Uma estação de trens é constituída por dois galpões cujas fachadas têm a forma de dois semicírculos que se tangenciam, conforme a figura a seguir.

(1)

Utilize as informa¸c˜oes a seguir para as quest˜oes 1 e 2.

Uma esta¸cão de trens é constitu´ıda por dois galpões cujas fachadas têm a forma de dois semic´ırculos que se tangenciam, conforme a figura a seguir.

Terminal 1 Terminal 2

Os raios dos semic´ırculos das fachadas dos terminais 1 e 2 medem, respectivamente, 30m e 20m. Uma empresa est´a fazendo um estudo para instalar um sistema de ar condicionado nos galp˜oes.

1. Para dimensionar o sistema de renova¸cão do ar, uma das informa¸cões necessárias é o volume total dos galpões, que têm a forma de semicilindros. Se a distância entre as fachadas e os fundos é 100 metros, esse volume é aproximadamente igual a

(a) 50.000m³ (b) 100.000m³

(c) 150.000m³ (d) 200.000m³ (e) 250.000m³

2. Para diminuir o impacto da insola¸c˜ao, pretende-se instalar um telhado tangenciando os dois terminais conforme indicado pela linha tracejada na figura. A medida do telhado, correspondente ao comprimento dessa linha tracejada, ´e igual a

(a) 60√ 3m (b) 60√

2m (c) 30√

2m (d) 20√

3m (e) 20√

6m

Os analistas respons´aveis pelas estrat´egias comerciais de uma grande rede de lojas propuseram a seguinte regra para conceder descontos aos clientes:

p(v) =







0,90v , sev≤100 0,80v , se 100< v≤200 0,70v , sev >200

,

em que v é o soma dos valores marcados nos produtos que o cliente comprar e p(v) é o pagamento que o cliente deverá fazer no caixa, com desconto sobre essa soma.

(2)

3. Dois clientes passaram pelo caixa e pagaram R$90,00, mas os valores totais das compras deles antes de ser aplicado o desconto eram diferentes. A diferen¸ca entre esses valores totais ´e de

(a) R$12,50.

(b) R$15,00.

(c) R$17,50.

(d) R$20,00.

(e) R$22,50.

4. O departamento de marketing precisa criar uma tabela para comunicar as condi¸c˜oes dos descontos para os clientes. Das op¸c˜oes abaixo, aquela que explica corretamente a regra proposta pelos analistas

´e

(a)

Se o valor da sua compra ´e... ...seu desconto ´e de...

menor do que R$100,00 90%

menor do que R$200,00 e maior ou igual a R$100,00 80%

maior ou igual a R$200,00 70%

(b)

menor ou igual a R$100,00 90%

menor ou igual a R$200,00 e maior do que R$100,00 80%

maior do que R$200,00 70%

(c)

menor do que R$100,00 10%

menor do que R$200,00 e maior ou igual a R$100,00 20%

maior ou igual a R$200,00 30%

(d)

(e)

5. O grˆemio de uma faculdade convidou os alunos do primeiro semestre para uma atividade de integra¸c˜ao.

Eles contaram os calouros presentes e tentaram agrupá-los de forma que todos os grupos tivessem a mesma quantidade de pessoas, mas não havia maneira de fazê-lo, pois não queriam apenas uma pessoa por grupo e nem um único grande grupo. Pode-se concluir que a quantidade de calouros era necessariamente um número

(a) par.

(b) quadrado perfeito.

(c) primo.

(d) menor do que 300.

(e) maior do que 50.

(3)

6. O gr´afico a seguir mostra os resultados de uma pesquisa sobre o governo brasileiro.

(Fonte: http://g1.globo.com/politica/noticia/2013/08/avaliacao-de-dilma-sobe-de-31-para-38-diz-ibope.html) A maior varia¸c˜ao positiva, em pontos percentuais, entre dois meses consecutivos ocorreu

(a) na op¸c˜ao “regular” entre os meses de mar¸co e junho.

(b) na op¸c˜ao “ruim/p´essimo” entre os meses de junho e julho.

(c) na op¸c˜ao “´otimo/bom” entre os meses de junho e julho.

(d) na op¸c˜ao “regular” entre os meses de julho e agosto.

(e) na op¸c˜ao “ruim/p´essimo” entre os meses de julho e agosto.

O gráfico a seguir representa a quantidade diária de pessoas (q) atendidas em um hospital público com os sintomas de um novo tipo de gripe, a gripe X, em fun¸cão do tempo (t), em meses, desde que se iniciou um programa de vacina¸cão para este tipo de gripe na cidade do hospital.

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 1100

1200 (n´umero de atendidos por dia)

(4)

7. A prefeitura da cidade fará uma campanha publicitária com frases que pretendem ressaltar os aspectos positivos da vacina¸cão. Das op¸cões abaixo, aquela que informa corretamente o que o gráfico mostra

´e

(a) “Em um ano de vacina¸c˜ao, a quantidade di´aria de atendimentos a pessoas com a gripe X caiu de 1.000 para 10!”

(b) “A cada trˆes meses, a quantidade de pessoas que chega todos os dias ao hospital com a gripe X cai pela metade!”

(c) “O n´umero de atendimentos di´arios no hospital a pessoas com a gripe X diminui em 400 a cada 4 meses!”

(d) “A cada mês, chegam ao hospital 100 pessoas a menos por dia, em rela¸cão ao mês anterior, com os sintomas da gripe X.”

(e) “Entre o 3ô e o 6ô mês do programa de vacina¸cão, 250 pessoas foram vacinadas contra a gripe X diariamente no hospital.”

8. Das fun¸cões a seguir, aquela que melhor representa a rela¸cão proposta no gráfico é (a) q(t) = 1000·2⁻¹³^t.

(b) q(t) = 500·2⁻³^t. (c) q(t) = 1000·2¹³^t. (d) q(t) = 500·log2(3t).

(e) q(t) = 1000·log2

1 3t

.

9. Para ilustrar a afirma¸c˜ao“Se beber, n˜ao dirija.” umdesigner criou a seguinte imagem:

8 .

Interprete as imagens a seguir, constru´ıdas a partir do mesmo racioc´ınio utilizado pelodesigner:

. 8

8 .

As afirma¸cões que melhor representam essas imagens são, respectivamente, (a) “Se dirigir, beba.”e “Se não dirigir, durma.”

(b) “Se n˜ao dirigir, beba.” e“Se dirigir, n˜ao durma.”

(c) “Se n˜ao dirigir, beba.” e“Se n˜ao dirigir, durma.”

(d) “Se dirigir, beba.”e “Se dirigir, n˜ao durma.”

(e) “Se n˜ao dirigir, beba.” e“Se dirigir, durma.”

(5)

10. As quantidades de ra´ızes reais dos polinˆonios p(x) =x⁴+ 10, q(x) = 10x²+ 1 e r(x) =p(x)−q(x) s˜ao, respectivamente,

(a) 0, 0 e 4.

(b) 4, 0 e 4.

(c) 0, 2 e 2.

(d) 4, 2 e 2.

(e) 4, 2 e 4.

11. Uma pizzaria vende pizzas circulares com 32cm de diâmetro, divididas em 8 peda¸cos iguais. O dono do estabelecimento pensou em criar uma pizza de tamanho maior, a ser dividida em 12 peda¸cos iguais, de modo que a área de cada um deles seja igual à área de um peda¸co da pizza menor. Para isso, o diâmetro da pizza de 12 peda¸cos deve ser aproximadamente igual a

(a) 36cm.

(b) 40cm.

(c) 44cm.

(d) 48cm.

(e) 52cm.

12. O número de solu¸cões reais da equa¸cão log2(x²+ 1)²

−34 log2(x²+ 1) + 64 = 0

´e (a) 1.

(b) 2.

(c) 3.

(d) 4.

(e) 5.

(6)

13. As vendas de ingressos para um grande evento esportivo ocorreram durante dois meses. O gr´afico a seguir representa as vendas di´arias, em milhares de unidades, durante este per´ıodo.

0 10 20 30 40 50

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55

Das op¸cões a seguir, aquela que melhor representa o total (acumulado) de ingressos vendidos até cada dia do per´ıodo de vendas é

(Obs.: os gráficos das alternativas estão em uma escala diferente do gráfico acima.) (a)

0 200 400 600 800 1000

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55

(b)

0 200 400 600 800 1000

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55

(c)

0 200 400 600 800 1000

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55

(d)

0 200 400 600 800 1000

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55

(e)

0 200 400 600 800 1000

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55

(7)

14. O esquema a seguir representa a hierarquia dos executivos de uma grande empresa. As liga¸cões de uma pessoa com outra(s) abaixo dela representam rela¸cões de subordina¸cão. Por exemplo, o presidente da empresa, no topo do esquema, tem 4 pessoas subordinadas diretamente a ele. Dessas 4 pessoas, uma não tem subordinados (à esquerda), e as outras têm, respectivamente (da esquerda para a direita), quatro, um e três subordinados.

R$3.000,00 R$4.000,00 R$3.000,00 R$4.000,00 R$5.000,00 R$3.000,00 R$3.000,00 R$6.000,00 R$5.000,00 R$6.000,00 R$3.000,00

R$8.000,00 R$9.000,00 R$7.000,00

R$12.000,00

Os valores indicados nos retângulos abaixo de cada pessoa são os salários mensais dessas pessoas. A pol´ıtica de salários da empresa estabelece que:

• uma pessoa n˜ao pode ganhar mais do que a metade da soma dos sal´arios de seus subordinados, se tiver dois subordinados ou mais;

• uma pessoa que s´o tem um subordinado n˜ao pode ganhar mais do que o dobro desse subordinado.

De acordo com essas regras, o salário máximo que o presidente pode ter é (a) R$25.250,00.

(b) R$26.500,00.

(c) R$27.750,00.

(d) R$29.000,00.

(e) R$30.250,00.

(8)

15. Observe o mosaico a seguir.

As pe¸cas que foram usadas para constru´ı-lo s˜ao identicas e tˆem a forma a seguir.

a b

c

A rela¸c˜ao entre as medidasa,be c´e (a) a= 2b e b=c√

2.

(b) a=b√

3 eb=c√ 2.

(c) a= 3b e b=c.

(d) a= 2b e b=c.

(e) a=b√

3 eb= 2c.

(9)

A tabela a seguir apresenta a distribui¸c˜ao das notas dos alunos de uma disciplina da faculdade de Administra¸c˜ao nas duas provas realizadas por eles.

Nota Prova 1 (quantidade de alunos) Prova 2 (quantidade de alunos)

4 10 5

5 10 5

6 25 20

7 10 20

8 10 20

9 10 5

16. A nota final de cada aluno deve ser calculada considerando peso de 25% para a prova 1 e de 75%

para a prova 2. A m´edia das notas finais de todos os alunos ´e igual a (a) 6,4.

(b) 6,5.

(c) 6,6.

(d) 6,7.

(e) 6,8.

17. Opercentil da nota de um aluno em uma prova é a porcentagem de pessoas que obtiveram, naquela prova, uma nota igual ou inferior à nota desse aluno. Se a nota de um aluno na prova 2 foi 7, então o percentil dessa nota é, aproximadamente,

(a) 51%.

(b) 55%.

(c) 59%.

(d) 63%.

(e) 67%.

(10)

18. Um analista de recursos humanos desenvolveu o seguinte modelo matemático para relacionar os anos de forma¸cão (t) com a remunera¸cão mensal (R) de uma pessoa ao ingressar no mercado de trabalho:

R=k(1,1)^t,

em que ké um fator de carreira, determinado de acordo com a área que a pessoa estudou. A tabela a seguir apresenta os anos de forma¸cão e os correspondentes fatores de carreira de três pessoas (A, B e C).

Pessoa Anos de Forma¸c˜ao (t) Fator de Carreira (k)

A 18 500

B 16 600

C 19 500

Se as remunera¸cões mensais das pessoas A, B e C são, respectivamente, R_A, R_B e R_C, então, de acordo com esse modelo,

(a) R_B < R_A< R_C. (b) RA< RB< RC. (c) R_A=R_B< R_C. (d) R_C < R_B < R_A. (e) R_B < R_C =R_A.

Sejam Ae B matrizes com todos os elementos reais, sendoA quadrada de ordem 3 eB uma matriz coluna com 3 linhas. Sabe-se que:

• A´e uma matriz triangular superior, ou seja, todos os elementos abaixo de sua diagonal principal s˜ao nulos;

• Todos os elementos que não estão abaixo da diagonal principal deA são iguais a 1;

• B = (bi), com bi = 4−i, para todoi∈ {1,2,3}.

Considere, tamb´em, queI3 denota a matriz identidade de ordem 3.

19. Sabendo que o tra¸co de uma matriz quadrada ´e a soma dos elementos de sua diagonal principal, o tra¸co da matriz (A+ 3·I3) ´e

(a) 3.

(b) 4.

(c) 6.

(d) 12.

(e) 16.

20. SejaX uma matriz coluna de 3 linhas tal que AX=B. Ent˜ao, a soma dos elementos deX´e igual a (a) 2.

(b) 3.

(c) 4.

(d) 6.

(e) 10.

(11)

21. Um economista analisou dados históricos sobre o valor das a¸cões de uma empresa e, com o intuito de prevê-lo ao longo do ano de 2014, elaborou o seguinte modelo:

V(t) = 2·sen π·t

180 −π 4

+ 3·sen π·t

20 − π 4

Na fun¸cão acima,V é o valor da a¸cão eté o tempo decorrido, em dias, a partir do in´ıcio do ano (ou seja, t= 1 denota o fim do dia 1ô de janeiro de 2014). Para simplificar, suponha que todos os meses tenham 30 dias. De acordo com esse modelo, a a¸cão deve atingir seu pre¸co máximo ao término do dia

(a) 10 de janeiro.

(b) 30 de julho.

(c) 15 de julho.

(d) 30 de mar¸co.

(e) 15 de maio.

Considere uma esfera de raio medindo R e um plano que a tangencia. Pode-se associar a ela um outro s´olido, obtido da seguinte maneira:

• constr´oi-se um cilindro equil´atero de raio R com uma das bases contida no plano;

• retira-se desse cilindro dois cones circulares, sendo que a base de cada um deles coincide com uma das bases do cilindro e os v´ertices coicidem emV, no centro desse cilindro.

O sólido que resta após a retirada dos cones é chamado deanticlepsidra e tem o mesmo volume da esfera. Ambos os sólidos estão representados na figura abaixo.

22. Apesar de terem o mesmo volume, a esfera e a anticlepsidra associada não têm a mesma área super- ficial. A razão entre a área da superf´ıcie esférica e a área da superf´ıcie da anticlepsidra é

(a) 2 √ 2−1

. (b) 2.

(c) 2√ 2.

(d) 2−√ 2.

(e) √ 2 + 1.

(12)

23. Uma anticlepsidra tem volume igual aπ. O raio da esfera associada tem medida (a) ^√³₄¹².

(b) ^√³2⁶. (c) q³

4 3. (d) ^√₂³.

(e) ^√₄³.

24. O gráfico da fun¸cão f :R→R, dada por f(x) =x²−5|x|+ 6, é melhor representado por (a)

1 2 3 4 5 6

−1

−2

1 2 3 4

−1

−2

−3

−4

−5 x

y

(b)

1 2 3 4 5 6

−1

−2

1 2 3 4

−1

−2

−3

−4

−5 x

y

(c)

1 2 3 4 5 6

−1

−2

1 2 3 4

−1

−2

−3

−4

−5 x

y

(d)

1 2 3 4 5 6

−1

−2

1 2 3 4

−1

−2

−3

−4

−5 x

y

(e)

1

−1

−2

−3

−4

−5

−6

−7

1 2 3 4

−1

−2

−3

−4

−5 x

y

(13)

25. A fun¸c˜ao g, de dom´ınio real, tem parte de seu gr´afico mostrada na figura a seguir.

1 2

−1

1 2

−1

−2

−3 x

y

O gráfico da fun¸cão f(x) =x·g(x) é melhor representado por (a)

1 2

−1

1 2

−1

−2

−3 x

y

(b)

1

−1

−2

1 2

−1

−2

−3 x

y

(c)

1 2

−1

1 2

−1

−2

−3 x

y

(d)

1

−1

−2

1 2

−1

−2

−3 x

y

(e)

1

−1

−2

1 2

−1

−2

−3 x

y

(14)

26. Sejaz∈Cum complexo de m´odulo|z|e argumento θ,θ∈]−π, π]. Definaw∈Cda seguinte forma:

w= log3|z|+i·θ Se w= 2 +i·^π2, o valor dez¹⁰´e

(a) 9¹⁰. (b) −9¹⁰.

(c) 9¹⁰·i.

(d) −9¹⁰·i.

(e) 1.

E fato conhecido por estudantes do ensino médio que uma circunferência de raio medindo´ R tem comprimento igual a 2πR. Porém, nem sempre a humanidade soube calcular tal comprimento, e para isso lan¸cou mão de aproxima¸cões. Um dos jeitos de se estimar o comprimento da circunferência é inscrevendo-se nela um pol´ıgono regular; quanto mais lados tiver o pol´ıgono, melhor a aproxima¸cão.

A figura a seguir ilustra uma circunferˆencia de raio medindoR e o oct´ogono regular de lado medindo dnela inscrito.

R d

Dessa forma, o comprimento da circunferˆencia pode ser aproximado por 8d. Outra possibilidade ´e circunscrever um pol´ıgono regular, em vez de inscrever, como mostra a figura a seguir.

D

b

R

Nesse caso, o comprimento ´e aproximado por 8D.

(15)

27. A razão entre o comprimento exato de uma circunferência e o comprimento aproximado, obtido com o per´ımetro do octógonocircunscrito, é

(a) ₈ ^π

·tg(^π8). (b) ^π8 ·tg ^π₈

. (c) _tg^π

(^π8). (d) π·tg ^π₈

. (e) π·tg ^π₄

.

28. O método descrito no texto também permite obter uma aproxima¸cão para a área do c´ırculo. Utilizando- se o octógonoinscrito, a razão entre a área exata e a área aproximada do c´ırculo é

(a) √ 2.

(b) 2√ 2.

(c) ^√₄². (d) 2π√

2.

(e) ^π^√4².

29. Carlos deseja sacar num caixa eletrônico uma quantia entre R$ 51,00 e R$ 99,00. O caixa dispõe de notas de R$ 5,00, R$ 10,00 e R$ 20,00, e sempre fornece o menor número de cédulas que compõe o valor solicitado. Dentre os valores que Carlos está disposto a sacar, apenas alguns serão feitos com exatamente 5 cédulas. A soma desses valores é

(a) R$ 75,00.

(b) R$ 160,00.

(c) R$ 250,00.

(d) R$ 300,00.

(e) R$ 350,00.

Em um jogo de azar, são sorteados 5 números, sem reposi¸cão, dentre os algarismos de 1 a 9. Esses 5 números são, então, escondidos, de modo que os participantes não os vejam. Cada participante escolhe de um a cinco números distintos dentre os algarismos de 1 a 9 e os anota em um papel, anotando também o valor que deseja apostar. Os números sorteados são revelados e, então, vencem as apostas apenas os jogadores que acertarem todos os números anotados. Se mais de um jogador vencer e esses vencedores tiverem apostado a mesma quantia, o prêmio é dividido de maneira inversamente proporcional à probabilidade de que cada aposta fosse vencedora.

30. Numa determinada rodada, 2 jogadores que apostaram a mesma quantia venceram, sendo que um deles escolheu 2 algarismos e, o outro, 3. Se o prˆemio a ser dividido for de R$ 1.100,00, o jogador que escolheu 2 algarismos receber´a

(a) R$ 330,00.

(b) R$ 440,00.

(c) R$ 660,00.

(d) R$ 880,00.

(e) R$ 990,00.

(16)

31. Numa determinada rodada, todos os jogadores apostaram em apenas 2 números, todos eles venceram, e nenhum deles escolheu o mesmo par de números que outro jogador. A quantidade máxima poss´ıvel de vencedores nessa rodada foi de

(a) 5.

(b) 8.

(c) 10.

(d) 16.

(e) 28.

32. Em um sistema ortogonal de 3 coordenadas, a superf´ıcie lateral de um sólido é descrita pela união das seguintes regiões:

• x²+y² = 4, com 0≤z≤3

• x²+y² ≤4, com z= 0 ou z= 3

A área lateral e o volume desse sólido são, respectivamente, (a) 6π e 12π.

(b) 12π e 48π.

(c) 6π e 48π.

(d) 12π e 48π.

(e) 12π e 12π.

33. O valor exato da express˜ao √¹

2−1, com 5 casas decimais, ´e 2,41421. Considere os seguintes m´etodos para se fazer essa conta sem o aux´ılio da calculadora:

• M´etodo A: usa-se um valor aproximado para √

2 e faz-se a divis˜ao;

• M´etodo B: racionaliza-se o denominador e usa-se um valor aproximado para √ 2.

Ao se fazer uma aproxima¸cão, comete-se um erro, que é definido como a diferen¸ca, em módulo, entre o valor aproximado e o valor exato.

Usando a melhor aproxima¸c˜ao para √

2 com uma única casa decimal, a razão entre os erros (em rela¸cão ao valor exato) obtidos nos métodos A e B, respectivamente, é de cerca de

(a) 10.

(b) 8.

(c) 6.

(d) 4.

(e) 2.

(17)

34. Considere a seguinte sequˆencia de figuras formadas a partir de pontos.

1â figura 2â figura 3â figura 4â figura 5â figura

Para escrever a 30âfigura dessa sequência, a quantidade de pontos adicionais que devem ser utilizados em rela¸cão ao que é necessário para escrever a 29â figura é igual a

(a) 55.

(b) 56.

(c) 57.

(d) 58.

(e) 59.

35. Sejam An eBn, com n∈N^∗, valores definidos por:

• A_n= 1 + 2 + 4 + 8 + 16 +. . .+ 2ⁿ⁻¹

• B_n= 3 + 5 + 7 + 9 + 11 +. . .+ (2n+ 1) O valor deA30+B30´e igual a

(a) 2²⁹+ 261.

(b) 2²⁹+ 260.

(c) 2³⁰−960.

(d) 2³⁰+ 960.

(e) 2³⁰+ 959.