Consideremos o sistema, que tem como solução: { x 1 = , x 2 = }

Å

1R 1 RW WD D VR V RE EU U H H FR F RQ QG GL LF FL LR RQ QD D PH P HQ QW WR R GH G H VL V LV VW WH H PD P DV V

Consideremos o sistema,

que tem como solução:

{ x

₁

= 12.5000 , x

₂

= 15.7500 }

Se introduzirmos uma SSHHTTXXHHQQDDSSHHUUWWXXUUEEDDoommRRna matriz

obtemos uma VVRROOXXoommRRPPXXLLWWRRGGLLIIHHUUHHQQWWHH:

{ x

1

= 8.3333 , x

2

= 13.6667 }

Trata-se de um VLVWHPDPDOFRQGLFLRQDGR e, QHVWHFDVR, é fácil entender porquê:

Em geral, o sistema que temos para resolver não é

$ [ = E

mas sim um sistema ligeiramente diferente ou SHUWXUEDGR.

Sejam

G

$ ^{uma PDPDWWUULL]]}que representa os HUHUUURRVVLQLQLLFFLLDDLLVVem

$

e

G

E ^{um YHYHFFWWRRUU}que representa os HUHUUURRVVLQLQLLFFLLDDLLVVem

E

^.

Pretendemos conhecer

G

[ ^{(YYHHFFWWRRUUSHSHUUWWXXUUEEDDoommRRFFDDXXVVDDGGDDQQDDVVRROOXXoommRR}), tal que

( _$ + G

$

) ( _[ + G

[

) = _E + G

E

Para isso são necessários os conceitos de QRUPDYHFWRULDO e de QRUPDPDWULFLDO.

Å

1R 1 RU UP P D D V V YH Y H FW F WR RU UL LD DL LV V

'HILQLomR Uma QRUPDYHFWRULDO é uma aplicação que verifica:

Por exemplo, são QRUPDVYHFWRULDLV de

x

QRUPDGHPi[LPR( ou QRUPD

ˆ

⁾

x

QRUPDDEVROXWD ( ou QRUPD )

x

QRUPDHXFOLGHDQD( ou QRUPD )

que são todas casos particulares da QRQRUUPPDDSS( com SStt),

([HPSOR para

5HSUHVHQWDomRGRVFRQMXQWRVGHYHFWRUHV FRPQRUPDVXQLWiULDV UHVSHFWLYDPHQWH GH GHQWURSDUDIRUD

''HHIILLQQLLoommRR Sejam

5

^Q[Q o conjunto das matrizes reais de ordem Qe

a matriz nula de ordem Q.

Uma QRQRUUPPDDPDPDWWUULLFFLLDDOOé uma aplicação que verifica:

7

7HHRRUUHHPPDD Seja

|| ||

uma QRUPDYHFWRULDO em

5

^{Q e}

$  5

^{Q[Q uma PDWUL]. Então,}

é uma QRUPDPDWULFLDO,

a que chamamos QRUPDPDWULFLDOQQDDWWXXUUDDOOou LQLQGGXX]]LLGGDD.

77HHRRUUHHPPDD Seja

||| |||

uma QRUPDPDWULFLDOLQGX]LGD pela QRUPDYHFWRULDO

|| ||

Então, para

$  5

^{Q[Q ,}

[  5

^{Q e}

,

a matriz identidade de ordem Q:

E em particular, para uma norma matricial LQLQGGXX]]LLGGDDSRSRUUXPXPDDQRQRUUPPDDSS,

77HHRRUUHHPPDD Seja

$  5

^Q[Q , então :

onde

U ^{( $}

^T

^{$ )}

^{denota o} UDLRHVSHFWUDO da matriz

$

^T

$

^.

22EEVVHHUUYYDDoo}}HHVV

x ||| $ |||

_ˆ é o Pi[LPRGDVVRPDVSRUOLQKDV dos valores absolutos dos elementos

x ||| $ |||

é o Pi[LPRGDVVRPDVSRUFROXQDV dos valores absolutos dos elementos

x

A norma matricial

||| $ |||

costuma designar-se por QRUPDHVSHFWUDO

Å

9D 9 DO OR RU UH HV V H H 9H 9 H FW F WR RU UH HV V 3U 3 U yS y SU UL LR RV V

'

'HHIILLQQLLoommRR Sendo $ uma matriz quadrada e

,

a matriz identidade, o polinómio definido por,

p ( O ) = det ( $ í O ^{, )}

é chamado o SROLQyPLRFDUDFWHUtVWLFR de $.

2EVHUYDomR Se $ é de dimensão Q îQ ,então

S O

é um polinómio de JUDXQe, consequentemente, tem no máximo Q]HURVGLVWLQWRV que podem ser UHDLVRXFRPSOH[RV.

''HHIILLQQLLoommRR Se

S

é o polinómio característico da matriz $,

os ]HURV de

S

^{(reais ou}complexos) são designados YDORUHVSUySULRV (ou YDORUHVFDUDFWHUtVWLFRV) damatriz $.

Se

O

é um valor próprio de $ e se

[ ≠ 0

satisfaz,

( $ í O , ) [ = 0

então

[

é designado um YHFWRUSUySULR (ou YHFWRUFDUDFWHUtVWLFR) de $ associado ao valor próprio

O

^.

Å

5D 5 D LR L R ( ( VS V SH HF FW WU U DO D O

''HHIILLQQLLoommRR Seja

$ ∈ ©

^n×n

^.

^OFRQMXQWRGRVYDORUHVSUySULRV de $ é o HVHVSSHHFFWWUURRde $ e será designado por

V ^{( $ )}

^{, isto é,}

V ^{( $ )}

⁼

^{{ O ∈ ©}

^:

^O

é valor próprio de $

}

Designa-se por UDUDLLRRHVHVSSHHFFWWUUDDOOde $, denotado por

U ^{( $ ),}

^{o valor}

U ^{( $ )}

^{= PD[}

^{{ | O |}

^:

^{O ∈} V ^{( $ ) }}

QRWD se

O ^∈ ©

^,

77HHRRUUHHPPDD Seja

V ^{( $ )}

o raio espectral da matriz

$

então, para qualquer norma natural ou LQGX]LGD

''HHPPRRQQVVWWUUDDoommRR Se

O

^éYDORUSUySULR de

$

^e

[

^um YHFWRUSUySULR associado a

O

tem-se,

$ [ = O ^[

^{, com}

^{[ ≠}

Aplicando uma QRUPDYHFWRULDO,

|| O ^{[ || = || $ [ ||}

onde

|| O ^{[ || = |} O ^{| || [ ||}

^e

^{|| $ [ ||} d ||| _$ ||| || _[ ||

sendo

||| |||

qualquer QRUPDPDWULFLDOLQGX]LGD por

|| ||

Portanto

| O ^{| || [ ||} d ||| _$ ||| || _[ ||

e como

[ ≠

^então

|| _[ || ≠ 0

e podemos dividir.

Assim,

| O ^| d ||| _$ |||

para WWRRGGRRo

O

valor próprio de

$

incluindo o maior deles

U ^{( $ ) .}

> > ^{&R & RQ QG GL LF FL LR RQ QD D PH P HQ QW WR R GH G H 6L 6 LV VW WH HP P DV D V /L / LQ QH HD D U U HV H V}

Retomemos a relação,

( _$ + G

$

) ( _[ + G

[

) = _E + G

E

HUURVLQLFLDLV em

$

HUURVLQLFLDLV em

E

SHUWXUEDo}HVFDXVDGDVna solução

[

Å

3H 3 HU U WX W XU U ED E D o} o }H HV V Vy V y QR Q R VH V HJ JX XQ QG GR R P P HP H PE EU UR R G

$

= 0

Neste caso,

$ ( _[ + G

[

) = _E + G

E

$ [ + _$ G

[

= _E + G

E ^onde

$ [ = _E

portanto

$ G

[

= G

E

e como se assume que o sistema é GHWHUPLQDGR,

$

^{éLQYHUWtYHO,}

G

[

= _$

G

E e tomando normas,

|| G

[

|| † ||| _$

||| || G

E

||

|| G

[

|| † ||| _$

||| || G

E

||

Esta relação fornece um PDMRUDQWHGRHUURDEVROXWR da solução mas, faz muito mais sentido procurar um majorante do HHUUUURRUUHHOODDWWLLYYRR.

Tratando-se de vectores, definimos HUURUHODWLYR,

ou SHUWXUEDomRUHODWLYD de um vector

[

^{, com}

[ ≠

, pela razão:

|| G

[

||

|| _[ ||

Então,

Por outro lado, aplicando normas a

$ [ = _E

|| _E || = || _{$ [} || d ||| _$ ||| || _[ ||

substituindo obtemos,

HUURVUHODWLYRV em

E

HUURVUHODWLYRV em

[

Q~PHURGHFRQGLomRGDPDWUL]

$

1~PHURGHFRQGLomRGDPDWUL] $ ^:

FRQG $ = ||| _$ ||| ||| _$

|||

x

^OHIHLWRGDSURSDJDomR dos erros do VHJXQGRPHPEUR é determinado pela PDWUL]GRVLVWHPD.

x

^{Quanto PDLRU} for o valor de

FRQG $

^,PDLVVHQVtYHO é o sistema a perturbações do segundo membro.

x

O valor numérico de

FRQG $

^{depende GDQQRRUUPPDD}utilizada.

x

Matrizes com um número de condição DOWR dizem-se PDPDOO FRQGLFLRQDGDV.

x

Matrizes com um número de condição EDL[R dizem-se EHEHPP FRQGLFLRQDGDV.

x

Prove que:

FRQG $ • 1

Å

3H 3 HU U WX W XU U ED E D o} o }H HV V QD Q D PD P DW WU U L] L ] G

E

= 0

Neste caso,

( _$ + G

$

) ( _[ + G

[

) = _E

$ [ + _$ G

[

+ G

$

( _[ + G

[

) = _E

onde

$ [ = E

e assumindo

$

invertível,

G

[

= - _$

G

$

( _[ + G

[

)

e aplicando normas,

|| G

[

|| † ||| _$

||| || G

$

|| || _[ + G

[

||

donde

x

Novamente constatamos que é o Q~PHURGHFRQGLomRGDPDWUL]que determina a maior ou menor influência que uma perturbação da matriz $ pode ter na solução.

^ &DOFXOHRQ~PHURGHFRQGLomRGDPDWUL]GRVLVWHPD PDO FRQGLFLRQDGRGRH[HPSORGDSiJLQD`

x

Claro que, desta vez, o erro relativo nos resultados depende também das perturbações introduzidas nos elementos da matriz.

x

Assumindo que

G

[

<< [

, o primeiro membro da desigualdade representa uma boa DSUR[LPDomRGRHUURUHODWLYR dos resultados.

x

Considerando que, é possível mostrar que,

{ Ver: &RPSXWDomR1XPpULFD, Edite Manuela Fernandes, pp. 68-70 }

Å

3H 3 HU U WX W XU U ED E D o} o }H HV V QD Q D PD P DW WU U L] L ] H H QR Q R VH V H JX J XQ QG GR R PH P H P P EU E U R R

Para o caso geral, é possível obter a relação,

{ Ver: &RPSXWDomR1XPpULFD, Edite Manuela Fernandes, pp. 70 }

HUURVUHODWLYRV em

$

HUURVUHODWLYRV em

[

HUURVUHODWLYRV em

E

Q~PHURGHFRQGLomRGDPDWUL]

$

Verificamos que:

x

Os erros relativos da matriz aparecem VRPDGRV aos erros relativos dos segundos membros.

x

Tanto os erros relativos da matriz como os dos segundos membros, aparecem sempre PXOWLSOLFDGRV pelo Q~PHURGHFRQGLomRGDPDWUL].

x

Por isso os erros relativos dos resultados podem atingir YDORUHVPXLWRVXSHULRUHV aos erros introduzidos nos dados do problema.

x

O número de condição da matriz,

FRQG $ • 1

, mede a VHVHQQVVLLEELLOOLLGGDDGGHHdo sistema.

> > ^{0p 0 pW WR RG GR RV V ,W , WH HU U DW D WL LY YR RV V (V ( VW WD DF F LR L RQ Qi iU UL LR RV V}

x

Os métodos iterativos são HILFLHQWHV ( WHPSR de execução e HVSDoR de memória ), em particular na solução de sistemas de JUDQGHVGLPHQV}HV envolvendo PDWUL]HVHVSDUVDV (ou rarefeitas).

Note que, por exemplo o método de eliminação de Gauss não preserva a esparsidade da matriz, durante a resolução.

x

Para resolver um sistema, os PpWRGRVLWHUDWLYRV partem de uma

DSUR[LPDomRLQLFLDO,

[

⁽⁰⁾ e constroem uma VXFHVVmRGHDSUR[LPDo}HV,

[

⁽¹⁾

, [

⁽²⁾

, . . . , [

^(k)

, . . .

que seja FRQYHUJHQWHSDUDDVROXomRH[DFWD

[

do sistema.

x

É necessária uma relação que permita obter cada solução a partir da anterior.

[

^(k)

[

^(k+1)

Por isso, o sistema

$[ = E

é convertido num sistema HTXLYDOHQWH do tipo

[ = 0[ + F

onde 0é uma matrize

F

um vector.

x

Nesta secção, estudaremos os métodos iterativos do WLWLSSRRHVHVWWDDFFLLRRQQiiUULLRR, que têm a forma geral,

[

^N

= 0 [

^N

+ F N

em que 0é chamada PDWUL]GHLWHUDomR.

'HILQLomR Se para qualquer estimativa inicial

[

⁽⁰⁾ a sucessão

{ [

^(k)

}

convergir para um limite independente de

[

^{(0) então o} PpWRGRLWHUDWLYRdiz-se FRFRQQYYHHUUJJHHQQWWHH.

'HILQLomR O PpWRGRLWHUDWLYR formulado por

[

^N

= 0 [

^N

+ F

diz-se FRQVLVWHQWHcom

$ [ = E

se este sistema e

[ = 0 [ + F

tiverem a mesma solução.

Procuremos condições de convergência...

3URSULHGDGH Para qualquer matriz quadrada

$

^,

{ Quando todos os valores próprios têm grandeza menor que um, a WUDQVIRUPDomROLQHDU realizada pela matriz sobre um vector é uma UHGXomR. Caso contrário é uma DPSOLDomR. }

Uma condição necessária e suficiente de convergência:

7HRUHPD Seja

[

^(k+1)

= 0 [

^(k)

+ F

um método iterativo consistente com

$ [ = E

^.

AVXFHVVmR

{ [

^(k)

}

_k∈´0 éFRQYHUJHQWH,

para qualquer aproximação inicial

[

^(0),VHHVyVH

U ^{( 0 )}

'HPRQVWUDomR

Seja

H

^(k)

= [

^(k)

- [

o erro da iteração k então

H

^(k+1)

= [

^(k+1)

- [

= 0 [

^(k)

+ F - ( 0 [ + F )

= 0 ( [

^(k)

- [ ) = 0 H

^(k)

donde

H

^(k+1)

= 0

^k+1

H

⁽⁰⁾

para todo o

N

D

6H U ^{( 0 ) < 1}

então a sucessão

{ 0

^k

}

tende para ]HUR

independentemente do valor de

H

⁽⁰⁾

bem como a sucessão

{ H

^(k)

}

e a sucessão

{ [

^(k)

}

tende para

[

, para qualquer valor de

[

⁽⁰⁾

E SRUDEVXUGR

Se

U ^{( 0 ) ≥ 1 ,}

^{a matriz}

⁰

teria algum valor próprio

O ^{≥ 1}

Seja

H

⁽⁰⁾ o vector próprio associado a

O

, isto é,

0 H

⁽⁰⁾

= O H

⁽⁰⁾

donde,

H

^(k)

= 0

^k

H

⁽⁰⁾

= O

^k

H

⁽⁰⁾

Então, para este

H

⁽⁰⁾, a sucessão

{ H

^(k)

}

nunca poderia tender para ]HUR, quer com

O ^{> 1}

^{ou com}

O ^{= 1}

^.

Portanto, para que a sucessão dos erros tenda para zero e as sucessivas aproximações

[

^(k) tendam para

[

, é necessário que

O < 1

.

Uma condição suficiente de convergência:

7HRUHPD Se

||| 0 ||| < 1

para alguma QRUPDPDWULFLDOQDWXUDO,

então a sucessão

{ [

^(k)

}

gerada por

[

^N

= 0 [

^N

+ F

^,

FRQYHUJHSDUDDVROXomR~QLFD da equação

[ = 0 [ + F

^,

para qualquer aproximação inicial

[

⁽⁰⁾ considerada.

Mais ainda, verifica-se que,

'HPRQVWUDomR^ 73&`

> > &U & U LW L Wp p UL U LR RV V GH G H 3D 3 DU U DJ D JH HP P GR G RV V 0p 0 p WR W RG GR RV V ,W , WH H UD U DW WL LY YR RV V (V ( V WD W D FL F LR RQ Qi i U U LR L RV V

Considere-se um método iterativo estacionário,

[

^N

= 0 [

^N

+ F

consistente com

$ [ = E

Å

&U & U LW L Wp p UL U LR RV V GH G H 3D 3 DU U DJ D JH HP P ED E DV VH H DG D GR RV V QR Q R 9H 9 H FW F WR RU U 5H 5 H Vt V tG GX XR R

Seja

U

^(k)

E±$[

^{(k) o}YHFWRUUHVtGXR na iteração N

x

O critério mais simples consiste em continuar o processo iterativo até que,

onde

G

é uma tolerância predefinida.

x

Limitação do vector resíduo de forma a garantir uma WROHUkQFLD predefinida,

G

^,

no HUURDEVROXWR.

Seja

H

^(k)

= [ - [

^(k) o vector erro na iteração N,

donde,

x

Limitação do vector resíduo de forma a garantir uma WROHUkQFLD predefinida,

G

^,

no HUURUHODWLYR.

donde,

Å

Å

&U & U LW L Wp p UL U LR RV V GH G H 3D 3 DU U DJ D JH HP P ED E DV VH H DG D GR RV V QD Q D GL G LI IH H UH U H Qo Q o D D HQ H QW WU UH H GX G XD D V V DS D SU UR R[ [L LP PD D o} o }H HV V V V XF X FH H VV V VL LY YD D V V

x

Continuar o processo iterativo até que,

onde

G

é uma tolerância predefinida.

x

Continuar o processo iterativo até que,

onde

G

é uma tolerância predefinida.

x

Limitação da diferença entre duas aproximações sucessivas, para garantir uma tolerância predefinida,

G

^{, no HUUR.}

(admitindo que

||| 0 ||| < 1

, sendo

0

a matriz de iteração).

Temos que,

Se

donde,

> > 0p 0 p W W RG R GR R GH G H -D - DF FR RE E L L

Considere-se o sistema linear

$ [ = E

^,

Assumindo que

D

LL

≠ ^{0 ,} ∀ L «Q

^{, o} 0pWRGRGH-DFREL consiste no LVRODPHQWRGRYHFWRU

[

no lado esquerdo mediante a VHSDUDomRSHODGLDJRQDO,

E assim se obtém uma fórmula do tipo

[ = 0 [ + F

^{, com}

Dada uma DSUR[LPDomRLQLFLDO

[

⁽⁰⁾ , calculam-se

[

⁽¹⁾

[

⁽²⁾

, …, [

^(k)

, …

pela UHODomRUHFRUUHQWH

[

^(k+1)

= 0[

^(k)

+ F

ou seja,

ÅÅ

'H ' H GX G Xo om m R R GR G R 0p 0 pW WR RG GR R GH G H -D - DF F RE R EL L QD Q D IR I RU UP PD D P P DW D WU UL LF FL LD DO O

Considere-se a decomposição,

$ = ' – ( – )

onde,

' ^D

LM

L M`

( ^D

LM

L!M`

) ^D

LM

LM`

Então, de

$ [ = E

( ' - ( - ) ) [ = E ' [ = ( ( + ) ) [ E

obtemos

[ = '

( ( + ) ) [ '

E

que conduz ao processo iterativo,

[

^N

= '

( ( + ) ) [

^N

'

E

[

^(k+1)

= 0 [

^(k)

+ F

2EVHUYDomR Esta decomposição assume que 'sejauma matriz LQYHUWtYHO, o que implica que os elementos diagonais de $sejam todos diferentes de zero.

Portanto,

0 '

( ( + ) )

e como

( ) ^D

LM

L ≠ _{M `}

'

^D

LM

L M`

então

Å

Å

&R & RQ QY Y HU H U Jr J r QF Q F LD L D GR G R 0p 0 p WR W RG GR R GH G H -D - D FR F RE EL L

'HILQLomR Uma matriz quadrada $ diz-se

GHGLDJRQDOHVWULWDPHQWHGRPLQDQWHSRUOLQKDVse,

7HRUHPD Se

$

for uma matriz GHGLDJRQDOHVWULWDPHQWHGRPLQDQWHSRUOLQKDV, então o 0pWRGRGH-DFREL gera uma sucessão FRQYHUJHQWH

para a VROXomR~QLFDde

$ [ = E

, para qualquer escolha de

[

^{(0) .}

'HPRQVWUDomR

Como vimos, a matriz

0

é definida por,

De acordo com o WHRUHPD da pág. 51, basta provar que H[LVWH uma QRUPDPDWULFLDOQDWXUDO para a qual

||| 0 ||| < 1

Tomando a QRUPDGRPi[LPR ( máximo das somas por linhas ),

onde, SRUKLSyWHVH,

$

é uma matriz GHGLDJRQDOHVWULWDPHQWHGRPLQDQWHSRUOLQKDV, isto é,

e portanto

ƒ

> > 0p 0 pW WR RG GR R GH G H *D * D XV X V V V 6 6H HL LG GH H O O

Recordemos o Método de Jacobi,

O0pWRGRGH*DXVV6HLGHO é semelhante. Contudo, em cada iteração N , são utilizados WRGRVRVYDORUHV

[

^{N que} Mi IRUDPFDOFXODGRV.

ou seja,

onde, se

M L

são usados valores

[

M Mi calculados na SUHVHQWHLWHUDomR se

M !L

são usados valores

[

M calculados na LWHUDomRDQWHULRU

ÅÅ

'H ' H GX G Xo om m R R GR G R 0p 0 pW WR RG GR R GH G H *D * D XV X V V V 6 6H HL LG GH HO O QD Q D IR I RU UP PD D P P DW D WU UL LF FL LD D O O

Partindo da mesma decomposição,

$ = ' – ( – )

e substituindo em

$ [ = E

^obtemos

( ' – ( – ) ) [ = E ( ' – ( ) [ = E ) [

que conduz ao processo iterativo,

( ' – ( ) [

^N

= E ) [

^N

' [

^N

= E ( [

^N

) [

^N

Na prática é mais utilizada uma alternativa a esta formulação.

Partindo de,

( ' – ( – ) ) [ = E

( ' – ( ) [ = ) [E

obtemos

[ = ( ' – ( )

) [ ( ' – ( )

E

que conduz ao processo iterativo,

[

^N

= ( ' – ( )

) [

^N

( ' – ( )

E

e assim,

[

^N

= ( ' – ( )

) [

^N

( ' – ( )

E

[

^(k+1)

= 0[

^(k)

+ F

o que permite também analisar a:

ÅÅ

&R & RQ QY Y HU H U Jr J r QF Q F LD L D GR G R 0p 0 p WR W RG GR R GH G H *D * D XV X VV V 6 6H H LG L GH HO O

7HRUHPD Se

$

for uma matriz GHGLDJRQDOHVWULWDPHQWHGRPLQDQWHSRUOLQKDV, então o 0pWRGRGH*DXVV6HLGHO gera uma sucessão FRQYHUJHQWH para a VROXomR~QLFDde

$ [ = E

, para qualquer escolha de

[

^{(0) .}

H[HUFtFLR

DERUGDJHP

[

^(k+1)

= 0[

^(k)

+ F

portanto é preciso estudar a PDWUL]GHLWHUDomR

0 ,$

^com,

M =

XPDVROXomRFRQGLomRQHFHVViULDHVXILFLHQWHGHFRQYHUJrQFLD

Construir o SROLQyPLRFDUDFWHUtVWLFR

_ 0 O , _

, resolver a equação

_ 0 O , _

e obter os YDORUHVSUySULRV:

{0.73589, -0.13589}

para confirmar que

U ⁰

^.

RXWUDVROXomRFRQGLomRVXILFLHQWHGHFRQYHUJrQFLD Procurar alguma QRUPDQDWXUDO de

0

^{que seja .}

E efectivamente:

___0___

D D D D

D

H[HUFtFLR

XPDDERUGDJHP

Para estudar o processo iterativo, precisamos duma formulação do tipo

[ 0[F

^.

Neste caso,

$ %

$

$[ $

%[$

E

, 0 F

ou seja,

0 $

%

Construindo o SROLQyPLRFDUDFWHUtVWLFR

_ 0 O , _

, obtemos os valores próprios:

Assim, para que o método seja convergente, é QHFHVViULRHVXILFLHQWH que

_D_

^.

H[HUFtFLR

XPDDERUGDJHP

Recordemos que (pp. 43-44) quando DSHQDV existem perturbações no VHJXQGR PHPEUR, os HUURVDEVROXWRV estão relacionados por:

|| G

[

|| † ||| _$

||| . || G

E

||

onde a norma matricial é a LQGX]LGD pela norma vectorial utilizada.

Atendendo a que é razoável escolher a QRUPDGRPi[LPR, pois:

|| G

E

||

_ˆ

= max { } ≤ 10

^-4

Resta calcular a PDWUL]LQYHUVD e a correspondente QRUPDGRPi[LPR (máximo das somas por linhas dos valores absolutos dos elementos),

$

=

com

||| A

^-1

|||

_ˆ

= 3/5

Portanto,

|| G

[

||

_ˆ

† ^3/5 10

^-4

H[HUFtFLR

XPDDERUGDJHP

Partindo de, e de,

e subtraindo,

aplicando uma norma vectorial e a respectiva norma matricial induzida,

D

Uma solução possível, consiste em GHPRQVWUDU este resultado por LQGXomR sobre

N

^.

Para N : é imediato a partir da fórmula

^:

DVVXPLQGRTXH:

SUHYHPRVTXH:

'HPRQVWUDomR: também da fórmula

^:

que, por +LSyWHVHGH,QGXomR,

e pelo 3ULQFtSLRGD,QGXomR, está demonstrado o resultado pretendido, para qualquer

N t

^.

E

Partindo do resultado anterior:

Atendendo a que

então

e como não depende de

N

^,

então também,

Assim, e porque toda a QRUPD é

t

, a sucessão:

é uma VXFHVVmRHQTXDGUDGD por

0

e uma sucessão de limite

0

e portanto:

F

Considerando,

e aplicando uma norma vectorial, pela GHVLJXDOGDGHWULDQJXODU temos,

Substituindo esta relação na fórmula

e como temos finalmente,