Matemática JOSÉ AUGUSTO DE MELO. Matemática I. Trigonometria... 3 Números Complexos Equações Algébricas Matemática II

Matemática 

JOSÉ AUGUSTO DE MELO  M3 

Matemática I 

Trigonometria ... 3 

Números Complexos ... 21 

Equações Algébricas ... 28 

Matemática  II  Estudo Analítico da Reta ... 32 

Estudo Analítico da Circunferência ... 40 

Limite ... 46 

Derivada ... 51 

���������

������������������������������������

3  

Matemática ­ M3 

TRIGONOMETRIA 

1­ RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO 

Dado o triângulo retângulo ABC, definimos: 

­ Seno de um ângulo agudoa

hipotenusa  a  oposto  cateto 

Sen a

= a

Assim: 

a  B ˆ  b  Sen = e 

a  C ˆ  c  Sen =

­ Cosseno de um ângulo agudoa hipotenusa 

a  adjacente  cateto 

Cos a

= a

Assim: 

a  B ˆ  c  Cos = e 

a  C ˆ  b  Cos =

­ Tangente de um ângulo agudoa

a

= a

a cateto adjacente a  a  oposto  cateto 

tg 

Assim: 

c  B ˆ  b  tg = e 

b  C ˆ  c  tg =

2 ­ ALGUMAS RELAÇÕES ENTRE AS RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS 

a)  a 

sena = c , 

a  cosa = b 

2  2  2  2  2  2 

a  b  a  cos  c 

sen a + a = + a  1  a  a 

b  cos  c 

sen ^{2 2  2} + ₂  ² = ₂ ² =

= a +

a , ou seja: 

sen ² a + cos ² a = 1 

b) _cos ^sen_a ^{a =} _b ^c _/ ^/ _a ^a  ; _cos ^sen_a ^{a =} _b ^{c = tg a}

a

= a a cos  tg  sen 

c) a + b = 90 ^o  b = 90 ^o - a

a  sen = a c 

a 

cos = b c  sen a = cos( 90 ^o- a ) 

De modo análogo, prova­se que sen( 90 ^{o- a} ) ⁼ cos ^a

a

= a -

a

= a -

Cos  )  90  (  Sen 

Sen  )  90  (  Cos 

o  o

3 ­ UM PEQUENO COMENTÁRIO 

As razões trigonométricas definidas até agora são válidas apenas para ângulos agudos de um triângulo retângulo. 

Necessidades práticas exigem que definamos essas razões para ângulos arbitrários e até mesmo para números  reais quaisquer. Para que isso seja possível, definiremos novamente essas razões, substituindo o ângulo por  um arco e o triângulo retângulo por uma circunferência. Veja a seguir. 

4­ MEDIDA DE ARCOS 

Chama­se arco a cada uma das partes em que uma circunferência fica dividida por dois de seus pontos. 

B  B 

A  A  A = B  A = B 

Observação: 

Se A = B obtemos dois arcos: o arco nulo e o arco de uma volta. 

A medida de um arco AB na unidade PQ é por definição: 

PQ  o  compriment 

AB  o  compriment  AB 

. 

med =

­ Unidades mais usadas 

a) Grau: arco unitário equivalente a  360 

1  da circunferência. 

b) Radiano: arco unitário cujo comprimento é igual ao raio da circunferência que o contém. 

Observação: 

Para converter uma unidade de medida em outra lembre­se que 180° =prad. 

­ Comprimento de um arco 

Sejaa a medida em radianos do arco AB (ou do ângulo central AÔB). 

raio  do  o  Compriment 

AB  o  Compriment  ) 

rad  (  AB  . 

med =

r 

= l a

a

= r . 

l  (aem rad.) 

5 ­ A CIRCUNFERÊNCIA TRIGONOMÉTRICA 

Seja x0y um sistema de coordenadas no plano. Com centro em O,  tracemos uma circunferência de raio 1. Consideramos o ponto A como  a origem de todos os arcos tomados sobre essa circunferência. Arcos  percorridos no sentido anti­horário serão considerados como tendo  medida algébrica positiva e arcos percorridos no sentido horário serão  considerados negativos. A uma tal circunferência, denominamos de  circunferência trigonométrica. 

6 ­ ARCO TRIGONOMÉTRICO 

Se P é um ponto da circunferência trigonométrica, ele determina uma  infinidade de arcos com origem A e extremidade P. Se O ^{£ a <} 2 ^p é a  medida de AP em radianos, chamamos de arco trigonométrico AP ao  conjunto de valores do tipo a+ 2Kp, com K inteiro. A achamaremos  de 1ªdeterminação positiva de AP. 

r

������������������������������������

5  

Matemática ­ M3  Obs.: Se 0 £ a < 360 ^o , o arco trigonométrico será representado por a + K . 360 ^o 

Observe que um arco trigonométrico é uma família de arcos com origem A e extremidade P que são obtidos  dando­se voltas na circunferência no sentido positivo ou negativo. No que se segue, procuramos sempre trabalhar  com a 1ªdeterminação positiva do arco trigonométrico. 

7 ­ SENO E COSSENO 

Podemos agora definir o seno e o cosseno de qualquer arco. 

Sejaaa primeira determinação positiva do arco trigonométrico AP. Como P está num sistema de coordenadas,  ele tem uma abscissa (OQ) e uma ordenada (OR). 

Definição: 

a) cos a = OQ (abscissa de P)  b) sena = OR (ordenada de P)  Observe que: 

a) ­1 £ cos a £ 1

­1 £ sen a £ 1 b) Sinal do seno 

c) Sinal do Cosseno 

d)  O  seno  é  crescente  no  1º e  no  4º quadrantes  e  decrescente no 2º e 3º quadrantes. 

e)  O  cosseno  é  crescente  no  3º e  no  4º quadrantes  e  decrescente no 1ºe 2ºquadrantes. 

f) No triângulo OPQ temos: 

PQ = sen x, OQ = cos x e OP = 1 

Aplicando o teorema de Pitágoras, obtemos  sen ² x + cos ² x = 1. 

8 ­ TANGENTE E COTANGENTE 

tg x = AT  cotg x = BS 

Veja que os triângulos OPP ₁ e OAT são semelhantes. 

Logo, podemos dizer que: 

1 

OP 1 

PP  OA 

AT = e substituindo 

x  cos 

x  sen  1  tgx =

Com um raciocínio semelhante, você mostra que: 

cotg x = _sen ^cosx _x 

­ Considerações importantes 

a) A tg x e a cotg x podem assumir qualquer  valor real. 

b) Sinal da tangente. 

c) Sinal da cotangente. 

d) A tangente dos arcos com extremidades em B ou  B’ não existe ou seja, só existe tg x se ^{¹ p +} k ^p

x  2  (ou em graus x ¹ 90° + k . 180°). 

e) A cotangente dos arcos com extremidade em A  ou A’  não  existe  ou  seja,  só  existe  cotg  x  se

p

¹k 

x  (ou x ¹ k . 180 ° ). 

9 ­ SECANTE E COSSECANTE 

Se x é um arco para o qual sen x ¹ 0 e cos x ¹0, definimos: 

D.1) Secante  x  cos  x  1  sec =

D.2) Cossecante  x  sen  x  1  sec 

cos = (obs.: cossec x = csc x)  Representação geométrica 

sec x = OQ  cossec x = OR  Observe que: 

a) sec x £ ­1 ou sec x ³ 1  csc x £ ­1 ou csc x ³ 1 

b) O sinal da secante coincide com o sinal do cosseno e o sinal da cossecante  coincide com o sinal do seno. 

c) Só existe sec x, se ^{¹ p +} k ^p

x  2  , k inteiro. Só existe csc x, se x ¹ k p , k inteiro. 

10 ­ REDUÇÃO AO PRIMEIRO QUADRANTE 

As simetrias apresentadas pelas extremidades dos arcos trigonométricos nos permitem calcular as razões  trigonométricas de qualquer arco, usando sempre um arco do 1ºquadrante. 

A) Arcos do 2ºquadrante. 

Se x está no 2ºquadrante, o seu simétrico em relação ao eixo Oy está no 1º quadrante e pode ser achado calculando­se 180° ­ x ou ^p ­ x, conforme x  seja dado em graus ou radianos. 

Não é difícil provar que as razões trigonométricas de 180° ­ x e x têm o  mesmo valor absoluto. A determinação do sinal das razões trigonométricas  de x é feita pelo que já aprendemos anteriormente.

������������������������������������

7  

Matemática ­ M3  Exemplos: 

Reduza ao 1ºquadrante. 

a) sen 110º  Solução: 

110º está no 2ºquadrante. Seu simétrico será  180º ­ 110º = 70º 

Como no 2ºquadrante o seno é positivo teremos: 

sen 110º = sen 70º  b) cos 874º 

Solução: 

874º  360º  154º  2 

Então, cos 874º = cos 154º 

Simétrico de 154º = 180º ­ 154º = 26º 

No 2ºquadrante, o cosseno é negativo. Logo, cos 874º =  cos 154º = – cos 26º. 

c)  3  tg 2 p

=

Solução: 

3  2p

está no 2ºquadrante, seu simétrico é 

3  3 

2 p

p = - p No 2ºquadrante, a tangente é negativa, logo: 

tg 3  3 

tg2  p

- p = B) Arcos do 3ºquadrante 

Se x está no 3ºquadrante, use o seu simétrico em relação à origem, calculando x ­ 180° ou x ­ ^p.  Exemplo: 

Reduza ao primeiro quadrante: sec 220° 

Solução: 

220° está no 3ºquadrante. 

Seu simétrico será 220° ­ 180° = 40°. 

No 3ºquadrante a secante é negativa, logo: 

sec 220° = ­sec 40°. 

C) Arcos do 4º quadrante. 

Exemplo: 

Reduza ao 1ºquadrante: sen 310°. 

Solução: 

310° está no 4º quadrante. Seu simétrico é 360° ­ 310° = 50°. 

No 4ºquadrante o seno é negativo. Logo: 

sen 310° = ­sen 50°.

11 ­ ARCOS OPOSTOS 

cos (­x) = cos x  sen (­x) = ­sen x  tg (­x) = ­tg x  cotg (­x) = ­cotg(x)  sec (­x) = sec x 

cossec (­x) = ­cossec x 

12 ­ RELAÇÕES FUNDAMENTAIS 

As definições dadas anteriormente nos permitem deduzir uma série de relações entre o seno, o cosseno, a  tangente e as outras funções circulares. Dentre essas, nos interessam mais de perto um grupo de oito relações  independentes, que denominaremos de relações fundamentais. 

R.1) 

x  cos 

x 

tgx = sen  R.4) 

x  cos  x  1 

sec = R.7) 1 + tg ² x = sec ² x  R.2) cotg x = _sen ^cos _x ^x  R.5) ^cossec x = _sen ¹ _x  R.8) 1 + cotg ² x = cossec ² x 

R.3) cotg x = _tgx ¹  R.6) sen ² x + cos ² x = 1 

As relações R.1, R.2, R.4 e R.5 são provadas facilmente usando  semelhança de triângulos. Como exemplo, provemos R.4. 

Os triângulos OPB e OAB são semelhantes, pois: 

B  A ˆ  O  O  B ˆ 

P = (retos)  B  O ˆ  A  B  O ˆ 

P = (comuns) 

Logo: 

OA  OB  OB 

OP = e substituindo, 

x  cos 

1  1 

x  sec = ou  cos x 

x  1  sec =

A relação R.3 é conseqüência imediata de R.1 e R.2. Provemos R.6. 

Aplicando o teorema de Pitágoras ao triângulo OAB, obtemos: sen ² x + cos ² x = 1. 

Para provar R.7, partimos de sen ² x + cos ² x = 1. Para cos x ¹0, obtemos: 

x  cos 

1  x  cos 

x  cos  x  cos 

x  sen 

2  2 

2  2 

2

=

+ e daí:  tg ² x + 1 = sec ² x  De modo análogo, prova­se R.8. 

Fique atento às seguintes observações: 

a) Apenas a relação sen ² x + cos ² x = 1 é válida para todo x. As demais possuem restrições. Por exemplo,  1 + tg ² x = sec ² x só vale para ^{¹ p +} k ^p

x  2  , pois para esses valores existe a tg x e a sec x. Procure achar  os valores de x para os quais as demais relações são válidas. 

b) É importante que você saiba que o x pode representar qualquer arco. Assim, podemos dizer que: 

sen ² 50º + cos ² 50º = 1 

1 + tg ² 3a = sec ² 3a e assim por diante. 

c) De cada relação você pode tirar outras. Assim, por exemplo, de sen ² x + cos ² x = 1, conclui­se que  1 ­ sen ² x = cos ² x.

������������������������������������

9  

Matemática ­ M3  1. (AMAN­RJ) Se tg ²q = 3 e 0 ° £ q £ 90 ° , então o valor de sen^qé: 

a)  2 

2  b) 

2 

3  c) 2- 2  d) 

2 

1  e) n.r.a. 

Solução: 

4  sec 

;  sec  3  1 

;  sec  tg 

1 + ²q = ² q + = ² q ² q = De ² q = ₂ q

cos 

sec  1  vem

q

=

q ₂ 

2 

sec 

cos  1  e então 

4  cos ²q = 1  Mas, sen ²q + cos ² q = 1 e então  1 

4 

sen ²q + 1 = e daí: 

4 

sen ²q = 3 . Como q está no 1ºquadrante e no 1ºquadrante sen^q> 0, vem sen  2 

= 3 q Resposta: b 

2. Para que valores de m a equação  1  4  x  m 

cos = + é possível? 

Solução: 

Como - 1 £ cos x £ 1 , devemos ter:  1  1  4  1£ m + £

- ; - 4£ m + 4 £ 4  0 

m  8£ £ -

3. (UFU­MG) O valor numérico da expressão: 

x  g  cot 

1  x  tg  x  sec  cos  .  x 

y  sec ² ₂ ²  - ²  -

= , para cos = x  ₄ ¹ é: 

a) 16 1  b) 16  c)  16  16  d) 

16 

15  e) ­16  Solução: 

x  g  cot 

)  1  x  tg  (  x  sec  cos  .  x 

y  sec ² ₂ ²  - ²  +

= ; 

1  x  sec  cos 

x  sec  x  sec  cos  .  x 

y  sec ² ₂ ^{2  2}  -

= -

1  x  sec  cos 

)  1  x  sec  (cos  x 

y  sec ² ₂  ²  -

= - ; y = sec ² x;  16 

x  cos  y = 1 ₂ = Resposta: b 

4. Demostre a identidade 

sec ² x  .  cos sec ² x = sec ² x + cos sec ² x  Solução: 

Seja y = sec ² x + cossec ² x. Então: 

x  sen 

1  x  cos 

y = 1 ₂ + ₂  ; 

x  sen  .  x  cos 

x  cos  x  y  sen ²₂  + ₂ ² 

=

x  sec  .  x  cos 

y = ₂ 1  ₂  ; 

x  sen  . 1  x  cos 

y = 1 _{2 2}  = sec ² x . cossec ² x 

cossec  cossec 

cossec

y = sec ² x . cossec ² x 

5. Calcule m para que se tenha simultaneamente  sen x = m ­ 1 e cos x = m .  3 

Solução: 

sen ² x + cos ² x = 1  (m ­ 1) ² + (m .  3) ² = 1  m ² ­ 2m + 1 + 3m ² = 1 

4m ² ­ 2m = 0, que resolvida dá m = 0 ou m =  2  1 

Como ambos satisfazem à condição - 1£ sen x £ 1 e ^{- 1 £ cos x £ 1} , teremos: 

Resposta: m = 0   ou   m =  2  1 

13 ­ FÓRMULAS DE ADIÇÃO 

Daremos a seguir um conjunto de fórmulas que vão nos   possibilitar calcular as funções trigonométricas de  arcos do tipo a + b e a ­ b. As demonstrações serão omitidas. 

sen (a + b) = sen a . cos b + sen b . cos a  sen (a ­ b) = sen a . cos b ­ sen b . cos a  cos (a + b) = cos a . cos b ­ sen a . sen b  sen (a ­ b) = cos a . cos b + sen a . sen b 

b  tg  .  a  tg  1 

b  tg  a  )  tg  b  a  ( 

tag -

= +

+ 1  tg a . tg b 

b  tg  a  )  tg  b  a  ( 

tag +

= - -

1. Calcule sen 15°. 

Solução: 

y = sen 15° = sen (45° ­ 30°) 

y = sen 45° . cos 30° ­ sen 30° . cos 45° 

4  2  y  6 

2  . 2  2  1  2  .  3  2 

y 2  -

= Þ -

=

2. Sendo a ­ b =  3

p , calcule o valor da expressão: 

y = (sen a + cos b) ² + (sen b ­ cos a) ²  Solução: 

y = sen ² a + 2sen a cos b + cos ² b + sen ² b ­ 2sen b cos a + cos ² a  y = (sen ² a + cos ² a) + (sen ² b + cos ² b) + 2(sen a cos b ­ sen b cos a)  y = 1 + 1 + 2 sen (a ­ b), e como a ­ b = ₃^p , 

y = 2 + 2 sen ₃^p ; y = 2 + 2 . 

2 3 ; y = 2 +  3