barreira associado a cada uma das restrições.

Obtêm-se, desta forma, o seguinte problema irrestrito:

Minimizar f ( x ) B( x ) (2.18)

em que: 0 é denominado fator de barreira, e B( x ) é uma função barreira não-negativa e contínua no interior da região viável { x; g ( x ) _i 0 } e que tende ao infinito à medida que a solução se aproxima da fronteira, a partir do interior. Esse método impede que os pontos interiores a região factível aproximem-se da fronteira e também impedem a obtenção de pontos infactíveis, a medida que a condição de complementaridade B(x ) 0 seja respeitada.

Dessa forma, caso não seja possível encontrar uma solução ótima para o problema, sempre teremos uma solução factível. A função barreira pode assumir várias formas, como, veremos a seguir.

2.4.1 Método de Barreira Clássica

A função a barreira, apresentada em (2.19), é denominada barreira clássica ou inversa e foi estudada por Carrol (1961).

r c

i 1 i

B ( x ) 1

g ( x )

^(2.19)

Quando 0 e B ( x ) _c , temos que B (x _c ) se aproxima da função barreira ideal, descrita anteriormente, e a solução do problema de barreira (2.18) converge para a solução do problema (2.17).

Para inicialização do método de barreira é necessário a seleção de um ponto inicial

factível, o que pode ser trabalhoso em alguns casos. Existem técnicas para a determinação de

pontos factíveis iniciais. Além dessa dificuldade, pode haver um mau condicionamento do

sistema de direções de busca e erros de arredondamento na vizinhança do ponto ótimo, devido

a escolha de fatores de barreira muito pequenos.

15

2.4.2 Método de Barreira Logarítmica

Uma importante função utilizada como função barreira é a barreira logarítmica apresentada por Frisch (1955), que penaliza as restrições de desigualdade g i (x), do problema (2.17), incorporando-as à função objetivo através de um termo logarítmico:

r

l i

i 1

B ( x ) ln g ( x )

^(2.20)

Uma vez que temos uma solução inicial interior à região factível e o método trabalha com pontos interiores a essa região, ao penalizar os pontos que se aproximam da fronteira impedimos que eles saiam da região e as restrições podem ser ignoradas. O algoritmo do método de barreira logarítmica pode ser encontrado em Souza (2010).

2.4.3 Método de Barreira Modificada

A teoria dos métodos da função barreira modificada desenvolvida por Polyak (1992) transforma o problema restrito (2.17) em um problema equivalente irrestrito, baseando-se em uma função Lagrangiana barreira modificada. Para um melhor entendimento do método e de suas propriedades descreve-se um método de barreira modificada em sua forma geral, para o problema (2.17).

Seja o seguinte problema de otimização não-linear cujas varáveis de folga z _i das restrições de desigualdades foram perturbadas em μ:

i i

i

Minimizar f ( x )

Sujeito a h ( x ) z 0;i 1,2,...,r z

^(2.21)

Inicialmente observa-se que a restrição relaxada z _i pode ser reescrita da seguinte maneira:

1

i i i i

z z 0 z z 1 0 (2.22) O método de barreira modificada é transformado o problema (2.21) no seguinte problema de otimização não-linear irrestrito (2.23):

Minimizar f ( x ) B ( x ) m (2.23)

em que: B ( x ) _m é a função barreira modificada definida por:

r

m i i

i 1

B ( x ) ( z ( x ))

^(2.24)

16 em que:

i é denominado estimador do multiplicador de Lagrange referente à variável z _i relaxada;

( z ( x )) i

é uma função estritamente convexa tal que, deve satisfazer as seguintes condições:

( ( )) 0, se z 0 ( ( ))

lim

i

i i

i z

z x z x

(2.25)

A função barreira utilizada nesse trabalho foi sugerida por Polyak (1992) e é denominada por função barreira logarítmica modificada, definida em (2.26):

1

( ( )) ln( ( ))

r

i i

i

z x z x

^(2.26)

A função barreira modificada e suas derivadas existem na solução x* para qualquer μ>

0. Se δ* é o vetor dos multiplicadores de Lagrange correspondente a x* com a função barreira apresentada em (2.26), então o problema (2.23) tem as seguintes condições necessárias e suficientes de otimalidade para qualquer > 0:

i) f ( x*) B ( x*) _m f ( x*) ; ii) f ( x*) B ( x*) _m 0 ;

iii) f ( x*) ^{2 2} B ( x*) _m é definida positiva.

A atualização dos parâmetros de barreira segue a condição necessária de otimalidade dada por:

1

1

' 0

' 0

r i

i i

i r

i i i

i

f x z x h x

f x z x h x

(2.27)

Assim, se x ^k x * dentro de uma região convexa devemos ter também, pela condição de dualidade, que ^k * , portanto, cada componente do vetor estimador dos multiplicadores de Lagrange deve ser atualizado conforme a regra abaixo:

1 '

k k k

i i z i x

^(2.28)

O problema de otimização não-linear barreira logarítmica modificada é dado por:

r

i i 1

Minimizar f ( x ) ln z

(2.29)

17 Para a atualização dos estimadores e de suas respectivas direções, Polyak (1992) definiu uma equação definida a seguir em (2.30):

1

k k

k i i

i k k

i z i

(2.30)

que será explorada na seção 3.3 do capítulo 3.

2.4.4 Dificuldades Computacionais

O desenvolvimento dos métodos de barreira depende do tamanho do passo para a atualização das variáveis. Se o critério de parada não for bem fundamentado o processo iterativo pode consumir maior tempo computacional.

A escolha do parâmetro de barreira inicial e a forma de atualização também interfere no procedimento iterativo. A determinação deste parâmetro e a forma de atualização deste serão vistas na seção 3.1.3 do capítulo 3, para os dois casos abordados, o de barreira logarítmica e o de barreira modificada.

Através dos conceitos vistos no presente capítulo, no capítulo 3 são desenvolvidos os

métodos previsor-corretor primal-dual de pontos interiores, considerando um problema de

programação quadrática convexa com variáveis canalizadas, em uma abordagem geral para

restrições quadráticas e lineares, em uma abordagem simplificada apenas com restrições

lineares, e ainda, uma formulação considerando restrições quadráticas e lineares com a

utilização da estratégia de barreira modificada.

18 ___________________________________________________________________________

Capítulo 3 – MÉTODO PRIMAL-DUAL PONTOS INTERIORES

Equation Chapter 3 Section 3 Neste capítulo introduziremos o método primal-dual de pontos interiores,sua teoria, algoritmo e implementação computacional.

O algoritmo primal-dual de pontos interiores foi desenvolvido utilizando-se de procedimentos baseados na função barreira logarítmica de Frisch (1955). Megiddo (1989) forneceu uma análise teórica para o método de barreira logarítmica e propôs uma estrutura primal-dual, através da qual Kojima et al. (1989) apresentaram um algoritmo primal-dual de tempo polinomial para problemas de programação linear. Estes mostraram que seu algoritmo convergia em O (nL ) iterações exigindo O ( n ³ ) operações aritméticas por iteração. Monteiro e Adler (1989) melhoraram o algoritmo primal-dual para convergir em O ( n L ) iterações com

) ( n ^{2 . 5}

O operações aritméticas, exigidas por iteração, resultando num total de O ( n ³ L ) operações aritméticas, apresentado a seguir.

No que segue, apresentaremos um método primal-dual previsor-corretor barreira logarítmica (PDPCBL), para um problema geral de programação de não-linear convexa e particularizado para o caso de programação quadrática convexa, que será aplicado a um problema de despacho econômico e ambiental, resolvido através da estratégia ε-restrito (4.11), o qual será apresentado na seção 4.3.2.1 do capítulo 4.

3.1 Considerações para o Algoritmo PDPCBL Geral

Considerando um problema de minimização em uma formulação geral, com restrições de igualdade e desigualdade e variáveis canalizadas, expresso por:

1 2

( ) ( ) 0;

( ) ; ; Minimizar f x

Sujeito a g x h x u l x l

^(3.1)

em que: x ^{n n n n} , , , g g g ^{m m m m m} , , , , h h h ^{r r} . .

19 No problema (3.1) adicionamos as variáveis de folga e excesso,

1 ^r , 2 ⁿ , 3 ⁿ

z z 2 2 2 z 3

r n n

2 2

2 3

r n n

z _{2 2 2 2} z , e representamos a positividade das mesmas na função objetivo através do método de barreira logarítmica:

1 2 3

1 1 1

1

2 2

1 3

( ) ln( ) ln( ) ln( )

( ) 0;

( ) 0;

0;

0;

r n n

j j j

j j j

Mininimizar f x z z z

Sujeito a g x

h x z u x z l l x z

(3.2)

em que: 0 é um parâmetro de barreira ou de centragem.

O método primal-dual é definido para uma função irrestrita, portanto transformamos o problema (3.2) em um problema irrestrito através dos multiplicadores de Lagrange

0 , 1 , 2 , 3

, relacionados às restrições de igualdade deste problema, obtendo um problema equivalente dado pela minimização da função L a seguir:

1 2 3

1 1

0 1 1

1 1

2 2 2 3 1 3

1

( ) ln( ) [ln( ) ln( ) ]

( ) [ ( )] ( ) [ ( ) ( ) ( ) ]

( ) [( ) ( ) ( ) ] ( ) [ ( ) ( ) ( ) ]

r n

j j j

j j

m r

j j j j j j

j j

n

j j j j j j j j

j

Minimizar L f x z z z

g x h x u z

x l z x l z

(3.3)

A função L foi formulada através de procedimentos de barreira logarítmica e multiplicadores de Lagrange e recebe o nome de lagrangiana barreira logarítmica. Ao problema irrestrito (3.3) aplicamos as condições necessárias de otimalidade de Karush-Kuhn- Tucker (KKT):

0 ) , , , , , , ,

( _{1 2 3 0 1 2 3}

^{L x z z z (3.4)}

As componentes do vetor L são derivadas parciais de primeira ordem sobre todas as variáveis da função L.

0 1 2 3

( ) ( ) ^t ( ) ^t

x L f x g x h x

(3.5)

¹

1

1 1 1 1

z L Z e I ^(3.6)

²

1

2 2 2 2

z L Z e I

^(3.7)

³

1

3 2 2 3

z L Z e I ^(3.8)

20

0

L g x ( )

(3.9)

¹

L h x ( ) z ¹ u (3.10)

²

L x z ² l ² (3.11)

³

L x z ³ l ¹ (3.12)

em que:

x x

1 ^{r r} , 2 e 3 ^{n n}

Z ^x Z 2 2 2 Z 3 ^x

r x r n x n

r x r

Z 3 2 e 3 2 2 r r

e são matrizes diagonais, cujos elementos diagonais são

z ¹ i ^, z ² i ^, z ³ i , respectivamente;

x x

1 ^{r r} , 2 ^{n n}

I ^x I 2 ^x

r x r n x n r x r I 2 ₂

r r

são matrizes identidade;

1 [1,1,....,1] ^r , 2 [1,1,...,1] ⁿ e ^r , , e 2 _{2 2 2 2} [1,1,...,1] [1 1 [1,1,...,1] [1 1 1] 1] ⁿ .

Dessa forma a condição (3.4) é representada pelo seguinte sistema não-linear:

f x ( ) g x ( ) ^{t 0} h x ( ) ^{t 1 2 3} 0 (3.13)

( ) g x 0 (3.14)

h x ( ) z ¹ u 0 (3.15)

x z ² l ² 0 (3.16)

x z ³ l ¹ 0 (3.17)

Z ¹ ! ¹ e e ¹ 0 (3.18)

Z ² ! ² e e ² 0 ^(3.19)

Z ³ ! ³ e e ² 0 (3.20)

em que: ! ₁ ^{r x x r} , ! ₂ 2 2 2 e ! ₃ 3 ^{n x x n}

r x r n x n

!

2 e 3 2 2 r x r

e são matrizes diagonais, cujos elementos diagonais são:

¹ i ^{, 2} j ^{, 3} j ^{, 1,...,} _1,...,

i r

j n

, respectivamente.

Suponhamos que em uma iteração k o ponto r ^{( ) k} ( , x z ^k ₁ ^k , z ₂ ^k , z ₃ ^k , ₀ ^k , ₁ ^k , ₂ ^k , ₃ ^k ) satisfaça o sistema anterior. A definição do novo ponto r ^(k+1) depende diretamente das direções de movimento e comprimento de passo nesta direção, determinado por:

1

k k k

P x

x x " d (3.21)

1

1

1 1

k k k

P z

z z " d (3.22)

2

1

2 2

k k k

P z

z z " d (3.23)