Lista de Exercícios da Primeira Semana Análise Real

Lista de Exerc´ıcios da Primeira Semana

An´alise Real Nesta lista,a_n, b_n, c_n ser˜ao sempre sequˆencias de n´umeros reais.

1. Mostre que todo conjunto ordenado com a propriedade do supremo possui a propriedade do ´ınfimo.

2. Defina a seguinte “propriedade do m´aximo”: um conjunto ordenado A ´e dito ter a propriedade do m´aximo se todo subconjunto limitado superiormente tem m´aximo. A “propriedade do m´ınimo” ´e definida analogamente.

E verdade que todo conjunto ordenado com a propriedade do m´´ aximo possui a propriedade do m´ınimo?

Mostre ou dˆe um contra-exemplo.

3. Mostre que em qualquer conjunto ordenadoX, toda sequˆencia possui subsequˆencia mon´otona.

4. Mostre que toda sequˆencia real convergente ´e limitada.

5. Mostre que diretamente da defini¸c˜ao que toda sequˆencia real de Cauchy ´e limitada (isto ´e, sem usar a equivalˆencia emRde sequˆencias de Cauchy e sequˆencias convergentes)

6. Mostre que se uma subsequˆencia de uma sequˆencia mon´otona ´e convergente, ent˜ao a sequˆencia ´e convergente.

7. Mostre que sex_n→x, ent˜ao|x_n| → |x|.

8. Mostre que xn→0 se e somente se|xn| →0.

9. SejaA um subconjunto deR. Dado k∈R, defina

Ak:={k·a|a∈A}.

Mostre que sek >0, ent˜ao supAk =ksupA. Mostre tamb´em que se k <0, ent˜ao supAk=kinfA.

10. Mostre que sek >0,

lim sup(kan) =klim supan

e se k <0,

lim sup(ka_n) =klim infa_n. 11. Mostre que sea_n, b_n>0, lima_n=a∈Re lim supb_n6= +∞, ent˜ao

lim sup(anbn) =a·lim supbn.

12. Suponha que lim supan e lim supbn n˜ao sejam±∞. ´E verdade em geral que lim sup(anbn) = lim sup(an) lim sup(bn)?

Mostre ou dˆe um contra-exemplo. E se colocamos tamb´em a restri¸c˜ao dean>0, bn>0?

13. Mostre que se existe um n´umero a ∈ R tal que toda subsequˆencia de an possui uma subsequˆencia convergindo paraa, ent˜aoan converge para a.

14. Calcule o limite das sequˆencias abaixo.

• √

n²+n−n;

• √ⁿ

n^k, knatural fixado;

• √ⁿ n!;

• n!

nⁿ.

15. Mostre que a sequˆencia de FibonacciFn possui a f´ormula expl´ıcita Fn= (1 +√

5)ⁿ−(1−√ 5)ⁿ 2ⁿ√

5 .

16. Estude a convergˆencia da s´erie

X 1 Fn

.

17. Sejamx1,· · ·, xp n´umeros reais positivos. Ache o limite da sequˆencia a_n:= qⁿ

xⁿ₁ +· · ·+xⁿ_p. 18. Mostre que se an > 0, bn > 0 e lim^a_bⁿ

n ´e um n´umero real diferente de 0, ent˜ao P

an converge se e somente se P

bn converge.

19. Se o limite for zero no exerc´ıcio anterior, o que podemos concluir? E se for infinito?

20. Estude a convergˆencia das s´eries abaixo.

• X n²

n⁴+ sin(n);

• X n!

nⁿ;

• X 1

nlog(n);

• X 1

nlog(log(n)). 21. Mostre que a sequˆencia

sn:=

2n

X

i=n

1 i

´

e convergente. Ela converge para zero ou para um n´umero maior que zero?

22. Demonstre o teorema a seguir.

Teorema do Confronto: Sejam x_n, y_n, z_n sequˆencias de n´umeros reais tais que x_n≤y_n≤z_n.

Sex_n→aez_n→a, ent˜aoy_n→a.

23. Mostre que sea_n≤b_n, ent˜ao lim supa_n≤lim supb_n e lim infa_n ≤lim infb_n. 24. Suponha quean>0. Mostre que seP

an ´e convergente, ent˜aoP

a²_n tamb´em ´e convergente.

25. Mostre que o exerc´ıcio anterior ´e falso sem a hip´otese de an>0.

26. ´E verdade que sempre existe uma subsequˆencia deanconvergindo para sup{an}? (o sup da imagem da sequˆencia). Mostre ou dˆe um contra-exemplo. Se for falso, vocˆe consegue dizer uma condi¸c˜ao natural que fa¸ca ser verdade?

27. Defina

D:={f :Z→ {0,1,· · · ,9} | ∃N ∈N:f(n) = 0∀n > N}.

Mostre que a fun¸c˜ao

F:D→R≥0

f 7→X

i∈Z

f(i)10ⁱ est´a bem-definida e ´e sobrejetiva.

Mostre tamb´em que ela n˜ao ´e injetiva.

28. Mostre que sean→a, ent˜ao

sn:= a1+· · ·+an

n

tamb´em converge paraa. A rec´ıproca vale? Mostre ou dˆe um contra-exemplo.

29. Este exerc´ıcio mostra um algoritmo eficiente para aproximar ra´ızes quadradas, junto com uma estima- tiva de sua eficiˆencia.

Sejaa >0. Escolhax1>√

a, e defina uma sequˆenciaxn atrav´es da recorrˆencia xn+1= 1

2

xn+ a xn

.

• Mostre quex_n→√ a.

• Definan :=xn−√

a(isto ´e, o erro de aproxima¸c˜ao). Mostre que n+1= ²_n

2xn

< ²_n 2√

a. Conclua por indu¸c˜ao que

_n+1<2√ a

₁ 2√ a

2ⁿ

.

• Fa¸ca algumas contas com algum exemplo. Por exemplo, para calcular √

5, podemos come¸car de x1= 3 e temos uma estimativa (grosseira) para1/2√

5 dada por1/2√

5<1/4.Mesmo com tal estimativa grosseira, obtemos que o erro na quinta itera¸c˜ao pode ser estimado como a seguir

5<2√ 5

1 4

²⁴

<6· 1

2³² <6· 1

10⁹·4 < 1 10⁸.

30. Pesquise sobre o teste de Dirichlet para convergˆencia de s´eries e veja sua demonstra¸c˜ao.

31. Este exerc´ıcio introduz o conceito de s´eries de potˆencias.

Umas´erie de potˆencias ´e, a priori, uma soma formal do tipo

∞

X

n=0

an(X−x0)ⁿ,

onde an ´e uma sequˆencia de n´umeros reais e x0 ´e um n´umero real fixado. Usamos o termo “formal”

para implicitamente dizer que n˜ao atribu´ımos a priori nenhum significado de convergˆencia para a s´erie acima: rigorosamente falando, temos s´o uma sequˆencia de n´umerosan.

Estamos interessados em saber para quais n´umeros reaisxa s´erie

∞

P

n=0

an(x−x0)ⁿ converge, de forma que este s´ımbolo realmente fa¸ca sentido quando interpretamos ele como s´erie.

Mostre que dada uma s´erie de potˆencias, h´a 3 e apenas essas 3 possibilidades:

1^a possibilidade: Existe um n´umero realRtal que

• Se|x−x0|< R, ent˜ao a s´erie ´e convergente.

• Se|x−x0|> R, ent˜ao a s´erie ´e divergente.

2^a possibilidade: A s´erie converge para qualquer n´umero realR.

3^a possibilidade: A s´erie s´o converge parax=x₀.

Definimos ent˜ao o raio de convergˆencia de uma s´erie de potˆencias como sendo o n´umero R caso estejamos no caso 1, +∞caso estejamos no caso 2 e 0 caso estejamos no caso 3.

Dica: Use o teste da ra´ız.

32. Dˆe exemplos mostrando que qualquer coisa pode acontecer no bordo do raio de convergˆencia na primeira possibilidade.

33. Dada uma s´erie de potˆencias

∞

P

n=0

a_n(X−x₀)ⁿ,definimos sua derivada formal como sendo a s´erie

∞

X

n=0

(n+ 1)an+1(X−x0)ⁿ.

Mostre que a derivada formal de uma s´erie de potˆencias possui o mesmo raio de convergˆencia que a s´erie de potˆencias original.

No entanto, mostre que ´e poss´ıvel que ocorra mudan¸ca de convergˆencia em pontos do “bordo” do raio de convergˆencia.

OBS: ´E poss´ıvel mostrar que no raio de convergˆencia, a derivada formal ´e de fato a derivada da fun¸c˜ao dada pela s´erie de potˆencias.

34. Mostre que a s´erie de potˆencias

∞

X

n=0

1 n!Xⁿ

define uma s´erie convergente para todox∈R, e que sua derivada formal ´e igual a si pr´opria.

35. Este exerc´ıcio introduz o conceito de s´eries de Fourier.

Umas´erie de Fourier ser´a, para n´os, uma soma formal do tipo

∞

X

n=0

(ancos(2πnX) +bnsin(2πnX)).

A quest˜ao de convergˆencia de s´eries de Fourier ´e muito mais delicada que de s´eries de potˆencias.

Por exemplo, ache os n´umeros reaisxpara o qual a s´erie

∞

X

n=1

1

nsin(2πnx)

´

e convergente.

Dica 1: Vocˆe provavelmente vai precisar de outros exerc´ıcios desta lista, n˜ao necessariamente apenas anteriores a este.

Dica 2: Use que e^ix= cos(x) +isin(x) junto com a dica 1.

36. Dada uma s´erie de FourierP∞

n=0(ancos(2πnX) +bnsin(2πnX)), definimos suaderivada formal como sendo a s´erie

∞

X

n=0

(2πnbncos(2πnX)−2πnansin(2πnX)).

Mostre que a derivada formal da s´erie

∞

X

n=1

1

nsin(2πnX) (a s´erie do exerc´ıcio anterior) ´e divergente para qualquerxreal.

37. Seja (X, d) um espa¸co m´etrico. Dizemos que A ⊂ (X, d) ´e limitado se existe p ∈ X e R > 0 tal que A ⊂ B(p;R). Mostre que se A ´e limitado, ent˜ao para qualquer p⁰ ∈ X existe R⁰ > 0 tal que A⊂B(p⁰, R⁰).

38. Mostre que toda sequˆencia convergente em um espa¸co m´etrico ´e limitada.

39. Mostre que toda sequˆencia de Cauchy em um espa¸co m´etrico ´e limitada.

40. Mostre um exemplo de um espa¸co m´etrico que possui uma sequˆencia limitada que n˜ao tem subsequˆencia convergente.

41. Mostre a unicidade do limite de sequˆencias em espa¸cos m´etricos.

42. Seja (X, d) um espa¸co m´etrico com a m´etrica discreta. Diga exatamente quem s˜ao as sequˆencias convergentes.

43. Sejamx_n, y_nsequˆencias de Cauchy em um espa¸co m´etrico. Mostre quea_n :=d(x_n, y_n) ´e uma sequˆencia convergente (OBS: Note quean ´e uma sequˆencia de n´umeros reais, independentemente de ondexn, yn

vivem).

44. Seja xn uma sequˆencia em um espa¸co m´etrico que converge para p, e yn uma sequˆencia tal que d(xn, yn)→0. ´E verdade queyn converge parap? Mostre ou dˆe um contra-exemplo.

45. Sejax_n uma sequˆencia em um espa¸co m´etrico tal que a subsequˆencia formada pelos ´ındices pares e a subsequˆencia formada pelos ´ımpares convergem para o mesmo pontop. Mostre quexn converge para p.

46. Odiˆametro diam(A) de um subconjuntoAde um espa¸co m´etrico (X, d) ´e definido como sup{d(x, y)| x, y∈A}. Dada uma sequˆenciaxn em (X, d), definaEn :={xi |i≥n}. Mostre que uma sequˆencia xn ´e de Cauchy se e somente se

lim diam(E_n) = 0.

47. ´E verdade que o diˆametro de uma bola de raiorem um espa¸co m´etrico (X, d) ´e 2r? Mostre ou dˆe um contra-exemplo.

48. Seja (X, d) espa¸co m´etrico. A afirma¸c˜ao abaixo ´e verdadeira?

(X, d)´e completo ⇐⇒ Toda sequˆencia limitada em (X, d)possui subsequˆencia convergente.

Demonstre se for verdadeira ou dˆe um contra-exemplo se n˜ao for. Se n˜ao for, alguma das implica¸c˜oes

´

e verdadeira? Demonstre ou dˆe um contra-exemplo (fa¸ca isso para cada uma das implica¸c˜oes).

49. Sejam (X₁, d₁),· · · ,(X_p, d_p) espa¸cos m´etricos. Mostre que a fun¸c˜ao d: (X₁× · · · ×X_p)×(X₁× · · · ×X_p)→R (x1,· · ·, xp),(y1,· · ·, yp)

7→max{d1(x1, y1),· · ·, dp(xp, yp)}

´

e uma m´etrica. Diga (pictoricamente) quem s˜ao as bolas abertas emR² eR³ com tal m´etrica, obtida considerando tais espa¸cos como o produto deR’s com a m´etrica canˆonica dada pelo valor absoluto da diferen¸ca. DenotaremosR^p com tal m´etrica por (R^p, d_prod).

Mostre que uma sequˆencia xn = (x⁽ⁿ⁾₁ ,· · · , x⁽ⁿ⁾p ) ∈ X1× · · · ×Xp converge para x = (x1,· · ·, xp) se e somente se as sequˆencias dadas por cada i-´esima coordenada de xn convergem para a i-´esima coordenada de x.

Mostre tamb´em que uma sequˆencia no produto ´e de Cauchy se e somente se cada coordenada ´e Cauchy.

50. Mostre que se (X1, d1),· · ·,(Xn, dn) s˜ao espa¸cos m´etricos tais que toda sequˆencia limitada possui subsequˆencia convergente, ent˜aoX₁× · · · ×X_ncom a m´etricad_prodtamb´em satisfaz a propriedade que toda sequˆencia limitada possui subsequˆencia convergente.

51. Mostre que se (X1, d1),· · ·,(Xn, dn) s˜ao espa¸cos m´etricos completos, ent˜aoX1×· · ·×Xncom a m´etrica dprod tamb´em ´e completo.

52. Procure a defini¸c˜ao de um espa¸co vetorial real com produto interno, e demonstre a desigualdade de Cauchy-Schwarz.

53. Procure a defini¸c˜ao de um espa¸co vetorial real normado, e mostre que todo espa¸co vetorial com produto interno tem uma norma natural dada porkxk:=p

hx, xi(mostre que ´e de fato uma norma!).

54. Mostre que todo espa¸co vetorial real normado ´e naturalmente um espa¸co m´etrico, com m´etrica dada pord(x, y) :=kx−yk (mostre que ´e de fato uma m´etrica!).

55. Mostre que

h,i:Rⁿ×Rⁿ→R hx,yi=

n

X

i=1

xiyi

define um produto interno em Rⁿ. A m´etrica que se origina dos exerc´ıcios anteriores (explicitamente dada por d(x,y) =p

(x1−y1)²+· · ·+ (xn−yn)² ´e chamada de m´etrica Euclidiana, e a norma (ex- plicitamente dada por kxk=p

x²₁+· · ·+x²_n) ´e chamada denorma Euclidiana, e denotada pork · k2

quando queremos evitar confus˜ao. O espa¸co Euclidiano ´eRⁿ equipado com toda essa estrutura.

56. Mostre que a fun¸c˜ao

k · k:Rⁿ→R x7→max{|x1|,· · ·,|xn|}

´

e uma norma, e que a m´etrica que ela d´a origem ´edprod. Chamaremos tal norma dek · k∞. 57. Mostre que, dadox∈Rⁿ, temos que

kxk_∞≤ kxk2

e existe uma constanteC (que depende apenas den) tal que kxk2≤Ckxk_∞.

58. Conclua que uma sequˆencia x_n converge para xem (R^p, d_prod) se e somente se converge para x em (R^p, d_Euc). Finalmente, mostre usando os exerc´ıcios anteriores que toda sequˆencia limitada no espa¸co Euclidiano tem subsequˆencia convergente.

59. Conclua que uma sequˆenciaxn´e de Cauchy em (R^p, dprod) se e somente se ´e de Cauchy em (R^p, dEuc).

Finalmente, mostre usando os exerc´ıcios anteriores que toda sequˆencia de Cauchy no espa¸co Euclidiano

´

e convergente.

60. Considere o espa¸co m´etrico (X, d) :=C⁰([0,2]),d(f, g) :=R2

0 |f −g|. Mostre que a fun¸c˜ao ev0:X →R

f 7→f(0)

´

e linear. Defina a sequˆencia de fun¸c˜oesf_n: [0,2]→Rdada porf_n(x) = 1−nxsex≤1/n,f_n(x) = 0 sex≥1/n. Mostre quef_n→0 com rela¸c˜ao `a m´etricad, e que

lim ev₀(f_n)6= ev₀(limf_n).

OBS: Veremos posteriormente que este ´e um exemplo de uma fun¸c˜ao linear que n˜ao ´e cont´ınua, fenˆomeno que n˜ao pode acontecer com fun¸c˜oes lineares noRⁿ canˆonico.

61. Mostre que em um espa¸co normadoX com a m´etrica dada pela norma, temos quexn→0 se e somente sekxnk →0.

62. Considere C := R², com as opera¸c˜oes que o definem como corpo de forma canˆonica. Em primeiro lugar, mostre que a f´ormula

aⁿ−bⁿ= (a−b)(aⁿ⁻¹+aⁿ⁻²b+· · ·+abⁿ⁻²+bⁿ⁻¹)

vale em qualquer anel comutativo. Conclua que uma s´erie geom´etricaPzⁿ converge se e somente se

|z|<1.

Mostre que se |z| = 1 e z 6= 1, apesar de a s´erie geom´etrica divergir, suas somas parciais associadas formam uma sequˆencia limitada.